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ALGEBRA SUPERIOR

ContenidosArtículos

Productos notables 1Factorización 6Potenciación 11Propiedades de la radicación 16Racionalización de radicales 17Logaritmo 20Ecuación 26Ecuación de primer grado 32Sistema de ecuaciones lineales 35Ecuación de segundo grado 42Ecuaciones con radicales 48Número complejo 49Determinante (matemática) 56Regla de Sarrus 64Regla de Cramer 65Matriz (matemática) 68Multiplicación de matrices 74Matriz invertible 78Geometría analítica 81Recta 87Circunferencia 95Sección cónica 103Elipse 106Parábola (matemática) 116Hipérbola 125

ReferenciasFuentes y contribuyentes del artículo 129Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentes 131

Licencias de artículosLicencia 133

Productos notables 1

Productos notablesProductos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con expresiones algebraicas cuyo resultadopuede ser escrito por simple inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicaciónsimplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones habituales.Cada producto notable corresponde a una fórmula de factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferenciade cuadrados perfectos es un producto de dos binomios conjugados y recíprocamente.

Factor común

Representación gráfica de la regla de factorcomún

El resultado de multiplicar un binomio a+b con un término c seobtiene aplicando la propiedad distributiva:

Esta operación tiene una interpretación geométrica ilustrada en la figura. El área del rectángulo es

(el producto de la base por la altura), que también puede obtenerse como la suma de las dos áreascoloreadas (ca) y (cb).

Ejemplo

Binomio al cuadrado o cuadrado de un binomio

Productos notables 2

Ilustración gráfica del binomio al cuadrado.

Para elevar un binomio al cuadrado (es decir, multiplicarlo por símismo), se suman los cuadrados de cada término con el doble delproducto de ellos. Es decir:

un trinomio de la forma: , se conoce como trinomio cuadrado perfecto.Cuando el segundo término es negativo, la ecuación que se obtiene es:

En ambos casos el tercer término tiene siempre signo positivo.Ejemplo

simplificando:

Producto de dos binomios con un término común

Ilustración gráfica del producto de binomios conun término común

Cuando se multiplican dos binomios que tienen un término común, sesuma el cuadrado del término común con el producto el término comúnpor la suma de los otros, y al resultado se añade el producto de lostérminos diferentes.

Ejemplo

agrupando términos:

Productos notables 3

luego:

Producto de dos binomios conjugadosVéase también: Conjugado (matemática)

Producto de binomios conjugados.

Dos binomios conjugados son aquellos quesólo se diferencien en el signo de laoperación. Para multiplicar binomiosconjugados, basta elevar los monomios alcuadrado y restarlos, obteniendo unadiferencia de cuadrados

Ejemplo

agrupando términos:

A este producto notable también se le conoce como suma por la diferencia.

Polinomio al cuadrado

Elevando un trinomio al cuadrado de formagráfica

Para elevar un polinomio con cualquier cantidad de términos, se sumanlos cuadrados de cada término individual y luego se añade el doble dela suma de los productos de cada posible par de términos.

Productos notables 4

Ejemplo

multiplicando los monomios:

agrupando términos:

luego:

Binomio al cubo o cubo de un binomio

Descomposición volumétrica del binomio al cubo

Para calcular el cubo de un binomio, sesuma: el cubo del primer término, con eltriple producto del cuadrado del primero porel segundo, más el triple producto delprimero por el cuadrado del segundo, más elcubo del segundo término.

Identidades de Cauchy:

Ejemplo

agrupando términos:

Cuando la operación del binomio es resta, el resultado es: el cubo del primer término, menos el triple producto delcuadrado del primero por el segundo, más el triple producto del primero por el cuadrado del segundo, menos el cubodel segundo término.

Productos notables 5

Identidades de Cauchy:

Ejemplo

agrupando términos:

Identidad de Argand

Identidades de Gauss

Identidades de Legendre

Identidades de Lagrange

Otras identidadesDado que la notabilidad de un producto es un concepto ambiguo, no existe una lista determinante que indique cualesproductos son los únicos que pueden llamarse notables y los demás no. Existen otras fórmulas, que aunque menosusadas que las anteriores, pueden en cierto contexto ser consideradas productos notables. Entre ellas se destacan:adicion de cubos

diferencia de cubos

Es más frecuente listar las dos fórmulas anteriores como fórmulas de factorización ya que los productos tienen unaforma particularmente simétrica pero el resultado sí (contrastar por ejemplo con la fórmula de binomio al cubo).

La suma y diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias n-ésimas:Suma de potencias n-ésimas

Sí y sólo si "n" es impar, Diferencia de potencias n-ésimas

Productos notables 6

Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar con el teorema del binomio.Existe una ingeniosa fórmula para representar un cubo como suma de dos cuadrados:

Véase también• Binomio• Trinomio• Factorización• Triángulo de Pascal

Bibliografía• Wentworth, George; y Smith, David Eugene (1917). Ginn & Co.. ed. Elementos de Algebra (2a edición). Boston,

USA. pp. 456. ISBN.

FactorizaciónEn álgebra, la factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número compuesto, una matriz o unpolinomio) como producto de otros objetos más pequeños (factores), (en el caso de números debemos utilizar losnúmeros primos) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Por ejemplo, el número 15 se factoriza ennúmeros primos 3 × 5; y a²-b² se factoriza como binomio conjugados (a - b)(a + b).La factorización de enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y lafactorización de polinomios (en ciertos contextos) en el teorema fundamental del álgebra.

Factorizar un polinomioAntes que todo, hay que decir que todo polinomio se puede factorizar utilizando números reales, si se consideran losnúmeros complejos . Existen métodos de factorización, para algunos casos especiales.• Binomios

1. Diferencia de cuadrados2. Suma o diferencia de cubos3. Suma o diferencia de potencias impares iguales• Trinomios

1. Trinomio cuadrado perfecto2. Trinomio de la forma x²+bx+c3. Trinomio de la forma ax²+bx+c• Polinomios

1. Factor común

Factorización 7

Caso I - Factor comúnSacar el factor común es añadir la literal común de un polinomio, binomio o trinomio, con el menor exponente y eldivisor común de sus coeficientes, y para sacar esto, hay una regla muy sencilla que dice: Cuadrado del primertérmino más o menos cuadrado del segundo por el primero más cuadrado del segundo, y no hay que olvidar, que losdos que son positivos iguales funcionan como el primer término, sabiendo esto, será sumamente sencillo resolver losfactores comunes.

Factor común monomio

Factor común por agrupación de términos

y si solo si el polinomio es 0 y eltetranomio nos da x.

Factor común polinomio

Primero hay que determinar el factor común de los coeficientes junto con el de las variables (la que tenga menorexponente). Se toma en cuenta aquí que el factor común no solo cuenta con un término, sino con dos.un ejemplo:

Se aprecia claramente que se está repitiendo el polinomio (x-y), entonces ese será el factor común. El otro factor serásimplemente lo que queda del polinomio original, es decir:

La respuesta es:

En algunos casos se debe utilizar el número 1, por ejemplo:

Se puede utilizar como:

Entonces la respuesta es:

Caso II - Factor común por agrupación de términosPara trabajar un polinomio por agrupación de términos, se debe tener en cuenta que son dos características las que serepiten. Se identifica porque es un número par de términos.Un ejemplo numérico puede ser:

entonces puedes agruparlos de la siguiente manera:

Aplicamos el caso I (Factor común)

Factorización 8

Caso III - Trinomio Cuadrado PerfectoSe identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al dobleproducto de las raíces del primero por el segundo. Para solucionar un Trinomio Cuadrado Perfecto debemosreordenar los términos dejando de primero y de tercero los términos que tengan raíz cuadrada, luego extraemos laraíz cuadrada del primer y tercer término y los escribimos en un paréntesis, separándolos por el signo que acompañaal segundo término, al cerrar el paréntesis elevamos todo el binomio al cuadrado.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

Ejemplo 4:

Organizando los términos tenemos

Extrayendo la raíz cuadrada del primer y último término y agrupándolos en un paréntesis separados por el signo delsegundo término y elevando al cuadrado nos queda:

Al verificar que el doble producto del primero por el segundo término es -20xy determinamos que es correcta lasolución. De no ser así, esta solución no aplicaría.

Caso IV - Diferencia de cuadradosSe identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dosparéntesis, (parecido a los productos de la forma (a-b)(a+b), uno negativo y otro positivo.

O en una forma más general para exponentes pares:

Y utilizando una productoria podemos definir una factorización para cualquier exponente, el resultado nos da r+1factores.

Ejemplo 1:

Ejemplo 2: Supongamos cualquier r, r=2 para este ejemplo.

Factorización 9

La factorización de la diferencia o resta de cuadrados consiste en obtener las raíz cuadrada de cada término yrepresentar estas como el producto de binomios conjugados.

Caso V - Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracciónSe identifica por tener tres términos, dos de ellos son cuadrados perfectos, pero el restante hay que completarlomediante la suma para que sea el doble producto de sus raíces , el valor que se suma es el mismo que se resta paraque el ejercicio original no cambie.

Nótese que los paréntesis en "(xy-xy)" están a modo de aclaración visual.

Caso VI - Trinomio de la forma x2 + bx + cSe identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el términoindependiente. Se resuelve por medio de dos paréntesis, en los cuales se colocan la raíz cuadrada de la variable,buscando dos números que multiplicados den como resultado el término independiente y sumados (pudiendo sernúmeros negativos) den como resultado el término del medio.Ejemplo:

Ejemplo:

Caso VII - Suma o diferencia de potencias a la nLa suma de dos números a la potencia n, an +bn se descompone en dos factores (siempre que n sea un númeroimpar):Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

La diferencia también es factorizable y en este caso no importa si n es par o impar. Quedando de la siguiente manera:

Ejemplo:

Las diferencias, ya sea de cuadrados o de cubos salen de un caso particular de esta generalización.

Factorización 10

Caso VIII - Trinomio de la forma ax2 + bx + cEn este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo términotiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente, o sea sin una parteliteral, así:

Para factorizar una expresión de esta forma, se multiplica el término independiente por el coeficiente del primertérmino(4x2) :

Luego debemos encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente yque su suma sea igual al coeficiente del término x :

Después procedemos a colocar de forma completa el término x2 sin ser elevado al cuadrado en paréntesis, ademáscolocamos los 2 términos descubiertos anteriormente :

Para terminar dividimos estos términos por el coeficiente del término x2 :

:

Queda así terminada la factorización :

:

Caso IX - Cubo perfecto de TetranomiosTeniendo en cuenta que los productos notables nos dicen que:

EmpleoLa factorización se emplea en la simplificación de fracciones, en la adición y sustracción de fracciones.- Se utiliza enla descomposición de fracciones y la descomposición, en integración indefinida.- En el estudio de cónicas, puespueden resultar degeneradas o un par de rectas.- también en las cuádricas.- en la solución de ecuacionesdiferenciales.- quien no factoriza no avanza.- Y para ganar tiempo hay que saber de memoria o tener tablitasautofabricadas ad hoc.- Es bueno ver que los objetos matemáticos son herramientas y con la matemática recreativason juguetes o divertimentos.-

Factorización 11

Véase también• Productos notables• Factorización de enteros• Factorización de matrices• Dominio de factorización única

Enlaces externos• Factoris [1], utilidad para realizar factorizaciones online, tanto de números como de expresiones algebraicas.-Conocimientos Matemáticos 3 "la maravillas matemáticas" editorial Santillana Autor Rogelio Parraguirre López

Referencias[1] http:/ / wims. unice. fr/ wims/ wims. cgi

PotenciaciónLa potenciación es una operación matemática entre dos términos denominados: base a y exponente n. Se escribe an

y se lee usualmente como «a elevado a n» o «a elevado a la» y el sufijo en femenino correspondiente al exponente n.Hay algunos números especiales, como el 2, al cuadrado o el 3, que le corresponde al cubo.Su definición varía según el conjunto numérico al que pertenezca el exponente:• Cuando el exponente es un número natural, equivale a multiplicar un número por sí mismo varias veces: el

exponente determina la cantidad de veces.

Por ejemplo: .• Cuando el exponente es un número entero negativo, equivale a la fracción inversa de la base pero con exponente

positivo.

• Cuando el exponente es una fracción irreducible n/m, equivale a una raíz:

Cualquier número elevado a el exponente el resultado equivale a , excepto el caso particular de que, enprincipio, no está definido (ver cero).La definición de potenciación puede extenderse a exponentes reales, complejos o incluso matriciales.

Potenciación 12

Propiedades de la potenciación

Potencia de exponente 0Un número elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

Potencia de exponente 1Toda potencia de exponente 1 es igual a la base:

Ejemplo:

Potencia de exponente negativoUn número elevado a un exponente negativo, es igual al inverso de la misma expresión pero con exponente positivo:

Multiplicación de potencias de igual baseEl producto de dos o más potencias de igual base es igual a la base elevada a la suma de los correspondientesexponentes (se escribe la misma base y se suman los exponentes):

Ejemplos:

División de potencias de igual baseLa división de dos potencias de igual base es igual a la base elevada a la resta de los exponentes respectivos:

Ejemplo:

Potencia de un productoLa potencia de un producto es igual al producto de los factores elevados cada uno al exponente de dicha potencia. Esdecir, una potencia de base a.b y de exponente n, es igual al factor a elevado a n, multiplicado por el factor b tambiénelevado a n:

Potencia de una potenciaLa potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambosexponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

Potenciación 13

Debido a esto, la notación se reserva para significar ya que se puede escribir sencillamente como.

Propiedad distributivaLa potenciación es distributiva con respecto a la multiplicación y a la división:

Propiedades que no cumple la potenciaciónNo es distributiva con respecto a la adición y sustracción, es decir, no se puede distribuir cuando dentro delparéntesis es suma o resta:

No cumple la propiedad conmutativa, exceptuando aquellos casos en que base y exponente tienen el mismo valor oson equivalentes. En general:

Tampoco cumple la propiedad asociativa:

Potencia de base 10En las potencias con base 10, el resultado será la unidad desplazada tantas posiciones como indique el exponente,hacia la izquierda si el exponente es negativo, o hacia la derecha si el exponente es positivo.Ejemplos:

Potenciación 14

Potencia de números complejosPara cualquiera de los números reales se tiene la identidad:

Límites

Indeterminación 00

El caso especial se considera indefinido y dependiendo del contexto pueden ser asignados distintos valoresdependiendo de las propiedades específicas que se quieran mantener.Por ejemplo, puede argumentarse que es el igual al valor del límite

y como para , dicho valor podría ser igual a 1. Sin embargo también puede considerarse dichaexpresión como el valor del límite

y como para , dicho valor podría ser igual a 0. Esto ilustra que la forma puede corresponde adiferentes valores y por ello se considera indefinida.El debate sobre el valor de la forma tiene casi 2 siglos de antigüedad. Durante los primeros días del análisismatemático en que el fundamento formal del cálculo no se había establecido, era común aceptar que =1. Sinembargo, en 1821 cuando Cauchy publica el Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique estableciendo elprimer tratamiento riguroso del análisis, lista dicha forma en una tabla de formas indefinidas junto a otras como 0/0.En los años 1830, Libri[1] [2] publicó un argumento para asignar 1 como valor de y August Möbius[3] lo apoyóafirmando erróneamente que

siempre que

Sin embargo un comentarista que firmó simplemente como «S» proporcionó un contraejemplo

cuyo límite cuando es , lo cual calmó el debate con la aparente conclusión del incidente que debería permanecer indefinida. Se pueden encontrar más detalles en Knuth (1992).[4]

En la actualidad, suele considerarse la forma como indefinida y no se le asigna valor si no se tiene un contexto enel cual el valor asignado tenga sentido. [5] [6] [7]

Para calcular límites cuyo valor aparente es suele usarse la Regla de l'Hôpital.

Representación gráfica

Gráfico de .

La representación gráfica de una potencia par tiene la forma de una parábola.Su vértice se sitúa en el punto (0, 0), es decreciente en el segundo cuadrante ycreciente en el primero.

La representación gráfica de una potencia impar son dos ramas de parábola.Tiene un punto de inflexión en el vértice (0, 0), es siempre creciente, y ocupael tercer y primer cuadrante.Dichas curvas son continuas y derivables para todos los reales.

Potenciación 15

Gráfico de .

Véase también

• Raíz cuadrada• Radicación• Fórmula de De Moivre (para potencias de números complejos)

Referencias[1] Guillaume Libri, Note sur les valeurs de la fonction 00x, Journal für die reine und

angewandte Mathematik 6 (1830), 67–72.[2] Guillaume Libri, Mémoire sur les fonctions discontinues, Journal für die reine und

angewandte Mathematik 10 (1833), 303–316.[3] A. F. Möbius, Beweis der Gleichung = 1, nach J. F. Pfaff, Journal für die reine und

angewandte Mathematik 12 (1834), 134–136.[4] Donald E. Knuth, Two notes on notation, Amer. Math. Monthly 99 no. 5 (May 1992), 403–422.[5] Peter Alfeld. « Understanding Mathematics (http:/ / www. math. utah. edu/ ~pa/ math/ 0to0. html)» (en inglés). Universidad de Utah.

Consultado el 25 de diciembre de 2009. «The problem is similar to that with division by zero. No value can be assigned to 0 to the power 0without running into contradictions. Thus 0 to the power 0 is undefined!».

[6] Ask Dr. Math. (18 de marzo de 1997). « Why are Operations of Zero so Strange? (http:/ / mathforum. org/ library/ drmath/ view/ 55764.html)» (en inglés). The Math forum. Consultado el 25 de diciembre de 2009. «Other indeterminate forms are 0^0, 1^infinity.».

[7] Gentile, Enzo R. (1976) (en español). Notas de Álgebra I (2a edición). Editorial Universitaria de Buenos Aires. pp. 56. «Es útil tambiéndefinir en el caso x≠0, x0=1. ( queda indefinido).»

Enlaces externos• Potenciación en escolar.com (http:/ / www. escolar. com/ matem/ 25potenc. htm)• Artículo sobre potenciación en Enciclopedia universal en español (http:/ / enciclopedia. us. es/ index. php/

Potenciación)

Propiedades de la radicación 16

Propiedades de la radicaciónLas propiedades de la radicación son bastante similares a las propiedades de la potenciación, puesto que una raíz esuna potencia con exponente racional.

= .Ejemplo

= .

Raíz de un producto

La raíz de un producto de factores es igual al producto de las raíces de los factores.

;con n distinto de cero (0).

Ejemplo

= = Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

El 3 elevado a la dos dentro de la raiz cuadrada puede simplificarce quedando 3

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador.

= ;

con n distinto de cero (0).

Ejemplo

=

Cuando esta propiedad se hace con números no hace falta pasar la raíz a potencia de exponente racional, aunque sícuando se hace con variables.

=

Ejemplo

• = El tres elevado a las dos dentro de la raiz cuadrada puede simplificarse quedando 3

Propiedades de la radicación 17

Raíz de una raíz

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando.

= ;

con n y m distintos de cero (0).

Ejemplo

=

Véase también• Función raíz• Raíz cuadrada• Raíz cúbica• Racionalización de radicales

Racionalización de radicalesLa racionalización de radicales es un proceso donde se tiene que eliminar el radical o los radicales, que están en eldenominador de la fracción.Racionalizar una fracción con raíces en el denominador, es encontrar otra expresión equivalente que no tenga raícesen el denominador. Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma queal operar elimine la raíz del denominador.

Racionalización de un radical índice 2Para racionalizar un monomio de este tipo, se debe multiplicar el numerador y el denominador de la fracción por eldenominador de la misma. En el siguiente caso:

hay que multiplicar numerador y denominador por

Después se despeja la raíz cuadrada del denominador ya que la cantidad subradical que es 5 elevada al cuadradopuede eliminar o despejar la raíz cuadrada:

Racionalización de radicales 18

Racionalización de binomio de índice 2Para racionalizar un binomio de índice 2, se debe hacer un proceso similar al ejercicio anterior, multiplicar elnumerador y denominador de la fracción por el conjugado del denominador de la misma. En el siguiente ejemplo:

hay que multiplicar el numerador y el denominador por ; este resultado es el que da el producto notablede los binomios conjugados.

· =

=

=

Racionalización de monomios con índices mayores que 2Tómese el siguiente caso, ya que tenemos numeradores y denominadores fraccionados y multiplicados por indicesmayores que 3.

Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no tienen exponente) se les debeobtener la raíz enésima.

=

Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la fracción sigue un procedimientodiferente a las anteriores.Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al numerador y denominador de lafracción será el número del exponente que falta para acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente seamayor que el índice de la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más cercano dela raíz.

= En este ejemplo, es , ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el denominador los exponentesde las cantidades subradicales serán iguales al índice de la raíz...Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:

· =

Despejando las raíces, que son de índice 5:

=

Simplificando, se obtiene:

=

Racionalización de radicales 19

Racionalización de binomios con radical mayor a 2Cuando se tiene la diferencia de dos radicales de índice 3, es preciso utilizar productos notables.

Tomamos este producto notable.

Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.

·

En el denominador ha quedado el producto notable. Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.

Si se trata de la suma de dos radicales de índice 3:

Hay que usar este otro producto notable.

Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el segundo factor.

·

En el denominador ha quedado el producto notable. Lo cambiamos por su expresión simple y ya está.

Véase también• Función raíz• Propiedades de la radicación• Raíz cuadrada• Raíz cúbica• Productos notables

BibliografíaSuárez Bracho, Estrella y Durán Cepeda, Darío (2003) Matemáticas Noveno año. Caracas: Editorial Santillana.

Logaritmo 20

Logaritmo

Logaritmos

Gráfica de Logaritmos Definición

Tipo Función real

Descubridor(es) Nikolaus Mercator (1668)[1]

Dominio

Codominio

Imagen

Propiedades BiyectivaCóncavaEstrictamente crecienteTrascendente

Cálculo infinitesimal

Derivada

Función inversa

Límites

Funciones relacionadas Función exponencial

El rojo representa el logaritmo en base e.El verde corresponde a la base 10.

El púrpura al de la base 1,7.

En matemáticas, el logaritmo de un número —en una base determinada— es el exponente al cual hay que elevar labase para obtener dicho número. Por ejemplo, el logaritmo de 1000 en base 10 es 3, porque 1000 es igual a 10 a lapotencia 3: 1000 = 103 = 10×10×10.De la misma manera que la operación opuesta de la suma es la resta y la de la multiplicación la división, lalogaritmación es la operación inversa a la exponenciación.

Logaritmo 21

DefiniciónDado un número real (argumento x), la función logaritmo le asigna el exponente n (o potencia) a la que un númerofijo se ha de elevar para obtener dicho argumento. Es la función inversa de b a la potencia n. Esta función se escribecomo: n = logb x, lo que permite obtener n.[2]

(esto se lee como: logaritmo en base "b" de "x" es igual a "n"; sí y sólo si "b" elevado a la "n" da por resultado a "x")

• La base b tiene que ser positiva y distinta de 1 .• x tiene que ser un número positivo .• n puede ser cualquier número real .Así, en la expresión 102 = 100, el logaritmo de 100 en base 10 es 2, y se escribe como log10 100 = 2.

Identidades logarítmicasLos logaritmos mantienen ciertas identidades aritméticas muy útiles a la hora de realizar cálculos:• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

• El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador.

• El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente y el logaritmo de la base de la potencia.

• El logaritmo de una raíz es igual al producto entre la inversa del índice y el logaritmo del radicando.

En realidad la tercera y cuarta identidad son equivalentes, sin más que hacer:

Cambio de baseSon comunes los logaritmos en base e (logaritmo neperiano), base 10 (logaritmo común), base 2 (logaritmo binario),o en base indefinida (logaritmo indefinido). La elección de un determinado número como base de los logaritmos noes crucial, ya que todos son proporcionales entre sí. Es útil la siguiente fórmula que define al logaritmo de x en baseb (suponiendo que b, x, y k son números reales positivos y que tanto "b" como "k" son diferentes de 1):

en la que "k" es cualquier base válida. Si hacemos k=x, obtendremos:

En la práctica, se emplea el logaritmo decimal, que se indica como , en ciencias que hacen uso de lasmatemáticas, como la química en la medida de la acidez (denominada pH) y en física en magnitudes como la medidade la luminosidad (candela), del sonido(dB), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. Eninformática se usa el logaritmo en base 2 la mayoría de veces.

Logaritmo 22

Elección de la baseSe denomina logaritmo neperiano (ln) o logaritmo natural al logaritmo en base e; fueron desarrollados por JohnNapier.Los logaritmos de base 10, decimales, comunes o vulgares son aquellos en que la base es 10. Fueron inventados ydesarrollados por Henry Briggs.Para representar la operación de logaritmación se escribe la abreviatura Log y como subíndice la base y después elnúmero resultante del que deseamos hallar el logaritmo. Ejemplo: luego .Cuando se sobreentiende la base, se puede omitir. Para indicar logaritmos en base e se usa ln.

HistoriaEl método de cálculo mediante logaritmos fue propuesto por primera vez, públicamente, por John Napier (latinizadoNeperus) en 1614, en su libro titulado Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio. Joost Bürgi, un matemático yrelojero suizo al servicio del duque de Hesse-Kassel, concibió por primera vez los logaritmos; sin embargo, publicósu descubrimiento cuatro años después que Napier. La inicial resistencia a la utilización de logaritmos fue cambiadapor Kepler, por el entusiasta apoyo de su publicación y la impecable y clara explicación de cómo funcionaban.Este método contribuyó al avance de la ciencia, y especialmente de la astronomía, facilitando la resolución decálculos muy complejos. Los logaritmos fueron utilizados habitualmente en geodesia, navegación marítima y otrasramas de la matemática aplicada, antes de la llegada de las calculadoras y computadoras. Además de la utilidad en elcálculo, los logaritmos también ocuparon un importante lugar en las matemáticas más avanzadas; el logaritmonatural presenta una solución para el problema de la cuadratura de un sector hiperbólico ideado por Gregoire deSaint-Vincent en 1647.Napier no usó una base tal como ahora se entiende pero, sus logaritmos, como factor de escala, funcionaban demanera eficaz con base 1/e. Para los propósitos de interpolación y facilidad de cálculo, eran útiles para hallar larelación r en una serie geométrica tendente a 1. Napier escogió r = 1 - 10−7 = 0,999999 (Bürgi eligiór = 1 + 10−4 = 1,0001). Los logaritmos originales de Napier no tenían log 1 = 0, sino log 107 = 0. Así, si N es unnúmero y L es el logaritmo, Napier calcula: N = 107(1 − 10−7)L. Donde (1 − 10−7)107 es aproximadamente 1/e,haciendo L/107 equivalente a log1/e N/107.Inicialmente, Napier llamó "números artificiales" a los logaritmos y "números naturales" a los antilogaritmos. Mástarde, Napier usa la palabra logaritmo en el sentido de un número que indica una proporción: λόγος (logos) elsentido de proporción, y ἀριθμός (arithmos) significado número, y se define, literalmente, como «un número queindica una relación o proporción». Se refiere a la proposición que fue hecha por Napier en su "teorema fundamental",que establece que la diferencia de dos logaritmos determina la relación de los números a los cuales corresponden, demanera que una progresión aritmética de logaritmos corresponde a una progresión geométrica de números. Eltérmino antilogaritmo fue introducido a finales de siglo XVII y, aunque nunca se utilizó ampliamente enmatemáticas, perduró en muchas tablas, hasta que cayó en desuso.

Logaritmo 23

Definición analítica

En la imagen se puede ver la representacióngráfica del logaritmo neperiano, como también larepresentación de las rectas tangentes a la función

en x = e (Te) y en x = 1 (T1).

Podemos introducir la función logarítmica como una función analíticaque es de hecho la función primitiva de otra función analítica bienconocida. Para definir de esa manera el logaritmo empezamos conalgunas observaciones:

1. La derivada de la función es . Al dividir ambos lados de la expresión entre "n" yobservar el resultado, se puede afirmar que una primitiva de es (con ).

2. Este cálculo obviamente no es válido cuando , porque no se puede dividir por cero. Por lo tanto, lafunción inversa es la única función "potencia" que no tiene una primitiva "potencia".

3. Sin embargo, la función es continua sobre el rango lo que implica que tiene forzosamente unaprimitiva en este intervalo, y también sobre .

A la función analítica cuya existencia se deduce de las observaciones anteriores la llamaremos función logaritmo, yla definiremos convencionalmente como:

Propiedades de la función logarítmica

1. El dominio de la función definida anteriormente es el conjunto de los números reales positivos.2. es estrictamente creciente pues su derivada es estrictamente positiva.3. Tiene límites infinitos en y en .4. La tangente que pasa por el punto de abscisa e de la curva, pasa también por el origen.5. La tangente que pasa por el punto de abscisa 1 de la curva, tiene como ecuación: .6. La derivada de segundo orden es , siempre negativa, por lo tanto la función es cóncava, hacia

abajo, como la forma que tiene la letra "r" ( ), es decir que todas las tangentes pasan por encima de la curva.Es lo que se constata con y .

7. La función logaritmo neperiano es la inversa de la función exponencial: .

Propiedades generales1. Los números negativos no tienen logaritmo en el campo de los reales, ya que cualquiera sea u, es siempre

(o ) y en consecuencia no hay ningún valor de u que pueda satisfacer cuando , sin embargo, se pueden calcular logaritmos de números negativos recurriendo a la fórmula de Euler.

2. El logaritmo de su base es 1. Así ya que .3. El logaritmo de 1 es cero (independientemente de la base). Así ya que .4. Si 0<A<1 entonces es un logaritmo negativo. Es lógico ya que el logaritmo de 1 es cero, entonces los

menores que uno serán negativos por ser la función logarítmica estrictamente creciente.5. Las potencias consecutivas de una base forman una progresión geométrica y la de los exponentes una progresión

aritmética. Así las potencias de 2 son 1,2,4,8,16...etc y sus exponentes serán 0, 1, 2, 3, 4... etc ya que ,

Logaritmo 24

, , , y etc. Luego , , , y etc.

Logaritmos decimalesLos logaritmos decimales tienen, en general, una parte entera y una parte fraccionaria.• Se denomina característica a la parte entera del logaritmo.• Se denomina mantisa a la parte fraccionaria (que puede ser cero).

1. La característica de un número comprendido entre 1 y 10 (excluido este) es cero. Es lógico ya que y entonces los números comprendidos entre 1 y otro menor que 10 serán decimales, con entero 0,que es su característica.

2. La característica de los números superiores o iguales a 10 será un número igual a la cantidad de cifras menos 1del mencionado número. Así para 10, 20 o 30 su característica es 1; la de 150 es 2, etc.

3. La característica y mantisa de los logaritmos superiores a 1 será positiva.4. La característica de los logaritmos entre 0 y 1 será negativa y su mantisa positiva.Los logaritmos negativos se escriben en forma decimal con la característica subrayada seguido de la mantisa. Si unlogaritmo negativo lo ponemos (–C,mantisa) indicaríamos que la mantisa es negativa; por eso se indica un líneahorizontal encima de la característica, indicando que esta se tiene que restar y la mantisa sumar.

ExtensionesEs posible extender el concepto de logaritmo más allá de los reales positivos.

Números reales

Para enteros b y x, el número es irracional (no puede representarse como el cociente de dos enteros) si b o xtienen un factor primo que el otro no tiene.El logaritmo natural de un número real positivo está bien definido y es un número real. Sin embargo, generalizar ellogaritmo natural a números reales negativos sólo puede hacerse introduciendo números complejos.Sin embargo, al igual que sucede el logaritmo de números complejos la elección de logaritmo de un número negativono es única, aunque la elección hecha es la más frecuentemente usada para extender el logaritmo a números realesnegativos.

Números complejosEl logaritmo natural de un número complejo z es otro número complejo b = ln(z) que sea solución de la ecuación:

(*) La ecuación anterior no tiene solución única. De hecho, tiene un número infinito de soluciones, aunque todas ellasson fáciles de encontrar. Dado un número complejo z escrito en forma polar, una solución posible de la ecuación (*)es b0:

Puede comprobarse que ésta no es la única solución, sino que para cualquier valor resulta que el númerocomplejo bk, definido a continuación, también es solución:

De hecho cada valor particular de k define una superficie de Riemann.

Logaritmo 25

Logaritmo en base imaginariaUn logaritmo en base imaginaria es un logaritmo que tiene como base i (la unidad imaginaria). Este tipo delogaritmos se puede resolver fácilmente con la fórmula:

Dónde z es cualquier número complejo excepto 0. Sin embargo, cabe señalar que la fórmula anterior sólo es una delas posibles soluciones ya que la ecuación:

admite no sólo la solución dada anteriormente sino que cualquier x de la forma:

también es solución.

MatricesUna matriz B es logaritmo de una matriz dada A si la exponenciación de B es A:

A diferencia de la exponenciación de matrices, el logaritmo de una matriz real puede no estar definido siempre.En el caso de una matriz diagonalizable es necesario que logaritmo esté definido para todos y cada uno de losautovalores o valores propios de la matriz. En ese caso el logaritmo de la matriz está definido y es una matriz real.Si el logaritmo no está definido sobre el espectro o conjunto de autovalores, aún así es posible definir una matrizlogaritmo (en forma similar a como se definen los logaritmos de números negativos o complejos), aunque no resultaúnica.En el caso de una matriz no diagonalizable, este proceso es más complicado, ya que requiere encontrar primero suforma canónica de Jordan.

Véase también• Neper• Número e• Logaritmo binario• Logaritmo neperiano• Exponenciación• pH• Decibelio (dB) unidad logarítmica para expresar la relación entre dos magnitudes, acústicas o eléctricas.• Los logaritmos son utilizados en la escala sismológica de Richter.

Logaritmo 26

Referencias[1] J J O'Connor and E F Robertson (2001-09). « The number e (http:/ / www-history. mcs. st-and. ac. uk/ HistTopics/ e. html)». The MacTutor

History of Mathematics archive. Consultado el 02-02-2009.[2] Weisstein, Eric W., « Logaritmo (http:/ / mathworld. wolfram. com/ http:/ / mathworld. wolfram. com/ Logarithm. html. html)» (en inglés),

MathWorld, Wolfram Research, .

Bibliografía• Dalmáu Carles, J.. Aritmética razonada.• Marcos, C., y J. Martínez. Matemáticas.• González Aguilar. Matemáticas.• Chávez Reyes, Carmen y León Quintanar, Adriana. La Biblia de las Matemáticas.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre LogaritmoCommons.• Weisstein, Eric W., « Logaritmo (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Logarithm. html)» (en inglés), MathWorld,

Wolfram Research.• Historia de los logaritmos por Francisco Javier Tapia Moreno (http:/ / www. mat. uson. mx/ depto/ publicaciones/

apuntes/ pdf/ 2-2-1-logaritmos. pdf)• Proyecto MaTeX: Logaritmos (formato PDF, 58 páginas). (http:/ / personales. unican. es/ gonzaleof/ Sociales_1/

ExpoLog. pdf)

EcuaciónUna ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las queaparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas.Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud se hayaestablecido como resultado de otras operaciones. Las incógnitas, representadas generalmente por letras, constituyenlos valores que se pretende hallar. Por ejemplo, en la ecuación:

La letra x representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 son constantes conocidas.Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de todos los valores de las incógnitaspara los cuales la igualdad se cumple; y se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichasvariables que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:

Todo problema matemático puede expresarse en forma de una o más ecuaciones. Sin embargo no todas lasecuaciones tienen solución, ya que es posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdaddada. También puede ocurrir que haya varios o incluso infinitos conjuntos de valores que la satisfagan.En el caso de que todo valor posible de la incógnita haga cumplir la igualdad, la expresión se llama identidad. Si enlugar de una igualdad se trata de una desigualdad entre dos expresiones matemáticas, se denominará inecuación.

Ecuación 27

Definición generalDada una aplicación y un elemento del conjunto , resolver una ecuación consiste en encontrartodos los elementos que verifican la expresión: . Al elemento se le llama incógnita. Unasolución de la ecuación es cualquier elemento que verifique .El estudio de las ecuaciones depende de las características de los conjuntos y la aplicación; por ejemplo, en el casode las ecuaciones diferenciales, los elementos del conjunto son funciones y la aplicación debe incluir algunade las derivadas del argumento. En las ecuaciones matriciales, la incógnita es una matriz.La definición que hemos dado incluye las ecuaciones de la forma , pues, si es un grupo basta condefinir la aplicación y la ecuación se transforma en .

Conjunto de soluciones

Dada la ecuación , el conjunto de soluciones de la ecuación viene dado por , donde es la imagen inversa de . Si es el conjunto vacío, la ecuación no tiene solución. Hay otras dos posibilidades:

puede tener un sólo elemento, en cuyo caso la ecuación tiene solución única; si tiene más de un elemento,todos ellos son soluciones de la ecuación.En la teoría de ecuaciones diferenciales, no se trata sólo de averiguar la expresión explícita de las soluciones, sinodeterminar si una ecuación determinada tiene solución y esta es única. Otro caso en los que se investiga la existenciay unicidad de soluciones es en los sistemas de ecuaciones lineales.

Casos particulares

Una ecuación diofántica es aquella cuya solución sólo puede ser un número entero, es decir, en este caso .Una ecuación funcional es aquella en la que algunas de las constantes y variables que intervienen no son realmentenúmeros sino funciones; y si en la ecuación aparece algún operador diferencial se llama ecuación diferencial.Cuando es un cuerpo y un polinomio, hablamos de ecuación algebraica.En un sistema de ecuaciones lineales, el conjunto es un conjunto de vectores reales y la función es un operadorlineal.

Existencia de solucionesEn muchos casos -por ejemplo en las ecuaciones diferenciales-, una de las cuestiones más importantes es determinarsi existe alguna solución, es decir demostrar que el conjunto de soluciones no es el conjunto vacío. Uno de losmétodos más corrientes para lograrlo consiste en aprovechar que el conjunto tiene alguna topología. No es elúnico: en los sistemas de ecuaciones reales, se recurre a técnicas algebraicas para averiguar si el sistema tienesolución. No obstante, el álgebra parece que carece de recursos siquiera para asegurar la existencia de soluciones enlas ecuaciones algebraicas: para asegurar que toda ecuación algebraica con coeficientes complejos tiene una soluciónhay que recurrir al análisis complejo y, por lo tanto, a la topología.

Ecuación 28

Tipos de ecuacionesLas ecuaciones pueden clasificarse según el tipo de operaciones necesarias para definirlas y según el conjunto denúmeros sobre el que se busca la solución. Entre los tipos más frecuentes están:• Ecuaciones algebraicas

• Polinómicas o polinomiales• De primer grado o lineales• De segundo grado o cuadráticas• Racionales, aquellas en las que uno o ambos miembros se expresan como un cociente de polinimios• Trascendentes, cuando involucran funciones no polinómicas, como las trigonométricas, exponenciales, etc.• Diofánticas o diofantinas

• Ecuaciones diferenciales• Ordinarias• En derivadas parciales

• Ecuaciones integrales

Ecuación polinómicaUna ecuación polinómica o poliniomial es una igualdad entre dos polinomios. Por ejemplo:

Forma canónicaRealizando una misma serie de transformaciones en ambos miembros de una ecuación, puede conseguirse que unode ellos se reduzca a cero. Si además se ordenan los términos según los exponentes a los que se encuentran elevadaslas incógnitas, de mayor a menor, se obtiene una expresión denominada forma canónica de la ecuación.Frecuentemente suele estudiarse a las ecuaciones polinómicas a partir de su forma canónica, es decir aquella cuyoprimer miembro es un polinomio y cuyo segundo miembro es cero.En el ejemplo dado, sumando 2xy y restando 5 en ambos miembros, y luego ordenando, obtenemos:

GradoSe denomina grado de una ecuación polinomial al mayor exponente al que se encuentran elevadas las incógnitas. Porejemplo

Es una ecuación de tercer grado porque la variable x se encuentra elevada al cubo en el mayor de los casos.Las ecuaciones polinómicas de grado n de una sola variable sobre los números reales o complejos, pueden resolversepor el método de los radicales cuando n < 5 (ya que en esos casos el grupo de Galois asociado a las raíces de laecuación es soluble). La solución de la ecuación de segundo grado es conocida desde la antigüedad; las ecuacionesde tercer y cuarto grado se conocen desde los siglos XV y XVI, y usan el método de radicales. La solución de laecuación de quinto grado no puede hacerse mediante el método de radicales, aunque puede escribirse en términos dela función theta de Jacobi.

Ecuación 29

Ecuación de primer gradoSe dice que una ecuación polinomial es de primer grado cuando la variable (aquí representada por la letra x) no estáelevada a ninguna potencia, es decir que su exponente es 1.Las ecuaciones de primer grado tienen la forma canónica:

con a diferente de cero.

Su solución es sencilla:

Resolución de ecuaciones de primer gradoLas ecuaciones polinómicas de primer grado se resuelven en tres pasos: transposición, simplificación y despeje,desarrollados a continuación mediante un ejemplo.Dada la ecuación:

Transposición

Primero se agrupan todos los monomios que incluyen la incógnita x en uno de los miembros de la ecuación,normalmente en el izquierdo; y todos los términos independientes (los que no tienen x) en el otro miembro. Podemoshacerlo teniendo en cuenta que:

Si sumamos o restamos un mismo monomio en los dos miembros, la igualdad no varía.

En términos coloquiales, decimos: si un término está sumando (como 16x en el miembro de la derecha) pasa al otrolado restando (−16x a la izquierda); y si está restando (como el −9 de la izquierda), pasa al otro lado sumando (+9 ala derecha)La ecuación quedará entonces así:

Como puede verse, todos los términos que poseen la variable x han quedado en el primer miembro (a la izquierda delsigno igual), y los que no la poseen, por ser sólo constantes numéricas, han quedado a la derecha.

Simplificación

El siguiente paso es convertir la ecuación en otra equivalente más simple y corta.

Realizamos la simplificación del primer miembro: Y simplificamos el segundo miembro: La ecuación simplificada será:

Ecuación 30

Despeje

Ahora es cuando llegamos al objetivo final: que la incógnita quede aislada en un miembro de la igualdad. Para locual recordamos que:

Si multiplicamos o dividimos ambos miembros por un mismo número, la igualdad no varía.

En términos coloquiales: Para despejar la x, si un número la está multiplicando (Ej: 5x) se lo pasa al otro ladodividiendo (n/5) sin cambiar su signo. Y si un número la está dividiendo (Ej: x/2), entonces se lo pasa al otro ladomultiplicando (n×2) sin cambiar su signo.En la ecuación debemos entonces pasar el número 95 al otro miembro y, como estaba multiplicando, lo harádividiendo, sin cambiar de signo:

El ejercicio está teóricamente resuelto, ya que tenemos una igualdad en la que x equivale al número 525/95. Sinembargo, debemos simplificar.Resolvemos la fracción (numerador dividido entre denominador) en caso de que el resultado diera exacto; si dieradecimal, simplificamos la fracción y ése es el resultado.En la ecuación, vemos que el resultado de la fracción es decimal (525:95 = 5,5263157894737)Por tanto, simplificando, la solución es:

Ejemplo de problemaPongamos el siguiente problema: el número de canicas que tengo, más tres, es igual al doble de las canicas quetengo, menos dos. ¿Cuántas canicas tengo? El primer paso para resolver este problema es expresar el enunciadocomo una ecuación:

Donde x es la incógnita: ¿cuántas canicas tengo?La ecuación se podría leer así: El número de canicas que tengo, más tres que me dan, es igual al doble de miscanicas, quitándome dos.El enunciado está expresado, pero no podemos ver claramente cuál es el valor de x; para ello se sigue esteprocedimiento: Primero se pasan todos los términos que dependen de x al primer miembro y los términosindependientes al segundo. Para ello tenemos en cuenta que cualquier término que se cambia de miembro cambiatambién de signo. Así obtenemos:

Que, simplificado, resulta:

Esta expresión nos lleva a una regla muy importante del álgebra, que dice que si modificamos igualmente ambosmiembros de una ecuación, el resultado es el mismo. Esto significa que podemos sumar, restar, multiplicar, dividir,elevar y radicar los dos miembros de la ecuación por el mismo número, sin que ésta sufra cambios. En este caso, simultiplicamos ambos miembros por -1 obtendremos:

El problema está resuelto.

Ecuación 31

Ecuación de segundo gradoLas ecuaciones polinómicas de segundo grado tienen la forma canónica

Donde a es el coeficiente del término cuadrático (aquel en que la incógnita está elevada a la potencia 2), b es elcoeficiente del término lineal (el que tiene la incógnita sin exponentes, o sea que está elevada a la potencia 1), y c esel término independiente (el que no depende de la variable, o sea que está compuesto sólo por constantes o números)Todas las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones, las cuales pueden coincidir.

Operaciones admisibles en una ecuaciónFrecuentemente en el tratamiento de ecuaciones con números reales o complejos es necesario simplificar, reagruparo cambiar de forma la ecuación para poder resolverla más fácilmente. Se conoce que bajo ciertas operaciones el semantiene la igualdad y el conjunto de soluciones no cambia aunque la forma de la ecuación sea diferente. Entre lasoperaciones de álgebra elemental que no alteran el conjunto de soluciones están están:1. Sumar cualquier número a ambos lados de la ecuación.2. Restar cualquier número a ambos lados de la ecuación.3. Dividir entre un número real diferente de cero ambos lados de la ecuación.4. Multiplicar por cualquier número ambos lados de la ecuación.5. Si f inyectiva se puede aplicar a cada uno de los dos miembros de la ecuación.Otras dos operaciones respetan la igualdad pero pueden alterar el conjunto de soluciones:1. Simplificar dividiendo factores comunes presentes en ambos lados de una ecuación. Si estos factores contienen

no sólo números sino también variables esta operación debe aplicarse con cuidado porque el conjunto desoluciones puede verse reducido. Por ejemplo, la ecuación y·x = x tiene dos soluciones: y = 1 and x = 0. Si sedividen ambos lados entre "x" para simplifcarla se obtiene la ecuación y = 1, pero la segunda solución se haperdido.

2. Si se aplica una función no inyectiva a ambos lados de una ecuación, la ecuación resultante puede no tener unconjunto de soluciones más grande que la original.

Tipos de ecuación algebraicaUna ecuación algebraica en x contiene solo expresiones algebraicas, como polinomios, expresiones racionales,radicales y otras. Una ecuación de este tipo se llama ecuación condicional si hay números en los dominios de lasexpresiones que no sean soluciones; por ejemplo, x^2= 9 es condicional porque el número x=4 (y otros) no es unasolución. Si todo número de los dominios de las expresiones de una ecuación algebraica es una solución, la ecuaciónse llama identidad.

Véase también• Ecuación lineal• Ecuación de segundo grado• Ecuación de tercer grado• Ecuación de cuarto grado• Ecuación de quinto grado• Ecuaciones con radicales• Ecuación química• Sistema de ecuaciones• Álgebra elemental

Ecuación 32

• Teorema fundamental del álgebra

Enlaces externos• Ecuaciones de primer grado [1]

• Ecuaciones de segundo grado [2]

• La ecuación de primer grado, en descartes.cnice.mec.es [3]

Referencias[1] http:/ / www. ematematicas. net/ ecuacion. php?a=1[2] http:/ / www. ematematicas. net/ ecsegundogrado. php?a=1[3] http:/ / descartes. cnice. mec. es/ materiales_didacticos/ Ecuaciones_primer_grado_resolucion_problemas/ ecuacion1. htm

Ecuación de primer grado

Ejemplo gráfico de ecuaciones lineales.

Una ecuación de primer grado o ecuación lineal esun planteamiento de igualdad, involucrando una o másvariables a la primera potencia, que no contieneproductos entre las variables, es decir, una ecuaciónque involucra solamente sumas y restas de unavariable a la primera potencia. En el sistemacartesiano representan rectas. Una forma común deecuaciones lineales es:

Donde representa la pendiente y el valor de determina la ordenada al origen (el punto donde la recta corta aleje y).Las ecuaciones en las que aparece el término (llamado rectangular y son consideradas lineales.Algunos ejemplos de ecuaciones lineales:

Ecuación de primer grado 33

Formas de ecuaciones linealesFormas complejas como las anteriores pueden reescribirse usando las reglas del álgebra elemental en formas mássimples. Las letras mayúsculas representan constantes, mientras x e y son variables.Ecuación general

Aquí A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible encontrar los valores donde xe y se anulan.

• Ecuación segmentaria o simétrica

Aquí ni E ni F no pueden ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y en E y Frespectivamente.

• Forma paramétrica

1.2.

Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultanea, cada una en la variable t. Puede convertirse a laforma general despejando t en ambas ecuaciones e igualando.

• Casos especiales:

Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es una línea horizontal sinintersección con el eje X ó (si F = 0) coincidente con el ese eje.

Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es una línea vertical,interceptando el eje X en E.

En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que es verdadera en todos los casos.La forma original (no una tan trivial como la del ejemplo), es llamada identidad. El gráfico es todo el planocartesiano, ya que lo satisface todo par de números reales x e y.

Nótese que si la manipulación algebraica lleva a una ecuación como 1 = 0 entonces la original es llamadainconsistente, o sea que no se cumple para ningún par de números x e y. Un ejemplo podría ser: .Adicionalmente podría haber más de dos variables, en ecuaciones simultaneas. Para más información véa: Sistemalineal de ecuaciones

Ecuación de primer grado 34

Ecuación lineal en el espacio n-dimensionalLas funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal dedos variables de la forma

representa un plano y una función

representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones en un volumen n-dimensional.

Sistemas de ecuaciones linealesLos sistemas de ecuaciones lineales expresan varias ecuaciones lineales simultáneamente y admiten un tratamientomatricial. Para su resolución debe haber tantas ecuaciones como incógnitas y el determinante de la matriz ha de serreal y no nulo. Geométricamente corresponden a intersecciones de líneas en un único punto (Sistema lineal de dosecuaciones con dos incógnitas), planos en una recta (dos ecuaciones lineales de tres incógnitas) o un único punto(tres ecuaciones lineales de tres incógnitas). Los casos en los que el determinante de la matriz es nulo no poseensolución.

LinealidadUna función definida sobre un espacio vectorial es lineal si y solo si se cumple con la siguiente proposición:

donde a es cualquier escalar. También se llama a f operador lineal

Véase también• Función lineal• Ecuación de segundo grado• Transformación lineal de intervalos

Sistema de ecuaciones lineales 35

Sistema de ecuaciones linealesEn matemáticas y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal deecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anilloconmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tresecuaciones.El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidadde aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, análisis estructural, estimación, predicción y másgeneralmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.

IntroducciónEn general, un sistema con m ecuaciones lineales y n incógnitas puede ser escrito en forma ordinaria como:

Donde son las incógnitas y los números son los coeficientes del sistema sobre el cuerpo. Es posible reescribir el sistema separando con coeficientes con notación matricial:

(1)

Si representamos cada matriz con una única letra obtenemos:

Donde A es una matriz m por n, x es un vector columna de longitud n y b es otro vector columna de longitud m. Elsistema de eliminación de Gauss-Jordan se aplica a este tipo de sistemas, sea cual sea el cuerpo del que provenganlos coeficientes.

Sistema de ecuaciones lineales 36

Sistemas lineales realesEn esta sección se analizan las propiedades de los sistemas de ecuaciones lineales sobre el cuerpo , es decir, lossistemas lineales en los coeficientes de las ecuaciones son números reales.

Representación gráfica

La intersección de dos planos que no sonparalelos ni coincidentes es una recta.

Un sistema con incógnitas se puede representar en el n-espaciocorrespondiente.

En los sistemas con 2 incógnitas, el universo de nuestro sistema será elplano bidimensional, mientras que cada una de las ecuaciones serárepresentada por una recta, si es lineal, o por una curva, si no lo es. Lasolución será el punto (o línea) donde se intersequen todas las rectas ycurvas que representan a las ecuaciones. Si no existe ningún punto enel que se intersequen al mismo tiempo todas las líneas, el sistema esincompatible, o lo que es lo mismo, no tiene solución.

En el caso de un sistema con 3 incógnitas, el universo será el espaciotridimensional, siendo cada ecuación un plano dentro del mismo. Sitodos los planos intersecan en un único punto, las coordenadas de ésteserán la solución al sistema. Si, por el contrario, la intersección detodos ellos es una recta o incluso un plano, el sistema tendrá infinitassoluciones, que serán las coordenadas de los puntos que forman dichalínea o superficie.Para sistemas de 4 ó más incógnitas, la representación gráfica no existe, por lo que dichos problemas no se enfocandesde esta óptica.

Tipos de sistemasLos sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdocon ese caso se pueden presentar los siguientes casos:• Sistema incompatible si no tiene ninguna solución.• Sistema compatible si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:

• Sistema compatible determinado cuando tiene un número finito de soluciones.• Sistema compatible indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.

Quedando así la clasificación:

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse.Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en unúnico punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo deuna recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemascompatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

Sistema de ecuaciones lineales 37

Sistemas compatibles indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Porejemplo, el siguiente sistema:

Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es y que pasa por elpunto , por lo que ambas intersecan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por habersolución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.• En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática

del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallarcomo combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.

• Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matrizdel sistema sea cero (y por tanto uno de sus autovalores será 0):

• De hecho, de las dos condiciones anteriores se desprende, que el conjunto de soluciones de un sistema compatibleindeterminado es un subespacio vectorial. Y la dimensión de ese espacio vectorial coincidirá con la multiplicidadgeométrica del autovalor cero.

Sistemas incompatibles

De un sistema se dice que es incompatible cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, supongamos elsiguiente sistema:

Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no secortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.Matemáticamente un sistema de estos es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rangode la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistemasea cero:

Métodos de solución a sistemas de ecuaciones lineales

Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la quetenga menor coeficiente, para, a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todaslas ecuaciones excepto en la que la hemos despejado. En ese instante, tendremos un sistema con una ecuación y unaincógnita menos que el inicial, en el que podemos seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo,supongamos que queremos resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, seleccionamos la incógnita por ser la de menor coeficiente y que posiblemente nosfacilite más las operaciones, y la despejamos, obteniendo la siguiente ecuación.

Sistema de ecuaciones lineales 38

El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita en la otra ecuación, para así obtener una ecuacióndonde la única incógnita sea la .

Al resolver la ecuación obtenemos el resultado , y si ahora sustituimos esta incógnita por su valor en algunade las ecuaciones originales obtendremos , con lo que el sistema queda ya resuelto.

Igualación

El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja lamisma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, si despejamos la incógnita enambas ecuaciones nos queda de la siguiente manera:

Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que podemos afirmar que laspartes derechas también son iguales entre sí.

Una vez obtenido el valor de la incógnita , se substituye su valor en una de las ecuaciones originales, y se obtieneel valor de la .La forma más fácil de tener el método de sustitución es realizando un cambio para despejar x después de averiguar elvalor de la y.

Reducción

Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza pararesolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste entransformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtengamos dos ecuacionesen la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambasecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con unasola incógnita, donde el método de resolución es simple.Por ejemplo, en el sistema:

no tenemos más que multiplicar la primera ecuación por para poder cancelar la incógnita . Al multiplicar,dicha ecuación nos queda así:

Si sumamos esta ecuación a la segunda del sistema original, obtenemos una nueva ecuación donde la incógnita hasido reducida y que, en este caso, nos da directamente el valor de la incógnita :

El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones dondeaparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de es igual a:

Sistema de ecuaciones lineales 39

Método de Gauss

La eliminación de Gauss-Jordan, más conocida como método de Gauss, es un método aplicable únicamente a lossistemas lineales de ecuaciones, y consistente en triangular la matriz aumentada del sistema mediantetransformaciones elementales, hasta obtener ecuaciones de una sola incógnita, cuyo valor será igual al coeficientesituado en la misma fila de la matriz. Este procedimiento es similar al anterior de reducción, pero ejecutado demanera reiterada y siguiendo un cierto orden algorítmico.El Método de Gauss consiste en convertir un sistema normal de 3 ecuaciones con 3 incognitas en uno escalonado, enla que la primera ecuación tiene 3 incógnitas, la segunda ecuación tiene 2 incógnitas, y la tercera ecuación tiene 1incógnita. De esta forma será fácil a partir de la última ecuación y subiendo, calcular el valor de las tres incógnitas.

En primer lugar, reducimos la incógnita , sumando a la segunda fila, la primera multiplicada por , y a la tercera,

la primera fila. La matriz queda así:

El siguiente paso consiste en eliminar la incógnita en la primera y tercera fila, para lo cual les sumamos lasegunda multiplicada por y por , respectivamente.

Por último, eliminamos la , tanto de la primera como de la segunda fila, sumándoles la tercera multiplicada pory por , respectivamente:

Llegados a este punto podemos resolver directamente las ecuaciones que se nos plantean:

O, si lo preferimos, podemos multiplicar las tres filas de la matriz por: , y respectivamente, y obtener así

automáticamente los valores de las incógnitas en la última columna.

Pongamos un ejemplo del calculo de un sistema de ecuaciones por el método de Gauss:Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños. Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeresexceden en 20 el doble de los niños. Tambien se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número deniños. Plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

Sistema de ecuaciones lineales 40

• Se reúnen 30 personas entre hombres, mujeres y niños:

• Se sabe que entre los hombres y el triple de mujeres exceden en 20 el doble de los niños:

• Tambien se sabe que entre hombres y mujeres se duplican al número de niños:

Agrupando las tres ecuaciones tenemos el sistema, que ordenado resulta:

Aplicamos Gauss, restando la primera ecuación a las dos siguientes:

En este caso en la tercera ecuación se ha eliminado la y, por lo que no es necesario hacer mas operaciones. Por lotanto obtenemos que z = 10 de la tercera ecuación:

Sustituyendo z en la segunda ecuación obtenemos que y = 10:

Sustituyendo z é y en la primera ecuación obtenemos x = 10.

Con lo que hemos obtenido el resultado del sistema:

Regla de Cramer

La regla de Cramer da una solución para sistemas compatibles determinados en términos de determinantes yadjuntos dada por:

Donde Aj es la matriz resultante de remplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Para un sistema dedos ecuaciones y dos incógnitas:

La regla de Cramer da la siguiente solución:

Sistema de ecuaciones lineales 41

Nota: Cuando en la determinante original det(A) el resultado es 0, el sistema indica múltiples o sin coincidencia.

Algoritmos numéricos

La eliminación de Gauss-Jordan es un algoritmo numérico usado para una gran cantidad de casos específicos,aunque posterioremnte se han desarrollado algoritmos alternativos mucho más eficientes. La mayoría de estosalgoritmos mejorados tienen una complejidad computacional de O(n²) (donde n es el número de ecuaciones delsistema). Algunos de los métodos más usados son:• Para los problemas de la forma Ax = b, donde A es una matriz de Toeplitz simétrica, se puede utilizar la recursión

de Levinson o alguno de los métodos derivados de éste. Un método derivado de la recursión de Levinson es larecursión de Schur, que es ampliamente usado en el campo del procesamiento digital de señales.

• Para los problemas de la forma Ax = b, donde A es una matriz singular o casi singular, la matriz A se descomponeen el producto de tres matrices en un proceso llamado descomposición de valores singulares.

Cuando consideramos ecuaciones lineales cuyas soluciones son números racionales, reales o complejos o másgeneralmente un cuerpo , la solución puede encontrarse mediante Regla de Cramer. Para sistemas de muchasecuaciones la regla de Cramer puede ser computacionalmente más costosa y suelen usarse otros métodos más"económicos" en número de operaciones como la eliminación de Gauss-Jordan y la descomposición de Cholesky.Existen también métodos indirectos (basados en iteraciones) como el método de Gauss-Seidel.Si el cuerpo es infinito (como es el caso de los números reales o complejos), entonces solo puede darse una de lastres siguientes situaciones:• el sistema no tiene solución (en dicho caso decimos que el sistema está sobredeterminado o que es incompatible)• el sistema tiene una única solución (el sistema es compatible determinado)• el sistema tiene un número infinito de soluciones (el sistema es compatible indeterminado).

Solución de sistemas lineales en un anilloLos métodos para resolver el sistema (1) sobre un anillo son muy diferentes a los considerados anteriormente. Dehecho la mayoría de métodos usados en cuerpos, como la regla de Cramer, son inaplicables en anillos debido a queno existen inversos multiplicativos.La existencia de solución del sistema (1) sobre los enteros requiere varias condiciones:

1. Para cada i es divisor de .2. Si la condición anterior se cumple para un determinado i existe un conjunto de enteros formado por el

conjunto de enteros que satisface la i-ésima ecuación, y existirá solución si la intersección .

Sistema de ecuaciones lineales 42

Véase también• Sistema de ecuaciones• Sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas

Enlaces externos• Solucionador descriptivo de ecuaciones lineales [1]

• Resolver o Reducir Matrices Online [2]

• Solucionador de sistemas lineales [3]

• Ecuaciones Lineales en Matlab Central, compilación de algoritmos para resolver ecuaciones lineales en[[MATLAB [4]]]

• Calculadora Sistema de ecuaciones lineales [5]

Referencias[1] http:/ / sole. ooz. ie/ es[2] http:/ / www. resolvermatrices. com. ar[3] http:/ / wims. unice. fr/ wims/ wims. cgi?lang=es& module=tool/ linear/ linsolver. es[4] http:/ / www. mathworks. com/ matlabcentral/ fileexchange/ 27344-programa-para-resolver-sistemas-de-ecuaciones-version-es-espaniol[5] http:/ / www. stud. feec. vutbr. cz/ ~xvapen02/ vypocty/ linrov. php?language=espanol

Ecuación de segundo grado

Los puntos comunes de una parábola con el eje X(recta y=o), si los hubiese, son las soluciones

reales de la ecuación cuadrática.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, es unaecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos.Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece unaincógnita y que se expresa en la forma canónica:

donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto del numero 0, b el coeficiente lineal ode primer grado y c es el término independiente.Expresada del modo más general, una ecuación cuadrática en es de la forma:

Ecuación de segundo grado 43

con n un número natural y a distinto de cero. El caso particular de esta ecuación donde n = 2 se conoce comoecuación bicuadrática.La ecuación cuadrática es de gran importancia en diversos campos, ya que junto con las ecuaciones lineales,permiten modelar un gran número de relaciones y leyes.

HistoriaLa ecuación de segundo grado y la solución tiene origen antiguo. Se conocieron algoritmos para resolverla enBabilonia.En Grecia fue desarrollada por el matemático Diofanto de Alejandría.La solución de las ecuaciones de segundo grado fue introducida en Europa por el matemático judeoespañol Abrahambar Hiyya, en su Liber embadorum.

ClasificaciónLa ecuación de segundo grado se clasifica de la siguiente manera:[cita requerida]

1.- Completa: Tiene la forma canónica:

donde los tres coeficientes a, b y c son distintos de cero.Esta ecuación admite tres maneras para las soluciones: dos números reales y diferentes, dos números reales e iguales(un número real doble), o dos números complejos conjugados, dependiendo del valor que tome el discriminante

ya sea positivo, cero o negativo, respectivamente.Se resuelven por factorización, por el método de completar el cuadrado o por fórmula general. La fórmula general sededuce más adelante.2.- Incompleta pura: Es de la forma:

donde los valores de a y de c son distintos de cero. Se resuelve despejando x con operaciones inversas y su soluciónson dos raíces reales que difieren en el signo si los valores de a y c tienen signo contrario o bien dos númerosimaginarios puros que difieren en el signo si los valores de a y c tienen el mismo signo. Una ecuación cuadráticaincompleta de la forma:

con a distinto de cero, muy rara vez aparece en la práctica y su única solución de multiplicidad dos es, por supuesto,x = 03.- Incompleta mixta: Es de la forma:

donde los valores de a y de b son distintos al numero cero. Se resuelve por factorización de x y siempre tiene lasolución trivial x1 = 0. No tiene solución en números imaginarios.

Ecuación de segundo grado 44

Solución general de la ecuación de segundo grado

La ecuación completa de segundo grado tiene siempre dos soluciones, nonecesariamente distintas, llamadas raíces, que pueden ser reales o complejas,dadas por la fórmula general:

,

donde el símbolo "±" indica que los dos valores

y

son soluciones. Es interesante observar que esta fórmula tiene las seis operaciones racionales del álgebra elemental.Si observamos el discriminante (la expresión dentro de la raíz cuadrada):

podremos saber el número y naturaleza de las soluciones:1. Dos soluciones reales y diferentes si el discriminante es positivo (la parábola cruza dos veces el eje x);2. Una solución real doble, dicho de otro modo, de multiplicidad dos, si el discriminante es cero (la parábola sólo

toca en un punto al eje x);3. Dos números complejos conjugados si el discriminante es negativo (la parábola y el eje x no se cruzan).

Deducción de la fórmula generalRelacionando la ecuación de segundo grado con un polinomio de segundo grado y las raíces del mismo (a su vezraíces de una función cuadrática), podemos resolver la ecuación algebraicamente y obtener la fórmula de dichaecuación.Sea dada la ecuación:

donde para garantizar que sea realmente una ecuación polinómica de segundo grado.Como a es distinto de cero, podemos dividir entre a cada término de la ecuación:

Restamos el valor del término independiente en ambos miembros de la igualdad:

Para completar el trinomio cuadrado perfecto (TCP), o más brevemente, para completar el cuadrado en el miembro

izquierdo, se suma el cuadrado de la mitad del coeficiente lineal, por lo que sumamos en ambos miembros

de la ecuación:

Ecuación de segundo grado 45

Factorizamos el TCP del lado izquierdo y hacemos la operación indicada del derecho:

Hacemos la operación con fracciones en el miembro derecho:

Extraemos raíz cuadrada en ambos miembros:

Separamos las raíces de la fracción del lado derecho:

Simplificamos el radical del denominador del miembro derecho:

Despejamos la incógnita que buscamos:

Combinamos las fracciones con el mismo denominador del lado derecho y obtenemos la fórmula general:

Es trivial el orden en que se toman los valores de x; algunos autores prefieren colocar en primer término el valormenor de x, es decir, aquél en el cual va el signo negativo antes del radical. Antes de aplicar indiscriminadamente lafórmula general en la solución de ecuaciones de segundo grado particulares, se sugiere resolver cada ecuaciónempleando todos los pasos de la deducción cada vez para tener dominio del método de completar el cuadrado.

Deducción para resolver la ecuación de la forma

Esta forma de ecuación cuadrática se caracteriza por que el coeficiente del término en es 1.Estas ecuacionespueden resolverse por la fórmula general con solo suponer que a=1, pero existe para ellas una fórmula particular quevamos a deducir. Sin embargo, como se demostrará, es tan similar a la fórmula original que no significa un granahorro de tiempo respecto a la fórmula general.La ecuación es: Transponiendo n:

Sumando :

Descomponiendo el primer término el cual es un trinomio cuadrado perfecto:

Transponiendo :

Ecuación de segundo grado 46

Extrayendo la raíz cuadrada a los dos miembros:

Haciendo la relación con la fórmula general tenemos que:

la cual es prácticamente igual a la anteriormente deducida:

Teorema de Cardano-ViètePara toda ecuación cuadrática de la forma:

de raíces se cumplen los siguientes dos aspectos:Suma de raíces

Demostración

* Partiendo del uso de la fórmula resolvente

• Sumamos los numeradores, por ello las raíces desaparecen alser opuestas

• Simplificando nos queda

Producto de raíces

Demostración

* Partiendo del uso de la fórmula resolvente

• Realizando la multiplicación, por medio del producto de binomios conjugadosen el numerador:

• Resolviendo las potencias nos queda:

• Distribuyo el menos y sumo en el numerador

• Simplificando nos queda:

Además se puede hacer uso de la identidad de Legendre para obtener la diferencia de raíces.

Ecuación de segundo grado 47

Solución mediante cambio de variableUna manera sencilla de resolver una ecuación de segundo grado (y también de tercer y cuarto grado) es aplicar uncambio de variable. En el caso de la ecuación de segundo grado del tipo , el cambio de variablenecesario es del tipo .Aplicando el cambio de variable anterior, obtenemos la ecuación y desarrollándola queda (1).Ahora debemos reducir la ecuación obtenida a un caso conocido que sepamos resolver. Es evidente que lasecuaciones de segundo grado del tipo se resuelven de forma directa extrayendo la raíz cuadrada de ambostérminos y cuya solución general es del tipo .Para poder transformar nuestra ecuación (1) en una ecuación con el término de primer grado igual a cero, debemosforzar a que , es decir

Sustituyendo en (1) queda . (2)

Esta nueva ecuación está en la forma que era lo que pretendíamos lograr con el cambio de variable, y que,como ya se ha dicho, tiene una solución inmediata del tipo

Por tanto, despejando la variable en la ecuación (2), queda

Dado que , y que , obtenemos la solución de la ecuación original con variable en , que

es

El artificio de esta demostración, consiste, por tanto, en aplicar un cambio de variable que reduce la ecuación desegundo grado general a otra ecuación más sencilla y de solución inmediata.

Véase también• Ecuación• Sistema de ecuaciones• Ecuación de tercer grado• Ecuación de cuarto grado• Ecuación de quinto grado• Ecuaciones con radicales• Función cuadrática

Ecuación de segundo grado 48

Enlaces externosWikilibros• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Ecuación cuadrática.• Ecuaciones de segundo grado [2]

• La ecuación de segundo grado, en descartes.cnice.mec.es [1]

• Vídeo explicativo de la ecuación cuadrática [2]

• Calculadora Ecuación de segundo grado (english) [3]

Referencias[1] http:/ / descartes. cnice. mec. es/ materiales_didacticos/ Ecuacion_de_segundo_grado/ index. htm[2] http:/ / audiovisuales. uned. ac. cr/ mediateca/ videos/ 146/ ecuación-cuadrática-(ecuaciones-de-segundo-grado)[3] http:/ / www. stud. feec. vutbr. cz/ ~xvapen02/ vypocty/ kvadrov. php?language=english

Ecuaciones con radicalesLas ecuaciones con radicales son ecuaciones en las que al menos una de las incógnitas aparece dentro de una raíz.

Ejemplo:

Método de resolución1. Se aísla uno de los radicales en el primer miembro de la ecuación.2. Se elevan ambos miembros al mismo exponente (el índice del radical).3. Si el segundo miembro sigue conteniendo radicales, se repiten los pasos anteriores.4. Se resuelve la ecuación resultante.5. Se verifican las raíces obtenidas (por sustitución en la ecuación original) y se descartan las que no la cumplen.

Número complejo 49

Número complejo

Ilustración del plano complejo. Los númerosreales se encuentran en el eje de coordenadashorizontal y los imaginarios en el eje vertical.

El término número complejo describe la suma de un número real y unnúmero imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria,que se indica con la letra i). Los números complejos se utilizan entodos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (ynotoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmenteen la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad pararepresentar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, seconsideran como puntos del plano: el plano complejo. La propiedadmás importante que caracteriza a los números complejos es el teoremafundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraicade grado n tiene exactamente n soluciones complejas.

Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que . Los númeroscomplejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los númeroscomplejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica yelectromagnetismo entre otras de gran importancia.Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas másimportantes de la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejosreciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

DefiniciónDefiniremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definenlas siguientes operaciones:• Suma

• Producto por escalar

• Multiplicación

• Igualdad

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:• Resta

Número complejo 50

• División

Al primer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parteimaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por la parte imaginaria, esdecir, aquel en el que .

Cuerpo de los números complejosLos números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por elcarácter unicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales Raparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Loscomplejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido deninguna manera en un cuerpo ordenado.

Unidad imaginaria

Tomando en cuenta que , se define un número especial en matemáticas de granimportancia, el número i o unidad imaginaria, definido como

De donde se deduce inmediatamente que,

Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado

Valor absoluto o módulo de un número complejoEl valor absoluto, módulo o magnitud de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

Si pensamos en las coordenadas cartesianas del número complejo z como algún punto en el plano; podemos ver, porel teorema de Pitágoras, que el valor absoluto de un número complejo coincide con la distancia euclídea desde elorigen del plano a dicho punto.Si el complejo está escrito en forma exponencial z = r eiφ, entonces |z| = r. Se puede expresar en formatrigonométrica como z = r (cosφ + isenφ), donde cosφ + isenφ = eiφ es la conocida fórmula de Euler.Podemos comprobar con facilidad estas cuatro importantes propiedades del valor absoluto

para cualquier complejo z y w.Por definición, la función distancia queda como sigue d(z, w) = |z - w| y nos provee de un espacio métrico con loscomplejos gracias al que se puede hablar de límites y continuidad. La suma, la resta, la multiplicación y la divisiónde complejos son operaciones continuas. Si no se dice lo contrario, se asume que ésta es la métrica usada en losnúmeros complejos.

Número complejo 51

ArgumentoEl argumento o fase de un número complejo z viene dado por la siguiente expresión:

donde arctan() es la función arcotangente.

Conjugado de un número complejoDos binomios se llaman conjugados si solo difieren en su signo central, por ejemplo, los dos binomios: 3m - 1 y 3m+ 1 son conjugados.El conjugado de un complejo z (denotado como ó ) es un nuevo número complejo, definido así:

Se observa que ambos difieren en el signo de la parte imaginaria.Con este número se cumplen las propiedades:

Esta última fórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado encoordenadas rectangulares.

Representaciones

Representación binómica

Un número complejo representado como unpunto (en rojo) y un vector de posición (azul) en

un diagrama de Argand; es laexpresión binomial del punto.

Un número complejo se representa en forma binomial como:

La parte real del número complejo y la parte imaginaria, se puedenexpresar de varias maneras, como se muestra a continuación:

Número complejo 52

Representación polar

El argumento φ y módulo r localizan un punto enun diagrama de Argand;

o es la

expresión polar del punto.

En esta representación, es el módulo del número complejo y el ángulo es el argumento del número complejo.

</math>

Despejamos a y b en las expresiones anteriores y, utilizando la representación binomial:

Sacamos factor común r:

Frecuentemente, esta expresión se abrevia convenientemente de la siguiente manera:

la cual solo contiene las abreviaturas de las razones trigonométricas coseno, la unidad imaginaria y la razón seno delargumento respectivamente.Según esta expresión, puede observarse que para definir un número complejo tanto de esta forma como con larepresentación binomial se requieren dos parámetros, que pueden ser parte real e imaginaria o bien módulo yargumento, respectivamente.Según la Fórmula de Euler, vemos que:

No obstante, el ángulo no está unívocamente determinado por z, como implica la fórmula de Euler:

Por esto, generalmente restringimos al intervalo [-π, π) y a éste restringido lo llamamos argumento principal

de z y escribimos φ = Arg(z). Con este convenio, las coordenadas estarían unívocamente determinadas por z.

Número complejo 53

Operaciones en forma polarLa multiplicación de números complejos es especialmente sencilla con la notación polar:

División:

Potenciación:

Plano de los números complejos o Diagrama de ArgandEl concepto de plano complejo permite interpretar geométricamente los números complejos. La suma de númeroscomplejos se puede relacionar con la suma con vectores, y la multiplicación de números complejos puede expresarsesimplemente usando coordenadas polares, donde la magnitud del producto es el producto de las magnitudes de lostérminos, y el ángulo contado desde el eje real del producto es la suma de los ángulos de los términos.Los diagramas de Argand se usan frecuentemente para mostrar las posiciones de los polos y los ceros de una funciónen el plano complejo.El análisis complejo, la teoría de las funciones complejas, es una de las áreas más ricas de la matemática, queencuentra aplicación en muchas otras áreas de la matemática así como en física, electrónica y muchos otros campos.

Geometría y operaciones con complejosGeométricamente, las operaciones algebraicas con complejos las podemos entender como sigue. Para sumar doscomplejos z1 =a1 + ib1 y z2 = a2 + ib2, podemos pensar en ello como la suma de dos vectores del plano x-y apuntandodesde el origen al punto (a1, b1) y (a2,b2), respectivamente. Si trasladamos (movemos) el segundo vector, sincambiar su dirección, con lo que su punto de aplicación coincide con el punto final del primer vector; el segundovector así ubicado apuntará al complejo z1 + z2.Siguiendo con esta idea, para multiplicar dos complejos z1 y z2, primero medimos el ángulo que forman en sentidocontrario a las agujas del reloj con el eje positivo de las x y sumamos ambos ángulos: el ángulo resultantecorresponde con el del vector que representa al complejo producto z1 · z2. La longitud de este vector producto vienedada por la multiplicación de las longitudes de los vectores originales. La multiplicación por un número complejofijo puede ser vista como la transformación del vector que rota y cambia su tamaño simultáneamente.Multiplicar cualquier complejo por i corresponde con una rotación de 90º en dirección contraria a las agujas delreloj. Asimismo el que (-1) · (-1) = +1 puede ser entendido geométricamente como la combinación de dos rotacionesde 180º (i al cuadrado = -1), dando como resultado un cambio de signo al completar una vuelta.

Esbozo históricoLa primera referencia conocida a raíces cuadradas de números negativos proviene del trabajo de los matemáticos griegos, como Herón de Alejandría en el siglo I antes de Cristo, como resultado de una imposible sección de una pirámide. Los complejos se hicieron más patentes en el Siglo XVI, cuando la búsqueda de fórmulas que dieran las raíces exactas de los polinomios de grados 2 y 3 fueron encontradas por matemáticos italianos como Tartaglia, Cardano. Aunque sólo estaban interesados en las raíces reales de este tipo de ecuaciones, se encontraban con la necesidad de lidiar con raíces de números negativos. El término imaginario para estas cantidades fue acuñado por Descartes en el Siglo XVII y está en desuso. La existencia de números complejos no fue completamente aceptada

Número complejo 54

hasta la más abajo mencionada interpretación geométrica que fue descrita por Wessel en 1799, redescubierta algunosaños después y popularizada por Gauss. La implementación más formal, con pares de números reales fue dada en elSiglo XIX.

Aplicaciones

En matemáticas

Soluciones de ecuaciones polinómicas

Una raíz del polinomio p es un complejo z tal que p(z)=0. Un resultado importante de esta definición es que todos lospolinomios de grado n tienen exactamente n soluciones en el campo complejo, esto es, tiene exactamente ncomplejos z que cumplen la igualdad p(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. También se cumple quesi z es una raíz entonces su conjugado también es una raíz del polinomio p. A esto se lo conoce como TeoremaFundamental del Álgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpo algebraicamente cerrado. Por esto losmatemáticos consideran a los números complejos unos números más naturales que los números reales a la hora deresolver ecuaciones.

Variable compleja o análisis complejo

Al estudio de las funciones de variable compleja se lo conoce como el Análisis complejo. Tiene una gran cantidad deusos como herramienta de matemáticas aplicadas así como en otras ramas de las matemáticas. El análisis complejoprovee algunas importantes herramientas para la demostración de teoremas incluso en teoría de números; mientrasque las funciones reales de variable real, necesitan de un plano cartesiano para ser representadas; las funciones devariable compleja necesitan un espacio de cuatro dimensiones, lo que las hace especialmente difíciles de representar.Se suelen utilizar ilustraciones coloreadas en un espacio de tres dimensiones para sugerir la cuarta coordenada oanimaciones en 3D para representar las cuatro dimensiones.

Ecuaciones diferenciales

En ecuaciones diferenciales, cuando se estudian las soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales concoeficientes constantes, es habitual encontrar primero las raíces (en general complejas) del polinomiocaracterístico, lo que permite expresar la solución general del sistema en términos de funciones de base de la forma:

.

Fractales

Los fractales son diseños artísticos de infinita complejidad. En su versión original, se los define a través de cálculoscon números complejos en el plano.

En físicaLos números complejos se usan en ingeniería electrónica y en otros campos para una descripción adecuada de lasseñales periódicas variables (ver Análisis de Fourier). En una expresión del tipo podemos pensar en como la amplitud y en como la fase de una onda sinusoidal de una frecuencia dada. Cuando representamos unacorriente o un voltaje de corriente alterna (y por tanto con comportamiento sinusoidal) como la parte real de unafunción de variable compleja de la forma donde ω representa la frecuencia angular y el númerocomplejo z nos da la fase y la amplitud, el tratamiento de todas las fórmulas que rigen las resistencias, capacidades einductores pueden ser unificadas introduciendo resistencias imaginarias para las dos últimas (ver redes eléctricas).Ingenieros eléctricos y físicos usan la letra j para la unidad imaginaria en vez de i que está típicamente destinada a laintensidad de corriente.

Número complejo 55

El campo complejo es igualmente importante en mecánica cuántica cuya matemática subyacente utiliza Espacios deHilbert de dimensión infinita sobre C (ℂ).En la relatividad especial y la relatividad general, algunas fórmulas para la métrica del espacio-tiempo son muchomás simples si tomamos el tiempo como una variable imaginaria.

Véase también• Plano de Argand• Conjunto de Mandelbrot• Conjunto de Julia

Complejos

Reales

Racionales

Enteros

Naturales Uno

Primos

Compuestos

Cero

Negativos

FraccionariosFracción propia

Fracción impropia

IrracionalesAlgebraicos irracionales

Trascendentes

Imaginarios

Número complejo 56

Enlaces externos• Historia [1]

• Números complejos en Excel [2]

Referencias[1] http:/ / thales. cica. es/ rd/ Recursos/ rd98/ Matematicas/ 09/ c11. html[2] http:/ / www. necesitomas. com/ index. php?q=node/ 70

Determinante (matemática)En matemáticas se define el determinante como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definiciónindica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable ennumerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiarel número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales.

Historia de los determinantesLos determinantes fueron introducidos en Occidente a partir del siglo XVI, esto es, antes que las matrices, que noaparecieron hasta el siglo XIX. Conviene recordar que los chinos (Hui, Liu. iuzhang Suanshu o Los nueve capítulosdel arte matemático.) fueron los primeros en utilizar la tabla de ceros y en aplicar un algoritmo que, desde el SigloXIX, se conoce con el nombre de Eliminación de Gauss-Jordan.La historia de los determinantes

Los determinantes hicieron su aparición en las matemáticas más de un siglo antes que las matrices. El término matrizfue creado por James Joseph Sylvester, tratando de dar a entender que era “la madre de los determinantes”.Algunos de los más grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX contribuyeron al desarrollo de las propiedadesde los determinantes. La mayoría de los historiadores coinciden en afirmar que la teoría de los determinantes seoriginó con el matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) quien fue con Newton, el co inventor delcálculo diferencial e integral. Leibniz empleó los determinantes en 1693 con relación a los sistemas de ecuacioneslineales simultáneas. No obstante hay quienes creen que el matemático japonés Seki Kowa hizo lo mismo unos 10años antes.Las contribuciones más prolíficas a la teoría de los determinantes fueron las del matemático francés Agustin-LouisCauchy (1789-1857). Cauchy escribió, en 1812 una memoria de 84 páginas que contenía la primera demostracióndel teorema detAB=detA detB. En 1840 Cauchy hizo muchas otras contribuciones a las matemáticas. En su texto decálculo de 1829 Lecons sur le calcul différential, dio la primera definición razonablemente clara de límite.Cauchy escribió ampliamente tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Solo Euler escribió más. Cauchyhizo contribuciones en varias áreas, incluyendo la teoría de las funciones reales y complejas, la teoría de laprobabilidad, geometría, teoría de propagación de las ondas y las series infinitas.A Cauchy se le reconoce el haber establecido nuevos niveles de rigor en las publicaciones matemáticas. Después deCauchy, fue mucho más difícil publicar escritos basándose en la intuición; se exigió una estricta adhesión a lasdemostraciones rigurosas.El volumen de las publicaciones de Cauchy fue abrumador . Cuando la Academis Francesa de Ciencias comenzó apublicar su revista Comptes Rendus en 1835, Cauchy envió su obra para que se publicara, en poco tiempo los gastosde impresión se hicieron tan grandes, solo por la obra de Cauchy, que la academia impuso un límite de cuatrocuartillas por cada documento a ser publicado.

Determinante (matemática) 57

Hay algunos otros matemáticos que merecen ser mencionados aquí. El desarrollo de un determinante por cofactoresfue empleado por primera vez por el matemático francés Pierre de Laplace (1749-1827). Laplace es mejor conocidopor la transformación que lleva su nombre que se estudia en los cursos de matemáticas aplicadas.Un contribuyente principal de la teoría de los determinantes (estando solo Cauchy antes que él) fue el matemáticoalemán Carl Gustav Jacobi (1804-1851). Fue con él con quien la palabra “determinante” ganó la aceptacióndefinitiva. Lo primero en lo que Jacobi empleó los determinantes fue en las funciones, al establecer la teoría de lasfunciones de varias variables. Sylvester llamó más tarde jacobiano a éste determinante.

Primeros cálculos de determinantesEn su sentido original, el determinante determina la unicidad de la solución de un sistema de ecuaciones lineales.Fue introducido para el caso de orden 2 por Cardano en 1545 en su obra Ars Magna presentado como una regla parala resolución de sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas. Esta primera fórmula lleva el nombre de regula demodo.

El japonés Kowa Seki introdujo los determinantesde orden 3 y 4 en la misma época que el alemán

Leibniz.

La aparición de determinantes de órdenes superiores tardó aún más decien años en llegar. Curiosamente el japonés Kowa Seki y el alemánLeibniz otorgaron los primeros ejemplos casi simultáneamente.

Leibniz estudió los distintos tipos de sistemas de ecuaciones lineales.Al no disponer de la notación matricial, representaba los coeficientesde las incógnitas con una pareja de índices: así pues escribía ij pararepresentar ai, j. En 1678 se interesó por un sistema de tres ecuacionescon tres incógnitas y obtuvo, para dicho ejemplo, la fórmula dedesarrollo a lo largo de una columna. El mismo año, escribió undeterminante de orden 4, correcto en todo salvo en el signo.[1] Leibnizno publicó este trabajo, que pareció quedar olvidado hasta que losresultados fueron redescubiertos de forma independiente cincuentaaños más tarde.

En el mismo periodo, Kowa Seki publicó un manuscrito sobre losdeterminantes, donde se hallan fórmulas generales difíciles deinterpretar. Parece que se dan fórmulas correctas para determinantes detamaño 3 y 4, y de nuevo los signos mal para los determinantes detamaño superior.[2] El descubrimiento se queda sin futuro a causa del cierre de Japón al mundo exterior por órdenesdel shōgun, lo que se ve reflejado en la expulsión de los Jesuitas en 1638.

Determinantes de cualquier dimensiónEn 1748, en un tratado póstumo de álgebra de MacLaurin aparece la regla para obtener la solución de un sistema den ecuaciones lineales con n incógnitas cuando n es 2, 3 o 4 mediante el uso de determinantes.[3] [4] En 1750, Cramerda la regla para el caso general, aunque no ofrece demostración alguna. Los métodos de cálculo de los determinantesson hasta entonces delicados debido a que se basan en la noción de signatura de una permutación.[5]

Los matemáticos se familiarizan con este nuevo objeto a través de los artículos de Bézout en 1764, de Vandermondeen 1771 (que proporciona concretamente el cálculo del determinante de la actual Matriz de Vandermonde). En 1772,Laplace establece las reglas de recurrencia que llevan su nombre. En el año siguiente, Lagrange descubre la relaciónentre el cálculo de los determinantes y el de los volúmenes.[6]

Gauss utiliza por primera vez el término « déterminante », en las Disquisitiones arithmeticae en 1801. Lo empleabapara lo que hoy día denominamos discriminante de una cuádrica y que es un caso particular de determinantemoderno. Igualmente estuvo cerca de obtener el teorema del determinante de un producto.

Determinante (matemática) 58

Aparición de la noción moderna de determinanteCauchy fue el primero en emplear el término determinante con su significado moderno. Se encargó de realizar unasíntesis de los conocimientos anteriores y publicó en 1812 la fórmula y demostración del determinante de unproducto junto con el enunciado y demostración de la regla de Laplace.[7] Ese mismo año Binet ofreció otrademostración (incorrecta) para la fórmula del determinante de un producto.[7] [8] Paralelamente Cauchy establece lasbases del estudio de la reducción de endomorfismos.En 1825 Heinrich F. Scherk publicó nuevas propiedades de los determinantes.[7] Entre las propiedades halladasestaba la propiedad de que en una matriz en la que una fila es combinación lineal de varias de las demás filas de lamatriz el determinante es cero.Con la publicación de sus tres tratados sobre determinantes en 1841 en la revista Crelle, Jacobi aporta a la nociónuna gran notoriedad. Por primera vez presenta métodos sistemáticos de cálculo bajo una forma algorítmica. Delmismo modo, hace posible la evaluación del determinante de funciones con instauración del jacobiano, lo quesupone un gran avance en la abstracción del concepto del determinante.El cuadro matricial es introducido por los trabajos de Cayley y James Joseph Sylvester[cita requerida]. Cayley estambién el inventor de la notación de los determinantes mediante barras verticales (1841[7] ) y establece la fórmulapara el cálculo de la inversa de una matriz mediante determinantes(1858[9] ).La teoría se ve reforzada por el estudio de determinantes que tienen propiedades de simetría particulares y por laintroducción del determinante en nuevos campos de las matemáticas, como el wronskiano en el caso de lasecuaciones diferenciales lineales.

Métodos de cálculoPara el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) quereduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantasveces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeñocomo se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinantede cualquier matriz aplicando dicho teorema.Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición dedeterminante conocida como Fórmula de Leibniz.La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:

donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i despuésde la permutación σ se denota como σi. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es lasignatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).En cualquiera de los sumandos, el término

denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n:

Determinante (matemática) 59

Matrices de orden inferiorEl caso de matrices de orden inferior (orden 1, 2 ó 3) es tan sencillo que su determinante se calcula con sencillasreglas conocidas. Dichas reglas son también deducibles del teorema de Laplace.Una matriz de orden uno, es un caso trivial, pero lo trataremos para completar todos los casos. Una matriz de ordenuno puede ser tratada como un escalar, pero aquí la consideraremos una matriz cuadrada de orden uno:

El valor del determinante es igual al único termino de la matriz:

Los determinantes de una matriz de orden 2:

se calculan con la siguiente fórmula:

Dada una matriz de orden 3:

En determinante de orden 3 se calcula mediante la regla de Sarrus:

Determinantes de orden superiorEl determinante de orden n, puede desarrollarse a partir de una fila o columna, reduciendo el problema al cálculo deun determinante de orden n-1. Para ello se toma una fila o columna cualquiera, multiplicando cada elemento por suadjunto (es decir, el determinante de la matriz que se obtiene eliminando la fila y columna correspondiente a dichoelemento, multiplicado por (-1)i+j donde i es el número de fila y j el número de columna). La suma de todos losproductos es igual al determinante.En caso de un determinante de orden 4, se obtienen directamente determinantes de orden 3 que podrán ser calculadospor la regla de Sarrus. En cambio, en los determinantes de orden superior, como por ejemplo n = 5, al desarrollar loselementos de una línea, obtendremos determinantes de orden 4, que a su vez se deberán desarrollar en por el mismométodo, para obtener determinantes de orden 3. Por ejemplo, para obtener con el método especificado undeterminante de orden 4, se deben calcular 4 determinantes de orden 3. En cambio, si previamente se logran tresceros en una fila o columna, bastara con calcular solo un determinante de orden 3 (ya que los demás determinantesestarán multiplicados por 0, lo que los anula).La cantidad de operaciones aumenta muy rápidamente. En el peor de los casos (sin obtener ceros en filas ycolumnas), para un determinante de orden 4 se deberán desarrollar 4 determinates de orden 3. En un determinante deorden 5, se obtienen 5 determinates de orden 4 a desarrollar, dándonos 20 determinates de orden 3. El número de

determinates de orden 3 que se obtienen en el desarrollo de un determinante de orden n es igual a

Determinante (matemática) 60

Por ejemplo, mediante este método, para un determinante de orden 10 se deberán calcular 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 =604.800 determinantes de orden 3.También puede utilizarse el Método de eliminación Gaussiana, para convertir la matriz en una matriz triangular. Sibien el proceso puede parecer tedioso, estará muy lejos de los 14.529.715.200 de determinantes de orden 3necesarios para calcular el determinante de una matriz de orden 14.

Métodos numéricosPara reducir el coste computacional de los determinantes a la vez que mejorar su estabilidad frente a errores deredondeo, se aplica la regla de Chio, que permite utilizar métodos de triangularización de la matriz reduciendo conello el cálculo del determinante al producto de los elementos de la diagonal de la matriz resultante. Para latriangularización se puede utilizar cualquier método conocido que sea numéricamente estable. Éstos suelen basarseen el uso de matrices ortonormales, como ocurre con el método de Gauss o con el uso de reflexiones de Householdero rotaciones de Givens.La precisión limitada del cálculo numérico produce incertidumbre en ocasiones en los resultados de este método. Unvalor muy pequeño del determinante podría ser el resultado de una matriz de rango deficiente, aunque no lo esnecesariamente. Por otra parte, para matrices casi singulares el resultado no siempre es preciso. Es necesariocomprobar el rango de la matriz con otros métodos o calcular el número de condición de la matriz para determinar lafiabilidad del resultado.

Primeros ejemplos: áreas y volúmenesEl cálculo de áreas y volúmenes bajo forma de determinantes en espacios euclídeos aparecen como casos particularesde una noción más general de determinante. La letra mayúscula D (Det) se reserva a veces para distinguirlos.

Determinante de dos vectores en el plano euclídeo

Fig. 1. El determinante es el área azul orientada.

Sea P el plano euclídeo. El determinante delos vectores X y X' se obtiene con laexpresión analítica

Determinante (matemática) 61

o, de manera equivalente, por la expresión geométrica

en la cual es el ángulo orientado formado por los vectores X y X'.

Propiedades

• El valor absoluto del determinante es igual a la superficie del paralelogramo definido por X y X' ( es enefecto la altura del paralelogramo, por lo que A = Base × Altura).

• El determinante es nulo si y sólo si los dos vectores son colineales (el paralelogramo se convierte en una línea).• Su signo es estrictamente positivo si y sólo si la medida del ángulo (X, X ') se encuentra en ]0, [.• La aplicación del determinante es bilineal: la linearidad respecto al primer vector se escribe

y respecto al segundo

Fig. 2.Suma de las áreas de dos paralelogramos adyacentes.

La figura 2, en el plano, ilustra un casoparticular de esta fórmula. Representa dosparalelogramos adyacentes, uno definidopor los vectores u y v (en verde), y otro porlos vectores u' y v (en azul). Es fácil versobre este ejemplo el área del paralelogramodefinido por los vectores u+u' y v (en gris):es igual a la suma de los dos paralelogramosprecedentes a la cual se sustrae el área de untriángulo y se añade el área de otrotriángulo. Ambos triángulos secorresponden por translación y la fórmula siguiente se verifica Det (u+u', v)=Det (u, v)+Det (u', v).El dibujo corresponde a un caso particular de la fórmula de bilinealidad ya que las orientaciones han sido elegidas demanera que las áreas tengan el mismo signo, aunque ayuda a comprender el contenido geométrico.

Generalización

Es posible definir la noción de determinante en un plano euclídeo orientado con una base ortonormal directa Butilizando las coordenadas de los vectores en esta base. El cálculo del determinante da el mismo resultado sea cualsea la base ortonormal directa elegida para el cálculo.

Determinante de tres vectores en el espacio euclídeoSea E el espacio euclídeo orientado de dimensión 3. El determinante de tres vectores de E se da por

Determinante (matemática) 62

Fig. 3. Ilustración gráfica de la trilinealidad.

Este determinante lleva el nombre de producto mixto.

Propiedades

• El valor absoluto del determinante es igual alvolumen de paralelepípedo definido por los tresvectores.

• El determinante es nulo si y sólo si los tres vectoresse encuentran en un mismo plano (paralelepípedo"plano").

• La aplicación determinante es trilineal: sobre todo

Una ilustración geométrica de esta propiedad se da en la figura 3 con dos paralelepípedos adyacentes, es decir conuna cara común. La igualdad siguiente es entonces intuitiva:

.

Propiedades• El determinante de una matriz es un invariante algebraico, lo cual implica que dada una aplicación lineal todas las

matrices que la represente tendrán el mismo determinante. Eso permite definir el valor del determinante no sólopara matrices sino también para aplicaciones lineales.

• Una propiedad fundamental del determinante es su comportamiento multiplicativo frente al producto de matrices:

Eso implica en términos de aplicaciones lineales dada la relación existente entre la composición de aplicacioneslineales y el producto de matrices que las representan que, dadas dos aplicaciones linales y se tiene la siguienteigualdad:

• El determinante de una matriz y el de su traspuesta coinciden: • Una aplicación lineal entre espacios vectoriales es invertible si y sólo si su determinante no es nulo. Por lo tanto,

una matriz con coeficientes en un cuerpo es invertible si y sólo si su determinante es no nulo.

Matrices en bloques

Sean matrices respectivamente. Entonces

Esto se puede ver de la formula de Leibiniz Leibniz

formula. Empleando la siguiente identidad

vemos que para una matriz general

Determinante (matemática) 63

Análogamente, se puede obtener una identidad similar con factorizado.[10]

Si son matrices diagonales,

[11]

Derivada de la función determinanteLa función determinante puede definirse sobre el espacio vectorial formado por matrices cuadradas de orden n.Dicho espacio vectorial puede convertirse fácilmente en un espacio vectorial normado mediante la norma matricial,gracias a lo cual dicho espacio se convierte en un espacio métrico y topológico, donde se pueden definir límites eincluso derivadas. El diferencial de la función derivada (o jacobiana) viene en términos de la matriz de adjuntos:

Donde:

es la matriz de adjuntos., es la traza de la matriz.

Menores de una matrizAdemás del determinante de una matriz cuadrada, dada una matriz se pueden definir otras magnitudes mediante elempleo de determinantes relacionadas con las propiedades algebraicas de dicha matriz. En concreto dada una matrizcuadrada o rectangular se pueden definir los llamados determinantes menores de orden r a partir del determinantede submatrices cuadradas de rxr de la matriz original. Dada la matriz :

Se define cualquier menor de rango r como:

Debe notarse que en general existirá un número elevado de menores de orden r, de hecho el número de menores deorden r de una matriz mxn viene dado por:

Una propiedad interesante es que el rango coincide con el orden del menor no nulo más grande posible, siendo elcálculo de menores una de los medios más empleados para calcular el rango de una matriz o de una aplicación lineal.

Determinante (matemática) 64

Notas[1] E. Knobloch, Der Beginn der Determinantentheorie, Leibnizens nachgelassene Studien zum Determinantenkalkül (Hildesheim, 1980)[2] Y. Mikami, The development of Mathematics in China and Japan (1913, 2e éd. Chelsea Pub. Company 1974)[3] C. B. Boyer, A History of Mathematics (John Wiley, 1968)[5] M. Cantor, Geschichte der Mathematik (Teubner, 1913)[6] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F., « Biografía de Matrices and determinants (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/

HistTopics/ Matrices_and_determinants. html)» (en inglés), MacTutor History of Mathematics archive, Universidad de Saint Andrews,[7] Kline, 1990, p. 796[10] Estas identidades fueron tomadas de http:/ / www. ee. ic. ac. uk/ hp/ staff/ www/ matrix/ proof003. html[11] Este es un caso especial de un teorema publicado en http:/ / www. mth. kcl. ac. uk/ ~jrs/ gazette/ blocks. pdf

Referencias• Kline, Morris (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. 2. New York: Oxford University

Press. ISBN 0-19-506136-5.

Véase también• Matriz (matemática)• Teorema de Laplace• Regla de Sarrus• Regla de Cramer

Regla de Sarrus

La regla de Sarrus: las diagonales continuas se suman y las diagonales en trazos serestan.

La regla de Sarrus es un método fácilpara memorizar y calcular eldeterminante de una matriz 3×3.Recibe su nombre del matemáticofrancés Pierre Frédéric Sarrus.

Considérese la matriz 3×3:

Su determinante se puede calcular de la siguiente manera:En primer lugar, repetir las dos primeras columnas de la matriz a la derecha de la misma de manera que queden cincocolumnas en fila. Después sumar los productos de las diagonales descendentes (en línea continua) y sustraer losproductos de las diagonales ascendentes (en trazos). Esto resulta en:

Regla de Sarrus 65

Un proceso similar basado en diagonales también funciona con matrices 2×2:

Esta regla mnemotécnica es un caso especial de la fórmula de Leibniz y no se puede aplicar para matrices mayoresa 3×3.

Referencias• Gerd Fischer: Analytische Geometrie. 4-te Auflage, Vieweg 1985, ISBN 3-528-37235-4, P.145 (en alemán)• Regla de Sarrus en Planetmath [1]

Referencias[1] http:/ / planetmath. org/ encyclopedia/ RuleOfSarrus. html

Regla de CramerLa regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones entérminos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla ensu Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó elmétodo en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).[1]

La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sinembargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismoresulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado enaplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices,es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadasoperaciones SIMD.

Si es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, es elvector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución alsistema se presenta así:

donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna b. Hágase notar quepara que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz A ha de ser no nulo.

Regla de Cramer 66

Fórmulas explícitas para sistemas pequeños

Sistema de 2 ecuaciones con 2 incógnitasPara la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la forma. Dado el sistema de ecuaciones:

Lo representamos en forma de matrices:

Entonces, x e y pueden ser encontradas con la regla de Cramer, con una división de determinantes, de la siguientemanera:

y

Sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitasLa regla para un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas es similar, con una división de determinantes:

Que representadas en forma de matriz es:

x, y, z pueden ser encontradas como sigue:

Regla de Cramer 67

DemostraciónSean:

Usando las propiedades de la multiplicación matricial (Producto de Matrices):

entonces:

Sean:

Por lo tanto:

Aparte, recordando la definición de determinante, la sumatoria definida acumula la multiplicación del elementoadjunto o cofactor de la posición ij, con el elemento i-ésimo del vector B (que es precisamente el elemento i-èsimode la columna j, en la matriz

Referencias[1] Carl B. Boyer, A History of Mathematics, 2nd edition (Wiley, 1968), p. 431.

Véase también• Determinante• Matriz

Matriz (matemática) 68

Matriz (matemática)En matemáticas, una matriz es una tabla bidimensional de números consistente en cantidades abstractas que puedensumarse y multiplicarse. Las matrices se utilizan para describir sistemas de ecuaciones lineales, realizar unseguimiento de los coeficientes de una aplicación lineal y registrar los datos que dependen de varios parámetros. Lasmatrices se describen en el campo de la teoría de matrices. Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de variasformas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.

Historia

Cronología[1]

Año Acontecimiento

200 a.C. En China los matemáticos usan series de números.

1848 d.C. J. J. Sylvester introduce el término "matriz".

1858 Cayley publica Memorias sobre la teoría de matrices.

1878 Frobenius demuestra resultados fundamentales en álgebra matricial.

1925 Werner Heisenberg utiliza la teoría matricial en la mecánica cuántica

El origen de las matrices es muy antiguo. Un cuadrado mágico, 3 por 3, se registra en la literatura china hacia el650 a. C.[2]

Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un importante texto matemático chinoque proviene del año 300 a. C. a 200 a. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu),es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas.[3]

En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil añosantes de su publicación por el matemático japonés Seki Kōwa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en1693.Los "cuadrados mágicos" eran conocidos por los matemáticos árabes, posiblemente desde comienzos del siglo VII,quienes a su vez pudieron tomarlos de los matemáticos y astrónomos de la India, junto con otros aspectos de lasmatemáticas combinatorias. Todo esto sugiere que la idea provino de China. Los primeros "cuadrados mágicos" deorden 5 y 6 aparecieron en Bagdad en el 983, en la Enciclopedia de la Hermandad de Pureza (Rasa'il Ihkwanal-Safa).[2]

Después del desarrollo de la teoría de determinantes por Seki Kowa y Leibniz, a finales del siglo XVII, Cramerpresentó en 1750 la ahora denominada regla de Cramer. Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan desarrollaron laeliminación de Gauss-Jordan en el siglo XIX.El término "matriz" fue acuñado en 1848, por J. J. Sylvester. En 1853, Hamilton hizo algunos aportes a la teoría dematrices. Cayley introdujo en 1858 la notación matricial, como forma abreviada de escribir un sistema de mecuaciones lineales con n incógnitas. Grassmann, Frobenius y von Neumann están entre los matemáticos famososque trabajaron sobre la teoría de matrices.Olga Taussky-Todd (1906-1995), durante la II Guerra Mundial, usó la teoría de matrices para investigar el fenómenode aeroelasticidad llamado fluttering.

Matriz (matemática) 69

Definiciones y notacionesUna matriz es una tabla cuadrada o rectangular de datos (llamados elementos o entradas de la matriz) ordenados enfilas y columnas, donde una fila es cada una de las líneas horizontales de la matriz y una columna es cada una de laslíneas verticales. A una matriz con m filas y n columnas se le denomina matriz m-por-n (escrito m×n), y a m y ndimensiones de la matriz. Las dimensiones de una matriz siempre se dan con el número de filas primero y el númerode columnas después. Comúnmente se dice que una matriz m-por-n tiene un orden de m × n ("orden" tiene elsignificado de tamaño). Dos matrices se dice que son iguales si son del mismo orden y tienen los mismos elementos.Al elemento de una matriz que se encuentra en la fila i-ésima y la columna j-ésima se le llama elemento i,j oelemento (i,j)-iésimo de la matriz. Se vuelve a poner primero las filas y después las columnas.Casi siempre, se denotan a las matrices con letras mayúsculas mientras que se utilizan las correspondientes letras enminúsculas para denotar a los elementos de las mismas. Por ejemplo, al elemento de una matriz A que se encuentraen la fila i-ésima y la columna j-ésima se le denota como ai,j o a[i,j]. Notaciones alternativas son A[i,j] o Ai,j.Además de utilizar letras mayúsculas para representar matrices, numerosos autores representan a las matrices confuentes en negrita para distinguirlas de otros tipos de variables. Así A es una matriz, mientras que A es un escalar.

Normalmente se escribe para definir una matriz A m × n con cada entrada en la matriz A[i,j]llamada aij para todo 1 ≤ i ≤ m y 1 ≤ j ≤ n. Sin embargo, la convención del inicio de los índices i y j en 1 no esuniversal: algunos lenguajes de programación comienzan en cero, en cuál caso se tiene 0 ≤ i ≤ m − 1 y 0 ≤ j ≤ n − 1.Una matriz con una sola columna o una sola fila se denomina a menudo vector, y se interpreta como un elemento delespacio euclídeo. Una matriz 1 × n (una fila y n columnas) se denomina vector fila, y una matriz m × 1 (una columnay m filas) se denomina vector columna.

EjemploDada la matriz:

que es una matriz 4x3. El elemento o es el 7.La matriz

es una matriz 1×9, o un vector fila con 9 elementos.

Operaciones básicas

Suma o adiciónDadas las matrices m-por-n ,A y B, su suma A + B es la matriz m-por-n calculada sumando los elementoscorrespondientes (i.e. (A + B)[i, j] = A[i, j] + B[i, j] ). Es decir, sumar cada uno de los elementos homólogos de lasmatrices a sumar. Por ejemplo:

Matriz (matemática) 70

Propiedades

• AsociativaDadas las matrices m×n A, B y C

(A + B) + C = A + (B + C)• ConmutativaDadas las matrices m×n A y B

A + B = B + A• Existencia de matriz cero o matriz nula

A + 0 = 0 + A = A• Existencia de matriz opuestacon gr-A = [-aij]

A + (-A) = 0(C-I2)-1(AT+B)

Producto por un escalarDada una matriz A y un escalar c, su producto cA se calcula multiplicando el escalar por cada elemento de A (i.e.(cA)[i, j] = cA[i, j] ).

Ejemplo

Propiedades

Sean A y B matrices y c y d escalares.• Clausura: Si A es matriz y c es escalar, entonces cA es matriz.• Asociatividad: (cd)A = c(dA)• Elemento Neutro: 1·A = A• Distributividad:

• De escalar: c(A+B) = cA+cB• De matriz: (c+d)A = cA+dA

Matriz (matemática) 71

Producto

Diagrama esquemático que ilustra el producto de dosmatrices A y B dando como resultado la matriz AB.

El producto de dos matrices se puede definir sólo si el número decolumnas de la matriz izquierda es el mismo que el número defilas de la matriz derecha. Si A es una matriz m×n y B es unamatriz n×p, entonces su producto matricial AB es la matriz m×p(m filas, p columnas) dada por:

para cada par i y j.Por ejemplo:

Propiedades

Si los elementos de la matriz pertenecen a un cuerpo, y puede definirse el producto, el producto de matrices tiene lassiguientes propiedades:• Propiedad asociativa: (AB)C = A(BC).• Propiedad distributiva por la derecha: (A + B)C = AC + BC.• Propiedad distributiva por la izquierda: C(A + B) = CA + CB.• En general, el producto de matrices tiene divisores de cero: Si A.B = 0 , No necesariamente A ó B son matrices

nulas• El producto de matrices no verifica la propiedad de simplificación: Si A.B = A.C, No necesariamente B=C

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, esdecir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el conceptode matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.

Matriz (matemática) 72

Aplicaciones linealesLas matrices pueden representar convenientemente aplicaciones lineales (también conocidas como"transformaciones lineales") entre dos espacios vectoriales de dimensión finita. Así, si ℝn es el espacio euclídeon-dimensional cuyos vectores se pueden representar como vectores columna (matrices n-por-1), para cada aplicaciónlineal f : ℝn → ℝm existe una única matriz A m por n de tal forma que

para cada vector x de ℝn.Se dice que la matriz A "representa" la aplicación lineal f, o que A es la matriz coordenada de f.El producto de matrices claramente corresponde a la composición de las aplicaciones. Si la matriz k por m Brepresenta otra aplicación lineal g : ℝm → ℝk, entonces la composición g o f se representa por BA:

Esto se desprende de la mencionada propiedad asociativa del producto de matrices.Más en general, una aplicación lineal de un espacio vectorial n-dimensional en otro espacio vectorial m-dimensional(no necesariamente ℝn) se representa por una matriz m por n, a condición de que se haya elegido una base para cadauno de ellos.

RangoEl rango de una matriz A es la dimensión de la imagen de la aplicación lineal representada por A, que coincide conla dimensión de los espacios vectoriales generados por las filas o columnas de A. También puede ser definido sinreferencia al álgebra lineal de la siguiente manera: el rango de una matriz m por n A es el más pequeño número k detal manera que A puede escribirse como un producto BC donde B es una matriz m por k y C es una matriz k por n(aunque ésta no es una manera práctica de calcular el rango).

TraspuestaLa traspuesta de una matriz m-por-n A es la matriz n-por-m AT (algunas veces denotada por At) formada alintercambiar las filas y columnas, i.e.

La trasposición de matrices tiene las siguientes propiedades:

Si A describe una aplicación lineal respecto a dos bases, entonces la matriz AT describe la traspuesta de unaaplicación lineal respecto a las bases del espacio dual.

Matrices cuadradas y definiciones relacionadasUna matriz cuadrada es una matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas. El conjunto de todas lasmatrices cuadradas n-por-n junto a la suma y la multiplicación de matrices, es un anillo que generalmente no esconmutativo.M(n,R), el anillo de las matrices cuadradas reales, es un álgebra asociativa real unitaria. M(n,C), el anillo de lasmatrices cuadradas complejas, es un álgebra asociativa compleja.La matriz identidad In de orden n es la matriz n por n en la cual todos los elementos de la diagonal principal soniguales a 1 y todos los demás elementos son iguales a 0. La matriz identidad se denomina así porque satisface lasecuaciones MIn = M y InN = N para cualquier matriz M m por n y N n por k. Por ejemplo, si n = 3:

Matriz (matemática) 73

La matriz identidad es el elemento unitario en el anillo de matrices cuadradas.Los elementos invertibles de este anillo se llaman matrices invertibles o matrices no singulares. Una matriz A npor n es invertible si y sólo si existe una matriz B tal que

AB = In = BA.En este caso, B es la matriz inversa de A, identificada por A-1 . El conjunto de todas las matrices invertibles n por nforma un grupo (concretamente un grupo de Lie) bajo la multiplicación de matrices, el grupo lineal general.Si λ es un número y v es un vector no nulo tal que Av = λv, entonces se dice que v es un vector propio de A y que λes su valor propio asociado. El número λ es un valor propio de A si y sólo si A−λIn no es invertible, lo que sucede siy sólo si p

A(λ) = 0, donde p

A(x) es el polinomio característico de A. p

A(x) es un polinomio de grado n y por lo tanto,

tiene n raíces complejas múltiples raíces si se cuentan de acuerdo a su multiplicidad. Cada matriz cuadrada tienecomo mucho n valores propios complejos.El determinante de una matriz cuadrada A es el producto de sus n valores propios, pero también puede ser definidapor la fórmula de Leibniz. Las matrices invertibles son precisamente las matrices cuyo determinante es distinto decero.El algoritmo de eliminación gaussiana puede ser usado para calcular el determinante, el rango y la inversa de unamatriz y para resolver sistemas de ecuaciones lineales.La traza de una matriz cuadrada es la suma de los elementos de la diagonal, lo que equivale a la suma de sus nvalores propios.

Las matrices en la ComputaciónLas matrices son utilizadas ampliamente en la computación, por su facilidad y liviandad para manipular información.En este contexto, son la mejor forma para representar grafos, y son muy utilizadas en el cálculo numérico.

Véase también• Matriz triangular• Determinante (matemática)• Matlab

Notas[1] Tony Crilly (2011). 50 cosas que hay que saber sobre matemáticas. Ed. Ariel. ISBN 978-987-1496-09-9.[2] Swaney, Mark. History of Magic Squares (http:/ / www. arthurmag. com/ magpie/ ?p=449).[3] Shen Kangshen et al. (ed.) (1999). Nine Chapters of the Mathematical Art, Companion and Commentary. Oxford University Press. cited

byOtto Bretscher (2005). Linear Algebra with Applications (3rd ed. edición). Prentice-Hall. pp. 1.

Multiplicación de matrices 74

Multiplicación de matricesEn matemática, la multiplicación o producto de matrices es la operación de multiplicación que se efectúa entre dosmatrices, o bien entre una matriz y un escalar.Al igual que la multiplicación aritmética, su definición es instrumental, es decir, viene dada por un algoritmo capazde resolverla. El algoritmo que resuelve la multiplicación matricial es diferente del que resuelve la multiplicación dedos números. La diferencia principal es que la multiplicación de matrices no cumple con la propiedad deconmutatividad.

Multiplicación de una matriz por un escalarDada una matriz A de m filas y n columnas, lo que podemos denotar como:

la multiplicación de A por un escalar k, que se denota k·A, k×A o simplemente kA, está definida como:

es decir, corresponde a la matriz conformada por cada elemento de la matriz multiplicado por dicho escalar.

Gráficamente, si y entonces

La multiplicación por escalar es análoga a la suma o resta de matrices, y cumple con las mismas características de lamultiplicación aritmética. En efecto, podemos llegar al mismo resultado sumando k veces la misma matriz A entre sí.

PropiedadesSean A, B matrices y c, d escalares, la multiplicación de matrices por escalares cumple con las siguientespropiedades:

Propiedad Descripción

Clausura cA es también una matriz

Elemento neutro Existe el elemento neutro uno, de manera que 1·A = A

Propiedad asociativa (cd)A = c(dA)

Propiedaddistributiva- De escalar- De matriz

c(A+B) = cA+cB(c+d)A = cA+dA

Multiplicación de matrices 75

Multiplicación de una matriz por otra matriz

Los resultados en las posiciones marcadas dependen de las filas ycolumnas de sus respectivos colores.

Dadas dos matrices A y B, tales que el número decolumnas de la matriz A es igual al número de filas dela matriz B; es decir:

y la multiplicación de A por B, que se denota A·B, A×B o simplemente AB, está definida como:

donde cada elemento ci,j está definido por:

Gráficamente, si y

entonces

PropiedadesSean A, B y C matrices para las cuales la multiplicación entre ellas está bien definida, es decir, tales que suselementos pertenecen a un grupo donde la multiplicación está definida, y de manera que el número de filas y decolumnas permite realizar la multiplicación; entonces se cumplen las siguientes propiedades:

Multiplicación de matrices 76

Propiedad Descripción

Clausura AB es también una matriz

Elemento neutro Si A es una matriz cuadrada de tamaño m, entonces la matriz identidad Im×m es elemento neutro, de manera que I·A = A·I = A

Propiedad asociativa (AB)C = A(BC)

Propiedaddistributiva- Por la derecha- Por la izquierda

(A + B)C = AC + BCC(A + B) = CA + CB

El producto de dos matrices generalmente no es conmutativo, es decir, AB ≠ BA. La división entre matrices, esdecir, la operación que podría producir el cociente A / B, no se encuentra definida. Sin embargo, existe el conceptode matriz inversa, sólo aplicable a las matrices invertibles.Finalmente, note que tanto la multiplicación de una matriz por un escalar, como la multiplicación de dos escalares,puede representarse mediante una multiplicación de dos matrices.

Demostración de la propiedad asociativa

Sean A una matriz de mxn; B una matriz de nxp; y C un matriz de pxq. Entonces, AB sera una matriz de mxp. Del mismomodo, BC sera una matriz de nxq. Por lo tanto, usando sumatoria, verificaremos la propiedad asociativa del producto dematrices, es decir, (AB)C=A(BC). Para AB:

Luego, multiplicando D por C:

Reemplazando D por AB:

(1)

Ahora, para BC:

Luego, multiplicando A por E:

Reemplazando E por BC:

(2)

Con lo que verificamos que (1) y (2) son iguales y se cumple la propiedad asociativa:

Multiplicación de matrices 77

AplicacionesLa multiplicación de matrices es muy útil para la resolución de sistemas de ecuaciones de muchas variables, dadoque son muy cómodas para ser implementadas mediante un computador. El cálculo numérico se basa en gran partede estas operaciones, al igual que poderosas aplicaciones tales como MATLAB. También actualmente se utilizamucho en el cálculo de microarrays, en el área de bioinformática.

Sistemas de ecuacionesConsideremos el caso más sencillo, el de las matrices cuadradas de orden 2, es decir cuando n = m = 2. Lasaplicaciones lineales del plano real que, al punto M(x1,x2) hacen corresponder el punto N(y1,y2) se expresan comoun sistema de dos ecuaciones con dos variables. Las matrices permiten escribirlos más rápidamente. Así, porejemplo, el sistema:

se escribe de forma matricial así:

Como se ve, en la notación matricial, las variables soló aparecen una vez, así como el símbolo "=", y los signos "+"ni se escriben. Los ahorros de tiempo y energía no son enormes aquí, pero crecen con las dimensiones de la matriz.Ahora bien, las aplicaciones lineales se pueden sumar, lo que daría la adición de las matrices que se definió arriba,pero no se pueden multiplicar. Sin embargo, existe otra operación, universal en el campo de las aplicaciones: lacomposición, es decir aplicar sucesivamente dos o más funciones a un objeto. Al componer:

obtenemos:

lo que corresponde a la matriz:

Por lo tanto se define el producto de matrices así:

Referencias• El contenido de este artículo incorpora material de una entrada de la Enciclopedia Libre Universal [1], publicada

en español bajo la licencia Creative Commons Compartir-Igual 3.0 [2].

Enlaces externosWikilibros• Wikilibros alberga un libro o manual sobre Optimización del Producto de Matrices.• Calculadora de matrices (Multiplicación) [3]

Multiplicación de matrices 78

Referencias[1] http:/ / enciclopedia. us. es/ index. php/ matriz[2] http:/ / creativecommons. org/ licenses/ by-sa/ 3. 0/ deed. es[3] http:/ / www. calculadoraonline. es/ matriu. php?mode=mult

Matriz invertibleEn matemáticas, y especialmente en álgebra lineal, una matriz cuadrada A de orden n se dice que es invertible, nosingular, no degenerada o regular si existe otra matriz cuadrada de orden n, llamada matriz inversa de A yrepresentada como A−1, tal que

AA−1 = A−1A = In,donde In es la matriz identidad de orden n y el producto utilizado es el producto de matrices usual.Una matriz no invertible se dice que es singular o degenerada. Una matriz es singular si y solo si su determinantees cero.La inversión de matrices es el proceso de encontrar la matriz inversa de una matriz dada.

Propiedades de la matriz inversa• La inversa de una matriz, si existe, es única.• La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden:

• Si la matriz es invertible, también lo es su transpuesta, y el inverso de su transpuesta es la transpuesta de suinversa, es decir:

• Y, evidentemente:

• Una matriz es invertible si y sólo si el determinante de A es distinto de cero. Además la inversa satisface laigualdad:

donde es el determinante de A y es la transpuesta de la matriz de adjuntos de A.

Demostración de la unicidad de la inversaSupongamos que B y C son inversas de A

Multiplicando por C

De modo que B=C y se prueba que la inversa es única.

Matriz invertible 79

Demostración del criterio de inversibilidad de las matrices cuadradasSe probará la doble implicación.

Necesidad

Suponiendo que existe tal que . Entonces al aplicar la función determinante se obtiene

usando la propiedad

Por lo tanto, es distinto de cero.

Suficiencia

Suponiendo que el determinante de es distinto de cero, sea es el elemento ij de la matriz y sea lamatriz sin la fila y la columna (comúnmente conocida como -ésimo menor de A). Entonces

Sea , entonces

Esta afirmación es válida propiedades de los determinantes, pues la parte izquierda de la relación nos conduce a unamatriz con la columna igual a la columna y los demás términos iguales a los de . Entonces

donde cuando y cuando . Entonces

Es decir que tiene inversa izquierda

Como , entonces también tiene inversa izquierda que es

Entonces

luego, aplicando la transpuesta

Que es lo que se quería demostrar

Matriz invertible 80

Métodos de inversión de matrices

Solución analítica

Inversión de matrices 2×2

Calcular la matriz inversa en matrices de 2x2 puede ser muy sencillo. Se puede hacer de la siguiente manera:[1]

Esto es posible siempre y cuando ad - bc, el determinante de la matriz, no sea cero.

Inversión de matrices de órdenes superiores

Para matrices de órdenes superiores puede utilizarse la siguiente fórmula:

Donde es la matriz adjunta de la matriz traspuesta, no de la matriz original; es el determinante de Ay es la matriz de adjuntos de A.

Métodos numéricosEl método de eliminación de Gauss-Jordan puede utilizarse para determinar si una determinada matriz es invertible ypara encontrar su inversa. Una alternativa es la descomposición LU, que descompone una matriz dada comoproducto de dos matrices triangulares, una inferior y otra superior, mucho más fáciles de invertir. Utilizando elmétodo de Gauss-Jordan se coloca a la izquierda la matriz dada y a la derecha la matriz identidad. Luego por mediodel uso de pivotes se intenta formar en la izquierda la matriz identidad y la matriz que quede a la derecha será lamatriz inversa a la dada.

Referencias[1] Strang, Gilbert (2006). Linear Algebra and Its Applications. Thomson Brooks/Cole. pp. 46. ISBN 0-03-010567-6.

Geometría analítica 81

Geometría analíticaLa geometría analítica estudia las figuras geométricas mediante técnicas básicas del análisis matemático y delálgebra en un determinado sistema de coordenadas. Su desarrollo histórico comienza con la geometría cartesiana,impulsada con la aparición de la geometría diferencial de Carl Friedrich Gauss y más tarde con el desarrollo de lageometría algebraica.Las dos cuestiones fundamentales de la geometría analítica son:1. Dado el lugar geométrico en un sistema de coordenadas, obtener su ecuación.2. Dada la ecuación en un sistema de coordenadas, determinar la gráfica o lugar geométrico de los puntos que

verifican dicha ecuación.Lo novedoso de la geometría analítica es que representa las figuras geométricas mediante fórmulas del tipo

, donde es una función u otro tipo de expresión matemática: las rectas se expresan comoecuaciones polinómicas de grado 1 (por ejemplo, ), las circunferencias y el resto de cónicas comoecuaciones polinómicas de grado 2 (la circunferencia , la hipérbola ), etc.

Construcciones fundamentalesEn un sistema de coordenadas cartesianas, un punto del plano queda determinado por dos números, llamados abscisay ordenada del punto. Mediante ese procedimiento a todo punto del plano corresponden siempre dos números realesordenados (abscisa y ordenada), y recíprocamente, a un par ordenado de números corresponde un único punto delplano. Consecuentemente el sistema cartesiano establece una correspondencia biunívoca entre un conceptogeométrico como es el de los puntos del plano y un concepto algebraico como son los pares ordenados de números.Esta correspondencia constituye el fundamento de la geometría analítica.Con la geometría analítica se puede determinar figuras geométricas planas por medio de ecuaciones e inecuacionescon dos incógnitas. Éste es un método alternativo de resolución de problemas, o cuando menos nos proporciona unnuevo punto de vista con el cual poder atacar el problema.

Localización de un punto en el plano cartesiano

Como distancia a los ejes

Geometría analítica 82

En un plano traza dos rectas orientadas perpendicularesentre sí (ejes) —que por convenio se trazan de maneraque una de ellas sea horizontal y la otra vertical—, ycada punto del plano queda unívocamente determinadopor las distancias de dicho punto a cada uno de los ejes,siempre y cuando se dé también un criterio paradeterminar sobre qué semiplano determinado por cadauna de las rectas hay que tomar esa distancia, criterioque viene dado por un signo. Ese par de números, lascoordenadas, quedará representado por un par ordenado

, siendo la distancia a uno de los ejes (porconvenio será la distancia al eje vertical) e ladistancia al otro eje (al horizontal).

En la coordenada , el signo positivo (que sueleomitirse) significa que la distancia se toma hacia laderecha del eje horizontal (eje de las abscisas), y elsigno negativo (nunca se omite) indica que la distancia se toma hacia la izquierda. Para la coordenada , el signopositivo (también se suele omitir) indica que la distancia se toma hacia arriba del eje vertical (eje de ordenadas),tomándose hacia abajo si el signo es negativo (tampoco se omite nunca en este caso).

A la coordenada se la suele denominar abscisa del punto, mientras que a la se la denomina ordenada delpunto.

Los puntos del eje de abscisas tienen por lo tanto ordenada igual a , así que serán de la forma , mientrasque los del eje de ordenadas tendrán abscisa igual a , por lo que serán de la forma .El punto donde ambos ejes se cruzan tendrá por lo tanto distancia a cada uno de los ejes, luego su abscisa será ysu ordenada también será . A este punto —el — se le denomina origen de coordenadas.

Como proyección sobre los ejes

Se consideran dos rectas orientadas, (ejes) , perpendiculares entre sí, x e y, con un origen común, el punto O deintersección de ambas rectas.Teniendo un punto P, al cual se desea determinar las coordenadas, se procede de la siguiente forma:Por el punto P se trazan rectas perpendiculares a los ejes, éstas determinan en la intersección con los mismos dospuntos, P' (el punto ubicado sobre el eje x) y el punto P´´ ( el punto ubicado sobre el eje y).Dichos puntos son las proyecciones ortogonales sobre los ejes x e y del punto P.A los Puntos P' y P´´ le corresponden por número la distancia desde ellos al origen, teniendo en cuenta que si elpunto P'se encuentra a la izquierda de O, dicho número será negativo, y si el punto P´´ se encuentra hacia abajo delpunto O, dicho número será negativo. Los números relacionados con P' y P´´, en ese orden son los valores de lascoordenadas del punto P.Ejemplo 1: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 2 unidades. P´´ se encuentra hacia arriba de O, unadistancia igual a 3 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (2 ; 3)Ejemplo 2: P' se encuentra a la derecha de O una distancia igual a 4 unidades. P´´ se encuentra hacia abajo de O, unadistancia igual a 5 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (4 ; -5)Ejemplo 3: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 3 unidades. P´´ se encuentra hacia abajo de O,una distancia igual a 2 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-3 ; -2)Ejemplo 4: P' se encuentra a la izquierda de O una distancia igual a 6 unidades. P´´ se encuentra hacia arriba de O,una distancia igual a 4 unidades. Por lo que las coordenadas de P son (-6 ; 4)

Geometría analítica 83

Ecuaciones de la recta en el planoUna recta es el lugar geométrico de todos los puntos en el plano tales que, tomados dos cualesquiera de ellos, elcálculo de la pendiente resulta siempre igual a una constante.La ecuación general de la recta es de la forma:

cuya pendiente es m = -A/B y cuya ordenada al origen es b = -C/B.Una recta en el plano se representa con la Función lineal de la forma:

Como expresión general, ésta es conocida con el nombre de ecuación pendiente-ordenada al origen y podemosdistinguir dos casos particulares. Si una recta no corta a uno de los ejes, será porque es paralela a él. Como los dosejes son perpendiculares, si no corta a uno de ellos forzosamente ha de cortar al otro (siempre y cuando la funciónsea continua para todos los reales). Tenemos pues tres casos:

Rectas oblicuas. Rectas horizontales. Rectas verticales.

• Las rectas verticales no cortan al eje de ordenadas y son paralelas a dicho eje y se denominan rectas verticales.El punto de corte con el eje de abscisas es el punto . La ecuación de dichas rectas es:

• Las rectas horizontales no cortan al eje de las abscisas y, por tanto, son paralelas a dicho eje y se denominanrectas horizontales. El punto de corte con el eje de ordenadas es el punto . La ecuación de dichas rectases:

• Cualquier otro tipo de recta recibe el nombre de recta oblicua. En ellas hay un punto de corte con el eje deabscisas y otro punto de corte con el eje de ordenadas . El valor recibe el nombre de abscisa en

el origen, mientras que el se denomina ordenada en el origen.

Geometría analítica 84

Secciones cónicas

Los tres ejemplos de intersección de un plano con un cono: parábola (A), elipse (B)e hipérbola (C).

Las tres secciones cónicas: elipse, parábola e hipérbola. Lacircunferencia es un caso particular de elipse.

El resultado de la intersección de lasuperficie de un cono, con un plano, dalugar a lo que se denominan seccionescónicas, que son: la parábola, la elipse (lacircunferencia es un caso particular deelipse) y la hipérbola.

• La parábola es el lugar geométrico detodos los puntos que equidistan de unpunto fijo llamado foco y de una rectafija llamada directriz.

Una parábola (figura A) cuyo eje de simetríasea paralelo al eje de abcisas se expresamediante la ecuación:

• La elipse es el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamadosfocos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entre los vértices.

Una elipse (figura B) centrada en los ejes, con longitudes de semieje a y b viene dada por la expresión:

• Si los dos ejes son iguales y los llamamos c:

el resultado es una circunferencia:

• La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos tales que el valor absoluto de la diferencia (resta) de susdistancias a dos puntos fijos llamados focos es siempre igual a una constante positiva, e igual a la distancia entrelos vértices.

La hipérbola (Figura C) tiene por expresión:

Geometría analítica 85

Construcciones en el espacio tridimensionalLos razonamientos sobre la construcción de los ejes coordenados son igualmente válidos para un punto en el espacioy una terna ordenada de números, sin más que introducir una tercera recta perpendicular a los ejes X e Y: el eje Z.Sin embargo no hay análogo al importantísimo concepto de pendiente de una recta. Una única ecuación lineal deltipo:

Representa en el espacio un plano. Si se pretende representar mediante ecuaciones una recta en el espaciotridimensional necesitaremos especificar, no una, sino dos ecuaciones lineales como las anteriores. De hecho todarecta se puede escribir como interesección de dos planos. Así una recta en el espacio podría quedar representadacomo:

Es importante notar que la representación anterior no es única, ya que una misma recta puede expresarse como laintersección de diferentes pares de planos. Por ejemplo los dos pares de ecuaciones:

Clasificación de la geometría analítica dentro de la geometríaDesde el punto de vista de la clasificación de Klein de las geometrías (el Programa de Erlangen), la geometríaanalítica no es una geometría propiamente dicha.Desde el punto de vista didáctico, la geometría analítica resulta un puente indispensable entre la geometría euclidianay otras ramas de la matemática y de la propia geometría, como son el propio análisis matemático, el álgebra lineal, lageometría afín, la geometría diferencial o la geometría algebraica.

Historia de la geometría analíticaExiste una cierta controversia sobre la verdadera paternidad de este método. Lo único cierto es que se publica porprimera vez como "Geometría analítica", apéndice al Discurso del método, de Descartes, si bien se sabe que Pierrede Fermat conocía y utilizaba el método antes de su publicación por Descartes. Aunque Omar Khayyam ya en elsiglo XI utilizara un método muy parecido para determinar ciertas intersecciones entre curvas, es imposible quealguno de los citados matemáticos franceses tuvieran acceso a su obra.El nombre de geometría analítica corrió parejo al de geometría cartesiana, y ambos son indistinguibles. Hoy en día,paradójicamente, se prefiere denominar geometría cartesiana al apéndice del Discurso del método, mientras que seentiende que geometría analítica comprende no sólo a la geometría cartesiana (en el sentido que acabamos de citar,es decir, al texto apéndice del Discurso del método), sino también todo el desarrollo posterior de la geometría que sebase en la construcción de ejes coordenados y la descripción de las figuras mediante funciones —algebraicas o no—hasta la aparición de la geometría diferencial de Gauss (decimos "paradójicamente" porque se usa precisamente eltérmino "geometría cartesiana" para aquello que el propio Descartes bautizó como "geometría analítica"). Elproblema es que durante ese periodo no existe una diferencia clara entre geometría analítica y análisis matemático—esta falta de diferencia se debe precisamente a la identificación hecha en la época entre los conceptos de función ycurva—, por lo que resulta a veces muy difícil intentar determinar si el estudio que se está realizando corresponde auna u otra rama.La geometría diferencial de curvas sí que permite un estudio mediante un sistema de coordenadas, ya sea en el plano o en el espacio tridimensional. Pero en el estudio de las superficies, en general, aparecen serios obstáculos. Gauss

Geometría analítica 86

salva dichos obstáculos creando la geometría diferencial, y marcando con ello el fin de la geometría analítica comodisciplina. Es con el desarrollo de la geometría algebraica cuando se puede certificar totalmente la superación de lageometría analítica.Es de puntualizar que la denominación de analítica dada a esta forma de estudiar la geometría provocó que laanterior manera de estudiarla (es decir, la manera axiomático-deductiva, sin la intervención de coordenadas) seterminara denominando, por oposición, geometría sintética, debido a la dualidad análisis-síntesis.Actualmente el término geometría analítica sólo es usado en enseñanzas medias o en carreras técnicas en las que nose realiza un estudio profundo de la geometría.

Véase también• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.EWRWERWER

Referencias

Bibliografía1. Tortosa Grau, Leandro (12 de 2008) (en español). Introducción a la geometría analítica (1 edición). Torres

Gosálvez, Ramón. pp. 460. ISBN 978-84-95434-50-0.2. Berdugo, Isabel (1964- ) (12 de 2007) (en español). Geometría analítica para la distensión (1 edición).

Asociación Cultural Tántalo. pp. 100. ISBN 978-84-935334-4-1.3. Martín Aláez, Pedro (12 de 2007) (en español). Notas de geometría analítica (1 edición). PREMIR Oposiciones

Médicas S.L.. pp. 163. ISBN 978-84-612-0960-6.4. Colera Jiménez, José (11 de 2007) (en español). Matemáticas II, geometría analítica del espacio, Bachillerato.

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978-84-7065-858-7.9. Colera Jiménez, José (03 de 2004) (en Catalán). Geometria analítica de l'espai, matemàtiques, Batxillerat.

Exercicis (1 edición). Editorial Barcanova, S.A.. pp. 48. ISBN 978-84-489-1559-9.10. Bellón Fernández, Manuel (02 de 2004) (en español). Matemáticas, geometría analítica, 4 ESO. Cuaderno 5 (1

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Fundación Canaria Orotava de Historia de la Ciencia. pp. 166. ISBN 978-84-607-9668-8.

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Enlaces externos• Graficador gratuito de funciones, cónicas y haces para geometría analítica (http:/ / gdf2004. tripod. com/ )• Construya objetos de la geometría analítica (http:/ / www. mygeometryteacher. com/ )

Recta

Representación de un segmento de recta.

Tres líneas rectas — Las líneas roja y azul poseen la misma pendiente (m) queen este ejemplo es ½, mientras que las líneas roja y verde interceptan al eje y enel mismo punto, por lo que poseen idéntico valor de ordenada al origen (b) que

en este ejemplo es el punto x=0, y=1.

En geometría euclidiana, la recta o línearecta, se extiende en una misma dirección,existe en una sola dimensión y contieneinfinitos puntos; está compuesta deinfinitos segmentos (el fragmento de líneamás corto que une dos puntos). Tambiénse describe como la sucesión continua eindefinida de puntos en una soladimensión, o sea, no posee principio nifin.

Es uno de los entes geométricosfundamentales, junto al punto y el plano.Son considerados conceptos apriorísticosya que su definición sólo es posible apartir de la descripción de lascaracterísticas de otros elementossimilares. Así, es posible elaborardefiniciones basándose en los Postuladoscaracterísticos que determinan relacionesentre los entes fundamentales. Las rectasse suelen denominar con una letraminúscula.

Las líneas rectas pueden ser expresadasmediante una ecuación del tipo y = m x +b, donde x, y son variables en un plano.En dicha expresión m es denominada la"pendiente de la recta" y está relacionadacon la inclinación que toma la rectarespecto a un par de ejes que definen elplano. Mientras que b es el denominado"término independiente" u "ordenada alorigen" y es el valor del punto en el cualla recta corta al eje vertical en el plano.

Definiciones y postulados de Euclides relacionados con la rectaEuclides, en su tratado denominado Los Elementos,[1] establece varias definiciones relacionadas con la línea y lalínea recta:

Recta 88

• Una línea es una longitud sin anchura (Libro I, definición 2).• Los extremos de una línea son puntos (Libro I, definición 3).• Una línea recta es aquella que yace por igual respecto de los puntos que están en ella (Libro I, definición 4).También estableció dos postulados relacionados con la línea recta:• Por dos puntos diferentes sólo pasa una línea recta (Libro I, postulado 1).• Si una recta secante corta a dos rectas formando a un lado ángulos interiores, la suma de los cuales es menor que

dos ángulos rectos: las dos rectas, suficientemente alargadas, se cortarán en el mismo lado (Libro I, quintopostulado).

Características de la rectaAlgunas de las características de la recta son las siguientes:• La recta se prolonga al infinito en ambos sentidos.• La distancia más corta entre dos puntos está en una línea recta, en la geometría euclidiana.• La recta es un conjunto de puntos situados a lo largo de la intersección de dos planos.

Geometría analítica de la recta en el planoLa Geometría analítica consiste en emplear operaciones de cálculo para resolver problemas de geometría. En unplano, podemos representar una recta mediante una ecuación, y determinar los valores que cumplan determinadascondiciones, por ejemplo, las de un problema de geometría.

Ecuación de la recta

En una recta, la pendiente es siempre constante. Se calcula mediante la ecuación:

Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente (ecuación punto-pendiente):

Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas deuno de sus puntos, o cuando se conocen sólo los dos puntos, por lo que también se le llama ecuación de la rectaconocidos dos puntos, y se le debe a Jean Baptiste Biot. La pendiente es la tangente del ángulo que forma larecta con el eje de abscisas X.

La ecuación de la recta que pasa por el punto y tiene la pendiente dada es:

Ejemplo

La ecuación de la recta que pasa por el punto A y que tiene una pendiente de .Al sustituir los datos en la ecuación, resulta lo siguiente:

Recta 89

Forma simplificada de la ecuación de la rectaSi se conoce la pendiente m, y el punto donde la recta corta al eje de ordenadas es (0, b), podemos deducir, partiendode la ecuación general de la recta, :

Esta es la segunda forma de la ecuación de la recta y se utiliza cuando se conoce la pendiente y la ordenada al origen,que llamaremos . También se puede utilizar esta ecuación para conocer la pendiente y la ordenada al origen apartir de una ecuación dada.

Forma segmentaria de la ecuación de la recta (Ecuación simétrica)Así como a la ordenada al origen se le puede llamar , a la abscisa al origen se le puede llamar . Si se planteacomo problema encontrar la ecuación de una recta, conocidos y (la abscisa y ordenada al origen), se conocendos puntos de la recta los cuales son los siguientes:

y

Con estos puntos se puede encontrar dicha ecuación, pero primero se debe calcular la pendiente:

Después se sustituye en la ecuación , usando cualquiera de los dos puntos, en este caso (a,

0):

Por último se tiene que dividir toda la ecuación entre el término independiente :

Se obtiene la ecuación de la recta en su forma simétrica. Esta ecuación se suele utilizar para obtener la ecuación deuna recta de la que se conocen sus intersecciones con los ejes y cuando, a partir de la ecuación de una recta, sedesean conocer los puntos donde dicha recta interseca a los ejes.

Recta 90

Ecuación Normal de la recta (Primera forma; Ecuación de Hesse)Ludwig Otto Hesse (1811-1874, matemático alemán, profesor en la Universidad de Heidelberg y en la UniversidadTécnica de Múnich.)Esta es la forma normal de la recta:

Siendo d el valor de la distancia entre la recta y el origen de coordenadas. El ángulo omega ω es el ángulo formadoentre la recta y el eje de las ordenadas.Donde x que es una constante que nos ayudará a obtener la forma normal, la cual se puede obtener de la formageneral de la recta.

Extrayendo la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de A y B. Como sigue:

Con el número x podemos obtener a y a de la misma ecuación general de la recta, dividiendo a A y Bentre k y para calcular d dividimos a C entre k.Debemos tener cuidado al calcular C, por que C=-kd, entonces si C>0 (es positiva) tomaremos el valor negativo de k(y será el mismo todas las veces que usemos a k en la misma ecuación), cuando C<0 (es negativa) usaremos el valorpositivo de k.[2]

Ecuación Normal de la recta (Segunda forma)

Tomando el valor positivo o negativo de la raíz según corresponda.

La recta en coordenadas cartesianas

Recta 91

La ecuación explícita de una recta en el plano, por ejemplo la recta r responde a la fórmula general:

La ecuación anterior debe cumplirse en los puntos A y B, de modo que:

Resolviendo el sistema de ecuaciones:

• m se denomina pendiente de la recta y su valor es el de la tangente del ángulo (α) que forma la recta con el eje x.• m es el resultado de dividir la diferencia ordenadas entre la diferencia de abscisas de un par de puntos

cualesquiera de la recta.• n representa el punto de intersección de la recta con el eje Y (eje de ordenadas).

Rectas notables

• La ecuación de una recta vertical, tal como la v, responde a la ecuación general (constante).• La ecuación de una recta horizontal, tal como la h, responde a la ecuación general (constante).• Una recta trigonoidal, tal como la s, que pase por el origen O (0, 0), cumplirá la condición n = 0, siendo su

ecuación: .• Dos rectas cualesquiera:

serán paralelas si y solo si . Además, serán coincidentes cuando:

serán perpendiculares si y sólo si , es decir:

Recta 92

Rectas que pasan por un punto

Determinar las rectas del plano que pasanpor el punto .

La ecuación de la recta ha de ser, como yase sabe:

Y ha de pasar por el punto , luegotendrá que cumplirse:

Despejando b, tenemos esta ecuación:

Sustituyendo b en la ecuación general de la recta:

Ordenando términos:

Esta ecuación define un haz de rectas en el plano que pasa por el punto , el valor de m es la pendiente decada una de las rectas que forman parte del haz, m puede tomar un valor real cualesquiera.

Recta que pasa por dos puntos

Si ha de pasar por dos puntos y luego tendrá que cumplirse

que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema,cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:

agrupando términos:

despejando m:

Recta 93

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: y .Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen quepasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

Rectas perpendiculares

Dada una recta:

Se trata de determinar que rectas:

son perpendiculares a la primera.Sabiendo que:

Siendo el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulocon la horizontal, por trigonometría sabemos que:

y si la pendiente de la primera recta es:

Recta 94

la de la segunda debe de ser:

Esto es, dada una recta cualquiera:

cualquier recta de la forma:

Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectasperpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa larecta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y elresultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.

Véase también• Punto• Segmento• Plano• Semiplano• Semirrecta

Referencias[1] www.euclides.org: Los Elementos (http:/ / www. euclides. org/ menu/ elements_esp/ 01/ definicioneslibro1. htm)[2] Wooton, William. Geometría Analítica Moderna. México 1979. P.p. 90

Enlaces externos• Portal:Matemática. Contenido relacionado con Matemática.• Wikcionario tiene definiciones para recta.Wikcionario• Weisstein, Eric W., « Line (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Line. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram

Research.• La Recta (http:/ / www. wikimatematica. org/ index. php?title=La_recta) (Español)

Circunferencia 95

CircunferenciaLa circunferencia es una línea curva, plana y cerrada, cuya definición más usual es:

Una circunferencia es el conjunto de todos los puntos de un plano que equidistan de otro punto fijo y coplanar llamado centro.

A la distancia entre cualquiera de sus puntos y el centro se le denomina radio. El segmento de recta formado por dosradios alineados se llama diámetro. Es la mayor distancia posible entre dos puntos que pertenezcan a lacircunferencia. La longitud del diámetro es el doble de la longitud del radio. La circunferencia sólo posee longitud.Se distingue del círculo en que éste es el lugar geométrico de los puntos contenidos en una circunferenciadeterminada; es decir, la circunferencia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.Puede ser considerada como una elipse de excentricidad nula, o una elipse cuyos semiejes son iguales. También sepuede describir como la sección, perpendicular al eje, de una superficie cónica o cilíndrica, o como un polígono deinfinitos lados, cuya apotema coincide con su radio.La circunferencia de centro en el origen de coordenadas y radio 1 se denomina circunferencia unidad ocircunferencia goniométrica.[1] [2] [3] [4] [5]

Es una curva plana con infinitos ejes de simetría y sus aplicaciones son muy numerosas.

Circunferencia 96

Elementos de la circunferencia

Secantes, cuerdas y tangentes.

La mediatriz de una cuerda pasa por elcentro de la circunferencia.

Existen varios puntos, rectas y segmentos, singularesen la circunferencia:

• Centro, el punto interior equidistante de todos lospuntos de la circunferencia;

• Radio, el segmento que une el centro con un puntocualquiera de la circunferencia;

• Diámetro, el mayor segmento que une dos puntosde la circunferencia (necesariamente pasa por elcentro);

• Cuerda, el segmento que une dos puntos de lacircunferencia; (las cuerdas de longitud máxima sonlos diámetros)

• Recta secante, la que corta a la circunferencia endos puntos;

• Recta tangente, la que toca a la circunferencia enun sólo punto;

• Punto de tangencia, el de contacto de la rectatangente con la circunferencia;

• Arco, el segmento curvilíneo de puntospertenecientes a la circunferencia;

• Semicircunferencia, cada uno de los dos arcosdelimitados por los extremos de un diámetro.

Posiciones relativas

La circunferencia y un punto

Un punto en el plano puede ser:• Exterior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es mayor que la longitud del radio.• Perteneciente a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es igual a la longitud del radio.• Interior a la circunferencia, si la distancia del centro al punto es menor a la longitud del radio.

La circunferencia y la rectaUna recta, respecto de una circunferencia, puede ser:• Exterior, si no tienen ningún punto en común con ella y la distancia del centro a la recta es mayor que la longitud

del radio.• Tangente, si la toca en un punto (el punto de tangencia) y la distancia del centro a la recta es igual a la longitud

del radio. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular al radio que une el punto de tangencia con elcentro.

• Secante, si tiene dos puntos comunes, es decir, si la corta en dos puntos distintos y la distancia del centro a larecta es menor a la longitud del radio.Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia

• Segmento circular, es el conjunto de puntos de la regiòn circular comprendida entre una cuerda y el arcocorrespondiente

Circunferencia 97

Dos circunferencias

Dos circunferencias, en función de sus posiciones relativas, se denominan:• Exteriores, si no tienen puntos comunes y la distancia que hay entre sus

centros es mayor que la suma de sus radios. No importa que tengan igual odistinto radio. (Figura 1)

• Tangentes exteriormente, si tienen un punto común y todos los demáspuntos de una son exteriores a la otra. La distancia que hay entre suscentros es igual a la suma de sus radios. No importa que tengan igual odistinto radio. (Figura 2)

• Secantes, si se cortan en dos puntos distintos y la distancia entre suscentros es menor a la suma de sus radios. No importa que tengan igual odistinto radio. Dos circunferencias distintas no pueden cortarse en más dedos puntos. Dos circunferencias son secantes ortogonalmente si el ánguloentre sus tangentes en los dos puntos de contacto es recto. (Figura 3)

• Tangentes interiormente, si tienen un punto común y todos los demáspuntos de una de ellas son interiores a la otra exclusivamente. La distanciaque hay entre sus centros es igual al valor absoluto de la diferencia de susradios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que la otra. (Figura 4)

• Interiores excéntricas, si no tienen ningún punto común y la distanciaentre sus centros es mayor que 0 y menor que el valor absoluto de ladiferencia de sus radios. Una de ellas tiene que tener mayor radio que laotra.

• Interiores concéntricas, si tienen el mismo centro (la distancia entre suscentros es 0) y distinto radio. Forman una figura conocida como corona circular o anillo. Una de ellas tiene quetener mayor radio que la otra. (Figura 5)

• Coincidentes, si tienen el mismo centro y el mismo radio. Si dos circunferencias tienen más de dos puntoscomunes, necesariamente son circunferencias coincidentes.

Ángulos en una circunferencia

Ángulos en la circunferencia.

Un ángulo, respecto de una circunferencia, pueden ser:Ángulo central, si tiene su vértice en el centro de ésta. Suslados contienen a dos radios.

La amplitud de un ángulo central es igual a la del arcoque abarca.

Ángulo inscrito, si su vértice es un punto de la circunferenciay sus lados contienen dos cuerdas.

La amplitud de un ángulo inscrito en una semicircunferencia equivale a la mayor parte del ánguloexterior que limita dicha base. (Véase: arco capaz.)

Ángulo semi-inscrito, si su vértice es un punto de lacircunferencia y sus lados contienen una cuerda y una rectatangente a la circunferencia. El vértice es el punto detangencia.

Circunferencia 98

Arco capaz: los cuatro ángulos inscritos determinan elmismo arco y por tanto son iguales.

La amplitud de un ángulo semi-inscrito es la mitad de ladel arco que abarca.

Ángulo interior, si su vértice está en el interior de lacircunferencia.

La amplitud de un ángulo interior es la mitad de la sumade dos medidas: la del arco que abarcan sus lados másla del arco que abarcan sus prolongaciones.

Ángulo exterior, si tiene su vértice en el exterior de lacircunferencia

Longitud de la circunferencia

La longitud de una circunferencia es:

donde es la longitud del radio.Pues (número pi), por definición, es el cociente entre la longitud de la circunferencia y el diámetro:

Ecuaciones de la circunferencia

Ecuación en coordenadas cartesianas

En un sistema de coordenadas cartesianas x-y, lacircunferencia con centro en el punto (a, b) y radio rconsta de todos los puntos (x, y) que satisfacen laecuación

.Cuando el centro está en el origen (0, 0), la ecuación anterior se simplifica al

.La circunferencia con centro en el origen y de radio la unidad, es llamada circunferencia goniométrica,circunferencia unidad o circunferencia unitaria.

Circunferencia 99

De la ecuación general de una circunferencia,

se deduce:

resultando:

Si conocemos los puntos extremos de un diámetro: ,la ecuación de la circunferencia es:

Ecuación vectorial de la circunferencia

La circunferencia con centro en el origen y radio R, tiene por ecuación vectorial: .Donde es el parámetro de la curva, además cabe destacar que . Se puede deducir fácilmente desde laecuación cartesiana, ya que la componente X y la componente Y, al cuadrado y sumadas deben dar por resultado elradio de la circunferencia al cuadrado. En el espacio esta misma ecuación da como resultado un cilindro, dejando elparámetro Z libre.

Ecuación en coordenadas polares

Cuando la circunferencia tiene centro en el origen y elradio es c, se describe en coordenadas polares como

Cuando el centro no está en el origen, sino en el puntoy el radio es , la ecuación se transforma en:

Circunferencia 100

Ecuación en coordenadas paramétricas

La circunferencia con centro en (a, b) y radio c se parametriza con funciones trigonométricas como:

y con funciones racionales como

Área

Área del círculo = π × área del cuadradosombreado.

El área del círculo delimitado por la circunferencia es:

Esta última fórmula se deduce sabiendo que el área de cualquier polígono regular es igual al semiproducto entre elapotema y el perímetro del polígono, es decir: .

Considerando la circunferencia como el caso límite de un polígono regular de infinitos lados, entonces, el apotemacoincide con el radio, y el perímetro con la longitud de la circunferencia, por tanto:

Otras propiedades

Circunferencia 101

• Potencia de un punto: si dos cuerdas se intersecan, el producto de los segmentos formados en la una, es igual alproducto de los segmentos formados en la otra cuerda, .

• El segundo teorema de Tales muestra que si los tres vértices de un triángulo están sobre una circunferencia dada,siendo uno de sus lados el diámetro de la circunferencia, entonces, el ángulo opuesto a éste lado es un ángulorecto (véase arco capaz).

Triángulos rectángulos inscritos en unasemicircunferencia.

• Dados tres puntos cualesquiera no alineados, existe una única circunferencia que contiene a estos tres puntos (estacircunferencia estará circunscrita al triángulo definido por estos puntos). Dados tres puntos no alineados en elplano cartesiano , la ecuación de la circunferencia está dada de forma simple por ladeterminante matricial:

Circunferencia en topologíaEn topología, se denomina circunferencia a cualquier curva cerrada que sea homeomorfa a la circunferencia usual dela geometría (es decir, la esfera 1–dimensional). Se la puede definir como el espacio cociente determinado alidentificar los dos extremos de un segmento cerrado.[6]

Los geómetras llaman 3-esfera a la superficie de la esfera. Los topólogos se refieren a ella como 2-esfera y la indicancomo .[7]

Circunferencia 102

Véase también• Círculo• 1-esfera• Sección cónica

• Elipse• Parábola• Hipérbola

• Teorema segundo de Tales

Referencias[1] "Introducción a la geometría" Eugenio Roanes Macías. Anaya editorial. 1ª ed, 1980. ISBN 84-207-1478-X[2] "Geometría Diferencial" Antonio López de la Rica, Agustín de la Villa Cuenca. 1997. ISBN 84-921847-3-6[3] "Geometría analítica del plano y del espacio". Jesús M. Ruiz. Anaya, 1ª ed, 2003. ISBN 84-667-2612-8[4] "Cálculus" (Volumen I). Tom M. Apostol. Segunda edición, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1[5] "Cálculo" (Volumen I) Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards. McGraw-Hill, Octava edición, 2006. ISBN 970-10-5274-9[6] Diccionario de términos de topología empleados por Jacques Lacan.[7] Weisstein, Eric W., « Sphere (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Sphere. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, , consultado en

2009.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre círculos y circunferencias. Commons• Círculo y circunferencia, en Descartes. Centro Nacional de Información y Comunicación Educativa. Ministerio

de Educación, Política Social y Deporte de España (http:/ / descartes. cnice. mec. es/ materiales_didacticos/poligonos_areas_dbc/ 2. htm)

• Materiales didácticos: Circunferencia, en Descartes (http:/ / descartes. cnice. mec. es/ materiales_didacticos/Circunferencia/ La circunferencia. htm)

• Círculo y circunferencia en webdelprofesor.ula.ve, de la Universidad de Los Andes, Venezuela (http:/ /webdelprofesor. ula. ve/ nucleotrujillo/ alperez/ teoria/ cap_01a-conceptos_geometricos/ 05-superficie. htm)

• Weisstein, Eric W., « Circunferencia (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Circumference. html)» (en inglés),MathWorld, Wolfram Research.

• Weisstein, Eric W., « Círculo (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Circle. html)» (en inglés), MathWorld, WolframResearch.

• Weisstein, Eric W., « Disco (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Disk. html)» (en inglés), MathWorld, WolframResearch.

Sección cónica 103

Sección cónica

Los cuatro ejemplos de intersección de un plano con uncono: parábola (1), elipse (2), hipérbola (3) y circunferencia.

Se denomina sección cónica (o simplemente cónica) a laintersección de un cono circular recto de dos hojas con unplano que no pasa por su vértice. Se clasifican en tres tipos:elipse, parábola e hipérbola.

Etimología

La primera definición conocida de sección cónica surge en laAntigua Grecia, cerca del año 350 (Menæchmus) donde lasdefinieron como secciones «de un cono circular recto».[1] Losnombres de hipérbola, parábola y elipse se deben a Apoloniode Perge. Actualmente, las secciones cónicas pueden definirsede varias maneras; estas definiciones provienen de las diversas ramas de la matemática: como la geometría analítica,la geometría proyectiva, etc.

Tipos

Perspectiva de las secciones cónicas.

Las cuatro secciones cónicas en el plano.

En función de la relación existente entre el ángulo de conicidad (α) y lainclinación del plano respecto del eje del cono (β), pueden obtenersediferentes secciones cónicas, a saber:• β < α : Hipérbola (naranja)• β = α : Parábola (azulado)• β > α : Elipse (verde)• β = 90º: Circunferencia (un caso particular de elipse) (rojo)Si el plano pasa por el vértice del cono, se puede comprobar que:• Cuando β > α la intersección es un único punto (el vértice).• Cuando β = α la intersección es una recta generatriz del cono (el

plano será tangente al cono).• Cuando β < α la intersección vendrá dada por dos rectas que se

cortan en el vértice.• cuando β = 90º El ángulo formado por las rectas irá aumentando a

medida β disminuye, hasta alcanzar el máximo (α) cuando el planocontenga al eje del cono (β = 0).

Sección cónica 104

Expresión algebraica

Partiendo de una circunferencia (e=0), al aumentar laexcentricidad se obtienen elipses, parábolas e hipérbolas.

En coordenadas cartesianas, las cónicas se expresan en formaalgebraica mediante ecuaciones cuadráticas de dos variables(x,y) de la forma:

en la que, en función de los valores de los parámetros, se tendrá:h² > ab: hipérbola.h² = ab: parábola.h² < ab: elipse.a = b y h = 0: circunferencia .

CaracterísticasLa elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano tales que la suma de las distancias a dos puntos fijosllamados focos es constante.Además de los focos F y F´, en una elipse destacan los siguientes elementos:• Centro, O• Eje mayor, AA´• Eje menor, BB´• Distancia focal, OF

La elipse con centro (0, 0) tiene la siguiente expresión algebraica:

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es constante y menor que la distancia entre los focos.Tiene dos asíntotas (rectas cuyas distancias a la curva tienden a cero cuando la curva se aleja hacia el infinito). Lashipérbolas cuyas asíntotas son perpendiculares se llaman hipérbolas equiláteras.Además de los focos y de las asíntotas, en la hipérbola destacan los siguientes elementos:• Centro, O• Vértices, A y A• Distancia entre los vértices• Distancia entre los focos

Sección cónica 105

La ecuación de una hipérbola con centro (0, 0), es:

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado foco, y de unarecta llamada directriz.Además del foco, F, y de la directriz, d, en una parábola destacan los siguientes elementos:• Eje, e• Vértice, V• Distancia de F a d, p.Una parábola, cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el de ordenadas, tiene la siguiente ecuación:

AplicacionesLas curvas cónicas son importantes en astronomía: dos cuerpos masivos que interactúan según la ley de gravitaciónuniversal, sus trayectorias describen secciones cónicas si su centro de masa se considera en reposo. Si estánrelativamente próximas describirán elipses, si se alejan demasiado describirán hipérbolas o parábolas.También son importantes en aerodinámica y en su aplicación industrial, ya que permiten ser repetidas por mediosmecánicos con gran exactitud, logrando superficies, formas y curvas perfectas.

Véase tambiénSección cónica degeneradaCurvas cónicas• Circunferencia• Elipse• Parábola• Hipérbola• Cuádrica• Esferas de DandelinAplicaciones• Aerodinámica• Morfología (diseño)• Gravitación• Geometría proyectiva

Notas[1] Oswald Veblen, John Wesley Young, Proyective Geometry, vol I, Ginn & Co. Ed. (1910)

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre secciones cónicas. Commons• Cónicas en wmatem.eis.uva.es (http:/ / wmatem. eis. uva. es/ ~matpag/ CONTENIDOS/ Conicas/ marco_conicas.

htm)

Elipse 106

ElipseLa elipse es una línea curva, cerrada y plana cuya definición más usual es:

La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de las distancias a otros dos puntos fijos llamados focoses una constante positiva.

Una elipse es la curva simétrica cerrada que resulta al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje desimetría –con ángulo mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución.[1] Una elipse que gira alrededor desu eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que gira alrededor de su eje principal genera unesferoide alargado.

Historia

Forma elíptica trazada en la antigüedad sobre un muro deTebas (Egipto).

La elipse, como curva geométrica, fue estudiada porMenaechmus, investigada por Euclides, y su nombre seatribuye a Apolonio de Perge. El foco y la directriz de lasección cónica de una elipse fueron estudiadas por Pappus. En1602, Kepler creía que la órbita de Marte era ovalada, aunquemás tarde descubrió que se trataba de una elipse con el Sol enun foco. De hecho, Kepler introdujo la palabra «focus» ypublicó su descubrimiento en 1609. Halley, en 1705, demostróque el cometa que ahora lleva su nombre trazaba una órbitaelíptica alrededor del Sol.[2]

Elipse 107

Elementos de una elipse

La elipse y algunas de sus propiedades matemáticas.

La elipse es una curva plana y cerrada,simétrica respecto a dos ejesperpendiculares entre sí:• El semieje mayor (el segmento C-a

de la figura), y• el semieje menor (el segmento C-b

de la figura).

Miden la mitad del eje mayor y menorrespectivamente.

Puntos de una elipse

Los focos de la elipse son dos puntosequidistantes del centro, F1 y F2 en eleje mayor. La suma de las distanciasdesde cualquier punto P de la elipse alos dos focos es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor, (PF1 + PF2 = 2a).

Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia F1F2, un punto P pertenecerá ala elipse si se cumple la relación:

donde es la medida del semieje mayor de la elipse.

Ejes de una elipseEl eje mayor 2a, es la mayor distancia entre dos puntos adversos de la elipse. El resultado constante de la suma delas distancias de cualquier punto a los focos equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dospuntos adversos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre si.

Excentricidad de una elipseLa excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de laelipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno.

, con

Dado que , también vale la relación:

Elipse 108

o el sistema:

La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime suexcentricidad al valor cero.[3] La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.(No se debe usar la letra e para designarla, porque se reserva para la base de los logaritmos naturales o neperianos.Véase: número e).

Excentricidad angular de una elipseLa excentricidad angular es el ángulo para el cual el valor de la función trigonométrica seno concuerda con laexcentricidad , esto es:

Constante de la elipse

En una elipse, por definición, la suma de lalongitud de ambos segmentos (azul + rojo)es una cantidad constante, la cual siempre esigual a la longitud del «eje mayor», 2a.

En la elipse de la imagen, la constante es 10.Equivale a la longitud medida desde el focoF1 al punto P (ubicado en cualquier lugar dela elipse) sumada a la longitud desde el focoF2 a ese mismo punto P. (El segmento decolor azul sumado al de color rojo).

El segmento correspondiente, tanto trazoPF1 (color azul), como al PF2 (color rojo),se llaman «radio vector». Los dos «focos» equidistan del centro O. En la animación, el punto P recorre la elipse, y enél convergen ambos segmentos (azul y rojo).

Elipse 109

Directrices de la elipse

La recta dD es una de las 2 directrices de la elipse.

Cada foco F de la elipse está asociado con una recta paralela al semieje menor llamada directriz (ver ilustración de laderecha). La distancia de cualquier punto P de la elipse hasta el foco F es una fracción constante de la distanciaperpendicular de ese punto P a la directriz que resulta en la igualdad:

La relación entre estas dos distancias es la excentricidad de la elipse. Esta propiedad (que puede ser probada conla herramienta esferas de Dandelin) puede ser tomada como otra definición alternativa de la elipse.

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano para los cuales se cumple que el cociente entre sus distancias a un puntofijo –que se denomina foco– y a una recta dada –llamada directriz– permanece constante y es igual a la excentricidad de la misma.

Además de la bien conocida relación , también es cierto que , también es útil la fórmula .

Aunque en la figura solo se dibujó la directriz del foco derecho, existe otra directriz para el foco izquierdo cuyadistancia del centro O es -d, la cual además es paralela a la directriz anterior.

Ecuaciones de la elipse

En coordenadas cartesianas

Forma cartesiana centrada en origen

La ecuación de una elipse en coordenadas cartesianas, con centro en el origen, es:

donde a > 0 y b > 0 son los semiejes de la elipse (a corresponde al eje de las abscisas, b al eje de las ordenadas). Elorigen O es la mitad del segmento [FF']. La distancia entre los focos FF' se llama distancia focal y vale 2c = 2ea,siendo e la excentricidad y a el semieje mayor.

Elipse 110

Forma cartesiana centrada fuera del origen

Si el centro de la elipse se encuentra en el punto (x1, y1), la ecuación es:

En coordenadas polares

Forma polar centrada en origen

En coordenadas polares, con origen en su centro, la ecuación de la elipse es:(epc 1)

Una ecuación más elegante que la anterior (pero que obliga a pre-calcular la excentricidad ), es:

(epc 2)

Para ambas ecuaciones a es el semieje mayor, b es el semieje menor de la elipse, θ es el ángulo polar y para la (epc2) ε es la excentricidad.

Si no se quiere pre-calcular la excentricidad convendrá utilizar la ecuación (epc 1), en caso contrario

utilizar la ecuación (epc 2).

Formas polares centradas en un foco

Coord. polares sobre un foco.

En coordenadas polares, con el origen en uno de sus focos, la ecuación de la elipse es:(501)

Para el otro foco:(502)

Elipse 111

"Semi-latus rectum" (en verde) de la elipse.

En el caso un poco más general de una elipse con unfoco en el origen y el otro foco en la coordenadaangular , la forma polar es:

(503) }

El ángulo de las ecuaciones (501),(502) y (503) es la llamada anomalía verdadera del punto y el numerador delas mismas es el llamado semi-latus rectum de la elipse, normalmente denotado . El semi-latus

rectum es la distancia entre un foco y la misma elipse sobre una línea perpendicular al semieje mayor que pasa porel foco.

Formas paramétricas

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en y siendo el semieje mayor y el menor, es:

con no es el ángulo θ del sistema de coordenadas polares con origen en el centro de la elipse(tampoco es el ángulo del sistema de coordenadas polares con origen en algún foco de la elipse). La relación entre

y θ es

.

La ecuación paramétrica de una elipse con centro en en la que el parámetro sea concordante con el ángulopolar respecto al centro desplazado es:

con . El parámetro es el ángulo de un sistema polar cuyo origen está centrado en .

Elipse 112

Área interior de una elipseEl área de la superficie interior de una elipse es:

Siendo a y b los semiejes.[4]

Longitud de una elipseEl cálculo del perímetro de una elipse requiere del cálculo de integrales elípticas de segunda especie.Sin embargo, el matemático Ramanujan ideó una ecuación más simple que se aproxima razonablemente a la longitudde la elipse, pero en grado menor que la obtenida mediante integrales elípticas. Ramanujan, en su fórmula, entreotros valores utiliza el “semieje mayor” y el “semieje menor”. Ecuación de la longitud de una elipse:

Propiedades notablesLa elipse goza de ciertas propiedades asociadas a sus componentes, como se puede ver en Analogía de Michelson yMorley.

La elipse como cónicaLa elipse surge de la intersección de una superficie cónica con un plano, de tal manera que la inclinación del planono supere la inclinación de la recta generatriz del cono, consiguiendo así que la intersección sea una curva cerrada.En otro caso el corte podría ser una hipérbola o una parábola. Es por ello que a todas estas figuras bidimensionales selas llama secciones cónicas o simplemente cónicas.

la elipse como cónica.

Elipse 113

La elipse como hipotrocoideLa elipse es un caso particular de hipotrocoide, donde R = 2r, siendo R el radio de la circunferencia directriz, y r elradio de la circunferencia generatriz.En una curva hipotrocoide, la circunferencia que contiene al punto generatriz, gira tangencialmente por el interior dela circunferencia directriz.

La elipse como caso particular de hipotrocoide.Datos: R = 10, r = 5, d = 1.

Construcción paramétrica de una elipseSe dibujan dos circunferencias concéntricas cuyos diámetros equivalen a la medida de los ejes ortogonales de lafutura elipse. Si trazamos segmentos palalelos a los ejes principales X e Y, partiendo del extremo de los radiosalineados, la intersección de dichos segmentos son puntos de la elipse.

Elipse 114

Anamorfosis de una circunferencia en una elipseDeterminada trasformación de la circunferencia (al deformar ortogonalmente el plano cartesiano asociado a ella), sedenomina anamorfosis. Se corresponde con una perspectiva especial. El término anamorfosis proviene del idiomagriego y significa trasformar.

Una circunferencia en un plano cartesiano no deformado.

Esta circunferencia se transforma en una elipse mediante unaanamorfosis, donde el eje Y se ha contraído y el X se ha

dilatado.

En el caso de la circunferencia, si el plano cartesiano se divide en cuadrados, cuando dicho plano se «deforma» ensentido del eje X, el Y, o ambos, la circunferencia se transforma en una elipse y los cuadrados en rectángulos.

Elipses semejantesSe dice que dos figuras son semejantes cuando se diferencian sólo en el tamaño (pero no en la forma), de tal maneraque multiplicando todas las longitudes por un factor dado, se pasa de una figura a la otra. Hay un teorema de utilidaden Física[5] acerca de la intersección de una recta con dos elipses semejantes y concéntricas.

Teorema: Si la intersección de una recta con la corona comprendida entre dos elipses semejantes con el mismo centro y ejescorrespondientes colineales consta de dos segmentos, entonces éstos tienen igual longitud.

Explicación: El teorema es cierto, por simetría, en el caso particular en que las elipses dadas sean dos circunferenciasconcéntricas. Contrayendo o dilatando uniformemente una de las direcciones coordenadas, mediante anamorfosis,podemos transformar cualquier caso en este caso particular, pues todos los segmentos con la misma pendientecambian su longitud en la misma proporción. Por tanto, puesto que al final del proceso los dos segmentos de la rectatienen la misma longitud, la tenían ya al principio.No deben confundirse las elipses semejantes con las elipses cofocales.

Elipse 115

La elipse en mecánica celeste

Diagrama ilustrando la segunda ley de Kepler, "en tiempos iguales unamasa en órbita barre con su radio vector áreas iguales".

En mecánica celeste clásica, dos masas puntualessometidas exclusivamente a interacción gravitatoriadescriben una órbita elíptica o circular la una entorno a la otra cuando la órbita es cerrada. Unobservador situado en cualquiera de las masas veráque la otra describe una elipse (o circunferencia) unode cuyos focos (o centro) está ocupado por el propioobservador. La excentricidad y otros parámetros de latrayectoria dependen, para dos masas dadas, de lasposiciones y velocidades relativas. Los planetas y elSol satisfacen la condición de masas puntuales congran precisión porque sus dimensiones son muchomás pequeñas que las distancias entre ellos. Lacinemática de la órbita se rige por las leyes deKepler.

En la figura pueden verse dos intervalos de tiempo distintos de una órbita elíptica que cumplen la segunda ley deKepler: "en tiempos iguales una masa en órbita barre con su radio vector áreas iguales". Cuando el "planeta" estámás cerca de la "estrella" va más rápido y cuando está lejos va más despacio, pero de tal manera que su velocidadareolar es la misma en ambos casos. Esto significa que las áreas de los sectores elípticos amarillos son iguales y susarcos t0 t1 se han recorrido en intervalos de tiempo iguales, Δt = t1 - t0. La "estrella" está situada en P, uno de losfocos de la elipse.

Véase también• Secciones cónicas

• Parábola• Hipérbola• Circunferencia

• Superelipse• Circunferencia principal• Leyes de Kepler• Anexo:Ecuaciones de figuras geométricas• Esferas de Dandelin

Referencias[1] Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de revolución, es menor que el comprendido entre la generatriz y el eje de revolución, la

intersección será una hipérbola. Será una parábola si es paralelo al citado eje, y una circunferencia si es perpendicular dicho eje.[2] Weisstein, Eric W., « Elipse (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Ellipse. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram Research, .[3] Ejemplos de excentricidad de una elipse, en geometriadinamica (http:/ / geometriadinamica. es/ Geometria/ Conicas-y-otras-curvas/

Elipse-Excentricidad. html)[4] Ejemplo en educaplus (http:/ / www. educaplus. org/ play-22-�rea-de-la-elipse. html)[5] Ellipsoidal Figures of Equilibrium de S. Chandrasekhar, 1969, Yale University.

Elipse 116

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Elipse. Commons• Weisstein, Eric W., « Elipse (http:/ / mathworld. wolfram. com/ Ellipse. html)» (en inglés), MathWorld, Wolfram

Research.• Actividad escolar para estudiar la elipse. (http:/ / www. educaplus. org/ play-181. html)• Cálculo del perímetro de una elipse (http:/ / www. disfrutalasmatematicas. com/ geometria/ elipse-perimetro.

html)• Animación de un plano seccionando un cono y determinando la curva cónica elipse. (http:/ / www. stefanelli. eng.

br/ webpage/ es_elipse. html)

Parábola (matemática)

Secciones cónicas.

La trayectoria de una pelota que rebota es unasucesión de parábolas.

En matemática, la parábola (del griego παραβολή) es la seccióncónica resultante de cortar un cono recto con un plano paralelo a sugeneratriz.[1] Se define también como el lugar geométrico de lospuntos de un plano que equidistan de una recta (eje o directriz) y unpunto fijo llamado foco. En geometría proyectiva, la parábola se definecomo la curva envolvente de las rectas que unen pares de puntoshomólogos en una proyectividad semejante o semejanza.

La parábola aparece en muchas ramas de las ciencias aplicadas, debidoa que las gráficas de ecuaciones cuadráticas son parábolas. Porejemplo, la trayectoria ideal del movimiento de los cuerpos bajo lainfluencia de la gravedad.

Historia

La tradición reza que las secciones cónicas fueron descubiertas porMenecmo en su estudio del problema de la duplicación del cubo,[2]

donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de unaparábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente porProclo y Eratóstenes.[3]

Sin embargo, el primero en usar el término parábola fue Apolonio dePerge en su tratado Cónicas,[4] considerada obra cumbre sobre el temade las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de lastangentes a secciones cónicas.

Si un cono es cortado por un plano a través de su eje, y también es cortado por otro plano que corte la base del conoen una línea recta perpendicular a la base del triángulo axial, y si adicionalmente el diámetro de la sección esparalelo a un lado del triángulo axial, entonces cualquier línea recta que se dibuje desde la sección de un cono a sudiámetro paralelo a la sección común del plano cortante y una de las bases del cono, será igual en cuadrado alrectángulo contenido por la línea recta cortada por ella en el diámetro que inicia del vértice de la sección y por otralínea recta que está en razón a la línea recta entre el ángulo del cono y el vértice de la sección que el cuadrado en labase del triángulo axial tiene al rectángulo contenido por los dos lados restantes del triángulo. Y tal sección serállamada una parábola

Apolonio de Perge

Parábola (matemática) 117

Es Apolonio quien menciona que un espejo parabólico refleja de forma paralela los rayos emitidos desde su foco,propiedad usada hoy en día en las antenas satelitales. La parábola también fue estudiada por Arquímedes,nuevamente en la búsqueda de una solución para un problema famoso: la cuadratura del círculo, dando comoresultado el libro Sobre la cuadratura de la parábola.

Propiedades geométricas

Diferentes elementos de una parábola.

Diagrama que muestra la propiedad reflexiva, ladirectriz (verde), y las líneas que unen el foco y la

directriz de la parábola (azul).

Aunque la definición original de la parábola es la relativa a la secciónde un cono recto por un plano paralelo a su directriz, actualmente esmás común definir la parábola como un lugar geométrico:

Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que sedenomina foco.

De esta forma, una vez fija una recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por foco y directriz deacuerdo a la siguiente construcción. Sea T un punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y acontinuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto medio) del segmento TF. La intersección de lamediatriz con la perpendicular por T a la directriz da como resultado un punto P que pertenece a la parábola.Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea necesario.De la construcción anterior se puede probar que la parábola es simétrica respecto a la línea perpendicular a ladirectriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola con tal línea (conocida como eje de laparábola) se le conoce como vértice de la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distanciaentre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio focal.

Parábola (matemática) 118

Los puntos de la parábola están a la mismadistancia del foco F y de la recta directriz. Construcción de puntos en una parábola.

Lado recto

El lado recto mide 4 veces la distancia focal

Al segmento de recta comprendido por la parábola, que pasa por elfoco y es paralelo a la directriz, se le conoce como lado recto.

La longitud del lado recto es siempre 4 veces la distancia focal.

Siendo D, E los extremos del lado recto y T, U las respectivas proyecciones sobre la directriz, denotando por W laproyección del foco F sobre la directriz, se observa que FEUW y DFWT son cuadrados, y sus lados miden FW=2FV.Por tanto el segmento DE es igual a 4 veces el segmento FV (la distancia focal).Las tangentes a la parábola que pasan por los extremos del lado recto forman ángulos de 45° con el mismo,consecuencia de que FEUW y DFWT sean cuadrados, junto con la construcción mencionada en la sección anterior.Además, tales tangentes se cortan en la directriz de forma perpendicular, precisamente en el punto de proyección Wdel foco, propiedades que pueden ser aprovechadas para construir una aproximación geométrica del foco y ladirectriz cuando éstos son desconocidos.

Parábola (matemática) 119

Semejanza de todas las parábolas

Todas las parábolas son semejantes, esúnicamente la escala la que crea la apariencia de

que tienen formas diferentes.

Dado que la parábola es una sección cónica, también puede describirsecomo la única sección cónica que tiene excentricidad . Launicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes, es decir,tienen la misma forma, salvo su escala.

Desafortunadamente, al estudiar analíticamente las parábolas(basándose en ecuaciones), se suele afirmar erróneamente que losparámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola, haciéndolamás ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen lamisma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hayparábolas de formas diferentes.Un argumento geométrico informal es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y efectuar laconstrucción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva, salvo su escala, que depende de la distancia delpunto a la directriz.

Tangentes a la parábola

La tangente biseca el ángulo entre el foco, elpunto de tangencia y su proyección.

Uso de las propiedades de las tangentes paraconstruir una parábola mediante dobleces en

papel.

Un resultado importante en relación a las tangentes de una parábolaestablece:

La tangente biseca el ángulo entre el foco, el punto de tangencia y su proyección.

En lo sucesivo, F denotará el foco de una parábola, P un punto de la misma y T su proyección sobre la directriz. Retomando la construcción dada para encontrar puntos de una parábola, sea MP la mediatriz del triángulo FPT, el cual es isósceles y por tanto biseca al ángulo FPT. Lo único que hay que verificar ahora es que MP también es la

Parábola (matemática) 120

tangente en el punto P. Sea Q otro punto de la parábola y sea U su proyección en la directriz.Puesto que FQ=QU y QU<QT, entonces FQ<QT. Dado que esto es cierto para cualquier otro punto de la parábola,se concluye que toda la parábola está de un mismo lado de MP, y como la desigualdad es estricta, no hay otro puntode la parábola que toque a la recta MP, esto quiere decir que MP es la tangente de la parábola en P.

Aplicaciones prácticasUna consecuencia de gran importancia es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en direcciónal foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principioconcentrando señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición del foco.La concentración de la radiación solar en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñascocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.Análogamente, una fuente emisora situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas yfaros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder enviar haces de luz paralelos emanados deuna fuente en posición focal. Los rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.

La parábola refleja sobre el focolos rayos paralelos al eje.Análogamente, un emisor

situado en el foco, enviará unhaz de rayos paralelos al eje.

Los radiotelescopiosconcentran los haces deseñales en un receptorsituado en el foco. El

mismo principio se aplicaen una antena de radar.

Cocina solar de concentradorparabólico. El mismo método seemplea en las grandes centrales

captadoras de energía solar.

Los faros de los automóvilesenvían haces de luz paralelos, sila bombilla se sitúa en el foco de

una superficie parabólica.

Ecuaciones de la parábola

Parábolas tipo y=ax2, con a=4, 1, 1/4 y 1/10.

Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio delas formas geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.

Una parábola cuyo vértice está en el origen y su eje coincide con el ejede las ordenadas, tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde elparámetro a especifica la escala de la parábola, incorrectamentedescrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo antes, todaslas parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es positivo,la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre «haciaabajo».

Si bien, la expresión en forma de ecuación no fue posible hasta eldesarrollo de la geometría analítica, la relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente enlos trabajos de Apolonio,[2] y se bosquejará a continuación usando notación moderna.

Parábola (matemática) 121

Prueba geométrica de la relación y=ax2.

Tomando nuevamente la definición de parábola como sección de uncono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje ysea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versiónanalítica y PV al valor y). Considerando la sección circular que pasapor Q y es paralela a la base del cono, obtenemos H, K paralelos a B yC.

Por el teorema de potencia de un punto:

.Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:

.

Usando nuevamente los paralelismos:

.

Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en

.

Pero el valor de es una constante pues no depende de la posición de V, por lo que haciendo

arroja la expresión moderna y=ax².

Parábola (matemática) 122

Parábolas verticales, con ecuaciones de la formay=ax²+bx+c.

Aplicando una sustitución de coordenadas podemos obtener ahora laecuación de una parábola vertical para cualquier posición de su vértice.

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical y su vértice es (u,v) tiene la forma (y-v)=a(x-u)2,

agrupando los términos y reordenando se obtiene una forma equivalente:

La ecuación de una parábola cuyo eje es vertical es de la forma .

Si la parábola es horizontal, se obtienen ecuaciones similares pero intercambiando y por x y viceversa. Asítendríamos:

La ecuación de una parábola cuyo eje es horizontal es de la forma .

Ecuación involucrando la distancia focal

Ecuación de una parábola vertical.

Pueden haber muchas parábolas que tengan un mismo vértice(variando el parámetro a) en la primera ecuación. Sin embargo, dadosdos puntos fijos, existe sólo una parábola que los tiene por vértice yfoco ya que la directriz queda automáticamente fija como laperpendicular a la línea que une el foco con el vértice y a esa mismadistancia del último.

Consideremos el caso especial en que el vértice es (0,0) y el foco es(0,p). La directriz es por tanto, la recta horizontal que pasa por (0,-p).A la distancia entre el vértice y el foco se le llama distancia focal, demodo que en este caso la distancia focal es igual a p. Con estaconfiguración se tiene:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es .

De forma alterna:

Parábola (matemática) 123

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,p) es .

Es de notar que el coeficiente 4p es precisamente la longitud del lado recto de la parábola.Ambas ecuaciones se refieren a parábolas verticales que se abren «hacia arriba». La ecuación de una parábola que seabre hacia abajo es similar excepto que varía un signo. En este caso, el foco sería (0,-p) y de esta forma:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (0,-p) es .

Cuando la parábola es horizontal «hacia la derecha», se obtiene una ecuación similar intercambiando los roles de x, y:

La ecuación de una parábola con vértice en (0,0) y foco en (p,0) es ,

obteniendo mediante un cambio de signo la ecuación de las parábolas hacia la izquierda.Finalmente, las ecuaciones cuando el vértice no está en el centro se obtienen mediante una traslación. En el casocomún de la parábola vertical hacia arriba se tiene

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h, k+p) es ,

mientras que para la parábola horizontal se intercambia x con y:.

La ecuación de una parábola con vértice en (h, k) y foco en (h+p, k) es .

Ecuación general de una parábolaHasta ahora se han descrito parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta forma lasfórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes decoordenadas ortogonales.

La expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición en un plano es:

si y sólo si

y los coeficientes a y c no pueden ser simultáneamente nulos

Mediante traslaciones y rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación anterior se expresemediante una fórmula algebraica de la forma

, donde a es distinto de cero.

Véase también• Circunferencia• Elipse• Hipérbola• Sección cónica• Esferas de Dandelin

Parábola (matemática) 124

Referencias[1] Si el ángulo que forma el plano de intersección con el eje de revolución (o directriz), es mayor que el comprendido entre dicho eje y la

generatriz, entonces la intersección será una elipse. Será una hipérbola si dicho ángulo es menor al citado, y una circunferencia si el plano esperpendicular a la directriz o eje del cono.

[2] Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918(http:/ / worldcat. org/ oclc/ 2014918).

[3] Ken Schmarge. « Conic Sections in Ancient Greece (http:/ / www. math. rutgers. edu/ ~cherlin/ History/ Papers1999/ schmarge. html)» (eninglés). Consultado el 02-06-2008 de 2008.

[4] J. J. O'Connor y E. F. Robertson. « Apollonius of Perga (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Apollonius. html)» (eninglés). Consultado el 02-06-2008.

Enlaces externos• Wikimedia Commons alberga contenido multimedia sobre Parábola. Commons• Wikisource en inglés contiene el artículo de la Encyclopædia Britannica de 1911 sobre Parabola.Wikisource• Animación de un plan seccionando un cono y determinando la curva cónica parábola. (http:/ / www. stefanelli.

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DrawConicSections/ parabola. html)

Hipérbola 125

Hipérbola

Las asíntotas de la hipérbola se muestran como líneas discontinuas azules quese cortan en el centro de la hipérbola (curvas rojas), C. Los dos puntos

focales se denominan F1 y F2, la línea negra que los une es el eje transversal.La delgada línea perpendicular en negro que pasa por el centro es el eje

conjugado. Las dos líneas gruesas en negro paralelas al eje conjugado (por lotanto, perpendicular al eje transversal) son las dos directrices, D1 y D2. Laexcentricidad e (e>1), es igual al cociente entre las distancias (en verde)desde un punto P de la hipérbola a uno de los focos y su correspondiente

directriz. Los dos vértices se encuentran en el eje transversal a una distancia±a con respecto al centro.

Una hipérbola (del griego ὑπερβολή) es unasección cónica, una curva abierta de dos ramasobtenida al cortar un cono recto por un planooblicuo al eje de simetría con ángulo menor queel de la generatriz respecto del eje derevolución.[1]

Una hipérbola es el lugar geométrico de los puntos de un plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntosfijos, llamados focos, es igual a la distancia entre los vértices, la cual es una constante positiva.

Etimología. Hipérbole e hipérbola

Secciones cónicas.

Hipérbola deriva de la palabra griega ὑπερβολή (exceso), y es cognadode hipérbole (la figura literaria que equivale a exageración).

Véase también: hipérbole

Hipérbola 126

Historia

Debido a la inclinación del corte, el plano de lahipérbola interseca ambas ramas del cono.

Según la tradición, las secciones cónicas fueron descubiertas porMenecmo, en su estudio del problema de la duplicación del cubo,[2]

donde demuestra la existencia de una solución mediante el corte de unaparábola con una hipérbola, lo cual es confirmado posteriormente porProclo y Eratóstenes.[3]

Sin embargo, el primero en usar el término hipérbola fue Apolonio dePerge en su tratado Cónicas,[4] considerada obra cumbre sobre el temade las matemáticas griegas, y donde se desarrolla el estudio de lastangentes a secciones cónicas.

Ecuaciones de la hipérbola

Ecuaciones en coordenadas cartesianas: Ecuación de una hipérbola concentro en el origen de coordenadas y ecuación de la hipérbolaen su forma canónica.

Ecuación de una hipérbola con centro en el punto

Ejemplos:a)

b)

Ecuación de la hipérbola en su forma compleja

Una hipérbola en el plano complejo es el lugar geométrico formado por un conjunto de puntos , en el plano; tales que, cualesquiera de ellos satisface la condición geométrica de que el valor absoluto de la diferencia

de sus distacias , a dos puntos fijos llamados focos y , es una constante positivaigual al doble de la distancia (o sea ) que existe entre su centro y cualesquiera de sus vértices del eje focal.La ecuación queda: Evidentemente esta operación se lleva a cabo en el conjunto de los números complejos.

Hipérbola 127

Ecuaciones en coordenadas polares

Dos hipérbolas y sus asíntotas.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

Hipérbola abierta de noreste a suroeste:

Hipérbola abierta de noroeste a sureste:

Ecuaciones paramétricas

Imagen de sección cónica.

Hipérbola abierta de derecha a izquierda:

Hipérbola 128

Hipérbola abierta de arriba a abajo:

En todas las formulas (h,k) son las coordenadas del centro de la hipérbola, a es la longitud del semieje mayor, b es lalongitud del semieje menor.

Véase también• Geometría analítica• Sección cónica• Recta• Circunferencia• Elipse• Parábola• Esferas de Dandelin

Referencias[1] Si el ángulo de plano intersección, respecto del eje de revolución, es mayor que el comprendido entre la generatriz y el eje de revolución, la

intersección será una elipse. Será una parábola si es paralelo al citado eje, y una circunferencia si es perpendicular al eje.[2] Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918

(http:/ / worldcat. org/ oclc/ 2014918).[3] Ken Schmarge. « Conic Sections in Ancient Greece (http:/ / www. math. rutgers. edu/ ~cherlin/ History/ Papers1999/ schmarge. html)» (en

inglés). Consultado el 02-06-2008 de 2008.[4] J. J. O'Connor y E. F. Robertson. « Apollonius of Perga (http:/ / www-history. mcs. st-andrews. ac. uk/ Biographies/ Apollonius. html)» (en

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Wolfram Research.

Fuentes y contribuyentes del artículo 129

Fuentes y contribuyentes del artículoProductos notables  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47875176  Contribuyentes: AJGS, Airunp, Ale flashero, Aleposta, Almendro, Antur, Antón Francho, Arcibel, Bcoto,Camilo, Carlos Rogério Santana, Charly genio, Cobalttempest, Correogsk, Davidmeho803, Davidpar, DiegoV8, Durero, Elreytupapi, Ensada, Equir, Fabi 02, Farisori, Ferbr1, Fidelmoquegua,GermanX, Gorel, Hash, Hgz1111, Humberto, J.delanoy, JMCC1, Jsanchezes, Lobillo, Magister Mathematicae, Matdrodes, Maugemv, Mercenario97, MotherForker, Moustique, Muro de Aguas,Netito777, Oscar ., Pan con queso, PoLuX124, Prinzeza, Riverxz, Rodrigofraga, RoyFocker, Sabbut, Sankabana, Superzerocool, Tattox, Taty2007, Thormaster, Tritonynereida, Vitamine, Wewe,Xsm34, 240 ediciones anónimas

Factorización  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50694571  Contribuyentes: AV-2, Adgalad, Afragala, Alexav8, Alexis 14s, Alvaro qc, Amanuense, Andreasmperu, Anduemon,Angel GN, Angel verde, Antón Francho, Bachi 2805, Balderai, Banfield, Beagle, Beto29, BlackBeast, Bryan Efraìn Alvarez, Bucho, Ca in, Camilo, Carvas, Cesar saltillo, Charlyrko,Cobalttempest, Ctrl Z, Danie1996, Daniel JG, Daniel.villegas.p, David, David0811, Defilussofista, Der Kreole, Descansatore, Deybe, Diego 5397, Diegusjaimes, Digary, Dossier2, DrVino,Draxtreme, Dreitmen, Dunadar, EXr, Edmenb, EdoS, Eduardosalg, Elsenyor, Emelin Castaneda, Erfil, Esteban h58, Ezarate, Folkvanger, Fosterd, Foundling, Gavilanch, GermanX, Greek, Götz,Heisei, Herrlaga, Hoenheim, Howling mad, Hprmedina, Humberto, Isha, JKD, JMCC1, Jaimeromeroramirez, Javierito92, Je$u$, Jecanre, Jerowiki, Jesebi, Jkbw, Jtico, Juan Mayordomo,Juesoslo, Julio grillo, Karshan, Khiari, Kn, Kved, Laura Fiorucci, Leandroidecba, Leugim1972, Libertad y Saber, Lobo, Long221, LordT, Lucien leGrey, Lugrarz, Luis1970, Luish20, Luisrafael7,Magister Mathematicae, Maldoror, Maleiva, Mansoncc, Manwë, MarcoAurelio, Matdrodes, Mcetina, Mel 23, Mercenario97, Miik Ezdanitofff, Miky0301, Mnemotecnia, Molo8a, Montgomery,Moriel, Moustique, Mr. Lampard, Mrcrois, Mutari, Mxcatania, Netito777, Nicop, Pan con queso, Pino, Pinzo, PoLuX124, QuidEstVeritas?, R2D2!, Racso, Raystorm, Retama, Rodri cyberdog,RoyFocker, Rsg, Rαge, SITOMON, Sabbut, Santiago3232, Sebado, Segavi, Siouxie Siux, Solmarfil, Spirit-Black-Wikipedista, Tartaglia, Tebaxh, Thingg, Tirithel, Txo, Ugly, Uruk, Vic Fede,Vitamine, Xabiereus, XalD, Xsm34, Yerco, 895 ediciones anónimas

Potenciación  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50732956  Contribuyentes: Airunp, Alvaro qc, Amanuense, Andreasmperu, Angel GN, Anlifonru, Apo007, Axxgreazz,Açipni-Lovrij, Baiji, Banfield, Barleduc, Bcoto, Belb, Belgrano, BetoCG, Biasoli, BlackBeast, Bucephala, Bucho, Camilo, Camilo Garcia, Carmin, Chewie, Chico512, Cobalttempest, Cookie,Coterorote, Ctrl Z, DJ Nietzsche, Dapp93, David0811, Davius, Diegusjaimes, Draxtreme, Dreitmen, Duuk-Tsarith, Edc.Edc, Edmenb, Eduardosalg, Elias010594, Eligna, Elisardojm, Emiduronte,Erfil, Escarlati, Europaeuropa, FAR, Fernando Estel, Fernando101, Filipo, Fmariluis, GNM, Gaius iulius caesar, Galois76, Gato ocioso, GermanX, Ggenellina, Ghibertti, Goica, Greek, GrouchoMarx, Gsrdzl, Gusgus, Gustavocarra, HHH, HUB, Halfdrag, Homo logos, Humberto, Ignacio Icke, Ijulioagosto, Isha, J.delanoy, JMCC1, Jaontiveros, Jarke, Jcaraballo, Jerowiki, Jjafjjaf, Jkbw,JorgeGG, Jose 2222, Jtico, JuanDa0510, Karshan, Kmkze1, Kn, Korpiklaani, Kved, LMLM, LTtemplarios, Lagarto, Laura Fiorucci, Lcsrns, Leonpolanco, Leztilita1, Libertad y Saber, Loco085,Lucia rossi, M S, MARC912374, Macarrones, MadriCR, Magister Mathematicae, Mahadeva, Mansoncc, Manuelt15, Manwë, Mapigadm, Mar del Sur, MarcoAurelio, Matdrodes, Maturanna49,Mctpyt, Mel 23, Montgomery, MotherForker, Muro de Aguas, MyName14, Máximo de Montemar, Netito777, Nicop, Nixón, Orgullomoore, Pacomegia, Pakero, Palissy, Pan con queso, Petruss,PhJ, PoLuX124, Poco a poco, Portland, Queninosta, Ralphloren171, Raulshc, Relleu, Retama, RubiksMaster110, Sailorsun, Saloca, Santiperez, Satanás va de retro, Savh, Sebrev, Sergio AndresSegovia, Sergio670, Sheldonspock, Snakeyes, Soulreaper, Spirit-Black-Wikipedista, Super braulio, Taichi, Tano4595, Technopat, Thingg, Tirithel, Tomatejc, Truor, UnCubano, Valab,Vbenedetti, Vecellio, Veon, Verdecito, Vitamine, Wikiléptico, Xosema, Xqno, Xsm34, Yesid093, Zufs, Zyberfire4, 1298 ediciones anónimas

Propiedades de la radicación  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50791200  Contribuyentes: Banfield, Daimond, Der Kreole, Diegusjaimes, Edmenb, Foundling, GermanX,Greek, Grizzly Sigma, Gsrdzl, HUB, Humberto, Isha, Jarisleif, Jcaraballo, Jerowiki, Jkbw, Kyron62, Laura Fiorucci, Leonpolanco, Lucien leGrey, MadriCR, Mansoncc, Manuelt15, Matdrodes,Miss Manzana, Moncho2002, Mordvinia, Netito777, NicolasSatragno, Nicop, Pataquive, Player1, PoLuX124, Poco a poco, Rastrojo, Rickynoram, Savh, Spirit-Black-Wikipedista, Technopat,Tirithel, 249 ediciones anónimas

Racionalización de radicales  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50795957  Contribuyentes: Açipni-Lovrij, Camilo, David0811, Der Kreole, Diegusjaimes, Foyi62, GermanX,Gimlinu, Humbefa, Luis1970, Netito777, PoLuX124, Ramjar, Savh, Technopat, 69 ediciones anónimas

Logaritmo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50753356  Contribuyentes: 142857, Adept, Airunp, Aleator, Alejandrocaro35, Algarabia, Allforrous, Alvaro qc, Amanuense,Andreasmperu, Andrestorreg, Antur, AoX, Arkady, Arnajuan, Açipni-Lovrij, Banfield, Belgrano, Biasoli, Bonaire, Bucephala, Bucho, BuenaGente, CARHER666, Camilo, Carcediano,Carlosavelar1992, Cascaradeg7, Cesarsorm, Chanchicto, Crichtoman, Csoliverez, Ctrl Z, DJ Nietzsche, Dangelin5, Daniel JG, David0811, Davius, Deltasubk, Dibujon, Diegusjaimes, Dodo,Dorieo, Echani, Eduardosalg, El Moska, Emijrp, Equi, Etepero, Farisori, Fernando101, Filipo, Foundling, Fsd141, Furado, G katerin, Gaby mda, GermanX, Ggenellina, Greek, Góngora, Götz,HUB, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Isha, JMCC1, Jainfante, JanoMasoneria, Jerowiki, Jkbw, Joang4, JorgeGG, Jose luis gonzalez tolosa, Joseaperez, Jtico, Juan Mayordomo, Jurock, Kaprak,Kavanagh, Kn, Kolbert, KronAL, Kved, Laura Fiorucci, LordT, Lucien leGrey, Lupinoid, Mafores, Mahadeva, Malfer, ManuelGR, Manwë, Matdrodes, Maugemv, Mayolo, Mecamático,Meredhit, Miss Manzana, Moriel, Muro de Aguas, Murphy era un optimista, Neomow, Netito777, Nixón, OboeCrack, P40p, PACO, Pablo.cl, Pacomegia, Pedro Nonualco, Petruss, Platonides,PoLuX124, Prometheus, R2D2!, Raulshc, Resped, Ricardogpn, Roberto Fiadone, Romero Schmidtke, Rondador, Rsg, Sabbut, Sanbec, Santiperez, Savh, Skuark, Snakeyes, Solaris3001,Sonicriderslash, Soulreaper, SrFrederick, Super braulio, Superzerocool, Taichi, Tano4595, Technopat, Tirithel, Txo, Unaiaia, Vbenedetti, Vitamine, Vivero, WLoku, Wesisnay, Wikiléptico,Xtquique, Yeza, 577 ediciones anónimas

Ecuación  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50840185  Contribuyentes: -jem-, 1969, A ntiyanki, Adriansm, Ajraddatz, AleMC, Alejandris., Allforrous, Amadís, Anassesduses,Andreasmperu, Angel GN, Antur, Arielohits, Armando-Martin, Açipni-Lovrij, Banfield, Barteik, Bcoto, BlackBeast, Boja, Bucephala, BuenaGente, Camilo, CayoMarcio, Chanchicto, Charlygenio, Ciberrmorw, Cobalttempest, Corrector1, Correogsk, Cratón, David0811, Davius, Delphidius, DerHexer, Diegusjaimes, Digigalos, Diosa, Dodo, Dominican, Dorieo, Dreitmen, Edcg,Edmenb, Edslov, Eduardosalg, Eligna, Elliniká, Emiduronte, FAR, FallenJehova, Farisori, Ferdinand, Filipo, Flores,Alberto, Foundling, GNM, Gaeddal, Gafotas, Galandil, GermanX, Ggenellina,Greek, Gsrdzl, Gusbelluwiki, Gustronico, Götz, HUB, Halfdrag, Heimy, HiTe, Humberto, Ialad, Ingenioso Hidalgo, Interwiki, Isha, Itnas19, JMCC1, Jarisleif, Jcaraballo, Jerowiki, Jkbw,Johnbojaen, Joselarrucea, Josell2, Jsanchezes, JuanPaBJ16, Juanalmenara, Jugones55, Karshan, Khiari, KoHaKu12, Kved, LMLM, Laauraa, Leonpolanco, Lmcuadros, Losvalenda, Luceriux,Lucien leGrey, Macheledesma, Mafanufuelfe, Magister Mathematicae, Makete, Manwë, MarcoAurelio, Martin Rizzo, Matdrodes, Mcqc, Mel 23, Miguel, Miguel Saavedra, Miss Manzana,Moriel, Most07, Mpinomej, Mr.Ajedrez, Mushii, Nacho enriquez, Nacho00000, Netito777, Nicop, Nixón, Normantg, Numbo3, Oscar ., Pabloab, Pan con queso, Paz.ar, Petruss, Plasmoid,PoLuX124, Racso, Raulshc, Retama, RoyFocker, RubiksMaster110, S.m.e.r, Sabbut, Sardur, Savh, Schummy, Sebado, Sleyter, Suisui, Super braulio, Taichi, Tano4595, Technopat, Tempere,Tirithel, Tolitose, Wewe, Wikiléptico, Wilfredor, Xemuj, Youssefsan, Z00m24, Zuyuyin, 759 ediciones anónimas

Ecuación de primer grado  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50165212  Contribuyentes: -jem-, Apo007, Belb, Bryan316i, Camilo, Charly genio, Davius, Diegusjaimes,Dnu72, Dreitmen, Eduardosalg, GNM, Gaius iulius caesar, GermanX, Ggenellina, HiTe, Hortografia, Humberto, Hurricane2001, Jarisleif, Jkbw, Juan Mayordomo, Karpoke, Mansoncc,MarcoAurelio, Matdrodes, Netito777, Niko Bellic.2810, Oblongo, Pan con queso, Rdaneel, Satanás va de retro, Snakeyes, Super braulio, Vic Fede, Vitamine, 140 ediciones anónimas

Sistema de ecuaciones lineales  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50618705  Contribuyentes: Ale flashero, Angel GN, Astenuz, Barteik, Bucephala, CASF, Davius, Deachp,Diegusjaimes, Dj alejo, Dnu72, Edc.Edc, Elliniká, GASDEJAVA, Ggenellina, Gustav 7, HUB, Habermecanicus, Hameryko, HiTe, Humberto, Imrathor, Ingenioso Hidalgo, Isidro a h, Ivansss,J.delanoy, Jkbw, Joarobles, Jtico, Juan Mayordomo, Kved, Leonpolanco, Mafores, Magister Mathematicae, Manuelt15, Mar del Sur, Maria Marjim, Mariowiki, Martin paliza, Matdrodes,Netito777, Neto 007, Oscar ., Petruss, Pino, PoLuX124, Profegiovanny, Racso, Rafael.heras, Ramjar, Raulshc, Repos34, Ricard Delgado Gonzalo, Spirit-Black-Wikipedista, Steve.jaramillov,Super braulio, Tano4595, Uriel kamikaze, Vic Fede, Vitamine, Wilfredor, 264 ediciones anónimas

Ecuación de segundo grado  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50680210  Contribuyentes: Abece, Airunp, Aleposta, Alhen, Alvaro qc, Amadís, Angel GN, Angel verde, Antur,Armando-Martin, Atibays, Açipni-Lovrij, Baiji, Banfield, BlackBeast, Boanerges1001, BuenaGente, Chanchicto, Charly genio, Cobalttempest, Danielba894, Dark, Der Kreole, Diegusjaimes,Dodo, Dreitmen, Edslov, Ferbr1, Fernando H, Fran89, GNM, Gaddy, GermanX, Ggenellina, Gsrdzl, Guilleralpoder, HUB, Heylan, HiTe, Hosg, Hprmedina, Humberto, Ialad, Interwiki, JMCC1,Javierito92, Jecanre, Jerowiki, Jesús González Álvaro, Jkbw, JoseA, Juan Mayordomo, Jurgens, Jynus, Kved, L30nc1t0, Leibniz Newton, Lffallas, Lourdes Cardenal, Lucien leGrey, MagisterMathematicae, Manuel Trujillo Berges, Manuelt15, Manwë, Matdrodes, Mcetina, Morgul, Moriel, Mpinomej, Navarroaxel, Netito777, Nixón, ObscurO, Pan con queso, Pedro Nonualco, Raulshc,Rcamacho, Rockr24, Romero Schmidtke, Rovnet, Rαge, Sabbut, Saladinmad, Santiperez, Savh, Sebrev, Sergio Andres Segovia, Tano4595, Thormaster, Tirithel, Trousy, Vitamine, Xenoforme,Xobra, Xosema, Youssefsan, 360 ediciones anónimas

Ecuaciones con radicales  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=47647257  Contribuyentes: Diegusjaimes, Eligna, Farisori, Ggenellina, Gustavocarra, RoyFocker, Victor Lozano,20 ediciones anónimas

Número complejo  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50793941  Contribuyentes: .Sergio, 213-96-167-20.uc.nombres.ttd.es, 3coma14, Aeoris, Agualin, Airunp, Airwolf, Alexquendi, Andreasmperu, Antur, Arturo Reina, Ascánder, Atlante, Avm, Açipni-Lovrij, Bachi 2805, Bernard77, CSTAR, Camilo, Carledu8, Carloszelayeta, Charly Toluca, Charly genio, Ciclopediatro, Cinabrium, CorzoC., Dat, Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Dnu72, Doctor C, Dodo, Don Depresor, Dorieo, Drake 81, Farisori, Filipo, Flakinho, Fmariluis, Foundling, Frutoseco, Garber, GermanX, Geronime, Ggenellina, Gizmo II, Gonis, Greek, Gsrdzl, Gusgus, Götz, HUB, Hingelstein, Homo logos, Humbefa, Humberto, Ingenioso Hidalgo, Isha, Ivivaj, JMCC1, Jerowiki, Jesusosm, Jkbw, Joker Miguel, JorgeGG, Jose32, Joseaperez, Jtico, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Julie, Kn, Kristobal, Kved, LCB, LPFR, Lalela, Laura Fiorucci, Leibniz Newton, LimoWreck, MI GENERAL ZAPATA, Macarrones, Mafores, Manwë, Matdrodes, Matiasasb, Maveric149, Micael 3a, Mister, Moriel, Mpeinadopa, Msdus, Muro de Aguas, Mushii, Nahueli1989, Netito777, OboeCrack, Oscar ., Pabloallo, Pachamama41, Pacomegia, Pan con queso, Peejayem, Pertile, PoLuX124, Psambrana, Quark&Jaguar, Raulshc, Reignerok, Retama, Rodrigma, RoyFocker, Sabbut, Santiperez, Savh, Sobolev, Soteke, Super braulio, Tano4595, Tirithel, Toad32767, Togo, VanKleinen, Vbenedetti, Vitamine, Vivero, Wikiwert, Xasel, Xenoforme,

Fuentes y contribuyentes del artículo 130

Zorosandro, conversion script, 398 ediciones anónimas

Determinante (matemática)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50121459  Contribuyentes: Af3, AlejandroBolañosRosales, Alvarohv, Banfield, Boatbadly, CommonsDelinker,Davius, Diegusjaimes, Dnu72, Dodo, Emijrp, Euratom, FAR, Fernando Estel, Focojoaco, Fonsi80, FrancoGG, Gabrielsvb, Gas lan, GermanX, Greek, Guille, HUB, Hprmedina, IngeniosoHidalgo, Jasc666, Jkbw, Juan Marquez, Juan Mayordomo, Kiroh, Kved, Makete, Maldoror, Matdrodes, Mdiagom, Moriel, Muro de Aguas, Nasil, Neodop, Petronas, PlyJonathan39, PoLuX124,Ponalgoyya, Raquel LR, Retama, Rickynoram, Romero Schmidtke, Roprgm, Rsg, Rαge, Sabbut, SpiceMan, Steve.jaramillov, Superzerocool, Tirithel, TzT, UAwiki, Vivero, Wewe, 166 edicionesanónimas

Regla de Sarrus  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=49136451  Contribuyentes: Dnu72, Mdiagom, Muro de Aguas, Nicop, 7 ediciones anónimas

Regla de Cramer  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50778387  Contribuyentes: Carmin, Davius, Dermot, Diegusjaimes, Djfarlo2002, Dnu72, Edslov, Efzukowski, Elijax,Farisori, GermanX, HUB, Isha, Jarisleif, Jkbw, Kved, Matdrodes, Mutari, Nberger, Paintman, PoLuX124, Rafadose, Rastrojo, Rdaneel, Retama, Richy, RoyFocker, Siabef, Steve.jaramillov, 79ediciones anónimas

Matriz (matemática)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50666082  Contribuyentes: 2orejas1boca, 3coma14, Adrruiz, Af3, Airunp, Alberto Salguero, Alhen, Amadís,Andreasmperu, Angelsaracho, Antur, Antón Francho, Astroza, Açipni-Lovrij, Baiji, BlackBeast, CHV, CaStarCo, Casary, Chewie, Cinabrium, Danicm, Danielba894, Davidsevilla, Davius,Diegusjaimes, Dnu72, Eduardo Lima, El Hoy, Eligna, Emijrp, Epnob, Esceptic0, Eudescontreras, Euratom, Ezequieldiazbarral, Farisori, Flores,Alberto, FrancoGG, Fsd141, Gaius iulius caesar,Gengiskanhg, GermanX, HUB, Halfdrag, Hprmedina, Humberto, Inajle, Ingenioso Hidalgo, Isha, IvanStepaniuk, J.delanoy, JMPerez, Jatt, Javierito92, Jcaraballo, Jecanre, Jjafjjaf, Jkbw,Jlbezares, Jorge 2701, JorgeGG, Joseaperez, Jtico, Juan Mayordomo, Julio Isaac Moreno Díaz, Kved, L&T2, La Maga, Lampsako, Lourdes Cardenal, Macalla, Malguzt, Manwë,Marcodallacamina, Matdrodes, Mcapdevila, Mgallege, Moriel, Mortadelo2005, Mushii, Numbo3, Paintman, Pieter, PoLuX124, Queninosta, Rastrojo, Rdaneel, Retama, Ricard Delgado Gonzalo,Roberto Fiadone, Rojasyesid, Romero Schmidtke, RoyFocker, Sabbut, Sanbec, Santiago Hernández, Sebanievas87, Sheldonspock, Steve.jaramillov, Tano4595, Tigerfenix, Tostadora, Triku,Veltys, Veon, Vitamine, Will vm, Yeza, Yopohari, Zorosandro, 369 ediciones anónimas

Multiplicación de matrices  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50807210  Contribuyentes: Andy00213, Açipni-Lovrij, Diegusjaimes, Farisori, Ivananonimo555, Jkbw, Karj,LogC, MadriCR, Magister Mathematicae, Malet, Mircalla22, Nioger, Omar iowa, Paintman, Rrmsjp, Sehou, Shooke, 40 ediciones anónimas

Matriz invertible  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50807234  Contribuyentes: Af3, Antur, Baiji, Boatbadly, Chuffo, Cinabrium, Cristian.arbe, Davius, Diegusjaimes, Dnu72,Dreitmen, Edgarjdq, EduCas, Espince, G.W.C., GermanX, Gfalcone, Gustavo P, Ismatemat, Jkbw, Juan Mayordomo, Kn, Linkedark, Matdrodes, Nimbusaeta, Norimat, Orion-Xero, Paintman,Paulienator, Pello, PoLuX124, Raulshc, Rdaneel, Richard8933, Roberto Fiadone, Sabbut, XalD, 106 ediciones anónimas

Geometría analítica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50842531  Contribuyentes: 3coma14, Alhen, Andreasmperu, Angel GN, Arthuro0, AstroNomo, Azarahi, Açipni-Lovrij,Baiji, Bcoto, Bedwyr, BlackBeast, Ca in, Cerles24, Charly genio, Charrua85, Chucho ipn2007, Chuck es dios, Cobalttempest, Correogsk, Darabuc, Dat, Davius, Dhcp, Dhl 11 12 1989, Dianai,Diegusjaimes, Dnu72, Eduardosalg, Ejmeza, Eligna, Farisori, Folkvanger, Fonsi80, Foundling, Gaius iulius caesar, Galandil, Gimlinu, Greek, Götz, HiTe, Hosg, Humberto, Isha, JMCC1, Jkbw,Johns, Jorge c2010, Jsanchezes, Julie, Jurgens, Kizar, Leonpolanco, MI GENERAL ZAPATA, Macar, Manwë, MarcoAurelio, Matdrodes, Maveric149, Mel 23, Nachosan, Netito777, Nioger,Peejayem, Petruss, PoLuX124, Proferichardperez, Queninosta, Reygecko, RoyFocker, Rul2007, Shalbat, Slayerlp55, Soulreaper, Sueño Stereo 0, Tano4595, Vatelys, Visens, Wewe, Wilfredor,Yeza, 300 ediciones anónimas

Recta  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50764130  Contribuyentes: Adama, Airunp, Alexv86, Alfredobi, Alhen, Angel GN, Antón Francho, Armando-Martin, Açipni-Lovrij,Bernard77, Bjankuloski06es, Camilo, Carmin, Chalisimo5, Chopinzone, Chroti cross, Chzelada, Conocedor222, Cookie, DJ Nietzsche, Damifb, Dat, Davidmh, De big dady, Diegusjaimes,Djosser, Dodo, Dossier2, Dreitmen, Drini2, Eamezaga, Edmenb, Eduardosalg, Elliniká, Elwikipedista, Er Komandante, Felipealvarez, Filipo, Flores,Alberto, Fsd141, Gafotas, GermanX,Gusbelluwiki, Götz, HUB, Hingelstein, Humberto, Isha, JMCC1, Javierito92, Jerowiki, Jkbw, Jorgelcs, Jsanchezes, Juan Mayordomo, KELPER, Kuanto, Lamunski, Larocka, Locos epraix,Lourdes Cardenal, Luisgdelarosa, Lungo, MI GENERAL ZAPATA, Manuelt15, MarcoAurelio, Markoszarrate, Matdrodes, Mbarousse, Mel 23, MemoC, Montgomery, Moriel, Neodop,Netito777, Nicop, Ninovolador, Nixón, Opinador, Oscarfv93, Pasmargo, Penarc, Pino, PoLuX124, Proferichardperez, Rastrojo, Raulshc, Rbonvall, Rcamacho, Ricard Delgado Gonzalo, Rrecillas,Rumpelstiltskin, Rαge, Sabbut, Savh, Segedano, Snakeyes, SpeedyGonzalez, Spirit-Black-Wikipedista, Steve-o, Supermd, Taichi, Tano4595, Taty2007, Technopat, Tipar, Tirithel, Tomatejc,Unf, Uruk, Vargenau, Vbenedetti, Vic Fede, Wewe, Yasim, Yrithinnd, Zaka, 352 ediciones anónimas

Circunferencia  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50793729  Contribuyentes: .Sergio, Airunp, Alexav8, Alexquendi, Alhen, Alvaro qc, Amanuense, Andreasmperu, Angel GN,Arcibel, Armin76, Artur12345, AstroNomo, Balderai, Banfield, Barteik, Belb, Beto29, BetoCG, Biasoli, Bichologo, BlackBeast, C'est moi, CameraPsx, Camilo, Cansado, Cdlfd, Charly genio,Crescent Moon, DJ Nietzsche, Dat, Der Kreole, Diegusjaimes, Docorreas, Drini2, Eduardosalg, Egaida, Electronvolt, Elisardojm, Elliniká, Elsenyor, Emiduronte, Er Komandante, Escarlati,Fran89, Fsd141, Genio01, GermanX, Gonis, Gusbelluwiki, Gusgus, Götz, HUB, Hosg, Hprmedina, Humbefa, Humberto, Ialad, Icvav, Ingenioso Hidalgo, Itsukki, JAGT, JMCC1, JSGASPAR,Javierito92, Jekter, Jerowiki, Jkbw, Joarsolo, Jorgechp, Joseaperez, Juan Marquez, Juan Mayordomo, KES47, Kokokiki, Kordas, Laura Fiorucci, Liberman, Lucien leGrey, MagisterMathematicae, Mahadeva, Makete, Maldoror, Maleiva, Manuelt15, Maria413, Martin Rizzo, Matdrodes, Mel 23, Mercenario97, Moriel, Netito777, Nicop, Nicozk, Paloma 9729, Pertile,PoLuX124, Poco a poco, Proferichardperez, Quantumleap, Qwertyytrewqqwerty, Raulshc, Raystorm, Retama, Roberpl, Roberto Beroiza, RoyFocker, RubiksMaster110, Sanmaz, Santhy, Savh,Scorge, Seba.barra97, Sebrev, Sergio Andres Segovia, Shalbat, Shini kahn, Sigmanexus6, Sonsaz, Super braulio, Superzerocool, Taichi, Tano4595, Technopat, Tirithel, Uriel kamikaze, Vitamine,Wewe, Wilfredor, XalD, Yeza, YoaR, Youssefsan, conversion script, 623 ediciones anónimas

Sección cónica  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50595547  Contribuyentes: Addicted04, Alhen, Beralmar, Carteaux, Claudio Elias, Corchero83, Diegusjaimes, EL Willy,Especiales, Gaius iulius caesar, GermanX, Gusbelluwiki, Götz, HUB, Hosg, IgnominiouZ, Isha, JMCC1, Jerowiki, Jkbw, Jtico, Kraton, Leandroidecba, Locutus Borg, Loslerd, Luisgdelarosa,Magister Mathematicae, Maleiva, Matdrodes, Mitrush, Mnemotecnia, Moriel, Pececito, PoLuX124, Richard41799, Rrmsjp, Sabbut, Sergio Andres Segovia, Snakeyes, TE AMO PIOJO,Tano4595, Tomatejc, Txuspe, Xabier, Yrithinnd, 96 ediciones anónimas

Elipse  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50262716  Contribuyentes: Airunp, Alephcero, Antur, Antón Francho, Balderai, BlackBeast, Buisqui, Cansado, Cdlfd, Chanchicto,Charly genio, Davius, Diegusjaimes, Digigalos, Dodo, Edslov, Eduardosalg, Elabra sanchez, Electronvolt, Emmanuele, Er Komandante, Fargue, Felgest, Fismaner, Fsd141, GADESTEC,Galois76, Geolugh, GermanX, Gonis, Gusbelluwiki, Götz, HawkMoon269, Hosg, Hprmedina, Humbefa, Humberto, Isha, JMCC1, Jaimeag, Javierito92, Jkbw, Joseaperez, Juan José Moral, LauraFiorucci, Makete, Malguzt, Mandarria, Mar del Sur, Matdrodes, Moran-Tao, Moriel, Nachosan, Netito777, Nicop, No sé qué nick poner, NudoMarinero, Osado, Petruss, PoLuX124, Porao,Proferichardperez, Psychophanta, Pybalo, R2D2!, Ravave, Ricard Delgado Gonzalo, Ricardogpn, Rosarinagazo, Sabbut, SaeedVilla, Sauron, Snow white dntwry, Srbanana, THINK TANK,Tano4595, Tirithel, Tomatejc, Vic Fede, Vitamine, Wilfredor, Xgarciaf, Xosema, Zuirdj, conversion script, 307 ediciones anónimas

Parábola (matemática)  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50660010  Contribuyentes: .Sergio, 333, 3coma14, Airunp, Andre Engels, Angel.F, Antón Francho, B1mbo, Baiji,Banfield, Barmes, Barteik, BlackBeast, Bolt58, Camilo, Cansado, Carlos Alberto Carcagno, Carlos Molina Fisico, Cdlfd, Charly genio, Chuffo, Cobalttempest, Ctrl Z, Dangelin5, David0811,Dianai, Diegusjaimes, DrCapi, Elabra sanchez, Emiduronte, Fibonacci, Fsd141, Gafotas, GermanX, Gusbelluwiki, Gusgus, Gustronico, Götz, HiTe, Hosg, Hprmedina, Humberto, INYCA,Idealis, Isb1009, Isha, Ivanpares, JAGT, JMCC1, Jag2k4, Jkbw, Johns, Kadellar, Kordas, Kved, Lucien leGrey, Magister Mathematicae, Makete, Maldoror, Matdrodes, Mercenario97, Moriel,Mortadelo2005, Nicop, No sé qué nick poner, Oblongo, Paz.ar, Pedro abraham ramirez, Platonides, PoLuX124, Porao, Proferichardperez, Prometheus, Racso, Raulshc, Ricard Delgado Gonzalo,Ricardogpn, RubiksMaster110, Sebrev, Super braulio, Superzerocool, Tano4595, Technopat, Tirithel, Vic Fede, Vivero, Wilfredor, Xexito, Youssefsan, Yrithinnd, 282 ediciones anónimas

Hipérbola  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?oldid=50803566  Contribuyentes: Akhram, Alhen, Arcibel, AstroNomo, Carlos Castañeda Girón, Cdlfd, Charly genio, Dangelin5, Dhcp,Diegusjaimes, Don coprofia, Dorieo, Elabra sanchez, Ente X, Er Komandante, Erick1984, Especiales, Fsd141, Ganiserb, Gavaro, GermanX, Gusbelluwiki, Götz, Heliox, Hosg, Interwiki, JMCC1,Jerowiki, Jkbw, Joseaperez, Kmnm70, LarA, Leonpolanco, M0m0, Magister Mathematicae, Mahadeva, Matdrodes, Mauricio fdez, Mel 23, Moriel, Netito777, OboeCrack, Pececito, RicardDelgado Gonzalo, RubiksMaster110, Sabbut, Takashi kurita, Tano4595, Tirithel, Tomatejc, Victor darkdemon90, Volt4, Ángel Luis Alfaro, 113 ediciones anónimas

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Fuentes de imagen, Licencias y contribuyentesImagen:FactorComun.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FactorComun.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DriniImagen:Binomio al cuadrado.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Binomio_al_cuadrado.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DriniImagen:Termino comun.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Termino_comun.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DriniArchivo:Diferencia de cuadrados.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Diferencia_de_cuadrados.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DriniImagen:Trinomio al cuadrado.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Trinomio_al_cuadrado.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: DriniImagen:Binomio al cubo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Binomio_al_cubo.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: DriniArchivo:Qfunction.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Qfunction.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: Derbeth, Esquilo,EugeneZelenko, Marcelo Reis, Myukew, 1 ediciones anónimasArchivo:X cubed plot.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:X_cubed_plot.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuyentes:Qualc1Archivo:Logarithms.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Logarithms.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: IllestFlipArchivo:Logaritmo función1.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Logaritmo_función1.png  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Contribuyentes: User:M.Romero SchmidtkeArchivo:Commons-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Commons-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: SVG version was created by User:Grunt andcleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab.Archivo:FuncionLineal04.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:FuncionLineal04.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: HiTe 21:43, 8 May 2008 (UTC)Archivo:PlaneIntersection.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:PlaneIntersection.png  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: User:JackohareArchivo:Ecuación cuadrática.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ecuación_cuadrática.svg  Licencia: Creative Commons Attribution-Share Alike  Contribuyentes:DriniArchivo:Quadratic equation discriminant.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Quadratic_equation_discriminant.png  Licencia: Creative CommonsAttribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuyentes: KSmrqArchivo:Wikibooks-logo.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Wikibooks-logo.svg  Licencia: logo  Contribuyentes: User:Bastique, User:Ramac et al.Archivo:Complex conjugate picture.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Complex_conjugate_picture.svg  Licencia: GNU Free Documentation License Contribuyentes: Oleg AlexandrovImagen:Complex number illustration.png  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Complex_number_illustration.png  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike3.0  Contribuyentes: Kan8eDieImage:Complex_number_illustration_modarg.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Complex_number_illustration_modarg.svg  Licencia: GNU Free DocumentationLicense  Contribuyentes: Complex_number_illustration.svg: Original uploader was Wolfkeeper at en.wikipedia derivative work: Kan8eDie (talk)Archivo:Seki.jpeg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Seki.jpeg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: upload by F. 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http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ellipse_Properties_of_Directrix_and_String_Construction.svg Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Ellipse_Properties.svg: Inductiveload derivative work: Dave3457 (talk)Archivo:Elipse1.0.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Elipse1.0.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution 3.0  Contribuyentes: Moran-TaoArchivo:Ellipse Animation Small.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ellipse_Animation_Small.gif  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:User:NoPetrolArchivo:Ellipse Properties of Directrix.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ellipse_Properties_of_Directrix.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes:Ellipse_Properties.svg: Inductiveload derivative work: Dave3457 (talk)Archivo:Ellipse Polar.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ellipse_Polar.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: InductiveloadArchivo:Elps-slr.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Elps-slr.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Original uploader was Mikm at en.wikipediaArchivo:Conicas1.PNG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Conicas1.PNG  Licencia: Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported  Contribuyentes: MarceloReisArchivo:Ellipse as hypotrochoid.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Ellipse_as_hypotrochoid.gif  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes: DinoArchivo:Parametric ellipse.gif  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Parametric_ellipse.gif  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0  Contribuyentes:09glasgow09Archivo:Circulo 001 tt.JPG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Circulo_001_tt.JPG  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Think TankArchivo:Circulo 002 ttt.JPG  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Circulo_002_ttt.JPG  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: Think TankArchivo:Orbitas-Kepler-segunda-ley-01.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Orbitas-Kepler-segunda-ley-01.svg  Licencia: Creative Commons Zero  Contribuyentes:GusbelluwikiArchivo:Bouncing ball strobe edit.jpg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Bouncing_ball_strobe_edit.jpg  Licencia: Creative Commons Attribution-Sharealike 3.0 Contribuyentes: MichaelMaggs Edit by Richard BartzArchivo:Partes de una parábola.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Partes_de_una_parábola.svg  Licencia: GNU Free Documentation License  Contribuyentes:DriniArchivo:Parabola focus directrix.svg  Fuente: http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Archivo:Parabola_focus_directrix.svg  Licencia: Public Domain  Contribuyentes: PirateerArchivo:Parábola con foco y directriz.svg  Fuente: 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