algoritmos y complejidad

IntroducciónRecorridos

Ordenamiento topológicoComponentes fuertemente conexos

Puntos de articulación y puentesFlujo máximo

Algoritmos y ComplejidadAlgoritmos sobre Grafos

Pablo R. Fillottrani

Depto. Ciencias e Ingeniería de la ComputaciónUniversidad Nacional del Sur

Primer Cuatrimestre 2009

Pablo R. Fillottrani Algoritmos y Complejidad




Algoritmos sobre Grafos

1 Introducción

2 Recorridos

3 Ordenamiento topológico

4 Componentes fuertemente conexos

5 Puntos de articulación y puentes

6 Flujo máximo





los grafos constituyen una de las más importantes Estructuras deDatos en las Ciencias de Computación. Un inmensa variedad deproblemas basan su solución en el uso de grafos

en esta materia sólo nos interesaremos en aquellos problemasdónde es posible una representación total del grafo en lamemoria de la máquina

las heurísticas para el manejo de grafos implícitos se ven enInteligencia Artificial





Representación de grafos

Representación de Grafos

{Matriz de AdyacenciaLista de Adyacencia

los arcos pueden o no tener peso y/o etiquetas

los arcos pueden o no ser dirigidos

se pueden permitir o no varios arcos entre los mismos nodos(multigrafos)

se pueden permitir o no arcos hacia el mismo nodo





Representación grafos no dirigidos

Memoria

{matriz de adyacencia Θ(n2)lista de adyacencia Θ(n + 2a) = Θ(max(n,a))





Representación grafos dirigidos

Memoria

{matriz de adyacencia Θ(n2)lista de adyacencia Θ(n + a) = Θ(max(n,a))





Recorrido por NivelesRecorrido por profundidad

un recorrido es un algoritmo que visita todos los nodos de ungrafo

supondremos los grafos representados por matrices deadyacencia

los algoritmos más usados para recorrer grafos generalizan losrecorridos de árboles

para el caso de grafo se necesita guardar información sobre losnodos que ya han sido visitados, de modo de no volver avisitarlos






para recorrer grafos, se etiquetarán dinámicamente los nodoscomo:

nodos blancos: todavía no han sido visitadosnodos grises: ya han sido visitados, pero no se ha controlado lavisita a todos sus adyacentesnodos negros: ya han sido visitados, al igual que todos susadyacentes

esta caracterización implica que ningún nodo negro tiene unnodo blanco como adyacente






Recorrido por niveles

el recorrido por niveles, o breadth-first search (BF), basa el ordende visita de los nodos del grafo en una E.D. Cola, incorporándoleen cada paso los adyacentes al nodo actual

esto implica que se visitarán todos los hijos de un nodo antes deproceder con sus demás descendientes

las operaciones sobre la E.D. Cola se suponen implementadasen tiempo Θ(1)






Algoritmo recorrido por niveles

el algoritmo que se presenta a continuación es no determinístico:la elección de los nodos en cada ciclo puede hacerse en formaarbitraria, o dependiente del contexto si es necesario

puede aplicarse tanto a grafos dirigidos y como a no dirigidosestá dividido en dos procedimientos

bfs inicializa las estructuras de datos, inicia el recorrido ycontrola que todos los nodos hayan sido visitadosvisitaBF realiza el recorrido propio a partir de un nodo yaelegido






PROCEDURE bfs(G=N,A)FOR cada vértice v en N

color[v]::=blancoENDFORQ.ColaVacía()FOR cada vértice v en N

IF color[v]=blancocolor[v]::=grisQ.insertar(v)visitarBF(G,Q)

ENDIFENDFOR

costo veces

a n

a 1

a na ≤ na ≤ n

TvBF (n) ≤ n






PROCEDURE visitarBF(G,Q)WHILE no Q.vacía()

u::=Q.primero()IF existe w adyacente a u

tal que color[w]=blancocolor[w]::=grisQ.insertar(w)

ELSEcolor[u]::=negroQ.sacarDeCola()

ENDIFENDWHILE

costo veces

b ≤ nb ≤ n

b ≤ a×n

b ≤ a×n






Análisis del tiempo de ejecución

TBF (n) ≤n

∑i=1

(a + TvisitarBF (n)) =n

∑i=1

(a + O(a×n)) ∈ O(n4)

la cota obtenida es muy mala

una análisis más detallado resulta en una cota mejor






se puede probar por inducción sobre el número de iteracionesque todo nodo es coloreado blanco, gris y negro exactamente unavez, y en ese ordenque todos los nodos en Q son grises y solamente estan una vezen Qque los controles de adyacencia se hace exactamente una vezpor cada arco.

esto resulta TBF (n) = Θ(max(n,a)), tomando como barómetroslas operaciones sobre la E.D. Cola






Ejemplo de BFS (I)






Ejemplo de BFS (II)






Ejemplo de BFS (III)






Ejemplo de BFS (IV)






Ejemplo de BFS (V)






Propiedades

al mismo tiempo que se hace un recorrido por niveles de un grafose pueden calcular algunos datos adicionales que serán útilespara las aplicaciones de este algoritmo

la foresta del recorrido es el subgrafo de G formado por todos losarcos utilizados en el recorrido

se puede probar que siempre es una foresta (conjunto deárboles)

se representa a través de un arreglo adicional padre[1..n]donde cada nodo guarda su antecesor en la foresta; sipadre[i] = 0 entonces el nodo es una raíz

este arreglo se inicializa en 0






el Nivel de cada nodo es la distancia (cantidad de arcos) quedeben recorrerse en la foresta para llegar desde la raíz al nodocorrespondiente

se representa por un arreglo adicional nivel[1..n], inicializadoen 0

se debe recordar que la raíz es en principio un nodo arbitrario

se pueden calcular esta información adicional al mismo tiempoque se hace el recorrido; esto no agrega tiempo adicional alorden del algoritmo






PROCEDURE visitarBF(G,Q)WHILE no Q.esVacía()

u::=Q.primero()IF existe w adyacente a u

tal que color[w]=blancocolor[w]::=grispadre[w]::=u; nivel[w]::=nivel[u]+1Q.insertar(w)

ELSEcolor[u]::=negroQ.sacarDeCola()

ENDIFENDWHILE






se pueden probar las siguientes propiedades sobre los recorridospor nivel

LemaSi el grafo es conexo, entonces la foresta de recorrido es un árbol

en el caso de un grafo dirigido, conexo significa que existe uncamino de ida y de vuelta entre cada par de nodos

Lema

al finalizar un recorrido BF, nivel[v ] contiene la mínima distanciadesde la raíz del árbol de v en la foresta de recorrido hasta v

ejercicio: comparar con el algoritmo de Dijkstra






el recorrido permite clasificar los arcos del grafo en las siguientescategorías:

arcos de la foresta son los arcos (padre[v ],v) utilizados en elrecorridoarcos hacia atrás son arcos (u,v) en donde v es un ancestro deu en la foresta del recorridoarcos hacia adelante son arcos (u,v) en donde v esdescendiente de u en la foresta del recorridoarcos que cruzan son los demás arcos que no entran en las otrascategorías. Los extremos pueden estar en el mismo árbol o enárboles diferentes






si el grafo es no dirigido, como cada arco es considerado dosveces esta clasificación puede ser ambigua. Se toma la primerade las categorías posibles según el orden dado

estas categorías pueden calcularse en el mismo algoritmo delrecorrido, sin aumentar el orden del tiempo de ejecución (lademostración queda como ejercicio)






Propiedades

TeoremaSi el grafo es dirigido, entonces un recorrido BF no genera arcos haciaadelante

TeoremaSi el grafo es no dirigido, entonces un recorrido BF no genera arcoshacia atrás ni hacia adelante

las demostraciones se hacen por el absurdo (ejercicio)






Recorrido por profundidad

el recorrido por profundidad, o depth-first search (DF), basa elorden de visita de los nodos del grafo en una E.D. Pila,agregando en cada paso los adyacentes al nodo actual

esto hace que agote los nodos accesibles desde un hijo antes deproceder con sus hermanos

las operaciones sobre la E.D. Pila se suponen de tiempo en Θ(1)

al igual que el recorrido por profundidad, se presenta unalgoritmo no determinístico que puede modificarse para incluir unorden en la elección de los nodos

puede aplicarse tanto a grafos dirigidos como a grafos nodirigidos






Algoritmo

PROCEDURE dfs(G=N,A)FOR cada vértice v en N

color[v]::=blancoENDFORP.pilaVacía()FOR cada vértice v en N

IF color[v]=blancocolor[v]::=grisP.apilar(v)visitarDF(G,P)

ENDIFENDFOR






PROCEDURE visitarDF(G,P)WHILE no P.esVacía()

u::=P.tope()IF existe nodo w adyacente a u

tal que color[w]=blancocolor[w]::=grisP.apilar(w)

ELSEcolor[u]::=negroP.desapilar()

ENDIFENDWHILE






en forma análoga al recorrido por niveles, se prueba porinducción que

todo nodo es coloreado blanco, gris y negro exactamente unavez, y en ese ordentodos los nodos en P son grises y solamente estan una vez en Plos controles de adyacencia se hace exactamente una vez porcada arco

resultando en un algoritmo Θ(n + a)






Ejemplo (I)






Ejemplo (II)






Ejemplo (III)






Ejemplo (IV)






Ejemplo (V)






Ejemplo (VI)






Ejemplo (VII)






Ejemplo (VIII)






Propiedades

al igual que en los recorridos por niveles, es posible obtener laforesta del recorrido de un recorrido por profundidad

en cambio, la numeración nivel[u] no tiene sentido

sí es posible en este tipo de recorrido numerar a los nodos deacuerdo al tiempo del evento de descubrimiento (numeraciónpreorden), o de finalización (numeración postorden)

la numeración en preorden se hace simultáneamente con lacoloración en gris; y se guarda en un arreglo d[1..n]

la numeración en postorden coincide con la colaración en negro;y se guarda en un arreglo f[1..n]






Cálculo de numeración

PROCEDURE dfs(G=N,A)FOR cada vértice v en N

color[v]::=blancoENDFORP.pilaVacía(); tiempo::=0FOR cada vértice v en N

IF color[v]=blancocolor[v]::=gristiempo++; d[v]::=tiempoP.apilar(v)visitarDF(G,P)

ENDIFENDFOR






PROCEDURE visitarDF(G,P)WHILE no P.esVacía()

u::=P.tope()IF existe nodo w adyacente a u

tal que color[w]=blancocolor[w]::=gristiempo++; d[w]::=tiempoP.apilar(w)

ELSEcolor[u]::=negrotiempo++; f[u]::=tiempoP.desapilar()

ENDIFENDWHILE






Lema

Sea G = 〈N,A〉 un grafo, y d[],f[] la numeración de descubrimiento yfinalización obtenida mediante un recorrido DF. Entonces

(u,v) es un arco de la foresta o hacia adelante si y solo si

d[u] < d[v ] < f[v ] < f[u]

(u,v) es un arco hacia atrás si y solo si

d[v ] < d[u] < f[u] < f[v ]

(u,v) es un arco que cruza si y solo si

d[v ] < f[v ] < d[u] < f[u]






Ejemplo numeración y arcos






muchas propiedades surgen a partir de la información obtenidaen un recorrido DF

TeoremaEn un recorrido DF de un grafo no dirigido G, todos sus arcos son dela foresta o hacia atrás

Demostración.

Sea (u,v) un arco del grafo, y supongamos que u es descubiertoantes que v . Luego v es descubierto y finalizado antes de finalizar u.Si el nodo v tiene como padre a u entonces (u,v) es un arco de laforesta; si el nodo v tiene otro padre, entonces (u,v) es un arco haciaatrás. En forma similar se prueba si v es descubierto antes que u.






Lema

En un recorrido DF de un grafo G, para cualquier par de nodosdistintos u,v vale exactamente uno de:

los intervalos [d[u],f[u]] y [d[v ],f[v ]] son totalmente disjuntos

[d[u],f[u]]⊂ [d[v ],f[v ]] y u es descendiente de v

[d[v ],f[v ]]⊂ [d[u],f[u]] y v es descendiente de u

Demostración.

Analizando caso por caso si d[u] < d[v ] < f[u], d[u] < f[u] < d[v ],d[v ] < d[u] < f[v ] y d[v ] < f[v ] < d[u]






Corolario (anidamiento de descendientes)

v es un descendiente propio de u en la foresta de recorrido si y solo sid[u] < d[v ] < f[v ] < f[u]

Demostración.Inmediato del lema 7.











Teorema (caminos blancos)

En un recorrido DF de un grafo G, un nodo v es descendiente de unnodo u si y solo si en el momento d[u] cuando u es descubierto existeun camino de u a v que consiste totalmente de nodos blancos.

Demostración.Para el solo si basta con aplicar el teorema 8 a todos los nodosintermedios.Para el si supongamos por el absurdo que v es alcanzable desde upor un camino de nodos blancos en el momento d[u], pero v no esdescendiente de u. Se toma el primer nodo en el camino de u a v queno es descendiente de u, y se demuestra que su intervalo estácontenido en [d[u],f[u]], contradiciendo el teorema 8.





Definición del problema

Problema: dado un grafo dirigido acíclico G, un orden topológicoes un ordenamiento lineal de sus nodos de forma que si el arco(u,v) ∈ G entonces u aparece antes de v en el ordenamiento

si el grafo tiene ciclos, entonces tal ordenamiento no existe

el orden topológico es usado para planificar una serie deacciones que tienen precedencias: cada nodo representa unaacción, y cada arco (u,v) significa que la acción u debeejecutarse necesariamente antes de v





la numeración de los nodos en un recorrido DFS da una idea delalgoritmo para resolver el problema





PROCEDURE OrdenTopológico(G)array f[1..n]DFS(G,f) % calculando f[v]L::= lista de nodos ordenada

por f en forma decrecienteRETURN L

el tiempo de ejecución de este algoritmo claramente esΘ(n logn), pero es posible reducirlo a Θ(n + a) cambiandolevemente el algoritmo del recorrido (ejercicio)





Correctitud

LemaUn grafo dirigido G es acíclico si y solo si cualquier recorrido DFS deG no produce arcos hacia atrás.

Demostración.El solo si es inmediato. Para el si basta aplicar el teorema 9 al primernodo del ciclo.





TeoremaEl resultado del algoritmo anterior es un orden topológico.

Demostración.

Basta con mostrar que para todo arco (u,v) en G dirigido acíclico,f [v ] < f [u].






dado un grafo dirigido G = 〈N,A〉 un componente fuertementeconexo (CFC) es un conjunto U ⊆ N maximal tal que para todou,v ∈ U valen u G v y v G u (donde a G b significa queexiste en G un camino de a a b)

Problema: encontrar todos los CFC de un grafo dirigido G

para el caso de grafos no dirigidos, el problema se denominacomponentes conexos y puede resolverse directamente a partirde cualquiera de los recorridos vistos





sea G un grafo, su grafo traspuesto GT se define comoGT = 〈N,{(u,v) : (v ,u) ∈ A}〉es interesante observar que G y GT tienen los mismos CFC(ejercicio)

el algoritmo para CFC hace dos recorridos: uno del grafo G y otrodel grafo GT

en el segundo recorrido, los nodos se consideran en ordendecreciente de f[]





PROCEDURE CFC(G)array f[1..n]DFS(G,f)calcular GT % el traspuesto de Garray padre[1..n]DFS(GT, padre, f)

% padre es la foresta del recorrido,% tomando los nodos por f decreciente

RETURN padre





cada Árbol de la foresta representado en padre contieneexactamente los elementos de un CFC

suponiendo una representación del grafo mediante lista deadyacencia, el tiempo y espacio del algoritmo anterior es deΘ(n + a) (ejercicio)





Ejemplo





Correctitud

para demostrar la correctitud del algoritmo, se usará el conceptode grafo de componentes GCFC = 〈NCFC ,ACFC〉 que estáformado por un nodo que representa a cada componentefuertemente conexo en G, y para cada par de CFC u,v seagrega un arco (u,v) si en G existe en el componente u un nodoque presenta un arco hacia otro nodo en el componente v

la principal propiedad de GCFC es que siempre se trata de un dag(ejercicio)





Lema

Sean u,v ∈ NCFC entonces la existencia de (u,v) ∈ ACFC implica que(v ,u) 6∈ ACFC

Demostración.Si existen los dos arcos, entonces u y v serían el mismo CFC enG.





se extiende la numeración de descubrimiento y finalización paraconjuntos de nodos de la forma:

d[C] = minu∈C(d[u])

f[C] = maxu∈C(f[u])





Lema

Sean u,v ∈ NCFC tal que (u,v) ∈ ACFC . Entonces f[u] > f[v ].

Demostración.Se distinguen dos casos de acuerdo a cual componente u o v esencontrado primero en el primer recorrido. Si primero se encuentra uentonces v es descendiente de u.Si primero se encuentra v , dado queexiste (u,v) entonces no existe (v ,u) por el lema 12. Esto significaque en el momento f[v ] todos los nodos en u son blancos, por lo quef[u] > f[v ].

Corolario

Sea C,C′ dos CFC distintos de un grafo G = 〈N,A〉, entonces siexiste (u,v) ∈ AT tal que u ∈ C y v ∈ C′ vale que f[C] < f[C′].





TeoremaEl algoritmo calcula correctamente los CFC de cualquier grafo G.

Demostración.Por inducción sobre la cantidad de árboles en la foresta del segundorecorrido. Para el caso inductivo se muestra que si u es la raíz delk -ésimo árbol del segundo recorrido, entonces todos los nodos delCFC de u pertenecen a ese árbol. Además, por el corolario 13cualquier arco que toca el CFC de u debe ser tal que conecta undescendiente de u con un nodo en un árbol anterior en la foresta.Luego el árbol con raíz u contiene exactamente el CFC de u.






sea G no dirigido, conexo. Un punto de articulación es un nodode G cuya eliminación (junto con todos sus arcos incidentes) dejaal grafo resultante disconexo

un puente es un arco de G cuya eliminación deja al graforesultante disconexo

Problema: dado un grafo no dirigido conexo G = 〈N,A〉 encontrartodos sus puntos de articulación





se pueden determinar los puntos de articulación mediante unsolo recorrido DFS de G

los siguientes resultados permiten definir el algoritmo

LemaSea G un grafo no dirigido conexo, y consideremos n ∈ N el nodoinicial de un recorrido DF. Entonces n es un punto de articulación si ysolo tiene al menos dos hijos.

Demostración.Es claro el si. Para el solo si, sean n1,n2 dos descendientes de n. Si nno fuera punto de articulación existiría un camino blanco entre n1 y n2

en el momento de visitar el primero de ellos, con lo que el segundosería descendiente del primero.





LemaSea G un grafo no dirigido conexo, y consideremos n ∈ N un nodo noinicial en un recorrido DF. Entonces n ∈ N es punto de articulación si ysolo existe un hijo u de n tal que ningún descendiente v de u tiene unarco (v ,w) donde w es ancestro propio de n.

Demostración.Es claro que si n es punto de articulación entonces tal arco no puedeexistir. Para el solo si, suponemos que existe u hijo de n tal queninguno de sus descendientes v tiene un arco hacia un ancestropropio w de n. Entonces, removiendo n del grafo no existe ningúncamino posible de u a w , por lo que n es punto de articulación.





de acuerdo al lema anterior, para saber si un nodo n es un puntode articulación es suficiente con verificar si se puede acceder aun ancestro propio desde un descendiente de n por un arco fuerade la foresta

teniendo en cuenta la numeración de descubrimiento generadapor un recorrido DFS, se puede computar para cada nodo elancestro más viejo que se alcanza a través de arcos hacia atrás

masviejo[v ] = min

d[v ]d[w ] : (v ,w) es un arco hacia atrásmasviejo[w ] : (v ,w) es un arco

de la foresta





PROCEDURE PuntosArticulación(G)array d[1..n], masviejo[1..n], pa[1..n]DFS(G,d)calcular masviejo en otro recorrido DFS de Gpa[1]::= tiene más de un hijo en la forestaFOR cada v en N-{1}

pa[v]::= existe un hijo u de vtal que d[v]<=masviejo[u]

ENDFORRETURN pa





el tiempo de ejecución es de Θ(a) (dos recorridos más unaiteración sobre todos los nodos)

se podrían mejorar las constantes realizando el cálculo completoen un sólo recorrido (ejercicio)





Puentes

para determinar los puentes es útil la siguiente propiedad

Lema

Sea G = 〈N,A〉 un grafo no dirigido. Un arco (u,v) ∈ A es un puenteen G si y solo si (u,v) no pertenece a ningún ciclo simple en G.

Demostración.

⇒): entonces removiendo (u,v) existiría un otro camino de u a v , conlo que el grafo resultante sería conexo, contradiciendo el hecho deque es puente. ⇐): luego el grafo obtenido removiendo (u,v) esconexo por lo que existe un camino de u a v que no use (u,v).Tomando ese camino más (u,v) se forma un ciclo simple, con lo seobtiene una contradicción.





se puede obtener entonces un algoritmo en tiempo O(a) queencuentre los puentes, a partir de un recorrido DF del grafo

ejercicio: especificar un algoritmo para encontrar los puentes enun sólo recorrido del grafo





Red residualCamino de aumentoCorteMétodo de Ford-Fulkerson


una red de flujo es un grafo dirigido G = 〈N,A〉 donde cada arco(u,v) ∈ A tiene asociado una capacidad c(u,v)≥ 0, y sedistinguen dos nodos s y t llamados fuente y destino, tal queningún arco llega a la fuente, o sale del destino

además, por conveniencia, si (u,v) 6∈ A entonces se suponec(u,v) = 0

también que para todo n ∈ N, s G n G t






un flujo en G es una función f : N×N −→ R que satisface:restricción de capacidad: f (u,v)≤ c(u,v) para todo u,v ∈ Nsimetría oblicua: f (u,v) =−f (v ,u) para todo u,v ∈ Nconservación de flujo: ∑v∈N−{s,t} f (u,v) = 0

el valor de un flujo |f | se define como|f |= ∑v∈N f (s,v) = ∑v∈N f (v , t).

Problema: dada una red de flujo G, el problema MAXFLUJOconsiste en encontrar el máximo flujo que admite G






Ejemplo de flujo






en el flujo sólo se representan los valores positivos

también se cancelaran flujos opuestos entre dos nodos, de formaque el flujo representado sea positivo en a lo sumo uno de lossentidos

se supondrá que todas las capacidades son enteros

si las capacidades son racionales, se pueden escalar para quese consideren enteros

también usaremos en la notación la sumatoria implícita,

f (U,V ) = ∑x∈U

∑y∈V

f (x ,y)






Propiedades

LemaSea G una red de flujo, y f un flujo en G. Entonces valen:

para todo X ⊆ N, f (X ,X) = 0

para todo X ,Y ⊆ N, f (X ,Y ) =−f (Y ,X)

para todo X ,Y ,Z ⊆ N tal que X ∩Y = /0, valenf (X ∪Y ,Z ) = f (X ,Z ) + f (Y ,Z ) yf (Z ,X ∪Y ) = f (Z ,X) + f (Z ,Y )

Demostración.ejercicio, usando las propiedades de flujo






Corolario

| f |= f (V , t)

Demostración.

| f |= f (s,V ) = f (V ,V )− f (V −s,V ) =−f (V −s,V ) = f (V ,V −s) =f (V , t) + f (V ,V − s− t) = f (V , t)






Método de Ford-Fulkerson

el método de Ford-Fulkerson permite resolver el problemaMAXFLUJO

lo llamamos método porque produce distintos algoritmos, condistintos tiempos de ejecución de acuerdo a la implementación

se basa en los conceptos de red residual, camino de aumento, ycorte






Red residual

sea G una red de flujo, y f un flujo sobre G. Una red residual esun grafo Gf = 〈N,Ef 〉, donde los arcos sonEf = {(u,v) : c(u,v)− f (u,v) > 0} y la capacidad esprecisamente c(u,v)− f (u,v)






Lema

Sea G una red de flujo, f un flujo sobre G, Gf la red residual y f ′ unflujo sobre Gf . Entonces el flujo sum f + f ′, definido(f + f ′)(u,v) = f (u,v) + f ′(u,v), es un flujo en G tal que| f + f ′ |=| f |+ | f ′ |.

Demostración.Se debe verificar que cumple con las tres propiedades de flujo, y quesu valor es exactamente la suma de los valores de f y f ′ (ejercicio).






Camino de aumento

sea G una red de flujo, y f un flujo sobre G. Un camino deaumento es un camino s Gf t en la red residual Gf

la capacidad residual de s Gf t es la mínima capacidad de losarcos que pertenecen al camino, y se nota cf (p)






Lema

Sea G una red de flujo, f un flujo sobre G y p un camino de aumentoen Gf . Entonces existe un flujo fp definido

fp(u,v) =

cf (p) si (u,v) está en p−cf (p) si (v ,u) está en p

0 sino

con valor | fp |= cf (p) > 0.

Demostración.Es suficiente con probar las tres propiedades de flujo, y verificar elvalor de fp.











Corte de una red de flujo

G una red de flujo, y f un flujo sobre G. Un corte es una particiónde N en S y T = N−S tal que s ∈ S y t ∈ T

el flujo neto a través el corte (S,T ) es f (S,T ). La capacidad deun corte (S,T ) es c(S,T )

el corte mínimo de una red es un corte cuya capacidad esmínima entre todos los cortes











Teorema (Máximo flujo, mínimo corte)

Sea G una red de flujo, y f un flujo en G. Entonces son equivalentes:1 f es un flujo máximo de G2 la red residual Gf no contiene caminos de aumento3 | f |= c(S,T ) para algún corte (S,T ) de G

Demostración.1)⇒ 2): si f es el máximo flujo y Gf tiene camino de aumento p existeun flujo fp (lema 22) y f + fp es un flujo en G de mayor valor que f .2)⇒ 3): entonces sea S = {v ∈ N : s Gf v} y T = N−S. Se puedever que (S,T ) es un corte y que | f |= f (S,T ) = c(S,T ). 3)⇒ 1):para todos los cortes (S,T ) se puede ver que | f |≤ c(S,T ). Luego| f |= c(S,T ) implica que f es un flujo máximo.






Algoritmo

el teorema anterior permite definir un algoritmo iterativo, a partirde un flujo nulo, que compute el flujo máximo de una red de flujo

se denomina Ford-Fulkerson, y en cada iteración encuentra uncamino de aumento, obtiene el flujo de ese camino y se lo sumaal flujo anterior, resultando en un flujo con valor mayor






PROCEDURE FordFulkerson (G,s,t,c)FOR cada arco (u,v) en A

f[u,v]::=0; f[v,u]::=0ENDFORWHILE existe un camino de aumento p en Gf

cf(p)::=min{(c[u,v]-f[u,v])para todo (u,v) en p}

FOR cada arco (u,v) en pf[u,v]::=f[u,v]+c_f(p)f[v,u]::=-f[u,v]

ENDFORENDWHILERETURN f






Ejemplo (I)






Ejemplo (II)






Ejemplo (III)






Ejemplo (IV)






Ejemplo (V)






Análisis del tiempo de ejecución

PROCEDURE FordFulkerson (G,s,t,c)FOR cada arco (u,v) en A

f[u,v]::=0; f[v,u]::=0ENDFORWHILE existe un camino de

aumento p en Gfcf(p)::= capacidad mínima de pFOR cada arco (u,v) en p

f[u,v]::=f[u,v]+cf(p)f[v,u]::=-f[u,v]

ENDFORENDWHILE; RETURN f

costo veces

b a

Θ(n + a) O(|f ∗|)

O(a) O(|f ∗|)

b O(a|f ∗|)b O(a|f ∗|)

f ∗ es el resultado






la dependencia del tiempo de ejecución en el valor del flujo, y noen la longitud de su representación, no es bueno






Algoritmo de Edmonds-Karp

el algoritmo de Edmonds-Karp es una instancia del método deFord-Fulkerson en donde la búsqueda del camino de aumento pse hace mediante una búsqueda por niveles comenzando por s

el recorrido por niveles permite encontrar los caminos mínimos(en cuanto a cantidad de arcos) desde el origen a cada nodo

entonces en la red residual, el camino mínimo ya no existe. Estopermite ajustar la cantidad de iteraciones del ciclo WHILE






Lema

En el algoritmo EK, si v ∈ N−{s, t} entonces la distancia mínimanivel[v ] en la red residual Gf aumenta con cada aumento de flujo.

Demostración.Sea v el nodo con menor nivel de todos los w tal queniveli [w ] > niveli+1[w ], y s fi+1 u→ v el camino mínimo queredujo el nivel de v . Sabemos que niveli+1[u] = niveli+1[v ]−1 yque niveli+1[u]≥ niveli [u] (por la elección de v ). Se deduce que(u,v) 6∈ Efi y (u,v) ∈ Efi+1 , y como el camino de aumento es elcamino más corto (por el algoritmo), entonces (v ,u) pertenece alcamino de aumento en la iteración i + 1. Luegoniveli [v ] = niveli [u]−1≤ niveli+1[u]−1 = niveli+1[v ]−2lo que contradice la disminución de la distancia mínima.






TeoremaEl número total de iteraciones del algoritmo EK en una red de flujoG = 〈N,A〉 es a lo sumo O(na).

Demostración.

Primero se muestra que la cantidad de veces que cada arco (u,v)puede ser crítico (ie coincide con la capacidad residual) es n/2−1veces. Sea i la iteración donde (u,v) es arco crítico, y j la iteracióndonde (v ,u) es arco crítico. Entoncesniveli [u] = niveli [v ] + 1≤ nivelj [v ] + 1 = nivelj [v ] + 2, conlo que la distancia mínima disminuye al menos en 2 entre cada parade iteraciones donde (u,v) es arco crítico. Y (n−2) es una cota de lamáxima distancia mínima. Entonces como hay O(a) arcos posibles aser arcos críticos, no puede haber más de O(na) iteraciones.






como cada iteración (construir el grafo residual, hacer el recorridoBFS, encontrar el camino de aumento y la capacidad residual, yactualizar el flujo) del algoritmo EK toma de O(a), de acuerdo alteorema anterior el tiempo total de ejecución es de O(na2)

se elimina de esta forma la dependencia del tiempo de ejecuciónen f ∗

existen algoritmos asintóticamente mejores (O(n2a), O(n3)) parael mismo problema






otras variantes del problema de máximo flujo se pueden reducir ala versión analizada. Por ejemplo, si se tienen múltiples orígeneso destinos


algoritmos y complejidad

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