alvarez- titulos de deuda

7/23/2019 Alvarez- Titulos de Deuda

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TTULOS DE DEUDA (FIXED INCOME SECURITIES): Rentabilidad y riesgos

Actuario Vctor Adrin lvarez

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Departamento de Administracin de Empresas

TTULOS DE DEUDA (FIXED INCOME SECURITIES):Rentabilidad y Riesgos

Vctor Adrin lvarez

D.T.: N 37

DICIEMBRE 2002


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NDICE

Introduccin 3

1

Medidas de rentabilidad

1.1 Tasa de rentabilidad de un activo durante un perodo 4

1.2 Anlisis de las fuentes de rentabilidad 9

1.3 Tasas de rendimiento ex-ante y ex-post 10

1.4 Tasa del Cupn y Rendimiento Corriente 11

1.5 Tasa interna de rentabilidad (TIR) o rendimiento hasta el vencimiento 12

1.6 Relaciones que involucran el rendimiento hasta el vencimiento (TIR) 15

1.7 Mtodos de clculo de la tasa de rendimiento hasta el vencimiento (TIR) 17

1.8 Tasa interna de rentabilidad hasta el rescate (TIRR) 23

1.9 Tasa Interna de Rentabilidad Ex-post (TIREP) 26

2 Rentabilidad y tipos de riesgo

2.1 Tasas Nominal Libre de Riesgo, Real y de Inflacin Esperadas 30

2.2 Premio por el riesgo y distintos tipos de riesgo 32

3 Rentabilidad y tipo de cambio

3.1 Ideas bsicas y definicin de trminos 36

3.2

Relacin entre tasas de inters local y extranjera con tipos de contado y futuro 37

3.3

Relacin internacional entre tasas de inters y de inflacin 43

3.4

Relacin entre tasas de inflacin y tipos de cambio 45

3.5

Gestin de carteras internacionales 48

4 Soluciones de los Ejercicios 51

5 Anexos 54

6 Algunas referencias bibliogrficas 56


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INTRODUCCIN

Este trabajo se realiz a efectos de ser utilizado en el curso optativo de Mercado de

Capitales y Seleccin de Inversiones.Su objetivo general es proporcionar una introduccin a los principios del anlisis de la

rentabilidad y riesgos de los Ttulos de Deuda, que incluya tanto los fundamentos

tericos como los aspectos prcticos que permitan su concreta implementacin

mediante la utilizacin de calculadoras con funciones financieras y/o la planilla de

clculo Excel.

Entre los objetivos especficos debe puntualizarse el de considerar las particularidades

de ttulos emitidos en la Argentina, que por supuesto no aparecen en la bibliografa

usual en ingls. Tambin, debido a la creciente globalizacin de los mercados, se

presta especial atencin al riesgo de cambio de las inversiones en bonos denominados

en monedas distintas de la domstica.

Asimismo se procura la posibilidad de un doble nivel de profundidad en la lectura: unabsicamente operativa y otra, ms profunda, que incluya los fundamentos matemtico

financieros de las tcnicas que se estudian; a tal efecto en la primera lectura puede

omitirse el material en letra cursiva.

Diciembre de 2002.


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1 Medidas de rentabilidad

En el Documento anterior*se supusieron dadoscomo datos los flujos de fondos generados por un bono hastala fecha de su vencimiento y, conocida una tasa de intersrequerida por el inversor se determin el precio terico deese bono a efectos de compararlo con su precio de mercado conel fin de tomar una decisin de inversin en el mismo. En elpresente Documento, partiendo de los mismos datos referentesa los flujos, y conocido el precio de mercado del bono, seproceder a determinar una tasa de rentabilidad de lainversin en ese bono, a efectos de compararla con una tasarequerida para fundamentar una decisin de inversin. Enresumen, aparte de los flujos y plazo hasta el vencimiento,antes el dato era la tasa de inters y la incgnita elprecio. En lo que sigue se revierte el proceso y partiendo

del precio como dato se vern las maneras de determinar unatasa de inters. Previo al detalle de los distintos tipos detasas que son comnmente utilizadas para medir larentabilidad de un bono, es conveniente realizar una breveexposicin acerca del concepto ms general de tasa derentabilidad asociada a la tenencia de un activo durante undeterminado perodo de tiempo.

1.1 Tasa de rentabilidad de un activo durante un perodo.

Considrese el perodo comprendido entre los

momentos t = 0 y t = 1, que el valor del activo al comienzoes P0y al final es P1y, adems, que el activo no generaflujos de fondos durante el perodo. En ese caso se define latasa de rentabilidad de ese activo, durante el perodoconsiderado, como: P1- P0 P1 TASA(0;1) = = - 1 (1) P0 P0

Ver Alvarez, V. A. y Fernndez Molero, D., Ttulos de Deuda (Fixed Income Securities) Aspectos

Bsicos y Valuacin, Documento de Trabajo Docente N 13, Ctedra Mercado de Capitales y Seleccin

de Inversiones, Departamento de Administracin, Universidad de San Andrs, Diciembre 2000.


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EJEMPLO 1: Se compra en un banco un certificado de depsito aplazo fijo por 30 das en $ 1.000 y en el mismo se estipulaque en la fecha de vencimiento la entidad pagar al titulardel certificado un importe de $ 1.015. En ese caso se tieneque t=0 es la fecha de compra del certificado, t=1 es lafecha de vencimiento a los 30 das, P0=1.000 y P1=1.015. Latasa de rentabilidad del certificado, para el perodo de 30das considerado, es segn (1):

1.015 - 1.000TASA(0;1) = = 0,0150 por 30 das (1,5% mensual) 1.000

EJEMPLO 2: Un bono "cero cupn" al que le restan dos aospara su vencimiento tiene un valor nominal de $ 10.000 y hoysu precio de mercado es de $ 8.547. Utilizando (1) se puedecalcular la tasa de rentabilidad prometida del bono haciendot=0 la fecha actual, t=1 la fecha de vencimiento dentro dedos aos, P0 = 8.547 y P1 = 10.000:

10.000 - 8.547TASA(0;1) = = 0,17 por dos aos (17% bianual) 8.547

Si se elimina el supuesto que el activo nogenere flujos de fondos durante el perodo y se denomina F1al valor en t=1 de los flujos producidos durante el perodo,entonces puede generalizarse (1) mediante:

P1+ F1- P0 P1+ F1 TASA(0;1) = = - 1 (2)

P0 P0

EJEMPLO 3: Un bono de valor nominal $1.000, con amortizacintotal al vencimiento y cupones del 10% nominal anualpagaderos los das 1 de agosto de cada ao, es comprado el 1de febrero de un determinado ao a $1.050 y vendido el 1 defebrero del ao siguiente a $1.034. Supngase que el cupn de$100 percibido el 1 de agosto se coloc en un plazo fijo al12,5% nominal anual, con vencimiento el 1 de febrero del aosiguiente (184 das de plazo). Para calcular la tasa derentabilidad de la inversin durante el perodo de tenencia

mediante (2), ntese que t=0 es la fecha de compra, t=1 la deventa, P0= 1.050 (precio de compra) y P1= 1.034 (precio deventa). El flujo de 100 originado el 1 de agosto por el pagodel cupn, tiene el 1 de febrero del ao siguiente (t=1) unvalor de:


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6

0,125x184 F1= 100(1 + ) = 106,30 365

Finalmente:

1.034+106,30-1.050 TASA(0;1) =

= 0,0860 (8,60% anual)

1.050

En los ejemplos anteriores se expres la tasade rentabilidad con referencia al perodo de tenencia: 30das en el N1, dos aos en el N2 y uno en el N3. Locorriente es expresar las tasas de rendimiento con referenciaa un perodo estndar (generalmente el ao),independientemente del tiempo de tenencia. Si "q" es elnmero de perodos (puede ser una fraccin de perodo) queabarca el tiempo de tenencia, entonces la tasa efectivaperidicade rentabilidad que corresponde a ese lapso es:

Pq+ Fq1/q

TE(0;q) = r'(0;q) = - 1 (3)

P0

donde: r'(0;q): tasa efectiva peridica de rentabilidad en el tiempo que va de t=0 a t=q. P0 : precio del activo en t=0. Pq : precio del activo en t=q Fq : valor en t=q de los flujos originados por el activo durante el tiempo que va de t=0 a t=q.

La frmula (3) es equivalente a la siguiente:

P0[1 + r'(0;q)]q

= Pq+ Fq (4)

La frmula (4) muestra que si se coloca unvalor presente P0, igual al precio del activo en t=0, duranteq perodos a la tasa peridica r'(0;q) de inters compuesto,se obtiene al final de la operacin un valor futuro Pq+Fq,igual al precio del activo en t=q ms el valor en ese momentode los flujos producidos durante el lapso que va de t=0 at=q. La definicin (3) y la frmula equivalente (4)corresponden a un rgimen financiero de inters compuesto concapitalizacin peridica. En algunas oportunidades esconveniente, por razones tericas, utilizar el rgimen decapitalizacin continua. En ese caso (3) y (4) se transformanen:


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7

Pq+ F

q

1/q

= ln (3)* _ P

0 -

P0.e

q = P

q+ F

q (4)*

donde (rho) es la tasa peridica de inters contnuoequivalente a r(0;q). La eleccin del sistema de capitalizacin estericamente irrelevante por cuanto a (4) y (4)* correspondenexactamente los mismos flujos de fondos. De esas frmulas sededuce:

1 + r(0;q) = e (4)**

o, lo que es igual:

= ln[1 + r(0;q)] (4)***

pudindose, en consecuencia, expresar las tasas efectiva ycontnua una en funcin de la otra.

EJEMPLO 4: Si se desea calcular la tasa efectiva derentabilidad anualcorrespondiente a cada uno de los tresejemplos previos, se tiene:a) para el ejemplo 1 es q=30/365, P0=1.000, Pq=1.015 y Fq=0. Reemplazando estos valores en (3), resulta:

1.015365/30

r'(0;30/365) = - 1 = 0,1986 (19,86% anual) 1.000

Puede verificarse, usando (4), que 1.000(1+0,1986)30/365

= 1015

Con calculadora financiera:

30/365 -1.000 0 1.015 === === === === === n i P V PMT F V === === === === === 19,86

b) para el ejemplo 2 es q = 2, resultando:

10.0001/2

r'(0;2) = - 1 = 0,0817 (8,17% anual) 8.547

Con calculadora financiera:


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8

2 -8.547 0 10.000 === === === === === n i P V PMT F V === === === === === 8,17

c) en el ejemplo 3 el tiempo de tenencia coincide con elperodo de la tasa y, en consecuencia es q=1:

1.034 + 106,30 r'(0;1) = - 1 = 0,0860 (8,60% anual) 1.050

Si se usa una planilla de clculo Excel, entonces puederealizarse el cmputo mediante la funcin financiera TASA,segn se muestra a continuacin, a modo de ejemplo, para el

inciso a):

Para los mismos tres ejemplos previos es

posible calcular la tasa anual de inters contnuoequivalente a la efectiva anual utilizando (4)*** o bien usar(3)* si se quiere hacer el clculo sobre la base de flujos defondos y aos de duracin de la operacin:a*) = ln(1 + 0,1986) = 0,1812 (18,12% anual)o bien:

= ln[(1.015/1.000)365/30

= 0,1812


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Verificacin:

1.000e0,1812(30/365)

= 1.015

b*) = ln(1 + 0,0817) = 0,0785 (7,85% anual)

Verificacin:

8.547e0,07852

= 10.000

c*) = ln(1 + 0,0860) = 0,0825 (8,25% anual)

Verificacin:

1.050e0,0825

= 1.140,30 = 1.034 + 106,30

1.2 Anlisis de las fuentes de rentabilidad.

La frmula (2) que permite calcular en forma

general la tasa de rentabilidad de un activo durante unperodo, la que suele denominarse tasa de rendimiento total,puede ser expresada como:

P1- P0 F1 TASA (0; 1) = + (5) P0 P0

El primer sumando es la tasa de rendimiento delcapital(mide la variacin relativa en el precio del activodurante el perodo, es decir las ganancias o prdidas decapital), mientras que el segundo es latasa de rendimientoasociada a los flujos de fondosproducidos por el activo

(mide la rentabilidad de esos flujos con relacin al preciode adquisicin del activo). A su vez esta ltima tasa sueleser dividida en dos componentes:

F1 Flujos Percibidos Int. Reinversin = + (6) P0 P0 P0

La primera componente mide el rendimiento sobrela inversin inicial atribuible al importe percibido de losflujosde fondos producidos por el activo, mientras que lasegunda capta la parte del rendimiento originada por losintereses ganados mediante la reinversinde esos flujosdesde la fecha en que se reciben hasta la finalizacin delperodo. En resumen, es posible analizar el rendimientototal de un activo calculando la rentabilidad que correspondeatribuir a cada una de las tres fuentes mencionadas:ganancias o prdidas de capital, ingresos por flujos


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percibidos y renta originada por la reinversin de esosflujos.

EJEMPLO 5: En el ejemplo 3 se determin el rendimiento total(8,60% anual) de un bono cuyas caractersticas fueronespecificadas. A efectos de calcular la rentabilidadatribuible a cada una de las tres fuentes, ntese que elprecio de compra es P

0=$1.050, el de venta P

1=$1.034, el

importe del flujo percibido (cupn) es de $100 y losintereses ganados por la reinversin de ese importe hasta elfin del perodo ascienden a $6,30. Se tiene entonces:

P1- P0 1034-1050Rent. del capital = = =-0,0152(-1,52% anual) P0 1050

Flujo Perc. 100Rent. de flujos = = = 0,0952 (9,52% anual) P0 1050

Int. Reinv. 6,30Rent.reinvers. = = = 0,0060 (0,60% anual) P0 1050 Tasa de rendimiento total = 0,0860 (8,60% anual) =====================

1.3 Tasas de rendimiento ex-ante y ex-post.

La rentabilidad de una inversin en unactivo financiero slo puede conocerse con certeza a lafinalizacin del perodo de tenencia del activo, ya que los

valores de P1 yD1que figuran en las frmulas anteriores noson conocidos hasta ese momento. Tambin se desconoce en lafecha de compra el valor de los flujos y/o los ingresos queproducir la reinversin de los mismos. Las tasas de rentabilidad calculadas alfinal del perodo de tenencia son tasas ex-post que permitenmedir a posteriori el rendimiento de una inversin yeventualmente hacer una comparacin con el rendimiento que seesperaba obtener al realizar la misma. Precisamente eserendimiento esperado o prometido es el que se tiene en cuentaen el momento de decidir una inversin. Si en las frmulas anteriores se hace, enel momento de compra (t = 0), una estimacin de los valoresde las variables que figuran en ellas, entonces las tasascalculadas son ex-ante y deberan interpretarse como valoresesperados de una variable aleatoria. Entonces las tasas derendimiento ex-ante deben entenderse como pronsticos ms omenos adecuados del valor de las tasas ex-post y debe quedarclaro que como todo pronstico acerca de un evento incierto,es probable que el rendimiento esperado no coincida con elefectivamente realizado.


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1.4 Tasa del Cupn y Rendimiento Corriente.

La tasa del cupn definida en el Documentoprevio*es un porcentaje fijo (para los bonos tpicos) sobreel valor nominal y como tal no es una apropiada medida derendimiento por cuanto no toma en cuenta el valor de mercadodel bono. Los inversores suelen hacer referencia alrendimiento corrientede un bono, valor que es habitualmenteinformado en las publicaciones especializadas y que se definecomo el cociente entre el importe nominal de los pagosanuales en concepto de cupones y el precio de mercado delbono.

iN RC = (7) PM

donde:

RC: rendimiento corriente i: tasa nominal anual del cupn N: valor nominal PM: precio de mercado

EJEMPLO 6: La tasa de rendimiento corriente en la fecha decompra del bono del ejemplo 3 es:

iN 0,10x1.000 RC = = = 0,0952 (9,52% anual) PM 1.050

Si bien el rendimiento corriente es mejor

medida de rentabilidad que la tasa del cupn al tomar encuenta el precio de mercado del bono en lugar de su valornominal, es tcnicamente inapropiado por cuanto de las tresfuentes de rentabilidad mencionadas en 1.2, slo toma enconsideracin la atribuible a los flujos de fondos, dejandode lado tanto el rendimiento del capital como el de lasrentas producidas por la reinversin del importe del cupn(vase ejemplo 5).

*Ver Alvarez, V. A. y Fernndez Molero, D., Ttulos de Deuda (Fixed Income Securities) Aspectos

Bsicos y Valuacin, Documento de Trabajo Docente N 13, Ctedra Mercado de Capitales y Seleccin

de Inversiones, Departamento de Administracin, Universidad de San Andrs, Diciembre 2000.


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EJEMPLO 7: En la fecha se puede comprar en el mercado por$909 un bono tpico de valor nominal $ 1.000, que pagacupones semestralmente a una tasa del 10% nominal anual y alque le restan exactamente tres aos para su vencimiento. Elrendimiento hasta el vencimiento prometido por este bono (TIRnominal anual) es, segn (9), la solucin de la ecuacin:

5 50 1.000 x 1,05 909 = + t=1 (1 + TIR/2)t (1 + TIR/2)6

ya que, en este caso, se tiene:

PM = 909; n = 3; m = 2; N = 1.000; i = 0,10

Con una calculadora financiera puede calcularseefectivamente la solucin as:

6 -909 50 1.000 === === === === ===

n i P V PMT F V === === === === === 6,9035Si se usa una planilla de clculo Excel, entonces puederealizarse este clculo mediante la funcin financiera TASA:


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El valor obtenido de 6,9035% es la tasa internade rentabilidad efectiva semestral, pues los perodos decapitalizacin considerados en la ecuacin son semestres. Enconsecuencia, de acuerdo al uso en los mercadosinternacionales, debe multiplicrselo por dos para obtener latasa nominal anual: TIR = 6,9035x2 = 13,81% nominal anual

Si no se dispone de una calculadora financierao una PC, puede calcularse aproximadamente la TIR nominalanual hasta el vencimiento mediante una sencilla frmula quesacrifica exactitud pero permite un clculo rpido y fcil.La idea bsica es relacionar el flujo promedio producido porel bono con la inversin promedio realizada en el mismo,donde:

Flujo promedio = Cupn anual + Amortizacin lineal peridica de las ganancias o prdidas de capital.Amortizacin peridica = Ganancia o prdida de capital a-

os hasta el vencimiento.Inversin promedio = (Precio compra + Val.nominal) 2

En smbolos:

mC + (N - PM)/n TIR (10) (PM + N)/2

EJEMPLO 8: El clculo aproximado de la tasa de rendimientohasta el vencimiento del bono tpico del ejemplo 7 mediantela frmula (10) es:

2x50 + (1000 - 909)/3TIR = 0,1365 (13,65% nominal anual) (909 + 1000)/2

valor bastante parecido al calculado mediante (9) pues tienesolamente el 1,16% de error relativo.

Debe puntualizarse que el rendimiento hasta elvencimiento (TIR) es una medida de rentabilidad que solamentees representativa en el caso de la estrategia de inversinconsistente en comprar el bono, mantenerlo en cartera hastasu vencimiento y, adems, reinvertir los fondos generados porlos cupones, por el perodo restante hasta el vencimiento, auna tasa igual a la TIR. En efecto, con referencia al bono delos ejemplos 7 y 8, si se coloca un importe igual a su preciode compra en una inversin alternativa que produzca una tasade rentabilidad del 13,81% nominal anual con capitalizacinsemestral de intereses, entonces al fin de tres aos (seissemestres) se obtendr un monto de $1.356,91.

909(1 + 0,1381/2)6= 1.356,91


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Por otra parte, adquiriendo el bono ysiguiendo la estrategia mencionada, se logra acumular:

Cobro y reinversin cupn 1: 50(1 + 0,1381/2)5= 69,81 " " " " 2: 50(1 + 0,1381/2)4= 65,32 " " " " 3: 50(1 + 0,1381/2)3= 61,09 " " " " 4: 50(1 + 0,1381/2)2= 57,14

" " " " 5: 50(1 + 0,1381/2) = 53,45Cobro cupn 6 y val.nominal: 50 + 1.000 = 1.050,00 MONTO TOTAL ACUMULADO = 1.356,81

que coincide con el valor anterior salvo una pequeadiferencia por redondeo de decimales. Es evidente que si no se mantiene el bono encartera hasta su vencimiento o bien si no se logra reinvertirlos flujos a una tasa igual a la TIR, entonces el montoacumulado variar, con lo que la tasa de rendimiento alvencimiento prometida ser diferente de la tasa ex-postefectivamente realizada.(Se analiza este tema ms adelante en1.9).

Si en lugar de medir los rendimientos entrminos nominales, se lo hace en trminos efectivos,entonces puede calcularse una tasa interna de rentabilidadefectiva anual (TIREA), mediante la frmula:

TIREA = (1 + TIR/m)m- 1 (11)

EJEMPLO 9: La tasa interna de rentabilidad efectiva anual delbono del ejemplo 7 es:

TIREA = (1 + 0,1381/2)2- 1 = 0,1429 (14,29%)

que por supuesto es superior al rendimiento al vencimiento(TIR)

1.6 Relaciones que involucran el rendimiento hasta el vencimiento (TIR).

Se ha hecho notar que la tasa del cupn no esuna adecuada medida del rendimiento prometido por un bono, yaque est referida al valor nominal cuando debiera basarse enel precio de compra (PM). En ese aspecto hay una mejora alconsiderar el rendimiento corriente, pero esta medida distamucho de ser representativa por cuanto slo refleja la

rentabilidad de los flujos (cupones), dejando de lado laoriginada tanto en la reinversin de los mismos como aqulladebida a las prdidas o ganancias de capital (vase 1.2 y1.4). El anlisis de la frmula (9) y las consideracionesrealizadas en 1.5 muestran que la TIR hasta el vencimientotoma en cuenta las tres fuentes de rentabilidad mencionadasen 1.2 y en consecuencia es una medida de rendimiento


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prometido superior a las otras dos. A continuacin setratarn algunas relaciones entre las tres medidas derentabilidad definidas hasta este punto. En 3.1*del Documento anterior se mostr que elprecio terico y el rendimiento requerido estn inversamenterelacionados (vase Fig.11 de ese Documento)*. Puesto que lasfrmulas(4)*del Documento previo y (9) del presente sonformalmente idnticas, puede advertirse que la relacin entreprecio de mercado y tasa interna de rentabilidad hasta elvencimiento es tambin inversa. Resulta entonces el siguienteprincipio general: Las tasas y los precios de mercado varan en direcciones opuestas. Tambin se mostr en 3.1* cul es la relacinentre rendimiento requerido y tasa del cupn, segn que lacotizacin del bono sea sobre, bajo o a la par. De lasconsideraciones precedentes se deduce que la misma relacinse verifica entre TIR e "i". En lo que concierne a la relacin entre la tasainterna de rentabilidad hasta el vencimiento y el rendimiento

corriente, es fcil comprobar que si el bono cotiza a la parentonces ambas son iguales. En efecto, de PM = N se deduce,aplicando la frmula (7), que:

iN iN RC = = = i PM N

En forma anloga puede verificarse que si elbono cotiza sobre (bajo) la par entonces el rendimientocorriente es menor (mayor) que la tasa del cupn. En general es posible demostrar que se cumplenlas siguientes relaciones entre las tres medidas de

rentabilidad, segn que el bono cotice:

Sobre la par, entonces i > RC > TIR A la par , entonces i = RC = TIR Bajo la par , entonces i < RC < TIR

EJEMPLO 10: El bono a que se refiere el ejemplo 7 estcotizado bajo la par ya que PM = 909. Su tasa de rendimientocorriente es RC = 100/909 = 0,11. Ntese que se verifica larelacin entre las tasas del cupn, de rendimiento corrientey de rentabilidad hasta el vencimiento correspondiente alcaso de bonos cotizados bajo la par:

i = 0,10 < RC = 0,11 < TIR = 0,1381

Si este bono cotizara sobre la par, por ejemploPM = 1.100, entonces puede calcularse su tasa interna de

*Alvarez, V. A. y Fernndez Molero, D, Ttulos de Deuda (Fixed Income Securities)..., op. cit.

.


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rendimiento hasta el vencimiento mediante el procedimientopreviamente descripto:

6 -1.100 50 1.000 === === === === === n i P V PMT F V === === === === === 0,03145

con lo que resulta: TIR = 0,03145x2 = 0,0629 Tambin puede calcularse el rendimientocorriente: RC = 100/1.100 = 0,0909, y puede verificarse que:

i = 0,10 > RC = 0,0909 > TIR = 0,0629

Se deja al lector constatar que si lacotizacin fuera a la par entonces las tres tasas derentabilidad son iguales.

1.7 Mtodos de clculo de la tasa de rendimiento hasta el vencimiento (TIR).

En 1.5 se present la nocin de tasa derendimiento hasta el vencimiento y en el apartado siguientediversos conceptos vinculados. Sin embargo, la frmula (9) ylas tcnicas explicadas y utilizadas en los ejemplos para elclculo de la TIR, slo son vlidas en el caso en que setrate de la fecha de emisin o pago de un cupn. Si la fechano cumple la citada condicin y/o el bono no es tpico (p.ej.existen amortizaciones parciales; la tasa del cupn esflotante; etc.), entonces deben desarrollarse metodologasadecuadas a cada uno de los casos.

En lo que sigue se expondrn algunas de estasmetodologas y casos.

a) TIR de un bono tpico en una fecha arbitraria.

Quiz el caso ms comn es el de un bono tpicocuya TIR hasta el vencimiento debe calcularse en una fecha"t" que no es de emisin ni de pago de cupn (vase Fig.6 delcaptulo previo).Debe plantearse una ecuacin formalmentesimilar a (9)* de ese captulo, pero en la que el precio (PM)es dato y la tasa (TIR) es la incgnita.

nm-1 Ni/m N(1 + i/m)PM = [ + ](1 + TIR/m)d1/d2(12) j=1 (1 + TIR/m)j (1 + TIR/m)nm

donde los smbolos ya han sido definidos y "n" representa elnmero de aos hasta el vencimiento contados desde el momento


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"h",de pago del ltimo cupn previo a la fecha "t" deevaluacin.EJEMPLO 11: En el ejemplo 7 se calcul la TIR de un bonotpico en una fecha de pago de cupn exactamente tres aosantes de su vencimiento. Se desea evaluar la TIR del mismobono en una fecha sesenta das posterior a la anterior,suponiendo que en esa fecha su precio de mercado es $ 910. Si se dispone de una calculadora financieracon un programa para bonos (vase 2.5 del captuloanterior)*, entonces puede realizarse el clculo en formasimple sin ms que introducir una serie de datos que elprograma requiere, como p.ej. fechas de la operacin y devencimiento del bono, tasa del cupn y frecuencia de pago decupones indicando si se considera el ao comercial de 360das o el real de 365 y, finalmente, el precio del bono. Paraeste ltimo dato, de acuerdo a lo expresado en el mencionadoapartado, resulta que en el caso de este ejemplo losintereses devengados son $ 16,67, con lo que el precioajustado es: PA = 910,00 - 16,67 = 893,33

por cada $1.000 de valor nominal. Finalmente, una vezintroducidos todos los datos, el programa calcula: TIR = 14,72 % nominal anual

Si no se dispone de un programa especfico parabonos pero se tiene acceso a un programa para resolucin deecuaciones, entonces tambin es factible una solucin. Paraello el nico requisito es la capacidad de escribir laecuacin a resolver que debe introducirse en el programa. Enel caso de este ejemplo, la frmula (12) deviene en lasiguiente ecuacin:

5 50 1.050

910=[ + ](1 + TIR/2)60/180(13) j=1 (1 + TIR/2)j (1 + TIR/2)6

Desde ya que la solucin coincide con el valorya determinado por otro mtodo: TIR = 14,72%. Cualquier ecuacin equivalente a (13) podraser utilizada en lugar de la misma. As, por ejemplo, de (7)en el captulo anterior*resulta:910=[100/TIR + 1000(1+ TIR/2)-6(1- 0,1/TIR)](1+ TIR/2)1/3 (14)

cuya solucin es obviamente la misma que la anterior.

Con la planilla Excel puede usarse la funcin BuscarObjetivo:



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19

Finalmente, si no se dispone de programas parabonos o resolucin de ecuaciones, puede intentarse unasolucin por aproximaciones sucesivas. A tal efecto, encualquiera de las frmulas (13), (14), o en la ecuacinapropiada que se haya elegido, se asigna un valor tentativo a

la variable TIR y se determina el precio correspondientepara ese valor. Si es mayor que 910, entonces el valorasignado a la TIR fue menor que el correcto y en consecuenciase har un nuevo intento con un valor mayor. Assucesivamente hasta alcanzar el grado de precisin deseado.Por ejemplo si se comienza por TIR = 13,81%, que es el valordeterminado en el ejemplo 20, entonces resulta, utilizandodel captulo anterior la frmula (9)*1, un precio de:

909(1 + 0,1381/2)60/180= 929,46

Este valor es mayor que $910 y en consecuenciadeber intentarse con una TIR mayor. Si, por ejemplo, se hace

TIR = 15%, resulta:

882,65(1 + 0,15/2)60/180= 904,19

donde el primer factor puede obtenerse, p.ej., as:

6 7,5 -50 -1000 === === === === === n i P V PMT F V === === === === === 882,65

El precio resultante es menor que 910 y por lo

tanto en el prximo paso se disminuir la TIR, y assucesivamente hasta encontrar la precisin que se desee.Vase la Fig.1 para interpretar grficamente este proceso.


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20

EJEMPLO 12: Pueden aplicarse las tcnicas sugeridas aleurobono del Banco de Quilmes citado en el Ejercicio 1 delDocumento previo. Supngase que el 20/10/93 se cotizaba enel mercado a $ 101,42 y verifquese que en esa fecha la TIRera igual a 9,66% nominal anual. Si utiliza un programa debonos, tenga en cuenta que los intereses devengados asciendena $1,16,

0,155 893,866921F i g u r a 1

890

895

900

905

910

915

920

925

930

935

940

13,00% 13,50% 14,00% 14,50% 15,00% 15,50% 16,00%

r(%)

PT

(1)========================>(2)

(3)(4)

Clculo de la TIR por aproximaciones sucesivas

TIR

Tasa : r 0.1350 0.1381 0.1400 0.1425 0.1450 0.1472 0.1475 0.1500 0.1525 0.1550

Precio : PT 936.10 929.39 925.30 919.97 914.67 910.00 909.41 904.19 899.01 893.87

para el clculo del precio ajustado. En caso de contar con unprograma para resolucin de ecuaciones, la que surge de (7)*

es:

101,42=[10/TIR+100(1+ TIR/2)-2(1- 0,1/TIR)](1+ TIR/2)42/181

(Vase en el Anexo 1 una solucin mediante planilla Excel)

Ejercicio 1: Determnese la TIR del bono tpico del tesoroargentino (BONTE 01), a que se refiere el ejemplo 4 delDocumento N13* previo, en fecha 2/8/00 supuesto que suprecio de mercado era de $ 102,50. Tngase presente que los

datos relevantes son: N = $100; i = 9,5%; n = 1; m = 2;d1= 70 y d

2= 184.(Respuestas a los ejercicios al final del

documento)

b) TIR de un bono no tpico con tasa fija Un problema adicional puede presentarse cuando,aparte de no coincidir la fecha de clculo de la TIR con la

Alvarez, V. A. y Fernndez Molero, D, Ttulos de Deuda (Fixed Income Securities)..., op. cit.


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de pago de un cupn, el bono no es tpico. En el ejemplosiguiente se calcular la TIR de un bono que tieneamortizaciones parciales.EJEMPLO 13: Refirase al Ejercicio 2 del Documento N 13previo* y supngase que el 20/10/93 se necesita calcular laTIR al vencimiento prometida por la ON de Acindar S.A., en elsupuesto que su precio de mercado sea $61,50. Debe resolverse la ecuacin que iguala elprecio de mercado del bono con el valor presente, en fecha20/10/93, de los flujos de fondos que producir hasta suvencimiento. 23,16 22,09 61,50 = + + (1 + TIR/2)51/183 (1 + TIR/2)233/182

21,05 + (1 + TIR/2)416/183

En este caso no es posible utilizar los

programas para bonos ms difundidos. Con un programa pararesolver ecuaciones o mediante aproximaciones sucesivas (verFig.2) se determina TIR = 12,65%.(Vase en el Anexo 2 una solucin mediante planilla Excel)

PT)

F i g u r a 2

60.50

60.70

60.90

61.10

61.30

61.50

61.70

61.90

62.10

62.30

62.50

10% 11% 12% 13% 14% 15% 16%

PT

(1)=========================>(2) r(%)

(3)(4)

Clculo de la TIR mediante aproximaciones sucesivas (EJEMPLO 13)

TIR

Tasa (r) 0.1050 0.1100 0.1150 0.1200 0.1250 0.1265 0.1300 0.1350 0.1400 0.1450 0.1500Precio (PT) 62.26 62.08 61.90 61.73 61.55 61.50 61.38 61.21 61.03 60.86 60.69

Ejercicio 2: Determnese, en fecha 15/12/99, la TIR del bonono tpico que es la obligacin negociable emitida porAUTOPISTAS DEL SOL S.A. el 01/08/97, a que se refiere el


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ejemplo 5 del Documento N13* previo, supuesto que su preciode mercado era de $ 77,00. Tngase presente que la tasa delcupn era fija del 10,25% nominal anual y pago semestral losdas 1 de febrero y de agosto. La amortizacin se realizabaen once cuotas semestrales, del 5% del capital desde el1/8/04 hasta el 1/2/09 y una ltima cuota del 50% alvencimiento de la obligacin el 1/8/09. (Solucin al final)

c) TIR de un bono no tpico con tasa flotante.

Si se hacen los supuestos simplificadoresmencionados en 2.4*del Documento anterior, es posiblecalcular una estimacin de la TIR, an en el caso que la tasadel cupn sea flotante.EJEMPLO 14: Se desea calcular en fecha 20/10/93 la TIR yTIREA estimadas del BONEX 84 a que se refieren el Ejercicio3*del Documento previo, sabiendo que se cotizaba a la par,es decir que su precio de mercado era de u$s 25 por cada u$s100 de valor nominal y que la tasa LIBOR nominal anual de esafecha era 3,375%, mientras que la del cupn corriente fue

3,5625%. A tal efecto, para calcular la TIR, se debe planteary resolver la siguiente ecuacin:

12,9453 0,2109 12,710925=[+ + ](1+ TIR/2)122/183

(1+ TIR/2) (1+ TIR/2)2 (1+ TIR/2)3

Tanto con un programa para resolver ecuacionescomo mediante aproximaciones sucesivas o la planilla Excel(vase Anexo 3) se puede encontrar TIR = 5,27% nominal anual. Si se desea obtener la TIREA puede calcularse apartir de la TIR en la forma oportunamente explicada, o biendirectamente utilizando la frmula (15)*para plantear y

resolver la siguiente ecuacin:

12,9453 0,2109 12,710925 =[+ + ](1+TIREA)122/365

(1+TIREA)0,5 (1+TIREA) (1+TIREA)1,5

de la que resulta: TIREA = 5,34%

Ejercicio 3: Determnese, en fecha 23/08/00, la TIR del bonoDISCOUNT a que se refiere el ejemplo 6 del Documento N 13previo* supuesto que su cotizacin burstil era de u$s 81,80y que la tasa LIBOR an se mantena en el nivel del cupncorriente: 6,84% nominal anual. Recurdese que los DISCOUNTfueron emitidos el 31/3/93 y vencen el 31/3/23, pagan cuponesde LIBOR ms un spread del 13/16% anual los das 31/5 y 30/11de cada ao y el capital se amortiza de una sola vez alvencimiento. (Solucin al final)Ejercicio 4: Mustrese que la TIR de un portafolio no es unpromedio de las TIR de los bonos que lo componen.



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1.8 Tasa interna de rentabilidad hasta el rescate (TIRR)

Si un bono tiene una clusula de rescate (vaseen el Documento previo 1.2)*, entonces la TIR hasta elvencimiento puede no ser una adecuada medida de larentabilidad prometida por la inversin, por cuanto si seproduce el rescate entonces la tasa interna de rendimientohasta ese momento es diferente.EJEMPLO 15: Considrese un bono tpico de valor nominal$ 1.000, que paga cupones semestrales al 10% nominal anual,emitido por cinco aos hace exactamente un ao, cuyoprospecto contiene una clusula que permite su rescate apartir del tercer ao de vida en cualquier fecha de pago decupn con un premio del 10% del valor nominal si el rescatese produce en la primera fecha posible, 7,5% en la segunda,5% y 2,5% en la tercera y cuarta respectivamente (vase laFig.3). Si en la fecha el bono se cotiza a $ 1.210, entonces

su rentabilidad hasta el vencimiento es TIR = 4,24%nominal anual. Este rendimiento prometido es significativo,slo si se mantiene la posesin hasta la fecha de vencimientoy se reinvierten los cupones a la misma tasa. Sin embargo sise supone que el bono ser rescatado por ejemplo un ao antesdel vencimiento, entonces el rendimiento prometido debe tomaren consideracin los flujos que se producirn hasta esa fecha(ver Fig.3)

Operando en la forma habitual:

6 -1210 50 1050 === === === === ===

n i P V PMT F V === === === === === 2,04

se determina una tasa de rendimiento prometido del 4,08%nominal anual, claramente inferior al rendimiento hasta elvencimiento. Los inversores, con un criterio conservador,suelen calcular un rendimiento prometido en lo que juzganpodra ser la circunstancia ms desfavorable, esto es que elrescate se produzca en la primera fecha en que ello esposible. La tasa interna as calculada recibe el nombre deTasa Interna de Rendimiento hasta el Rescate (TIRR). Luego,para tomar sus decisiones, compara TIR y TIRR, eligiendo lamenor2.

2Fabozzi, Frank J., Bond Markets, Analysis and Strategies, 3rd ed., Prentice Hall Inc., U.S.A., 1996,

pp.39/40


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t(semestres) 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Sin Rescate -1210 50 50 50 50 50 50 50 1050

Con Rescate* -1210 50 50 50 1150 1125 1100 1075 0

EJEMP 15** -1210 50 50 50 50 50 1100 0 0

EJEMP.15 -1210 50 50 50 1150 0 0 0 0

F I G U R A 3

-1400

-1200

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

t (semestres)

Flujos

de

Fondos

Sin Rescate

Con Rescate*

EJEMP 15**

EJEMP.15***

Sin Rescate -1210 50 50 50 50 50 50 50 1050

Con Rescate* -1210 50 50 50 1150 1125 1100 1075 0

EJEMP 15** -1210 50 50 50 50 50 1100 0 0

EJEMP.15*** -1210 50 50 50 1150 0 0 0 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

* Con posterioridad a la fecha de rescate los flujos valen cero

**Supuesto que se rescata un ao antes del vencimiento

***Supuesto que se rescata en la primera fecha que es posible.

En este ejemplo, mediante elsiguiente clculo:

4 -1210 50 1100 === === === === === n i P V PMT F V === === === === === 1,9241

se determina TIRR = 3,85% nominal anual, que es la solucinde la ecuacin: 4 1.210 = 50/(1 + TIRR)j+ 1.100/(1 + TIRR)4

j=1

Un inversor conservador tomar como rendimientoprometido 3,85% pues es el menor entre el rendimiento hasta


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el vencimiento y hasta el rescate. Sobre la base de esta tasaadoptar su decisin de inversin. Debe tenerse presente que, segn lascircunstancias, podra ocurrir que TIR < TIRR. Verifique ellector que si el bono de este ejemplo cotizara a $ 1.100,entonces TIR = 7,09% y TIRR = 9,09%, con lo que un inversorconservador tomara como rendimiento prometido el 7,09%. Esta forma conservadora de evaluar elrendimiento trata de compensar al inversor en un bonorescatable por las desventajas originadas en la opcin derescate que tiene el emisor. Fundamentalmente ellas son: a)Que el emisor rescatar el bono cuando las tasas de intersdel mercado sean inferiores a la del cupn (el bono se cotizasobre la par), con lo que el inversor deber reinvertir losfondos provenientes del rescate a tasa menor que la que leproduca la inversin en el bono. b) El precio de los bonossube cuando las tasas bajan. Sin embargo es un hechoemprico3que esta apreciacin est limitada, en el caso debonos rescatables, aproximadamente por el valor de rescate. Debe reconocerse que la utilizacin de la TIRR

est basada en la generalmente irreal suposicin que el bonoser rescatado en la primera fecha en que ello es posible,con lo que no considera la posibilidad de reinversin de losflujos hasta la fecha del vencimiento original del bono, loque s hace la TIR. En realidad el procedimiento descritopara obtener esta medida de rentabilidad de bonosrescatables, debe interpretarse como una regla emprica ad-hoc que usan habitualmente los operadores, aunque sufundamento terico es bastante dudoso por cuanto se estncomparando dos tasas (TIR vs. TIRR) que se refieren adistintos perodos de tiempo. Si se quiere desarrollar un modelo ms precisopara estimar el potencial rendimiento de un bono rescatable,

es necesario basarse en la teora de opciones que permitevaluar el privilegio del emisor.

Ejercicio 5: Sea un bono tpico de valor nominal $1.000,tasadel cupn 11% anual, pago semestral, que vence dentro de 18aos y puede ser rescatado dentro de 13 aos a $1.055. Estimela tasa de rentabilidad prometida a un inversor conservadorsi su precio de mercado es: a) $1.087,35 b) $1.259,58

3Fabozzi, Frank J. - The Handbook of Fixed Income Securities, Third Edition - Business One Irwin, USA,

1991 - pp. 278/79


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1.9 Tasa Interna de Rentabilidad Ex-post (TIREP)

La tasa interna de rentabilidad hasta elvencimiento (TIR) es el rendimientoprometido (ex-ante)porla inversin en el bono, siempre que se lo mantenga encartera hasta su vencimiento y que adems se reinviertanhasta esa fecha y a esa misma tasa todos los cuponescobrados. Si, como es habitual, no se cumple alguna de esascondiciones entonces la tasa de rendimiento de la inversinrealmente obtenida (ex-post)puede ser sustancialmentedistinta de la prometida. A efectos de tener una idea de laincidencia de la reinversin y consiguiente capitalizacin deintereses se desarrollar el siguiente:

EJEMPLO 16: Sea un bono tpico de valor nominal $1.000, quepaga cupones semestrales al 10% nominal anual, y vence dentrode exactamente tres aos. Su precio de mercado es hoy $ 909.Supngase que se compra para mantenerlo en cartera hasta suvencimiento. Se desea estimar cul ser la tasa interna de

rendimiento ex-post (TIREP) y compararla con el rendimientoprometido ex-ante (TIR). A tal efecto es necesariopronosticar las tasas de inters a que sern reinvertidos losflujos de fondos producidos por el bono. Al respecto se harnhiptesis simplificadoras, que ms adelante se adecuarn a larealidad: a) Antes del pago del primer cupn cambia la tasadel mercado y luego permanece constante hasta la fecha devencimiento del bono; b) El horizonte de planeamientocoincide con el vencimiento del bono. En estas condiciones secalcular la TIREP para distintas supuestas tasas dereinversin. Finalmente se extraern las conclusionespertinentes. En la Tabla 1 se muestran algunos aspectos delclculo de la TIREP del bono de este ejemplo para distintas

hiptesis acerca del valor de la tasa de reinversin de loscupones.

Tasa de |Ingreso cup.|Intereses de | Ingreso | TIREPreinversin|y amortizac.| reinversin | total | (1) | (2) | (3) | (4) | (5)=========================================================== 0,00% | 1.300 | 0,00 | 1.300,00 | 12,29 5,00% | 1.300 | 19,39 | 1.319,39 | 12,81 10,00% | 1.300 | 40,10 | 1.340,10 | 13,37 13,81% | 1.300 | 56,81 | 1.356,81 | 13,81 15,00% | 1.300 | 62,20 | 1.362,20 | 13,95 20,00% | 1.300 | 85,78 | 1.385,78 | 14,56 25,00% | 1.300 | 110,91 | 1.410,91 | 15,21===========================================================Efecto de la reinversin de los cupones en la rentabilidad ex-post del bono del Ejemplo 16. TABLA 1

Advirtase que la TIR de este bono es 13,81%nominal anual y ha sido calculada en el Ejemplo 7 (pg. 13). En la columna (1) figuran distintas tasas


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nominales anuales de reinversin (r), expresadasporcentualmente, en las condiciones de la hiptesis a)anterior. El valor de la columna (2) se calcula con lafrmula:

(2) = Cupones + Amortizacin = nNi + N = N(1 + ni)

donde todos los smbolos han sido definidos previamente. Eneste caso se tiene:

N(1 + ni) = 1.000(1 + 3x0,10) = 1.300

En la columna (3) se indican los interesesganados por la reinversin de los cupones. Su monto puede sercalculado como la diferencia entre el valor futuro de loscupones en la fecha del vencimiento del bono y el valornominal de todos ellos. El mencionado valor futuro es unaimposicin de tantas cuotas como cupones, donde el valor dela cuota es igual al del cupn y la tasa de inters esaquella a que se supone se realiza la reinversin. Se tiene

entonces:

(3) = Imposicin de los cupones - Valor nominal = = (Ni/m)s(nm;r/m) - Nin

donde "r" simboliza la tasa nominal anual de reinversin y

s(t;j) = [(1 + j)t- 1]/j

Por ejemplo, para el quinto rengln de la Tabla1.4 se tiene r = 15%, resultando:

(3) = 50s(6;0,075) - 300 = 362,20 - 300

Intereses ganados por reinversin = 62,20

En la columna (4) se calcula el ingreso totalsumando las columnas (2) y (3). Finalmente en la columna (5)figuran las tasas internas de rendimiento nominales anualesex-post que realmentese conseguiran comprando el bono,mantenindolo en cartera hasta su vencimiento y reinvirtiendosus cupones a la tasa que en cada uno de los renglones de laTabla 1 se indica. La TIREP es aquella tasa nominal peridica a laque colocado un importe igual al precio de compra del bono(valor presente), por el perodo de tenencia y concapitalizacin de intereses en cada fecha de pago de cupones,origina un monto (valor futuro) igual al ingreso total.

Precio de Compra(1 + TIREP/m)nm= Ingreso Total


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Asimismo el valor final de los cupones cobradosen los momentos 1 a 3 (Vase Fig. 4), surge de colocarlos porsemestres sucesivos a la tasa de inters vigente en cadafecha y hasta el horizonte de planeamiento.

F I G U R A 4

Perodos y tasas 0 1 (14%) 2 (14,5%) 3 (15%) 4 (15,5%)

+ + + + +

Flujos de fondos (-909) 50 50 50 1.000,79

53,75

57,65

61,68

Ingreso Total Estimado............................................. ............ 1.173,87

======

Clculo del Ingreso Total Estimado para un perodo de tenencia de dos aos del

bono a que se refiere el EJEMPLO 17

En resumen, se tiene:

t VALOR FACTOR DE CAPITALIZACION VALOR FINAL CUPON 1 50,00 x (1,0700)(1.0725)(1,0750) = 61,68 2 50,00 x (1,0725)(1,0750) = 57,65 3 50,00 x (1,0750) = 53,75 4 50,00 x 1 = 50,00 ---------- VALOR FINAL ESTIMADO DE LOS CUPONES = 223,08 PRECIO ESTIMADO DE VENTA = 950,79 ---------- INGRESO TOTAL ESTIMADO = 1.173,87

Entonces, de acuerdo a la frmula (15), la tasaestimada de rentabilidad ex-post ser:

TIREP = [(1.173,87/909,00)1/4- 1].2 = 0,1320

es decir que la rentabilidad ex-post estimada del 13,20% no-minal anual es inferior a la tasa interna de rentabilidadprometida (ex-ante), pues TIR = 13,81% nominal anual. Los analistas suelen utilizar la TIREP en elcontexto de un anlisis de escenarios para tomar decisiones.

Ejercicio 6: Un bono tiene una tasa del cupn del 8% anual,pago semestral, vence dentro de 20 aos y su TIR es 10% anualCul es la TIREP para un horizonte de inversin de 3 aos sise supone una tasa de reinversin constante del 6% anual yque la TIR del bono dentro de tres aos ser del 7% anual?


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2 Rentabilidad y tipos de riesgo

En su acepcin ms corriente en Finanzas, eltrmino

"riesgo"de una inversin significa la variabilidad

de los rendimientos de la misma4.La medida habitual delriesgo es el desvo estndar de la variable aleatoria querepresenta los rendimientos de la inversin, entendidos en elsentido definido en la frmula (2) y pensados como tasas ex-ante segn lo explicado en 1.3.

2.1 Tasas Nominal Libre de Riesgo, Real y de Inflacin Esperadas

La tasa de rentabilidad ex-ante de unainversin que produce flujos de fondos ciertos en monto yfecha, esto es que la probabilidad de incumplimiento es cero,

tiene variabilidad nula y es, en consecuencia, denominadaTasa Nominal Libre de Riesgo (TNLR). El ejemplo clsico es latasa de rendimiento de una inversin en un bono cero cupndel gobierno de EEUU, en el supuesto que se entiende quecumpli y cumplir los compromisos estipulados y, adems, queel bono se mantendr en cartera hasta su vencimiento. En realidad los flujos asociados a la mayorade las inversiones (por ej. los bonos) son inciertos y enconsecuencia la rentabilidad de las mismas es aleatoria. LaTeora Financiera, en particular el modelo CAPM 5, afirma quepor inversiones con riesgo se requiere un premio sobre laTNLR que, en equilibrio, es creciente en forma lineal con elriesgo.

Sintticamente:

TASA NOMINAL =TASA NOMINAL LIBRE DE RIESGO + PREMIO AL RIESGO

TN = TNLR + P (16)

Este modelo puede interpretarse en trminos deflujos de fondos (o de precios) siguiendo los lineamientos dela definicin de tasa dada mediante la frmula (1).En efecto,si se designa B1al flujo en t=1 de una letra o un bono cerocupn emitido por el gobierno o cualquier entidad que seconsidere cumplir con certeza, y que hoy vale P0, se tiene:

P1- P0 P1- B1 B1- P0TN = = + = P + TNLR P0 P0 P0

4Ver Messuti, Alvarez y Graffi, Seleccin de Inversiones - Introduccin a la Teora de la Cartera, Ed.. Macchi,

Bs. As. 1992, 7.3, pg. 1825Ver Messuti, Alvarez y Graffi, Seleccin de Inversiones - Introduccin a la Teora de la Cartera, Ed. Macchi,

Bs. As. 1992, pg. 515


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que descompone la tasa de rentabilidad nominal en doscomponentes: i) P asociada al exceso de recompensa porsobre la que otorga un bono seguro y ii) TNLR asociada ala recompensa que ofrece una inversin sin riesgo.

La variabilidad de la TN es, segn se hadefinido, el riesgo de tasade la inversin. El anlisis de

las dos componentes de la TN permitir realizar unaaproximacin al conocimiento de las distintas fuentes delriesgo total de la inversin. Desde el punto de vista de la Teora Econmicala TNLR puede interpretarse como la recompensa exigida porposponer consumos y representa el mero valor temporal deldinero. A su vez pueden distinguirse dos factores que afectanesta tasa. El primero refleja tanto aspectos subjetivos (v.g.la preferencia por la liquidez) como objetivos referidos alconjunto de oportunidades de inversin que presenta laeconoma: es la tasa real de inters esperada (TRE). Elsegundo refleja la variacin en el poder adquisitivo de lamoneda: es la tasa de inflacin esperada (TIE). Resumiendo,

en forma aproximada se tiene:

Tasa Nominal Tasa Real Tasa de InflacinLibre de Riesgo Esperada + Esperada

TNLR TRE + TIE (17)

Segn Fisher6la relacin exacta es:

1 + TNLR = (1 + TRE)(1 + TIE) (18)

EJEMPLO 18: Supngase que se est analizando la posiblerentabilidad, en trminos reales, de una inversin en un bono

cero cupn del gobierno con vencimiento dentro de un ao, elque se ofrece hoy en el mercado a un precio tal que prometeuna rentabilidad al vencimiento del 12% anual. Si la tasaanual de inflacin esperada es del 5%, entonces la tasa realesperada de la inversin puede calcularse en forma aproximadautilizando (17):

TRE TNLR - TIE = 0,12 - 0,05 = 0,07 (7% anual)

En forma exacta, segn (18), se tiene:

1 + TNLR 1,12TRE = - 1 = - 1 = 0,0667 (6,67% anual) 1 + TIE 1,05

6Irving Fisher, Appreciation and Interest, N.Y.: Macmillan, 1896, p. 75-76, citado por Jack Clark Francis,

Portfolio Analysis and Management, 5th. Edit., 1991, Mc Graw -Hill


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El anterior es un anlisis ex-ante. Sitranscurrido un ao se realiza un clculo ex-post, supuestoque la tasa de inflacin anual fue realmente del 3%, resultaque la tasa real efectivamente obtenida es aproximadamente:

TR TNLR - TI = 0,12 - 0,03 = 0,09 (9% anual)

o exactamente:

1 + TNLR 1,12TR = - 1 = - 1 = 0,0874 (8,74% anual) 1 + TI 1,03

El ejemplo anterior permite apreciar que lacaracterstica de inversin libre de riesgo slo tienesentido cuando su rentabilidad se mide en trminos nominales.Si se midiera en trminos reales entonces las posiblesvariaciones en la tasa de inflacin (TI) implicanconsecuentes variaciones en la tasa real (TR) lo que, desdeesta perspectiva constituye un riesgo: es el denominado

riesgo de inflacin.

2.2 Premio por el riesgo y distintos tipos de riesgo

Los factores de la TNLR hasta aqu considerados(tasas real y de inflacin) afectan por igual a todas lasinversiones de la economa. Existe otro grupo de factores queafectan de distinta manera a distintas inversiones, lo quetrae como consecuencia que, para cada una de ellas, uninversor averso al riesgo exija unpremio (P)sobre la TNLRbsica que es directamente proporcional a la incertidumbre delos resultados de la misma (vase frmula (16)). El

mencionado premio es el precio del riesgo debido a lainfluencia conjunta de los citados factores. Se acostumbra aanalizar ese riesgo total distinguiendo algunas componentesimportantes. Para identificar y estudiar estas componentes esnecesario hacer la abstraccin terica de aislar sus efectosmediante un anlisis "ceteris paribus". Sin embargo, no debeolvidarse que todas actan conjuntamente en la realidad. Si slo se atiende a la variabilidad de lastasas originadas por los distintos plazos de las obligaciones(se supone que las mismas tienen todas idntica calidad enlos restantes aspectos) se presenta el riesgo de plazovinculado con la estructura temporal de las tasas de intersa que se refiere el prximo Documento. Hay un razonableconsenso en que el premio por ste riesgo se incrementa conel plazo hasta el vencimiento. Lo que no est an claro es siel valor de ste premio depende solamente del plazo o estinfluido tambin por el nivel de las tasas y su volatilidad.La mayora se inclina por pensar que para las tasas de cortoplazo ste premio es directamente proporcional al nivel de


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las mismas, mientras que sucede lo contrario con las tasas delargo plazo7. Cuando las obligaciones no son cero cupn, esdecir producen flujos de fondos en fechas anteriores a la desu vencimiento, es tcnicamente conveniente pensar en la"vida econmica" de una obligacin ms que en su vidarestante (plazo hasta el vencimiento). Esta vida econmica semide mediante la

"duracin"o

"plazo promedio ponderado",

concepto que ser presentado en otro documento. Lavariabilidad en las tasas debida al particular perfil de losflujos de fondos, incluyendo el plazo hasta el vencimiento,es el tipo de riesgo que ser estimado sobre la base de la"duracin". La volatilidad en las tasas de intersoriginada por la posibilidad que el emisor de un bono nocumpla las estipulaciones del prospecto de emisin en tiempoy/o monto recibe el nombre de riesgo de incumplimiento(default risk). Para aislar el premio por riesgo deincumplimiento es necesario comparar ttulos de igual plazohasta el vencimiento, similar perfil de flujos de fondos y,

en general, idnticos en todos los aspectos salvo lascaractersticas propias del emisor que incidan en laposibilidad de incumplimiento de sus compromisos.Precisamente esta tarea es la que realizan las compaascalificadoras de riesgo ( ver 1.3 en el Documento anterior)*

agrupando a los distintos emisores en categoras de similarriesgo de incumplimiento. Estudios empricos muestran unarazonable correlacin ex-post entre estas categorizaciones yel comportamiento real de los emisores. Puede relacionarse el riesgo de incumplimientocon el de plazo. Hay razones tericas y empricas quepermiten inferir que para compaas con las mejorescalificaciones de riesgo, el premio por el riesgo de

incumplimiento es decreciente con el plazo hasta elvencimiento, sucediendo lo contrario con las de ms bajacalificacin8

Los riesgos hasta aqu considerados se refierena bonos que no contienen clusulas que confieren algn tipode opcin al emisor o al inversor. Si contuvieran talesclusulas, esa opcin origina generalmente algn tipo deriesgo. En efecto, el eventual ejercicio de la opcin puedecambiar el perfil de los flujos de fondos del bono yconsecuentemente la tasa de rentabilidad puede aumentar odisminuir. Esta variabilidad en la tasa de inters estcnicamente el riesgo asociado a las opcionesy losinversores aversos al riesgo tendrn normalmente un premio(positivo o negativo segn que la clusula los desfavorezca o

7Vase James C. Van Horne, Financial Market Rates and Flows, Prentice Hall, New Jersey, 1990, pg. 111 y

ss.*Alvarez, V. A. y Fernndez Molero, D, Ttulos de Deuda (Fixed Income Securities)..., op. cit.

8Vase James C. Van Horne, op. cit., pg. 171 y ss.


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favorezca) que influir en el valor de P en (16). Porejemplo, bonos convertibles y warrants tienen una clusula deopcin a favor del inversor que le permite bajo ciertascondiciones canjear su bono por acciones u otros ttulos.Dado que en este caso la opcin es a favor del inversor,entonces el premio P de la ecuacin (16) disminuir en unmonto igual al valor de esa opcin. Una clusula de rescate es una opcin a favordel emisor que fue descripta sucintamente en el Documentoanterior al principio de 1.2*. Dado que ser ejercida cuandoresulte beneficioso para el emisor, se constituye en unriesgo para el inversor quin demandar, en consecuencia, unpremio que contribuir a aumentar el valor de P en (16). Unaforma de clusula de rescate es la opcin que tienen losdeudores hipotecarios para cancelar anticipadamente su deuda,lo que origina el llamado riesgo de prepago para elprestamista, ya que altera el flujo de fondos previsto. Esteriesgo se transmite por el proceso de securitizacin otitulizacin a los tenedores de ttulos respaldados porhipotecas. En 1.2*tambin se hizo referencia a la clusula

"put", esto es, una opcin de venta a favor del inversor queeventualmente modificar los flujos de fondos previstos,afectando la variabilidad de los rendimientos. En resumen, cualquier tipo de opcin contenidaen el prospecto de un bono afecta la variabilidad de losrendimientos, constituyndose en un factor de riesgo ya seapara el inversor o para el emisor, influyendo en el valor deP en la frmula (16) de modo de aumentarlo si la opcin esfavor del emisor y disminuirlo si sucede lo contrario. Paradeterminar con mayor precisin la cuanta de esa variacin enP debe utilizarse la Teora de Valuacin de Opciones. Se hace referencia en la literatura sobre eltema a mltiples tipos de riesgo, aparte de los aqu

mencionados que, por ende, contribuyen a conformar el premioP de la frmula (16). En algunos casos se estudia porejemplo, al riesgo del negocio, causado por la particularnaturaleza de la actividad de la firma emisora y su impactoen sus flujos de fondos. Est vinculado al apalancamientooperativo, producido por los costos fijos. Similarmente, elriesgo financieroes la incertidumbre introducida por laforma de financiamiento de la empresa. Si slo se utilizacapital propio, no existe este riesgo, el que aumenta con elapalancamiento financiero, es decir con la proporcin dedeuda.9

El tipo de mercado secundario de un bonoorigina el llamado riesgo de liquidez. Est asociado a lavariabilidad en los flujos producida por la mayor o menorfacilidad para su venta sin hacer concesiones extraordinariasen el precio. Los inversores globales, aparte de los riesgosmencionados, enfrentan el denominado riesgo pas (countryrisk)vinculado a las caractersticas sociales, polticas y

9Vase Richard A. Brealey y Stewart Myers, Principios de Finanzas Corporativas, Cuarta Edicin, McGraw-

Hill, Madrid, 1993, pg. 226


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econmicas de cada pas. La inestabilidad de lasinstituciones polticas, de las normas jurdicas, enparticular la variabilidad de las regulaciones econmicas,tasas impositivas, tasas de cambio, as como la existencia deterrorismo son factores que aumentan el a veces denominadoriesgo poltico, haciendo que los inversores exijan premiosde tasa de inters adicionales por comprar bonos sujetos aese riesgo. Adems, cuando se invierte en bonos denominadosen una moneda distinta a la del inversor, aparece el riesgode cambio que ser tratado en el apartado siguiente.

Segn se ha mencionado al principio de esteapartado, otro posible enfoque en el anlisis del riesgo delos bonos deriva del conocido modelo de valuacin de activos(CAPM). Este modelo establece que, en equilibrio, slo cuentael denominado riesgo de mercado o sistemtico(medido por elcoeficiente beta), ya que el riesgo propiopuede (y debe) sereliminado mediante adecuada diversificacin.10

En consecuencia en la frmula (15) el premio al

riesgo P depende solamente del riesgo sistemtico, de acuerdoa la frmula:

P = (EM- TNLR) (19)

donde : medida de riesgo sistemtico EM: rendimiento esperado de la cartera del mercado.

Resulta entonces que la tasa nominal esperadaser:

TN = TNLR + (EM- TNLR) (20)

El modelo CAPM fue testeado empricamente conamplitud para el mercado accionario y adems fue usadointensamente en la administracin de carteras de acciones.Mucho menores fueron los logros, tanto tericos comoprcticos, en su aplicacin a los bonos. Uno de los pocosintentos vincula el coeficiente beta con el concepto deduracin, que ser abordado en otro documento.

10

Ver Messuti, Alvarez y Graffi, Seleccin .... op. cit., 11.6 pg. 357 y 13.4 pg 459 y ss.


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3 Rentabilidad y tipo de cambio

En 2.2 se hizo referencia al "riesgo de cambio"como aqul a que est expuesto quien invierte en bonosdenominados en moneda extranjera, ya que tanto los precioscomo los servicios de renta y/o amortizacin debenconvertirse a la moneda local por medio de los tipos decambio. Las fluctuaciones aleatorias de los mismos afectandirectamente la rentabilidad de las mencionadas inversionesmediante un complejo mecanismo que interrelaciona los tiposde cambio con las tasas de inters y de inflacin. En esteapartado se esbozar un anlisis de dichos mecanismos y seestablecern una serie de resultados tiles en la toma dedecisiones acerca de inversiones internacionales en mercadosglobalizados.

3.1 Ideas bsicas y definicin de trminos

Se define tipo de cambiocomo la cantidad demoneda extranjera que puede comprarse con una unidad demoneda domstica. Se simbolizar TC(t;T) al tipo de cambiovigente en fecha t para una operacin por un plazo T-t (seliquida en fecha T). As por ejemplo TC(0;0) ser el tipo decambio de contado del da (pues el plazo es en este caso0 = T-t vigente en la fecha de hoy t = 0), mientras queTC(3;3) simbolizar el tipo de cambio de contado (en estecaso tambin T-t = 0) pero vigente en la fecha t = 3.Asimismo TC(0;5) representa el tipo de cambio futuro vigentehoy (t = 0) para una operacin a liquidar dentro de 5

perodos (T-t = 5). De esta forma si TC(0;0)= 0,1850 libraesterlina por peso, ello significa que hoy pueden comprarse18,50 centavos de libra por peso y TC(0;5)=0,1980 indica quehoy es posible realizar un contrato de futuros (futurescontract)para liquidar en cinco perodos a 0,1980 libras porcada peso. Suele hacerse referencia alprecio de contado ode futurode una divisa como el importe en moneda local quedebe abonarse, en la fecha actual o en una futurarespectivamente, por una unidad de moneda extranjera . staes la forma ms usual de cotizar en Argentina. No debeconfundirse con el tipo de cambio definido anteriormente, yaque uno de ellos es el recproco del otro. Si se designaP(t;T) al precio de una divisa vigente en fecha t para unaoperacin a liquidar en fecha T, resulta:

P(t;T) = 1/TC(t;T) (21)

EJEMPLO 19: Si se observa en la pizarra de una agencia decambio "DOLAR VENTA $ 3,43", ello quiere decir que por undlar debe pagarse 3,43 pesos y en consecuencia, de (21) sederiva que con un peso es posible comprar 1/3,43 = 0,2915


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dlares. En efecto, en este caso se tiene P(0;0)=3,43$/u$s,TC(0;0)=0,2915u$s/$ y se verifica lo previsto en (21):

1 3,43$/u$s = 0,2915u$s/$

Por otra parte, si en una determinada fecha sepuede contratar un futuro de cambio que permita comprardentro de dos meses una libra esterlina por 5,2659 pesos,entonces si el perodo de cuenta es el mes, resulta queP(0:2) = 5,5572$/y, por (21):

1 TC(0;2) = = 0,1899/$ 5,2659$/

3.2 Relacin entre tasas de inters local y extranjera con tipos de contado y futuro

La globalizacin de los mercados financieroshace cada vez ms frecuente la necesidad del clculo de larentabilidad, medida en moneda domstica, de una inversinrealizada en un ttulo denominado en moneda extranjera. En elsiguiente caso se aborda empricamente el problema.EJEMPLO 20: Se analiza el resultado obtenido por un inversorargentino que compr bonos del tesoro estadounidense de valornominal u$s 1.000 a la par y durante el perodo de tenenciacobr cupones cuyo valor al final de dicho perodo fue deu$s 100. El precio del dlar en la fecha de compra fue de0,9940$/u$s, mientras que en la fecha de liquidacin fue de3,43$/u$s. En esta ltima fecha el bono se cotizaba a

u$s 1.020,00. Se desea calcular la rentabilidad ex-post de laoperacin medida en moneda local. En la fecha de compra, t = 0, el inversoradquiere un bono de N = u$s 1.000 al precio P(0;0)=0,9940$/u$s, invirtiendo u$s 1.000,00 x 0,9940$/u$s =$994,00. Es decir que transforma un capital de $994,00 en:

$994,00 x TC(0;0) = $994,00 x 1,006u$s/$ = u$s 1.000,00

La inversin produce al fin del perodo detenencia, T = 1 (ver frmula (2)), una rentabilidad endlaresigual a:

rE= [(P1+F1)/P0] - 1 = [(1.020+100)/1.000] - 1 = 0,12 (12%)

A efectos de medir la rentabilidad en pesos, sesupone que se vende el bono a u$s 1.020,00 en T = 1 y secambia el monto de 1.120 dlares al precio vigente en esafecha, obtenindose:


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u$s 1.120 x P(1;1) = 1.120u$s x 3,43$/u$s = $3.841,60

Este mismo clculo puede realizarse en base al concepto de"tipo de cambio" as:

u$s 1.120 x [1/TC(1;1)]= u$s 1.120 x (1/0,2915)$/u$s =$3.841,60 Finalmente la tasa de rentabilidad ex-post enpesos por el perodo de tenencia resulta:

rD= (3.841,60/994) - 1 = 2,8648 (286,48%)

En la Figura 5 se esquematizan los pasosseguidos por el inversor argentino y el clculo de las tasasde rentabilidad que obtuvo.

t = 0 RENTABILIDAD EN T = 1INVERSION EN MONEDA LOCAL = r

D= 286,48% MONTO EN

MONEDA LOCAL MONEDA LOCAL $994,00 $3.841,60

CAMBIO AL TIPO CAMBIO AL TIPO TC(0;0)=1,006 TC(1;1)=0,2915

u$s1.000.- u$s1.120VALOR MONEDA MONTO MONEDAEXTRANJERA EXTRANJERA RENTABILIDAD EN MONEDA EXTRANJERA = r

E= 12,00%

FIGURA 5

El ejemplo anterior permite encontrar unarelacin formal ex-post entre tipos de cambio y tasas deinters. En efecto, ntese que el proceso que llev a ladeterminacin de la tasa domstica en la FIGURA 5, por unidadde capital, se resume en la siguiente frmula:

1+rD= TC(0;0)*(1+rE)/TC(1;1) , de la que se deduce:

rD= {(1+rE)[TC(0;0)/TC(1;1)]} - 1 (22)

La frmula (22) muestra que la rentabilidad enmoneda domstica de una inversin en un activo denominado enmoneda extranjera depende de la tasa de inters fornea y delos tipos de cambio vigentes en las fechas de iniciacin yliquidacin de la operacin.


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Si bien la identificacin de las variablesrelevantes que influyen en la rentabilidad de una inversininternacional que se realiz en el EJEMPLO 20 se bas en unadeterminacin ex-post, lo cierto es que su utilidad prcticase materializar en la medida en que las relaciones entre lasvariables se verifiquen, al menos en algn sentido, ex-ante.Ello es as porque, como es obvio, al tomar la decisin deinversin no se conoce el tipo de cambio TC(1;1) que regiren el futuro. En este caso el agente econmico que debe tomaruna decisin de inversin en bonos denominados en una monedaextranjera, procura estimar en t = 0 la rentabilidad de suoperacin internacional a liquidar en T = 1, pudiendopresentarse estas dos alternativas, en el caso que r

Esea

libre de riesgo:

i) En un mercado de cambio a futuro se contrata en t = 0 unfuturo de cambio al tipo TC(0;1), a liquidar en T = 1. Enestas condiciones se conoce ex-ante, salvo riesgos deincumplimiento, la rentabilidad ex-post, la que puede sercalculada con la frmula:

rD= {(1+rE)[TC(0;0)/TC(0;1)]} - 1 (23)

ii) No se opera en el mercado de cambio a futuro y enconsecuencia no se conoce a priori el tipo de cambio decontado TC(1;1) al que se liquidar la operacin en T = 1.En este escenario TC(1;1) y consecuentemente la rentabilidadrDson variables aleatorias y slo se podr hablar consentido de sus valores esperados E[TC(1;1)] y E(rD). Unafrmula para estimarla rentabilidad esperada de la operacininternacional es:

E(rD) = (1+rE){TC(0;0)/E[TC(1;1)]} - 1 (24)

que requiere algn tipo de estimacin de E[TC(1;1)].

Como puede apreciarse, la alternativa i)corresponde al caso de un agente econmico que realiza unacobertura del riesgo de cambiomediante un contrato a futuro,mientras que ii)corresponde a un operador que decide correrel citado riesgo.

El problema prctico en la alternativa ii) esentonces estimar la tasa domstica de rentabilidad esperada,E(r

D), de una inversin en moneda extranjera, a efectos de

compararla con un apropiado costo de oportunidad del capital.Para ello se requiere estimar E[TC(1;1)], pues los otrosvalores de la frmula (24) son observables en el mercado enla fecha t = 0. La estimacin del valor esperado del tipo decambio de contado a regir en el futuro, dentro de un perodo,E[TC(1;1)], depende de las hiptesis que se formulen acerca


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de las actitudes de los agentes econmicos ante el riesgo decambio. Lo ms usual (y sencillo) es suponer que el inversores indiferente al citado riesgo lo que, puede demostrarse,trae como consecuencia que dicho valor esperado sea igual altipo de cambio futuro por un perodo. Esta igualdad esdenominada por Solnik como relacin de las expectativas delos tipos de cambio

11:

E[TC(1;1)]= TC(0;1) (25-a)

Si se cumple (25-a), entonces (23) y (24) son, formalmente,idnticas y pueden escribirse en la forma:

TC(0;1) 1 + rE

= (26) TC(0;0) 1 + r

D

que el citado Solnik12denomina relacin de paridad de lastasas de inters. Algunos autores llaman tipo de cambio implcitofuturo13al valor que resulta de despejar en (26): 1 + r

E

TCIF(0;1) = TC(0;0) (27) 1 + r

D

Sin embargo algunas evidencias parecen sugerirque es ms acertado suponer que los agentes son aversos alriesgo de cambio y en consecuencia existe una prima de riesgok que es a veces positiva y a veces negativa. Formalmente se tiene:

a) Neutralidad al riesgo: E[TC(1;1)] = TC(0;1) (25-a)

b) Aversin al riesgo: E[TC(1;1)] + k = TC(0;1) (25-b)

pues los operadores interesados en operar a futuro estarndispuestos a renunciar a un poco de rentabilidad paraasegurarse el precio futuro, en virtud de su aversin alriesgo de cambio. Si venden a futuro ser el premio k0 si compran a futuro.14

Segn lo expresado previamente a la frmula(26), en la alternativa a) el agente evaluar la rentabilidad

11

Solnik,Bruno, Inversiones Internacionales, Segunda edicin, Addison-Wesley Iberoamericana, USA, 1993,pg. 7.12Solnik,Bruno, Inversiones Internacionales, Segunda edicin, Addison-Wesley Iberoamericana, USA, 1993,

pg. 9.12

Vase p.ej. Kohn, Meir, Financial Institutions and Markets, Mc Graw-Hill, USA 1994

14Vase Solnik,Bruno, Inversiones Internacionales, Segunda edicin, Addison-Wesley Iberoamericana, USA,

1993, pgs. 8 y 9 y tambin Brealey, Richard A. y Myers, Stewart, Principios de Finanzas Corporativas,

Cuarta Edicin, McGraw-Hill, Madrid, 1993, pg. 1050.


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esperada de su inversin en moneda extranjera mediante lasiguiente frmula:

E(rD) = (1 + rE)[TC(0;0)/TC(0;1)]-1 (28)

Ntese que todas las variables del miembroderecho de (28) son observables en el mercado. Tambin puede hacerse la evaluacin en formaaproximada mediante la siguiente relacin que se deriva de(28):

E(rD) rE- {[TC(0;1)/TC(0;0)] - 1} (29)

En efecto, haciendo en (28) algunos pasajes de trminos:

1 + rE TC(0;1) 1 + rE TC(0;1)= => - 1 = - 1 =>

1 + E(rD) TC(0;0) 1 + E(r

D) TC(0;0)

rE- E(rD) TC(0;1) = - 1 , y si E(r

D) es pequeo resulta

1 + E(rD) TC(0;0)

la frmula aproximada (29)

La frmula (29) muestra que, en el supuesto deindiferencia al riesgo, es posible estimar aproximadamente larentabilidad esperada en moneda local de una inversin enmoneda extranjera, restando a la tasa de rentabilidad enmoneda extranjera la variacin relativa (o porcentual)esperada en el tipo de cambio, durante el perodo de la

inversin. Ntese que la rentabilidad esperada en monedalocal ser mayor o menor que la rentabilidad en monedaextranjera segn que se espere que la moneda local sedeprecie o aprecie con respecto a la extranjera.

EJEMPLO 21: Un operador argentino necesita estimar la tasa derentabilidad nominal anual esperada en pesos (bajo elsupuesto de indiferencia al riesgo), si realiza una inversinen letras del Tesoro de EEUU a un plazo de 3 meses (Se suponeque no tiene costos de transaccin). Cuenta con lossiguientes datos: en la fecha de anlisis, el precio decontado del dlar es 3,35$/u$s y el futuro a 3 meses secotiza a 3,49$/u$s, mientras que las letras a 3 meses se

venden en Nueva York a un precio que implica una rentabilidaddel 1,18% nominal anual anual.Para resolver el problema se utilizar la frmula (28), loque exige calcular previamente los tipos de cambio de contadoy futuro a tres meses:


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TC(0;0) = 1/P(0;0) = 1/(3,35$/u$s) = 0,29851 u$s/$ yTC(0;1) = 1/P(0;1) = 1/(3,49$/u$s) = 0,28653 u$s/$,resultando

E(rD) = (1 + rE)[TC(0;0)/TC(0;1)]-1 == (1,00295)(0,29851/0,28653) - 1 = 0,04488(4,488% trimestral)

Luego la tasa de rentabilidad nominal anual esperada en pesoses del 4,488%*4 = 17,95%

Tambin podra haberse utilizado la frmula aproximada (29),estimando la variacin porcentual esperada del tipo decambio, en el supuesto de indiferencia al riesgo, yrestndola de la tasa de inters en moneda extranjera.El porcentaje de variacin esperado en el tipo de cambio es:

[TC(0;1)/TC(0;0)] - 1 = 0,28653/0,29851 1 = - 0,0401

es decir una depreciacin del 4,01% en tres meses, lo queimplica una rentabilidad esperada aproximada en pesos

E(rD) 0,295% - (-4,01%) = 4,305% trimestral 17,22% anual

Ejercicio 7: Cul ser la tasa de rentabilidad nominal anualen dlares esperada por un inversor norteamericanoindiferente al riesgo que planea invertir en un instrumentoemitido por el gobierno japons con vencimiento dentro de 90das, supuesto que tanto en el mercado de contado como en elde futuro a 90 das 1 yen se cotiza a 0,0068 dlares y que larentabilidad en yenes prometida por la inversin es del 4,6%nominal anual?

Si en cambio se supone la aversin al riesgo decambio -alternativa b)-, para obtener la frmula a utilizaren la estimacin se reemplaza (25-b) en (24), resultando:

E(rD) = (1+rE){TC(0;0)/[TC(0;1)-k]} - 1 (30)

lo que indicara un aumento en la rentabilidad esperada de laoperacin con respecto a la estimacin realizada mediante(28) (29) bajo el supuesto de neutralidad al riesgo siempreque k>0; ocurriendo lo contrario si k


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es decir que por cubrirse del riesgo de cambio, que no deseaasumir, el inversor sacrifica rentabilidad, ya que 16,50%% < 17,95%

En forma anloga a como se deriv la frmulaaproximada (29) a partir de la frmula (28), de la frmula

(30) surge una relacin aproximada para este caso de aversinal riesgo de cambio:

E(rD) rE- {[TC(0;1)/TC(0;0)] - 1} + k/TC(0;0) (31)

Si en la relacin anterior se simboliza p = k/TC(0;0),entonces puede notarse que ahora la rentabilidad esperada esigual a la del caso anterior (de indiferencia ante el riesgo)ms un premio "p" cuyo signo depende del de la prima k:

E(rD) rE- {[TC(0;1)/TC(0;0)] - 1} + p (32)

Ejercicio 8:Supngase un potencial inversor argentino en unbono cero cupn en dlares que vence dentro de seis meses ypromete una rentabilidad del 6% nominal anual. En la fecha elprecio del dlar es 0,994$/u$s y el del futuro a 6 meses es0,992$/u$s. En estas condiciones se desea pronosticar larentabilidad esperada en pesos de la inversin: i) en lahiptesis que el tipo de cambio de contado esperado paradentro de 6 meses coincide con el tipo futuro (neutralidadante el riesgo de cambio), y ii) si se espera que el preciodel dlar dentro de 6 meses ser 0,995$/u$s.

3.3 Relacin internacional entre tasas de inters y de inflacin

Relaciones similares a las (17) y (18) deFisher vinculan ex-ante, cualquiera sea el pas, las tasasnominales con las tasas esperadas reales y de inflacin. Siahora se consideran las tasas nominales en el pas delinversor rDy en un pas extranjero rE, entonces deberncumplir la relacin:

1 + rD= [1 + E(TRD)][1 + E(TID)] (33)

1 + rE= [1 + E(TRE)][1 + E(TIE)] (34)donde E(TRD) y E(TID) simbolizan las tasas esperadas real yde inflacin domstica, mientras que E(TRE) y E(TIE)representan las mismas tasas extranjeras.


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Dividiendo miembro a miembro (34) por (33), seobtiene una relacin que deberan verificar las tasasnominales, reales y de inflacin de dos pases:

1 + rE [1 + E(TRE)][1 + E(TIE)] = (35) 1 + rD [1 + E(TRD)][1 + E(TID)]

Se ver a continuacin que la denominadarelacin internacional de Fischerse refiere a la diferencialentre las tasas fornea y domstica.

En efecto, restando miembro a miembro (33) de(34) resulta:

rE- rD= [1+E(TRE)][1+E(TIE)] - [1+E(TRD)][1+E(TID)]

rE- rD= [E(TIE)-E(TID)] + [E(TRE)-E(TRD)] + + [E(TRE)E(TIE)-E(TRD)E(TID)] (36)

puesto que los productos que figuran en el tercer sumando de(57.4) son generalmente pequeos, pueden despreciarse aefectos de obtener la siguiente expresin aproximada:

rE- rD[E(TIE)-E(TID)] + [E(TRE)-E(TRD)] (37)

Esta relacin aproximada es bastante general yexpresa que la diferencia entre las tasas extranjera ydomstica est determinada por las diferencias esperadas deinflacin y de tasas reales. Dado que ms adelante (vaseejemplo 26) se mostrar que, bajo ciertos supuestos, lastasas reales deberan ser aproximadamente iguales en todoslos pases, resulta la citada relacin internacional de

Fisher:

rE- rDE(TIE) - E(TID) (38)

La frmula (38) expresa que la diferencia entrela tasa fornea y domstica puede ser explicada en formaaproximada por las diferentes expectativas acerca de lasrespectivas tasas de inflacin en el perodo considerado.15

De la frmula (35) se infiere que, bajo elsupuesto de la igualdad de tasas reales, la relacin exactaes :

1 + rE 1 + E(TIE)

= (39) 1 + rD 1 + E(TID)

15Vase Solnik, Bruno, Inversiones Internacionales, Segundaedicin, Addison-Wesley Iberoamericana, USA, 1993, pag.5


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3.4 Relacin entre tasas de inflacin y tipos de cambio

La aproximada igualdad entre las tasas realesen los distintos pases a que se hizo referencia, es unaconocida relacin terica que los economistas denominanRelacin de Paridad del Poder de Compra (Purchasing Power

Parity). Su fundamento se basa en que si tanto los mercados

financieros como los de bienes fueran internacionalmenteeficientes, entonces una misma canasta de bienes deberatener el mismo valor en cualquier lugar del mundo. Porsupuesto que ello requiere condiciones ideales de comerciolibre sin fricciones (impuestos, normas de proteccin, etc.). La paridad del poder de compra implica lanecesidad de que los tipos de cambio y las tasas de inflacinverifiquen la siguiente relacin ex-post:

TC(1;1)/TC(0;0) = (1 + TIE)/(1 + TID) (40)

donde en el primer miembro se tiene el cociente entre los

tipos de cambio de contado en los momentos t=0 y t=1,mientras que en el segundo miembro TIE y TID representanrespectivamente las tasas de inflacin extranjera y domsticapara el perodo que va de t=0 hasta t=1. En el siguiente ejemplo se muestra que si no secumple (40) entonces no se cumple la relacin de paridad delpoder de compra.EJEMPLO 23: Supngase que a fin de un determinado ao(momento t=1) se sabe que la inflacin del perodo fue del 1%en la Argentina y del 5% en EE.UU. A principio del ao (t=0)el tipo de cambio de contado era TC(0;0)=1u$s/$. En lahiptesis de validez de la relacin de paridad del poder decompra, un bien que en la Argentina costaba en ese entonces

$10, deba costar u$s10 en EE.UU. En virtud de la inflacinhabida en cada pas, el citado bien vala a fin del ao$10,10 en Argentina y $10,50 en EE.UU. En esta situacin, dela frmula (40) se deduce:

TC(1;1)=[(1+TIE)/(1+TID)]x[TC(0;0)]=(1,05/1,01)x1=1,0396u$s/$

Si no se cumple (40) y TC(1;1) es distinto de 1,0396u$s/$entonces no se mantiene, segn se haba anticipado, laparidad del poder de compra. En efecto, la nica forma en quees indiferente comprar en t=1 el mencionado bien encualquiera de los pases es que sea equivalente un precio de$10,10 en Argentina a uno de u$s 10,50 en EE.UU. Esto slo esposible si el tipo de cambio es TC(1;1)=1,0396u$s/$, pues$10,10x1,0396u$s/$=u$s10,50. Puede probarse que si no severifican estas relaciones entonces, en las condiciones delas hiptesis, es posible arbitrar.


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En el ejemplo anterior se utiliz (40) como unarelacin derivada de la de paridad del poder de compra y semostr su validez ex-post. En el proceso de toma dedecisiones financieras sera sumamente til una relacinsimilar, pero ex-ante. En ese caso, un inversor que tiene hoy(t=0) un horizonte de planeamiento de un perodo (hasta t=1),conoce el tipo de cambio de contado TC(0;0) vigente en lafecha y desconoce tanto el tipo de contado TC(1;1) que regiren t=1 como las tasas de inflacin domstica y fornea delperodo (TID y TIE). Es por ello que, si se acepta laextensin de (40) al escenario ex-ante, tomara la forma de:

E[TC(1;1)]/TC(0;0) = [1+E(TIE)]/[1+E(TID)] (41)

En esta situacin, (41) proporciona una manerade pronosticar el tipo de contado que regir dentro de unperodo, supuesto que se tienen buenas estimaciones de lasfuturas tasas de inflacin.

EJEMPLO 24: En una determinada fecha t=0 el tipo de cambio de

contado es de 1,0060 dlares por cada peso,TC(0;0)=1,0060u$s/$, y las tasas anuales de inflacinesperadas para la Argentina y Estados Unidos son del 0,5% y4% respectivamente. En estas condiciones un operador queacepte la validez de la relacin de paridad del poder decompra, pronosticara que el tipo de cambio de contado paradentro de un ao (t=1) ser de 1,0410 dlares por cada peso.En efecto, de (41) se deduce:

E[TC(1;1)] = {[1+E(TIE)]/[1+E(TID)]}TC(0;0)= = [(1,04)/(1,005)](1,006) = 1,0410u$s/$

En lugar de estimar el valor absoluto, como se

hizo en el ejemplo 24, es corriente tratar de estimar lavariacin porcentual o relativa esperada del tipo de cambiode contado. Formalmente el incremento relativo del tipo decambio puede determinarse a partir de (41). En efecto, si sedenomina TC(0;1) = TC(1;1)-TC(0;0) al incremento absoluto deltipo de cambio en el perodo que va de t=0 a t=1, entonces elcorrespondiente incremento relativo ser TC(0;1)/TC(0;0) = [TC(1;1)-TC(0;0)]/TC(0;0),y su valor esperado

E[TC(0;1)/TC(0;0)] = {E[TC(1;1)]-TC(0;0)}/TC(0;0) = = {E[TC(1;1)]/TC(0;0)} 1

reemplazando en base a (41) en el segundo miembro resultafinalmente que el valor esperado de la variacin porcentualdel tipo de cambio para el prximo perodo puede expresarsecomo:

E[TC(0;1)/TC(0;0)] = {[1+E(TIE)]/[1+E(TID)]} - 1 (42)


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En la prctica suele utilizarse en lugar de lafrmula exacta (42) la aproximacin lineal:

E[TC(0;1)/TC(0;0)] E(TIE) - E(TID) (43)

En efecto, realiza

alvarez- titulos de deuda

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