1. funciÓn real de variable real una función real de ... · una función se puede expresar de...
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Apuntes de Análisis Curso 2019/2020 Esther Madera Lastra
1
1. FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Una función real f de variable real es una relación
que asocia a cada número real, x , un único número real
)(xfy = .
A la variable x se le denomina variable
independiente, y a la variable y , variable
dependiente.
Una función se puede expresar de
esta forma:
:f IR → IR
)( xfyx =→
Una función puede cortar varias veces al eje X , pero sólo puede cortar una vez como máximo
al eje Y .
A cada valor de x para el que existe la
gráfica, le corresponde un único valor de y .
Esta gráfica corresponde a una función.
En estas gráficas de la derecha, existen valores
de la variable x a los cuales les corresponden
más de un valor de y . Estas gráficas no
corresponden a funciones.
2. FUNCIONES ELEMENTALES
Funciones polinómicas: rectas
Funciones polinómicas: parábolas
Funciones racionales: hipérbolas
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2
Funciones irracionales: ramas de parábolas
Funciones exponenciales
Funciones logarítmicas
Funciones trigonométricas
Funciones valor absoluto
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3
3. LÍMITES.
“El límite de una función puede ser un número, + , − o no existir”
Un límite determinado es un número real, o bien − , o + .
En otro caso es indeterminado (no se puede saber a priori su resultado): 0
0;
; − ; 0 ;
1 ; 0 ;
00 .
Las indeterminaciones aparecen generalmente en el cálculo de límites en un punto que no sea del
dominio, en los extremos finitos del dominio o en los límites infinitos.
3.1. Límite de una función en un punto.
Al aproximarnos a un punto podemos hacerlo por la izquierda (con valores menores que él) o por
la derecha (con valores mayores).
)(xflímax −→
“Límite de )(xf cuando x tiende hacia a por la
izquierda”
El límite lateral de la función )(xf en ax = por
la izquierda es el valor al que se aproxima la
función )(xf cuando la variable independiente
x se aproxima al valor a por la izquierda, es
decir, por valores menores que a .
)(xflím
ax +→
“Límite de )(xf cuando x tiende hacia a por la
derecha”
El límite lateral de la función )(xf en ax = por
la derecha es el valor al que se aproxima la
función )(xf cuando la variable independiente
x se aproxima al valor a por la derecha, es decir,
por valores mayores que a .
Para que exista el límite de una función en ax = , tienen que existir los límites laterales y deben
ser iguales.
En las funciones definidas por una sola fórmula se tiene que: )()( afxflímax
=→
siempre que
)( fDoma
Utiliza las gráficas para calcular los límites laterales de las funciones:
a) En 1=x
Para calcular el límite lateral de una función en un punto
sustituimos en la función la variable x por el punto; si no
obtenemos indeterminación, ése es el límite.
Por la izquierda: 1112)12()(11
=−=−=−− →→
xlímxflímxx
Por la derecha: 011)1()( 22
11=+−=+−=
++ →→xlímxflím
xx
b) En 2=x
Cuando x toma valores muy próximos a 2 y menores que 2 , los
valores de )(xf tienden a − : −=−→
)(2
xflímx
Cuando x toma valores muy próximos a 2 y mayores que 2 , los
valores de )(xf tienden a + : +=+→
)(2
xflímx
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Ejercicio 1: Calcula los siguientes límites: a) )12( 2
2+−
→xxlím
x b)
3
12
3 −
+
→ x
xlímx
PROPIEDADES
DE LOS LÍMITES
1. )()]([ xflímkxkflímaxax →→
=
2. )()()]()([ xglímxflímxgxflímaxaxax →→→
=
3. )()()]()([ xglímxflímxgxflímaxaxax →→→
=
4. 0)( ;)(
)(
)(
)( =
→
→
→
→xglím
xglím
xflím
xg
xflím
ax
ax
ax
ax
5. ))(()]([ xflímgxfglímaxax →→
= , si existe ))(( xflímgax→
6. )(
)( )]([)]([xglím
ax
xg
ax
axxflímxflím →
→→= , si
)(
)]([xglím
ax
axxflím →
→es determinado
Indeterminación de tipo 0
0 Suele aparecer al calcular límites del cociente
)(
)(
xg
xf, en un punto a en el que 0)( =af y 0)( =ag .
Para resolver estas indeterminaciones transformamos el numerador y el denominador para
simplificar la fracción. Serán más sencillos con la regla de L’Hopital, por lo que ahora no lo
veremos.
3.2. Límite de una función en el infinito.
Lxflímx
=+→
)( Si para valores muy grandes de x , los
valores de la función se aproximan al
número L.
Lxflím
x=
−→)(
Si para valores muy pequeños de x , los
valores de la función se aproximan al
número L.
+=+→
)(xflímx
Si para valores muy grandes de x , los
valores correspondientes de )(xf son
mayores que cualquier número prefijado.
−=+→
)(xflímx
Si para valores muy grandes de x , los
valores correspondientes de )(xf son
menores que cualquier número prefijado.
+=−→
)(xflímx
Si para valores muy pequeños de x , los
valores correspondientes de )(xf son
mayores que cualquier número prefijado.
−=−→
)(xflímx
Si para valores muy pequeños de x , los
valores correspondientes de )(xf son
menores que cualquier número prefijado.
Ejercicio 1: Sea la función 1
2)(
2 +=
x
xxf , calcula )(xflím
x +→ y )(xflím
x −→
Importante: el )(xflímx −→
cuando existen raíces, puede dar lugar a problemas. Lo mejor es
sustituir − por + y “x” por “-x”.
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3. 3 Propiedades de los límites.
Son las mismas que las de límites de funciones en un punto teniendo en cuenta que, será
necesario operar con expresiones donde aparece infinito. A veces los resultados determinan
directamente la existencia del límite y su valor y, en otros casos, no es posible
(indeterminaciones que tendremos que salvar). Las tres últimas indeterminaciones (potencia)
que aparecen en este cuadro no las vamos a estudiar.
Suma y resta Producto Cociente Potencia
+=++
−=−− “ −+ ”
indeterminado
( ) +=++
( ) −=−+
( ) −=+−
( ) +=−−
“ 0 ”
indeterminado
0 ;00
= kk
0 ;0
= kk
“0
0” “
”
indeterminados
0=
k
( )
+
=+
0
0 0
k
kk
“0 ” indeterminado
+
=+
1
10 0
k
kk
+=−
1 0
10
k
kk
“00 ” “
1 ” indeterminados
Indeterminación de
tipo
Suelen aparecer al calcular límites de cocientes de polinomios o
cocientes donde pueden aparecer radicales. Se resuelven dividiendo
entre la mayor potencia de x , o más sencillamente, con la regla de los
grados. Serán más sencillos con la regla de L’Hopital.
Ejercicio 3: Calcula los límites: a) 12
232 −
−
+→ x
xlímx
b) 12
23 2
−−
−+
−→ x
xxlímx
c) 12
232
2
−
−+
+→ x
xxlímx
d) 3 5
2
25
9122
−+
+−
+→ xx
xxlímx
Indeterminación de tipo
−
Suelen aparecer al calcular límites de funciones con diferencia de
radicales (se resuelve multiplicando y dividiendo por el conjugado)
o diferencia de cocientes de polinomios (se resuelve realizando la
diferencia de los cocientes).
Ejercicio 4: Calcula los límites:
a)
+−
−
−
+→ 15
32
32
x
x
x
xlímx
b)
+−
+→
2412 xxlímx
4. ASÍNTOTAS. Las asíntotas son rectas a las que se aproximan algunas ramas de una
función.
En el cálculo de las asíntotas es importante hallar su ecuación y, si nos lo preguntan, estudiar la
posición de la gráfica respecto de la asíntota.
Asíntota Definición Posición de la gráfica respecto de la
asíntota
Vertical Recta ax = tal que =→
)( xflímax
Se estudia: )( xflímax −→
y )( xflímax +→
En la práctica, para determinar el signo
de los límites laterales podemos dar
valores muy muy próximos al punto. Una función puede tener infinitas asíntotas verticales. Ejemplo: xtgxf )( =
(La gráfica de una función no puede cruzar la asíntota vertical, ya que si ax = es una A. V., la función es
discontinua en este valor)
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Horizontal Recta ky = tal que kxfx
=→
)( lim
En la práctica para determinar la
situación de las ramas asíntóticas,
damos valores muy muy grandes y muy
muy pequeños a x . Una recta puede ser asíntota horizontal cuando +→x y, sin embargo, no serlo cuando −→x , o viceversa.
Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas horizontales, una cuando +→x y otra cuando −→x
(La gráfica de una función puede cortar a la asíntota horizontal) Ejemplo:
1
323)(
2
2
+
++=
x
xxxf
Oblicua
Recta nmxy += tal que 0m y
x
xflímmx
)(
→= ; mxxflímn
x−=
→)(
En la práctica para determinar la
situación de las ramas asíntóticas,
damos valores muy muy grandes y muy
muy pequeños a x . Una recta puede ser asíntota oblicua cuando +→x y, sin embargo, no serlo cuando −→x , o viceversa.
Una función a lo sumo puede tener dos asíntotas oblicuas, una cuando +→x y otra cuando −→x
(La gráfica de una función puede cortar a la asíntota oblicua)
Ejercicio 5: Estudia si la función 1
)(2 −
=x
xxf tiene asíntotas.
Ejercicio 6: Estudia si la función ( ) 41)(2−+= xxf tiene asíntotas.
Ejercicio 7: Estudia si la función xx
xxf
2
1)(
2
3
+
+= tiene asíntotas.
Ejercicio 8: Halla las asíntotas de x
xxf
−=
1)(
5. CONTINUIDAD.
5.1 Continuidad de una función en un punto.
Una función )(xf es continua en un punto ax = si se
cumple que:
1º. Existe )(af
2º. Existe )( xflímax→
3º. )( )( xflímafax→
=
Si una función no es continua en un punto, decimos que la función presenta una discontinuidad
en ese punto.
Ejercicio 9: Comprueba si la función 1
5)(
−
+=
x
xxf es continua en 0=x y 1=x .
5.2.-Tipos de discontinuidad.
Dis
conti
nu
idad
evit
able
Se produce cuando existe )( xflímax→
,
pero ocurre una de estas condiciones:
▪ No coincide con )(af
▪ La función no está definida en el
punto.
Esta discontinuidad se llama evitable porque la función se convierte en continua asignando al valor de la
función el valor del límite: )( )( xflímafax→
=
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Dis
conti
nu
idad
de
salt
o f
init
o
Se produce cuando no existe
)( xflímax→
, porque los límites laterales
no coinciden.
)()( xflímxflímaxax +− →→
La discontinuidad de salto finito es frecuente en las funciones definidas a trozos, en los puntos en los que la función
cambia su expresión algebraica.
Dis
conti
nu
idad
de
salt
o i
nfi
nit
o
Uno o los dos límites laterales son
infinito.
=−→
)(xflímax
o =+→
)(xflímax
5.3. Propiedades de la continuidad.
Si las funciones )(xf y )(xg son continuas en ax = , entonces las siguientes funciones son
continuas en ax = :
a) )()( xgxf b) )(xfk siendo k IR c) )()( xgxf d) )(
)(
xg
xf
siempre que 0)( ag
Además, si )(xg es continua en )(af : e) ( ) ))(()( xfgxfg = es continua en ax = .
Las funciones elementales son continuas en sus dominios de definición:
1. Las funciones polinómicas son continuas en todo IR .
2. Las funciones racionales no son continuas en los puntos que anulan el denominador.
3. Las funciones con radicales con índice de la raíz par no existen en los valores que
hacen el radicando negativo. Si el índice es impar, son continuas en todo IR .
4. Las funciones exponenciales son continuas en todo IR .
5. Las funciones logarítmicas no son continuas en los puntos en los que la expresión de la
que queremos hallar el logaritmo se convierte en cero o en un número negativo.
6. De las funciones trigonométricas, la única función que no es continua es xtgxf )( = , que
no existe en
kx +=2
.
En la práctica, para estudiar la continuidad de funciones definidas a trozos, debemos estudiar si los
límites laterales coinciden o no.
Ejercicio 10: Estudia la continuidad de a)
+−
−=
2 5
2 1)(
2
xx
xxxf
b)
+−
=
−
=
2 54
2 3
2 1
)(2 xxx
x
xx
xf c)2
1)(
−
−=
x
xxf
Ejercicio 11: Justifica si las siguientes funciones son continuas: a) xxxf cos)( 2=
b) xexf
1
)( = c) xxf ln4)( =
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Ejercicio 12: Dada la función
−=
12
13)(
2
xsiax
xsiaxxf ¿Para que valores de a es continua?
Ejercicio 13: Determina el valor del parámetro a para que se verifique
( ) 212 =−+++→
xaxxlímx
Ejercicio 14: Determina los valores de a y b para que la función siguiente resulte continua en
todos los puntos:
+
−
+
=
xb
ax
xbax
xf
1 si x
a
1x0 si
0 si
)(
2
Ejercicio 15: De la función xa
baxxf
−
+=
2
)( con , ba IR , sabemos que pasa por el punto
( )2 ,1 y que tiene una asíntota oblicua cuya pendiente es 6− .
a) Determina los valores a y b de la función.
b) Determina, si existen, las asíntotas verticales de dicha función.
6. LA DERIVADA
6.1. Tasa de variación media
La tasa de variación media de una función )(xf en un
intervalo ba , es el cociente: ( )ab
afbfbaMVT
−
−=
)()( ,...
La T.V.M. de la función )(xf en el intervalo ba , es la
pendiente de la recta secante a la curva que pasa por los
puntos ( ))( , afa y ( ))( , bfb .
Con frecuencia, en la T.V.M. se considera el intervalo
haa + , , donde h indica su longitud.
x
xf
h
afhaf
deVariación
)( deVariación )()(=
−+
6.2. Derivada de una función en un punto. La derivada de la función )(xf en un punto de abscisa a es el valor del límite, si existe y es finito:
ax
afxflímaf
ax −
−=
→
)()()(
Si en esta definición hacemos hax += , la fórmula es equivalente a
h
afhaflímafh
)()()(
0
−+=
→
Ejercicio 16: Calcula la derivada de la función 54)( 2 +−= xxxf en 3=x . Comprueba que las
dos fórmulas anteriores son equivalentes.
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7. CÁLCULO DE DERIVADAS
Para hallar la derivada de funciones simples no es necesario utilizar la definición, pues
existen reglas que facilitan su cálculo. Y para hallar la derivada de funciones compuestas se utiliza
la regla de la cadena [ ( ) )()()()( xfxfgxfg = ]
REGLAS DE DERIVACIÓN
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Ejercicio 17: Deriva las siguientes funciones:
1)37)( xxf = 2)
43)( xxf −= 3)6
3
2)( xxf = 4)
410)( −= xxf
5) 836)( 2 +−= xxxf
6)
10687)( 35 −+−= xxxxf
7) xxxf 38)( 6 −= 8) 6)( =xf
9) xxf 7)( = 10) 923
8)( 3 +−= xxxf 11) )ln()( 4xxf = 12) xxxf ln)( 3=
13)
)82ln()( −= xxxf 14) )8ln()( senxxxf += 15) )
2cos()(
x
xxf
+= 16)
2
3)(
+
−=
x
xxf
17)3
1)(
xxf = 18)
3
1)(
2
2
−
++=
x
xxxf 19)
42 )2()( xxxf −= 20)34 )2()( −−= xxxf
21)xexf 8)( = 22)
xxxf 33
4)( +=
23)
xxxxf 5)32()( 2 −+=
24) )25()( −= xsenxf
25) )23(cos)( 4 −= xxf 26) )84()( += xtgxf 27)
+=
x
xtgxf
3
12)(
28)
)15()( −= xarcsenxf
29) )(ln)( xarctgxf = 30)5
)32()(
x
xsenxf
+= 31) )86()( 3 −= xtgxxf 32)
3)(
+=
x
senxxf
33)
1
1)(
−
+=
x
x
e
exf 34) )()( tgxsenxf = 35)
xxxxf 2cos)( 2 = 36) )()( 53 xtgxf =
37)
)25()( −= xarcsenxf 38)
xx
senxxf
2
)ln()(
3 −=
39)
4)( 5 +−= senxxxxf 40)
3cos
)(
=
x
xxf
8. RECTA TANGENTE Y NORMAL
Geométricamente, la derivada )(af de una función en ax = coincide con la pendiente de la
recta tangente a la gráfica de la función en el punto ( ))( , afaP
Recta tangente a la gráfica de la función
en el punto ( ))( , afaP :
Recta normal a la gráfica de la función en
el punto ( ))( , afaP :
( )axafafy −=− )()(
( )axaf
afy −
−=− )(
1)(
Ejercicio 18: Determina las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de la función
2)( 2 += xxf en 0=x y en 1=x .
Ejercicio 19: Determina los puntos de la gráfica de 33)( 23 ++= xxxf donde la recta
tangente es horizontal. Calcula la ecuación de la recta tangente y normal en esos puntos.
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9. CONTINUIDAD Y DERIVABILIDAD
)(xf es derivable en ax = )(xf es continua en ax =
En la práctica se utiliza su contrarrecíproco: “Una función que no es continua en un punto, no
puede ser derivable en él”.
Función Estudio Gráfica Es fundamental
estudiar la continuidad
antes que la
derivabilidad.
Lo primero que tenemos
que hacer para comprobar
que una función es
derivable en un punto es
asegurarnos de que es
continua en ese punto. Si
la función no es continua
en un punto, tampoco es
derivable.
++−
−=
2 si 42
2 si 3)(
2
2
xxx
xxxf
No es continua en 2=x ,
por tanto, no es derivable
en dicho punto.
+
=
1 3
1 )(
2
2
xx
xxxf
No es continua en 1=x ,
por tanto, no es derivable
en dicho punto.
++−
=
2 si 42
2 si )(
2
2
xxx
xxxf
Es continua en 2=x y no
es derivable en ese valor.
(Observamos que para
2=x se dibujan dos rectas
tangentes distintas)
Una función puede ser
continua en un punto y,
sin embargo, no ser
derivable en él.
EN GENERAL, la característica de las gráficas que son derivables son curvas continuas que no
tienen picos. Esto es cierto siempre y cuando exista el límite que define la derivada y éste sea
finito.
Ejemplo de función no derivable:
Estudia la derivabilidad de la función 3)( xxf = en 0=x . La gráfica de la función
3)( xxf = en 0=x no tiene un pico; sin embargo, no es derivable en 0=x . La
pendiente de la recta tangente es + , es decir, la tangente es la recta vertical 0=x .
En la práctica, para saber si una función es o no derivable, en primer lugar estudiaremos si es
continua. Si lo es, estudiaremos los límites laterales de la derivada. Si coinciden, será derivable.
Ejercicio 20: ¿Es derivable la función
+
=
2 si 4
2 si 4)( 2 xx
xxxf
en 2=x ?
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Ejercicio 21:¿Es derivable la función
−==
0 si
0 si )(
xx
xxxxf en
0=x ?
Las funciones algebraicas y trascendentes, definidas por una sola fórmula, son derivables en
los puntos de su dominio, excepto en aquellos valores donde la tangente es vertical.
La mayoría de las funciones que no son derivables en algún valor son construidas
artificialmente a trozos. Los valores conflictivos se encuentran en los puntos de empalme de los
trozos que definen la función.
Ejercicio 22: Calcula el valor de los parámetros a y b para que la función
−
−+=
1 si 22
1 si 1)(
2
xbx
xbxaxxf sea derivable en 1=x .
10. REGLA DE L´HÔPITAL.
La regla de L´Hôpital se utiliza para resolver las indeterminaciones del tipo 0
0
Sean dos funciones )(xf y )(xg derivables en un entorno de a .
Si 0)( =→
xflímax
, 0)( =→
xglímax
y existe )(
)(
xg
xflím
ax
→, entonces existe
)(
)(
xg
xflím
ax→ y su valor es
)(
)(
xg
xflím
ax→=
)(
)(
xg
xflím
ax
→
La regla de L´Hôpital es válida si a es un número real, + o − .
Ejercicio 23: Calcula xx
xlímx −→ 31
ln
La regla de L´Hôpital también se puede aplicar si
=
→ )(
)(
xg
xflím
ax
Ejercicio 24: Calcula a)xx
xlímx 2
ln3 −+→ xsen
xlímx ln
ln
0+→
Aplicación de la regla de L´Hôpital en la indeterminación 0 : Se escribe el límite de
forma que aparezca una indeterminación 0
0 o
.
Ejercicio 25: Calcula a) ( ) ( ) 2 ln22
−−→
xxlímx
b) xsenxlímx
ln 0+→
Aplicación de la regla de L´Hôpital en la indeterminación −
Ejercicio 26: Calcula a)
−
→ xsenxlímx
11
0 b)
−
−→ xx
xlímx ln
1
11
En la práctica, es muy normal encontrar ejercicios de L’Hopital con parámetros.
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11. MONOTONÍA, MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
11.1 Monotonía.
Una función f es creciente en un intervalo
( )ba , si para cualquier par de números 1x ,
2x del intervalo ( )ba , tal que 21 xx
implica que )()( 21 xfxf
Una función f es decreciente en un intervalo
( )ba , si para cualquier par de números 1x ,
2x del intervalo ( )ba , tal que 21 xx
implica que )()( 21 xfxf
Ejemplo Criterio para funciones crecientes o decrecientes
Es creciente en ( )0 ,− y en ( )7 ,2 .
Es decreciente en ( )2 ,0 y en ( )+ ,7 .
0)( 0 xf )(xf creciente en 0xx =
Recta tangente en 0x a la gráfica tiene
pendiente positiva
0)( 0 xf )(xf decreciente en 0xx =
Recta tangente en 0x a la gráfica tiene
pendiente negativa
11.2 Máximos y mínimos relativos.
f presenta un máximo relativo en 0x si, en ese punto, la función pasa de ser creciente a
decreciente, y un mínimo relativo si pasa de ser decreciente a creciente.
[ f presenta un máximo absoluto en 0x si es el mayor de los máximos relativos, y un mínimo absoluto si es el
menor de los mínimos relativos ]
Si el punto ( ))( , 00 xfx es un punto
máximo o mínimo relativo de la gráfica
de )(xf , entonces 0)( 0 = xf , o bien
)(xf no es derivable en 0xx = .
Procedimiento Ejemplo: xxxxf 3632)( 23 −+= =)( fD IR
1º. Hallamos discontinuidades No hay
2º. Hallamos )(xf 3666)( 2 −+= xxxf
3º. Estudiamos el signo en los intervalos que proporcionan las discontinuidades y los puntos críticos de la función (puntos
donde la derivada se anula) [ 0)( = xf → 2=x , 3−=x ]
4º. Escribimos los intervalos de crecimiento y de decrecimiento.
La gráfica de )(xf es creciente en ( )3 , −− y ( )+ ,2 .
La gráfica de )(xf es decreciente en ( )2 ,3− .
5º. Estudiamos máximos y/o mínimos relativos.
Crec. a la izqda. de 3−=x y decrec. a la drch. → 3−=x máx.
Decrec. a la izqda. de 2=x y crec. a la drch.→ 2=x mín.
6º. Calculamos las coordenadas de los máximos y mínimos.
( )81 ,381)3( −→=− Pf máx. de la gráfica
( )44 ,244)2( −→−= Qf mín. de la gráfica
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12. PUNTOS DE INFLEXIÓN Y CURVATURA.
12.1 Curvatura.
Concavidad Convexidad Punto de inflexión
La gráfica de )(xf es cóncava
en ( )ba , ,
porque está por debajo de las
tangentes en ( )ba ,
0)( 0 xf )(xf cóncava
en 0xx =
La gráfica de )(xf es convexa en
( )ba , ,
porque está por encima de las
tangentes en ( )ba ,
0)( 0 xf )(xf convexa
en 0xx =
La gráfica de )(xf pasa en
0xx = de convexa a
cóncava y
la tangente atraviesa la
gráfica.
12.2 Puntos de inflexión.
Una función f presenta un punto de inflexión en 0x si, en ese punto, dicha función pasa de ser
convexa a cóncava, o viceversa.
Si el punto ( ))( , 00 xfx es un punto de inflexión de la gráfica de
)(xf ,entonces 0)( 0 = xf , o bien )(xf no es derivable en 0xx = .
Procedimiento Ejemplo: xxxxf 3632)( 23 −+= =)( fD IR
1º. Hallamos discontinuidades. No hay
2º. Hallamos )(xf . 3666)( 2 −+= xxxf 612)( += xxf
3º. Estudiamos el signo en los
intervalos que proporcionan las
discontinuidades y los ceros de su
segunda derivada.
[ 0)( = xf →2
1−=x ]
4º. Escribimos los intervalos de
concavidad y convexidad.
La gráfica de )(xf es cóncava ( ) en
−−
2
1 , .
La gráfica de )(xf es convexa ( ) en
+− ,
2
1.
5º. Estudiamos puntos de
inflexión.
)(xf cóncava a la izqda. de 2/1−=x y convexa a la drch.→
2/1−=x punto de inflexión.
6º. Calculamos las coordenadas de
los puntos de inflexión. 2
37)
2
1( =−f →
−
2
37 ,
2
1A es un punto de inflexión.
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13. ¿PUNTO DE INFLEXIÓN, MÁXIMO O MÍNIMO?
Cuando se anulan las dos primeras derivadas en un punto 0x , para decidir si en 0x hay un punto
de inflexión, un máximo o un mínimo tenemos que analizar la primera derivada NO NULA en
dicho punto.
▪ Si esta derivada es de orden par: 0)( 0
) xf n → en 0x se alcanza un máximo.
0)( 0
) xf n → en 0x se alcanza un mínimo.
▪ Si es de orden impar: 0)( 0
) xf n → en 0x hay un punto de inflexión.
Ejemplos: 4)( xxf =
34)( xxf =
212)( xxf =
xxf 24)( =
24)( =xf IV
2)( 5 += xxf
45)( xxf =
320)( xxf =
260)( xxf =
xxf IV 120)( =
120)( =xf V
→=→= 00)( xxf Posible máximo o mínimo.
→=→= 00)0( xf Posible punto de inflexión.
0)0( =f
0)0( IVf → en 0=x se alcanza un mínimo.
→=→= 00)( xxf Posible máximo o mínimo.
→=→= 00)0( xf Posible punto de inflexión.
0)0( =f
0)0( =IVf
0)0( Vf → en 0=x hay un punto de inflexión.
Ejercicio 27: Calcula los máximos, mínimos y puntos de inflexión de 23 3)( xxxf +=
13. PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN
Optimizar un proceso es conseguir que una magnitud sea lo mayor o lo menor posible
sujeta a unas condiciones. Para ello, es preciso encontrar el máximo o mínimo de una función.
Hay muchos ejemplos de estos tipos de problemas en la ciencia, la tecnología, la economía, las
finanzas, la población y la medicina: encontrar el máximo beneficio, minimizar el coste, hallar
la máxima distancia, determinar el máximo voltaje, hallar la máxima resistencia,…
Procedimiento:
a) Se escriben los datos, las incógnitas y se hace un dibujo si es posible.
b) Se escribe la función que se desea maximizar o minimizar y las condiciones del
problema, que serán ecuaciones que relacionan las variables y los datos.
c) Se escribe la función con una sola variable, mediante las ecuaciones utilizadas.
d) Se calculan los máximos y los mínimos de esta función.
e) Se interpretan los resultados y se rechazan aquellos que no sean posibles por las
condiciones o la naturaleza del problema.
Ejercicio 28: El consumo de un barco que navega a una velocidad de x nudos viene dado por
x
xxC
450
60)(
2
+= . Calcula la velocidad que es más económica y su consumo.
Ejercicio 29: De todos los triángulos rectángulos de 5 m de hipotenusa, halla el que tiene área
máxima.
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14.-ANÁLISIS DE FUNCIONES Y REPRESENTACIÓN DE CURVAS.
Finalidades:
▪ Dada la fórmula de una función, analizarla estudiando todas sus
características.
▪ Dada la fórmula de una función, saber representarla gráficamente.
[Para representar una función no es necesario analizarla totalmente estudiando todas sus características; a veces, con
hallar las asíntotas, la posición de la gráfica respecto de ellas y los máximos y mínimos relativos se puede hacer un
esbozo bastante completo de la misma ]
Propiedades de f obtenidas directamente Caracterización
Dominio de la función. Valores que puede tomar x
Recorrido o imagen de la función. Valores que puede tomar y
Puntos de discontinuidad )()( afxflímax
→
o )()( xflímxflímaxax +− →→
Simetrías.
a) Función par.
b) Función impar.
Función par:
Simétrica respecto del eje Y
Función impar:
Simétrica respecto del origen de coordenadas
Periodicidad (sólo existe en funciones
trigonométricas)
)()( xfTxf =+
T período mínimo
Puntos de corte con los ejes:
a) Corte con el eje X
Ninguno, uno o más puntos
b) Corte con el eje Y
Ninguno o un punto
Son los puntos de la forma ( )0 ,x [hay que resolver la ecuación 0)( =xf ]
Es el punto de la forma ( ))0( ,0 f [si )(xf está definida en 0=x ]
Asíntotas:
a) Asíntotas verticales: cx =
b) Asíntotas horizontales: ky =
c) Asíntotas oblicuas: nmxy +=
=→
)(xflímcx
[−+= aaac , , ]
kxflímx
=→
)(
m= 0)(
→ x
xflímx
; n= ])([ mxxflímx
−→
Propiedades de f obtenidas por las derivadas sucesivas
Caracterización
Monotonía:
a) Intervalos de crecimiento
b) Intervalos de decrecimiento
c) Mínimos y/o Máximos
0f
0f
0)( 0 = xf y 0)( 0 xf →En 0xx = se alcanza un mínimo
0)( 0 = xf y 0)( 0 xf →En 0xx = se alcanza un máximo
Curvatura:
a) Intervalos de concavidad ( ) .
b) Intervalos de convexidad ( ) .
c) Puntos de inflexión.
0f
0f
0)( 0 = xf y 0)( 0 xf →En 0xx = hay un punto de inflexión
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15. EJEMPLOS DE ANÁLISIS GRÁFICOS DE FUNCIONES.
▪ Considera una función cuya representación gráfica en el intervalo
( )3 ,3− es la que aparece a la derecha. Haz un esbozo de la gráfica
de la derivada de esta función.
Características gráficas
Expresión de los resultados en términos de
la derivada
)(xf es creciente en ( )2 ,3 −− y en ( )2 ,0 0)( xf en ( )2 ,3 −− y en ( )2 ,0
)(xf es decreciente en ( )0 ,2− y en ( )3 ,2 0)( xf en ( )0 ,2− y en ( )3 ,2
)(xf alcanza los máximos en los puntos de abscisa 2−=x y
2=x
)(xf tiene puntos de corte con los ejes en los
puntos de abscisa 2−=x ; 0=x y 2=x
)(xf alcanza un mínimo en 0=x
)(xf es cóncava en ( )1 ,3 x− y en ( )3 ,2x
)(xf es convexa en ( )21 , xx )(xf tiene un mínimo en 1xx =
)(xf tiene un máximo en 2xx = )(xf tiene dos puntos de inflexión en los puntos de abscisa 1xx =
y 2xx =
CONCLUSIÓN:
▪ Dada la gráfica de )(xh , deduce la monotonía y extremos relativos de
)(xh , así como la curvatura y sus puntos de inflexión, explicando cómo
lo haces.
Características gráficas
Expresión de los resultados en términos de la
función
)(xh es creciente en ( ) ( ) ( )+− ,77 ,62 ,3
)(xh es decreciente en ( ) ( )6 ,23 , −−
Puntos donde )(xh cambia su monotonía. )(xh alcanza un máximo en 2=x
)(xh alcanza dos mínimos, en 3−=x y 6=x
0)( xh 0)( xh 0)( xh 0)( xh
)(xh es cóncava ( ) en ( ) ( )+ ,74 ,0
)(xh es convexa ( ) en ( ) ( )7 ,40 , −
Puntos donde )(xh cambia su curvatura.
)(xh tiene dos puntos de inflexión, en 0=x y
4=x
[Como )7(h no existe, )(xh no tiene un punto de
inflexión en 7=x , aunque cambia su curvatura]
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SELECTIVIDAD 2016
Ejercicio 1
Ejercicio 2
Ejercicio 3
Ejercicio 4
Ejercicio 5
Ejercicio 6
Ejercicio 7
Ejercicio 8
Ejercicio 9
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19
Ejercicio 10
Ejercicio 11
Ejercicio 12
SELECTIVIDAD 2015
Ejercicio 13
Ejercicio 14
Ejercicio 15
Ejercicio 16
Ejercicio 17
Apuntes de Análisis Curso 2019/2020 Esther Madera Lastra
20
Ejercicio 18
Ejercicio 19
Ejercicio 20
Ejercicio 21
Ejercicio 22
Ejercicio 23
Ejercicio 24
SELECTIVIDAD 2014
Ejercicio 25
Apuntes de Análisis Curso 2019/2020 Esther Madera Lastra
21
Ejercicio 26
Ejercicio 27
Ejercicio 28
Ejercicio 29
Ejercicio 30
Ejercicio 31
Ejercicio 32
Ejercicio 33
Apuntes de Análisis Curso 2019/2020 Esther Madera Lastra
22
Ejercicio 34
Ejercicio 35
Ejercicio 36
SELECTIVIDAD 2013
Ejercicio 37
Ejercicio 38
Ejercicio 39
Ejercicio 40
Ejercicio 41
Ejercicio 42
Apuntes de Análisis Curso 2019/2020 Esther Madera Lastra
23
Ejercicio 43
Ejercicio 44
Ejercicio 45
Ejercicio 46
Ejercicio 47
Ejercicio 48
SELECTIVIDAD 2012
Ejercicio 49
Apuntes de Análisis Curso 2019/2020 Esther Madera Lastra
24
Ejercicio 50
Ejercicio 51
Ejercicio 52
Ejercicio 53
Ejercicio 54
Ejercicio 55
Ejercicio 56
Apuntes de Análisis Curso 2019/2020 Esther Madera Lastra
25
Ejercicio 57
Ejercicio 58
Ejercicio 59
Ejercicio 60
SELECTIVIDAD 2017
Ejercicio 61
Ejercicio 62
Ejercicio 63
Apuntes de Análisis Curso 2019/2020 Esther Madera Lastra
26
Ejercicio 64
Ejercicio 65
Ejercicio 66
Ejercicio 67
Ejercicio 68
Ejercicio 69
Ejercicio 70
Ejercicio 71
Ejercicio 72
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