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1º ESO
TEMA 11
ELEMENTOS
GEOMÉTRICOS
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
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1.- PUNTOS Y RECTAS
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Recta: es una línea (no curva) ilimitada en los dos sentidos.
Se representa con letras minúsculas
Por un punto pasan infinitas rectas Por dos puntos pasa sólo una recta
r
Rectas, puntos, semirrectas y segmentos
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1.- PUNTOS Y RECTAS
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Posiciones relativas de dos rectas
Rectas perpendiculares
Las rectas perpendiculares se cortan formando 4 ángulos iguales de 90º
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1.- PUNTOS Y RECTAS
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Tareas Ejercicios: 2 y 3
Trazado de la paralela a una recta por un punto
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Ángulos. Elementos
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Clasificación de los ángulos
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Relación entre los ángulos
Los ángulos opuestos por
el vértice miden lo mismo
Los ángulos complementarios
suman 90º
Los ángulos suplementarios
suman 180º
Los ángulos de lados paralelos son iguales o son suplementarios:
A y B son iguales C y D son suplementarios
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Ejercicios de aplicación
1 Calcula los ángulos que faltan en la siguiente figura:
2 Calcula el complementario y el suplementario de un ángulo de 84º
28º
28º
28º
152º
152º
152º
El complementario es: 90º – 84º = 6º
El suplementario es: 180º – 84º = 96º
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Medida de ángulos: Unidades de medida
- El minuto: Es cada una de las 60 partes en que se divide el grado.
Se representa con el símbolo ´1º = 60´
- El segundo: Es cada una de las 60 partes en que se divide el minuto.Se representa con el símbolo ”
1´ = 60 ”
Por tanto 1º = 60´ = 60.60” = 3 600 ”
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Medidas de ángulos complejas e incomplejas
La medida de ángulos se puede expresar en forma compleja
usando varias unidades.
Por ejemplo: 15º13´27” , 25º47´ , 84º 10” están expresados en forma compleja
También se puede expresar en forma incompleja usando una sola unidad
(minutos o segundos).
Por ejemplo: 3727” , 845´ están expresados en forma incompleja
Paso de forma compleja a incompleja
Por ejemplo, expresemos en segundos el ángulo 15º13´27”
15º13´27” = 54 000” + 780” + 27” = 54 807”
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Medidas de ángulos complejas e incomplejas
Paso de forma incompleja a compleja
Por ejemplo, expresemos en forma compleja el ángulo 3 727”
3 727” = 1º 2´ 7”
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Operaciones con medidas de ángulos
Suma de ángulos
Para sumar ángulos se suman por separado los grados, minutos y segundos.
Por ejemplo, vamos a sumar 36º 54´ 45” + 2º 13´ 26”
2º 13´ 26”
36º 54´ 45”
71”67´38º
Transformamos 60” en 1´ – 60”+1´
38º 68´ 11”
Transformamos 60´ en 1º +1º – 60´
39º 8´ 11”
+
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Operaciones con medidas de ángulos
Resta de ángulos
Para resta ángulos se restan por separado los grados, minutos y segundos.
Por ejemplo, vamos a restar 36º 16´ 23” – 2º 34´ 26”
2º 34´ 26”
36º 16´ 23”No se pueden restar
ni los minutos
ni los segundos
Transformamos 1º en 60´
2º 34´ 26”
35º 76´ 23”
Transformamos 1´ en 60”
2º 34´ 26”
35º 75´ 83”
57”41´33º
– Ahora si se pueden restar
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Operaciones con medidas de ángulos
Producto de un ángulo por un número natural
Para multiplicar un ángulo por un número natural se multiplican por separado los
grados, minutos y segundos por dicho número.
Por ejemplo, vamos a multiplicar 5 . ( 42º 33´ 22” )
x 5
42º 33´ 22”
110”165´210º
Transformamos 60” en 1´ – 60”+1´
210º 166´ 50”
Transformamos 120´ en 2º +2º – 120´
212º 46´ 50”
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2, 3 y 4.- ÁNGULOS. MEDIDA DE ÁNGULOS. OPERACIONES. ÁNGULOS IGUALES
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Operaciones con medidas de ángulos
División de un ángulo entre un número natural
Vamos a dividir ( 46º 17´ 24” ) : 3
Dividimos los grados
Pasamos el resto a minutos
y se lo sumamos a los 17´
1º 60´
Dividimos los minutos
Pasamos el resto a segundos
y se lo sumamos a los 24”
2´ 120”
Dividimos los segundos
El cociente de la división es 48”25´15º
60´ + 17´ = 77´ 120” + 24” = 144”
Tareas Ejercicios: 4 , 12 , 35 , 36 , 37 , 38 y 43
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5.- CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Elementos en la circunferencia
Centro: Punto fijo O
Radio: Segmento que une el centro
con cualquier punto de la circunferencia
Cuerda: Cualquier segmento que une
dos puntos de la circunferencia
Diámetro: Cualquier cuerda que pase
por el centro.
El diámetro mide el doble que el radio
Arco: Cada una de las partes en que
una cuerda divide a la circunferencia.
El círculo está formado por la
circunferencia y la zona interior.
Son los puntos cuya distancia al
centro es menor o igual que el radio
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5.- CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Ángulos en la circunferencia
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5.- CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Ángulos en la circunferencia: Aplicaciones
A
A A
28º
1 Calcula en cada caso la medida del ángulo A
A = 90º pueses un ánguloinscrito que
abarca un arcode 180º
A es la mitadde 76,05º.
Luego A = 38,025º
A es el doble de 28º.Luego A = 56º
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5.- CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Ángulos en la circunferencia: Aplicaciones
AA
2 Calcula en cada caso la medida del ángulo A
La circunferencia está dividida en 7 arcos iguales.
Cada arco mide:360º : 7 = 51,4º
El ángulo A abarca 4 arcos: 51,4º . 4 = 205,6º
A es la mitad: A = 205,6º : 2 = 102,8º
La circunferencia está dividida en 5 arcos iguales.
Cada arco mide 360º : 5 = 72ºEl ángulo A abarca 3 arcos:
72º . 3 = 216ºA es la mitad:
A = 216º : 2 = 108º
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5.- CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Ángulos en la circunferencia: Aplicaciones
3 Una circunferencia se ha dividido en arcos iguales.
Cada arco mide 18º. ¿Cuántos arcos hay?
18º
Para hallar el número de arcos se divide el ángulo completo, que son 360º, entre la medida del arco, que son 18º
360º : 18º = 20 arcos
Tareas Ejercicios: 14 , 16 , 47 , 48
49 , 52 , 60 , 61 y 63
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6.- POSICIONES DE UNA RECTA Y DE UNA CIRCUNFERENCIA
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Tareas Ejercicios: 21 , 22 , 24 , 45 y 64
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7.- MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
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7.- MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Construcción de la mediatriz
Tareas Ejercicios: 26 , 27 y 59
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8.- BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
La bisectriz divide al
ángulo en dos
ángulos iguales
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8.- BISECTRIZ DE UN ÁNGULO
PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES
Construcción de la bisectriz
Tareas Ejercicios: 28 y 54
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