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0331 - Actualización en Geometría:Simulación por Ordenador

Guillermo Gallego Bonet

23 febrero 2012

Con transparencias del profesor Fernando Jaureguizar

Guión

• Sistema de formación de la imagen.• Homografía inducida por una proyección

– Ejemplos: rectificación, vistas sintéticas

• Imágenes digitales– Imágenes en gris, en color.

– Profundidad (bits por pixel: bpp)

– Resolución (número de píxeles)

• Bibliografía

Jerarquía de geometrías

Felix Klein (1872) propuso clasificar las propiedades geométricas en función de su invariancia respecto de distintos grupos de transformaciones.

• Cada geometría está asociada a un grupo de transformaciones.– Geometría Euclídea: movimientos

– Geometría conforme: semejanzas

– Geometría afín: afinidades

– Geometría proyectiva: Homografías

• Jerarquía:

{movimientos} ϵ {semejanzas} ϵ {afinidades} ϵ {homografías}

• La geometría proyectiva incluye a las otras tres.

Jerarquía de geometrías

Jerarquía de transformaciones del plano

Cadena de elementos que intervienen:– Fuente luminosa

– Escena 3D

– Apertura del diafragma

– Lentes

– Plano de la imagen

Objetos a distintas distancias son enfocados en distintos planos.

Enfoque: imágenes nítidas (enfocadas) si todos los rayos procedentes de un único punto 3D convergen en un único punto del plano de la imagen. En caso contrario, la imagen se difundirá sobre un círculo (imagen desenfocada).

Óptica básica

Óptica: enfoque de la imagen

• Círculo de confusión: nitidez aceptable (inapreciable al ojo humano).

Óptica: enfoque, profundidad de campo

El enfoque se consigue de dos maneras: 1)sistema óptico con un grupo de lentes, 2)reduciendo la apertura de la cámara a un punto (ojo de aguja o “pinhole”).

Imagen desenfocada Imagen enfocada.(poca profundidad de campo). Sigue el modelo de ojo de aguja

• Cámara de ojo de aguja (pinhole)

• Modelo matemático incluye 3 operaciones:- Proyección cónica- Cambio de sistema de referencia en el plano - Cambio de sistema de referencia en el espacio

Modelo geométrico de cámara

Proyección cónica (perspectiva)

Elementos del modelo de cámara con de ojo de aguja (pinhole):• Plano (virtual) de la imagen ∏: plano de proyección• Centro de la proyección C (centro óptico o foco): pinhole.• Distancia focal f: distancia entre ∏ y C.• Eje óptico o principal: recta perpendicular a ∏ y que pasa por C.• Punto principal: intersección entre ∏ y el eje óptico. Suele estar cerca del centro de la imagen.• Proyección x (o imagen) del punto 3D X: punto de intersección entre la recta PC y el plano ∏.

Sistema de referencia de la cámara:• origen en el punto C• eje Z es perpendicular al plano ∏

Coordenadas: • Punto 3D: X = (X, Y, Z)• Proyección x = (x, y, z), pero como z = f (sobre el plano de la imagen), escribimos coordenadas: x = (x, y).

Ecuaciones de proyección (por semejanza de triángulos):

Proyección cónica (perspectiva)

Ecuaciones de proyección:

• No son lineales debido al factor 1/Z.• No preserva distancia entre puntos ni ángulos entre rectas.• Sí convierte líneas en líneas.

En coordenadas homogéneas, las ecuaciones ¡son lineales!

Proyección cónica (perspectiva)

El modelo completo incluye 3 operaciones:- Proyección cónica- Cambio de sistema de referencia en el plano: K - Cambio de sistema de referencia en el espacio: (R,t)

En coordenadas homogéneas: , con matriz de proyección:

Modelo geométrico de cámara

Matriz de proyección

Una cámara de ojo de aguja con proyección perspectiva se describe en coordenadas homogéneas mediante una matriz de proyección de tamaño 3x4.

=

Punto de la imagen Punto del espacio

El centro óptico verifica P C = 0. Ejemplo: si P = (I | 0), entonces C = (0,0,0,1)

P tiene 11 grados de libertad ( 12-1 [factor de escala])

• El modelo más general de transformación proyectiva entre dos planos es una homografía.• Dados 4 puntos y sus transformados es posible calcular la matriz de la homografía (ver la función en HDLT_B.m)

• Ejemplo: transformación entre un plano del espacio y el plano de la imagen.

Matriz de proyección

Ejemplo: transformación entre un plano del espacio y el plano de la imagen.

Elegimos el sistema de coordenadas de tal forma que el plano del espacio está descrito por la ecuación Z=0. Entonces, la matriz de proyección se simplifica y aparece de forma explícita la matriz de la homografía:

Matriz de proyección y homografía

Ejemplo: transformación entre un plano del espacio y el plano de la imagen.

Esta es la transformación más general entre un plano del espacio y el plano de la imagen. Una homografía se representa mediante una matriz de 3x3, regular, con 9 - 1 = 8 grados de libertad.

Matriz de proyección y homografía

Matriz de proyección y homografía

Coordenadas homogéneas

Coordenadas Euclídeas:

Ejemplo: rectificación de imágenes

Datos: correspondencias de 4 puntos.No hace falta conocer los parámetros de la cámara para realizar esta rectificación.

Ejemplo: vistas sintéticas

Utilizar homografías para convertir cuadriláteros en cuadrados o rectángulos.

Ejemplo: vistas sintéticas

Utilizar homografías para convertir cuadriláteros en cuadrados o rectángulos.

• El plano de imagen esta formado por una matriz rectangular de n x m CCD.

• Cada CCD generará tensión proporcional a:

– la intensidad de luz que incide (número de fotones)

– el periodo de integración (tiempo durante el cual se permite la llegada de fotones)

• La salida de la matriz de CCD es generalmente una señal eléctrica continua (analógica), que representa las variaciones de tensión a lo largo de una línea de elementos CCD. Esta señal se envía a un dispositivo de digitalización, en donde es digitalizada (conversión de señal analógica a digital). Por último es almacenada en memoria.

• La imagen captada ha quedado almacenada como una matriz rectangular f de N x M valores enteros, cuyos elementos se denominan píxeles (acrónimo de picture element).

Adquisición de imágenes

• El elemento f(i, j) de la matriz de N x M representa el valor de imagen (su intensidad) en el píxel (i, j) (fila i-ésima y columna j-ésima), que es la intensidad captada por los elementos CCD que contribuyen al píxel.

• El valor de cada elemento f(i, j) se suele almacenar en un byte (8 bits) máximo de 28 = 256 niveles.

• Normalmente se toma un numero entero en el rango [0, 255]:

– 0 el mínimo de intensidad (no recibir luz)

– 255 el valor máximo (saturación del elemento fotosensor).

• Pueden existir imágenes con otros rangos y precisiones.

Adquisición de imágenes

• Representación monocromática 1 elemento CCD por píxel.

• Representación en color 3 elementos CCD por píxel: uno por cada componente de color R, G y B (reciben los fotones de la misma, o parecida, posición espacial)

• El píxel de la imagen digital en color será un vector f(i, j) = (r, g, b), o bien la imagen f será tres matrices fR(i, j), fG(i, j) y fB(i, j) de dimensiones N x M.

• Se suele asumir correspondencia uno a uno entre elementos del CCD y píxeles.

Adquisición de imágenes

RGB R --- ---

--- G --- --- --- B

Componentes de color: mandril (240x256)

RGB R --- ---

--- G --- --- --- B

Componentes de color: mandril (240x256)

256 niveles 128 niveles 8 bpp 7 bpp

64 niveles 32 niveles 6 bpp 5 bpp

Cuantificación (profundidad): lena (256x256)

16 niveles 8 niveles 4 bpp 3 bpp

4 niveles 2 niveles 2 bpp 1 bpp

Cuantificación (profundidad): lena (256x256)

256 x 256 128 x 128 64 x 64 32 x 32 16 x 16

Resolución: lena (256x256)

128x128 256x256 64x64 256x256

32x32 256x256 16x16 256x256

Resolución: lena (256x256)

• Apuntes de Geometría Proyectiva de Enrique Arrondohttp://www.mat.ucm.es/~arrondo/geoproy.pdf

• Geometría Proyectiva. Luís A. Santaló. Buenos Aires: Editorial Universitaria, 1977

• Nociones de geometría proyectiva. Enrique Outerelo Domínguez, José Ma. Sánchez Abril. Madrid: Editorial Sanz y Torres, D.L. 2009.

• Teoría y problemas de geometría proyectiva. Frank Ayres; traducción Amaury Llamas Jimeno y Campo Elias Veloza Cantor. McGraw-Hill, 1971

• Geometría Proyectiva. José Manuel Rodríguez-Sanjurjo y Jesús M. Ruiz Sancho. Addison-Wesley.

Bibliografía en Español

Bibliografía en Inglés

• Projective Geometry, 2nd edition. H.S.M. Coxeter. Springer

• Lectures in Projective Geometry. A. Sedenberg. Dover.

• Multiple View Geometry in Computer Vision. Richard Hartley, Andrew Zisserman. Cambridge University Press 2003.