1 matemáticas i 1º bachillerato 6 la recta en el plano. problemas métricos x y o sistema de...
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1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
Un sistema de referencia está formado por un
punto y una base: R = {O; i ,
j }
X
Y
Oi
j
Sistema de referencia en
el plano
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
y1
j
x1
i
• A
a
OA = a = x1
i + y1
j A(x1, y1)
X
Y
Oi
j
Coordenadas cartesianas de los puntos del plano
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
X
Y
Oi
j
b
• B(x2,y2)
a
a +
AB =
b
AB =
b –
a
AB = (x2, y2) – (x1, y1) = (x2 – x1, y2 – y1)
•
A(x1,y1)
Coordenadas cartesianas de un vector libre determinado por dos puntos
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
X
Y
Oi
j
a
b
•
A(x1,y1)•
M(xm,ym)
m
m =
a +
AM =
a +
12
AB =
= a +
12 (
b –
a ) =
12 (
a +
b )
xm = 12 (x1 + x2) ; ym =
12 (y1 + y2)
• B(x2,y2)
Coordenadas del punto medio de un segmento
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
a
•A(x1,y1)
Recta que pasa por el punto A(x1, y1),u (a, b)de vector director
x =
a + t
u con tR
tu
x
u
X
Y
Oi
j
Ecuación vectorial de la recta
•X(x, y)
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
(x, y) = (x1, y1) + t(a, b) = (x1 + ta, y1+tb)
x = x1 + ta
y = y1 + tb con tR
Ecuaciones paramétricas de la recta
a
•A(x1,y1)
Recta que pasa por el punto A(x1, y1),u (a, b)de vector director
x =
a + t
u con tR
tu
x
u
X
Y
Oi
j
•X(x,y)
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
t =
x – x1
a
t = y – y1
b
x – x1
a = y – y1
b
x = x1 + ta
y = y1 + tb con tR
Ecuación de la recta en forma
continua
a
•A(x1,y1)
Recta que pasa por el punto A(x1, y1),u (a, b)de vector director
tu
x
u
X
Y
Oi
j
•X(x,y)
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
bx – ay + ay1 – bx1 = 0
Ax + By + C = 0
x - x1
a = y - y1
b
Ecuación de la recta en forma
general
a
•A(x1,y1)
Recta que pasa por el punto A(x1, y1),u (a, b)de vector director
tu
x
u
X
Y
Oi
j
•X(x,y)
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
b
O X
Y
Recta que pasa por el punto A(x1, y1),u (a, b)de vector director
u
x - x1
a = y - y1
b
y - y1 = ba (x - x1)
ba = tg = m
y – y1 = m(x – x1)
r
a
• A(x1, y1)
Ecuación de la recta en la forma punto–pendiente
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
y – y1 = m(x – x1)
y – y1 = m x – mx1
y = m x – mx1 + y1
y = m x + n
Recta que pasa por el punto A(x1, y1),u (a, b)de vector director
b
O X
Y
u
r
a
• A(x1, y1)
Ecuación de la recta en forma
explícita
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
O X
Y
p
q
xp +
yq = 1
P(p,0)
Q(0,q)
Ecuación de la recta en forma
segmentaria
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
n
n .
PX = 0
n . (
x -
p ) = 0
(A, B) .
A (x – x1) + B(y – y1)=0
Ecuación normal de la
recta
(x – x1, y – y1) = 0
OX
Y
i
j
x
•
p
P(x1,y1) •
X(x,y)
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
Secantes:un solo punto en común
Coincidentes: infinitos puntos en común
Forma explícita r: y = mx + ns: y = m'x + n' Forma general
r:Ax+By+C=0s:A'x+B'y+C'=0
Solución única
Posición Sistema Condiciones
AA'
BB'
m m’
Paralelas: ningún punto en común
Sin solución
Infinitas soluciones
m = m’ y n n’
AA' =
BB'
CC'
m = m’ y n =n’
AA' =
BB' =
CC'
Posiciones relativas de dos rectas en el plano
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
y – yo = m (x – xo) Para cada valor de m se obtiene una recta
que pasa por P
Ax+By+CA'x+B'y+C' Para cada valor de (, se obtiene una
recta que pasa por P
r: Ax+By+C=0
r’: A'x+B'y+C'=0
Haz de
rectas
m1
m2
m3
• P(xo,yo)
(
• P (
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
Ax+By+k=0 Para cada valor de k obtenemos una
recta paralela a r
r: Ax+By+C=0
Haz de rectas paralelas
Ax+By+k1 = 0
Ax+By+k2 = 0
Ax+By+k3 = 0
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
s: A'x + B'y + C' =0
r: Ax + By + C = 0
cos (
r , s) = cos
(u ,
v ) =
|u .
v |
|u |.|
v |
= |AA' + BB'|
A2 + B2 A'2 + B'2
r , s=
u ,
v
u
v
Ángulo de dos rectas
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
X
Y
Oi
j
b
• B(x2,y2)
a
•
A(x1,y1)
d (A, B) = |AB| = (x2 – x1)
2 + (y2 – y1)2
AB = (x2 – x1 , y2 – y1)
Distancia entre dos
puntos
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
= 0
n = (A, B)
r: Ax + By + C = 0
• Q QoP =
QoQ +
QP
d(P,r) = d(P,Q)
QoP
n =
QoQ
n +
QP
n
d (P, r) = d(P, Q) = |QP| =
|
QoP n |
|n |
= |Ax1 + By1 + C|
A2 + B2
Distancia desde un punto a
una recta
• P(x1, y1)
• Qo(xo,yo)
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricos
r: Ax + By + C = 0
r ': Ax + By + C ' = 0
• P(xo,yo)
d (r, r’) = d(P, r’) = |Axo + Byo + C'|
A2 + B2 = |C' - C|A2 + B2
Distancia entre rectas
paralelas
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricosMediatriz de un
segmento
La mediatriz de un segmento es la recta perpendicular al segmento en su punto medio
B(4, –7)•
A(2, 5)
•
(4–2, –7–5) = (2, –12)
m
(12,
2)
Pm( , ) = (3, –1)4 + 22
5 – 7
2
m x-312 =
y+12 x – 6y – 9 = 0
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricosPuntos notables de un triángulo:
ortocentro
Punto de corte de las tres alturas de un triángulo
• O
90º
90º90º
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricosPuntos notables de un triángulo:
baricentro
Punto de corte de las tres medianas de un triángulo. Es el centro de gravedad
del triángulo
• B
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricosPuntos notables de un triángulo:
circuncentro
Punto de corte de las mediatrices de los tres lados.
Es el centro de la circunferencia circunscrita
• C
90º
90º
90º
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricosPuntos notables de un
triángulo: incentro
Punto de corte de las tres bisectrices de un triángulo. El incentro equidista
de los tres lados del triángulo • I
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricosLugares
geométricos (I)
• A
• B
Mediatriz: conjunto de los puntos del plano que equidistan de los extremos del segmento.
r
r'
• P
• P• PBisectriz: conjunto de los puntos del plano que equidistan de los lados del ángulo.
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Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricosLugares
geométricos (II)
rr'
• P Paralela media: conjunto de los puntos del plano que equidistan de dos rectas paralelas
• I
Incentro: conjunto de los puntos del plano que equidistan de los tres lados del triángulo. Este lugar geométrico se reduce a un punto
1
Matemáticas I1º BACHILLERATO6
La recta en el plano. Problemas métricosLugares
geométricos (III)
Circuncentro: conjunto de los puntos del plano que equidistan de los tres vértices del triángulo. Este lugar geométrico se reduce a un punto• C
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