03_mÉtodo para elaborar una envolvente de fases
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Mtodo para elaborar una envolvente de fases para
mezclas multi-componente optimizando la solucin
en la cercana del punto crticoIng. Hctor Erick Gallardo Ferrera
M. en I. Alfredo Len Garca
Dr. Fernando Samaniego Verduzco
Resumen
En ste trabajo se discute una metodologa para la construccin completa de unaenvolvente de fases vapor-lquido de manera estable y precisa, mediante el
clculo de una variable de saturacin presin o temperaturay haciendo uso de
una modificacin al mtodo de Newton-Raphson. Se presentan algunos casos
para la validacin de ste mtodo, utilizando para ello un algoritmo computacional
desarrollado en ste estudio para simplificar los clculos y facilitar el anlisis.
Introduccin
Conocer el comportamiento de las fases de los fluidos petroleros es indispensable
para poder llevar a cabo diversas actividades en la industria, como el diseo de
instalaciones de produccin, la estimacin de los volmenes originales de
hidrocarburos en un campo, o la simulacin del comportamiento de los
yacimientos, por mencionar algunas1. Por ello, al ingeniero petrolero le resulta de
gran inters contar con un diagrama pT representativo de los fluidos que existenen un yacimiento.
Para obtener estas envolventes de fase es necesario realizar costosas mediciones
de laboratorio con equipos PVT2. Aunado a esto, dado que la explotacin de un
campo petrolero se realiza mediante la extraccin de materia, los resultados
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obtenidos en el laboratorio sern estrictamente vlidos mientras se conserve la
composicin de la mezcla utilizada para las mediciones. En la prctica, esto
nicamente se cumple en los yacimientos de gas y en los de aceite bajo-saturado;
ya que al emerger una nueva fase en la mezcla de hidrocarburos, la otra
comenzar a sufrir un proceso de empobrecimiento que ocasiona cambios en la
composicin de los fluidos del yacimiento1.
Dadas las herramientas de cmputo actuales (una vez que se cuenta con un PVT
consistente y validado para calibrar el proceso3, 4), es posible, partiendo del
anlisis composicional de los fluidos y haciendo uso de algunas correlaciones para
caracterizar a la fraccin C7+; resolver las ecuaciones de equilibrio termodinmico
y generar las envolventes pT cuando sea requerido.
ste trabajo presenta una modificacin al mtodo de NewtonRaphson de una
variable para el clculo del equilibrio de fases en las vecindades del punto crtico,
misma que se basa en el comportamiento de las constantes de equilibrio y la
relacin entre las fugacidades de los componentes en dicha regin. Otro objetivo
de ste trabajo es mostrar algunas expresiones requeridas para calcular la funcin
derivada del mtodo.
Planteamiento del problema
Diversas metodologas han sido presentadas en la literatura para la construccin
de envolventes de fases mediante el uso de Ecuaciones de Estado Cbicas
(EDECs)5, 6, 7. No obstante, los clculos de equilibrio lquidovapor para mezclas
multi-componentes suelen presentar dificultades en las regiones cercanas al punto
crtico, debido a la dificultad para discernir entre una solucin nica4, 5, 7.
Para corregir los problemas de convergencia en las regiones crticas y retrogradases comn utilizar mtodos iterativos multi-variable (Michelsen, 1980), generando
algoritmos de solucin robustos y de convergencia acelerada7. Otra manera de
solucionar estos problemas se encuentra, para mtodos iterativos de una sola
variable, al reducir el tamao del paso de la variable independiente en las
cercanas al punto crtico (Ziervogel y Poling, 1982).
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Sin embargo, de acuerdo a la complejidad de la mezcla analizada, al utilizar el
mtodo de NewtonRaphson es comn encontrar que los errores de convergencia
persisten pese al tamao del paso elegido. Esto se debe a la inestabilidad
numrica que puede presentarse en la funcin derivada utilizada por el mtodo.
Como una alternativa adicional, se propone el uso de una funcin derivada ms
estable partiendo del anlisis del comportamiento de las constantes de equilibrio a
lo largo de la trayectoria descrita por el proceso.
Para facilitar los clculos requeridos, se desarroll una aplicacin capaz de
calcular la envolvente de fases de una mezcla mediante las EDECs de Soave
RedlichKwong (SRK, 1972) y PengRobinson (PR, 1976), emplendose los
coeficientes de interaccin binaria y de traslacin volumtrica de la monografa deWitson y Brul4.
Anlisis del problema
Usualmente el comportamiento de las constantes de equilibrio se realiza
graficndolas en escala doble logartmica contra la presin (considerando para ello
una temperatura constante), como se muestra en la Figura 1. ste grafico permite
identificar dos caractersticas notorias: ( 1 ) Que a bajas presiones la pendiente delas curvas es aproximadamente menos uno, y ( 2 ) que conforme la presin
incrementa las constantes tienden a converger a la unidad.
Figura 1. Comportamiento de algunas constantes de equilibrio determinadas a780R para un sistema de hidrocarburos.
0.10
1.00
10.00
500 5000
Ki
Presin [psia]
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En realidad para ste anlisis, las constantes de equilibrio slo pueden
converger si la temperatura corresponde a la del punto crtico, ya que slo en
estas coordenadas () la composicin de las fases delsistema es la misma; en otro caso, si la temperatura no corresponde a la del
estado crtico de la mezcla, es imposible que las curvas converjan a una presin.
En los clculos del equilibrio termodinmico para un diagrama de fases, la
trayectoria descrita no refiere a un proceso isotrmico, ya que el objetivo es
determinar las condiciones de saturacin para las que se tiene una determinada
cantidad de moles en estado lquido y gaseoso; y conforme los clculos
evolucionan, estos se aproximan al punto crtico y las constantes convergen a la
unidad. Por esta razn se encontr conveniente graficar tanto el comportamiento
que describen las curvas respecto de la presin y de la temperatura para cada
trayectoria estudiada.
Las Figuras 2a y 2b muestran los grficos de las constantes de equilibrio a lo
largo de la curva de burbujeo de una envolvente, mientras que las Figuras 3a y
3blo hacen a travs de la curva de roco. Aqu puede observarse que, no obstante
el efecto que presentan las curvas debido a la regin retrograda, las constantes
convergen a en el punto crtico, y justamente en las vecindades a ste valor
(regin crtica en adelante), las constantes se encuentran muy prximas entre s.
El comportamiento observado en la regin crtica es la base del planteamiento
propuesto en ste trabajo.
Metodologa de clculo
Partiendo de la composicin molar de la mezcla ( ), suponiendo questa se encuentra constituida de
moles de composicin (
) en
una fase y moles de composicin ( ) en una fase ; las siguientesexpresiones deben satisfacerse a condiciones de equilibrio:
........................................................................................ ............................................................................................................
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a.
b.
Figura 2. Comportamiento de las constantes de equilibrio a. respecto a latemperatura y b. respecto a la presin de burbuja para la mezcla 2A.
............................................... ............................................... Lo que puede expresarse como una combinacin lineal de las Ecs. 3 y 4 (Rachford
y Rice, 1952), y quedar como funciones de las variables de iteracin y las
restricciones establecidas para cada solucin:
........................................... ( ) .......................................................... donde es el vector de variables dependientes, cuya solucin describe un puntode la envolvente; y es el vector de especificaciones. .................................................................................................
1.E-03
1.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
500 1000
Ki
Temperatura - R
1.E-05
1.E-04
1.E-031.E-02
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
500 1000 2000
K
i
Presin [psia]
-
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a.
b.
Figura 3. Comportamiento de las constantes de equilibrio a. respecto a la presin yb. respecto a la temperatura de roco para la mezcla 2A.
....................................................................................................... Simplificando la problemtica para obtener nicamente la envolvente, para el caso
de los puntos de burbuja (cuando ) se tiene que, ........................................................................... y para los puntos de roco (cuando ), ......................................................................... Para obtener una solucin particular, debe adicionarse una ecuacin de restriccin
adicional en trminos de las variables independientes
1.E-01
1.E+00
1.E+01
500 1000
Ki
Presin [psia]
1.E-01
1.E+00
1.E+01
1.E+02
1.E+03
700
K
Temperatura [R]1000
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............................................................................................... y proponer una estimacin inicial del vector de soluciones.
Ahora bien, partiendo del mtodo iterativo de NewtonRaphson, se plantea que
una mejor estimacin del vector de soluciones se obtiene de ............................................................................................. dondees la matriz Jacobiana en .Para asegurar la estabilidad de ste algoritmo (Michelsen, 1980), debe usarse la
funcin derivada de mayor magnitud en la iteracin, es decir, aquella presente la
mayor variacin respecto a las variables de presin o Temperatura.
sta metodologa puede ser simplificada a un algoritmo de iteracin de una
variable al definir la pendiente adimensional de la envolvente como:
| | .......................................................................................................... Con lo que, de acuerdo al criterio establecido por Ziervogel y Poling (1982), se
asegura que la mayor variacin de la derivada se tiene respecto a la presin
cuando , y debern calcularse las presiones de burbuja o roco; mientras quecuando la funcin derivada presentar los mayores cambios respecto a latemperatura, debindose calcular las temperaturas de burbuja o roco. Entonces,
la Ec. 12 puede reducirse, para usar un algoritmo de una sola variable, a:
........................................................................................ Siendo la variable de iteracin la presin o temperatura que queda libre de larestriccin en la Ec. 11. As, las ecuaciones requeridas para obtener una solucin
en el punto de burbuja son:
.................................................................................................. ................................................................................
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y para soluciones en el punto de roco,
...............................................................................................
.................................................................
Los valores de pueden obtenerse de manera analtica de las definicionesde las fugacidades para cada EDEC, o de forma numrica mediante esquemas
explcitos de diferencias finitas centradas. Aqu debe sealarse que, si bien
pueden utilizarse mtodos progresivas o regresivas para obtener el valor de la
derivada de manera numrica, por la inestabilidad asociada no se recomienda su
uso para estos problemas.
El Apndice A de ste trabajo discute un procedimiento de clculo de ; elApndice B incluye las expresiones requeridas para obtener las derivadas
analticas de la EDEC de SRK; y el Apndice C describe un algoritmo para el
clculo numrico explcito propuesto para el clculo de mediantediferencias centrales.
La convergencia local del mtodo elegido depende de la correcta eleccin de la
variable a iterar y de la calidad de la estimacin inicial del vector de variablesdependientes, ; por lo que debe analizarse el comportamiento de la pendienteadimensional de la envolvente p T de al menos los ltimos tres resultados
previos en cada nuevo ciclo iterativo, tambin se deben iniciar los clculos a
condiciones de presin y temperatura bajas, donde el mtodo es ms estable y
converge rpidamente a la solucin.
Dado que a condiciones de presin y temperatura relativamente bajas el
comportamiento de las constantes de equilibrio es semejante al ideal, una buenaaproximacin para el valor inicial requerido por el algoritmo puede obtenerse
mediante la correlacin de Wilson1, 3, 5, 6, 7, 8. Adems, dado el comportamiento
suave de las curvas, se aproxima el vector de soluciones en cada nuevo ciclo
iterativo con los resultados de los clculos previos.
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Descripcin del proceso
Para calcular una envolvente de fase, se estableci como variable de iteracin
inicial a la presin en los clculos para la curva de burbujeo, y a la temperatura
para los puntos de roco. La aplicacin incluy rutinas para el clculo analtico ynumrico de las funciones derivadas. La tolerancia se defini globalmente como
lejos del punto crtico, disminuyendo a en la regin crtica parano afectar la estabilidad y convergencia del mtodo.
La cercana a la regin crtica se determin, en funcin de los valores de los
factores de compresibilidad Z de las fases lquida y vapor, como:
| | .................................................................................................................
donde, las vecindades al punto crtico se ubicaron cuando tuviera valoresmenores o iguales a 0.1. ste criterio parte del anlisis del comportamiento de
fases para componentes puros (utilizados para probar el programa), como se
muestra en la Figura 4.
Figura 4. Envolvente de fase P Z del n-octano en escala semi-logartmica, ydiagrama de la presin de vapor.
El paso de la variable independiente se fijen funcin de en una unidad (o segn el caso), disminuyendo hasta 0.5 unidades en la regin crtica. Lascoordenadas del punto crtico se encuentran mediante la interseccin de las
curvas de roco y burbuja.
0.0
50.0
100.0
150.0
200.0
250.0
300.0
350.0
400.0
1.E-06 1.E-05 1.E-04 1.E-03 1.E-02 1.E-01 1.E+00
Presin[
psi
a]
Factor Z
0.0
100.0200.0
300.0
400.0
600 800 1000
Presin
[psia
Temperatura - R
-
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Para caracterizar a la fraccin C7+se utiliz un mdulo externo.
Resultados
Al computar los datos con la metodologa descrita para las mezclas multi-
componente listadas en la Tabla 1; las mezclas ms complejas mostraron
inestabilidades que dificultaban la convergencia del mtodo en la regin crtica de
la envolvente. Las propiedades crticas y el factor acntrico de la fraccin C 7+
utilizadas para los clculos de las mezclas 2A a 4 se muestran en la Tabla 2.
De acuerdo a la metodologa de Ziervogel y Poling, se disminuy el paso de la
variable independiente en la regin crtica hasta 0.01 unidades, adems, se
modificaron los criterios de
, ampliando la ventana crtica para evitar
inestabilidades debidas a la propagacin de errores en el algoritmo; no obstante,
los problemas de convergencia persistieron en mezclas cuyas composiciones
incluan componentes no hidrocarburos. La Figura5muestra el intento realizado
para obtener la envolvente de la mezcla 2 con un paso de 0.01 unidades.
Figura 5. Intento de clculo de la envolvente de la mezcla 2A con el algoritmo deZiervogel y Poling y paso en la variable independiente de 0.01 unidades (EDEC PR).
Para resolver la problemtica se aplic una modificacin al mtodo de Newton
Raphson basada en el comportamiento de las constantes de equilibrio discutido
con anterioridaden la regin crtica. Se observ que la pendiente de las curvas
en la regin crtica era similar entre los componentes, y que la mayor variacin de
0
200
400
600
800
10001200
1400
1600
1800
200 400 600 800 1000 1200 1400
Temperatura [R]
Presin[
psia]
A (0830.01, 1524.78)
B (0898.33, 1054.01)
Pcr(1593.51, 758.01)Tcr(0899.93, 954.00)
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la funcin derivada al hacer los clculos se observaba en aquellos componentes
cuya relacin de fugacidades normalizada era menor. Fsicamente, esto relaciona
la variacin de la derivada con la afinidad de un componente por alguna de las dos
fases.
Con base en lo anterior, se plantea que en los clculos de la curva de burbuja en
la regin crtica:
( )
..................................................................................
Y para los clculos de los puntos de roco:
( )
..................................................................
donde el subndice hace referencia al componente con la menor relacin defugacidades normalizada, que puede obtenerse para los puntos de burbuja como:
........................................................................................................ Y para los de roco como:
.......................................................................................................... En teora, una vez alcanzadas las condiciones de equilibrio, dado que no habr
transferencia entre los componentes, el valor de ser cero y cualquier derivadapodr satisfacer el algoritmo planteado.
La Figura 6a muestra los resultados obtenidos al incluir las Ecs. 20 23 en la
aplicacin desarrollada y usando la ecuacin de Peng-Robinson, y la Figura 6bmuestra los resultados obtenidos mediante el uso de un paquete comercial.
Para considerar valido el procedimiento de clculo, los valores computados
mediante la aplicacin desarrollada y el programa comercial deben ser idnticos, y
de hecho son bastante parecidos.
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a.
b.
Figura 6. Diagramas de fases de la mezcla 2A a. calculado mediante con laaplicacin desarrollada y b. mediante una aplicacin comercial (EDEC PR).
La composicin 2B, cuya envolvente es presentada en la Figura 7, se incluye para
resaltar la importancia de caracterizar al pseudocomponente C7+. Al comparar las
Figuras 7 y 8 puede observarse la manera en que los parmetros utilizados
afectan la solucin obtenida.
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
200 300 400 500 600 700 800 900
Pressure
.p
sia
Temperature - R
Pc (0882.77, 1280.49)
pcr(1593.51, 0758.01)Tcr(0899.93, 0954.00)
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Figura 7. Diagrama de envolvente de fase de la mezcla 2B (EDEC PR).
Los diagramas de las mezclas 1, 3 y 4 (obtenidos mediante la EDEC de SRK) se
muestran en las Figuras 8a, 8b y 8c respectivamente. Las propiedades crticas de
dichas envolventes se reportan en la Figura 8d.
Tabla 1. Composiciones (fracciones molares) de los sistemas multicomponenteestudiados.
ComponenteMezcla
1 2A 2B 3 4
N2 0.01320 0.00340 0.00230
CO2 0.01640 0.02150 0.02446
H2S 0.00260 0.00700 0.00893
C1 0.29580 0.30840 0.34029
C2 0.08630 0.09850 0.11138
C3 0.20000 0.06370 0.07050 0.07565
i-C4 0.10000 0.01180 0.01330 0.01313
n-C4 0.15000 0.03070 0.03600 0.03756
i-C5 0.01600 0.01310 0.01326
n-C5 0.55000 0.02170 0.01970 0.01838
n-C6 0.02890 0.03640 0.03010
n-C7+ 0.41290 0.37220 0.32456
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
2000
200 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200
Presin[
psia]
Temperatura [R]
Pc (1044.87, 1168.02)
pcr(1983.40, 0850.00)Tcr(1183.39, 0714.00)
-
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Tabla 2. Propiedades del pseudocomponente C7+.
PropiedadMezcla
2A 2B 3 4
426.40 215.76 550.54 548.43 986.40 1248.8 1141.2 1119.6 0.3900 0.2960 0.2915 0.2676
a. b.
c. d.
Figura 8. Diagrama de fase p T de: a. mezcla 1, b. mezcla 3 y c. mezcla 4 (EDECSRK).; y d. condiciones crticas de todas las mezclas estudiadas.
0
100
200
300
400
500
600
400 600 800
Presin[
psia]
Temperatura [R]
0
500
1000
1500
2000
2500
200
Presin[
psia]
Temperatura [R]
0
500
1000
1500
2000
2500
200 400 600 800 1000
Presin[
psia]
Temperatura [R]
573.501280.5 1168.0 1886.5
2076.5
1 2 3 4 5
Presin crtica [psia]
2A 2B 3 4
853.15 882.77 1044.9 982.24 926.72
1 2 3 4 5
Temperatura crtica [R]
2A 2B 3 4
-
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Conclusiones
Una modificacin al mtodo de NewtonRaphson para calcular el equilibrio de las
fases en la regin crtica ha sido descrita. Dicho algoritmo parte del anlisis del
comportamiento de las constantes de equilibrio en la regin crtica de la mezcla,
haciendo una simplificacin considerable a los clculos al tomar la funcin
derivada del componente cuya relacin de fugacidad normalizada sea la menor.
Las envolventes construidas con la aplicacin desarrollada permiten observar que
el algoritmo result consistente en las soluciones y permiti, sin alterar el resultado
final, disminuir el tiempo de cmputo al no requerir de pasos tan pequeos de la
variable independiente.
Se ha demostrado quede acuerdo al comportamiento suave de las curvas de las
constantes de equilibrio, al iniciar un nuevo ciclo iterativo, es correcto suponer
como solucin estimada los valores calculados previamente.
Finalmente, se recomienda el clculo de la funcin derivada de manera analtica,
pues si bien las expresiones obtenidas pudieran resultar complicadas (de acuerdo
a la EDEC y regla de mezclado utilizada), los tiempos de cmputo son menores
que cuando se calcula la derivada mediante un algoritmo numrico. El clculo de
la funcin derivada se discute en los Anexos A, B y C.
Debe sealarse que la metodologa presentada nicamente ha sido evaluada en la
construccin de la curva de burbuja, dado que para las mezclas empleadas no se
requiri el uso del algoritmo para los puntos de roco, por lo que su uso en sta
regin de la envolvente debe ser evaluado y documentado debidamente.
Nomenclatura
Faccin de la fase fugacidad del componente vector de funciones objetivo matriz Jacobiana
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constante de equilibrio para el componente nmero de componentes en la mezcla, nmero de moles (Ec. B01) presin
punto crtico
punto cricondenbrico temperatura punto cricondentrmico fraccin molar , fase fraccin molar , fase fraccin molar total Smbolos Griegos
vector de variables dependientes vector de especificaciones coeficiente de interaccin binario vector de restricciones variable de iteracin parmetro de cercana al punto crtico
pendiente adimensional de la envolvente pT coeficiente de fugacidad relacin de fugacidades componente con la menor relacin de fugacidades normalizada factor acntricoSubndices
nmero de componentes
mezclaSuperndices
nomenclatura de las fases nivel de iteracin
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Referencias
1. Standing, M.B.: Volumetric and Phase Behavior of Oil Field Hydrocarbon
Systems, Henry L. Doherty Memorial Fund of AIME, SPE(1977).
2. Kaliappan, C.S. y Rowe, A.M., JR.: Calculation of Pressure
TemperaturePhase Envelopes of Multicomponent Systems, artculo SPE 2885
presentado en el Third Biennial Gas Industry Symposium, Omaha, Nebr.
2122 de mayo de 1971.
3. SamaniegoV, F. et al.: On theValidation of PVT Compositional Laboratory
Experiments, artculo SPE 91505 presentado en la SPE Annual Technical
Conference and Exhibition, Houston, Tx. 2629 de septiembre de 2004.
4. Whitson, C.H. and Brul, M.R.: Phase Behavior, Monograph Volume 20,
Henry L. Doherty Memorial Fund of AIME, SPE(2000).5. Michelsen, M.L.: Calculation of Phase Envelopes and Critical Points for
Multicomponent Mixtures, Fluid Phase Equilibria, 4, 1-10 (1980).
6. Whitson, C.H., y Michelsen, M.L.: The Negative Flash, Fluid Phase
Equlibria, 53, 51 (1989).
7. Ziervogel, R.G. and Poling, B. E.: A Simple Method for Constructing Phase
Envelopes, Fluid Phase Equilibria, 11, 127-135 (1983).
8. Pedersen, K.S., y Christensen, P.L.: Phase Behavior of Petroleum
Reservoir Fluids, Taylor and Francis Group(2007).
Apndice A. Obtencin de la funcin Partiendo de la definicin de la fugacidad, una vez que el sistema ha alcanzado
condiciones de equilibrio termodinmico, se tiene que:
....................................................................................................... Por lo que al obtener la derivada del logaritmo natural de se tiene que: .................................................................................. Lo que al despejar , e incluyendo a la Ec. 24, se llega a: [()()] ..........................................................
-
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Donde puede determinarse analtica o numricamente.Analticamente las derivadas se obtienen al derivar considerando las definiciones
de las EDEC, como se ejemplifica en el Apndice B. Numricamente, las
derivadas pueden determinarse con el algoritmo del Apndice C.
Apndice B. Derivadas analticas de los coeficientes de fugacidad
para la EDEC de SRK
Considerando una regla de mezclado aleatoria, y partiendo de la definicin de la
fugacidad
.........................................................................
al substituir los parmetros de su EDEC, Soave obtuvo la siguiente expresin para
la fugacidad de cada componente en la fase :
| |
( )
............
En tanto que para los componentes de la fase se defini:
|
|
( )
........
donde A, B, a y b son los parmetros de la ecuacin de estado de SRK.
De manera general, las derivadas de la Ec. 26 pueden obtenerse fcilmente
respecto a la presin como:
....................
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donde,
................................................................................
Por otro lado, las derivadas respecto a la temperatura se calculan como:
( )
.......
Donde,
..........................................................
..........................................................................................
( )
...........................
......................................
Los coeficientes de la ecuacin dependern de la fase estudiada, as como la
fraccin mol usada para los clculos, por lo que para la fase ser y para la ser de cada componente.Apndice C. Derivadas numricas de los coeficientes de
fugacidad
La ventaja de utilizar un mtodo numrico para calcular las derivadas de los
coeficientes de fugacidad es justamente su generalidad, ya que no se requiere de
un algoritmo particular para cada una de las combinaciones de las EDEC y reglas
de mezclado posibles; no obstante, su uso tambin requiere de mayores recursos.
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El clculo numrico de la derivada de los coeficientes de fugacidad puede
hacerse, para un esquema explcito, partiendo de la siguiente expresin:
.............................................................................................................
Y asumiendo que la funcin es continua y derivable en el intervalo de inters, la
derivada del trmino derecho de la igualdad puede aproximarse mediante el
mtodo de diferencias finitas centradas como:
................................................................
Donde
es el paso de la variable dependiente utilizado para la aproximacin. Si
el tamao de es tal que , la Ec. 37 resulta en:
..............................................................
Por lo que para calcular la derivada se deben seguir los siguientes pasos:
1. Hacer los clculos de equilibrio de fases para conocer los coeficientes de
fugacidad
a las condiciones de presin y temperatura fijadas por el
ciclo iterativo.
2. Fijando la variable independiente, dado un (se recomienda de 2unidades) hacer los clculos de equilibrio termodinmico para determinar:
i. Los coeficientes de fugacidad progresivos ; yii. Los coeficientes de fugacidad retrgrados .
3. Resolver la Ec. 39.
Pese a que es posible aproximar directamente a la Ec. 37, la Ec. 39 es ms
estable pues dicha aproximacin envuelve la evaluacin de tres funciones:
, y , como se ve en la Figura 9.
Figura 9. Valores necesarios para el esquema de diferencias centrales descrito.
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