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Anlisis Matemtico III - Gua de Trabajos Prcticos - T.P. No8

Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales

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T. P. No8 - EJERCICIOS RESUELTOS

Enunciado

B) ECUACION DE LAPLACE (en polares) 11. Distribucin de potencial

Resolucin

Resuelto por: Patricio Alejandro Tula (1 cuatrimestre de 2011)

Revisado por: Ariel Burman Eduardo G. Murmis Gustavo M. Murmis

Para resolver la ecuacin de la Laplace vamos a utilizar el mtodo de separacin devariables, que parte de suponer que podemos expresar la funcin comoproducto de una funcin que depende slo de y otra funcin que depende slo de

. Es decir:

Se ve que ydeben ser distintas de la funcin nula ya que de lo contrario sera la funcin nula y eso no cumplira con las condiciones de contorno delproblema.

El Laplaciano expresado en coordenadas polares es el siguiente:

El problema busca hallar una funcin que cumpla con , entonces:

A continuacin evaluaremos en la ecuacin las distintas derivadas parciales de

, a partir de la ecuacin

:

11

0

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Ahora reemplazamos en

:

Despejamos diviendo a ambos miembros por ,:

Separamos de cada lado de la igualdad las funciones de distinta variable:

Habiendo quedado en (4)el miembro izquierdo de la igualdad dependiendo slo de y el miembro derecho dependiendo slo de , para que se cumpla la igualdad entonces ambos miembros deben ser iguales a una mismaconstante . De aqu se desprenden las siguientes ecuaciones diferenciales:

Operando a partir de la expresin :

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A partir del enunciado del problema pueden deducirse condiciones del contorno quenos ayuden a resolver la ecuacin diferencial . La primera condicin, impuestapor el enunciado, es:

Entonces: no puede ser la funcin nula, pues en ese caso tambin sera unafuncin nula y no cumplira con la ltima condicin de contorno del enunciado.Entonces se deduce: A partir de las caractersticas del recinto, observamos que al evaluar la funcin

en y en ( ), en realidad se la est evaluando envalores que representan a los mismos puntos del recinto. Adicionalmente sabemosque para lo cual en dichos puntos, las derivadas parciales de debenser continuas. Esto nos permite enunciar la siguiente condicin de contorno:

Operando en forma similar a lo hecho en la condicin anterior:

De la misma manera que antes y como no puede ser la funcin nula,tendremos:

La ecuacin junto con las condiciones de contorno II y IV forman unproblema de Sturm Liouville simplificado. Por lo tanto, los autovalores (

) cumplen

con

.

Resolvemos primero el caso .La ecuacin diferencial se reduce a:

Integrando dos veces: A partir de la condicin de contorno II,

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Como

, la condicin

IVno impone restricciones sobre

, entonces:

Concluimos entonces que es autovalor y est asociado a la autofuncin .Resolvemos el caso .La ecuacin diferencial es:

La solucin de la ecuacin anterior es la siguiente:

Utilizando la primera condicin de contorno II:

Para aplicar la segunda condicin de contorno IV, hallamos previamente :

Utilizando IV, resulta lo siguiente:

Siendo podemos cancelar en ambos miembros de la ecuacin:

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Las ecuaciones y forman un sistema de dos ecuaciones homogneo conincgnitas y :

Expresado en forma matricial queda:

Dado que se trata de un sistema homogneo, si hay solucin nica, sta es lasolucin trivial. Para que haya solucin diferente de la trivial tiene que ser nulo el

determinante de la matriz de los coeficientes. Es decir:

Entonces:

Volviendo a la expresin general de la solucin para , reemplazamos y obtenemos:

Concluimos que los autovalores son de la forma:

; y que tendrn asociadas

las autofunciones y .Finalmente, debido a la tesis del Teorema de Sturm Liouville, podemos afirmar quelos autovalores son y que la base ortogonal de autofuncionesasociada a dichos autovalores es .Ahora buscaremos la solucin de , a partir de la ecuacin diferencial (7):

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Primero analizamos el caso ,Resolveremos la ecuacin diferencial :

Integrando en ambos miembros:

Integrando nuevamente,

Notamos en la expresin (16)que, si tendiera a cero, no estara acotada,contradiciendo esto al enunciado que plantea que:

A partir de la ecuacin (14) sabemos que es distinta de la funcin nula y esacotada, entonces nos queda: Para que quede acotada en la ecuacin (16) deber cumplirse que .Finalmente tendremos:

Ahora analizamos el caso La solucin general de la ecuacin diferencial (15) corresponde a la solucin generalde la ecuacin de Euler, con el parmetro menor a cero.

Dado que en nuestro caso es

y

, la solucin de la ecuacin (15) es:

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A partir de la ecuacin (17), debe ser acotada. Para que esto suceda cuando , deber cumplirse que .Quedar entonces como solucin general: Ya tenemos las dos funciones definidas para y . Resta ahoraunir las soluciones generales de las ecuaciones diferenciales (8) y (15) paraencontrar la solucin general de , tal que:

Siendo: Reemplazando en la ecuacin los resultados obtenidos y :

De la misma forma reemplazando en la ecuacin los resultados obtenidos y : Reemplazando y en obtenemos:

Para la obtencin de los coeficientes, utilizamos la restante condicin de contornoque nos presenta el problema:

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Esta ecuacin puede interpretarse como el desarrollo en serie de Fourier de lafuncin . Por lo tanto, para obtener los coeficientes de la serie de Fourier seplantear para cada uno:

Siendo el coeficiente buscado y la autofuncin que acompaa al coeficiente.Entonces el coeficiente lo hallamos haciendo:

Para se proceder de igual manera:

Para obtener hacemos:

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Para los valores pares, es decir cuando : Para los valores impares, es decir cuando :

El resultado final del problema es entonces:

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