06 distribución binomial
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Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto
Ing. Julio Carreto 2
Una persona arroja 1 dado apostando con otro a que saca un as. La probabilidad de sacar el as es igual a:
La Distribución Binomial
...1666,061 =
Ing. Julio Carreto 3
Es decir que la probabilidad que tiene de acertar es 17 % aproximadamente.
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 4
Ahora, supongamos que la persona arroja 5 dados iguales a la vez. ¿Cuál es la probabilidad de que saque 0, 1, 2, 3... ases?.
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 5
La Distribución Binomial
0 As
Ing. Julio Carreto 6
La Distribución Binomial
1 As
Ing. Julio Carreto 7
La Distribución Binomial
2 Ases
Ing. Julio Carreto 8
La Distribución Binomial
3 Ases
Ing. Julio Carreto 9
La Distribución Binomial
4 Ases
Ing. Julio Carreto 10
La Distribución Binomial
5 Ases
Ing. Julio Carreto 11
¿Es tan probable sacar 1 ó 2 ases como sacar 5 ases?.
A priori parecería que no.
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 12
Cuando realizamos una experiencia individual donde el resultado debe ser sólo uno de dos posibles: acierto/fallo, cara/cruz, etc. decimos que es un ensayo de Bernouilli.
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 13
En nuestro caso, cada vez que arrojamos un dado podemos definir nuestro experimento registrando sólo dos resultados posibles:
La Distribución Binomial
Ningún As
Un As
Ing. Julio Carreto 14
Cada acto individual de arrojar un dado es independiente de los otros y la probabilidad de obtener un as es:
La Distribución Binomial
61
Ing. Julio Carreto 15
Y la probabilidad de obtener cualquier otro resultado que no sea un as es:
La Distribución Binomial
6
5
Ing. Julio Carreto 16
Entonces, cuando arrojamos 5 dados, la probabilidad de obtener 5 ases es:
La Distribución Binomial
=⋅⋅⋅⋅=61
61
61
61
61
)5( asesP
00013,07776
1 ≈=
Ing. Julio Carreto 17
La probabilidad de no tener ningún as (0 ases) también podemos calcularla, porque al arrojar un sólo dado, la probabilidad de que no salga un as es:
La Distribución Binomial
65
Ing. Julio Carreto 18
Y la probabilidad de no obtener ningún As en los 5 dados arrojados es:
La Distribución Binomial
=⋅⋅⋅⋅=65
65
65
65
65
)0( asP
402,077763125 ≈=
Ing. Julio Carreto 19
Nos falta calcular las probabilidades intermedias, es decir la probabilidad de obtener 1, 2, 3...ases. Es posible calcular todas estas probabilidades con una fórmula binomial.
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 20
La Distribución Binomial
¿Cuál es la probabilidad de sacar 1 As al arrojar 5 dados?
Por ejemplo, una forma es que salga un As en el primer dado:
Ing. Julio Carreto 21
La probabilidad de sacar 1 As en el primer dado y no sacar As en los otros cuatro es:
La Distribución Binomial
=⋅⋅⋅⋅=6
5
6
5
6
5
6
5
6
1)as1(P
Probabilidad
de no sacar As
Probabilidad
de sacar 1 As
Ing. Julio Carreto 22
Pero hay 5 formas diferentes de obtener 1 As en cinco dados arrojados:
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 23
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 24
Por lo tanto, la probabilidad de sacar 1 As al arrojar 5 dados es:
La Distribución Binomial
=⋅⋅⋅⋅⋅=6
5
6
5
6
5
6
5
6
15)as1(P
Probabilidades
de no sacar As
Probabilidad
de sacar 1 As
Nº de formas
de sacar 1 As
Ing. Julio Carreto 25
Para calcular la probabilidad de obtener 1 As en cinco dados arrojados debemos calcular:
➊ La probabilidad de que en cinco dados arrojados uno de ellos sea un As y los otros cuatro no sean As.
➋ El número de combinaciones diferentes en que se puede dar esa situación: un As en cinco dados.
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 26
➊ Hemos visto como hacer lo primero:
La Distribución Binomial
=⋅⋅⋅⋅⋅=6
5
6
5
6
5
6
5
6
15)as1(P
Cálculo de la Probabilidad de
obtener 1 As al arrojar cinco dados
Ing. Julio Carreto 27
La Distribución Binomial
=⋅⋅⋅⋅⋅=6
5
6
5
6
5
6
5
6
15)as1(P
Nº de formas diferentes de
obtener 1 As al arrojar cinco dados
➋ Y sabemos que hay cinco maneras diferentes de obtener un As en cinco dados arrojados:
Ing. Julio Carreto 28
¿Cómo podemos generalizar el cálculo de las distintas formas de obtener 1 As, 2 Ases, etc. en cinco dados arrojados?
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 29
La respuesta la dan los números combinatorios:
La Distribución Binomial
( ) =mn )!(!
!nmn
m−⋅
Ing. Julio Carreto 30
donde
La Distribución Binomial
mm ⋅⋅⋅= ....321!
nn ⋅⋅⋅= ....321!
son el factorial de m y de n respectivamente.
Ing. Julio Carreto 31
La expresión representa el número de combinaciones de m elementos tomados de a n (agrupados de a n).
La Distribución Binomial
( ) =mn )!(!
!nmn
m−⋅
Ing. Julio Carreto 32
Por ejemplo, si tenemos las 5 letras A, B, C, D y E, y queremos saber cuantas son todas las combinaciones posibles agrupándolas de a tres en cualquier orden: ABC, ADC, ...etc., hacemos el cálculo siguiente:
La Distribución Binomial
( ) =53
10)!35(!3
!5 =−⋅
Ing. Julio Carreto 33
La Distribución Binomial
ABC DBC EBC ADCAEC
ABD ABE DEC DBEADE
ABCDE
Todas las combinaciones agrupando de a tres
Total de Letras
Ing. Julio Carreto 34
Supongamos que se realizan n ensayos de Bernoulli, con probabilidad p de tener un acierto (Probabilidad 1-p de tener un fallo).
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 35
Entonces, la probabilidad de obtener y aciertos en n ensayos de Bernouilli es:
La Distribución Binomial
( ) =⋅⋅= −YnYnY qpYP )(
YnY qpYnY
n −⋅⋅−⋅
=)!(!
!
Ing. Julio Carreto 36
Esta probabilidad es un término del binomio siguiente:
La Distribución Binomial
( ) ( )∑=
−⋅⋅=+n
Y
YnYnY
n qpqp0
Ing. Julio Carreto 37
donde
La Distribución Binomial
porque en un ensayo de Bernouilli ambos eventos acierto/fallo se excluyen mutuamente, es decir, ocurre un acierto o un fallo, pero nunca ambos simultáneamente.
1=+ qp
Ing. Julio Carreto 38
Los términos de la suma son las probabilidades P(y), que determinan la distribución de probabilidades de la variable aleatoria y, la cual es una variable discreta (toma los valores 0, 1, 2, ...etc.).
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 39
Aplicando la fórmula al caso de 5 dados:
La Distribución Binomial
( ) =
⋅
⋅=
−Y5Y5Y 6
5
6
1)Y(P
Y5Y
6
5
6
1
)!Y5(!Y
!5−
⋅
⋅
−⋅=
Ing. Julio Carreto 40
La probabilidad de no sacar ningún As es:
La Distribución Binomial
( ) =
⋅
⋅=
−05050 6
5
6
1)0(P
402.06
5
6
1
)!05(!0
!5050
=
⋅
⋅
−⋅=
−
Ing. Julio Carreto 41
La probabilidad de obtener 1 As:
La Distribución Binomial
( ) =
⋅
⋅=
−15151 6
5
6
1)1(P
402.06
5
6
1
)!15(!1
!5151
=
⋅
⋅
−⋅=
−
Ing. Julio Carreto 42
La probabilidad de obtener 2 Ases:
La Distribución Binomial
( ) =
⋅
⋅=
−25252 6
5
6
1)2(P
161.06
5
6
1
)!25(!2
!5252
=
⋅
⋅
−⋅=
−
Ing. Julio Carreto 43
La probabilidad de obtener 3 Ases:
La Distribución Binomial
( ) =
⋅
⋅=
−35353 6
5
6
1)3(P
032.06
5
6
1
)!35(!3
!5353
=
⋅
⋅
−⋅=
−
Ing. Julio Carreto 44
La probabilidad de obtener 4 Ases:
La Distribución Binomial
( ) =
⋅
⋅=
−45454 6
5
6
1)4(P
003.06
5
6
1
)!45(!4
!5454
=
⋅
⋅
−⋅=
−
Ing. Julio Carreto 45
Y la probabilidad de obtener 5 Ases:
La Distribución Binomial
( ) =
⋅
⋅=
−55555 6
5
6
1)5(P
0001.06
5
6
1
)!55(!5
!5555
=
⋅
⋅
−⋅=
−
Ing. Julio Carreto 46
Resumiendo en una tabla:
La Distribución Binomial
Y P0 0,4021 0,4022 0,1613 0,0324 0,0035 0,0001
Ing. Julio Carreto 47
La Distribución Binomial
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
0 As 1 As 2 Ases 3 Ases 4 Ases 5 Ases
P(Y
)
Ing. Julio Carreto 48
¿Cuál es el promedio de la variable aleatoria Y ?
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 49
La media de la variable aleatoria Y es:
La Distribución Binomial
pny ⋅=
Ing. Julio Carreto 50
La varianza de Y es:
La Distribución Binomial
qpn2 ⋅⋅=σ
Ing. Julio Carreto 51
Y entonces la desviación standard resulta:
La Distribución Binomial
qpn ⋅⋅=σ
Ing. Julio Carreto 52
En la experiencia de arrojar 5 dados:
La Distribución Binomial
83.06
15y =⋅=
Ing. Julio Carreto 53
¿Cómo interpretamos este resultado?
Si bien el promedio resulta un valor fraccionario, nos está diciendo que al arrojar los cinco dados estaremos más cerca de sacar 1 As que de sacar 2 o más ases.
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 54
De una manera más rigurosa, ese valor nos dice que si se repitiera la experiencia muchas veces, el promedio del número de ases que se obtendría en todos los experimentos sería igual a 0.83
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 55
La varianza de Y resulta:
La Distribución Binomial
69.06
5
6
152 =⋅⋅=σ
Ing. Julio Carreto 56
Y la desviación standard:
La Distribución Binomial
83.06
5
6
15 =⋅⋅=σ
Ing. Julio Carreto 57
Volvamos, ahora a nuestro apostador. Supongamos que arroja 5 dados y apuesta a que va a sacar 3 o más ases.
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 58
¿Cuál es la probabilidad que tiene de ganar? Esta probabilidad es la suma de los términos del binomio para 3, 4 y 5 aciertos (ases), es decir:
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 59
La Distribución Binomial
0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0
0 As 1 As 2 Ases 3 Ases 4 Ases 5 Ases
P(Y
) Probabilidad de
obtener 3 o más Ases
Ing. Julio Carreto 60
La Distribución Binomial
( ) ( )∑=
−
≈
⋅
⋅=≥
5
3
55 035.0
65
61
3Y
YY
YYP
Ing. Julio Carreto 61
Quiere decir que la probabilidad de ganar es aproximadamente del 3,5 %.
La Distribución Binomial
Ing. Julio Carreto 62
Fin de la
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