01-ecuacion de continuidad
Post on 24-Oct-2014
150 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Ecuación de Continuidad
Fenómenos de Transporte
ILQ – 230 (II – 2011) Prof. Alonso Jaques
Informaciones - Pagina ramos online habilitada - Quiz 25/11/2001, tópico ecuación de
continuidad - Fijar horarios de ayudantía y calendario
de certámenes
Ecuación de Continuidad, Balance Integral Consideraciones:
• “Hipótesis del Medio Continuo”
• Volumen de Control Invariante
• ….
Ecuación de Continuidad, Balance Integral Consideraciones:
• La cantidad de materia en volumen de control es descrita por:
• La razón de cambio del balance en el volumen de control:
Ecuación de Continuidad, Balance Integral Consideraciones:
• El cambio de inventario en el volumen de control esta dado por el balance de materia que pasa por la superficie del mismo:
①
Ecuación de Continuidad, Balance Integral Consideraciones:
• Considerando que el volumen de control esta “fijo” se puede considerar:
• Comparando los resultados resultado para ambos lados de ①:
②
Ecuación de Continuidad, Balance Integral Consideraciones:
• Aplicando el teorema de la divergencia se puede tener ambas integrales en ② en base a integral de volumen.
• Agrupando términos y considerando volumen de control arbitrario se tiene:
Ecuación de Continuidad
Ejemplo: Considerando una reacción química ocurriendo al fondo de un estanque (altura H, y diámetro D) produciendo generación de gases con la siguiente generación de espuma. Considerando la siguiente expresión para el cambio de la densidad de la mezcla a medida de avance de la reacción química:
𝑑𝜌
𝑑𝑡= −𝑘 𝜌 − 𝜌𝑒
Determine: - La velocidad de ascenso en el fluido a medida que la reacción avanza - La altura final del fluido en el estanque. Asuma, mezcla homogénea, y el efecto de fricción de las paredes.
Ecuación de Continuidad, Balance Diferencial Consideraciones:
• Fluido puro
• Flujo a través de elemento de volumen estacionario fijo en el espacio
• Concentración de fluido igual a ρ [M/ L3]
𝝆𝒖𝒙 |𝒙 𝝆𝒖𝒙 |𝒙+∆𝒙
Δx
Δz
Δy
x
y z
𝝆𝒖𝒛 |𝒛
𝝆𝒖𝒚 |𝒚+∆𝒚
𝝆𝒖𝒚 |𝒚
𝝆𝒖𝒛 |𝒛+∆𝒛
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
− 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
=𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
= ∆𝑦∆𝑧 ρ𝑢𝑥 |𝑥 + ∆𝑥∆𝑧 ρ𝑢𝑦 |𝑦 + ∆𝑥∆𝑦 ρ𝑢𝑧 |𝑧
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜
𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
= ∆𝑦∆𝑧 ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥 + ∆𝑥∆𝑧 ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦 + ∆𝑥∆𝑦 ρ𝑢𝑧 |𝑧+∆𝑧
𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑚𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜
= ∆𝑥∆𝑦∆𝑧𝜕𝜌
𝜕𝑡
𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑛𝑡𝑒
− 𝐹𝑙𝑢𝑗𝑜
𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜𝑠𝑎𝑙𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
=𝐴𝑐𝑢𝑚𝑢𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜𝑚á𝑠𝑖𝑐𝑜
∆𝑥∆𝑦∆𝑧𝜕𝜌
𝜕𝑡= ∆𝑦∆𝑧 ρ𝑢𝑥 |𝑥 − ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥
+ ∆𝑥∆𝑧 ρ𝑢𝑦 |𝑦 − ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦
+ ∆𝑥∆𝑦 ρ𝑢𝑧 |𝑧 − ρ𝑢𝑦 |𝑧+∆𝑧
𝜕𝜌
𝜕𝑡=
ρ𝑢𝑥 |𝑥− ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥
∆𝑥+
ρ𝑢𝑦 |𝑦− ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦
∆𝑦+
ρ𝑢𝑧 |𝑧− ρ𝑢𝑧 |𝑧+∆𝑧
∆𝑧
𝜕𝜌
𝜕𝑡=
lim∆𝑥→0
ρ𝑢𝑥 |𝑥 − ρ𝑢𝑥 |𝑥+∆𝑥
∆𝑥+ lim
∆𝑦→0
ρ𝑢𝑦 |𝑦 − ρ𝑢𝑦 |𝑦+∆𝑦
∆𝑦+ lim
∆𝑧→0
ρ𝑢𝑧 |𝑧 − ρ𝑢𝑧 |𝑧+∆𝑧
∆𝑧
𝜕𝜌
𝜕𝑡= −
𝜕 𝜌𝑢𝑥
𝜕𝑥+
𝜕 𝜌𝑢𝑦
𝜕𝑦+
𝜕 𝜌𝑢𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝜌
𝜕𝑡= − 𝛻 ∙ 𝜌𝐮 Ecuación de Continuidad
Se puede escribir la ecuación de continuidad en base molar, considerando el peso molecular promedio del medio
• Coordenadas rectangulares (x,y,z)
• Coordenadas cilíndricas (r,θ,z)
• Coordenadas esféricas (r,θ,φ)
𝜕𝜌
𝜕𝑡+
𝜕
𝜕𝑥𝜌𝑢𝑥 +
𝜕
𝜕𝑦𝜌𝑢𝑦 +
𝜕
𝜕𝑧𝜌𝑢𝑧 =0
𝜕𝜌
𝜕𝑡+
1
𝑟
𝜕
𝜕𝑟𝜌𝑟𝑢𝑟 +
1
𝑟
𝜕
𝜕θ𝜌𝑢θ +
𝜕
𝜕𝑧𝜌𝑢𝑧 =0
𝜕𝜌
𝜕𝑡+
1
𝑟2
𝜕
𝜕𝑟𝜌𝑟2𝑢𝑟 +
1
𝑟∙𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕
𝜕θ𝜌𝑢θ𝑠𝑖𝑛𝜃 +
1
𝑟∙𝑠𝑖𝑛𝜃
𝜕
𝜕φ𝜌𝑢φ =0
Problemas Propuestos: - Verifique si el flujo de Hagen-Poiseville, puede ser valido para flujo incompresibles. - Verifique que el flujo dado por el siguiente campo de velocidades dado
por 𝐮 = 𝑥3𝑦, 2𝑦𝑥2𝑧, 0 no corresponde para fluido incompresible. - Determine la componente faltante del siguiente campo de velocidades
incompresible, 𝐮 = 𝑥3𝑦, 2𝑦𝑥2𝑧, ? - Si se tiene un flujo unidireccional, incompresible en coordenadas
cartesianas, verifique si el la velocidad puede cambiar en la dirección del flujo.
𝐮 = 𝑦, −𝑥, 0
Representación Vectorial
top related