amd apuntes transmision calor pag 16

Agustin Martin DomingoApuntes de

Transmisin del calorAgustn Martn Domingo

Departamento de Fsica e InstalacionesE.T.S. Arquitectura de Madrid

Universidad Politcnica de Madrid

Agustin Martin DomingoCopyright

Apuntes de Transmisin del Calor

Copyright (C) 1995-2011 Agustn Martn Domingo Algunos derechos reservados.

Versin 2.1, mayo de 2011.

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Agustin Martin DomingoIndice

1. Transmisin del calor: conduccin y conveccin. 11.1. Campo de temperaturas y gradiente de temperaturas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Flujo de calor. Ley de Fourier para medios istropos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3. La ecuacin diferencial de la conduccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3.1. Ecuacin diferencial de la conduccin en un slido istropo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.3.2. Ecuacin diferencial de la conduccin en un medio anistropo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3.3. Condiciones para la resolucin del problema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.4. Tipos de condiciones de contorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4. Transmisin del calor por conveccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4.1. Conveccin forzada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2. Conveccin con cambio de fase. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.3. Conveccin libre o natural. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.5. Casos particulares de conduccin y conveccin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.1. Transmisin del calor por conduccin y conveccin a travs de muros de paredes planas. . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.5.2. Transmisin del calor por conduccin y conveccin a travs de paredes cilndricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2. Fenmenos de transporte: procesos de difusin. 192.1. Conceptos fundamentales y leyes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2. Difusin del vapor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.2.1. La ley de transporte del vapor de agua. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2.2. Difusin del vapor a travs de paredes planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3. Difusin trmica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Transmisin del calor: radiacin. 233.1. Conceptos bsicos de la radiacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1. El espectro de la radiacin electromagntica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2. Definiciones previas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.1.3. Absorcin, reflexin y transmisin de la radiacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2. Leyes de la radiacin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.1. Radiacin en el interior de una cavidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.2. Cuerpo negro. Ley de Planck. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2.3. Ley del desplazamiento de Wien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.2.4. Ley de Rayleigh-Jeans. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.5. Ley de Stefan-Boltzmann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.6. Emisividad. Ley de Kirchoff. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2.7. Cuerpo gris. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.2.8. La ley de Lambert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3. El efecto invernadero. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4. Superficies selectivas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.5. Radiacin directa entre cuerpos a distinta temperatura. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.5.1. Radiacin efectiva. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373.5.2. Planos infinitos y paralelos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.5.3. Intercambio de calor por radiacin entre planos grises infinitos y paralelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 403.5.4. Transferencia de calor por radiacin entre un cuerpo y su entorno. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.5.5. El factor de forma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.5.6. Intercambio de calor por radiacin en un recinto de paredes convexas de distintos materiales. . . . . . . . . . . . . . . . 453.5.7. Clculo analtico del factor de forma por integracin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

Referencias 53

I

Agustin Martin DomingoII Indice

La energa calorfica se transmite desde las zonas de alta temperatura a las de baja temperatura, en un proceso que vaacompaado de un cambio de entropa hasta que se alcanza, si es posible, el estado de equilibrio trmico caracterizadopor una distribucin uniforme de temperaturas. Denominamos calor a la transferencia de energa que tiene lugar sin unmovimiento ordenado del sistema, en contraposicin a la transferencia de energa que tiene lugar con un movimientoordenado durante la realizacin de un trabajo mecnico.

La Termodinmica de los procesos reversibles estudia la transferencia de energa en stos, pero siempre a lo largode una sucesin de estados de equilibrio. Sin embargo, en un proceso de intercambio de calor entre cuerpos a distintastemperaturas, en tanto se mantenga una diferencia finita de temperaturas entre los mismos habr un flujo irreversiblede calor entre dichos cuerpos y no tendremos estados de equilibrio. Sin embargo, s podemos tener estados en los quelas variables macroscpicas del sistema no cambian con el tiempo, pero que no corresponden a estados de equilibriosino a estados estacionarios en los que se mantienen constantes las temperaturas de los distintos cuerpos involucradosy el flujo de calor entre ellos. Tambin podemos tener situaciones en las que el sistema est evolucionando con eltiempo y ni siquiera tenemos estados estacionarios.

La transmisin del calor tiene lugar por tres mecanismos bsicos:

Conduccin: La energa calorfica se transmite durante el contacto directo entre cuerpos (o partes de los mismos)a distintas temperaturas y tiene lugar mediante choques o acoplamientos entre las molculas del sistema (unasen zonas ms calientes, con mayor energa trmica y otras en las zonas ms fras, con menor energa trmica),aunque no haya un movimiento macroscpico de las molculas, o el material sea transparente a la radiacin. Esteproceso es de gran importancia en slidos, pero de menor importancia en lquidos y gases, donde normalmenteaparece combinado con la conveccin y es prcticamente enmascarado por sta.

Conveccin: La energa calorfica se transmite por el movimiento fsico de molculas calientes de las zonas de altatemperatura a las zonas de baja temperatura y viceversa, equilibrndose las temperaturas.Este proceso tiene gran importancia en fluidos y tambin es denominado conduccin superficial, ya que el flujode calor entre la superficie de un material y un fluido est relacionado con la conduccin a travs de una finacapa del fluido que se encuentra junto a la superficie. Adems, es este proceso de conduccin superficial elque provoca, en un fluido inicialmente en reposo en contacto con una superficie a distinta temperatura, unadiferencia de temperaturas en el fluido, originndose diferencias de densidad en el mismo que producirn a suvez un desplazamiento fsico de materia a distintas temperaturas de unas zonas a otras, tenindose conveccin(en este caso natural).La transferencia de calor por conveccin puede ser forzada cuando est ayudada por el movimiento de lassuperficies en contacto con el fluido o libre (llamada tambin natural) cuando se produce nicamente en virtudde una diferencia de densidades causada por una diferencia de temperaturas. Tambin puede venir acompaadade un cambio de fase, como ocurre durante la condensacin o la ebullicin, con unos intercambios de calor muyintensos.

Radiacin: La energa calorfica se transmite en forma de energa de la radiacin electromagntica, emitida por todoslos cuerpos por el hecho de encontrarse a una temperatura T , y que se propaga a la velocidad de la luz (porquees luz de distintas longitudes de onda) y puede ser absorbida por los cuerpos, aumentando su temperatura.La radiacin es el nico medio de transmisin del calor cuando sta tiene lugar a travs del vaco, y puede sermuy importante para altas temperaturas.

Estos mecanismos bsicos actuarn de forma combinada, no slo para dar la temperatura final del recinto que estamosestudiando, sino en combinacin con otros elementos como la humedad del aire, para dar el grado de comodidad oconfort del ser humano en el espacio considerado. As, mayores o menores grados de humedad darn lugar a unasensacin de comodidad mayor o menor para una misma temperatura. La accin del viento y de la radiacin sontambin elementos a considerar. Por una parte, el viento favorece los procesos de conveccin y evaporacin. Por otraparte, para una misma temperatura en un lugar, el hecho de que ste est soleado puede hacer ms agradable la estanciaen el mismo en invierno, no slo por la luz sino por la radiacin trmica que incide sobre la persona. De la mismaforma, para una misma temperatura en una habitacin la sensacin trmica es ms baja si paredes y suelo estn anfros que si los mismos estn ya calientes o incluso ms calientes que el aire de la habitacin.

Agustin Martin DomingoCaptulo 1Transmisin del calor: conduccin yconveccin.

1.1. Campo de temperaturas y gradiente de temperaturas.

En la transmisin del calor por conduccin, ste se propaga por contacto directo entre las partculas de un cuerpoy las de otro cuerpo que se encuentra a distinta temperatura o entre partes del mismo cuerpo a distinta T . En lateora analtica de la conduccin del calor, no se tiene en cuenta la estructura molecular de la sustancia, ni como es elmecanismo microscpico de transmisin, sino que se considera la materia como un medio continuo.

Slo puede haber transmisin del calor por conduccin cuando hay cuerpos a distintas temperaturas (al igual queocurre en otras formas de transmisin del calor). En general, hay variaciones de temperatura con el tiempo y ladistribucin de temperaturas es no uniforme, por lo que en realidad lo que se tiene es una distribucin espacio-temporalde la temperatura, lo que se conoce como un campo de temperaturas:

T = f(x, y, z, t)

Para un campo estacionario, no hay variacin temporal de la temperatura, y se tiene que:

dT

dt= 0 T = f(x, y, z)

Si adems el proceso es unidimensional, se tiene que:

dT

dy=

dT

dz=

dT

dt= 0 y, por tanto, T = f(x)

Se denomina isoterma al lugar geomtrico de los puntos del cuerpo que estn a la misma temperatura. Como unmismo punto no puede estar a la vez a dos temperaturas distintas, las superficies isotermas no se cruzan.

T

T +T

T T

dn

dx

~i~n0

Figura 11 Isotermas en un campo de temperaturas.

La mayor variacin relativa de temperatura tiene lugar en la direccin normal a las superficies isotermas (figura 11),a la que apunta el gradiente:

T = Tx

~i+T

y~j +

T

z~k =

T

n ~n0 (11)

donde ~n0 es el vector unitario en la direccin normal a la isoterma y T/n es la derivada parcial de la temperaturaen la direccin normal a las isotermas.

1

Agustin Martin Domingo2 Captulo 1. Transmisin del calor: conduccin y conveccin.

Tabla 11 Conductividades trmicas para diversos materiales.Material (cal/cmsC) (W/mC)Acero al carbono 0,11 46,05Acero cromo-nquel (18% cromo, 8% nquel) 0,039 16,3Agua 0,00143 0,598Aire a 0C 0,000055 0,023Almina (Al2O3) 0,0016 0,0084 0,67 3,5Aluminio 0,480 200,9Amianto (suelto) 0,0004 0,167Hormign 20 1000C 0,0027 1,13Cobre 0,96 401Corcho 0,00012 0,05Hierro (sin tratar) 0,175 73Ladrillo refractario 0 800C 0,004 1,67Lana de vidrio 9,01 105 0,038Madera de pino

Segn fibra 8,2 104 0,34Perp. a fibra 2,6 104 0,11

Vidrio (ventana) 1,86 103 0,78

1.2. Flujo de calor. Ley de Fourier para medios istropos.

Para que transmisin del calor la distribucin de temperaturas debe ser no uniforme, es necesario que haya ungradiente de temperaturas entre distintos puntos del cuerpo. Si se considera un sistema de ejes coordenados en el cualuno de ellos est dirigido en la direccin perpendicular a la superficie isoterma en un punto y los otros en la direccinparalela (tangentes a la isoterma en ese punto) slo habr diferencia de temperaturas en la direccin perpendicular a laisoterma, pero no en las direcciones tangentes a la misma. Por tanto, el flujo de calor debe tener lugar en la direccinperpendicular a las isotermas, sin componente en las direcciones tangentes a la misma.

La ley de Fourier para medios istropos establece que la cantidad de calor Qt que pasa a travs de un elementode superficie d~S de la isoterma en el intervalo de tiempo dt es proporcional al gradiente de temperaturas, T

n~n0 en la

forma:2Qt = ~n0T

nd~Sdt = Td~Sdt [Q] = julios (S.I.) (12)

El factor de proporcionalidad es una propiedad fsica de la materia que describe la capacidad que tiene la sustanciapara conducir el calor, y a la que se denomina conductividad trmica. En la tabla 11 se dan algunos ejemplos deconductividades trmicas para distintos materiales.

[] =W

mC(S.I.) o cal

segmC

A la cantidad de calor transmitida en la direccin del flujo (normal a las superficies isotermas) por unidad de reaperpendicular al flujo y por unidad de tiempo se le denomina densidad de flujo trmico y viene dada por:

~q =d2Qt

d~Sdt= ~n0T

n=

d

dS~n0 = T [q] = W/m2 en S.I. (13)

En la direccin normal a las isotermas, la densidad de flujo se representa por un escalar:

q = |~q| = Tn

(14)

que expresa la ley bsica de la conduccin del calor, la densidad de flujo calorfico q (potencia calorfica transmitidapor unidad de superficie) es proporcional al gradiente de temperaturas.

Agustin Martin Domingo1.3. La ecuacin diferencial de la conduccin. 3

T

dS

dSl

~l

~n

Figura 12 Relacin entre las superficies dS y dSl.

Denominamos flujo de calor al calor transmitido por unidad de tiempo a travs de una superficie isoterma S,siendo sus dimensiones de potencia, de energa por unidad de tiempo. As, el flujo de calor o flujo trmico es:

=

S

~qd~S = S

T

nd~S~n0 [] = W en S.I.

pasando en un cierto intervalo de tiempo t una cantidad total de calor:

Qt = t0

S

T

nd~S~n0dt =

t0

dt

S

~qd~S [Q] = julios en S.I. (15)

La cantidad de calor que fluye por unidad de tiempo a travs de una superficie elemental de rea unidad que forma unngulo con el plano tangente a la superficie isoterma es:

ql = q cos =2QtdtdS

cos =2Qtdt

cos

dS dS=dSl cos

=2QtdtdSl

(16)

donde dS = cosdSl es la proyeccin de la superficie dSl sobre el plano tangente a la isoterma, como se ve en lafigura 12. As, a travs de dSl fluye una cantidad de calor:

dQt = qldSldt = q cosdS

cosdt = qdSdt (17)

igual que a travs de la superficie dS, fluyendo en el tiempo t un calor:

Qt = t0

Sl

T

ndSldt (18)

1.3. La ecuacin diferencial de la conduccin.

Para obtener las ecuaciones fsicas que rigen la conduccin, estudiaremos el fenmeno en un intervalo de tiempopequeo y en un elemento de volumen infinitesimal del medio. Nos olvidaremos de la constitucin ntima de la materia,considerando a sta como un medio continuo y nos restringiremos a los casos en que se cumple:

1. El medio es homogneo e istropo. Por lo tanto, sus propiedades fsicas son las mismas en todos los puntos delmedio, y no dependen de la direccin en que se midan.

2. Los parmetros fsicos son constantes y uniformes en el medio.

3. Las variaciones de volumen producidas por los cambios de temperatura son pequeas comparadas con el volu-men del cuerpo. Por lo tanto, el trabajo mecnico realizado es prcticamente nulo.

4. Las fuentes internas de calor, que dan una energa por unidad de tiempo y de volumen qv = f(x, y, z, t), estndistribuidas de forma uniforme en el cuerpo.


La deduccin que se presenta a continuacin est basada en la ecuacin del balance de la energa que surge directa-mente del primer principio de la Termodinmica:

Q1 + Q2 = dU (19)En esta expresin, Q1 representa el calor neto intercambiado con el exterior por parte del elemento de volumenconsiderado (considerndose positivo si es absorbido por el elemento), Q2 el calor aportado por fuentes internas decalor, y dU la variacin de energa interna de dicho elemento de volumen. Como no hay trabajo mecnico, W = 0.

Qx+dxQx

Qz+dz

Qz

z

xy

x x+ dx

Figura 13 Elemento de volumen para la obtencin de la ecuacin diferencial de la conduccin

El calor que entra por la cara x en la direccin Ox viene dado por:

Qx = qxdydzdt

mientras que el calor que sale por la cara x+ dx en la direccin Ox es:

Qx+dx = qx+dxdydzdt

Si desarrollamos qx+dx en serie de Taylor hasta primer orden, se tiene:

qx+dx = qx +qxx

dx

quedando el calor neto que entra o sale en la direccin x en la forma:

Qx1 = (qx qx+dx)dxdydzdt = qxx

dxdydzdt

donde qx es positivo al ser calor absorbido con el convenio escogido en la figura, es decir, flujo positivo en el sentidode los ejes x, y y z, y qx+dx negativo al ser calor cedido por la misma razn. Anlogamente se procede con los caloresnetos en las direcciones y y z:

Qy1 = (qy qy+dy)dxdydzdt = qyy

dxdydzdt

Qz1 = (qz qz+dz)dxdydzdt = qzz

dxdydzdt

Esto da, para el balance neto total de calor a travs de todas las caras del elemento de volumen, la ecuacin:

Q1 = [qxx

+qyy

+qzz

]dxdydzdt (110)


que da la cantidad neta de calor absorbida en el elemento de volumen considerado. En realidad, podramos haberladerivado directamente del Teorema de Gauss con un convenio de signos contrario para el flujo de ~q,

Q1dt

=

~q d~S =

V

~~q dV (111)

Consideremos ahora la parte debida a las fuentes internas de calor en el elemento de volumen. Si denominamos qva la potencia calorfica suministrada por unidad de volumen por las fuentes internas de calor que se encuentran en elelemento de volumen dv considerado (que en el sistema internacional se medir en W/m3), tendremos:

Q2 = qvdvdt = qvdxdydzdt (112)

Consideremos finalmente la variacin de la energa interna para un proceso a volumen constante. En un intervalo detiempo dt, esta variacin tiene la forma:

dU = dCvdT = dCvdT

dtdt = dv cv

dT

dtdt

donde dCv = dv cv es la capacidad calorfica a volumen constante del elemento de volumen. Por tanto queda, alhacer las sustituciones correspondientes en Q1 + Q2 = dU , ecuacin (19):

[qxx

+qyy

+qzz

]dxdydzdt+ qvdvdt = cv

dT

dtdvdt

que se puede escribir como:dT

dt= 1

cv(qxx

+qyy

+qzz

)+

qvcv

o, de forma ms compacta, en la forma:

cvdT

dt= ~q + qv (113)

Esta expresin es la ecuacin diferencial de la energa para procesos de intercambio de calor por conduccin a volumenconstante.

1.3.1. Ecuacin diferencial de la conduccin en un slido istropo.

En un slido istropo, el transporte de energa por conduccin obedece a la ley de Fourier para medios istropos,que tiene la forma ~q = T o ~qi = (T )i, y en los slidos ste es el mecanismo predominante. En stosadems se cumple de forma aproximada que cp cv c, por lo que la ecuacin diferencial de la conduccin paraslidos istropos queda:

dT

dt= 1

c(T ) + qv

c

o, escrito de otra manera, se tiene la ecuacin diferencial de la conduccin en la forma en que sta se escribe habitual-mente:

dT

dt=

c2T + qv

c= 2T + qv

c(114)

donde = c es la difusividad trmica [m2/s en S.I.] y donde se ha considerado nicamente el caso en el que esindependiente de la posicin, 6= (x, y, z). La difusividad trmica da una medida de la inercia trmica del sistema,mientras que la conductividad trmica es una medida de la facilidad con que el sistema conduce calor. En efecto,para una misma distribucin de temperaturas T (x, y, z), la temperatura variar tanto ms rpido cuanto mayor es ladifusividad trmica y el flujo en esas condiciones es tanto mayor cuanto mayor es la conductividad trmica . Ladifusividad trmica es tanto mayor cuanto mayor es la conductividad trmica del material y tanto menor cuantomayores son la densidad o el calor especfico del material. Algunos ejemplos de valores de la difusividad trmica sedan en la tabla 12 para distintos materiales.


Tabla 12 Difusividades trmicas para diversos materiales.Material (cm2/s)Aluminio 0,826Acero al carbono 0,12Almina (Al2O3) 0,0023 0,00116Aire a 0C 0,179Amianto (suelto) 0,0035Ladrillo refractario 0 800C 0,0074Hormign 20 1000C 0,0056Corcho 0,0017Agua 0,00143Madera de pino

Segn fibra 0,0036Perp. a fibra 0,0012

Si no hay fuentes internas de calor (qv = 0) queda la ecuacin de Fourier:dT

dt= 2T (115)

Si hay fuentes internas de calor, pero el sistema est en un estado estacionario, queda la ecuacin de Poisson:

2T + qvc

= 0 2T + qv

= 0 (116)

Finalmente, si tenemos conduccin en rgimen estacionario, y adems no hay fuentes internas de calor queda laecuacin de Laplace:

2T

x2+2T

y2+2T

z2= 2T = 0 (117)

1.3.2. Ecuacin diferencial de la conduccin en un medio anistropo.

Cuando el medio es anistropo, la transmisin del calor por conduccin depende de la direccin del flujo trmico.En este caso, la ley de Fourier (13) toma la forma

~q = [ij ]T o ~q = T (118)que en forma matricial se escribira

qxqy

qz

=

11 12 1321 22 23

31 32 33

T

x1

T

x2

T

x3

(119)

donde en vez de una conductividad trmica escalar aparece el tensor conductividad trmica (o [ij ]). Este tensores un tensor simtrico de segundo orden, y por tanto existe un sistema de ejes (ejes principales) en los cuales esdiagonal, denominndose en ese caso a los valores de la diagonal valores propios del tensor conductividad trmica oconductividades trmicas principales. En estos ejes principales, la ley de Fourier se expresa como

q1q2

q3

=

1 0 00 2 0

0 0 3

T

r1

T

r2

T

r3

(120)


donde r1, r2 y r3 corresponden a los ejes a lo largo de las direcciones principales. De esta forma, la ecuacin generalde la conduccin para medios anistropos queda en la forma

dT

dt=

1

c(ijT ) + qv

c(121)

Si la conductividad trmica es uniforme, esto es, no depende del punto del medio, es constante frente a las deriva-das espaciales deT y la ecuacin general de la conduccin se puede escribir, en el sistema de ejes principales,como

dT

dt=

1

c

[12T

r21+ 2

2T

r22+ 3

2T

r23

]+qvc

(122)

Para el caso istropo todas las i son iguales y el tensor conductividad trmica es diagonal con las tres componentesiguales (a la conductividad trmica escalar ) en cualquier sistema ortogonal de ejes de referencia. As, en el casoistropo, la ley de Fourier se reduce a la expresin (13) en funcin de la conductividad trmica escalar, y la ecuacingeneral de la conduccin a la expresin (114).

1.3.3. Condiciones para la resolucin del problema.

La teora de la conduccin intentar encontrar soluciones particulares para estas ecuaciones diferenciales en deri-vadas parciales y otras ecuaciones que describen la conduccin. As, para resolver cada problema concreto habr queestablecer:

Condiciones geomtricas, caractersticas de la forma y tamao del cuerpo en el que tiene lugar la conduccin. Descri-ben el recinto objeto de estudio.

Propiedades fsicas de la sustancia en que tiene lugar la conduccin (, , c).Distribucin inicial de temperaturas en el cuerpo, T0 = f(x, y, z, t0). Si la distribucin es uniforme, T = T0 para

t = t0 en todo el cuerpo. En algunos casos de rgimen permanente, bastarn las condiciones en los lmites delrecinto.

Condiciones de contorno que describen las interacciones del cuerpo con el medio externo.

1.3.4. Tipos de condiciones de contorno.

Estas condiciones de contorno pueden ser:

Condiciones de contorno de primera especie, tambin conocidas como condiciones de contorno de Dirichlet. Se dala distribucin de temperaturas en la superficie del slido en cada instante.

T = f(x, y, z, t)

Este es el tipo de condicin de contorno que se ver en el estudio del muro simple sin conveccin en la seccin1.5.1, donde se da la temperatura en las superficies externas.

Condiciones de contorno de segunda especie, tambin conocidas como condiciones de contorno de von Neumann.Se trata de condiciones de contorno en la derivada del campo ~q = ~T . Se da la densidad de flujo calorficopara cada punto de la superficie en cada instante.

qs = f(x, y, z, t)

Por ejemplo, en el caso de dos superficies perfectamente juntas, a travs de las cuales fluye el calor, la densidadde flujo es la misma para las dos.

Condiciones de contorno de tercera especie. Se da la temperatura exterior y la ley que gobierna la transferencia decalor entre la superficie del cuerpo y sus alrededores. El proceso de transferencia de calor entre la superficiede un cuerpo y el exterior obedece la ley de Newton, siendo la cantidad de calor intercambiada por unidad de


superficie y de tiempo proporcional a la diferencia de temperaturas entre el medio exterior (Tm) y la superficie(Ts):

A= q = h(Ts Tm), con [h] = W

m2Cen el S.I. (123)

donde h es el coeficiente de transmisin superficial del calor, coeficiente de pelcula, coeficiente de transmisinaire-superficie o, como veremos en el apartado 1.4, coeficiente de conveccin. As:

q = (T

n

)s

(T

n

)s

= h(Ts Tm)

Este es el tipo de condicin de contorno que se utiliza cuando la conveccin est presente.

Condiciones de contorno de cuarta especie. Los cuerpos estn en contacto perfecto y se igualan las potencias calo-rficas transmitidas entre ellos. Este es el tipo de condicin de contorno que se utiliza en el estudio de la trans-misin del calor a travs de la superficie de separacin de dos paredes planas o cilndricas (o de otra forma) queestn en contacto perfecto.

Es decir, se da (x, y, x, t) en la superficie.

1.4. Transmisin del calor por conveccin.

Cuando en un fluido que se encuentra en un campo gravitatorio hay regiones de distinta densidad, siendo las zonasms densas por ms fras las que se encuentran en la parte superior, stas se mueven hacia las zonas de menor densidadque se encuentran en la parte inferior (ms caliente) desplazando el fluido que all se encuentra. Por ejemplo, enun radiador, el aire fro, al ser ms denso que el aire caliente va hacia las zonas ms bajas, desplazando al airecaliente, que asciende hacia las zonas ms altas. Las partculas ms calientes van hacia las zonas ms fras y viceversa.Se establece as una circulacin de materia (aire) que tiende a igualar la temperatura del conjunto del gas en unproceso al que se denomina conveccin, aunque sto corresponde slo a un caso concreto de conveccin. En unsentido ms general, denominaremos conveccin a todo proceso de transferencia de calor entre dos zonas a distintatemperatura como consecuencia del movimiento de materia caliente hacia las zonas fras y de materia fra hacialas zonas calientes. Obviamente la conveccin aparecer nicamente en fluidos, que es donde puede producirse estemovimiento de materia.

Consideremos una superficie slida que se encuentra a una temperatura T , en contacto con un fluido a una tempe-ratura Tf . En estas condiciones se produce conveccin, caracterizada por un flujo trmico transmitido dado por unarelacin emprica conocida como ley de enfriamiento de Newton

= h(T Tf)S (124)

equivalente al caso de las condiciones de contorno de tercera especie que se vio en la pgina 7.

h no es un parmetro fijo, sino que depende, de una forma en general compleja, de distintas variables como lageometra del problema (con las dimensiones del sistema y la posible presencia de otras superficies que limiten laconveccin), el estado de las superficies, las temperaturas, la velocidad del fluido o el tipo de conveccin. En unanlisis detallado ni siquiera el coeficiente de conveccin es uniforme en toda la superficie y lo que se conoce como hes en realidad un valor promedio en la superficie, el coeficiente de conveccin promedio,

h =1

S

S

hdS (125)

As por ejemplo, la conveccin en la pared exterior de un edificio ser, para una misma diferencia de temperaturas,distinta de la conveccin en la pared interna de una habitacin, ya que en la primera se desarrolla a lo largo de toda laaltura del edificio, mientras que en la segunda se desarrolla slo a lo largo de la altura de la habitacin.

Mal llamado radiador, porque en realidad el calentamiento tiene lugar por conveccin, natural cuando no hay ventilador, y forzada cuando seutiliza sta para aumentar el intercambio de calor. Curiosamente las estufas de infrarrojos seran las que calentaran ms por radiacin.

Agustin Martin Domingo1.4. Transmisin del calor por conveccin. 9

Otra forma de definir el coeficiente de conveccin es a travs de un parmetro adimensional denominado nmerode Nusselt que est definido como

Nu = hL

(126)

en funcin de la conductividad trmica del material , del coeficiente de conveccin promedio en la superficie h yde una longitud caracterstica del modelo dada por L (por ejemplo el dimetro de un cilindro o el lado de una placa).El nmero de Nusselt es una medida de la relacin entre las tasas de transferencia de calor por conveccin y porconduccin en un fluido.

A la hora de tratar el problema de la conveccin surge otro problema prctico, cuando se coloca el termmetro encontacto con la superficie, una parte del mismo est en contacto trmico con el fluido, afectando a las medidas de latemperatura. Esto hace que a menudo sea difcil medir con precisin la temperatura de la superficie y no haya msremedio que recurrir a mtodos iterativos.

El movimiento del fluido producido por la conveccin a lo largo de la superficie tiene caractersticas similares a lasque se estudian en los libros de hidrodinmica. As en la misma superficie se satisface la denominada condicin de nodeslizamiento en la que el fluido est en reposo respecto a la superficie como consecuencia del predominio absoluto delas fuerzas viscosas sobre las de inercia. Segn nos separamos de la superficie, la influencia de las fuerzas de inerciava aumentando, aunque en una primera zona, denominada capa lmite siguen predominando las fuerzas viscosas yse dice que el flujo es laminar, esto es ordenado en capas. Ms lejos de la superficie el flujo se hace desordenado oturbulento. El paso de rgimen laminar a turbulento se caracteriza mediante una magnitud adimensional denominadanmero de Reynolds Re dado por

Re =vL

=

vL

(127)

con la densidad, L la longitud de la placa, la viscosidad dinmica y = / la viscosidad cinemtica. El nmerode Reynolds representa una cierta relacin entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas en el flujo. En la mayorade los clculos analticos el nmero de Reynolds crtico para la transicin entre flujo laminar y turbulento en una placaplana se toma como 5 105, pero en realidad depende fuertemente de la rugosidad de la superficie y de la intensidadde la turbulencia de la corriente libre.

Ntese que tanto la definicin de nmero de Reynolds como el valor del nmero de Reynolds crtico dependen de lageometra del problema. As, en un problema de transmisin de calor por conveccin por un fluido que circula por unatubera deberamos utilizar el dimetro d de la tubera en vez de L y el valor del nmero de Reynolds crtico tambinsera distinto.

En la prctica a menudo es necesario utilizar medidas experimentales para obtener los valores del coeficiente deconveccin, ya que los clculos tericos slo pueden realizarse en algunas de las geometras ms favorables.

La conveccin puede ser natural o forzada. Se dice que la conveccin es natural cuando las paredes en contactocon el sistema estn en reposo, (por ejemplo, en un convector de los denominados radiadores), mientras que se diceque la conveccin es forzada cuando algunas de las paredes en contacto con el fluido se mueven favoreciendo lacirculacin de ste. Como hemos visto, en conveccin natural el fluido se mueve espontneamente en el campo defuerza gravitatorio como consecuencia de la diferencia de densidades entre zonas calientes y fras.

1.4.1. Conveccin forzada.

En buena parte de los casos el nmero de Nusselt para la conveccin forzada puede ajustarse por una expresin dela forma

Nu = cteRemPrn (128)donde Re es el nmero de Reynolds y Pr es el nmero de Prandtl, dado por

Pr =

=

cp

(129)

Por ejemplo, un convector de los denominados convectores, en los que las palas de un ventilador favorecen el movimiento del fluido.


T Tf

calientemenos denso

froms denso

Figura 14 La conveccin natural tiene lugar a consecuencia de las distintas densidades del aire caliente y fro. El aire fro, ms denso, desplaza alaire caliente cuando ste ltimo est en las capas ms bajas. Este mismo fenmeno de conveccin tiene lugar en la superficie de un muro.

con la difusividad trmica del fluido. L es una dimensin caracterstica del sistema y cte, n y m son parmetrosfuncin de la geometra y del rango de nmeros de Reynolds. Para los gases el nmero de Prandtl Pr apenas dependede la temperatura y en el caso concreto del aire puede tomarse Pr = 0,7.

Dependiendo del tipo de flujo (laminar o turbulento) y de la geometra de las superficies se utilizan distintas expre-siones para el nmero de Nusselt. As, para superficies planas en rgimen laminar se utiliza una expresin de laforma

Nu = 0,664Re1/2Pr1/3 (130)vlida en el rango Pr < 0,6 y Re < 5 105. Para una superficie plana en rgimen turbulento se utiliza la expre-sin

Nu = 0,037Re4/5Pr1/3 (131)vlida en el rango 0,6 < Pr < 60 y 5 105 < Re < 107. A menudo la lmina es lo suficientemente grande para quese tenga una combinacin de flujo laminar y turbulento. En este caso,

Nu = (0,037Re4/5 871)Pr1/3 (132)

vlida en el rango 0,6 < Pr < 60 y 5105 < Re < 107. Un expresin utilizada para conveccin forzada en el interiorde una tubera cilndrica es la siguiente,

Nu = 0,02Re8,8. (133)

1.4.2. Conveccin con cambio de fase.

Cuando los procesos de conveccin tienen lugar junto a un cambio de fase, como ocurre en los procesos de convec-cin asociados a la condensacin o a la ebullicin se producen unos intercambios de calor muy intensos, incluso msintensos que en la conveccin forzada.

1.4.3. Conveccin libre o natural.

En conveccin libre se observa experimentalmente que puede ajustarse el valor del nmero de Nusselt mediante unaexpresin de la forma

Nu = cte(Gr Pr)n, (134)donde cte y n se ajustarn experimentalmente y Gr es el nmero de Grashoff que se define como

Gr = gv(Ts Tf )L3

2(135)

Agustin Martin Domingo1.4. Transmisin del calor por conveccin. 11

donde v es el coeficiente de dilatacin de volumen. El nmero de Grashoff desempea en conveccin libre un papelsimilar al que realiza en conveccin forzada el nmero de Reynolds. En concreto, representa la relacin entre lasfuerzas de flotabilidad y las fuerzas viscosas en la corriente de conveccin natural y es la variable principal utilizadacomo criterio de la transicin de capa lmite laminar a turbulenta.

Se denomina al producto de los nmeros de Gr y Pr que aparece en la ecuacin (134) nmero de Rayleigh, definidoen la forma

Ra = Gr Pr (136)

En un modelo simplificado para conveccin natural entre el aire y varias superficies los coeficientes de conveccintienen la forma que se muestra en la tabla 13

Tabla 13 Valores del coeficiente de conveccin en un modelo simplificado de conveccin natural del aire. h es el coeficiente de conveccin enunidades de W/m2C, T la diferencia de temperaturas en grados centgrados entre la superficie y un punto del aire suficientemente alejado de lamisma, L la dimensin vertical u horizontal en metros y d el dimetro tambin en metros, segn corresponda.

Superficie Laminar104 < Ra < 109

TurbulentoRa > 109

Plano o cilindro vertical h = 1,42(T

L

)1/4h = 1,31(T )1/3

Cilindro horizontal h = 1,32(T

d

)1/4h = 1,24(T )1/3

Placa horizontal caliente mirando haciaarriba o placa fra mirando hacia abajo

h = 1,32

(T

L

)1/4h = 1,52(T )1/3

Placa horizontal caliente mirando haciaabajo o placa fra mirando hacia arriba

h = 0,59

(T

L

)1/4

En un modelo ms elaborado la intensidad de la transmisin de calor por conveccin tiene una forma ms compleja.As, para rgimen laminar en una superficie plana vertical el nmero de Nusselt tiene la forma

Nu = 0,68 + 0,67Ra1/4[

1 + (0,492/Pr)9/16]4/9 , (137)

expresin vlida para 0 < Ra < 109, mientras que cuando se tiene una combinacin de rgimenes laminar y turbulentoen la misma superficie plana vertical, se utiliza para el nmero de Nusselt la expresin

Nu = 0,825 + 0,387Ra1/6[

1 + (0,492/Pr)9/16]8/27 , (138)

vlida para 101 < Ra < 102. Tambin se obtienen expresiones para el nmero de Nusselt en conveccin libre encilindros largos,

Nu =

{0,60 +

0,387Ra1/6[1 + (0,559/Pr)9/16

]8/27}2

, (139)

expresin vlida para 105 < Ra < 102, en la que ahora la longitud caracterstica es el dimetro del cilindro. Parauna superficie esfrica, en funcin del dimetro de la esfera, queda,

Nu = 2 + 0,589Ra1/4[

1 + (0,469/Pr)9/16]4/19 . (140)

para el rango Ra < 104 y Pr < 0,5.


T

T1

T2

b

~q ~q

rea A

x0

T (x)

Figura 15 Conduccin del calor en una dimensin a travs de un muro simple homogneo. La temperatura vara en el interior del muro de formalineal entre los valores T1 y T2 de las dos superficies externas del muro.

1.5. Casos particulares de conduccin y conveccin.

1.5.1. Transmisin del calor por conduccin y conveccin a travs de muros de paredes planas.

Muro simple de paredes planas con condiciones de contorno de primera especie (Temperatura en las superficiesdelimitadoras).

Consideramos ahora el caso de una pared homognea e istropa de espesor b y rea A, con una conductividadtrmica uniforme y constante. Las superficies externas se mantienen a las temperaturas constantes T1 y T2 (conT1 > T2) y en el problema a estudiar no hay fuentes internas de calor. As, ste es un problema unidimensional,

T

y=

T

z= 0

y, como en un rgimen permanente (estacionario) las temperaturas T1 y T2 son constantes:

dT

dt= 0 = 2T + qv

c=

2T

x2

queda, finalmente:2T

x2= 0 T

x= cte = C1 T = C1x+ C2 (141)

Si imponemos la condicin de contorno T = T1 para x = 0, se tiene que T1 = C2, e imponiendo adems la condicinde contorno T = T2 para x = b, se tiene que:

T2 = C1b+ T1 C1 = T2 T1b

quedando finalmente la distribucin de temperaturas en el interior del muro simple:

T =T2 T1

bx+ T1 (142)

Agustin Martin Domingo1.5. Casos particulares de conduccin y conveccin. 13

T1 T2 T3 Tn+1

b1 b2 b3 bn

1 2 3 n

Figura 16 Conduccin del calor en una dimensin a travs de un muro compuesto. La temperatura vara linealmente dentro de cada murohomogneo entre los valores en sus dos superficies, con una pendiente distinta en cada muro dependiendo de su espesor y de su conductividadtrmica.

que como vemos sigue una ley lineal. La densidad de flujo que circula a travs del muro ser q = b(T2 T1) y el

flujo trmico elemental transmitido vendr dado por:

d = qdS = Tx

dS = T2 T1b

dS = b(T2 T1)dS

siendo la potencia total:

=

0

d =

A

T2 T1b

dS = =

b(T1 T2)S (143)

Muro compuesto de paredes planas con condiciones de contorno de primera especie.

En el estado estacionario, la potencia transmitida por unidad de superficie es la misma para todos y cada uno delos muros simples que forman el muro compuesto. En caso de que no fuera as, en alguno de ellos haba acumulacino cesin neta de calor y no estaramos en el estado estacionario ya que se tendra variacin de T . Si tomamos porejemplo T1 > Tn+1 se tiene, para cada muro:

S=

1b1

(T1 T2) T1 T2 = b11

S

.

.

.

S=

nbn

(Tn Tn+1) Tn Tn+1 = bnn

S

Sumando estas expresiones, se tiene:

T1 Tn+1 =i

bii

S=

S

i

bii

(144)

quedando, para la densidad de flujo calorfico:

q =

S=

T1 Tn+1i

bii

= Uc(T1 Tn+1) (145)

donde se denominaRc =

bi/i a la resistencia trmica global a la conduccin del calor y Uc = R1 al coeficienteglobal de conduccin. A ste se le denomina tambin coeficiente de transmisin del calor superficie-superficie.


T

h1 h2

TS1

TS2

Tf1

Tf2

x

b

Tf1 > Tf2

Figura 17 Condiciones de contorno de tercera especie para un muro simple.

Condiciones de contorno de tercera especie para los muros simple y compuesto de paredes planas (Paredesplanas con conduccin y conveccin.)

Consideremos una pared plana que separa dos fluidos en movimiento. ConocemosTf1 , Tf2 , h1, h2, y b que ademsde conocidas son constantes, y queremos conocer la cantidad de calor que fluye desde el fluido caliente al fro, ascomo las temperaturas en las caras de la pared. La densidad de flujo trmico entre el fluido caliente y la pared vienedada por la ley de enfriamiento de Newton:

q =

S= h1(Tf1 TS1) Tf1 TS1 =

q

h1=

1

h1

S

En rgimen estacionario, esa misma potencia se transmitir por conduccin por unidad de superficie a travs de lapared:

q =

b(TS1 TS2) TS1 TS2 =

b

q

y la misma desde la superficie S2 al fluido fro:

q = h2(TS2 Tf2) TS2 Tf2 =q

h2

Sumando todas estas expresiones, se tiene:

Tf1 Tf2 = q(

1

h1+

b

+

1

h2

)(146)

que se puede escribir como:q =

S= Ut(Tf1 Tf2) (147)

donde Ut es el coeficiente global de transmisin del calor y su inversa

1

Ut=

(1

h1+

b

+

1

h2

)(148)

la resistencia trmica total del sistema al paso del calor, Rt = 1/Ut = R1 +Rb +R2, donde:

R1 =1

h1es la resistencia trmica a la transmisin del calor desde el fluido caliente a la pared.


Rb =b

es la resistencia trmica a la transmisin del calor por conduccin dentro del muro.

R2 =1

h2es la resistencia trmica a la transmisin del calor desde la pared al fluido fro.

Es frecuente hablar de estos coeficientes globales de transmisin del calor como coeficientes aire-aire. Para un murocompuesto, las expresiones anteriores toman la forma:

Rt =1

Ut=

1

h1+i

bii

+1

h2(149)

Este resultado es muy similar al obtenido para el caso de las resistencias elctricas en serie, salvo en la presencia dela superficie en la definicin de resistencia trmica en transmisin del calor a travs de muros. La presencia de estasuperficie hace que cuando se trata el caso de las resistencias trmicas en paralelo, definidas de esta forma, no seaposible una extensin directa del caso de las resistencias elctricas, como s es posible cuando se define la resistenciatrmica en la forma en que se define en electrnica, y que est relacionada con sta mediante S Rtel = Rt.

1.5.2. Transmisin del calor por conduccin y conveccin a travs de paredes cilndricas.

Condiciones de contorno de primera especie en una pared cilndrica simple.

Veamos ahora como tratar el problema de la conduccin de calor a travs de una pared cilndrica. Ahora no esposible hacer una extensin directa de lo que se ha visto para el caso de una pared plana salvo que el espesor de lapared sea mucho menor que su radio, ya que las reas de las caras interna y externa son distintas. Esto hace que,aunque el flujo trmico (potencia transmitida) a travs de ambas paredes sea el mismo, no lo sea la densidad de flujo(potencia por unidad de superficie). Sin embargo, si consideramos un tubo cilndrico de radio r y espesor infinitesimaldr dentro de la pared cilndrica, como el que se muestra en la figura 18, s es posible considerar las superficies internay externa como prcticamente similares, y por tanto, es posible aplicar entre ellas la ley de Fourier en la forma:

~q =d

dS~ur = ~T = dT

dr~ur

donde en la ltima expresin ya se ha tenido en cuenta que debido a la simetra cilndrica del problema la nicadependencia de la temperatura es con la distancia r al eje del cilindro. El rea total es S = 2rL, siendo L la longituddel cilindro, y el flujo trmico total a travs de la pared cilndrica es , quedando:

S= qr = dT

dr

2rLdr = dT,

El flujo trmico es el mismo para las dos superficies y, por tanto, al integrar en r y T se tiene:

2L

ln r2r1

= (T2 T1).

Es decir, la diferencia de temperaturas entre las caras interior y exterior del cilindro viene dada por:

T1 T2 = 2L

lnr2r1

(150)

Este mismo resultado podra haberse obtenido a partir de la ecuacin de Laplace (117) expresada en coordenadascilndricas,

2T = 1r

r

(rT

r

)+

1

r22T

2+2T

z2= 0, (151)

Esta no es la nica definicin de resistencia trmica que se utiliza. Por ejemplo, en electrnica, cuando se calcula la resistencia trmica de losdisipadores utilizados, la resistencia trmica de un elemento sencillo se define como:

T = Rtel =

SRt

y en este caso la analoga con las resistencias elctricas en serie y paralelo es completa.


r

r

dr r1

r1

r2

r2

T

T

T1

T1T2

T2

Figura 18 Conduccin a travs de un cilindro de una pared simple.

r

r1

r1

r2

r2

r3

r3

r4

r4

T T1

T1

T2

T2

T3

T3

T4

T4

11 2

2

3

3

Figura 19 Conduccin a travs de un cilindro de paredes mltiples.

que, dado que no hay dependencia ni en ni en z se convierte en

1

r

T

r+2T

r2= 0. (152)

Para ello habra sido necesario resolver esta ecuacin diferencial en derivadas parciales. Puede comprobarse que unafuncin del tipo T = A lnBr, con A y B dos constantes, es una solucin genrica de la ecuacin diferencial (152)con dos variables independientes, como corresponde a una ecuacin diferencial de segundo orden.

Condiciones de primera especie en paredes cilndricas compuestas.

Si en vez de tenerse una nica capa cilndrica como en el apartado anterior, se tiene una pared cilndrica de distintascapas, todas ellas cilndricas, como la que se muestra en la figura 19, es fcil obtener la relacin entre las distintasconductividades trmicas, los radios interior y exterior del cilindro compuesto y las temperaturas en las superficiesexterna e interna. Si ri son los radios internos de cada capa, Ti sus temperaturas, y i sus conductividades trmicas se


tiene, para cada una de las distintas capas cilndricas,

T1 T2 = 21L

lnr2r1

T2 T3 = 22L

lnr3r2

...

Tn1 Tn = 2n1L

lnrnrn1

Tn Tn+1 = 2nL

lnrn+1rn

Ahora bien, el flujo trmico es el mismo para todas las capas, por lo que al restar y sacar factor comn queda laexpresin

T1 Tn+1 = T supint T supext =

L

1

2

{1

1lnr2r1

+ ...+1

nlnrn+1rn

}que en forma ms esquemtica puede escribirse como

T1 Tn+1 = L

1

2

{ni=1

1

ilnri+1ri

}(153)

Paredes cilndricas compuestas con conduccin y conveccin.

El caso ms frecuente no es conocer de forma exacta las temperaturas en las paredes interior y exterior del cilindro,sino conocer solamente las temperaturas Ti y Te en los medios interior y exterior. Entre estos fluidos interior y exteriory las respectivas paredes, el calor se transmite bsicamente por conveccin, de acuerdo con la frmula de Newton(123). Estas relaciones deben ser aadidas a las que se acaban de ver para el caso de la pared cilndrica compuesta,quedando

Ti T1 = 1hi

2r1

T1 T2 = 21L

lnr2r1

T2 T3 = 22L

lnr3r2

...

Tn Tn1 = 2n1L

lnrnrn1

Tn+1 Tn = 2nL

lnrn+1rn

Tn+1 Te = 1he

2rn+1

donde hi y he son los coeficientes de conveccin en las paredes interna y externa, respectivamente. Sumando todasestas expresiones se obtiene

Ti Te = L

1

2

{1

hir1+

1

1lnr2r1

+ ...+1

nlnrn+1rn

+1

hern+1

}

que de forma ms resumida puede escribirse en la forma

Ti Te = L

[1

2hir1+

1

2

(ni=1

1

ilnri+1ri

)+

1

2hern+1

]. (154)


Esto puede escribirse como el flujo trmico por unidad de longitud en la forma

L= UL(Ti Te), (155)

donde

UL =

[1

2hir1+

1

2

(ni=1

1

ilnri+1ri

)+

1

2hern+1

]1(156)

es el coeficiente lineal global de transmisin del calor y su inversa

RL =1

2hir1+

1

2

(ni=1

1

ilnri+1ri

)+

1

2hern+1(157)

la resistencia trmica lineal global a la transmisin del calor.

Agustin Martin DomingoCaptulo 2Fenmenos de transporte: procesos dedifusin.

2.1. Conceptos fundamentales y leyes.

Muchos procesos de transferencia de calor que se encuentran en la naturaleza vienen acompaados por procesos detransferencia de masa de un componente a travs del otro. Esto se tiene, por ejemplo, en la condensacin del vaporprocedente de una mezcla gas-vapor y en la evaporacin de un lquido en una mezcla gas-vapor. El lquido evaporadose distribuye por la mezcla gas-vapor por difusin, viniendo acompaado este proceso de un cambio en la naturalezade la mezcla y de una variacin en la intensidad de transferencia de calor, lo que a su vez influye en el proceso dedifusin.

Se entiende por difusin el proceso espontneo de extensin o esparcimiento de materia en un medio binario osistema de dos componentes bajo la influencia de la diferencia de concentracin. En una mezcla homognea en loreferente a la temperatura y la presin, la difusin tiende a homogeneizar las concentraciones en el sistema, viniendoacompaada de transferencia de masa de la regin de alta concentracin a la regin de baja concentracin. El flujo dedifusin se puede determinar de cualquier manera, como masa de la sustancia disuelta que pasa por unidad de tiempoy de rea, como nmero de molculas, etc...

La difusin est caracterizada por el flujo de difusin J de un componente, esto es, por la cantidad de materia quepasa en la unidad de tiempo a travs de una superficie dada en la direccin normal a la superficie. Definiremos ladensidad de flujo de difusin j como la cantidad de sustancia que pasa en la unidad de tiempo a travs de la unidad derea de la superficie dada en la direccin normal a esta superficie.

j =dJ

dS(21)

y, por tanto:

J =

S

jdS

quedando, para j uniforme:J = jS

La densidad de flujo de difusin es un vector. Consideraremos que el valor de una de sus componentes es positivocuando sta est dirigida hacia el sentido positivo del eje, y negativo en caso contrario.

Como la sustancia se traslada de los lugares de mayor concentracin a los de menor concentracin, el signo de lacomponente del flujo en una direccin ser el contrario del que da la derivada de la concentracin en esa direccinc

n. Si la concentracin aumenta de izquierda a derecha, el flujo va hacia la izquierda y viceversa. Adems, si la

concentracin de la solucin es uniforme cn

= 0, no habr flujo de difusin. Considerando todo sto, para un sistemaestacionario macroscpico de dos componentes, homogneo en lo que respecta a temperatura y presin, la densidadde flujo de difusin de uno de los componentes, debido a difusin molecular, viene dada por la Ley de Fick:

ji = Dcin

(22)

o, en la forma vectorial habitual:~ji = Dci (23)

donde

19

Agustin Martin Domingo20 Captulo 2. Fenmenos de transporte: procesos de difusin.

ci es la concentracin local de la sustancia (componente) i-sima. Puede medirse en masa por unidad de volumen,moles por unidad de volumen, etc...

D es el coeficiente de difusin molecular de un componente respecto del otro o, de forma abreviada, el coeficiente dedifusin [m2/s].

n es la direccin normal a la superficie que une los puntos con similar concentracin del componente.

cin

es el gradiente de concentracin (concentracin relativa) que est siempre dirigido hacia el sentido creciente delas concentraciones.

El gradiente de concentraciones es la fuerza motriz que determina la transferencia de materia. Esto es equivalenteal caso de la conduccin del calor, donde la fuerza motriz que determina la transferencia de energa es el gradiente detemperaturas.

El signo negativo en la ecuacin (23) indica que el movimiento de masa por difusin tiene lugar, de acuerdo conla ley de Fick, hacia las regiones de menor concentracin. A este proceso descrito por la ley de Fick se le denominadifusin por concentracin.

De acuerdo con consideraciones de la teora cintica de los gases, el coeficiente de difusin aumenta cuando latemperatura crece, y disminuye cuando la presin aumenta. Tambin depende en cierta medida de las proporcionesde la mezcla, pero esta dependencia es pequea cuando la concentracin del componente considerado es pequea,y es habitualmente ignorada en los clculos. El coeficiente de difusin es idntico para los dos componentes que sedifunden mutuamente en una mezcla de dos componentes. Sus unidades son [m2/seg] en el sistema internacional y suvalor no depende de la forma en que midamos ~j, siempre que la densidad de flujo de difusin ~j y la concentracin cutilicen la misma forma de medir la materia.

Al hablar de difusin se ha sobreentendido que sta tiene lugar en un medio en reposo, de forma que la igualacinde las concentraciones es debida exclusivamente al movimiento trmico desordenado de las distintas molculas. Sesupone que el lquido o gas no se mezcla debido a accin exterior alguna que lo ponga en movimiento.

Sin embargo este tipo de mezcla puede aparecer en el fluido por la accin de la fuerza gravitatoria. Si se vierte unlquido ms ligero sobre agua, por ejemplo, alcohol, la mezcla se producir por difusin, pero si se vierte agua sobrealcohol, el agua descender como lquido ms pesado.

De este modo vemos que es posible, bajo la accin del campo gravitatorio, uniformizar la composicin del medioen un proceso acompaado de movimiento del mismo. A este fenmeno se le denomina tambin conveccin, siendola igualacin de concentracin producida por conveccin ms rpida que la producida por difusin. Este proceso esanlogo al de la conveccin que ya hemos visto, en el cual el aire fro ms denso desplaza al aire caliente ms ligerode las zonas bajas.

2.2. Difusin del vapor.

Dentro de los procesos de difusin, el problema de la difusin del vapor a travs de los cerramientos de las edifi-caciones tiene una importancia especial, ya que puede provocar en los mismos consecuencias indeseables no previs-tas.

La mayora de los materiales son en mayor o menor medida permeables al agua, y por tanto son adems permeablesal vapor, pero tambin se tienen materiales impermeables al agua que por el contrario son permeables al vapor de agua,ya que el vapor puede atravesar intersticios que el agua no puede. El transporte de vapor de agua se realiza bien con elaire en movimiento, o bien por el aire macroscpicamente inmvil en una difusin por concentracin. sta es la formaen que el vapor de agua viaja a travs de ladrillos y dems materiales permeables, que a su vez, presentan una ciertaresistencia al paso de vapor de agua a su travs.

Agustin Martin Domingo2.2. Difusin del vapor. 21

2.2.1. La ley de transporte del vapor de agua.

Como en otros procesos de difusin por concentracin, el vapor de agua se difunde desde las zonas de mayorconcentracin a las zonas de menor concentracin. En el caso de la difusin de vapor de agua a travs de los materiales,es habitual representar la concentracin de vapor de agua a travs de la tensin de vapor. La ley de Fick particularizadaa este caso se escribe como

~jv = dve (24)donde ~jv es la densidad de flujo de difusin del vapor de agua (de unidades [kg/m2s]), dv la difusividad al vapor(unidades: [kg m/N s] s) que es una caracterstica del material, y e la tensin de vapor. A la inversa de la difusividadal vapor rv = 1/dv se le denomina resistividad al vapor, y sus unidades son, en el sistema internacional [N S/kg m](s1) .

2.2.2. Difusin del vapor a travs de paredes planas

Consideremos el caso particular de difusin del vapor a travs de una pared plana de espesor a y difusividad al vapordv , siendo e1 y e2 las tensiones de vapor antes y despus de la pared, respectivamente (por simplicidad, consideraremose2 > e1). En este caso, la ecuacin (24) da directamente

jv =dva(e2 e1) (25)

que se puede escribir comojv = Dv(e2 e1) (26)

dondeDv es el coeficiente de difusin al vapor, de unidades [kg/N s] (s/m) y su inversaRv = 1/Dv es la resistenciaal vapor, de unidades [N s/kg] (m/s).

Si en vez de una nica capa tenemos una serie de capas planas de espesores a1, a2, ..., an y difusividades al vapordv1 , dv2 , ..., dvn , las densidades de flujo de difusin a travs de cada una de ellas sern de

jv1 = Dv1(e2 e1)jv2 = Dv2(e3 e2)

...

jvn = Dvn(en+1 en)En rgimen estacionario el flujo a travs de todas las capas es el mismo, y si se escriben las ecuaciones anteriorescomo

e2 e1 = 1Dv1

jv = Rv1jv

e3 e2 = 1Dv2

jv = Rv2jv

...

en+1 en = 1Dvn

jv = Rvnjv

y se suman, se tiene

en+1 e1 =(

1

Dv1+

1

Dv2+ ...+

1

Dvn

)jv = (Rv1 +Rv2 + ...+Rvn) jv

que puede escribirse como

en+1 e1 =ni=1

aidvi

jv =

[ni=1

1

Dvi

]jv =

[ni=1

Rvi

]jv = Rvjv =

1

Dvjv (27)

donde Rv =iRvi es la resistencia al vapor del muro completo y Dv = 1/Rv el coeficiente de difusin al vapor del

muro completo.

Agustin Martin Domingo22 Captulo 2. Fenmenos de transporte: procesos de difusin.

2.3. Difusin trmica.

Cuando hemos hablado de difusin en una mezcla de gases, se ha considerado nicamente el caso en el que tantola temperatura como la presin del gas son iguales en todas partes, de forma que la nica causa de la difusin es elgradiente de concentraciones en la mezcla. Sin embargo, el gradiente de temperaturas tambin puede dar lugar a unadifusin, incluso si la mezcla es de composicin uniforme.

Para ver esto consideremos una superficie imaginaria en un medio de concentracin uniforme, con distintas tempe-raturas a cada lado de la superficie. Como las molculas que se encuentran en el lado de la superficie de mayortemperatura tienen un movimiento trmico mayor, cuando se considera el balance de molculas que atraviesan lacitada superficie tanto en el sentido de temperaturas crecientes como en el sentido de temperaturas decrecientes, seobserva que hay un flujo neto de partculas desde un lado a otro. A este proceso en el que aparece un flujo de difusindebido al gradiente de temperaturas se le llama difusin trmica. Este es un fenmeno muy importante sobre todo engases, aunque se presenta tambin en las mezclas lquidas.

En la difusin trmica, la densidad de flujo de difusin, al que designaremos jT es proporcional al gradiente detemperatura del gas y se ha establecido expresarlo de la siguiente manera:

jT = DT1

T

dT

dn(28)

o, en forma vectorial en funcin del gradiente de temperaturas:

~jT = DT1

TT (29)

donde a la magnitud DT se le denomina coeficiente de difusin trmica. Mientras que el coeficiente de difusin D essiempre positivo, el signo del coeficiente de difusin trmica es en principio indeterminado y depende del flujo de lacomponente de la mezcla en cuestin.

Cuando la concentracin de una componente cualquiera en la mezcla tiende a cero, el coeficiente de difusin trmicade esa componente debe de tender a cero, ya que en el gas puro, evidentemente no hay difusin de la componenteque no est presente. De este modo, vemos que el coeficiente de difusin trmica depende considerablemente de laconcentracin de la mezcla, de nuevo al contrario que el coeficiente de difusin corriente.

Debido a la difusin trmica, en una mezcla gaseosa de composicin originalmente homognea, aparecen diferen-cias de concentraciones entre lugares calentados de distinta forma. Estas diferencias de concentraciones producen,a su vez, una difusin corriente que acta en el sentido contrario, tendiendo a anular el gradiente de concentracinproducido. En condiciones estacionarias, si se mantiene en el gas un gradiente de temperaturas constante, estos dosprocesos opuestos acaban conduciendo a un estado estacionario en el que los dos flujos se compensan, mantenindoseuna determinada diferencia entre las composiciones de las regiones fra y caliente del gas.

Agustin Martin DomingoCaptulo 3Transmisin del calor: radiacin.

3.1. Conceptos bsicos de la radiacin.

En la transmisin del calor por radiacin un cuerpo cede parte de su energa interna a travs de la emisin de ondaselectromagnticas (que viajan a la velocidad de la luz y no necesitan de un medio material para su propagacin). Alabsorberse estas ondas electromagnticas por otros slidos, su energa pasa de nuevo a un movimiento trmico de lasmolculas y, por tanto, a un aumento de temperatura.

As, el proceso de intercambio de energa por radiacin es un proceso de absorcin y emisin posterior de energaen forma de fotones por parte de los tomos y molculas de una sustancia.

3.1.1. El espectro de la radiacin electromagntica.

La radiacin electromagntica consiste en una perturbacin armnica de los campos elctrico y magntico que sepropaga por el espacio La radiacin electromagntica se caracteriza bien por su longitud de onda, bien por su frecuen-cia de oscilacin , relacionadas ambas por la expresin = c/. Todos los tipos de radiacin electromagntica no sonen el fondo ms que ondas electromagnticas de distintas longitudes de onda. As, la diferencia fundamental entre losrayos , los rayos X, la radiacin ultravioleta, la radiacin visible, la radiacin infrarroja, la radiacin de microondaso las radiofrecuencias no est en su naturaleza, sino en sus distintas energas. Los diferentes rangos correspondientesa los distintos tipos de radiacin electromagntica se muestran el el espectro de la radiacin electromagntica de lafigura 31.

1022 1020 1018 1016 1014 1012 1010 1008 1006

1014 1012 1010 108 106 104 102 1 102

R.. R.X. U.V.

Visible

I.R. M.O. R.F.

Longitud de onda (m)

Frecuencia (Hz)

Figura 31 El espectro de la radiacin electromagntica. La regin visible es slo una pequea parte del espectro total. R.. se refiere a radiacingamma, R.X. a rayos X, U.V. a untravioleta, I.R. a infrarrojo, M.O. a microondas y R.F. a radiofrecuencias. A su vez el ultravioleta se divide encercano por un lado y medio y lejano por el otro, separados en la figura por una lnea vertical y el infrarrojo en cercano, intermedio, lejano yextremo, tambin separados en la figura por rayas verticales. Las microondas y las radiofrecuencias tambin se dividen a su vez en distintas bandas.

Cuando un cuerpo se calienta, emite radiacin electromagntica de una longitud de onda que se encuentra tpi-camente comprendida en el rango de longitudes de onda de 0,1 a 100m, a la que se denomina radiacin trmica.Lo que denominamos radiacin visible es una porcin muy estrecha del espectro y de la radiacin trmica, que seextiende aproximadamente desde 0,35m hasta 0,75m, como se muestra en la figura 31. Antes de calentarse elcuerpo tambin emita radiacin electromagntica, pero de longitudes de onda mayores (menor energa) y estaba enequilibrio trmico con el medio, esto es, emita lo mismo que absorba. A la distribucin de energa emitida en funcinde la longitud de onda o frecuencia de la radiacin se le denomina espectro de la radiacin. La mayor parte de los

23

Agustin Martin Domingo24 Captulo 3. Transmisin del calor: radiacin.

slidos y los lquidos tienen un espectro continuo de radiacin, es decir, emiten energa en todas las longitudes deonda desde cero a , aunque la intensidad con que lo hacen depende fuertemente de la regin del espectro en la quese observa la radiacin emitida.

Por el contrario, en el caso de gases y vapores, o en el caso de muchos metales con la superficie pulida, se tieneun espectro de emisin selectivo. Slo se produce emisin a unas determinadas longitudes de onda. En general, estaenerga emitida se debe a transiciones entre los estados electrnicos, vibracionales o rotacionales de los tomos omolculas. La intensidad de la radiacin emitida depende de:

Naturaleza de la sustancia. Temperatura de la sustancia. Longitud de onda . Estado de la superficie emisora. En los gases, tambin de la presin del gas y del espesor de la capa del mismo.

En los slidos y lquidos opacos se produce una considerable absorcin y emisin y, por tanto, solamente una fina capasuperficial interviene en el proceso de transmisin del calor por radiacin (el calor se transmite al resto del cuerpo porconduccin y conveccin ms que por radiacin). Para los cuerpos no conductores opacos, el espesor tpico de estacapa es de 1mm, mientras que para los conductores opacos, el espesor tpico es de 1m. En ambos casos, stefenmeno se considera como un fenmeno de superficie. Para cuerpos semitransparentes (vidrios, gases, vapores,cristales, etc...), toda la sustancia interviene en el proceso de transmisin del calor por radiacin.

La energa radiante de un emisor aumenta con la temperatura, ya que su energa interna aumenta. Cuando la tempe-ratura cambia, no slo cambia la magnitud absoluta de la energa, sino tambin su distribucin en longitudes de onda(el espectro de la radiacin). Al aumentar la temperatura aumenta la proporcin de radiacin de longitud de onda corta(alta frecuencia-alta energa) mientras que al disminuir la temperatura aumenta la proporcin de radiacin de longitudde onda larga (baja frecuencia-baja energa). La transmisin del calor por radiacin trmica depende de la temperaturade una forma mucho ms acusada que en el caso de la conduccin o la conveccin, pudiendo a altas temperaturasconvertirse en el mecanismo principal de transmisin de energa.

3.1.2. Definiciones previas.

Definimos en primer lugar las magnitudes necesarias para el clculo de los intercambios de calor por radiacin.

Potencia o flujo energtico de una fuente radiante, . Si tenemos una fuente F que emite energa radiante, supotencia o flujo energtico es la potencia irradiada en todo el espacio que la rodea (ngulo slido 4). Para medirlahabra que rodear completamente la fuente por un detector que absorbiera toda la energa emitida. Se mide en vatios oen cualquier otra unidad de potencia como la kcal/hora.

Potencia espectral o flujo monocromtico o espectral . Se denomina flujo espectral o monocromtico al flujoenergtico emitido por unidad de longitud de onda, correspondiente a las radiaciones de longitud de onda comprendidaentre y + d. Se mide en vatios/metro, kcal/hm u otra unidad similar.

Poder emisivo o emitancia de una fuente, E. Es la potencia irradiada por un elemento plano de superficie unidaden todo el espacio que le rodea, E = /A. Para una superficie no plana, es necesario referirnos a un punto P de lafuente para definir la emitancia en la forma:

E =d

dA(31)

donde d es la potencia emitida por el elemento de rea dA tangente a la fuente en P .

Agustin Martin Domingo3.1. Conceptos bsicos de la radiacin. 25

d

E

EdEm

itan

cia

espe

ctra

l(1013

W/m

2)

Longitud de onda (m)0

0,5 1 1,5 2 2,5 3

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Figura 32 Emitancia espectral E de un sustancia en funcin de la longitud de onda. En la figura se muestra la emisin de un cuerpo negro a5800K

Emitancia monocromtica o espectralE de una fuente en un punto. Si d2 es la potencia emitida por el elementode superficie dA situado en el punto P de la fuente en el intervalo de longitudes de onda de anchura d y origen en ,se denomina emitancia monocromtica a la expresin:

E =d2

dAd=

ddA

=dE

d(32)

Operando en esta definicin, se tiene:d

dA= E =

0

Ed

y adems se tiene:

d = dA

0

Ed y =A

dA

0

Ed

Para una sustancia condensada (slido o lquido) el valor deE se distribuye en funcin de segn una curva continuacomo la que se presenta en la figura 32. El rea rayada corresponde a la energa emitida por unidad de superficie y detiempo en el intervalo de longitudes de onda comprendido entre y + d, es decir Ed.

El rea total bajo la curva es E = 0

Ed y representa la potencia total emitida por unidad de superficie de lafuente en todo el espectro, es decir, la emitancia de la fuente. Cuando la temperatura crece, el mximo de la emisinse desplaza hacia las longitudes de onda cortas (alta energa).

3.1.3. Absorcin, reflexin y transmisin de la radiacin.

Consideremos un haz de energa radiante que incide sobre una superficie. Denominaremos G [Wm2] a la energaradiante global incidente. Una parte G de la energa incidente G se absorbe en el material, una parte G de laenerga incidente G se refleja en la superficie y finalmente, una parte G de la energa incidente se transmite a travsdel cuerpo, como se ve en la figura 33. Los coeficientes que aparecen son:

: Factor de absorcin o absorbancia, representa la fraccin de la energa incidente absorbida por el cuerpo.

: Factor de reflexin o reflectancia, representa la fraccin de la energa incidente que es reflejada por la superficie.Por ejemplo, para el Sol, medida fuera de la atmsfera terrestre, G = 1353Wm2 es la denominada constante solar.


G

G

G

G

incidente

transmisin

reflexin

absorcin

Figura 33 Absorcin, reflexin y transmisin de la radiacin a travs de un medio.

: Factor de transmisin o transmitancia, representa la fraccin de la energa incidente que se transmite a travsdel cuerpo.

El balance energtico da la relacin:G+ G+ G = G

es decir:+ + = 1 (33)

Un cuerpo opaco no transmite nada de la radiacin incidente, luego para una superficie opaca = 0 y + = 1.Un reflector perfecto refleja toda la radiacin incidente. As, para un reflector perfecto, = 1 y = = 0. Unabsorbente perfecto(cuerpo negro) absorbe toda la radiacin incidente. Por tanto, para un absorbente perfecto, = 1y = = 0. Para la mayor parte de los gases se cumple = 0 y 1.

Se pueden definir los factores monocromticos o espectrales en la forma:

=energa incidente absorbida en el intervalo + d

energa incidente en ese intervalo de

=energa incidente reflejada en el intervalo + d


=energa incidente transmitida en el intervalo + d


cumplindose, para cada : + + = 1 (34)

Si se denomina G a la distribucin espectral de G, entre los factores y existe la relacin:

=energa absorbidaenerga incidente

=

0

Gd0

Gd(35)

cumplindose para y las relaciones anlogas con y :

=energa reflejadaenerga incidente

=

0

Gd0

Gd(36)

y

=energa transmitidaenerga incidente

=

0

Gd0

Gd(37)

Para la radiacin solar, los lmites tpicos de la integral son, en la prctica, de 0,25 y 3m. Fuera de este rango espectral,apenas hay emisin solar.

Agustin Martin Domingo3.2. Leyes de la radiacin. 27

TT

Figura 34 Dos cavidades de paredes de distinta naturaleza, pero a la misma temperatura.

3.2. Leyes de la radiacin.

3.2.1. Radiacin en el interior de una cavidad.

Denominaremos cavidad a un recinto hueco, cerrado, de paredes isotermas. Conocemos por experiencia que laradiacin emitida por el exterior de la cavidad hacia fuera depende tanto de la temperatura como de la naturaleza delas paredes de la cavidad. Por ejemplo, una cavidad de paredes externas rojas tendr un aspecto muy diferente al deuna cavidad de paredes externas verdes o azules. Sin embargo, hay una caracterstica muy especial de la radiacindentro de la cavidad. Se puede demostrar que, en dicha cavidad, cuando todo el sistema est en equilibrio,

Cualquiera que sea la naturaleza de los materiales de las paredes interiores de la cavidad, la densidadde energa de la radiacin en el interior de la cavidad depende exclusivamente de la temperatura de lasparedes, mientras que la densidad espectral de energa depende exclusivamente de la temperatura y dela longitud de onda.

Es decir:

u = u(T ) (38a)

u = u(, T ) (38b)

Para demostrar sto, consideraremos el caso de dos cavidades con paredes de distinta naturaleza que se encuentrana la misma temperatura, como se ilustra en la figura 34. Si las intensidades de radiacin fueran distintas, habraun transporte neto de energa desde una de las cavidades a la otra. Esto contradecira el segundo principio de latermodinmica, ya que una cavidad se enfriara y la otra se calentara sin que se realizara trabajo sobre el sistema,luego las intensidades de radiacin son iguales independientemente de la naturaleza de las paredes. Para extender esteargumento a la densidad de energa espectral u bastara con colocar en el agujero de comunicacin entre las doscavidades un filtro que dejara pasar solamente la radiacin en el estrecho rango entre y + d. De este modo, lasdensidades espectrales de energa de ambas cavidades deberan de ser iguales por la misma razn que antes.

Para ver que adems debe de ser homognea a istropa consideremos la presencia de un cuerpo alargado en elinterior de la cavidad a la misma temperatura de las paredes. El hecho de que el cuerpo est colocado en uno u otrositio, o con sus superficies en una u otra orientacin no har que abandone el equilibrio trmico, a no ser que hayauna intervencin externa, ya que el que no fuera as ira contra el segundo principio de la termodinmica. Por tanto, laradiacin en el interior de la cavidad es adems homognea e istropa.

3.2.2. Cuerpo negro. Ley de Planck.

Se entiende por cuerpo negro aquel cuerpo que absorbe toda la energa incidente en todo el espectro de longitudesde onda ( = 1 = para todas las ). Aunque ningn cuerpo se comporta como un cuerpo negro perfecto, una


Figura 35 Cavidad como un cuerpo negro

cavidad con las paredes pintadas de negro y dotada de un pequeo orificio acta de forma bastante similar a como lohara un cuerpo negro, ya que la radiacin incidente tiene pocas oportunidades de escapar (Figura 35).

Max Planck (1900) demostr, basndose en la Mecnica Cuntica, que la emitancia monocromtica de un cuerponegro que se encuentra a una temperatura T viene dada por la expresin:

E0(, T ) =2c2h

51

ehc

kBT 1

(39)

conocida como Ley de Planck, en la cual c es la velocidad de la luz en el vaco (2,998 108ms1), h una constanteconocida como constante de Planck (6,625 1034Js1), y kB la constante de Boltzmann (1,381 1023 J/K)

3.2.3. Ley del desplazamiento de Wien.

Experimentalmente se observa que la emisin mxima tiene lugar a longitudes de onda cada vez ms cortas segncrece la temperatura. La ley de Planck prevee este comportamiento y permite obtener el mximo de la emisinmediante un sencillo clculo de mximos.

dE0(, T )

d

T cte

= 0

que da:max T = 2,898 103mK = 2898K (310)

expresin conocida como ley del desplazamiento de Wien. As, segn la ley de Wien, cuando una corriente pasa porun filamento metlico delgado, se tiene que:

T < 3400K max > 0,85m (infrarrojo no visible)T 3600K max 0,8m (extremo rojo del espectro visible)T > 4000K max < 0,7m (espectro visible)

resultados que concuerdan con la experiencia. Para el Sol, con una temperatura en la superficie del orden de los 5800K,max =0.5m, en el centro de la regin visible del espectro. El ojo humano est adaptado a este mximo de emisin,siendo all donde tiene su mayor sensibilidad. El hecho de que las seales de peligro sean rojas no es debido a que seael color para el cual el ojo humano es ms sensible, sino a que es un color poco frecuente en la naturaleza y destacacon facilidad.


3.2.4. Ley de Rayleigh-Jeans.

En el lmite de altas temperaturas, o longitudes de onda largas, hc kBT, y es posible desarrollar en serie laexponencial de la forma:

ehc

kBT 1 + 11!

hc

kBT+ + rdenes superiores al primero

As, quedndonos en el primer orden del desarrollo en serie se tiene, para la emitancia monocromtica:

E0(, T ) =2c 62 6 h5

kBT

6 h 6 c =2ckBT

4(311)

relacin conocida como frmula de Rayleigh-Jeans.Antes de que Planck formulara su ley, la ley de Wien y la frmula de Rayleigh-Jeans, junto con la ley de Stefan-

Boltzmann que se ver a continuacin, eran las nicas relaciones conocidas para la transmisin del calor por radiacin.Se saba que la frmula de Rayleigh-Jeans funcionaba razonablemente en el infrarrojo a temperaturas no bajas, peroel intento de extrapolarla a longitudes de onda mayores llevaba a una paradoja conocida como catstrofe ultravioleta.A una determinada temperatura, la emitancia monocromtica sera tanto mayor cuanto ms corta fuera la longitud deonda. As, se emitira ms cuanto mayor fuera la energa de la radiacin, por ejemplo, a una temperatura de 5800K, seemitira ms en el ultravioleta que en el visible, ms en los rayos X que en el ultravioleta y ms en los rayos gamma queen los rayos X, para una misma anchura espectral en todos los casos. El planeta Tierra estara entonces achicharradopor los rayos X, gamma y otras radiaciones ionizantes de mayor energa que se emitiran an en mayor cantidad y,absurdo tras absurdo, la energa total emitida sera infinita.

La ley de Planck resuelve esta situacin absurda y da un valor para la energa total emitida que coincide con la Leyde Stefan-Boltzmann.

3.2.5. Ley de Stefan-Boltzmann.

Recordemos que denominbamos poder emisivo total o integral a la potencia emitida en todas las longitudes deonda por una superficie de rea unidad que se encuentra a una temperatura T .

Si la superficie se comporta como una superficie negra, el poder emisivo vendr dado por la integral de la distribu-cin de Planck a todas las longitudes de onda del espectro,

E0(T ) =

0

E0(, T )d

que da como resultado la ley de Stefan-Boltzmann:E0(T ) = T 4 [Wm2] (312)

donde = 5,67 108 Wm2 K4 es la constante de Stefan-Boltzmann. Debido al pequeo valor de , a bajastemperaturas el efecto de la radiacin es insignificante. Por el contrario, la dependencia en T 4 hace que, para altastemperaturas, la radiacin se convierta en el mecanismo predominante de transmisin del calor.

3.2.6. Emisividad. Ley de Kirchoff.

Factor de emisin o emisividad.

Al comparar el espectro de emisin de un cuerpo cualquiera con el de un cuerpo negro a la misma temperatura seobserva lo siguiente (Figura 36):


Cuerpo negro

Cuerpo no negro a la misma T

Longitud de onda (u.a.)

Emita

nci

aes

pect

ral(

u.a.

)

Figura 36 Diferencias entre un cuerpo negro y un hipottico cuerpo no negro a la misma temperatura. Se observa que a una longitud de ondadada el cuerpo no negro siempre emite con un poder emisivo menor y su mximo de emisin est desplazado hacia las longitudes de onda largas(Esto ltimo puede no ser cierto en determinadas condiciones de emisividad).

1. La curva E0(, T ) correspondiente al cuerpo negro est siempre por encima de la correspondiente a cualquierotro cuerpo no negro A que se encuentra a la misma temperatura.

2. Su mximo corresponde a una longitud de onda inferior.

Se define el factor de emisin monocromtico o emisividad espectral de un cuerpo por el cociente:

=E(, T )

E0(, T )(313)

donde E(, T ) es la potencia emitida por unidad de superficie e intervalo espectral por el cuerpo no negro a unatemperatura T en el intervalo de longitudes de onda + d y E0(, T ) la potencia emitida por unidad desuperficie e intervalo espectral por un cuerpo negro a la misma temperatura T en el intervalo de longitudes de onda + d.

La emisividad total de un cuerpo cualquiera a una temperatura T vendr dada por:

=E(T )

E0(T )=

0

E(, T )d0

E0(, T )d=

0

E0(, T )d

T 4(314)

Como E0(, T ) > E(, T ), se cumplir siempre que < 1 y que < 1. Para un cuerpo negro, E = E0 y portanto, = 1. Asimismo se tiene que, para un cuerpo cualquiera:

E(T ) = T 4 (315)donde depende de la temperatura y del estado de la superficie.

Ley de Kirchoff.

Consideremos las siguientes dos experiencias para llegar a la ley de Kirchoff:

Experiencia primera: Coloquemos un cuerpo negro en el interior de la cavidad, a la misma temperatura que lasparedes de la cavidad.


Como el cuerpo y la cavidad estn a la misma temperatura, no habr intercambio neto de calor entre ambos. As,sern iguales el flujo radiante emitido por el cuerpo CNCAV y la parte del flujo radiante emitido por la cavidadque incide sobre el cuerpo, CAVCN :

CNCAV = CAVCN

Por tanto, la radiacin de un cuerpo negro es igual a la intensidad de la radiacin de equilibrio existente en el interiorde la cavidad a la misma temperatura.

Experiencia segunda: Coloquemos ahora en el interior de la cavidad un cuerpo no negro a la misma temperaturaque las paredes. Antes vimos que como no debe haber intercambio neto de calor entre el cuerpo negro y la cavidad,en el equilibrio el cuerpo negro emita todo lo que absorba. Anlogamente ocurrir con el cuerpo no negro, ste sloemitir aquella fraccin de la energa incidente que ha absorbido:

CAVCN = CuerpoCAV = CNCAV

donde hemos definido la emisividad como el cociente entre la energa emitida por un cuerpo y lo que emitira si fueseun cuerpo negro a la misma temperatura. Como acabamos de ver que CNCAV = CAVCN , se tiene finalmenteque:

= (316a)relacin conocida como ley de Kirchoff, que en esta forma es vlida exclusivamente en el equilibrio trmico.

La ley de Kirchoff se cumple tambin para los factores de absorcin y emisividades espectrales: q

q = (316b)

peqro en esta forma es vlida tanto en el equilibrio trmico como fuera de l.

Tabla 31 Valores aproximados de la absorbancia de distintas superficies a las temperaturas ambiente y de la radiacin solar.Material (25C) (5800K)

Superficies negras no metlicas (asfalto,carbn, pizarra, pintura, papel). 0,90 0,98 0,85 0,98Aluminio nquel o cromo muy pulido,papel de aluminio. 0,02 0,04 0,10 0,40Cobre o bronce pulido 0,02 0,05 0,3 0,5Cobre, latn o aluminio sin pulir, acerogalvanizado, hierro pulido. 0,2 0,3 0,4 0,56Cobre oxidado 0,8 0,65Ladrillo y piedra amarillos, ladrillo refrac-tario. 0,85 0,95 0,50 0,70Ladrillo y cermicas rojas, hormign,piedra, hierro y acero oxidados y pinturasoscuras (rojo, marrn, verde)

0,85 0,95 0,65 0,70

Ladrillo, cermica y piedra blancos, papel,yeso, escayola, cal, 0,85 0,95 0,30 0,50

amd apuntes transmision calor pag 16

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