06 producto punto (ccir-itesm)
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Producto Punto en Rn
Departamento de Matematicas, CCIR/ITESM
18 de julio de 2009
Indice
6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3. Producto punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4. Ortogonalidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.5. Longitud o norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.6. Distancia entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.7. Vector unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36.8. Angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.9. Proyeccion ortogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46.10. Componente vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.11. Propiedades del Producto Punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56.12. Desigualdad de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.13. Desigualdad del Triangulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66.14. Teorema de Pitagoras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
6.1. Introduccion
En este apartado se introduce el concepto producto punto entre vectores en el espacio n-dimensionalası como toda una serie de conceptos relaciones con aspectos geometricos.
6.2. Objetivos
Sera importante que Usted
conozca y opere con producto punto entre vectores en el espacio n-dimensional, y
conozca y opere ciertos conceptos geometricos relacionados con el producto punto.
6.3. Producto punto
Definicion 6.1
Sean ~u =< u1, u2, · · · , un >, y ~v =< v1, v2, · · · , vn > dos vectores cualquiera en Rn. El producto Punto, oproducto escalar, de ~u y ~v se define como
~u • ~v = u1 v1 + u2 v2 + · · · + un vn (1)
Ejemplo 6.1
Determine el producto punto entre los vectores:
v =< 2, 3,−4 > y v =< 2,−1,−1 >
Solucion
De la propia definicion del producto punto:
23
−4
•
2−1−1
= (2) · (2) + (3) · (−1) + (−4) · (−1)
= 4 − 3 + 4 = 5�
Nota
Es importante observar que el producto punto es solo entre vectores de la misma dimension: No entre unescalar y un vector; No entre dos vectores de diferente dimension. Tambien debe observarse que el resultadodel producto punto es un escalar, no un vector.
Ejemplo 6.2
Indique cuales opciones contienen operaciones indefinidas:
1. ~u • (~v • ~w) 2. ~u • ~u + 23. (~u • ~v)~w 4. ~u • (3~v)
5. (~u • ~u)3 6. ~u • (3 + ~w)7. (~u • ~v)(~v • ~w)
Solucion
1. Indefinida porque (~v • ~w) es un escalar.2. Definida porque es una suma entre escalares.3. Definida porque es un escalar por un vector.4. Definida.5. Definida: es un escalar al cubo.6. Indefinida: lo que falla es la suma de escalar con vector.7. Definida: es un producto entre escalares �
6.4. Ortogonalidad
Definicion 6.2
Dos vectores ~u y ~v, se dice que son vectores ortogonales, si
~u • ~v = 0 (2)
Ejemplo 6.3
Diga si las siguientes parejas de vectores son o no ortogonales:
u1 =< 2, 3,−4 > y u2 =< 1, 2, 3 >v1 =< 2, 3 > y v2 =< −3, 2 >
Solucion
Los vectores < 2, 3,−4 > y < 1, 2, 3 > no son ortogonales debido a que
< 2, 3,−4 > • < 1, 2, 3 >= (2) · (1) + (3) · (2) + (−4) · (3) = −4 6= 0
2
Los vectores < 2, 3 > y < −3, 2 > sı son ortogonales debido a que:
< 2, 3 > • < −3, 2 >= (2) · (−3) + (3) · (2) = 0�
6.5. Longitud o norma
Definicion 6.3
La norma de un vector ~u se define como
‖~u‖ =√
~u • ~u =√
u12 + · · ·un
2 (3)
Ejemplo 6.4
Determine la norma del vector:v =< 2,−3, 1 >
Solucion
Directamente de la defincion:
‖ < 2,−3, 1 > ‖ =√
(2) · (2) + (−3) · (−3) + (1) · (1)
=√
14 �
6.6. Distancia entre vectores
Definicion 6.4
La distancia euclidiana entre los vectores ~u y ~v, se define como
d~u,~v = ‖~u − ~v‖ (4)
Ejemplo 6.5
Determine la distancia entre el punto P (2, 3, 0) y el punto Q = (0, 6,−1).Solucion
Directamente de la definicion tenemos:
d~P , ~Q= ‖ < 2, 3, 0 > − < 0, 6,−1 > ‖= ‖ < 2,−3, 1 > ‖=
√
22 + (−3)2 + 12
=√
14 �
6.7. Vector unitario
Definicion 6.5
Un vector ~u se dice vector unitario, o simplemente unitario, si
‖~u‖ = 1 (5)
3
Ejemplo 6.6
Diga si los siguientes vectores son unitarios:
u =< 1, 2 > y v =< 1/√
2,−1/√
2 >
Solucion
El vector < 1, 2 > no es unitario debido a que:
‖ < 1, 2 > ‖ =√
< 1, 2 > • < 1, 2 > =√
1 + 4 6= 1
Mientras que el vector < 1/√
2,−1/√
2 > sı es unitario porque:
‖ < 1/√
2,−1/√
2 > ‖ =√
1/2 + 1/2 = 1�
6.8. Angulo entre vectores
Definicion 6.6
El angulo entre vectores ~u y ~v, se define como el unico numero θ (0 ≤ θ ≤ π)que cumple
cos (θ) =~u • ~v
‖~u‖ ‖~v‖ (6)
Ejemplo 6.7
Determine el angulo entre los vectores ~P =< 1, 2 > y ~Q =< 1,−1 >.Solucion
Como~P • ~Q = 1 − 2 = −1, ‖~P‖ =
√5, ‖ ~Q‖ =
√2
De donde:
cos (θ) =~P • ~Q
‖~P‖ · ‖ ~Q‖=
−1√10
≈= −0.31622,
de dondeθ ≈ 1.8925(en radianes), θ ≈ 108.43o
�
6.9. Proyeccion ortogonal
Definicion 6.7
Sean ~u y ~v dos vectores en Rn, ninguno de los dos el vector cero, La proyeccion ortogonal de ~u sobre ~v se definecomo el vector
~upr,~v =
(
~u • ~v
~v • ~v
)
~v. (7)
En la figura 1 se ilustra la proyeccion ortogonal de un vector sobre otro.Ejemplo 6.8
Determine la proyeccion de ~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >.
4
Componentes de un vector
0
0.5
1
1.5
2
–1
–0.5 0.5 1 1.5 2
Figura 1: Proyeccion Ortogonal
Solucion
Como~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2
Ası
~upr,~v =3
2< 1, 1 >=<
3
2,3
2> �
6.10. Componente vectorial
Definicion 6.8
La componente vectorial de ~u ortogonal a ~v se define como el vector
~uc,~v = ~u −(
~u • ~v
~v • ~v
)
~v (8)
En la figura 2 se ilustra la componente vectorial sobre un vector.
Ejemplo 6.9
Determine la componente ortogonal de ~u =< 1, 2 > sobre ~v =< 1, 1 >.
Solucion
Como~u • ~v = 3, ~v • ~v = 2
Ası
~uc~v =< 1, 2 > −3
2< 1, 1 >=< −1
2,1
2>
6.11. Propiedades del Producto Punto
Para cualquier vectores ~u, ~v, y ~w en Rn y escalar c se cumple
5
Componentes de un vector
0
0.5
1
1.5
2
–1
–0.5 0.5 1 1.5 2
Figura 2: Componente vectorial
1 Simetrıa:~u • ~v = ~v • ~u (9)
2 Aditividad:~u • (~v + ~w) = ~u • ~v + ~u • ~w (10)
3. Homogeneidad:
c (~u • ~v) = (c ~u) • ~v = ~u • (c~v) (11)
4. Positividad:~u • ~u ≥ 0 (12)
Ademas,
~u • ~u = 0 si y solo si ~u = ~0 (13)
6.12. Desigualdad de Cauchy-Schwarz
Teorema
Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn se cumple
|~u • ~v| ≤ ‖~u‖ ‖~v‖ (14)
Ademas, la igualdad se cumple si y solo si los vectores ~u y ~v son multiplos escalares entre sı.
El resultado anterior se conoce como la desigualdad de Cauchy-Schwarz.
6.13. Desigualdad del Triangulo
Teorema
Para cualquiera dos vectores ~u y ~v en Rn se cumple
‖~u + ~v‖ ≤ ‖~u‖ + ‖~v‖. (15)
El resultado anterior se conoce como la desigualdad del triangulo.
6
6.14. Teorema de Pitagoras
Teorema
Los vectores ~u y ~v son ortogonales si y solo si se cumple
‖~u + ~v‖2 = ‖~u‖2 + ‖~v‖2. (16)
El resultado anterior se conoce como el Teorema de Pitagoras.
7
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