1 mÉtodo de mÍnimos cuadrados x y. 2 (x i,y i ) y = b+mxy i -b-m x i criterio: minimizar s ajuste...

1

MÉTODO DE MÍNIMOS CUADRADOS

x

y

2

0m

S 0

b

S

N

ii

N

ii yxbaN

11

(xi,yi)

y = b+mxyi -b-m xi

N

iii mxbyS

1

2)(

CRITERIO: Minimizar SCRITERIO: Minimizar S

AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS

(Ajuste lineal)

N

iii

N

ii

N

ii yxxbxa

11

2

1

3

MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal de N puntos)

22 xNx

xyNyxm

22

2

xNx

xyxyxb

N

xx

N

yy

222

xy m

22

2

xxN

Nm

22

22

xxN

xb

DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)

Coeficiente de correlación

2222 11y

Nyx

Nx

Nyx

xyr

4

MÍNIMOS CUADRADOS (Ejemplo)

0

10

20

30

40

50

60

70

0 10 20 30 40 50 60

x

y

x x y y

50 2 10 2

40 2 21 2

30 2 31 2

20 2 43 2

10 2 54 2

09.010.1 m

365b

99967.0r

bmxy

x x y y xy x^2 y^2

150 10 159 10 3670 5500 6267

x x y y xy x^2 y^2

50 2 10 2 500 2500 100

40 2 21 2 840 1600 441

30 2 31 2 930 900 961

20 2 43 2 860 400 1849

10 2 54 2 540 100 2916

5

EJEMPLO 2: Índice de refracción

• Medida del índice de refracción de una lámina de vidrio

i

r

n

sen i = n sen r

6

i i r r

25 1 15 1

30 1 20 1

35 1 21 1

40 1 24 1

45 1 27 1

50 1 29 1

55 1 30 1

60 1 32 1

65 1 33 1

70 1 36 1

bmxy

x x y y

sen r sen r sen i sen i

1 0,2588 0,0169 0,4226 0,0158

2 0,3420 0,0164 0,5000 0,0151

3 0,3584 0,0163 0,5736 0,0143

4 0,4067 0,0159 0,6428 0,0134

5 0,4540 0,0156 0,7071 0,0123

6 0,4848 0,0153 0,7660 0,0112

7 0,5000 0,0151 0,8192 0,0100

8 0,5299 0,0148 0,8660 0,0087

9 0,5446 0,0146 0,9063 0,0074

10 0,5878 0,0141 0,9397 0,0060

Medidas en grados sexagesimales

Índice de refracción: medidas (2)

rni sinsin

iiii

ii

cossin

sin

09.069.1 m

04.004.0 b

99301.0r

rrrr

rr

cossin

sin

7

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1,2

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

sen r

sen

i

09.069.1 m

04.004.0 b

99301.0r

Índice de refracción: gráfica (3)

Índice de refracción

8

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

EJEMPLO 3. EXPONENCIALES

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

t (s)

V (volts)

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

/0

teVV

V )004.0008.5(0 V

s )2.05.251(

0 100 200 300 400 500 600 7000

1

2

3

4

5

t

eVV /0

Descarga de un condensador

9

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

Las exponenciales se transforman en lineales tomando logaritmos

1

1 a

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

t (s)

ln (V/V0)

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0

0 100 200 300 400 500 600 700-3,0

-2,5

-2,0

-1,5

-1,0

-0,5

0,0t

VV )/ln( 0

taay 10

)002.0015.0(0 a1-

1 s )000004.0003930.0( a

10

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

s

s’

ss

f1

'1

'1

f’

sf

s1

'1

'1

Ecuación de las lentes: forma de Gauss

EJEMPLO 4. FUNCIONES INVERSAS

Focal de una lente

11

s (cm) s’ (cm) 1/s (cm-1) 1/s’ (cm-1)97.50 67.65 0.010256 0.014782

106.00 63.95 0.0094340 0.015637

113.50 61.50 0.0088106 0.016260

120.30 59.70 0.0083126 0.016750

126.80 58.20 0.0078864 0.017182

(distancias s y s’ medidas con 0.05 cm)

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

Focal de una lente: tabla de valores

12

1.45 10-2

1.50 10-2

1.55 10-2

1.60 10-2

1.65 10-2

1.70 10-2

1.75 10-2

7.50 10-3 8.00 10-3 8.50 10-3 9.00 10-3 9.50 10-3 1.00 10-2 1.05 10-2

1/s'

1/s

12 cm10003.0510.2'

1 f

a

004.0004.1 b

99998.0r

sb a

s

1

'

1

DETERMINACIÓN DE LA ORDENADA EN EL ORIGEN

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

13

CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL

cm84.3910510.2

11'

2

a

f

cm05.0

10510.2

10003.01'

22

2

2

a

af

14

AJUSTE DE FUNCIONES SENOIDALES

15

Ejemplo 5. Ley de Malus

cos I = I 20

16

Ley de Malus (2)0 16110 12520 8730 5440 2845 1750 1055 660 465 770 1475 2280 3390 63100 94110 130120 158130 190140 207150 214160 205170 179180 147

(º) I (lux)

0

50

100

150

200

250

0 40 80 120 160

I = m1 + m2 cos2(+m3)

m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) lux

m3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924