ALGEBRA (Ciencias) – ano 2015

PRACTICA N◦ 6

Numeros Enteros

1. Determinar en cuales de los siguientes subconjuntos la suma o el producto de R son operacionescerradas.

A1 = {2k + 3t : k ∈ Z ∧ t ∈ Z} A2 = {(−1)n : n ∈ N}A3 = {2n : n ∈ N} A4 = {5k + 1 : k ∈ Z}

2. Sean a, b ∈ Z. Analizar la validez de:

a) Si a|b · c =⇒ a|b o a|cb) Si a|(c + b) =⇒ a|b o a|cc) Si a|b y c|b =⇒ a · c|b

3. Sea p un numero primo. Probar que para todo natural n, si p divide al producto de n numerosenteros entonces p divide a alguno de ellos.

4. Sean n y m numeros naturales. Probar: n es par si y solo si nm es par.

5. Si n ∈ Z, determinar si son o no par los siguientes numeros: 3n2 + 1, n(n + 1), n3 − n.

6. Dados los enteros a y b, hallar el cociente q y el resto r, tales que cumplan que a = b · q + r, con0 ≤ r < |b|

(a) a = 135 b = 14 (b) a = −1234 b = 234(c) a = −1245 b = −546 (d) a = 1001 b = −111

7. Sean a, b ∈ Z, b 6= 0. Si a− b = 175 y la division de a por b tiene cociente 13 y resto 7,Hallar a y b.

8. Hallar el resto de dividir x por 42 en los siguientes casos: (a ∈ N)1)x = a 42 + 86 3)x = a 42− 613)x = a 42 + 11 4)x = a 42− 10

9. Sean a y b dos numeros enteros que tienen restos 5 y 8, respectivamente, en la division por 13.Hallar los restos de la division por 13 de los siguientes enteros:

a) 5a− 4b

b) a + b2

c) (26b2 − 39a2)50

10. Sean a y b numeros enteros y n un natural. Probar que

a) a− b|an − bn.

b) si n es par entonces a + b|an − bn.

c) si n es impar entonces a + b|an + bn.

11. Probar que si m es una combinacion lineal entera de a y b, es decir que existen enteros k y q talesque m = ak + bq, entonces (a, b)|m.

12. a) Si a un numero se lo divide por 4, el resto es 2 y si se lo divide por 3, su resto es 1. ¿Cuales el resto si se lo divide por 12?

1

b) El resto de la division de un numero por 7 es 2; si se lo divide por 3, su resto es 1. ¿Cual esel resto si se lo divide por 21?

13. Probar por induccion:

a) 7n − 1 es divisible por 6∀n, n ∈ Nb) 92n − 1 es divisible por 20 ∀n, n ∈ Nc) n2 + n es divisible por 2 ,∀n, n ∈ Nd) 10n+1 + 10n + 1 es divisible por 3, ∀n, n ∈ Ne) 32n+2 + 26n+1 es multiplo de 11,∀n, n ∈ Nf ) Si n es divisible por 3, el polinomio xn − an es divisible por x3 − a3 ∀n, n ∈ N, n ≥ 1.

14. Calcular (a, p), para a un entero cualquiera y p primo.

15. Determinar cuales de los siguientes enteros son primos: 91, 307, 1001.

16. Calcular (a, b) y expresarlo como combinacion lineal de a y b, siendo:

(a) a = 47 b = 10(b) a = 352 b = 16(c) a = 12001 b = −12002

17. Sean a y b ∈ Z. Calcular:

a) (a + 1, a)

b) (a, a · b + 1)

18. Calcular (2n − 7n, 2n + 7n).

19. Calcular [a, b] en los siguientes casos:

(a) a = 1 b = 384(b) a = 4 b = −4(c) a = 284 b = −13

20. Encontrar todos los numeros enteros a y b que verifican:(a, b) = 54[a, b] = 810

21. Determinar los enteros n tales que [n, 130] = 260

22. Determinar enteros a y b tales que (a, b) = 10 y [a, b] = 1500.

23. Sean a, b, c ∈ Z, demostrar:

a) Si (a, b) = 1 =⇒ (a, a + b) = 1

b) Si a|b c ∧ (a, b) = 1 =⇒ a|cc) Si (a, b) = 1 =⇒ (a, b · c) = (a, c)

d) (a, b) = 1 =⇒ (7a− 3b, 2a− b) = 1

e) (a, b) = 1 =⇒ (2a− 3b, 5a + 2b) = 1 o 19.

24. Probar:

a) 29 no es divisor de 730 + 732

b) 33 es divisor de 1111 + 1112

2

25. Dado m ∈ Z, m 6= 0, hallar los restos posibles de m2 y m3 en la division por 3, 4, 5 y 7.

26. Usando el ejercicio anterior, probar que:

a) Si 7|(a2 + b2) =⇒ 7|a y 7|b.b) No existe a ∈ Z tal que 7|(a3 + 2).

c) ¿Existe a ∈ Z tal que 5 sea divisor de a2 + 2?

27. Hallar el resto de dividir a por b en los siguientes casos: (usar binomio de Newton).

(a) a = 438 + 1 b = 3(b) a = 41010101 b = 5(c) a = 932 b = 7(d) a = 655 + 1 b = 7

28. ¿Son primos los siguientes numeros? Justifique su respuesta.

a) 46104 − 1

b) 1000501 − 4

29. Si m y n son enteros de igual paridad, probar que m2 − n2 es multiplo de 4.

30. Si r y q son impares, probar que r3 − q3 es par, pero no multiplo de 4.

31. Demostrar que no existen enteros m,n no nulos tales que m2 = 2 · n2

32. Calcular la cantidad de divisores positivos de 10n · 11n. Idem para 10n · 8n+1 y para 9.000.

33. i)¿Cual es el menor entero positivo que admite exactamente 6 divisores? ii)Hallar m ∈ N conexactamente 10 divisores. ii) Hallar m ∈ N con exactamente 25 divisores POSITIVOS y solo unode ellos primo.

34. Hallar el menor entero positivo q tal que 6552 q es un cuadrado.

35. Determinar el conjunto de soluciones enteras de las siguientes ecuaciones:

a) 5x + 8y = 3

b) 24x + 14y = 7

c) 20x + 16y = 36

36. Calcular la cantidad de tizas que contiene una caja sabiendo que si se las reparte entre 3 profesores,sobran 2; si se las reparte entre 4 profesores, sobran 3; y que la cantidad es un numero entre 100y 110.

Congruencias

1. Sea m ∈ N y b ≥ m. Probar que existe a tal que 0 ≤ a < m tal que a ≡ b mod(m).

2. Sea m ∈ N y 0 ≤ a ≤ b < m Probar que a ≡ b mod(m) ⇔ a = b.

3. Sean p > 0 primo, y a, b ∈ Z. Mostrar que (a + b)p ≡p ap + bp. Es esta afirmacion valida si p escompuesto? Justificar. (Indicacion: probar primero por induccion que

(mn

)es natural y luego que

si m es un primo entero positivo y 0 < n < m, m |(mn

).)

4. Analizar la validez de las siguientes afirmaciones:

a) 10 ≡ −1 mod(11)

3

b) 3 ≡ 0 mod(2)

c) 1 ≡ −1 mod(2)

5. Hallar m tal que

a) 11 ≡ 19 mod(m).

b) 13 ≡ −13 mod (m).

c) 40 ≡ 20 mod (m).

6. Hallar todos los a ∈ Z tales que a ≡ 3 mod(11).

7. Determinar x ∈ Z tales que:

a) 17x ≡ 3mod (11)

b) 56x ≡ 28mod (35)

c) 33x ≡ 27mod (45)

8. Probar la siguiente regla de divisibilidad por 5: Un numero es divisible por 5 si su ultimo dıgitoes divisible por 5.

9. Hallar una regla de divisibilidad por 3. Justificar.

10. Sea t ∈ Z, diremos que t es invertible modulo m si existe h ∈ Z tal que t · h ≡ 1 mod(m).

a) Dados t = 2, 3, 4, 5, 6, determinar m tal que t sea invertible modulo m.

b) Probar que si (m, t) = 1 entonces t es invertible modulo m.

11. Calcular el resto de la division de 241901 por 11.

12. Calcular el resto de la division de 71601 por 5.

13. Sabiendo que a ≡ 22 mod(14), hallar el resto de la division de a por 2; por 7; y por 14.

14. Calcular el resto de dividir 1661328 4878 + 19999 por 5.

15. Calcular el resto de dividir 3417771 − 610001 por 35.

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