1. los defectos del aparato euclidiano
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En lógica y matemática, un axioma o
postulado es una fórmula bien
formada de un lenguaje formal que
se acepta sin demostración, como
punto de partida para demostrar
otras fórmulas.
La geometría clásica bajo la forma
que le dio Euclides en sus
elementos, paso durante mucho
tiempo por un modelo insuperable,
y aun difícilmente igualable, de
teoría deductiva.
Un sistema axiomático se dice
también: una teoría axiomática o,
más brevemente, una axiomática es,
pues, la forma acabada que toma,
hoy, una teoría deductiva.
Se llaman postulados a aquellas
propiedades que satisfacen los
elementos geométricos que se
aceptan sin demostrar y que surgen
de la simple observación.
La simetría aparente entre la proposición
que enuncia que por un punto pasa al
menos una paralela, proposición que se
establece por una demostración, y la que
enuncia que pasa una a lo sumo, hacia
mas escandalosa aun la asimetría de las
justificaciones.
La verdad de los teoremas se refiere a los
sistemas diferentes, por otra parte los
sistemas mismos, ya no son solo cuestión
de verdad o falsedad, sino en el sentido
lógico de la coherencia o de la
contradicción interna.
Las figuras no existen solo como un
auxiliar del razonamiento, que duplican
en cierta forma la demostración lógica
mediante una ilustración sensible, sin ser
indispensable.
Los axiomas también reciben el nombrede “nociones comunes” definidos porEuclides.
El axioma envuelve en primer lugar laidea de una evidencia intelectual.Mientras que el postulado es unaproposición sintética, cuyacontradictoria, difícil o imposible deimaginar, permanece no obstanteconcesible, el axioma seria unaproposición analítica que constituiría unabsurdo negar.
Las “definiciones” iníciales de Euclides no
tienen de definiciones mas que la
apariencia. Se reducen a simples
descripciones empíricas, comparables a
las que daría un diccionario, que tuviera
por objeto dirigir el espíritu hacia la
noción de lo que se trata.
Euclides define la línea recta: como la
que descansa igualmente sobre sus
puntos.
Herón la substituye por la definición
siguiente, en apariencia mas clara: el
camino mas corto entre dos puntos.
Leibniz advierte con razón que la mayor
parte de los teoremas que se apoyan
sobre la recta no utilizan ni una ni otra
de estas dos propiedades.
Mediante la demostración y la definición
se hacen operaciones fundamentales
mediante las que se desarrolla una teoría
deductiva.
La definición y la demostración dependen
entonces, propiamente hablando, de la
retorica; su función es esencialmente
psicológica: pedagógica o didáctica.
Pedagógicamente, la buena definición, la
buena demostración, es la que el alumno
comprende.
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