Diplomatura en Ciencia y Tecnología

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICAPRIMER CUATRIMESTRE DE 2008

Profesora Mariana Suarez

TRABAJOS PRACTICOS 5 a 11

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICA.PRIMER CUATRIMESTRE 2008PROFESOR: Suarez

PRACTICA 5: Matriz inversa

Ejercicio 1.Mediante operaciones elementales sobre filas encontrar la inversa, si existe, de las matrices siguientes, comprobando el resultado:

Ejercicio 2.Utilizando las matrices del ejercicio anterior, resolver los sistemas lineales:

Ejercicio 3.Comprobar que las matrices siguientes son invertibles

M = 1 0 11 1 N =

4 2 -20 1 0-1 -3 -1

00 2 1

y verificar que: a) (M. N)-1 = N-1. M-1 b) (M-1)T = (MT)-1

Ejercicio 4.Calcular las inversas de

Ejercicio 5.Es posible usar la multiplicación de matrices para codificar y decodificar mensajes secretos.Primero, las letras del alfabeto se convierten en números; a=1, b=2,........,z=27. Entonces los números se convierten en las entradas de una matriz cuadrada M. Para completar el código, M se multiplica por alguna matriz K “clave” no singular que tenga el mismo orden que M. Por

ejemplo, HELP 8 5 12 17 8 512 17

= M

Si K =

2 51 3 entonces K.M = 44 75

28 46

= C.

La matriz C contiene el mensaje “HELP” codificado.a) ¿Cómo puede decodificarse C para obtener la matriz M?

b) Si K = 8 1 35 1 2

10 1 4

y C =

118 24 770 18 1

149 31 12

decodifique C y determine el mensaje.

Ejercicio 6.Hallar una matriz X, cuadrada y de orden 2, de modo que

Ejercicio 7.Hallar todas las matrices B de orden 2, no nulas, de modo que

, si

Ejercicio 8.Si A es una matriz de orden n, que verifica , hallar en función de A.

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PRACTICA 6: Determinantes

Ejercicio 1.i.- Calcular, usando la definición, el valor de los determinantes:

a) b) c) d) e)

ii.- Haciendo operaciones elementales entre filas y usando con cuidado las propiedades de los determinantes, calcular el determinante a)

Ejercicio 2.Consideremos matrices de 3x3.a) Comprobar que el determinante se puede obtener desarrollando por cualquier fila o columna.b) Comprobar que el determinante de toda matriz coincide con el de su traspuesta : det (AT) = det (A)c) Comprobar que si se intercambian dos filas (o dos columnas) de una matriz el determinante cambia de signo.d) Comprobar que si una fila (o columna) de una matriz se multiplica por un número el determinante queda multiplicado por ese número.

Ejercicio 3.a) Demostrar, sin necesidad de calcularlos, que los siguientes determinantes son nulos

i) ii) iii) iv)

b) Sabiendo que , hallar utilizando propiedades:

c) Si , demostrar que

Ejercicio 4.Utilizando propiedades y sin evaluar, demostrar que:

Sugerencia: observar que 546, 273 y 169 son divisibles por 13.

Ejercicio 5.Verificar las siguientes identidades utilizando propiedades y definición de determinantes.

Ejercicio 6.

Calcular , sabiendo que a +b + c = 6

Ejercicio 7.a.- Encontrar los valores de para los cuales si

i) ii)

b.- Si A es una matriz triangular, encontrar los valores de para los cuales

Ejercicio 8.

Sea . Sabiendo que det ( M ) = -9, calcular:

Ejercicio 9.

Probar que (Determinante de Vandermonde)

Ejercicio 10.

Comprobar que el determinante de la matriz es ,

utilizando

Ejercicio 11.Calcular, usando determinantes, las inversas de las matrices:

Verificar que det(A-1) = 1/ det(A)

Ejercicio 12.

a.- Hallar los valores de a para que las siguientes matrices sean invertibles

b.- Dadas y , si , hallar los valores de x para los

cuales C es inversible.

Ejercicio 13.Probar que los siguientes sistemas tienen solución única, y resolverlos usando la regla de Cramer:

Ejercicio 14.Discutir las soluciones de los siguientes sistemas según los diferentes valores de m

Ejercicio 15.

Encontrar el o los valores reales de m para los que el sistema posee como única solución la trivial.

Ejercicio 16.

Encontrar todos los valores de k para los cuales el sistema A.X=O admite solución no trivial, siendo

EJERCICIOS TEORICOS CORRESPONDIENTES A LAS PRACTICAS 5 Y 6

1.- Definir matriz inversa2.- Demostrar : a ) (A.B)-1 = B-1. A-1 b) (A-1)-1 = A c) (A-1)t = (At)-1

3.- Demostrar para matrices cuadradas de orden 3 que si k es un número real, entonces . Generalizar esta idea para matrices de orden n (sin demostrarla).

4.- Demostrar, para matrices de orden 2, que el determinante del producto es el producto de los determinantes.5.- Demostrar que si A de orden 3 es una matriz triangular superior, entonces su determinante es igual al producto de los elementos de la diagonal principal.6.- Analizar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones, justificando su respuesta:a) Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces b) Si A es una matriz antisimétrica de orden n y n es impar, entonces el determinante de A vale cero. 7.- Si A es una matriz de orden 4, demostrar que Det [adj A] = (Det A)3

8.- Demostrar que si una matriz cuadrada A de orden n es invertible, entonces.

9.- Demostrar que una matriz cuadrada con determinante no nulo tiene inversa, y que también vale el recíproco.10.- Enunciar y demostrar la regla de Cramer para sistemas de ecuaciones lineales de 3 ecuaciones con 3 incógnitas.

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PRACTICA 7: Sistema coordenado tridimensional. Vectores.

PRIMERA PARTE

Ejercicio 1.a) Situar en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales los puntos A(0,0,4) B(3,4,0) C(6,0,0) D(5,4,3)b) Si desde el punto D se trazan rectas perpendiculares a los planos coordenados, ¿cuáles son las coordenadas del pie de cada perpendicular?c) Si desde D se traza una recta perpendicular al plano z=-2, ¿cuáles son las coordenadas del pie de la citada perpendicular?

Ejercicio 2.Describir geométricamente todos los puntos P(x,y,z) que satisfagan la condición indicadaa) z=5 b) x=1 c) x=2, y=3 d) x=4, y=-1, z=7 e) (x-2)(z-8)=0 f) z2-16=0

Ejercicio 3.Dibujar una caja rectangular que tenga al origen y al punto P(2 , 3 , 5) como vértices opuestos y sus caras paralelas a los planos coordenados. Luego encontrar las coordenadas de los otros seis vértices de la caja y la longitud de la diagonal de la caja.

Ejercicio 4.a) Usar la fórmula de distancia para decidir si los puntos R(1,4,0) S(-2,-2,-3) y T(7,10,16) son colinealesb) Encontrar x si P1(x,x,1), P2(0,3,5) y d(P1,P2) = 5c) Encontrar los puntos del eje y que equidistan de P(3, 2, 0) y Q(2, -1, 1). Interpretar geométricamente.

SEGUNDA PARTE

Ejercicio 1.Calcular el vector z a) Si u = (2, -1) y v = (1, 2) .z = u + 2 v z = ½ ( 3u + v) z = -u + ¼ v . Graficar.b) Si u = (1, 2, 3) , v = (2, 2 -1) y w = (4, 0, -4)z = u - v z = 2u + 4v - w z = 5u - 3v - ½ w z=v.w

Ejercicio 2.Dados a = (2 , 1 , 2) y b = (-3, 4 , 5), hallar un vector unitario que tenga la misma dirección que a + 3b

Ejercicio 3.a) En cada uno de los siguientes casos determinar cuáles vectores PQ y AB son equivalentes (o equipolentes):i) P = (1, -1) , Q = (4, 3) , A = (-1, 5) , B =(5, 2)ii) P = (1, 4) , Q = (-3, 5) , A =(5, 7) , B = (1, 8)iii) P = (1, -1, 5) , Q = (-2, 3, -4) , A = (3, 1, 1) , B = (0, 5, 10)iv) P = (2, 3, -4) , Q = (-1, 3, 5) , A = (-2, 3, -1) , B = (-5, 3, 8)b) Determinar m para que los vectores a = (2, 3m, -m) y b = (m2+2m-1, m2+2,m2-2m) resulten equipolentes

Ejercicio 4.Si es un representante del vector v=(7,-1,3) y B es (-2,3,5) ¿cuál es A? Ejercicio 5.Dados los puntos P(-1, 2, 3) y Q (3, -2, 4), obtenga a y b reales sabiendo que:

son: i ) equipolentes, ii ) opuestos

Ejercicio 6.Usando vectores, demostrar que el punto medio M del segmento determinado por

P1 = (x1, y1, z1) y P2 = (x2, y2, z2) es M =

Ejercicio 7.Determinar cuáles de los siguientes vectores son colineales con

Ejercicio 8.Determinar las proyecciones escalar y vectorial de a en la dirección de b y de b en la dirección de a si a) a=-5i+5j b=-3i+4jb) a=-i-2j+7k b=6i-3j-2k

Ejercicio 9.a) Determinar un vector u colineal con v = 3i + 2j + 2k que verifica u.v = 3.b) Determinar k para que u = (k, 3+k) sea perpendicular a v = ( 1, 1) y dibujarlos.c) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de /4 . Si el módulo de a es 3

¿cuál debe ser la longitud de b para que a - b sea perpendicular a a ?d) ) Los vectores a y b forman entre si un ángulo de /3 . Si el módulo de a es 3y el módulo de b es 5, calcular a – b .

Ejercicio 10.Hallar tal que sea ortogonal a y ( y no nulos).

Ejercicio 11.Sean . Hallar los vectores y tales que : sea ortogonal a , sea paralelo a y .

Ejercicio 12.Dados los vectores . Hallar un vector ortogonal a y y tal que

Ejercicio 13.Encuentre un vector paralelo al eje z tal que , siendo

Ejercicio 14.Demostrar que el vector n = Ai + Bj es perpendicular a la recta de ecuación Ax + By +C = 0. (Sugerencia : Tomar dos puntos distintos de la recta)

Ejercicio 15.Mostrar, usando vectores, que las diagonales de un rombo son perpendiculares.

Ejercicio 16.Dados los puntos P1(1,0,1) y P2(k,2-k,2+k), hallar k tal que los vectores OP1 y OP2 determinen un ángulo de /3.

Ejercicio 17.Mostrar que si u es perpendicular a v1 y v2 entonces es perpendicular a c1 v1 + c2 v2 siendo c1 y c2 números cualesquiera. Interpretar geométricamente.

Ejercicio 18.Sean v1 ,v2 y v3 tres vectores no nulos perpendiculares dos a dos. Mostrar que si c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 = 0 entonces c1 = c2 = c3 = 0 .

Ejercicio 19.Calcular u x v y comprobar que que es ortogonal a u y v . Calcular además el área del paralelogramo determinado por u y v .a) u = (2, -3, 1) v = (1, -2, 1) b) u = (12, -3, 0) v = (-2, 5, 0)

Ejercicio 20.Hallar un vector de módulo 2 perpendicular al plano de los vectores u=(2,-1,0) y v=(3,-2,-1)

Ejercicio 21.Calcular el área del triángulo de vértices (2, -3, 1) , (0, 1, 2) y (1, 4, 2) .

Ejercicio 22.a.- Hallar x para que el volumen del paralelepípedo que tiene por aristas u = (-1,1,1)

v = (1,0, x) y w = (2,-1,1) sea 7.b.- Hallar el volumen del paralelepípedo determinado por

Ejercicio 23.Averiguar si los vectores (2, 3, -1) , (1, -1, 3) y (1, 9, -1) son coplanares.

Ejercicio 24.Utilice el producto triple para probar que los puntos P (1, 0, 1) , Q (2, 4, 6), R (3, -1, 2) y S (6, 2, 8) son coplanares.

Ejercicio 25.Suponiendo que u . (v x w ) = 2, hallar a.- v . (u x w) b.- (u x v) . w c.- u . (w x v ) d.- (u x v) . v e.- (u x u) . w

Ejercicio 26. a) Comprobar que v = (1, 1, 1) es combinación lineal de v1 = (1, -2, 1) , v2 = (0, 1, 3) y v3 = (1 , 5, 1) . Explicar gráficamente su significado. ¿Vale para cualquier vector v?b) Averiguar si cualquier vector del espacio puede escribirse como combinación lineal de los vectores v1 = (1, -2, 1) , v2 = (0, 1, 3) y v3 = (-2 , 5, 1)

EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LA PRÁCTICA 7.

1.- Encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento del espacio.2.- Dado el vector (c,d), encontrar un representante del mismo con punto inicial (m,n)3.- Definir ángulo entre dos vectores4.- Producto escalar, definición. Propiedades.5.- Cálculo del ángulo entre dos vectores. 6.- Definir ángulos y cosenos directores de un vector del espacio7.- Definir proyección escalar y proyección vectorial de un vector sobre otro.8.- ¿Qué se puede decir acerca del ángulo que forman dos vectores no nulos u y v si:a) u.v = 0 b) u.v > 0 c) u.v < 09.- ¿Qué se puede decir de dos vectores u y v si la proyección escalar de u sobre v es u? ¿ y si es 0?10.- Completar y demostrar: el módulo del producto vectorial es .........11.- Interpretación geométrica del módulo del producto vectorial.12.- Triple producto escalar. Definición e interpretación geométrica. 13.- Sean u, v y w vectores del espacio. Demostrar que u(vw) = (u.w).v – (u.v).w14.- Sean u, v y w vectores del espacio. Demostrar que el módulo de u v es el producto de los módulos si u y v son ortogonales.15.- Usando vectores, demostrar el teorema del seno y el teorema del coseno de la trigonometría plana.

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PRACTICA 8: Recta en el espacio. Plano.

Ejercicio 1.Hallar la ecuación vectorial paramétrica, cartesianas paramétricas y simétricas, si es posible, de la recta a) Que pasa por A(4,6,-7) y es paralela a u=(5,9,4)b) Que pasa por los puntos R(1,2,1) y S(3,5,-2)c) Que pasa por B(3,-5,6) y es paralela al eje xd) Que pasa por C(4,3,-1) y es perpendicular al plano yz

Ejercicio 2.Con referencia al ejercicio anterior, decidir si B pertenece a la recta que determinan R y S. Indicar otros dos puntos de esa recta y encontrar los puntos de intersección con los tres planos coordenados.

Ejercicio 3.Hallar dos números reales a y b sabiendo que el punto M (-2, a, b) pertenece a la recta de

ecuaciones simétricas

Ejercicio 4.a) Demuestre que la recta que pasa por los puntos (2,-1,-5) y (8,8,7) es paralela a la recta que pasa por los puntos (4,2,-6) y (8,8,2)

b) Encontrar la ecuación de la recta que pasa por (0,2,-1) y es paralela a

Ejercicio 5.Obtenga los puntos de intersección de las siguientes rectas con cada uno de los planos coordenados:

a.- b.- c.-

Ejercicio 6.Hallar la ecuación del plano a) Que pasa por el punto (5,1,3) y es perpendicular al vector , que une los puntos (1, 2, 3) con (2, 4, 12).b) Que contiene a los puntos ( 3,5,2) (2,3,1) y (-1,-1,4)c) Que es perpendicular en el punto medio al segmento que une los puntos P (1, 2, -1) y Q (3, 0, -3).d) Que pasa por el punto (2,3,-5) y es paralelo al plano x+y-4z=1e) Que pasa por el punto (3,6,12) y es perpendicular al eje y

f) Que contiene a las rectas R: (1,-1,5) + t(1,1,-3) y S:

g) Que contiene a las rectas R: (1,-1,5) + t(1,1,-3) y S: (3,4,2) + t(-2,-2,6)h) Que pasa por el origen y contiene a la recta S de (f)i) Que pasa por (8,-2,3) y es perpendicular a la recta R de (f)

j) Que pasa por los puntos (2,-1,1) y (3,1,2) y es paralelo al eje yk) Que contiene a (3,4,-5) y es paralelo a los vectores (3,1,-1) y (1,-2,1)

Ejercicio 7.

Un plano tiene la ecuación . Encontrar escalares s y t no nulos de manera que los vectores y estén en un plano perpendicular al dado.

Ejercicio 8.Dibujar los siguientes planos: a) 2x + y – 1 = 0 b) x - 4y = 0 c) x - z = 0 d) 3y = 0 e) 2z + 3 = 0 f) z = 2 g) 2y + 4z – 4 = 0 h) 4x + 6y + 3z – 12 = 0

Ejercicio 9.Indicar cuáles de las siguientes rectas están contenidas o son paralelas al plano 3x - y + 4z - 2 = 0 :

Ejercicio 10.Dado el plano , se pide:

a.- Demuestre que dicho plano contiene a la recta

b.- Halle un número c real tal que la recta resulte paralela a .

c.- Analice si existe un número c real tal que . Justifique su respuesta.

Ejercicio 11.Encontrar los tres planos que contienen a la recta y son perpendiculares a los planos coordenados (planos proyectantes)

a)

Ejercicio 12.a) Encontrar la ecuación de la recta que es perpendicular al plano 3x – 2y + z = 5 que pasa por

el punto (4,1,5). ¿Cuántas puede encontrar?

b) Encontrar la ecuación de la recta que es paralela al plano 3x – 2y + z = 5 que pasa por el punto (4,1,5). ¿Cuántas puede encontrar?

Ejercicio 13.Encontrar la intersección entre las siguientes rectas:

a)

b)

Ejercicio 14.Encontrar la intersección de la recta OP = (1-t, 2-3t, 4+t) con el plano x - 3y + 2z + 7 = 0

Ejercicio 15.Dados la recta , con y el plano

, se pide:a.- Determinar b.- Encontrar un plano que pase por A y sea perpendicular a L.

Ejercicio 16.Encontrar la ecuación vectorial paramétrica de la recta que es intersección de losplanos 2x + 3y +7z -7 = 0 y x -3y - 10z = -1 .

Ejercicio 17.Hallar la ecuación del plano que contiene a la recta intersección de los planos

y además verifica:a.- es paralelo al eje de ordenadas.b.- es paralelo al plano

Ejercicio 18.Sean los planos y el punto P (1, k, -2). Encontrar la ecuación de la recta r tal que

Ejercicio 19.Sean los planos y los puntos A (1,1, 1) y B (1, 2, c).a.- Determinar un número real c de modo que exista un plano que contiene a la recta que pasa por A y por B, y a la recta intersección entre .b.- Obtener la ecuación de dicho plano.

Ejercicio 20.Dados sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, discutir geométricamente sus soluciones. (analizar cuidadosamente todos los casos posibles).

Ejercicio 21.

a.- Para los distintos valores del número k, estudiar el sistema algebraica y geométricamente.

b.- Para los distintos valores de y discutir las posiciones relativas de los tres planos:

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PRÁCTICA 9: Distancias en el espacio.

Ejercicio 1.Dado el plano : 2x - y - 2z = -3 encontrar su distancia al punto P(1, 2, -1) y al origen. Interpretar geométricamente.

Ejercicio 2.Dos caras de un cubo se encuentran en los planos 1: 2x -2y +z -1 = 0 y 2 : 2x - 2y +z + 5 = 0 . Calcular el volumen del cubo.

Ejercicio 3.Encontrar la distancia

a) entre el punto (1, 0, -2) y la recta

b) entre las rectas

c) entre la recta (1 + 2t, -2-t, 1+5t) y el plano x - 3y -z + 5 = 0

Ejercicio 4.a.- Hallar el o los puntos del eje z que equidistan del punto (1, -2, 0) y del plano 3x - 2y + 6z = 9b.- Hallar el o los puntos del eje z que equidistan del plano x - 2y - 4z - 12=0 y del plano 2x + 4y - z = 0

Ejercicio 5.Hallar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de P1(1, 1, -1) y P2(3, 0, 2).

Ejercicio 6.Determinar un plano paralelo al plano 2x -2y +z -7 = 0 cuya distancia al origen sea 4.

Ejercicio 7. Determinar los planos paralelos al plano 2x - 2y - 3z = 1 que distan de él en 1.

Ejercicio 8.Determinar la distancia del punto P(-1, 1, -2) al plano que pasa por A(1, -1,1) , B(-2, 1, 3) y C(4, -5, 2)Encontrar el punto R sobre el plano que realiza la distancia.

Ejercicio 9Hallar la ecuación del plano paralelo a , sabiendo que el punto (3, 2, -1) equidista de ambos planos.

Ejercicio 10.

Dadas las rectas, , encontrar

los valores reales de y0 y d tales que, simultáneamente, .

Ejercicio 11.Sean las rectas

.

a.- Encontrar los valores de k tales que .b.-Establecer si son paralelas. Calcular la distancia entre ellas. c.- Si , pueden ser paralelas? Justifique su respuesta.

EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LA PRÁCTICA 9.1.- Distancia de un punto a un plano. Definir y encontrar una fórmula para el cálculo.2.- Explicar cómo se calcula la distancia entre planos paralelos.3.- Distancia de un punto a una recta del espacio. Definir y encontrar una fórmula para el cálculo.4.- Explicar cómo se calcula la distancia entre rectas paralelas y entre un plano y una recta paralelos.

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PRACTICA 10: Cónicas

Ejercicio 1.Dado el vértice de una parábola (6,-3) y la ecuación de su directriz 3x-5y+1=0, hallar el foco de esta parábola.

Ejercicio 2.Hallar los elementos (foco, vértice, directriz y eje) de las siguientes parábolas y graficara) y2 = 6x b) x2 = 5y c) y2 = -4x d) x2 = - y e) (x+5)2 = 7(y-1) f) x2 -2x -4y +5 = 0 g) y2 – 8y = 4x – 8

Ejercicio 3.Encontrar la ecuación de las parábolas:a) de foco (4,0) y directriz x + 4 = 0 b) de foco (0,-2) y directriz y = 2c) de vértice en el origen, simétrica con respecto del eje x, que pasa por B(-1,3)d) de foco (-2,4) y vértice (1,4)e) de vértice (0,4) y directriz y = - 2 f) de vértice (-1,2) y foco (-1,0)g) de vértice V(4,-1), eje la recta de ecuación y + 1 = 0 y pasa por el punto (3,-3)

Ejercicio 4.Encontrar el centro, los vértices y las gráficas de las elipses cuya ecuación se indica

a) b) c) 4x2+7y2 = 28 d) 9x2+y2 = 1

e) f) 5x2+9y2-30x+18y+9 = 0 g) 16x2+25y2+32x-100y-284 = 0

Ejercicio 5.Obtener las ecuaciones de las elipses que se indican y graficarlasa) Centro en el origen, un foco (2,0) y un vértice en (3,0)b) Centro en el origen, eje focal coincidente con el eje x , que pasa por (4,- ) y (2 ,3)c) Focos (0,5) y eje mayor de longitud 14d) Vértices (3,1) y (3,9) y eje menor de longitud 6e) Vértices (5,-3) y (5,7) y focos (5, )f) Focos (2,3) y (6,3) y excentricidad 2/3g) Foco ,centro (0, 6) y pasa por el punto P (4, 33/5) h) Centro en (1, 4), un foco en (1, 8) y excentricidad e=1/5

Ejercicio 6.Comprobar que F1 (6, 5) y F2 (-2, -1) y a = 3 definen una hipérbola. Hallar su centro, la ecuación del eje focal y decidir si P (1, -2) pertenece a la misma.

Ejercicio 7.Hallar el centro, los vértices y los focos de las hipérbolas siguientes y dibujarlas usando las asíntotas como ayuda

a) b) x2-y2 = 1 c) 2y2 - 10x2 = 40 d)

e) 16x2 - 9y2 - 64x - 54y - 161 = 0 f) 16x2 - 9y2 - 64x - 18y+199 = 0

Ejercicio 8.Encontrar la ecuación de las hipérbolas que se indican y graficarlasa) Centro en el origen, los focos en el eje de abscisas, la distancia entre los focos 2c = 20 y

asíntotas y = x

b) Focos (5,0) y vértices (3,0)c) vértices (3,0) y asíntotas y = 2x

d) Centro en (-5,3), un vértice (-5,7) y un foco (-5,8)e) Centro (2,4), un vértice en (2,5) y una asíntota 2y - x - 6 = 0

f) Asíntotas que pasa por el punto (3,1)

g) Focos (2,3) y (6,3) con excentricidad 2h) Focos (2,3) y (2,7) con excentricidad 2i) Vértices (4, -2) y (0, -2) que pasa por el punto P

Ejercicio 9.Obtener todos los valores reales de k sabiendo que el eje focal de la hipérbola:a.- es paralelo al eje de abscisas.b.-

Ejercicio 10.Analizar la ecuación en cada uno de los siguientes casos:

Ejercicio 11.Clasificar las siguientes ecuaciones para los distintos valores de k.

Ejercicio 12.Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones e interpretar geométricamente

a) b) c)

Ejercicio 13.El sistema {O,x’,y’} se obtiene del {O,x,y} rotando 60º.a) Encontrar las coordenadas de P(-1,2) R(3,0) y S(6,-1) en el nuevo sistema.b) Determinar la ecuación de la recta 2x – y = 1 en el nuevo sistema. Graficar

Ejercicio 14.Encontrar el sistema {0,x’,y’} de manera que la recta de ecuación x - y = 1 sea paralela al eje x’

Ejercicio 15.

Identificar y graficar las cónicasa) xy - 1 = 0b) x2 + xy + y2 = 4c) 8x2 + 8xy – 7y2 – 35 = 0d) x2 – 2xy + y2 – 8x – 8y =0

Ejercicio 16.a) Encontrar el foco y la directriz de la parábola 3x2+2 xy+y2+2x - 2 y = 0b) Llevar a la forma canónica la ecuación xy – y = 2.Identificar la cónica. Representar gráficamente indicando los dos sistemas de ejes utilizados. Indicar los elementos.

EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LA PRÁCTICA 10

1.- Definir parábola y obtener la ecuación cuando el foco es (0,p) y la directriz y = -p2.- Definir parábola y obtener la ecuación cuando el foco es (0,-p) y la directriz y = p3.- Definir parábola y obtener la ecuación cuando el foco es (p,0) y la directriz x = -p4.- Definir parábola y obtener la ecuación cuando el foco es (-p,0) y la directriz x = p5.- Definir elipse y obtener las ecuaciones canónicas6.- Definir hipérbola y obtener las ecuaciones canónicas

7.- Encontrar las asíntotas de la hipérbola

8.- Deducir las fórmulas de la rotación de ejes.9.- Justificar que la ecuación Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 representa: Una cónica de género elipse si 4A.C – B2 > 0 Una cónica de género hipérbola si 4A.C – B2 < 0 Una cónica de género parábola si 4A.C – B2 = 0

ALGEBRA Y GEOMETRIA ANALITICAPRIMER CUATRIMESTRE 2008PROFESOR: Suarez

PRACTICA 11: SuperficiesEjercicio 1.Encontrar la ecuación de la superficie cilíndrica:

a) directriz , generatrices paralelas al eje y

b) directriz , generatrices paralelas al eje z

c) directriz , generatrices paralelas al vector v = (1,1,1)

d) directriz , generatrices paralelas a v = (-1,-4,5)

Ejercicio 2.Describir y representar las superficiesa) x+y = 3 b) y2+z2 = 9 c) x2 - y = 0 d) 4x2+y2 = 4 e) y = ex f) zy=1 g) 3x2 + 3y2 – 6x = 0

Ejercicio 3.Encontrar la ecuación de la superficie cónica con vértice en el origen si la directriz es

a) y xz

2 11 b) z x

y2 24 1

1

c) y xz

3

2

Ejercicio 4.Hallar la ecuación de la superficie de revolución generada al hacer girar la curva en torno del eje indicado

a) z yx2 4

0

, eje y b) 4 40

2 2z xy

, eje x c) , eje z

d) La elipse alrededor de su eje mayor

e) La elipse de (d) alrededor de su eje menor.

Ejercicio 5.Esquematizar la gráfica de las siguientes superficies haciendo un estudio completo (trazas y secciones normales)a) 2x2 + 2y2 = z b) y2 + z2 = x c) x2 + 2y2 = z2

d) 2x2 + 4y2 + 3z2 – 24 = 0 e) 2x2 – 4y2 – 3z2 – 24 = 0

Ejercicio 6.Identificar y representar gráficamente la superficie

a) xy

z22

24

1

b) 16x2 - y2+16z2 = 4

c) z xy2 2

2

41

d) x2 - y2 - z = 0 e) x2 – y + z2 = 0

Ejercicio 7.Reconocer y graficar en forma aproximada los siguientes lugares geométricosa) z = x+y b) 8x2 + 4y2 + z2 = 16 c) 25x2 – 225y2 + 9z2 = 225d) z2 – x2 – y2 = 1 e) 16y = x2 + 4z2 f) x2 – y2 = 1g) y2 + 2z2 – x2 = 1 h) x2 – 6y2 = 2z i) y2 = 4x

j) k) y2 + z2 = 9 l)

m) x2 + z2 – 4y2 = 0 n) x2 + z2 – 4y = 0 o)

EJERCICIOS TEÓRICOS CORRESPONDIENTES A LA PRÁCTICA 11

1.- Definir superficie cilíndrica. Deducir la ecuación de un cilindro recto si la directriz es una curva de uno de los planos coordenados.2.- Definir superficie cónica. Deducir la ecuación si la directriz es una curva del plano z = 2 y vértice en el origen.3.- Definir superficie de revolución. Deducir la ecuación si una curva del plano yz se rota alrededor del eje z.4.- Hacer un estudio completo ( intersecciones con los ejes, trazas, secciones normales ) de un paraboloide elíptico