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REPORTES DE INVESTIGACIONES TERMINADAS

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SITUACIONES DIDCTICAS EN LA COMPRENSIN DEL CONCEPTO DE

NMERO RACIONAL EN ALUMNOS DE NIVEL MEDIO SUPERIOR

Ma. Guadalupe Cabaas, Faustino Guilln y Minerva Galeana SixtoCIMATE ! U. Autnoma de Guerrero, Mxico

[email protected]

Resumen

Esta investigacin se realiz con alumnos de Nivel Medio Superior (NMS) que haban cursado laasignatura de Matemticas I y que tenan dificultades con la comprensin del concepto de nmeroracional. El propsito fue poner en escena situaciones didcticas, para explorar sus efectos en lacomprensin de este concepto. Para tener informacin precisa de cul es el estado que guardaba esteconocimiento en los alumnos, se hizo un diagnstico, por lo que se disearon y validaron las

situaciones que se utilizaran tanto en el diagnstico como en la puesta en escena. En su diseo seconsideraron los contenidos de aritmtica de NMS, diferentes sistemas de representacin y el modeloutilizado por Sierpinska sobre los actos de comprensin de conceptos matemticos. Al comparar losresultados que se obtuvieron en el diagnstico con los de la puesta en escena de las situacionesdidcticas, se encontr que: el permitir que los alumnos conocieran diferentes formas de representar alos nmeros racionales, el significado de cada una de ellas, as como convertir o traducir unasrepresentaciones en otras a travs de las situaciones didcticas, propici la construccin de esteconcepto y mejoraran su comprensin.

Introduccin y planteamiento del problema

La mayor parte de los temas de investigacin relacionados con la enseanza de lamatemtica, provienen sin lugar a dudas de la prctica docente, ya que es en el saln

de clases donde los profesores se enfrentan a una gran diversidad de problemas; cuyasolucin, debera ser el propsito final de proyectos de investigacin en nuestradisciplina. Son muchos los problemas que se presentan en el proceso de enseanza dela matemtica y de diversa ndole, varios de ellos estn asociados a dificultades de losalumnos con el aprendizaje de la aritmtica y el lgebra que trascienden en laenseanza del clculo. Estas dificultades se traducen en errores y de alguna formareflejan el conocimiento matemtico que tienen relacin con el uso de la simbologa,de frmulas, en la demostracin de teoremas y en la comprensin conceptosmatemticos, por mencionar algunos. Martnez y Lpez (2001) al estudiar lasdificultades que se les presentan a los alumnos de NMS, cuando realizanprocedimientos con fracciones, encontraron que se relacionan con:

o

La traduccin del lenguaje matemtico al comn, debido a que no comunicanel significado preciso de los smbolos involucrados en las situacionesplanteadas.

o El algoritmo de la multiplicacin en la que se involucran los parntesis paraindicarla, ya que no logran asociarlo a ella.

o La propiedad distributiva de la multiplicacin con respecto a la suma, que nola aplican.

o El algoritmo de la suma de fracciones, que al aplicarlo, utilizan el modelolineal aditivo, el cual ha quedado muy arraigado en el trabajo con los nmerosnaturales.

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ACTA LATINOAMERICANA DE MATEMTICA EDUCATIVA VOL 17

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Sin embargo, por nuestra experiencia docente con alumnos de primer semestre de estenivel educativo, hemos encontrado que sus dificultades estn asociadas con la

comprensin del concepto de nmero racional. Adems de las descritas arriba, se hanidentificado otras que se relacionan con:

o La transformacin de nmeros decimales finitos y peridicos a fracciones.o Identificar entre un grupo de nmeros reales (fracciones comunes y mixtas,

fraccionarios decimales finitos y peridicos, decimales infinitos y nmerosenteros), cules son racionales.

o Establecer relacin de orden entre nmeros fraccionarios y representarlos enla recta numrica.

o Aplicar las propiedades de la suma y de la multiplicacin, as como la ley delos signos y de la potenciacin en la solucin de operaciones aritmticas.

o La solucin de operaciones aritmticas y de problemas.o Identificar en algunos modelos (grficos, pictogrfico, geomtrico), partes deun todo.

Esta investigacin se orient precisamente al trabajo con el concepto de nmeroracional con alumnos del NMS. El problema que motiv su realizacin fue conocerCul es el nivel de comprensin del concepto de nmero racional alcanzado por los

alumnos de primer grado de NMS, despus de haber puesto en escena situacionesdidcticas relacionadas con el mismo?El objetivo general que nos planteamos fue:Poner en escena situaciones didcticas con alumnos de primer grado del NMS, para

explorar sus efectos en la comprensin del concepto de nmero racional.

Metodologa de la investigacin

Utilizamos la ingeniera didctica. Esta metodologa, surge en la escuela francesa y seconstituye como una analoga de la actividad realizada por los ingenieros en eldesarrollo de sus proyectos, quienes se fundamentan en los conocimientos cientficosde su dominio y someten sus resultados a un control de tipo cientfico. A diferenciade otras metodologas, se basa en la experimentacin en clase y est ubicada en elregistro de los estudios de caso, cuya validacin es en esencia interna, basada en laconfrontacin entre el anlisis a priori y a posteriori. Una descripcin de estametodologa se detalla en Artigue, M., (1995), en la que distingue cuatro fases: Lafase de anlisis preliminar, la fase de concepcin y anlisis a priori de situacionesdidcticas de la ingeniera, la fase de experimentacin y la fase de anlisis a posterioriy evaluacin. En la fase de anlisis preliminarse hacen consideraciones de tipo:

o Epistemolgico. Que da una explicacin de la evolucin histrica de losconceptos que se estudian.o Cognitivo. Relacionadas con las caractersticas cognitivas de los estudiantes.o Didctico. Que se refiere a las caractersticas del funcionamiento del sistema

de enseanza.En la fase de concepcin y anlisis a prioriel investigador tiene que:

o Hacer el anlisis de restricciones y;o Determinar las variables de control

Este anlisis a priori se debe concebir como un anlisis de control de significado.Esto quiere decir, de forma muy esquemtica, que si la teora constructivista sienta elprincipio de la participacin del estudiante en la construccin de sus conocimientos a

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travs de la interaccin con un medio determinado, la teora de las situacionesdidcticas que sirve de referencia a la metodologa de la ingeniera didctica ha

pretendido, desde su origen, constituirse en una teora de control de las relacionesentre el significado y las situaciones [Artigue, M., 1995].El anlisis a priori est basado en un conjunto de hiptesis. La validacin de stas, serealiza a travs de la confrontacin entre el anlisis a priori y el anlisis a posteriori,en la cuarta fase de esta metodologa. En la fase de experimentacin tienen queponerse en escena las situaciones didcticas ya diseadas. La fase de anlisis aposteriori se basa en el conjunto de datos recogidos en el proceso deexperimentacin, de las observaciones realizadas de las secuencias de enseanza, ascomo de las producciones de los estudiantes. Tal como fue sealado antes, una vezrealizado el anlisis a posteriori, se hace una confrontacin de los resultados de stecon los del anlisis a priori, que es en esencia la validacin de las hiptesis

formuladas en la investigacin y que tambin se lleva a cabo en esta fase.

Sobre las concepciones de nmero racional en alumnos de nivel medio superior.Para conocer con precisin cul es el estado que guardaba el concepto de nmeroracional en los alumnos de NMS, se realiz un diagnstico con alumnos de segundosemestre de la escuela preparatoria No. 1 de la UAG. Los criterios para la seleccinde estos alumnos fueron que: hubiesen cursado la asignatura de Matemticas I;tuviesen dificultades al trabajar con este contenido matemtico; y no hubiesenlogrado acreditar dicha asignatura. Para ello, se estructuraron tres cuestionariosdiferentes, con las mismas caractersticas y el mismo nmero de situaciones, que eneste caso fueron nueve en cada uno. A partir de los resultados del diagnstico

encontramos que los alumnos:o No fueron capaces de identificar y discriminar entre un grupo de nmeros

propuestos (racionales e irracionales), cules representaban nmerosracionales.

o No fueron capaces de establecer la relacin de orden entre nmeros racionalesy representarlos en la recta numrica. Es decir, no identificaron la relacincorrespondiente, tampoco discriminaron entre dos nmeros cul era mayor ycul menor, as como no sintetizaronal determinar el orden que lecorresponda a cada uno.

o No identificaron los tres nmeros fraccionarios distintos en un intervalo dadoy no discriminaron entre aquellos que si corresponden al intervalo.

o No pudieron transformar un nmero decimal a un nmero fraccionario, ascomo para aplicar las propiedades asociativa y distributiva. Es decir, nofueron capaces de cambiar de un registro de representacin a otro, tampocosintetizaron el resultado de la operacin.

o No pudieron transformar una fraccin mixta a comn, no identificaron lamultiplicacin indicada mediante parntesis, no trabajaron con el algoritmocorrespondiente, tampoco simplificaron sus resultados

o No fueron capaces de identificar y discriminar cules de las expresionesplanteadas cumplen con la condicin de igualdad y cules no, as como nosintetizaron al argumentar sus respuestas.

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o No fueron capaces de identificar las condiciones dadas en los problemas, nosintetizaron ni generalizaron al establecer la relacin entre ellos y obtener un

resultado.o No identificaron ni discriminaron los datos y la porcin que ocupa la parte

sombreada de las figuras dadas, tampoco lograron sintetizar al establecer lafraccin correspondiente.

Estas evidencias, pusieron de manifiesto que los alumnos de primer ao de NMS nohaban comprendido el concepto de nmero racional en los cursos normales deenseanza. De acuerdo con el modelo utilizado por Sierpinska sobre comprensin deconceptos, podemos decir que los alumnos no fueron capaces de identificar,discriminar, sintetizar y generalizar conceptos. De igual forma, se observ que nolograron identificar las diferentes formas de representacin de los nmeros racionales,as como para pasar de un sistema de representacin a otro.

El desarrollo de las situaciones didcticas. Se pusieron en condiciones deenseanza seis situaciones distintas, la mayor parte de ellas fueron seleccionadas delos tres cuestionarios utilizados en el diagnstico. La puesta en escena se hizo a travsdel modelo utilizado por Cordero, F. et al (2000) en el anlisis del comportamientotendencial de funciones, particularmente sobre la linealidad del polinomio. En elmodelo se identifica como uno de los elementos principales, al conocimiento, paradeterminar la relacin entre un profesor y sus alumnos, donde la clase es un sitio deinteraccin de costumbres y creencias de cada uno de sus participantes. Otroelemento no menos importante que considera, es la conveniencia de establecer unlenguaje comn para tener un ambiente que propicie la enseanza y aprendizaje de

las matemticas, promover la independencia del alumno y la responsabilidad quedebe tener en su propio aprendizaje, a travs de: Trabajo individual y en equipo; Laresolucin de actividades matemticas; La discusin matemtica y; La autoevaluacindel trabajo individual, por equipo y en grupo. Todos esos ambiciosos propsitoscomo le llaman los autores, se concretan dentro de la clase en tres momentos, a saber:la resolucin de la actividad; la representacin y discusin de las soluciones y, anexosy retroalimentacin. En el desarrollo de las sesiones de trabajo con las situacionesdidcticas, cada uno de los tres momentos anteriores tuvo como propsito: por unlado, que el alumno aprendiera a realizar la actividad en s misma, y por otro, queaprendieran la herramienta conceptual con la que estaban trabajando. De esta forma,el objetivo del primer momento fue que lograran aprender a trabajar de forma

individual en una primera etapa, durante el proceso de solucin de las situacionesplanteadas. Es decir, en la comprensin del enunciado de la actividad, en la bsquedade la va de solucin y en la revisin del proceso. En una segunda etapa, se busc quelos alumnos aprendieran a trabajar en equipo, a mostrar y explicar el proceso desolucin de sus actividades, a discutir, plantear y validar argumentos, y a analizar msde una forma de resolverlas. Para el segundo momento, el objetivo fue que losalumnos tuvieran la capacidad de trabajar en grupo, que comunicaran sus resultados yque validaran, justificaran y defendieran sus procedimientos ante el resto de losequipos. El objetivo del tercer momento fue que los alumnos retomaran el trabajorealizado individualmente y lo vincularan a la actividad general Otros elementosasociados a este modelo y que tambin fueron considerados en la puesta en escena,

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son: Las modalidades de trabajo; el diseo de la actividad, que incluye el enunciadode la actividad y su propsito, el precepto de evaluacin y la solucin de referencia;

los lineamientos para la interaccin con los equipos durante la resolucin de laactividad; el guin de la discusin; las variables de la actividad y; la conclusin.

Modalidades de trabajo Las situaciones didcticas se trabajaron en tres sesiones ycada una tuvo una duracin de tres horas aproximadamente. El desarrollo de lassesiones se llev a cabo de tres formas: individual, en equipo y grupal. El propsitodel trabajo individual fue consolidar los conceptos y procedimientos que forman partedel objetivo de la actividad. El trabajo en equipo se realiz con la finalidad de que losalumnos no se paralizaran ante las dificultades, que tomaran decisiones paraorganizar el trabajo, que las ideas que presentaran fueran desarrolladas por ms deuna persona y que hubiese un control sobre las equivocaciones y las malas

interpretaciones. El trabajo grupal se llev a cabo al finalizar el trabajo en equipo. Elobjetivo de esta etapa fue que los alumnos escogieran la parte fundamental de sutrabajo, que pusieran atencin a la forma de comunicar sus resultados, que generaranargumentos para defender sus procedimientos; que hicieran explcito por qu unconjunto de etapas resuelve la actividad, que observaran procedimientos distintos desolucin y que pusieran atencin al trabajo desarrollado por otros equipos.Actividades realizadas durante la puesta en escena. En este apartado se muestra unade las situaciones didcticas (estructurada en forma de actividades) realizada por losequipos en cada una de las sesiones desarrolladas durante la puesta en escena de cadauna de las situaciones didcticas. En cada sesin los equipos se organizaron conintegrantes diferentes, con el propsito de tener movilidad en el pensamiento de los

alumnos y de evitar la rutina. Al inicio de los trabajos por equipo, se analizaron ydiscutieron las actividades desarrolladas individualmente, para comprobar suveracidad y evaluar la(s) va (s) de solucin (es) utilizadas en el proceso de solucin.Esto les permita valorar la forma que ellos consideraban ms simple de resolverlas,en el caso de considerar que las respuestascumplan con las condiciones y exigenciasplanteadas, o en su caso determinarla entre todos, para formular las conclusionescorrespondientes.

Una situacin ilustrativa. De las seis situaciones elaboradas presentamos a modo deejemplo - por razones de espacio - la primera de ellas.Situacin 1.Se les pidi a los alumnos que determinaran la fraccin de rea de la(s)

regin (es) sombreada(s) en el cuadrado ABCD y en el crculo EFGH, los cualestienen un rea de una unidad. E, F, G y H son los puntos medios del cuadrado. EG yHF son dimetros del crculo.

D CG

AB

H

E

F O1

G

E

H F

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Solucin de referencia de la actividad 1. Para desarrollar esta actividad, losalumnos tenan la posibilidad de apoyarse en los puntos medios de la figura y en los

vrtices de los tringulos sombreados, trazando rectas paralelas a partir de esospuntos. A la vez unir los vrtices del cuadrado con los puntos medios para obtenerdiecisis tringulos rectngulos iguales. Esto les permitira identificar en cuntaspartes poda dividirse el todo y determinar la porcin que ocupa la suma de las partessombreadas, que equivale a un cuarto.

Solucin de referencia de la actividad 1b. Para desarrollar esta actividad, losalumnos podan apoyarse en los dimetros dados en la figura y realizar trazosauxiliares convenientes, hasta obtener diecisis subdivisiones equivalentes. Esto lespermitira identificar en cuntas partes iguales se divide el todo y determinar quporcin ocupa la parte sombreada, que equivale a un cuarto.

ConclusionesAl comparar los resultados que se obtuvieron en el diagnstico con los delcuestionario final, se concluye que:1. El propiciar que los alumnos interactuaran con el conocimiento, el medio

(material, social, etc.) y con el profesor, permiti que formularan y validaranestrategias para resolver las situaciones propuestas.

2. Se obtuvieron evidencias de que los alumnos mejoraron la forma de:o Comunicar sus resultados, mostrando y explicando el proceso de solucin

de las situaciones planteadas.o Defender y argumentar sobre los procedimientos utilizados para

validarlos.

o Identificar interpretaciones equivocadas y procedimientos errneos.o Observar que existen diferentes vas de solucin para resolver las

situaciones propuestas.o Escoger la parte fundamental de su trabajo para emitir conclusiones.

3. El permitir que los alumnos conocieran diferentes formas de representar a losnmeros racionales, el significado de cada una de ellas, as como convertir otraducir unas representaciones en otras propici la construccin de este concepto.

4. En el proceso de comprensin del concepto de nmero racional, a los alumnos seles presentaron dificultades al trabajar con situaciones que estuvieron asociadascon:o Pasar de un sistema de representacin geomtrico a un numrico.

o Establecer la razn entre dos regiones ubicadas en un mismo objeto(geomtrico).5. La sintaxis que utilizan los alumnos para representar igualdades son expresiones

que desde el punto de vista matemtico son contradictorias. No obstante, parecenestar muy arraigadas en la mente de ellos, como puede observarse enseguida:

Contradiccinmatemtica

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6. Los alumnos mejoraron su comprensin acerca del concepto de nmero racionalmediante la realizacin de las actividades planteadas en las situaciones didcticas.

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