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Ecuacin Cuadrtica: Una Ingeniera Didctica para su Enseanza

Mara Rey Genicio, Graciela Lazarte, Silvia Porcinito y Clarisa Hernndez

Facultad de Ingeniera, Universidad Nacional de JujuyArgentina

[email protected]

Pensamiento Algebraico Nivel Medio

ResumenEste trabajo surge de un Proyecto de Investigacin que busca el desarrollo de estrategias inno-

vadoras en la enseanza de la matemtica, el cual se apoya en una concepcin de aprendizajeconstructivo y significativo y adopta la Ingeniera Didctica como metodologa para la inves-

tigacin. En ese marco se elabor una ingeniera didctica para una enseanza aprendizajems eficiente de ecuaciones cuadrticas. Mediante las actividades planteadas el alumno llega aobtener la frmula de la ecuacin cuadrtica, a determinar las propiedades de sus races, a fac-torearla y a reconstruirla a partir de sus races. En esta propuesta se plantea una vinculacinpermanente entre los conceptos de ecuacin cuadrtica y funcin cuadrtica; asimismo se tra-baja en distintos marcos: numrico, algebraico, grfico, geomtrico y funcional.

Consideraciones sobre la propuesta

En el marco del Proyecto de Investigacin " Innovaciones Didcticas en la Enseanza de laMatemtica" se ha desarrollado una propuesta didctica para abordar el tema: Ecuacin cua-drtica. Esta investigacin se nutre tericamente de los aportes de la psicologa del aprendizajey de la didctica de la matemtica. Sintetizamos a continuacin los aportes ms relevantes de

cada una.

De la fuente psicolgica se toma las teoras cognitivas que entienden que el aprendizaje efecti-vo requiere participacin activa del estudiante en la construccin del conocimiento, ya que es-te proceso est mediado por procesos de pensamiento, de comprensin y de dotacin de signi-ficado. Entonces la actividad de los alumnos es base fundamental para el aprendizaje mientrasque la accin del docente es aportar las ayudas necesarias, estableciendo esquemas bsicos so-bre los cuales explorar, observar, y reconstruir conocimientos. En esos esquemas se articulan lainformacin ( aportada por el docente, los textos, los materiales y los alumnos) con las accio-nes cognitivas de los sujetos.

Se toma tambin el concepto de Interaccin SocioCognitiva: la cognicin humana ptima selleva a cabo con la colaboracin de otras personas y de objetos fsicos y simblicos que poten-cian las capacidades individuales. As los procesos grupales de construccin de conocimientosse constituyen en medios altamente eficaces para el logro de un aprendizaje significativo, aun-que en ellos se hace necesaria una intervencin del docente muy cuidadosa, optimizando las ac-tividades, facilitando los intercambios cognitivos, supervisando, recuperando oportunamentelo producido en cada grupo, y logrando la reorganizacin final de los conocimientos.

Por otra parte, de la fuente didctica general se toma el concepto de estrategia didctica deBixio: conjunto de las acciones que realiza el docente con clara y conciente intencionalidadpedaggica, o sea, de lograr un aprendizaje en el alumno. Algunos de sus componentes son el

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estilo de enseanza, la estructura comunicativa de la clase, el modo de presentar los conteni-dos, las consignas, los objetivos y su intencionalidad, la relacin entre materiales y actividades,los criterios de evaluacin, etc. Las estrategias deben apoyarse en los conocimientos previos de

los alumnos (significatividad), orientar la construccin de conocimientos a partir de materialesadecuados y ser factibles de desarrollarse en el tiempo planificado, con la cantidad de alumnoscon que se cuenta y con la carga horaria destinada.

En el campo de la Didctica de la Matemtica, la propuesta se apoya en la ingeniera didcti-ca (Douady 1996): elaboracin de un conjunto de secuencias de clases concebidas, organi-zadas y articuladas en el tiempo para efectuar un proyecto de aprendizaje. En los anlisis preli-minares se tuvieron en cuenta las dificultades y los errores ms frecuentes de estos aprendiza-jes, las prcticas habituales para el tratamiento de este tema y los diferentes enfoques que pre-sentan los libros de texto sobre el mismo.

La concepcin y el diseo de las actividades se encuadran dentro de la teora de las situacionesdidcticas de Guy Brousseau: proponer situaciones adidcticas en las que el docente no de-be mostrar su intencionalidad ni intervenir indicando al alumno qu hacer; sino provocar queel alumno acepte la responsabilidad de la situacin de aprendizaje. As, la llamada Situacinfundamental, dada por las situaciones adidcticas, enfrenta a los alumnos a un conjunto deproblemas que evolucionan de manera tal que el conocimiento que se quiere que aprendan esel nico medio eficaz para resolverlos. Intervienen las variables didcticas para que el cono-cimiento evolucione en niveles crecientes de complejidad, y las recontextualizaciones de losconceptos tratados en los marcos geomtrico y algebraico le otorgan significatividad a la pro-puesta.

En la resolucin de los problemas, se espera que aparezcan distintas estrategias. Tambin se

sugieren puestas en comn en las que se validen los resultados, se detecten los errores, se anali-cen las distintas propuestas y representaciones que se hayan utilizado, se elijan las ms eficaces,se debatan las argumentaciones, se identifiquen los conocimientos puestos en juego, etc. a finde que esos conocimientos evolucionen en la totalidad del grupo de clase y converjan hacia elque se quiere construir.

Los problemas diseados responden a las condiciones del buen problema enunciadas porDouady; ya que: los enunciados tienen sentido en relacin con los conocimientos previos; to-dos los alumnos estn en condiciones de dar alguna respuesta, al menos para el problema ini-cial; admiten distintas estrategias de resolucin y se pueden formular en distintos marcos(geomtrico y algebraico). Y, principalmente, el conocimiento buscado es un conocimiento

adaptativo en tanto es el medio cientfico de responder eficazmente a los problemas. Ademsse propone que en la puesta en marcha se cumplan las fases enunciadas por Douady en las que,

dado el problema inicial: 1Se movilizan los objetos matemticos conocidos para resolver el

problema (Fase: Antigua). 2Se ponen en marcha instrumentos nuevos. Aparece el nuevo

implcito (Fase: Bsqueda). 3Se hacen explcitos los conocimientos construidos en la fase

anterior (Fase: Explicitacin). 4El docente descontextualiza el conocimiento dndole la ca-

tegora de objeto matemtico (Fase: Institucionalizacin). 5Se da a los alumnos diversosproblemas destinados a provocar el funcionamiento como instrumentos explcitos de lo que ha

sido institucionalizado (Fase: Familiarizacin reinversin). 6El nuevo objeto es suscepti-ble de convertirse en antiguo para un nuevo ciclo de la dialctica instrumento-objeto (Fase:

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Complejidad de la tarea o nuevo problema).

Propuesta didctica

La intencionalidad de este trabajo es que el alumno construya el concepto de ecuacin cuadr-tica a travs de una serie de actividades que plantean una mayor implicacin y razonamientoque en las propuestas tradicionales de enseanza.

El abordaje de la resolucin de ecuaciones cuadrticas se realiza sobre la construccin previade los conceptos de funcin cuadrtica: forma polinmica y forma cannica, representacingrfica, desplazamientos y estiramientos de la grfica, coordenadas del vrtice, existencia deceros a partir de la grfica. Con la primer actividad culmina el estudio de la funcin cuadrtica(Ejercicios del 1 al 9) y se inicia el de ecuacin cuadrtica (Ejercicios del 10 al 11).

La propuesta comienza con la siguiente actividad:

1)En cada caso encuentra la frmula polinmica correspondiente a la frmula cannica dada:

a) y = ( x + 3 )2 9 b) y = ( x 3

2) 2

9

4 c) y = ( x +

2

5) 2

4

25

d) y = 2 (x + 1)2+ 3 e) y = 5 ( x 3)2 1 f) y = 2

9(x

3

2) 2

3

1

2)Podras, sin representar grficamente, decir cules de los grficos, que corresponden a las funciones cuadrti-cas dadas en el ejercicio anterior, pasan por el origen?3)En las frmulas de las funciones cuyos grficos pasan por el origen:

a) Indica qu caracterstica tiene la frmula cuadrtica polinmica

b) Indica qu caracterstica tiene la frmula cuadrtica cannica.c) Establece una vinculacin entre las frmulas cuadrticas:cannica y polinmica4)En cada caso, encuentra la frmula cannica correspondiente a la frmula polinmica dada y escribe las co-ordenadas del vrtice de la parbola.

a) y = x 2 + 4x b) y = x 2 6x c) y = x 2 9x d) y = x 2+5

6x e) y = x2

3

7x

5) a) Expresa y = x2 + b x en la forma cannica y escribe las coordenadas del vrticeb) De qu otra forma podras haber encontrado la ordenada del vrtice?

6)Escribe cada una de las siguientes funciones de segundo grado en la forma cannica e indica las coordenadasdel vrtice.

a) y = x2+ 8x 1 b) y = x2 3x +2

1 c) y = x2+

5

7x +

20

11

7)Expresa y = x2+ bx + c en la forma cannica y escribe las coordenadas del vrtice.8)Escribe cada una de las siguientes funciones de segundo grado en la forma cannica e indica las coordenadasdel vrtice.

a) y = 5x2 20x + 25 b) y = 3x 2+ 6x 3 c) y = 2x 2 5x 1

d) y = 4x 2 3x + 5 e) y = 5x 2+ 7x + 29)a) Expresa y = ax 2+ bx + c en forma cannica y escribe las coordenadas del vrtice

b) Indica la concavidad de la curva10)Dada la siguiente funcin de segundo grado y =2x 2 10x + 8

a) Exprsala en forma cannica. b)Escribe las coordenadas del vrtice.c) Encuentra los ceros de la funcin d) Grafcala en coordenadas cartesianas

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11)Recordando el problema del rea del cuadrado:Area (x) = 2x220x +100Cunto tiene que valer xpara que el rea sea 58?12)Encuentra una frmula que te permita resolver la ecuacin: ax 2+ bx + c = 0

El objetivo del primer ejercicio es que el alumno adquiera destreza en el marco algebraico parapasar, la expresin de una funcin cuadrtica, de la forma cannica a la polinmica. Tambinpermite repasar el desarrollo del cuadrado de un binomio y, junto con los dos ejercicios si-guientes, sienta las bases para transformar la frmula de una funcin cuadrtica de la formapolinmica reducida a la forma cannica. En el ejercicio 4, se trabaja con el polinomio con co-eficiente principal 1 y sin trmino independiente. En el ejercicio 6, se aumenta la dificultad conla incorporacin del trmino independiente. En el ejercicio 8 se incluyen polinomios de coefi-ciente principal distinto de 1. En los dos ejercicios que siguen el estudiante debe resolver unaecuacin cuadrtica particular, en uno se pide que determinen los ceros de la funcinTPF1FPTy en el

otro se pide obtener x, para un valor de y dado

2

. En el ltimo ejercicio se realiza la generaliza-cin, obteniendo as la frmula general que permite resolver una ecuacin cuadrtica.

El docente, en distintos momentos de esta actividad, deber realizar las puestas en comn queconsidere necesarias de forma tal que, al finalizar la misma, quede institucionalizado el concep-to de ecuacin cuadrtica y races de una ecuacin cuadrtica.

La organizacin de esta secuencia, elaborada segn un grado de complejidad creciente, permitea los estudiantes pasar de una dificultad a otra usando como base lo construido en la actividadanterior. Por otra parte el estudiante aprende a completar cuadrados de una manera fcil y sen-cilla y obtiene la expresin general de las coordenadas del vrtice de una parbola hasta lograrconstruir la frmula para resolver ecuaciones cuadrticas; punto en el que sobresale la poten-cialidad de esta propuesta ya que el alumno, al superar los desafos que se le presentan llega aser el constructor de esta frmula.

En la segunda actividad, el estudiante debe aplicar la frmula recin obtenida, para resolverecuaciones cuadrticas e indicar si las soluciones halladas son reales (iguales o distintas ) ocomplejas. Luego, las ecuaciones que son incompletas, las deber resolver sin utilizar la frmu-la cuadrtica. Aqu el alumno puede llegar a cometer distintos errores, y como consecuenciaobtener distintos resultados que los hallados aplicando la frmula. Esto lo llevar a revisar lorealizado y servir al docente para reflexionar sobre los errores cometidos. Por ltimo deberindicar de qu depende que una ecuacin cuadrtica tenga distintos tipos de races. Al finalizarla actividad se institucionalizar las distintas formas de resolver una ecuacin cuadrtica y el

nombre de "discriminante" para la expresin b2 4ac; es conveniente que el alumno puedadarse cuenta del porqu de esta denominacin.

En la siguiente actividad deben proponer una ecuacin cuadrtica, de forma que las racescumplan determinadas condiciones, como por ejemplo que tenga:races reales iguales, racescomplejas, races reales distintas o races reales distintas y una de ellas sea 5. Este problema,abierto a mltiples respuestas, tiene como propsito que el alumno se desprenda de la concep-

1En el trabajo previo sobre funcin cuadrtica los alumnos determinaban la existencia de los ceros de la funcina partir del grfico.2 La secuencia previa sobre funcin cuadrtica, se inicia con una situacin problemtica que da origen a la frmu-la cuadrtica planteada en el ejercicio N 11.

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cin de que un problema matemtico tiene una respuesta nica Adems se persigue que el es-tudiante pierda el miedo a plantear ejercicios.

Para vincular ecuacin cuadrtica con funcin cuadrtica ( loalgebraico con lo grfico), se da el grfico de distintas fun-ciones y deben indicar el tipo de races y, de ser posible, elvalor de las mismas. Recprocamente, a partir de una ecua-cin cuadrtica deben obtener los puntos donde la grfica de la funcin cuadrtica correspon-diente, corta al eje x.

3x 3 x

2

Tambin se plantea un ejercicio para resolver una ecuacin cuadrtica mediante el mtodo gr-fico. La intencin del mismo es prepararlo para buscar las races de otras ecuaciones ms com-plejas y / o difciles de resolver en forma analtica.

Se ejercita la resolucin de ecuaciones reducibles a ecuaciones cuadrticas (fraccionarias e irra-cionales). Aqu el alumno reforzar el manejo algebraico de expresiones.

Para resolver ecuaciones reducibles a cuadrticas se plantea la siguiente actividad:

Juan quera poner dos psteres en la pared de su cuarto. Uno de ellos que tuviera la forma de un cuadrado y elotro de un tringulo rectngulo. Para que los psteres no fueran demasiado grandes, se impuso la condicin deque la diferencia de sus reas fuese 2 y que tuvieran las medidas indicadas en el grfico. Para determinar cuantodeba medir de alto, Juan lleg a plantear la ecuacin:rea ( cuadrado) rea (tringulo) = 2 , pero luego no pudo encontrar el valor de x.Su amigo, que era un experto en resolver ecuaciones cuadrticas, inmediatamente determin que el valor de xpoda ser 8 1, e indic a Juan que los pster deberan tener una altura de 2. Para obtener la solucin, elamigo ide una forma muy ingeniosa de transformar la ecuacin en una ecuacin de segundo grado. Te animas adeterminar cmo lo hizo y a desarrollar los pasos para encontrar la solucin?

En la siguiente actividad, se incluye gran variedad de aplicaciones donde primero se debe mo-delizar el problema y luego seleccionar el mtodo que mejor se adapte el tipo de ecuacin cua-drtica a resolver (completa o incompleta) . Por ltimo se deber decidir si las soluciones de laecuacin pueden ser la respuesta al problema. En algunos de estas aplicaciones se debe obtenerla frmula de la funcin, a partir de datos numricos obtenidos en forma experimental.

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Para que el alumno pueda llegar a obtener las propiedades de las races de una ecuacin cuadr-tica se plantea la siguiente actividad:

1) a) Completa elsiguiente cuadro (lasecuaciones ya se resolvieronen una actividadanterior)

EcuacinEscribe la ecuacin en la forma

a x P2 P+ bx + c = 0xB1 B+ x B2B xB1 B. x B2B

a)2x P2 P+ 4 x 6 = 0

b) 3xP2P= 2 5x

c) 9xP2P+12x = 4

d) 6xP2P+ 2x 4 =0

e) 3xP2P+ 6x =0

f) 49xP2 P+ 9 = 42x

g) xP2 P7 = 0

h) 0,5 6x =2xP2 P/3

i) x(x + 1) =3xP2 P

j)3xP2 P+ 6 = 0

b) Encuentra alguna relacin entre la suma de las races y los coeficientes de la ecuacin cuadrtica.c) Encuentra alguna relacin entre el producto de las races y los coeficientes de la ecuacin cuadrtica.

d) Teniendo en cuenta que xB1B= )a2/()ca4bb( 2

y xB2 B= )a2/()ca4bb( 2

, realiza el pro-

ducto y la suma de las races y observa si coincide el resultado con la relacin encontrada en a) y b) respecti-vamente.2) A partir de la relacin encontrada en el Ej.1d),expresa la ecuacin cuadrticaaxP2P+ bx + c = 0 a) En funcin de "a" y de la suma y el producto de sus races xB1B y xB2B

b) En funcin de la suma y el producto de sus races xB1B y xB2B

Con el primer ejercicio, se espera que el alumno sea capaz de encontrar, a partir de ejemplosnumricos, las propiedades de las races de una ecuacin cuadrtica que luego, al realizar la ac-tividad propuesta en el inciso d), las estar demostrando.

El ejercicio N 2 prepara al alumno para reconstruir una ecuacin cuadrtica, a partir de lasuma y producto de sus races.

A continuacin se realiza una actividad donde se aplican las propiedades de las races. Primerose reconstruye la ecuacin a partir de las propiedades y luego se realiza el proceso inverso: da-da la ecuacin, obtener la suma y producto de las races

Para escribir en forma factoreada la frmula de una funcin y una ecuacin cuadrtica se pro-pone la siguiente actividad:

1)a) Resuelve la ecuacin cuadrtica 2xP2 P+ 4x 30 = 0

b) Factorea la expresin 2xP2P+ 4x 30 ( ten en cuenta que 4x = 6x + 10x ).c) Puedes encontrar alguna relacin entre la expresin factoreada y las races de la ecuacin cuadrtica

2)Demuestra que la relacin encontrada en el ejercicio anterior es vlida para cualquier expresin cuadrtica

de la forma:axP2 P+ bx + c = ax P2 P a (xB1B + xB2 B)x + xB1B. xB2B (donde xB1By xB2 Bson races de la ecuacincuadrtica correspondiente a la expresin dada ).

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Finalmente, la ltima actividad permite realizar una integracin entre lo desarrollado para fun-cin cuadrtica y para ecuacin cuadrtica.

1)Dados los siguientes grficos, identifica el que corresponda a una funcin cuadrtica y luego en base a dichogrfico responde los siguientes incisos:i) Determina el signo del coeficiente de xP2 P

ii) Indica las races de la ecuacin cuadrtica correspondiente a dicha funcin cuadrtica.iii) Encuentra las coordenadas del vrtice de la parbola.iv) Halla, de dos formas distintas, la frmula que define a dicha funcin cuadrtica

Referencias Bibliogrficas

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