02 matlab ec lineales

1 1

Sistemas de ecuaciones lineales

José Manuel Pereiras & Javier Langone

FIUBA

2 2

Indice

Matrices inversibles

Determinantes

Resolución de sistemas de ecuaciones

lineales

Refinamiento iterativo

Autovectores y autovalores

Apéndice: vectores y matrices

Bibliografía

3

Breve introducción teórica

Matrices no-singulares o inversibles:

Ej. Matlab

1Notación:

AB BA I

B A

4

Breve introducción teórica

No todas las matrices son inversibles. En cuyo caso

decimos que la matriz es singular.

Ej. Matlab

5

Breve introducción teórica

La cantidad de operaciones que se necesitan para

calcular la inversa de una matriz A de n filas por n

columnas es:

Por ej. calcular la inversa de una matriz de 100x100

requerirá alrededor de 100^3=1000000 de

operaciones aritméticas!

3n

6

Breve introducción teórica

Determinantes: el determinante de una matriz

cuadrada A es un valor real y se denota como det(A)

o |A|.

Si det(A) 0, entonces A es no-singular. Es decir, A

es inversible.

Ej. Matlab

7

Breve introducción teórica

La cantidad de operaciones que se necesitan para

calcular el determinante de una matriz A de n filas

por n columnas es:

Por ej. calcular el determinante de una matriz de

100x100 requerirá alrededor de 100! operaciones

aritméticas!

!n

8

Ejercicios en Matlab

Dada la matriz A: calcular

(a) det(A)

(b) inv(A)

1 1 2

1) 2 4 3

3 6 5

2 32)

3 5

A

A

9

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Métodos directos: Eliminación de Gauss y el método

de factorización LU.

Métodos iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel y SOR.

1 11 1 12 2 1 1

2 21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

:

:

:

n n

n n

n n n nn n n

F a x a x a x b

F a x a x a x b

F a x a x a x b

𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛, 𝑥 ∈ ℝ𝑛×1, 𝑏 ∈ ℝ𝑛×1

𝐴𝑥 = 𝑏

10

Algoritmo de sustitución hacia atrás

Definición: se dice triangular superior si los elementos

siempre que .

se dice triangular inferior si los elementos siempre que

.

Si A es una matriz triangular superior, entonces Ax=b es un sistema

triangular superior que tiene la forma:

0ija

0ija

i j

i j

11 1 12 2 13 3 1 1 1 1 1

22 2 23 3 2 1 1 2 2

33 3 3 1 1 2 3

1, 1 1 1, 1

,

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n n n n

n n n n

a x a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x b

a x b

𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛

𝐴 ∈ ℝ𝑛×𝑛

11

Algoritmo de sustitución hacia atrás

1

1 1,

1

1, 1

1

: 0; para 1,2,...,

ahora que se calculó , podemos calcular el valor de :

y en gral. la k-ésima incógnita se calcula:

; para

kk

nn

nn

n n

n n n n

n

n n

n

k kj j

j k

k

kk

Condición a k n

bx

a

x x

b a xx

a

b a x

x ka

1, 2,...,1n n

12

Métodos directos: el método de eliminación de Gauss

Para resolver el sistema Ax=b con n ecuaciones y n

incógnitas vamos a construir un sistema triangular

superior equivalente, Ux=b, que pueda ser resuelto

utilizando el algoritmo de sustitución hacia atrás.

Dos sistemas lineales de dimensión nxn se dicen

equivalentes si tienen el mismo conjunto de soluciones.

13

Eliminación de Gauss

Para resolver el sistema de ecuaciones Ax = b es

suficiente guardar los coeficientes en un arreglo de

dimensión n x (n+1). Los coeficientes de b se

almacenan en la columna n+1 del arreglo. La matriz

aumentada se denota [A|b] y el sistema tiene la

siguiente representación:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

|

n

n

n n nn n

a a a b

a a a bA b

a a a b

14

Eliminación de Gauss

Operaciones de fila elementales: las siguientes

operaciones pueden ser aplicadas a la matriz

aumentada para obtener un sistema

equivalente:

Intercambiar el orden de dos filas

Multiplicar una fila por una constante no nula

Reemplazar una fila por la suma de esa fila y un

múltiplo no nulo de otra fila, es decir,

multiplicador

r rp p r

rp

F m F F

m

15

Eliminación de Gauss

Pivote: El número en la matriz de

coeficientes A que se utiliza para eliminar ,

donde , recibe el nombre de r-

ésimo pivote.

rra

kra

1, 2,...,k r r n

16

Ejemplo (sin pivoteo)

1 2 3 4

1 3 42

1 2 3 4

1 2 3 4

2 21 1 2

21 21 11

3

31 31 11

41 41 11

2 4 13

2 0 4 3 28

4 2 2 20

3 3 2 6

La matriz aumentada es

pivote 132 1 4m

m 2 282 0 4 3m

m 4 204 2 2 1

m 3 63 1 3 2

x x x x

x x xx

x x x x

x x x x

F F Fa a

Fa a

a a

1

31 1 3

4 41 1 4

3 32 2 3

32 32 22

4 42 2 4

42 42 22

43

m

1 2 1 4 13

2 5 pivote 2m

m 1.5 326 2 15m

m 1.75 457 6 14

pivote

m

F F

F F F

F F Fa a

F F Fa a

a

2

4

-3

-4

4 43 3 4

43 33

1 2 1 4 13

4 2 5 2m

357.5

1.9 48.59.5 5.25

1 2 1 4 13

4 2 5 2

355 7.5

189

Utilizando el algoritmo

2

4

3

2

4 1

de su

.5

3 1.75

F F F

a

1.5

-1.75

-1

-5

.9

4 3 2 1

stitución hacia atrás obtenemos:

18 35 7.5*2 2, 4, 1, 3

9 5x x x x

17

Método de eliminación de Gauss con pivoteo parcial

Objetivo: construir un sistema triangular superior equivalente que

pueda ser resuelto aplicando el método de sustitución hacia atrás.

Pivoteo parcial:

El pivote se hace cero:

Pivoteo para reducir el error: 1, 1,max , ,..., ,kp pp p p n p npa a a a a

( ) ( )0; buscar 0 con p p

pp kpa a k p

18

Pivoteo para reducir el error Como la computadora tiene una cantidad finita de dígitos para realizar las cuentas,

es posible que se introduzca un pequeño error cada vez que se realiza una operación

aritmética. Por ejemplo, el sigu 1 2

1 2

1 2

iente sistema tiene solución 1.000

1.133 5.281 6.414

24.14 1.210 22.93

Supongamos que trabajamos con una máquina que tiene 4 dígitos de precisión y que

utilizamos el método de eliminación d

x x

x x

x x

2 21 1 2

21

e Gauss pivoteo para calcular la solución

del sistema.

1.133 5.2816.414 6.4145.281

22.93 24.14 1.133 21.31 113.824.14 1.210 113.7

Utilizando sustitución hacia atrás d

sin

F m F F

m

1.133

21.31

2

1

espejamos las incógnitas:

113.8 113.7 1.001

6.414 5.281 1.001 1.133 6.414 5.286 1.133 0.9956

x

x

19

Pivoteo para reducir el error (cont.)

21El error se debe a la magnitud del mutiplicador 21.31.

Para reducir la magnitud del multiplicador, primero vamos a intercambiar el orden

de las ecuaciones y luego resolver el sistema equivalente con

m

2 1

2 21 1 2

21

el método de Gauss.

1.133 5.281 6.414 22.931.210

24.14 1.210 22.93 6.4141.133 5.281

24.14 1.210 22.93

1.133 24.14 0. 0.046904693 5.3385.338

Utilizando sustitución hacia

24.14

3

F F

F m F F

m

2

1

atrás despejamos las incógnitas:

5.338 5.338 1.000

22.93 1.210 1.000 24.14 1.000

x

x

20

Ejemplo (con pivoteo)

1 2 3 4

1 3 42

1 2 3 4

1 2 3 4

3 1

2 4 13 1 2 1 4 13

2 0 4 3 28 2 0 4 3 28 A b

4 2 2 20 4 2 2 1 20

3 3 2 6 3 1 3 2 6

1 2 1 4 13 4 2 2 1 20

2 0 4 3 28 2 0 4 3 28

20 1 2 1 4 134 2 2 1

6 3 1 3 2 63 1 3 2

x x x x

x x xx

x x x x

x x x x

F F

2 21 1 2

21 21 11

3 31 1 3

31 31 11

4 41 1 4

41 41 11

4 2

pivote 202 2 1m

m 1 2 282 0 4 3m

m 1 4 131 2 1 4m

m 3 4 63 1 3 2

4 2 2 1 4 2 220

1 3 2.5 18

1.5 0.5 3.75 8

212.5 4.5 2.75

F F Fa a

F F Fa a

F F Fa a

F F

1 2

1 4

-3 4

4

3 32 2 3

32 32 22

4 42 2

42 42 22

1 4 2 2 1 20 20

2.5 4.5 2.75 4.5 2.75 pivote21 21m

m 0.61.5 0.5 3.7

1 2

1 4

3 4

2.5

5 8 1.5 0.5 3.75 8m

m 0.418 181 3 2.5 1 3 2.5

F F Fa a

F F Fa a

1 2

1 4

-3 4 -4

4 3

43 43 33

4 2 2 1 4 2 2 120 20

2.5 4.5 2.75 2.5 4.5 2.7521 21

2.2 2.1 4.6 4.8 3.6 26.4

26.4 4.64.8 3.6 2.2 2.1

pivot

1 2 1 2

1 4 1 4 0.6

3 4 3 4 0

e

.4

m

F F

a a

0.6

- -0.4 -

4 43 3 4

4 2 2 14 2 2 120 20

2.5 4.5 2.752.5 4.5 2.75 21 21m

4

1 21 2

1 4 0.61 4 0.6

3 4 0.4 3 4 0.

.8 3.63.6 26.4 26.4

0.4583 4.6 7.52.2 2.1 3.75

Utilizando el algoritmo de sustitució

4 0.4

.

8

8

5 3

4F F F

- -

4 3 2 1

n hacia atrás obtenemos:

7.5 26.4 3.6*2 2, 4, 1, 3

3.75 4.8x x x x

21

El método de factorización LU

Definición: se dice que una matriz no-singular A

tiene una factorización triangular si puede ser

expresada como el producto de una matrix

triangular inferior L y una matriz triangular

superior U:

En notación matricial:

A LU

11 12 13 14 11 12 13 14

21 22 23 24 21 22 23 24

31 32 33 34 31 32 33 34

41 42 43 44 41 42 43 44

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

1 0 0 0

a a a a u u u u

a a a a m u u u

a a a a m m u u

a a a a m m m u

22

El método de factorización LU (cont.)

Supongamos que A tiene una factorización

triangular y queremos resolver el sistema Ax=b:

La solución se obtiene definiendo y

resolviendo dos sistemas:

Primero resolver:

y luego resolver:

Ax LUx b

Ly b

Ux y

y Ux

23

Ejemplo: resolver el sistema mediante factorización LU

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

2 4 21

2 8 6 4 52

3 10 8 8 79

4 12 10 6 82

x x x x

x x x x

x x x x

x x x x

1

1 2

1 2 3

1 2 3 4

1 2 4 1 1 0 0 0 1 2 4 1

2 8 6 4 2 1 0 0 0 4 2 2

3 10 8 8 3 1 1 0 0 0 2 3

4 12 10 6 4 1 2 1 0 0 0 6

21

2 52:3 79

4 2 82

Utilizando el método de sustitución hacia adelante se obt

A LU

y

y yLy b

y y y

y y y y

1 2 3 4

1 2 3 4

2 3 4

3 4

4

iene:

21, 52 2(21) 10, 79 3(21) 10 6, 82 4(21) 10 2(6) 24

es decir: 21 10 6 24

Ahora se resuelve el sistema

2 4 21

4 2 2 10

2 3 6

6 24

Utilizando el método de sustituc

t

y y y y

y

Ux y

x x x x

x x x

x x

x

4 3 2 1

ión hacia adelante se obtiene:

24 ( 6) 4, (6 3(4)) ( 2) 3, (10 2(4) 2(3)) 4 2, 21 4 4(3) 2(2) 1, es decir ,

1 2 3 4t

x x x x

x

24

El método de factorización LU (cont.)

Si no se hicieron intercambios de filas (pivoteo)

en el método de eliminación de Gauss,

entonces los multiplicadores son las entradas

que están por debajo de la diagonal de L.

ijm

2 1 2

3 2 3

3 1 3

4 3 1 4 3 1 4 3 10.5

2 4 5 2.5 4.5 0.5 2.5 4.50.25

1 2 6 1.25 6.25 8.5

1

0.5 0.5

0.25 0

0 0 4 3 1

0.5 1 0 0 2.5 4.5

0.25 0.5 1 0 0

.25 0.5

8.5

F F FF F F

F F F

A LU

25

El método de factorización LU (cont.)

Matrices de permutación

No siempre se puede obtener una factorización LU

sin realizar intercambio de filas.

Definición: una matriz de permutación P es una

matriz que tiene precisamente un elemento cuyo

valor es uno en cada columna y en cada fila y

todos sus demás elementos son cero. Por

ejemplo:

1 0 0

0 0 1

0 1 0

P

26

El método de factorización LU (cont.)

Teorema: Si A es una matriz no-singular,

entonces existe una matriz de permutación P tal

que PA tiene una factorización triangular:

PA LU

27

Matlab

28

Métodos de eliminación directa

La cantidad de operaciones que se necesitan para

resolver un sistema de n ecuaciones con n incógnitas

por alguno de los métodos de eliminación directa es:

Por ej. calcular resolver un sistema de 1000x1000 se

requerirán alrededor de 1000^3=1000000000 de

operaciones aritméticas!

3n

29

Errores en Metodos Directos

1.)(

).(.2

cot

).(

0).(1

).(.).(1

)(

.

AAAK

AK

porbyAdeerroreslosandoA

pequenoesAKcuandodasimplificaformaEn

AK

AKAK

AK

bxA

x

A

A

bA

A

x

30

Métodos iterativos

Los métodos directos para resolver sistemas de ecuaciones lineales no se adaptan muy bien cuando las matrices son ralas, es decir, tienen muchos 0’s por las siguientes razones:

A medida que se aplica el proceso de eliminación directa, ciertos elementos de la matriz que inicialmente eran nulos, dejan de serlo. Por lo tanto, aumenta considerablemente el espacio de almacenamiento utilizado por la matriz.

La mayoría de las operaciones aritméticas que realizan estos métodos se aplican a elementos nulos, desperdiciando tiempo de cómputo.

Una alternativa es utilizar métodos iterativos que realizan aproximaciones sucesivas para obtener soluciones cada vez más precisas en cada iteración. Los requerimientos de memoria para éstos son en general menores en orden de magnitud.

31

Métodos iterativos

Aproximación inicial al vector solución x.

Generación de una sucesión de vectores que converge a x.

Se convierte al sistema en un sistema equivalente de la forma . Para alguna matriz T de nxn y algún vector c.

La sucesión de vectores solución se genera calculando: para cada k=1,2,3,…

Ideales para resolver sistemas grandes con un gran porcentaje de ceros: eficientes en términos de almacenamiento y tiempo de cómputo.

(0)x

( )

0

k

kx

Ax b

x Tx c

( ) ( 1)k kx Tx c

32

Métodos iterativos

Ventajas:

eficientes en términos de almacenamiento

eficientes en tiempo de cómputo

Desventajas

no siempre convergen a la solución!

33

Método iterativo de Jacobi

Dada la i-ésima ecuación del sistema Ax=b,

Si se despeja asumiendo que el resto de los

coeficientes de x permanecen sin cambios, se

obtiene

Esto sugiere un método iterativo definido por:

Desventaja: el método converge lentamente.

1

n

ij j i

j

a x b

ix

para 1,2,...,i i ij j ii

j i

x b a x a i n

1 para 1,2,...,

kk

i i ij j ii

j i

x b a x a i n

34

Método iterativo de Jacobi

]2308.01538.14615.1[

13

043

22

321

321

321

s

xxx

xxx

xxx

35

Método iterativo de Jacobi

1.3

1

13

3.4

1

043

2.2

1

22

21

1

3

321

31

1

2

321

32

1

1

321

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

333.00333.0

624.0833.00

416.1833.01

36

Método iterativo de Gauss Seidel

1.3

1

13

3.4

1

043

2.2

1

22

1

2

1

1

1

3

321

3

1

1

1

2

321

32

1

1

321

kkk

kkk

kkk

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

xxx

37

38

Método iterativo de Gauss-Seidel

El método iterativo queda definido por:

Ventajas: en gral. converge más rápido que

Jacobi, aunque hay excepciones.

1

1

1 1

i nk k k

i i ij j ij j ii

j j i

x b a x a x a

39

Método iterativo de Gauss-Seidel

En forma matricial el método de Gauss-Seidel

puede ser representado como:

1

1 11

o

para cada 1,2,...

k k

k k

D L x Ux b

x D L Ux D L b k

40

Métodos iterativos: análisis de la convergencia

Para estudiar la convergencia de las técnicas

generales de iteración, consideramos la fórmula:

x(k)=Tx(k-1)+c para cada k=1,2,…

donde x(0) es arbitrario. Este estudio requerirá

del siguiente lema:

LEMA: Si el radio espectral (T) satisface que

(T)<1, entonces (I-T)-1 existe y

(I-T)-1 =I+T+T2+…

41

Radio espectral

Definición: el radio espectral (A) de una

matriz A se define como:

donde es un autovalorA máx

42

Métodos iterativos: análisis de la convergencia (cont.)

Teorema: Para cualquier vector x(0), la sucesión

{x(k)}∞k=0 definida por:

x(k) = Tx(k-1) + c para cada k≥1 y c≠0

converge a la solución única de donde x=Tx+c

si y sólo si (T)<1.

43

Métodos iterativos: análisis de la convergencia (cont.)

Corolario: Si ||T||<1 para cualquier norma matricial

natural, entonces la sucesión {x(k)}∞k=0 en la

ecuación:

x(k) = Tx(k-1) + c

converge para cualquier vector inicial x(0), a un

vector x y se satisfacen las siguientes cotas de

error:

0

1 0

1)

2) 1

kk

k

k

x x T x x

Tx x x x

T

44

Métodos iterativos: análisis de la convergencia (cont.)

Para aplicar los resultados del teorema anterior a

las técnicas iterativas de Jacobi y Gauss-Seidel,

necesitamos escribir las matrices de iteración

del método de Jacobi, Tj, y del método de

Gauss-Seidel, Tg, como:

1

1

j

g

T D L U

T D L U

45

Métodos iterativos

Si la matriz es estrictamente diagonal dominante,

tanto el método iterativo de Jacobi como el de

Gauss-Seidel convergen a la solución para

cualquier aproximación inicial x(0).

1

n

ii ij

jj i

a a i

46

Método iterativo SOR (Successive Over-Relaxation) o método de sobre-relajación

El método utiliza el promedio ponderado entre el

valor de la iteración anterior y el valor calculado

por el método de Gauss-Seidel.

El método iterativo queda definido por:

1

1 1

1 1

1

para 0 2

i nk k k k

i i i ij j ij j

j j iii

x x b a x a xa

47

Ej. Método iterativo SOR

Resolver el sistema Ax=b por el método iterativo de Gauss-Seidel y luego por el método iterativo SOR con =1.25.

Para obtener una precisión de siete decimales buenos el método de Gauss-Seidel requiere de 38 iteraciones en contra de las 23 que se necesitan para el método SOR con =1.25.

Problema: determinar el valor de que acelere la convergencia.

1 2

1 2 3

2 3

4 3 24

3 4 30

4 24

x x

x x x

x x

48

Ej. Método iterativo SOR (Matlab)

49

Refinamiento iterativo

Si las cuentas se realizaran con una aritmética

infinita, es decir, teniendo en cuenta todos los

decimales, se encontraría la solución exacta

luego de una cantidad finita de operaciones.

Pero como en los hechos se utilizan

computadoras para resolver grandes sistemas

de ecuaciones lineales, la solución exacta no se

alcanza. Se tiene entonces una aproximación x0

a la solución x del sistema de ecuaciones

lineales Ax=b y el vector de residuos es:

r0 = Ax0 – b

50

Refinamiento iterativo (cont.)

0

1

0 1

1 0

1 0

1 0

1 0 1

1 1 1 1 1 0 1

(cambio de variables)

Se resuelve

Con el valor de se resuelve para obtener

El procedimiento se repite hasta alca

r

LU

y

Ax b

A x x b

A x b Ax

A x r

LU x r

L y r y

y U x y x x x x

nzar la precisión satisfactoria.

51

Refinamiento iterativo (cont.) Pseudo-código

( )

( )

1

1 1

1 1

1

1

1

Paso 1: Calcular

Paso 2: Resolver

Paso 3: Resolver

Paso 4: Calcular

Paso 5: Si entonces Devolver . PARAR.

Paso

permutado

n n

permutado

n n

n n

n n n

n n

n

n

r b Ax

L y r

U x y

x x x

x xTOL x

x

6: Volver al Paso 1.

52

Autovectores y Autovalores

Un autovalor de una matriz cuadrada es un

escalar generalmente representado por la letra

griega .

Un autovector es un vector no nulo,

representado con la letra x.

Todos los autovectores y autovalores de una

matriz cuadrada satisfacen la siguiente

propiedad:

0A I x

Ax x

53

Ej. Matlab

1

2

3

21 0 1

12 2 1 3 2

21 0 0

13 2

2

A i

i

54

Apéndice

Vectores

Matrices

55

Apéndice

Vectores

Definición: un vector real de dimensión n es un conjunto

ordenado de n números reales.

Notación:

Matlab:

1

2 1

1 2

1

1 2

, , ,

, , ,

t nx

n

n

t t xn

n

x

xx x x x x

x

x x x x x

56

Apéndice

Algebra de vectores

1

1 1

2 2

1

2

1 1

2 2

Sean ,

para 1, 2,...,

( )

nx

j j

n n

n

n n

x y

x y x y j n

x y

x yx y

x y

x

xx

x

x y

x yx y x y

x y

ℝ

57

Apéndice

Algebra de vectores (cont.) 1 1

1

2

1 1

2 2

1 1 2 2

Sean , ; ; ,

.

..

.

. .

. .. .

. .

. ... . Si . 0, y son ortog

nx xn

n

n n

n n

x y z c d

c x

c xc x

c x

c x d y

c x d yc x d y

c x d y

z x z x z x z x z x z x z x

1 1 1 2 1

2 1 2 2 2

1 2

onales (perpendiculares).

...

.... , .

...

...

n

n nxn

n n n n

x z x z x z

x z x z x zx z x z

x z x z x z

ℝ ℝ ℝ

ℝ

ℝ

58

Matlab

59

Apéndice

Normas de vectores

Definición: La norma de un vector es un número real que representa el "tamaño" del vector.

Utilizaremos la norma infinito.

1

1

2 2 2

2 1 2

1

|| || | |

|| || ...

|| || | |

n

i

i

n

ii n

x x

x x x x

x máx x

60

Matlab

61

Apéndice

Algebra de vectores

Propiedades

1Sean , ; , ,

1) Propiedad conmutativa:

2) Neutro de la suma: 0 0

3) Inverso aditivo: ( ) 0

4) Propiedad asociativa:

5) Propiedad distributiva para escalares:

nxa b x y z

y x x y

x x

x x x x

x y z x y z

a b x a

. .

6) Propiedad distributiva para vectores: . . .

7) Propiedad asociativa para escalares: . . . .

x b x

a x y a x a y

a b x a b x

ℝ ℝ

62

Ejercicios en Matlab

Dados los vectores x e y: calcular (a) x+y (b) x-y

(c) 3.x (d) ||x||1 (e) ||x||2 (f) ||x||∞ (g) 7.y-4.x (h)

x.yt (i) xt.y

1. x=(3, -4)t y=(-2,8)t

2. x=(-6, 3, 2)t y=(-8, 5, 1)t

3. x=(4, -8, 1)t y=(1, -12, -11)t

4. x=(1, -2, 4, 2)t y=(3, -5, -4, 0)t

5. x=(-6, 4, 2)t y=(6, 5, 8)t

63

Apéndice

Matrices Definición: Una matriz de mxn es un arreglo rectangular de

elementos de m filas y n columnas en el cual no sólo es

importante el valor de un elemento, sino también su posición.

Notación:

Matlab:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

1 2 ,

;

j n

j n

mxn

ij

i i ij in

m m mj m n

a a a a

a a a a

A a Aa a a a

a a a a

64

Apéndice

Algebra de matrices

Sean A, ; ,

para i 1,2,..., y para 1,2,...,

para i 1,2,..., y para 1,2,...,

para i 1,2,..., y para 1,2,...,

( ) par

mxn

ij ij

ij ij mxn

ij mxn

ij ij mxn

B c d

A B A B m j n

A B a b m j n

A a m j n

A B A B a b

a i 1,2,..., y para 1,2,...,

. . para i 1,2,..., y para 1,2,...,

. . . . para i 1,2,..., y para 1,2,...,

ij mxn

ij ij mxn

m j n

c A c a m j n

c A d B c a d b m j n

ℝ ℝ

65

Apéndice

Algebra de matrices: suma de matrices

Sean , ; , ,

1) Propiedad conmutativa: A

2) Neutro de la suma: 0 0

3) Inverso aditivo: ( ) 0

4) Propiedad asociativa:

5) Propiedad distributiva para escalares:

mxnp q A B C

B B A

A A

A A A A

A B C A B C

p q A p

. .

6) Propiedad distributiva para matrices: . . .

7) Propiedad asociativa para escalares: . . . .

A q A

p A B p A p B

p q A p q A

ℝ ℝ

66

Apéndice

Algebra de matrices: multiplicación de matrices

1 1 2 2

1

Sean ,

...

1, 2,..., y 1, 2,..., .

x x

ij x

n

ij ik kj i j i j in nj

p

p

m

m

n n

k

A B

AB C c

c a b a b a b a b

para i m j p

ℝ ℝ

67

Apéndice

Algebra de matrices: multiplicación de matrices

Sea un escalar; , , matrices

1) Propiedad asociativa:

2) Matriz identidad: AI=IA=

3) Propiedad distributiva a izquierda: A

4) Propiedad distributiva a derecha:

5) Propiedad

c A B C

AB C A BC

A

B C AB AC

A B C AC BC

asociativa para escalares: . . . ( . )c AB c A B A c B

68

Apéndice

Matriz transpuesta: la transpuesta de una

matriz se obtiene cambiando las filas de la

matriz por las columnas.

2 3

3 2

1 2 3

4 5 6

1 4

2 5

3 6

x

t t x

A A

A A

ℝ

ℝ

69

Apéndice

Normas de matrices

Utilizaremos la norma infinito.

11

1

11

Sea

|| || | |

|| || | |

mxn

m

ijj n

i

n

iji m

j

A

A máx a

A máx a

ℝ

70

Ejercicios en Matlab

Dadas las matrices A y B: calcular (a) A+B (b) A-B

(c) 3.A-2.B (d) ||A||1 (e) ||A||∞ (f) At (g) A.B (h)

B.A

1 9 4 4 9 2

1) 2 3 6 3 5 7

0 5 7 8 1 6

2 5 124 9 2 9

1 4 12) 3 5 7 1

7 0 68 1 6 0

11 3 8

3 2 5 03)

1 4 2 6

A B

A B

A B

71

Bibliografía

Aprenda Matlab 6.0 como si estuviera en primero, “www.universas.com/matlab/documentacion/matlab60.pdf”.

Burden, Richard L. and Douglas Faires, J., Análisis Numérico, Grupo Editorial Americana, 1994.

Mathews, John H. and Fink, Kurtis D., Numerical Methods Using MATLAB, 3rd edition, 1999.

Morelli, Ma. de los Angeles, Sistemas de Ecuaciones Lineales.