algebra superior 003

7232019 Algebra Superior 003

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Capıtulo 1

Sistema de los numeros reales

11 Definicion axiomatica de los numeros reales

El sistema de los numeros reales es el conjunto IR provisto de la relacion igualdad de dosoperaciones adicion y multiplicacion y de una relacion de orden menor o igual que

AXIOMAS DE LA IGUALDAD

I 1 forall a isin IR a = a PROPIEDAD REFLEXIVA

II 1 forall a B isin IR si a = b rArr b = a PROPIEDAD SIMETRICA

III 1

forall a B

isin IR si a = b

andb = c

rArr a = c PROPIEDAD TRANSITIVA

AXIOMAS DE LA ADICION La ley de clausura de la adicion de numeros reales esta de-finido por la aplicacion

+ IR times IR minusrarr IR

(a b) minusrarr a + b

rdquoEs decir la suma de dos numeros reales es otro numero realrdquo

A1 Ley conmutativa forall a b isin IR a + b = b + a

A2 Ley asociativa forall a b c isin IR (a + b) + c = a + (b + c)

A3 Existencia y unicidad del neutro aditivo exist 0 isin IR forall a isin IR a + 0 = a

A4 Existencia y unicidad del inverso aditivo exist (minusa) isin IR forall a isin IR a + (minusa) = 0

AXIOMAS DE LA MULTIPLICACION La ley de clausura de la multiplicacion denumeros reales esta definido por la aplicacion

IR times IR minusrarr IR

(a b) minusrarr

ab = ab

rdquo Es decir el producto de dos numeros reales es otro numero realrdquo

1



acute Algebra Superior 2

M 1 Ley conmutativa forall a b isin IR ab = ba

M 2 Ley asociativa forall a b c isin IR (ab)c = a(bc)

M 3 Existencia y unicidad del neutro multiplicativo exist 1 isin IR forall a isin IR 1a = a

M 4 Existencia y unicidad del inverso multiplicativo forall a = 0 a isin IRexist aminus1 isin IR aaminus1 = 1

donde aminus1 = 1

a

D Ley de distribucion de la multiplicacion respecto de la adicion

forall a b c isin IR a(b + c) = ab + ac

12 Teoremas relativos a la igualdad

Teorema 11 Las siguientes cuatro condicionales son verdaderas

1 Si a = b and c isin IR rArr a + c = b + c (monotonıa para la suma)

2 Si a + c = b + c rArr a = b (simplificaciacute on para la suma)

3 Si a = b and c isin IR rArr ac = bc (monotonıa para la multiplicaciacute on)

4 Si ac = bc and c = 0 rArr a = b (simplificaciacute on para la multiplicaciacute on)

Teorema 12 Para todo a

isin IR se cumple 0a = 0

Teorema 13 (Referente al opuesto de un nacute umero real)

1 forall a isin IR minusa = (minus1)a

2 forall a b isin IR a(minusb) = (minusa)b = minus(ab)

3 forall a isin IR minus(minusa) = a

4 forall a b isin IR (minusa)(minusb) = ab

Teorema 14 (acerca del inverso de un nacute umero real)

1 Si a = 0 a isin IR entonces (aminus1)minus1 = a

2 Si a = 0 and b = 0 entonces (ab)minus1 = aminus1bminus1

13 Diferencia de dos numeros reales

Definiciacute on 11 forall a b isin IR se define

a

minusb = a + (

minusb)

Se lee rdquola diferencia de a y b es igual a la suma de a con el opuesto de brdquo

JR Ticona P UANCV




14 Cociente de dos numeros reales

Definiciacute on 12 forall a b isin IR con b = 0 se define

ab

= abminus1

Se lee rdquola divisiacute on de a entre b es igual a la producto de a por el inverso de brdquo

15 Potenciacion de exponente entero

Definiciacute on 13 Sea a = 0 a isin IR y m isin IN definimos

a0 = 1

a

m

= a

mminus1

a si m ge 1

Ademacute as aminusm = (aminus1)m

Observaciacute on 00 no esta definido

Teorema 15 Si a b isin IR minus 0 y m n isin IN entonces se cumplen

1) aman = am+n

2) (am)n = amn

3) (ab)m = ambm

4) am

an

= amminusn

5)983080a

b

983081m=

am

bm

16 Ecuaciones lineales

Una ecuaciacute on lineal con incognita x tiene la forma ax + b = 0 a = 0

Teorema 16 Si abx isin IR y a = 0 entonces ax + b = 0 si y sacute olo si x = minus b

a

Teoremas para resolver ecuaciones lineales con una incog-nita

Teorema 17 a b = 0 si y sacute olo si a = 0 or b = 0

Ejemplo 11 Aplicaciones

1 Resolver forallx isin IR x2 minus x minus 6 = 0

2 Resolver forallx isin IR 6x2 + x minus 2 = 0

Corolario 12 ab = 0 si y sacute olo si a = 0 and b = 0

Teorema 18 a2 = b2 si y solo si a = b or a = minusb

Ejemplo 13 AplicacionesJR Ticona P UANCV




1 Resolver forallx isin IR (x + 3)2 = 9 2 Resolver forallx isin IR 16x2 minus 16x + 3 = 0

Corolario 14 Si k ge 0 entonces a2 = k si y sacute olo si a =radic

k or a = minusradic k


1 Resolver en IR x2 = 9

2 Resolver en IR x2 = minus4

3 Resolver en IR (x minus 1)2 = 5

4 Resolver en IR (x2 minus 1)2 = 2

Ejemplo 16 Resolver las siguientes ecuaciones lineales IR

( a) 2x + 9 = 15 ( b) 3

2x + 2(x minus 1) = 5 ( c)

minus7x + 5

7 +

9x minus 7

8 = minus1

( d) 2x minus (x + 1)

4 =

5x + 2

6 ( e)

3x minus 7(x + 1)

6 =

2x minus 1

3 minus 2 ( f )

2x minus 5

3 minus minus2x + 8

7 = x

( g) 6x

minus(x

minus8)

6 = minus2x

minus17

3

17 Ecuaciones cuadraticas

Definiciacute on 14 Si a b c isin IR a = 0 diremos que

ax2 + bx + c = 0

es una ecuaciacute on cuadracute atica en la variable x

Ejemplo 17 Son ecuaciones cuadracute aticas con una sola incacute ognita x las siguientes igualdades

1 2x2 minus 3x + 2 = 0

2 x2 minus x = 0

3 x2 + 4 = 0

4 x2 minus 4 = 0

Raız de una ecuacion cuadratica

Definiciacute on 15 Diremos que r (real o compleja) es raız de la ecuaciacute on cuadracute atica

ax2 + bx + c = 0 si y sacute olo si ar2 + br + c = 0

Ejemplos

1 x = 2 es raız de 2x2 minus 3x minus 2 = 0 porque 2(2)2 minus 3(2) minus 2 = 0

2 x = 3 no es raız de 2x2 minus 3x minus 2 = 0 porque 2(3)2 minus 3(3) minus 2 7

= 0

Teorema 19 La ecuaciacute on cuadracute atica ax2 + bx + c = 0 a = 0 es equivalente a la ecuaciacute on 1048616x +

b

2a

10486172

= b2 minus 4ac

4a2

Teorema 110 Las raıces de la ecuaciacute on cuadracute atica ax2 + bx + c = 0 a

= 0 son minusb + radic b2 minus 4ac

2a

minusb minus radic b2 minus 4ac

2a

JR Ticona P UANCV




Discriminante de la ecuacion cuadratica

Definiciacute on 16 El nacute umero real b2minus4ac se llama discriminante de la ecuaciacute on cuadracute atica ax2+bx + c = 0 a

= 0

Notaciacute on Con la letra griega ∆ (delta) vamos a denotar a la discriminante esto es

∆ = b2 minus 4ac

Teorema 111 ( Clases de raıces de una ecuaciacute on cuadracute atica ) La ecuaciacute on cuadracute atica ax2 + bx + c = 0 a = 0

1 tiene dos raıces reales diferentes si y solo si ∆ gt 0 (Las raıces son r1 y r2)

2 tiene sacute olo una raız real si y solo si ∆ = 0 (r1 = r2)

3 no tiene raıces reales si y sacute olo si ∆ lt 0 (r1 = m + in r2 = m minus in)

Teorema 112 Si r1 =

minusb +radic

b2 minus 4ac

2a

y r2 =


2a

son las raıces de la

ecuaciacute on cuadracute atica ax2 + bx + c = 0 a = 0 se cumplen las siguientes propiedades

1 r1 + r2 = minus b

a y r1r2 =

c

a

2 ax2 + bx + c = a(x minus r1)(x minus r2)

Observaciacute on El discriminante ∆ = b2

minus 4ac de la ecuaciacute on cuadracute atica ax2

+ bx + c = 0 en el anacute alisis de las raıces y en el anacute alisis de las inecuaciones cuadracute aticas ax2 + bx + c le 0 y ax2 + bx + c ge 0

Ejemplo Resolver las siguientes ecuaciones

1 2x2 minus 3x minus 1 = 0 2 9x2 minus 6x + 1 = 0 3 x2 + x + 1 = 0

18 Numeros complejos

Definiciacute on 17 La raız cuadrada de un nacute umero complejo real negativo se llama N acute UMERO IMAGINARIO

Ejemplo 1radic minus4

radic minus3

1057306 minus4

9

radic minus5 son nacute umeros imaginarios

Definiciacute on 18 La expresiacute on radic minus1 se llama nacute umero imaginario unitario y se denota con la

letra i esto es radic minus1 = i

En base a esta definicion los nacute umeros imaginarios del ejemplo 1 se pueden expresar de la siguiente forma

radic minus4 = 2i

radic minus3 =

radic 3i 1057306 minus4

9 = 1057306 49i

radic minus5 =

radic 5i

JR Ticona P UANCV




Definiciacute on 19 Los nacute umeros complejos son aquellos que tienen la forma z = a + ib donde a b isin IRNotaciacute on

1 El conjunto de los nacute umeros complejos se denota por I C

2 Los nacute umeros complejos se denota con z

Ejemplo 2 z 1 = 3 + 5i z 2 = 0 minus 1

2i z 3 = minus2

3 + 4i

Conjugada de un numero complejo

Definiciacute on 110 La conjugada de un nacute umero complejo z = a + ib es z = a minus ibEjemplo 3

1 La conjugada de z = minus3 + 2i es z = minus3 minus 2i

2 La conjugada de z = 5 minus 2i es z = 5 + 2i

3 La conjugada de z = 5i es z = minus5i

Corolario 18 Si el nacute umero complejo m + in es raız de la ecuaciacute on cuadracute atica ax2 + bx + c = 0entonces su conjugada m minus in tambien es raız de la ecuaciacute on

181 Problemas

1 Mediante factorizaciacute on resolver las siguientes ecuaciones

( a) x2 minus 11x + 28 = 0 ( b) x2 + 4x minus 45 = 0 ( c) x2 minus 4x minus 21 = 0

( d) 2x2 + x minus 1 = 0 ( e) 3x2 minus 6x + 3 = 0 ( f ) 3x2 + x minus 10 = 0

2 Resolver completando cuadrados

( a) x2 minus 6x + 6 = 0 ( b) x2 + 5x minus 5 = 0 ( c) x2 + 2x minus 4 = 0

( d) 2x2 minus 6x minus 1 = 0 ( e) 5x2 + x minus 1 = 0 ( f ) 2x2 minus 2x minus 1 = 0

( g) 16x2 + 24x + 5 = 0 ( h) 3x3 + x2

minus10x = 0

3 Dadas las siguientes ecuaciones cuadracute aticas se pide

a) Hallar el discriminante de cada ecuaciacute on

b) segacute un el resultado obtenido en a) diga si las raıces son nacute umeros reales y diferentes otiene raız unica o las raıces son nacute umeros complejos conjugados

c) Halle las raıces

( 1) x2 minus 3x + 2 = 0 ( 2) x2 minus 4x + 4 = 0 ( 3) x2 + 4x + 13 = 0

( 4) 4x2

+ 12x + 13 = 0 ( 5) 6x2

+ 12x + 9 = 0 ( 6) x2

minus 6x + 34 = 0( 7) x2 minus 6x + 1 = 0 ( 8) 2x2 + 2x + 5 = 0 ( 9) 9x2 minus 30x + 23 = 0

JR Ticona P UANCV




4 Halle los valores de a y b si se sabe que la ecuaciacute on cuadratica

x2 minus 2(a minus b)x + a + b = 0

tiene como raız acute unica el nacute umero 2

5 Una raız de la ecuaciacute on x2 minus (a + 1)x + 2 = 0 es 2

Hallar el valor de a y la otra raız

6 Las raıces de la ecuaciacute on2x2 minus 16x + c = 0

siguen una progresiacute on aritmetica de razacute on 2 Hallar las raıces y el valor de c

7 Hallar el valor de m si la ecuaciacute on

mx2 minus 4x + 4(2 minus m) = 0

tiene soluciacute on acute unica


mx2 minus (3 + 8m)x + 9 + 19m = 0


9 Los siguientes sistemas de ecuaciones se resuelven por sustituci on o igualaciacute on para hallar los valores de x e y Resolver los siguientes sistemas

( a)

x2 minus y = 3x minus y = 1

( b)

x2 + y2 = 5x minus y = 1

( c)

y = 2 minus x2

x minus y = 0

( d)

x + y2 = 3x minus y = 1

( e)

x2 minus 6x minus y = 0y = 0

( f )

x = 9 minus y2

x + y = 3

19 Orden en los numeros reales

Para poder establecer la relaciacute on de orden rdquomenor que rdquo entre los nacute umeros reales vamos a suponer que existe un subconjunto de nacute umeros reales que denotaremos con IR+ y se llama el conjunto de los nacute umeros reales positivos

En el conjunto IR+ establecemos los siguientes axiomas de orden

1 Ley de tricotomıa Para cualquier nacute umero real rdquoardquo se verifica una y solamente una de las siguientes relaciones

a isin IR+ or minusa isin IR+ or a = 0

2 Ley de Clausura Si a b isin IR+ entonces (a + b) isin IR+ (ab) isin IR+

JR Ticona P UANCV




Definiciacute on 111 Decimos que un nacute umero real a es positivo si a isin IR+ y un nacute umero real a es negativo si minusa isin IR+

Definiciacute on 112 Dados dos nacute umeros reales decimos que a es menor que b si b

minusa es positivo

esto esa lt b hArr b minus a isin IR+

Si a es menor que b diremos que b es mayor que a

A continuaciacute on enunciaremos varios teoremas sobre el orden de los nacute umeros reales

Teorema 113

1 a es positivo hArr a gt 0 y

2 a es negativo

hArr a lt 0

Definiciacute on 113

1 Los nacute umeros a y b tienen signos iguales si ambos son positivos o ambos son negativos

2 Los nacute umeros a y b tienen signos diferentes si uno es positivo y el otro es negativo

Teorema 114

1 ab gt 0 hArr (a gt 0 and b gt 0) or (a lt 0 and b lt 0)

2 ab lt 0 hArr

(a gt 0and

b lt 0)or

(a gt 0and

b lt 0)

Corolario 19

1 Para todo nacute umero a isin IR a = 0 se cumple que a2 gt 0

2 Para todo nacute umero a isin IR se cumple que a2 ge 0

Ejemplos

1 Resolver (x minus 1)2 gt 0Soluciacute on La soluciacute on es IR minus minus1

2 Resolver (x minus 1)2 ge 0Soluciacute on La soluciacute on es IR

Teorema 115 (Transitividad de la relaciacute on rdquomenor querdquo)

Sean a b c isin IR y si a lt b and b lt c entonces a lt c

Teorema 116

1 Si a lt b lArrrArr a + c lt b + c ( orden- adiciacute on )

2 a lt c

and b lt d

rArr a + b lt c + d es decir al sumar dos desigualdades rdquomenor querdquo se

obtiene otra desigualdad con la relaciacute on rdquomenor querdquo

Teorema 117 JR Ticona P UANCV




1 Si a lt b and c gt 0 lArrrArr ac lt bc ( orden- multiplicaciacute on )

2 Si a lt b and c lt 0 lArrrArr ac gt bc

3 0 lt a lt b and 0 lt c lt d rArr ac lt bdTeorema 118 Si a es un nacute umero real diferente de cero entonces a y aminus1 tienen signos igualesEsto es

Si a gt 0 rArr 1

a gt 0

Si a lt 0 rArr 1

a lt 0

Ejemplos

1 2

3 es positivo su inversa

3

2 tambien es positiva

2 minus5 es negativo entonces su inversa minus1

5 tambien es negativa

Teorema 119 (Multiplicaciacute on-cancelaciacute on)

1 Si ac lt bc and c gt 0 rArr a lt b

2 Si ac lt bc and c lt 0 rArr a gt b

Teorema 120 (Invertir una desigualdad)

1 Si 0 lt a lt b

rArr 1

a

gt 1

b

2 Si a lt b lt 0 rArr 1

a gt

1

b

191 La relacion menor o igual


1 a le b lArrrArr a lt b or a = b

2 a ge b lArrrArr a gt b or a = b

El siguiente teorema agrupa un conjunto de propiedades referentes a la relaciacute on rdquomenor o igualrdquo

Teorema 121 Sean abc isin IR entonces se cumplen las siguientes propiedades

1 a le a es decir todo nacute umero real a isin IR es menor o igual a sı mismo

2 a le b and b le a rArr a = b es decir la relaciacute on de igual

3 a le b and b le c rArr a le c es decir la relaciacute on de transitividad

4 a = b rArr a lt b or a gt b

5 a le b rArr a + c le b + c forallc isin IR

6 a le b and c ge 0 rArr ac le bc

7 a le b and c le 0 rArr ac ge bcJR Ticona P UANCV




192 Problemas

1 Si a lt b demuestre que

a) a lt a + b2

lt b

b) a lt 3a + b

4 lt

a + b

2 lt

a + 3b

4 lt b

2 Sean a b isin IR Si a lt 1 y b gt 1 demostrar que

a + b gt 1 + ab

110 La recta real e intervalos

La recta real geometricamente se traza del siguiente modo dibujar una recta horizontal

elegir una ldquounidad de medida rdquo y dividir la recta en tantas veces como se pueda luego poner el

cero en el centro y a la derecha colocar sucesivamente los nacute umeros enteros positivos 1 2 3 4 y a la izquierda sus opuestos minus1 minus2 minus3 minus4

Los otros nacute umeros reales se ubican facute acilmente entre los nacute umeros enteros

Cada punto de la recta representa intuitivamente un nacute umero real Como los nacute umeros reales son ordenados establecemos una correspondencia uno a uno entre los puntos de la recta y los nacute umeros reales es decir

A cada nacute umero real le corresponde un acute unico punto de la recta y a cada punto de la recta le corresponde un nacute umero real

El sımbolo minusinfin se lee ldquomenos infinitordquo

El sımbolo +infin se lee ldquomacute as infinitordquo

Si utilizamos minusinfin y +infin ldquoextendemos rdquo el conjunto IR de los nacute umeros reales a otro conjuntoque lo denotaremos por IRlowast obteniendose que IRlowast = minusinfincup IR cup +infin

En el conjunto IRlowast definimos las operaciones de la adiciacute on y multiplicaciacute on del siguiente modoAdiciacute on

a) foralla isin IR a + (+infin) = (+infin) + a = +infinb) foralla isin IR a + (minusinfin) = (minusinfin) + a = minusinfin

JR Ticona P UANCV




c) (+infin) + (+infin) = +infinMultiplicaciacute on

a) foralla isin IR a(+infin) = (+infin)a = +infin si 0 le a lt +infinb) foralla isin IR a(minusinfin) = (minusinfin)a = minusinfin si 0 le a lt +infinc) foralla isin IR a(+infin) = (+infin)a = minusinfin si minusinfin lt a lt 0

d) foralla isin IR a(minusinfin) = (minusinfin)a = +infin si minusinfin lt a lt 0

En IRlowast definimos la divisiacute on del siguiente modo

a) a

plusmninfin = 0 si a isin IR b)

plusmninfina

=

10486161

a1048617(plusmninfin) si minus infin lt a lt 0

No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin

minusinfinminusinfin

minusinfininfin

infinminusinfin

A continuaciacute on vamos a definir subconjuntos infinitos de la recta real llamados intervalosGeometricamente los intervalos son segmentos de recta o semirrectas

1101 Intervalos

Si a y b son nacute umeros reales tales que a

le b definimos los siguientes intervalos

Intervalo abierto de extremos a y b ⟨a b⟩ = x isin IR a lt x lt bIntervalo cerrado de extremos a y b [a b] = x isin IR a le x le bIntervalo abierto por la izquierda a y b ⟨a b] = x isin IR a lt x le bIntervalo abierto por la derecha a y b [a b⟩ = x isin IR a le x lt bIntervalo infinito y abierto por la derecha en a ⟨minusinfin a⟩ = x isin IR x lt aIntervalo infinito y cerrado por la derecha en a ⟨minusinfin a] = x isin IR x lt aIntervalo infinito y abierto por la izquierda en a ⟨a +infin⟩ = x isin IR x gt aIntervalo infinito y cerrado por la izquierda en a [a +infin⟩ = x isin IR x ge a

1102 Problemas

1 Si x isin ⟨minus3 4⟩ iquestA que intervalo pertenece la expresiacute on 4 minus 2x

2 Determinar el valor de verdad de la siguiente afirmaciacute onSi (5 minus 4x) isin ⟨minus10 minus5⟩ entonces

2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53

⟩JR Ticona P UANCV




3 Si 2x + 1

x minus 1 isin [8 16] halle el mayor valor de m y el menor valor de n tal que x isin [m n]

4 Si 3

x minus 2 isin 1048667minus5

2minus

1

2852061 iquesta que intervalo pertenece x

5 Si minus2 le x le 0 iquesta que intervalo pertenece la expresiacute on 3

2

radic 4 minus x2

6 Si minus4 lt x le minus2 iquesta que intervalo pertenece la expresiacute on 2radic

x2 minus 3

111 Inecuaciones

En esta parte del curso estudiaremos las inecuaciones de primer grado de segundo grado

las inecuaciones polinacute omicas y las inecuaciones racionales

El objetivo de estudiar inecuaciones es porque se aplican para acotar funciones para hallar el dominio de relaciones de IR en IR y de funciones para hallar el rango de relaciones y funcionespara hacer demostraciones de la existencia de lımites de una funciacute on

1111 Inecuaciones de primer grado

Definiciacute on 115 Una desigualdad lineal en la variable x es aquella que puede escribirse en las formas

(I )

ax + b lt 0 a = 0

ax + b le 0ax + b gt 0ax + b ge 0

Ejemplo 1 Resolver en IR 3x minus 1

4 minus 3(5 minus 2x) le 4 minus 2x

3Soluciacute on

Paso 1 Hallar el mınimo comacute un macute ultiplo de los denominadores 4 1 y 3 que es 12 y reducir a su mınima expresi on la inecuaciacute on dada ası

3x minus 14 minus 3(5 minus 2x) le 4 minus 2x3 lArrrArr 3(3x minus 1) minus 36(5 minus 2x) le 4(4x minus 2x)

lArrrArr 9x minus 3 minus 180 + 72x le 16 minus 8x

Paso 2 Transportando los terminos de x al lado izquierdo y los terminos numericos al lado izquier-do

9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89

852061JR Ticona P UANCV




Ejemplo 2 Resolver en IR 3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on

Paso 1 En este caso separar la inecuaciacute on dada en dos inecuaciones y conectarlos con el conectivordquo and rdquo (que define la intersecciacute on de dos conjuntos)Ası

3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3

El mınimo com un macute ultiplo es 4

3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3 lArrrArr 2(3 minus 5x) lt 2x minus 8 and 2x minus 8 le x minus 6

lArrrArr 6 minus 10x lt 2x minus 8 and 2x minus x le minus6 + 8

lArrrArr minus2x minus 10x lt minus6 minus 8 and x le 2

lArrrArr minus12x lt minus14 and x le 2lArrrArr 12x gt 14 and x le 2

lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2

Paso 2 Dibujar en la recta real los conjuntos soluciones

20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6

and B = x isin IR x le 2

CONCLUSI acute ON El conjunto soluciacute on es C S = x isin⟨

7

6 2

852061

1112 Problemas de inecuaciones de primer grado

Ejemplo 110 Resolver en IR

( a) 4x gt 12 ( b) 13 minus 4x le 7 ( c) 5 minus 3x gt 8

( d) minus 5 ge 3(2 minus 2x) ( e) 5x minus 4 le 5 + 2x ( f ) 4(x + 2) gt 3(2 minus 5x)

( g) 2(2x minus 3) lt 3(2 minus 5x) ( h) 5 minus 2(x minus 1) le 2(4 + x) ( i) x + 3 ltradic

2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4

3x lt 2 ( l) 4x minus 1 ge 4(x minus 2) + 7

( m) minus 2x le 4 ( n) 4x minus 1 lt minus5 ( o) 6 le 5 minus 3y

( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV




112 Inecuaciones de segundo grado o cuadraticas

Definiciacute on 116 Una inecuaciacute on cuadracute atica en la variable x es aquella que puede escribirse en las formas

(I )

ax2 + bx + c lt 0 a = 0ax2 + bx + c le 0 a b c son constantes ax2 + bx + c gt 0ax2 + bx + c ge 0

METODOS PARA RESOLVER UNA INECUACION CUADRATICA

Estudiaremos tres metodos M ETODO 1 Metodo de los puntos referenciales o puntos crıticos

Si la ecuaciacute on cuadracute atica ax2

+ bx + c es de facute acil factorizaciacute on cualquiera de las inecuaciones dadas en (I) se pueden resolver facute acilmente dibujando en la recta real los puntos referenciales ollamados puntos crıticos y eligiendo los intervalos que satisfacen la inecuaciacute on

Ejemplo 1 Resolver en IR x2 minus 2x minus 15 lt 0Soluciacute on

Paso 1 Factorizar x2 minus 2x minus 15 lt 0 lArrrArr (x minus 5)(x + 3) lt 0

Paso 2 Igualar a cero cada factor para obtener los puntos referencialesAsı

x minus 5 = 0 rArr x = 5 larr Punto referencial

x + 3 = 0 rArr x = minus3 larr Punto referencial

Paso 3 Dibujar en la recta real los puntos referenciales

Los puntos referenciales minus3 y 5 han dividido la recta real en tres intervalos ⟨minusinfin minus3⟩⟨minus3 5⟩ y ⟨5 +infin⟩ Estos intervalos son abiertos en los extremos minus3 y 5 porque la inecua-ciacute on dada es rdquomenor querdquo( lt)

Paso 4 Mirando el dibujo del paso 3 elegir el intervalo o los intervalos que satisfacen la inecuaciacute on

dadax2 minus 2x minus 15 lt 0 lArrrArr (x minus 5)(x + 3) lt 0 middot middot middot middot middot middot (I )

Veamos

a) iquestEs el intervalo ⟨minusinfin minus3⟩ soluciacute on de (I) Analicemos con x = minus5 isin ⟨minusinfin minus3⟩ al reemplazar en (I) obtenemos (minus5 minus 5)(minus5 + 3) = (minus10)(minus2) = 2 lt 0 que es una proposiciacute on falsa por lo tantoel intervalo ⟨minusinfin minus3⟩ no es solucion de (I)

b) iquestEs el intervalo ⟨minus3 5⟩ soluciacute on de (I) Analicemos con x = 0

isin ⟨minus3 5

⟩ al reemplazar en (I) obtenemos

(0 minus 5)(0 + 3) = (minus5)(3) = minus15 lt 0 que es una proposiciacute on verdadera por lotanto el intervalo ⟨minus3 5⟩ es soluciacute on de (I)

JR Ticona P UANCV




c) iquestEs el intervalo ⟨5 +infin⟩ soluciacute on de (I) Analicemos con x = 6 isin ⟨5 +infin⟩ al reemplazar en (I) obtenemos (6 minus 5)(6 + 3) = (1)(9) = 9 lt 0 que es una proposiciacute on falsa por lo tanto el intervalo

⟨5 +

infin⟩ no es soluciacute on de (I)

CONCLUSI acute ON El conjunto soluciacute on de (I) es C S = ⟨minus3 5⟩

5-3 0

Ejemplo 2 Resolver en IR (2 minus 3x)(4 + 5x) le 0

Ejemplo 3 Resolver en IR minus3(x2 + 4)(4 minus x2) le 0

Ejemplo 4 Resolver en IR 7x minus 2 minus 6x2 ge 0

7x minus 2 minus 6x2 ge 0 lArrrArr 6x2 minus 7x + 2 le 0 lArrrArr (3x minus 2)(2x minus 1) le 0

Ejemplo 5 Resolver en IR x2 minus 3x ge 0 lArrrArr x(x minus 3) ge 0

Ejemplo 6 Resolver en x2 minus 4x + 1 gt 0

x2 minus 4x + 1 gt 0 lArrrArr x2 minus 4x + 4 minus 4 gt 0

lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0

factorizar lArrrArr (x minus 2 minus radic 3)(x minus 2 + radic 3) gt 0

Ejemplo 7 Resolver (4 minus x)(3 minus 5x) ge 0

(4 minus x)(3 minus 5x) ge 0 lArrrArr (x minus 4)(3 minus 5x) le 0

lArrrArr (x minus 4)(5x minus 3) ge 0

lArrrArr 5(x minus 4)

1048616x minus 3

5

1048617 ge 0

Ejemplo 8 Resolver en IR (4 minus x)(5x + 3) ge 0

(4 minus x)(5x + 3) ge 0 lArrrArr (x minus 4)(5x + 3) le 0


1048616x +

3

5

1048617 le 0

Ejemplo 9 Resolver en IR 4 le x2 le 2x minus 3

4 le x2 le 2x minus 30 lArrrArr 4 le x2 and x2 le 2x minus 3

lArrrArr 0 le x2 minus 4 and x2 minus 2x + 3 le 0

lArrrArr 0 le (x minus 2)(x + 2) and x2 minus 2x + 1 minus 1 + 3 le 0

lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0

lArrrArr 0 le (x minus 2)(x + 2) and (x minus 1 minus radic 2)(x minus 1 + radic 2) le 0

Ejemplo 10 Dados los conjuntosJR Ticona P UANCV




A = x isin IR (x minus x2) isin [0 1]B =

x isin IR

2

2x minus 1 isin1048667

1

2 4

852061Hallar la intersecciacute on de A con BSoluciacute onResolver en A

(x minus x2) isin [0 1] lArrrArr 0 le x minus x2 le 1

lArrrArr 0 le x minus x2 and x minus x2 le 1

lArrrArr x2 minus x le 0 and x2 minus x ge minus1

lArrrArr x(x minus 1) le 0 and x2 minus x +

1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172

lArrrArr x(x minus 1) le 0 and 1048616x minus 1210486172

ge minus34

lArrrArr x(x minus 1) le 0 and IR

lArrrArr x isin [0 1] cap IR

El conjunto solucion es A = [0 1]

Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1

2 4852061 lArrrArr 1

2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2

invertir lArrrArr 2 ge 2x minus 1

2 ge 1

4

lArrrArr 4 ge 2x minus 1 ge 1

2

lArrrArr 5 ge 2x ge 3

2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4

El conjunto solucion es B = 10486673

4

5

2852061Conclusiacute on La intersecciacute on de A con B es

A cap B =

10486673

4 1

852061

Ejemplo 111 Resolver x2(x minus 4) lt 0Soluciacute on

x2(x minus 4) lt 0 lArrrArr (+)(minus) lt 0 or (minus)(+) lt 0

(+) (

minus) lt 0

x2 es positivo para todo x real excepto para x = 0 entonces sacute olo queda hacer x minus 4 lt 0porque la inecuaciacute on es NEGATIVA

JR Ticona P UANCV




Resumiendo

x2(x minus 4) lt 0 lArrrArr x minus 4 lt 0 pues x2 gt 0 x = 0

lArrrArr x lt 4 x

= 0

El conjunto solucion esC s = ⟨minusinfin 4⟩ minus 0

Ejemplo 112 Resolver en IR (1 minus 2x)4(x2 minus 4) gt 0Soluciacute on

(1 minus 2x)4(x2 minus 4) gt 0 lArrrArr (+)(+) gt 0 or (minus)(minus) gt 0

(+) (+) gt 0

entonces

(1 minus 2x)4(x2 minus 4) gt 0 lArrrArr (x2 minus 4) gt 0 x = 1

2

lArrrArr (x minus 2)(x + 2) gt 0 x = 1

2lArrrArr C s = ⟨minusinfin minus2 ] cup [2 infin⟩

1121 Problemas de inecuaciones cuadraticas

Resolver en IR las siguientes inecuaciones de manera breve y racute apida

( a) x2 minus 2x3 gt 0 ( b) x4 minus x2 ge 0 ( c) (x2 + 1)(x minus 2) lt 0

( d) x2 + 4

3 minus 2x le 0 ( e) x2(4 minus x) le 0 ( f )

x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1

x + x lt 0 ( i) x minus 1 +

1

x minus 1 ge 0

( j) (x minus 2)2(x minus 1)2(5 minus x) gt 0

JR Ticona P UANCV




1122 Maximo y mınimo de un polinomio cuadratico

Sea P (x) = ax2 + bx + c a = 0 un polinomio cuadracute atico

a) Si a lt 0 existe un nacute umero real M tal que ax2 + bx + c le M para todo x isin IREl nacute umero M se llama macute aximo del poli-nomio P (x)

b) Si a gt 0 existe un nacute umero real m tal queax2 + bx + c ge M para todo x isin IR El nacute umero m se llama mınimo del polinomioP (x)

Ejemplo 113 Una piedra se lanza hacia arriba desde el techo de un edificio 80 pies de alturaLa altura que la piedra alcanza desde el suelo en cualquier instante t (en segundos) estacute a dada

h(t) = minus16t2 + 64t + 80

a) iquestEn que momento alcanza la piedra su punto macute as alto

b) iquestCuacute al es la altura macute axima que alcanza la piedra con respecto del suelo

Soluciacute on

Paso 1 Completar cuadrados tenemos

h(t) = minus16(t2 minus 4t + middot middot middot ) + 80

= minus16(t2 minus 4t + 4 minus 4) + 80

= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80

= minus16(t minus 2)2 + 144

Paso 2 Porque el coeficiente de t2 es negativo habra macute aximoAnalizarSe cumple (t minus 2)2 ge 0 forallt isin IRmultiplicar por minus16 minus16(t minus 2)2 le 0sumar 144 minus16(t minus 2)2 + 144 le 0 + 144Hemos obtenido

h(t) = minus16(t minus 2)2 + 144 le 144

a) Para t = 2 la piedra alcanza su punto macute as alto

b) La altura maxima que alcanza desde el suelo es de 144pies

JR Ticona P UANCV




Ejemplo 114 (Maximaciacute on de ganancias) La ganancia mensual estimada obtenida por la empresa KODAK al producir y vender x unidades de cacute amaras de modelo K 1 es

P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000

dacute olares Encuentre cuacute antas cacute amaras debe producir cada mes para maximizar sus gananciasSoluciacute on

Paso 1 Completar cuadrados

P (x) = minus004(x2

minus 6000x + middot middot middot ) minus 10000= minus004(x2 minus 6000x + 9000000) + 370000

= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000

P es la ganancia mensual x nacute umero de camaras

Paso 2 Porque el coeficiente de x2 es negativo habracute a macute aximoAnalizar

(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR

minus004(x2 minus 3000)2 le 0

P (x) = minus004(x2 minus 3000)2 + 370000 le 370000

Respuesta Debe producir 3000 cacute amaras cada mes para maximizar sus ganancias

Ejemplo 115 (Maximizaciacute on de Ingresos) El ingreso mensual R (en cientos de dacute olares) obte-nido por la venta de ollas electricas se relaciona con el precio unitario p (en dacute olares) mediante la ecuaciacute on

R( p) = minus1

2 p2 + 30 p

iquestCuacute al precio unitario maximiza el ingreso mensual Soluciacute on Como el coeficiente de p2 es negativo entonces habracute a macute aximo

JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1

2( p2 minus 60 p + middot middot middot )

= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar

( p minus 30)2 ge 0 forall p isin IR

minus1

2( p minus 30)2 le 0

minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450

Respuesta Si el precio es S30 este maximiza la ganancia

Ejemplo 116 (Fısica)El desplazamiento ldquo S rdquode un objeto desde un punto de referencia en el tiempo t estacute a dada por

S (t) = 32t2 minus 16t + 287

donde ldquo S es tacute a dado en metros y ldquo ten segundos

a) Para que valor de t ocurre el mınimo desplazamiento

b) iquestCuacute al es el desplazamiento mınimo del objeto desde el punto de referencia

Soluciacute on Como el coeficiente de t2 es positivo entonces S tiene mınimo

Paso 1 Completando cuadrado tenemos

S = 32t2 minus 16t + 287

= 32(t2 minus 5t + middot middot middot ) + 287

= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar

S (t) = (t minus 25)2 ge 0 forallt isin IR

32(t minus 25)2 ge 0

32(t minus 25)2 + 87 ge 87

a) Para t = 25 segundos ocurre el desplazamiento mınimo

b) El desplazamiento mınimo del objeto debe recorrer es 87 m

JR Ticona P UANCV




1123 Problemas

1 Un ganadero quiere val lar un prado rectangular adyacente a un rıo EL prado ha de tener 180000 m2 para proporcionar pasto iquestQue dimensiones debe tener para que requiera la

menor cantidad de valla posible teniendo en cuenta que no hay que poner valla en el ladoque da al rıo

2 Un granjero dispone de 200 metros de valla para cerrar dos corrales rectangulares adyacentes (vease Figura) iquestQue dimensiones haracute an que el acute area encerrada sea maxima

3 Se va a hacer una caja abierta con una pieza cuadrada de material de 12 cm de ladocortando esquinas iguales y dobladas por las lıneas de trazos que se ven en la FiguraHallar el macute aximo volumen posible de la caja

4 Con cuatro pies de cable se forma un cuadrado y un cırculo iquestCuacute anto cable debe emplearse en cada figura para que encierren la macute axima acute area total posible

5 Una pacute agina rectangular ha de contener 96 cm2 de texto Los macute argenes superior e inferior tienen 3 cm de anchura y los laterales 2 cm iquestQue dimensiones de la pacute agina minimizan la cantidad de papel requerida

6 Se va a construir una caja con una pieza de material cuyos lados miden 2 m y 3 m por el metodo ya indicado de cortar esquinas iguales y doblar Hallar las dimensiones de la caja de macute aximo volumen que es posible construir

7 Una pista de entrenamiento consta de dos semicırculos adosados en los lados opuestos de un rectacute angulo Si su perımetro es de 200 m hallar las dimensiones que hacen que hacen macute axima el acute area de la regiacute on rectangular

JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto

Definiciacute on 117 El valor absoluto del nacute umero real x denotado por |x| estacute a definido por

|x| = x si x ge 0minusx si x lt 0

Se lee rdquoel valor absoluto del nacute umero real x es igual al mismo nacute umero x si x es positivo o ceroo es igual a minusx si x es negativo

Nota Las siguientes ecuaciones o inecuaciones se van a resolver aplicando la definiciacute on

Propiedades

1 foralla isin IR se cumple |a| ge 0

2 |a| = 0 lArrrArr a = 0

3 |a + b| le |a| + |b| Desigualdad triangular

4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2

7 | minus a| = |a|8 Si b ge 0 entonces |a| = b lArrrArr a = b or a = minusb

9 |a| = |b| equiv a = b or a = minusb

10 Si b ge 0 entonces |a| le b equiv minusb le a le b

11 forallb isin IR |a| ge b lArrrArr a ge b or a le minusb

12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2

Ejemplo 01 Resolver en IR |x minus 2| minus 2x = 4Soluciacute on Aplicar la definiciacute on Si x minus 2 ge 0 rArr (x minus 2) minus 2x = 4 or Si x minus 2 lt 0 entonces minus(x + 2) minus 2x = 4

(Si x ge 2 rArr x = minus6) or (Si x lt 2 rArr x = minus2

3)

emptycupminus2

3

Ejemplo 02 Resolver en IR 5

|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2

Soluciacute on Pasos a seguir

JR Ticona P UANCV




1 Los puntos crıticos se obtienen igualando a cero cada valor absoluto

|x + 1| = 0 rArr x = minus1

|x

minus1| = 0

rArr x = 1

2 Al definir cada valor absoluto se obtiene

|x + 1| =

x + 1 si x ge minus1minus(x + 1) si x lt minus1

|x minus 1| =

x minus 1 si x ge 1minus(x minus 1) si x lt 1

3 Dibujar los puntos crıticos en la recta real

4 En cada intervalo buscar soluciones de la ecuaciacute on dada teniendo en cuenta que

En A = ⟨minusinfin

minus

1] se cumple que |x + 1| = minus(x + 1) = minusx minus 1|x minus 1| = minus(x minus 1) = minusx + 1

En B = [minus1 1] se cumple que |x + 1| = (x + 1)|x minus 1| = minus(x minus 1) = minusx + 1

En C = [1 infin⟩ se cumple que |x + 1| = (x + 1)|x minus 1| = (x minus 1)

5 Porque hay 3 intervalos la ecuaciacute on dada 5|x + 1| minus 3|x minus 1| = 2

a) Para A = ⟨minusinfin minus1] resolver 5(minusx minus 1) minus 3(minusx + 1) = 2 que se obtiene

minus5x minus 5 + 3x minus 3 = 2

x = minus5

Porque x = minus5 isin A entonces es soluciacute onb) Para B = [minus1 1] resolver 5(x + 1) minus 3(minusx + 1) = 2 que se obtiene

5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0

Porque x = 0 isin B entonces es soluciacute on

c) Para C = [1 infin⟩ resolver 5(x + 1) minus 3(x minus 1) = 2 que se obtiene

5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3

Porque x = minus3 isin C entonces no es soluciacute onJR Ticona P UANCV




Conclusiacute on C S = minus5 0

Ejemplo 03 Resolver en IR la siguiente inecuaciacute on |2x minus 1|

x le 3

Soluciacute on [Si 2x minus 1 ge 0 rArr 2x minus 1

x le 3] or [Si 2x minus 1 lt 0 rArr minus(2x minus 1)

x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1

x minus 3 le 0] or [x lt

1

2 rArr minus(2x minus 1)

x minus 3 le 0]

Ejemplo 04 Resolver en los reales |x minus x2| = 0Soluciacute on

|x minus x2| = 0 lArrrArr x minus x2 = 0

lArrrArr x(1 minus x) = 0

lArrrArr x = 0 or 1 minus x = 0lArrrArr x = 0 or x = 1

C s = 0 1Ejemplo 05 Resolver en los reales ||x2 minus 4| minus 9| = 0Soluciacute on

||x2 minus 4| minus 9| = 0 lArrrArr |x2 minus 4| minus 9 = 0

lArrrArr x2 minus 4 = 9 or x2 minus 4 = minus9

lArrrArr x2 = 13 or x2 = minus5

lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic

13] or emptyC s = minusradic 13 radic 13

Ejemplo 06 Resolver en los reales | |x minus 1| minus |x + 2| | = 0Soluciacute on

| |x minus 1| minus |x + 2| | = 0 lArrrArr |x minus 1| minus |x + 2| = 0

lArrrArr |x minus 1| = |x + 2|lArrrArr x minus 1 = x + 2 or x minus 1 = minus(x + 2)

lArrrArr empty or 2x = minus1

lArrrArr empty or x = minus1

2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2

Ejemplo 07 Resolver en los reales |2x minus 1| = 1 minus 2x

Soluciacute on Primero hallemos el primer conjunto universal y este es 1 minus 2x ge 0 lArrrArr x le 1

2

2x minus 1 = 1 minus 2x or 2x minus 1 = minus(1 minus 2x)

4x = 2 or 2x minus 1 = minus1 + 2x

x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2

1048669 JR Ticona P UANCV




Conclusiacute on el conjunto soluciacute on es

C s = ⟨minusinfin 1

21048669Ejemplo 08 Resolver en los reales |2x minus 1| = |3x minus 4|Soluciacute on

|2x minus 1| = |3x minus 4| lArrrArr 2x minus 1 = 3x minus 4 or 2x minus 1 = minus3x + 4

lArrrArr minusx = minus3 or 5x = 5

lArrrArr x = 3 or x = 1

Conclusiacute on el conjunto soluciacute on esC s = 1 3

Ejemplo 09 Resolver en los reales |3 minus 2x| le 5

Ejemplo 10 Resolver en los reales x minus 3

x le 2

Ejemplo 11 Resolver en los reales |3x minus 1| gt x + 2Ejemplo 12 Resolver en los reales |x2 + 6| ge 5xEjemplo 13 Resolver en los reales 3 lt |x minus 2| le 4Soluciacute on

3 lt |x minus 2| le 4 lArrrArr 3 lt |x minus 2| and |x minus 2| le 4

lArrrArr |x minus 2| gt 3 and |x minus 2| le 4

lArrrArr (x minus 2 gt 3 or x minus 2 lt minus2) and (minus4 le x minus 2 le 4)

lArrrArr (x gt 4 or x lt 0) and (minus2 le x le 6)

lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]

Ejemplo 14 Resolver en los reales ||x minus 2| minus 3| gt 2Soluciacute on

||x minus 2| minus 3| gt 2 lArrrArr |x minus 2| minus 3 gt 2 or |x minus 2| minus 3 lt minus2

lArrrArr |x minus 2| ge 5 or |x minus 2| lt 1

lArrrArr (x minus 2 gt 5 or x minus 2 lt minus5) or (minus1 le x minus 2 le 1)

lArrrArr (x gt 7 or x lt minus3) or (1 le x le 3)

lArrrArr C s = ⟨minusinfin minus3] cup ⟨1 3⟩ cup ⟨7 infin⟩Ejemplo 15 Si (1 minus 2x) isin ⟨minus3 5⟩ hallar el menor valor de k tal que |4 minus 3x| lt k

Soluciacute on (1 minus 2x) isin ⟨minus3 5⟨ lArrrArr minus3 lt 1 minus 2x lt 5

lArrrArr minus4 lt minus2x lt 4

lArrrArr 4 gt 2x gt minus4

lArrrArr minus2 lt x lt 2

A partir de esta acute ultima desigualdad formar el termino 4 minus 3x veamos

minus2 lt x lt 2 lArrrArr minus6 lt minus3x lt 6

lArrrArr minus2 lt 4 minus 3x lt 10

lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10

lArrrArr |4 minus 3x| lt 10 = k porque 10 = max| minus 2| |10|Ejemplo 16 Si (3x + 10) isin [minus8 minus2] hallar el menor valor de k tal que |2x + 5| lt k

JR Ticona P UANCV




114 Problemas de Valor absoluto

1 Resolver las siguientes ecuaciones

( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2


( a) |2x minus 1| = x minus 1 ( b) |5x + 2| = x

( c) |4x minus 5| = 2x minus 1 ( d) |5x minus 1| = x minus 2


( a) |x minus 2| = |2x minus 3| ( b) |4x + 5| = |1 minus x|( c) |x minus 2| = |3x + 5| ( d) |6x minus 1| = |3x minus 5|


( a) 2|x minus 1| minus |x| = 0 ( b) 3|x + 2| minus |x minus 1| = 5

( c) |x| = 2|x minus 2| + |x minus 3| ( d) 2|2x minus 1| + |x + 3| = 8

5 Resolver las siguientes inecuaciones

( a) |2x minus 1| lt 1 ( b) |2x minus 1| le 1

( c) |2x minus 1| ge 1 ( d) |2x minus 1| gt 1



( c)

x

2 minus 1

2

le 1

2 ( d) |x2 minus x| lt 1

( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1

le 1 ( h) |x2 minus x| lt 1


( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1

( c) |3x + 1| ge 1 ( d) |2x minus 1| le x minus 1

( e) |5x minus 2| ge 4x

JR Ticona P UANCV




PRIMERA PR acute ACTICA CALIFICADA DE acute ALGEBRA SUPERIOR

1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3

x minus 2 isin1048667minus5

2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1

6 minus 2x le 0 ( b)

1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]

4 Resolver la inecuaci on en los nacute umeros los reales

x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR

( a) 2|x minus 1| minus |x| = 0 ( b) |x2 minus x| lt 1

[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion

En el curso de acute algebra y aritmetica frecuentemente nos encontramos con nacute umeros de la formaradic 5 5

radic 3 3radic 23 etc que las llamamos RADICALES y proceden generalmente de resolver una

ecuaciacute on de la formaxn = a donde a ge 0 y n isin IN +

Por ejemplo

1radic

5 proviene de resolver la ecuaciacute on x2 = 5

2 5radic


3 3

radic 23 proviene de resolver la ecuaciacute on x3 = 23

Antes de dar la definiciacute on de raız nminusesima de un nacute umero real no negativo recordemos que

IN + es el conjunto de los nacute umeros naturales positivos esto es IN + = 1 2 3 4 IR+ es el conjunto de los nacute umeros reales no negativos esto es a isin IR+ entonces a ge 0

Definiciacute on 118 Sea a ge 0 y n isin IN + Si xn = a entonces existe un acute unico nacute umero real nonegativo b tal que b = n

radic a y se lee b es la raız nminusesima de a

Es decir xn = a lArrrArr x = nradic

a = a1n si a ge 0 and n isin IN +

Ejemplos

1 Si x2 = 16 existe un acute unico nacute umero real no negativo b = 4 tal que b =radic

16

2 Si x3 = 5 existe un acute unico nacute umero real no negativo b = 3radic

5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32

PropiedadesPara a b isin IR+

0 = [0 +infin⟩ y m n isin IN + se cumplen

( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an

1151 Racionalizacion de Radicales

Aplicando las definiciones de potencia entera no negativa de raız nminusesima no negativa y de productos notables

(a + b)(a minus b) = a

2

minus b

2

(a plusmn b)(a2 ∓ ab + b2) = (a3 plusmn b3)

JR Ticona P UANCV




(a minus b)(anminus1 + anminus2b + middot middot middot + bnminus1) = an minus bn forall n ge 2 n isin IN

se verifican que los siguientes productos son nacute umeros racionales siempre que a y b sean nacute umeros racionales

(radic

a +radic

b)(radic

a minus radic b) = a minus b

( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic

b + middot middot middot + nradic

bnminus1) = a minus b forall n ge 2 n isin IN

Cada uno de los factores del primer miembro es un FACTOR RACIONALIZANTE del otro fac-tor

La racionalizaciacute on de radicales se aplican para convertir expresiones con radicales en expre-siones racionales

Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2

5radic 23 5radic 22 =

5radic

45radic 25 =

5radic

42

Definiciacute on 119 ( Potenciaciacute on de exponente racional )

Si m

n isin Q+ y a isin IR+ definimos

an

m = mradic

an

Teorema 122 ( Raız cuadrada y valor absoluto)Para todo a isin IR se cumple

radic a2 = |a|

Teorema 123

a) Si b ge 0 entonces a2 le b lArrrArr minusradic b le a le b

b) Para todo b isin IR tenemos a2 ge b lArrrArr a ge radic b or a le minusradic

b

1152 Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales son igualdades con incacute ognitas que aparecen dentro de los radi-cales

Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic

a ge 0 lArrrArr a ge 0

2 radic

a = 0 lArrrArr a = 0

Para resolver ecuaciones que contienen raıces cuadradas tener en cuenta el siguiente teorema

Teorema 124 Si a ge 0 and b ge 0 entonces radic

a = b lArrrArr a = b2

Segacute un este teorema para elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuaciacute on radic

a = b debe cum-plirse que b ge 0 and a ge 0

Ejemplo 1 Resolver en los reales forallx isin IR radic

5x minus 9 = x minus 1Soluciacute on Antes de elevar al cuadrado debemos hallar el UNIVERSO del conjunto soluciacute on

5x minus 9 ge 0 and x minus 1 ge 0 rArr elevar al cuadrado 5x minus 9 = (x minus 1)2

(x ge 9

5 and x ge 1) = U

rArr x2 minus 7x + 10 = 0

U x ge 9

5 rArr (x minus 5)(x minus 2) = 0

rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5

Ejemplo 2 Resolver en los reales la ecuaciacute onradic

6 minus x +radic

x + 7 minus radic 12x + 1 = 0

Soluciacute on

Paso 1 Hallar el conjunto UNIVERSO del conjunto soluciacute on hallando la intersecciacute on de las inecua-ciones

6 minus x ge 0 and x + 7 ge 0 and 12x + 1 ge 0

= U

x le 6 and x ge minus7 and x ge minus 112

rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061

Paso 2 Elevar al cuadrado y simplificar

6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic

x + 7 = 12x minus 12radic 6

minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV




Paso 3 Nuevamente elevar al cuadrado y simplificar

(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36

0 = 37x2 minus 71x minus 6

(37x + 3)(x minus 2) = 0

El conjunto solucion de esta ecuaciacute on es A =

minus 3

37 2

Paso 4 Conclusiacute on el conjunto soluciacute on se obtiene interceptando el conjunto A con el conjunto

universo U es decirC S = A cap U = 2

1153 Problemas

1 Resolver en los nacute umeros reales las siguientes ecuaciones

( a)radic

x minus 1 = 0 ( b)radic

2x minus 1 = 3

( c)radic

x minus 1 = minus3 ( d)radic

x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic

7 minus 3x = 3 minus x ( f )radic

2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2


( a) radic 5x minus 9 = x minus 1 ( b) radic 10 minus x = x + 2 ( c) radic 4 minus x2 = 1

( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic

4x minus x2 = 3x minus 4 ( f ) 2x minus radic x minus 1 = 3x minus 7

( g)radic

x minus 2x2 = x ( h)radic

x minus 1 = 2x minus 8 ( i)radic

x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic

5x minus 1 minus radic 3 + x =

radic 2x ( d)

radic 3x + 1 minus radic

16x + 1 = minusradic

5x

( e) radic 2x + 3 minus radic x minus 2 = 2 ( f ) radic 4x minus 3 minus radic x minus 3 = radic 3x minus 5

1154 Inecuaciones con radicales

Para resolver inecuaciones con radicales (RAacute IZ CUADRADA) aplicar segacute un sea el caso las siguientes propiedades

1 0 le radic a le radic

b lArrrArr 0 le a le b

2 0 le radic a lt

radic b lArrrArr 0 le a lt b

3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic

a lt b lArrrArr a lt b2 siempre que a ge 0 and b gt 0

JR Ticona P UANCV




5 radic

a ge b lArrrArr [a ge 0 si b lt 0] or [a ge b2 si b ge 0]

6 radic

a +radic

b ge 0 lArrrArr a ge 0 and b ge 0

7 radic a + radic b le 0 lArrrArr a = 0 and b = 0Ejemplo 1 Resolver en los reales

radic 2x minus 1 le radic

x + 1Soluciacute on


x + 1 lArrrArr 0 le 2x minus 1 le x + 1

lArrrArr 0 le 2x minus 1 and 2x minus 1 le x + 1

lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061

Ejemplo 2 Resolver en los reales radic 3 minus 2x lt xSoluciacute on

(x ge 0 and 3 minus 2x ge 0) = U

lArrrArr elevar al cuadrado 3 minus 2x lt x2

x ge 0 and x le 3

2 lArrrArr 0 lt x2 + 2x minus 3

U =

10486670

3

2

852061 lArrrArr 0 lt (x + 3)(x minus 1)

U = 10486670 32852061 lArrrArr A = ⟨minusinfin minus3⟩ cup ⟨1 infin⟩

C S = U cap A =

⟨1

3

2

⟩Aplicaciacute on de la desigualdad

radic a ge b lArrrArr [a ge 0 si b le 0]

p

or [a ge b2 si b ge 0] q

Ejemplo 3 Resolver en los realesradic

4 minus x2 ge minus1

Soluciacute on Aplicar ldquoprdquo

4 minus x2 ge 0 lArrrArr x2 le 4

porque b = minus1 le 0 lArrrArr minus2 le x le 2

Conclusiacute on el conjunto soluciacute on es C S = [minus2 2]


4 minus x2 ge 1

Soluciacute on Aplicar ldquoqrdquo


porque b = 1 ge 0 lArrrArr minusradic

3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV




Conclusiacute on el conjunto soluciacute on es C S = [minusradic 3

radic 3]


4 minus x2 ge x minus 1

Soluciacute on En este caso aplicar el teorema 3 en forma completa es decirradic

4 minus x2 ge x minus 1 lArrrArr [4 minus x2 ge 0 si x minus 1 lt 0] or [4 minus x2 ge (x minus 1)2 si x minus 1 ge 0]

lArrrArr [minus2 le x le 2 si x lt 1] or [4 minus x2 ge x2 minus 2x + 1 si x ge 1]

lArrrArr [minus2 le x le 2 si x lt 1] or [0 ge 2x2 minus 2x minus 3 si x ge 1]

lArrrArr [minus2 le x le 2 si x lt 1] or [0 ge x2 minus x minus 3

2 si x ge 1]

lArrrArr [minus2 le x le 2 si x lt 1] or [0 ge x2 minus x + 1

4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]

lArrrArr [minus2 le x le 2 si x lt 1] or [0 ge 1048616x minus 1210486172

minus 74 si x ge 1]

lArrrArr [minus2 le x le 2 si x lt 1] or [

1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]

lArrrArr [minus2 le x le 2 si x lt 1] or [minus7

4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]

Finalmente El conjunto soluciacute on es la uniacute on de ambas soluciones

C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7

2 9831331155 Problemas

1 Resolver en los nacute umeros reales las siguientes inecuaciones

( a)radic

2x minus 1 le radic x + 1 ( b)

radic 1 minus x le radic

2x + 1

( c)radic

x2 minus 6x le radic 6 minus x ( d)

radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic

3x2 + 3x ge radic 15 minus x ( f )

radic 8 minus 4x gt

radic x2 minus 3x + 2

( g)radic

x2 minus 4x + 3 minus radic 1 minus x lt 0 ( h)

radic x2 + x minus 6 +

radic x2 minus 3x + 2 le 0

( i) radic x2 + x minus 6 + radic x2 minus 3x + 2 lt 0 ( j) radic 2x + 5 minus radic 3 minus x le 2


( a)radic

3 minus 2x lt x ( b)radic

4 minus x2 le x ( c)radic

x2 + 2x minus 3 le 2x minus 1

( d)radic

x minus 2x2 lt 1 + 2x ( e) 2radic

x + 4 minus x le 1 ( f )radic

6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1

( d) radic 2x minus 1 ge minus2 ( e) radic 2x minus 1 ge 2 ( f ) radic 2x minus 1 ge x minus 1

JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2

Relaciones y funciones

21 Sistemas de coordenados cartesianos en el plano

211 Par ordenado

Diremos que un conjunto que contiene dos elementos denotado por (a b) es un par ordenadosi y sacute olo si dicho conjunto tiene la propiedad de que el elemento rdquoardquo puede ser distinguido comoel primero y el elemento rdquobrdquo como el segundo elemento del par

212 Pares ordenados iguales

Dos pares ordenados (a b) y (c d) son iguales y escribimos (a b) = (c d) si y sacute olo si

a = c and b = dEsto es (a b) = (c d) lArrrArr a = c and b = d

213 Producto cartesiano IR times IR

Definiciacute on 21 Si IR es el conjunto de los nacute umeros reales el producto IR times IR es el conjuntode pares ordenados (x y) tales que x isin IR y isin IREsto es IR times IR = (x y) x isin IR and isin IR

El producto IR times IR se llama PRODUCTO CARTESIANO

214 El plano cartesiano

215 Suma de pares ordenados multiplicacion de un numero real

por un par ordenado

Definiciacute on 22 Dados dos pares ordenados (x1 y1) y (x2 y2) de IR2 la suma de dichos pares ordenados es el par ordenado (x1 + x2 y1 + y2)

Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)

Definiciacute on 23 Dado el par ordenado (x1 y1) de IR2

y un nacute umero real r el producto del nacute umeroreal r por el par ordenado (x1 y1) es el par ordenado (rx1 ry1)

34




Esto es r(x1 y1) = (rx1 ry1)

216 Distancia entre dos puntosDefiniciacute on 24 Dados dos puntos P 1 y P 2 en el plano XY la distancia del punto P 1 al puntoP 2 es la longitud del segmento de recta que las une

Teorema 21 La distancia d(P 1 P 2) entre los puntos P 1(x1 y1) y P 2(x2 y2) estacute a dado por el nacute umero real positivo

d(P 1 P 2) =radic

(x2 minus x1)2 + (y2 minus y1)2

Observaciacute on La distancia d(P 1 P 2) tambien se denota por d(P 1 P 2) = ||minusminusrarrP 1P 2|| = ||P 2 minus P 1||

Corolario 21 El punto medio del segmento de los puntos P 1(x1 y1) y P 2(x2 y2) es 1048616x1 + x2

2

y1 + y22

1048617

217 Division de un segmento en una razon dada

JR Ticona P UANCV




22 Trabajo encargado

1 Halle el perımetro del cuadrilacute atero cuyos vertices son (minus3 minus1) (0 3) (3 4) (4 minus1)

2 Los vertices de un triangulo son A(3 8) B(2 minus1) y C (6 minus1) Si D es el punto medio del lado BC calcular la longitud de la mediana AD

3 Dado un triacute angulo de vertices A(minus3 3) B(3 5) C (minus1 minus3)

a) Halle los puntos medios de cada lado del triacute angulo

b) Halle el perımetro del nuevo triacute angulo formado por los puntos medios de los lados del triacute angulo

c) Halle el acute area del nuevo triacute angulo formado por los puntos medios de los lados del triacute angulo

4 Hallar los puntos de trisecciacute on del segmento cuyos extremos son los puntos (minus2 3) y (6 minus3)

5 Los puntos extremos de un segmento son P 1(2 4) y P 2(8 minus4) Halle el punto P (x y) que divide a este segmento en dos partes tales que P 2P P P 1 = minus2

6 Hacute allese el acute area del triacute angulo cuyos vertices son

( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)

( c) (6 0) (minus2 3) (2 7) ( d) (5 1) (minus3 4) (minus1 minus2)

( e) (0 minus5) (7 minus1) (minus1 minus1) ( f ) (4 0) (0 6) (minus3 minus5)

7 Hacute allese el acute area del polıgono cuyos vertices son

( a) (2 6) (0 minus4) (5 minus3) (8 3) ( b) (minus3 7) (6 5) (2 12) (minus2 0)

( c) (9 2) (4 7) (minus2 0) (5 minus3) ( d) (6 7) (9 minus1) (minus4 0) (minus2 7) (0 minus5)

8 Los vertices de un triacute angulo son (2 7) (5 1) (x 3) su acute area es 19 iquestCuacute al es el valor de x

9 Probar que los puntos (minus2 8) (1 minus1) (3 minus7) estacute an en una recta

10 Una circunferencia cuyo centro es el punto (

minus3 4) y pasa por el punto (9 9) iquestCuacute al es su

radio

11 Demuestrese que los triacute angulos que tiene los siguientes vertices son isacute osceles

( a) (minus4 3) (minus1 minus1) (3 2) ( b) (minus6 2) (1 3) (2 minus4)

( c) (4 8) (3 minus1) (minus5 7) ( d) (minus1 minus6) (minus6 4) (5 2)

12 Determine la gracute afica de las siguientes relaciones indicando dominio y rango

( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1

( g) x = minus3 ( h) y = minus2 ( i) x le 2yJR Ticona P UANCV





( a) y = 4x2 ( b) y = x2 minus 2x ( c) y = 4x2 + 12x minus 2

( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x

( g) x minus 4 = minus3y2 + 12y ( h) y ge minus2x2 + 12x + 8 ( i) x lt minusy2 minus 4y

Tecnica para hallar el Dominio Para hallar el dominio de una relaciacute on R expresada mediante una ecuaciacute on con dos variables F (x y) = 0 requiere de una tecnica algebraicaque tiene dos pasos

Paso 1 Despejar rdquoyrdquo en terminos de rdquoxrdquo si esto es posible

Paso 2 Analizar iquestque valores reales debe tener rdquoxrdquo para que la variable rdquoyrdquo sea un nacute umeroreal

14 Halle el dominio de cada una de las siguientes relaciones

( a) S 1 = (x y) isin IR2 y + 3x3 minus 2x = minus4( b) S 2 = (x y) isin IR2 y2 minus y2x3 minus x = 0( c) S 3 = (x y) isin IR2 y3 minus x + 2 = 0( d) S 1 = (x y) isin IR2 x2 + yx2 minus 4y = 0( e) S 3 = (x y) isin IR2 4x2 minus y2 minus 8x minus 4y = 4

Tecnica para hallar el Rango Para hallar el rango de una relaciacute on R expresada mediante una ecuaciacute on con dos variables F (x y) = 0 requiere de una tecnica algebraica

que tiene dos pasos

Paso 1 Despejar rdquoxrdquo en terminos de rdquoyrdquo si esto es posible

Paso 2 Analizar iquestque valores reales debe tener rdquoyrdquo para que la variable rdquoxrdquo sea un nacute umeroreal

15 Halle el rango de cada una de las siguientes relaciones

( a) S 1 = (x y) isin IR2 x2 minus 4y + 1 = 0 ( b) S 2 = (x y) isin IR2 x2 minus 4x2y2 minus 4 = 0( c) S 3 = (x y) isin IR2 xy2 minus y minus 4x = 0 ( d) S 1 = (x y) isin IR2 x2 minus yx2 minus 4y = 0

Asıntotas Las asıntotas son rectas (verticales horizontales u oblicuas) tal que la gracute afica de la ecuaciacute on F (x y) = 0 tiende a acercarse a ellas

16 Determinar las asıntotas verticales y horizontales de las siguientes relaciones

( a) S 1 = (x y) isin IR2 xy = 4 ( b) S 2 = (x y) isin IR2 yx2 + 4y = 1( c) S 3 = (x y) isin IR2 xy + 2x minus y = 4 ( d) S 1 = (x y) isin IR2 xy2 minus 9x minus y2 = 0

Gracute afica de una relaciacute on La gracute afica de una relaciacute on S se discute en el siguiente orden

1) Determinaciacute on de los interceptos

a) Con el eje X se hace y = 0 y se resuelve la ecuaciacute on F (x 0) = 0

b) Con el eje Y se hace x = 0 y se resuelve la ecuaciacute on F (0 y) = 0JR Ticona P UANCV




2) Simetrıas

a) Simetrıas respecto al eje X Si al hacer el cambio de y por minusy la ecuaciacute on de la relaciacute on S no varıa entonces afirmamos que existe simetrıa respecto al eje

X b) Simetrıas respecto al eje Y Si al hacer el cambio de x por minusx la ecuaciacute on de la

relaciacute on S no varıa entonces afirmamos que existe simetrıa respecto al ejeY

c) Simetrıas respecto al ORIGEN Si al hacer el cambio de y por minusy ademacute as de x por minusx la ecuaciacute on de la relaciacute on S no varıa entonces afirmamos que existe simetrıa respecto al origen

3) Determinar el dominio y rango

4) Determinar asıntotas verticales y asıntotas horizontales

5) Tabulaciacute on La tabulaciacute on consiste en hallar algunos puntos de la relaciacute on S Los puntos se hallan teniendo en cuenta el dominio o el rango de la relaciacute on

17 Discutir la gracute afica de las siguientes ecuaciones y graficarlo

( a) xy2 minus y2 minus 4x = 0 ( b) y2x minus 3y2 minus 1 = 0

( c) x2y minus x2 minus 4xy + 4y = 0 ( d) xy2 minus 9x minus y2 = 0

( e) (x minus 1)(y minus 2) = 4 ( f ) xy minus x2 = 1

Gracute afica de una inecuaciacute on en rdquoxrdquo y en rdquoyrdquoPara una mejor y ordenada presentaciacute on vamos a clasificar a las inecuaciones con dos variables en dos clases inecuaciones lineales y inecuaciones no lineales

a) Las inecuaciones lineales se pueden presentar en 4 formas

a) Ax + By + C lt 0 larr No incluye la frontera

b) Ax + By + C gt 0 larr No incluye la frontera

c) Ax + By + C le 0 larr Incluye la frontera

d) Ax + By + C ge 0 larr Incluye la frontera

b) Las inecuaciones no lineales con este nombre designamos a todas aquellas inecuacio-

nes cuyo gracute afico tiene como frontera una curva que no es recta

Metodo pr actico para graficar una inecuaciacute on Si una inecuaciacute on tiene una de las formas

F (x y) lt 0F (x y) gt 0F (x y) le 0F (x y) ge 0

para graficar seguir dos pasos

1) Graficar la frontera F (x y) = 0 La frontera divide al plano cartesiano en dos regiones

JR Ticona P UANCV




2) Sombrear la regiacute on F (x y) lt 0 (o F (x y) gt 0) eligiendo un punto cualquiera (x y)del plano y verificarlo si dicho punto pertenece o no a la regiacute on definida por F (x y) lt 0(o F (x y) gt 0)

18 Sombrear la regiacute on R que tiene como frontera las ecuaciones dadas

( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R

y = x2y = 8 minus x2

( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x

19 Graficar las siguientes relaciones

a) R = (x y) isin IR2 1 minus x le y le radic x 1 le x le 2

b) R = (x y) isin IR2 x3 le y le x + 1 minus1 le x le 1c) R = (x y) isin IR2 y2 le x le 2y 0 le y le 2d) R = (x y) isin IR2 minus y minus 1 le x le y minus 1 0 le y le 1e) R = (x y) isin IR2 minus radic

4 minus x2 le y le radic 4 minus x2 minus1 le x le 2

f ) R = (x y) isin IR2

x2

minus 4 le y le x minus 2 minus1 le x le 2

23 Relaciones de IR en IR

231 Relacion binaria

Definiciacute on 25 Dado dos conjuntos A y B no nulos llamaremos Relaciacute on binaria de A en B a todo subconjunto S de A times BEs decir S es una relaciacute on de A en B si y sacute olo si S sube A times B

Ejemplo 22 Dados los conjuntos A =

abc

B =

m n

a) Halle el conjunto A times B

b) Halle el conjunto B times A

c) Halle 5 relaciones de A times B

d) Halle 5 relaciones de B times A

e) iquestCuacute antas relaciones de A en B habracute an

Soluciacute on

a) A times B = (a m) (a n) (b m) (b n) (c m) (c n)JR Ticona P UANCV




b) B times A = (m a) (m b) (m c) (n a) (n b) (n c)c) En este problema el producto A times B tiene rdquo6rdquo elementos entonces habracute an 26 minus 1 = 63

relaciones de A

timesB no vacıos

Eligiendo un elemento cualquiera dos tres cuatro o seis elementos del conjunto A times Bse pueden formar relaciones de A en B no vacıos

Los conjuntos S 1 = (a m) S 2 = (a m) (c n) S 3 = (a m) (b m) (c m)S 4 =(b m) (c n) S 5 = A times B son cinco relaciones de A en B

d) Los conjuntos T 1 = (m b) T 2 = (m a) (m c) T 3 = (m b) (m c) (n c)T 4 =(m b) (n a) (n b) (n c) T 5 = B times A son cinco relaciones de B en A

e) En general si el producto A times B tiene n elementos entonces existen 2n minus 1 relaciones de A en B no vacıos

232 Dominio y Rango de una relacion

Si S es una relaciacute on de A en B el DOMINIO de S es el conjunto de las primeras compo-nentes de las parejas de S esto es

Dom(S ) = x isin Aexisty isin B (x y) isin S

El RANGO de S es el conjunto de las segundas componentes de las parejas de S esto es

Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S

Ejemplo 23 Del ejemplo (22) se obtiene

a) Dom(S 1) = ab) Dom(S 2) = a cc) Dom(S 3) = abcd) Dom(S 4) = b c

e) Dom(S 5

) = A

a) Rang(S 1) = mb) Rang(S 2) = m nc) Rang(S 3) = md) Rang(S 4) = m n

e) Rang(S 5

) = B

24 Tipos de relaciones

241 Relacion en A

Cuando S es una relaciacute on de A en A esto es S sube AtimesA diremos que S es una relaciacute on en A

Si S es una relaciacute on en A podemos definir las relaciones reflexiva simetrica transitiva y de equivalencia

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242 Relacion Reflexiva simetrica transitiva y de equivalencia

Sea S una relaciacute on en A definimos

A) S es una relaciacute on REFLEXIVA en A si y sacute olo si (x x) isin S forallx isin A

B) S es una relaciacute on SIM ETRICA en A si y sacute olo si (x y) isin S entonces (y x) isin S para todo par (x y) isin S

C) S es una relaciacute on TRANSITIVA en A si y sacute olo si (x y) isin S and (y z ) isin S implica (x z ) isin S

D) S es una relaciacute on de EQUIVALENCIA en A si y sacute olo si S es reflexiva simetrica y transitiva

Ejemplo 24 Dado el conjunto A =

abcd

elegimos la relaciacute on

R = (a a) (b b) (c c) (d d) (a c) (c a) (b d) (d b)

que es una relaciacute on en A esto es R sube A times A se pregunta

a) iquestEs R una relaciacute on reflexiva

b) iquestEs R una relaciacute on simetrica

c) iquestEs R una relaciacute on transitiva

d) iquestEs R

una relaciacute on de equivalencia Soluciacute on

a) Porque (a a) (b b) (c c) (d d) son elementos de R donde dichas parejas se han formadocon todos los elementos de A entonces afirmamos que R es una relaciacute on REFLEXIVANota Si faltase una de las 4 parejas entonces R ya no serıa reflexiva

b) Elegimos uno por uno cada pareja de R e invertimos el orden de los elementos de cada pareja Si al invertir cada pareja este pertenece a R afirmamos que R es simetrica

Al invertir cada pareja de las 4 primeras se obtiene la misma pareja lo cual implica

que hasta aquı cumple la definiciacute on de simetrıa(a c) isin R al invertir la pareja se obtiene (c a) que tambien pertenece a R (b d) isin R al invertir la pareja se obtiene (d b) que tambien es elemento de R ası sucesivamentese hace con cada par ordenadoConclusiacute on R es simetrica

c) Para la transitividad lo que se hace es elegir dos pares ordenados tal que la segunda componente de la primera pareja sea igual a la primera componente de la segunda parejaası formamos una nueva pareja con la primera componente de la primera pareja y la se-gunda componente de la segunda pareja Si este nuevo par ordenado pertenece a la relaciacute on

entonces se cumple la definiciacute on de transitividad Si el nuevo par ordenado no pertenece a la relaciacute on entonces ya no es transitiva

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En el problema tenemos

lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R

lowast (b b) isin R and (b d) isin R rArr (b d) isin R

lowast (c c) isin R and (c a) isin R rArr (c a) isin R

lowast (d d) isin R and (d b) isin R rArr (d b) isin R

lowast (a c) isin R and (c c) isin R rArr (a c) isin R

lowast (c a) isin R and (a a) isin R rArr (c a) isin R

lowast (b d) isin R and (d b) isin R rArr (b b) isin R

lowast (b d) isin R and (d d) isin R rArr (b d) isin R

Conclusiacute on R es transitivad) Como R es reflexiva simetrica y transitiva entonces afirmamos que R es una relaciacute on de

equivalencia


251 Definicion

Sea IR el conjunto de los nacute umeros reales si S es un subconjunto de IR times IR = IR2 diremos que S es una relaciacute on de IR en IR (o simplemente una relaciacute on en IR)

Segacute un la definiciacute on la gracute afica de la recta de la circunferencia de los semiplanos de los planos etc y la gracute afica de cualquier curva en el plano cartesiano son relaciones de IR en IRporque son subconjuntos de IR times IR

252 Dominio y rango de una relacion en IR

Si la variable rdquoyrdquo estacute a en relaciacute on con la variable rdquoxrdquo mediante una ecuaciacute on F (x y) = 0esto es si se tiene la relaciacute on

S = (x y) isin IR2

F (x y) = 0definimos

1 El dominio de la relaciacute on S es el conjunto

Dom(S ) = x isin IR existy isin IR and (x y) isin S

2 El rango de la relaciacute on S es el conjunto

Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

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26 Lugar geometrico

Definiciacute on 26 Se llama Lugar Geometrico (LG) al conjunto de puntos (x y) isin IR2 que cumple una o macute as propiedades geometricasProcedimiento para obtener la ecuaciacute on del lugar geometrico Para obtener la ecuaciacute on de un lugar geometrico procedemos del siguiente modo

1 Suponer que P = (x y) es un punto cualquiera del lugar geometrico que satisface la condi-ciacute on o condiciones dadas

2 Expresar analıticamente la condiciacute on o condiciones del lugar geometrico por medio de una ecuaciacute on o ecuaciones en terminos de las coordenadas (x y)

3 Simplificar la ecuaciacute on obtenida en el 2 paso

Trabajo encargado

1 Dados el punto A(4 2) y la ecuaciacute on de la curva C x2 minus y + 1 = 0 sea Q un punto de CSi P es el punto medio del segmento AQ hallar la ecuaciacute on del lugar geometrico descritopor el punto P

2 Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje Y disminuido en 3 es siempre igual al doble de su distancia al eje X Halle la ecuaciacute on del lugar geometrico

3 Un punto se mueve de tal manera que su distancia al eje X es siempre igual a su distancia del punto (0 4) Halle la ecuaciacute on del lugar geometrico

4 Halle la ecuaciacute on del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que la diferencia de los cuadrados de sus distancias a los dos puntos A(2 minus2) y B(4 1) es igual a 12

5 Un punto se mueve de tal manera que su distancia al punto A(2 4) es siempre igual a su distancia al eje Y aumentado en 3 Halle la ecuaciacute on del lugar geometrico

6 Hallar la ecuaciacute on del lugar geometrico de un punto que se mueve de tal manera que la suma de sus distancias a los dos puntos A(3 0) y B(minus3 0) es siempre igual a 8

7 Un punto se mueve de tal manera que la diferencia de sus distancias a los dos puntos

A(3 0) y B(minus3 0) es siempre igual a 4 Halle la ecuaciacute on del lugar geometrico

8 Dos de los vertices de un triacute angulo son los puntos fijos A(minus1 3) y B(5 1) Halle la ecuaciacute on del lugar geometrico del tercer vertice C si se mueve de tal manera que la pendiente del lado AC es siempre el doble de la del lado BC

9 Los extremos de la base de un triacute angulo son los puntos A(0 0) y B(3 0) Halle la ecuaciacute on del lugar geometrico del vertice opuesto C si se mueve de tal manera que el angulo en el punto CAB es siempre igual al doble del acute angulo en el punto CBA

10 Dado un triacute angulo ABC halle la ecuaciacute on del lugar geometrico descrito por el vertice C de

manera que dos de los vertices son A(0 4) y B(0 minus4) y la longitud de la mediana trazada desde el vertice A es 4

radic 3

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27 La recta

Trabajo encargado

1 Hallar la ecuaciacute on de la recta que pasa por los puntos A(minus1 1) y B(3 4)

2 Halle la ecuaciacute on de la recta que pasa por el punto A(minus6 minus3) y tiene acute angulo de inclinaciacute on de 135

3 Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto P (2 minus1) y que forman cada unoun acute angulo de 45 con la recta L 2x minus 3y + 7 = 0

4 Dada las rectas L1 x + y minus 3 = 0 L2 2x minus y + 1 = 0 hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por el punto (1 1) que forme acute angulos iguales con las dos rectas dadas

5 Una recta pasa por el punto A(minus2 3) y por la intersecciacute on de las rectas L1

x + 5y + 2 =0 L2 3x + 4y minus 5 = 0 Hallar su ecuaciacute on

6 Hallar la ecuaciacute on de la recta que pasa por la intersecciacute on de las dos rectas L1 3x+yminus9 =0 L2 4x minus 3y + 1 = 0 y cuya distancia al origen es 2

7 Hallar la ecuaciacute on de la recta L paralela a la recta L1 2x minus y = 3 que forma con los ejes coordenados un triacute angulo de acute area 9u2

8 Hallar la ecuaciacute on de la recta L que pasa por el punto P 0(1 7) y es paralela a la recta L1 8x + 5y + 40 = 0

9 Hallar la ecuaciacute on de la recta mediatriz del segmento de recta determinado por los puntos A(1 2) y B(5 2)

10 Sobre la recta L x minus y minus 2 = 0 hallar un punto P tal que la suma de los cuadrados de sus distancias a los puntos A(4 0) y B(0 2) sea 11

11 Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a la recta L 3x minus 4y = 10 que se encuentran a una distancia de ella a 3 unidades

12 Halle la ecuaciacute on de la recta L que pasa por el punto A(minus2 minus4) y cuya suma de sus intersecciones con los ejes coordenados es 3

13 Determinar el valor de k para que la recta L k2x + (k + 1)y + 3 = 0 sea perpendicular a la recta L1 3x minus 2y minus 11 = 0

14 Los vertices de un cuadrado son A(4 minus3) y C (minus3 minus2) Halle las coordenadas de los otros vertices

15 Halle la proyecciacute on del punto P (minus8 12) sobre la recta L que pasa por los puntos A(2 minus3)y B(minus5 1)

16 El acute angulo de inclinaciacute on de una recta que no toca el II cuadrante es 45 hallar su ecuaciacute on si se sabe que su distancia al origen es 2

radic 2

17 Halle el punto simetrico Q al punto punto P (8 minus9) relativo a la recta que pasa por los puntos A(3 minus4) y B(minus1 minus2)

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18 Dadas las ecuaciones de los dos lados de un rectacute angulo L1 2xminus3y+5 = 0 L2 3x+2yminus7 =0 y uno de sus vertices es el punto A(2 minus3) hallar las ecuaciones de los otros dos lados de este rectacute angulo

19 El punto P (1 minus1) es el centro de un cuadrado uno de cuyos lados estacute a en la recta L x minus 2y + 12 = 0

a) Hallar las ecuaciones de las rectas en las que estacute an los otros lados de este cuadrado

b) Halle el acute area de este cuadrado

20 El punto A(minus1 3) es un vertice del cuadrado ABCD una de cuyas diagonales estacute a en la recta L 7x minus y minus 15 = 0 Hallar las ecuaciones de los lados y la otra diagonal de este cuadrado

21 Hallar la ecuaciacute on de la recta que pasa por el punto 1048616minus2

3

21048617 y forma con los ejes coorde-nados un triacute angulo de acute area 6u2

22 Una recta L pasa por la intersecciacute on de las rectasL1 4x + 3y minus12 = 0 L2 2x minusy +4 = 0y forma con los ejes coordenados un triangulo de acute area igual a 10u2 Halle la ecuaciacute on de la recta L

23 Dados los puntos A(minus3 minus1) B(2 4) y C (minus3 5) hallar la ecuaciacute on de la recta L que pas por el punto C y por el punto que divide al segmento AB en la razacute on 1 2

24 Dada la recta L 2y minus 3x = 4 y el punto P (1 minus3) determinar la ecuaciacute on de la recta que

pasa por el punto P y es perpendicular a la recta L hallar la distancia del punto P a la recta L

25 Hallar la ecuaciacute on de la recta L2 paralela a la recta L1 2x minus y = 3 que forma con los coordenados un triacute angulo de acute area 9u2


27 El area de un triacute angulo es 5u2 dos de sus vertices son los puntos A(3 1) y B(1 minus3) Hallar el vertice C si este se encuentra sobre la recta L 3x + 2y minus 14 = 0

28 Hallar las coordenadas del punto P que se encuentra en la parte positiva del eje X desde el cual se ve segmento AB donde A(minus3 4) y B(3 8) bajo un acute angulo de 45

29 Hallar la ecuaciacute on de la bisectriz del acute angulo agudo formado por las rectas L1 x minus 2y minus 4 =0 L2 4x minus y minus 4 = 0

30 Hallar la ecuaciacute on de la recta que pasa por la intersecciacute on de las dos rectas L1 3x minus 4y =0 L2 2x minus 5y + 7 = 0 y forma con los ejes coordenados un triacute angulo de acute area 8u2

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Problemas de Circunferencias

1 Hallar las ecuaciones de las circunferencias que pasan por el punto A(1 0) y son tangentes a las dos rectas paralelas

L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0

2 Hallar la ecuaciacute on de la tangente a la circunferencia C x2 + y2 = 25 en el punto A(0 5)

3 Hallar la ecuaciacute on de la tangente a la circunferencia C (x + 2)2 + (y minus3)2 = 25 en el puntoA(minus5 7)

4 Desde el punto A8520085

3 minus5

3

852009 Se han trazado tangentes a la circunferencia C x2 + y2 = 5

Hallar sus ecuaciones

5 Hallar la ecuaciacute on de la circunferencia cuyo centro es el punto A(minus4 minus1) y que es tangente a la recta L 3x + 2y = 12

6 Una circunferencia pasa por los puntos A(minus3 3) y B(1 4) y su centro estacute a sobre la recta L 3x minus 2y = 23 Hacute allese su ecuaciacute on

7 Hallar la ecuaciacute on de la circunferencia que pasa por el punto A(7 minus5) y es tangente a la recta L x minus y = 4 en el punto B(3 minus1)

8 Halle la ecuaciacute on de la circunferencia concentrica a la circunferencia C x2 + y2 minus 6x +10y minus 2 = 0 y cuyo radio es un tercio del radio de esta circunferencia

9 Hallar la ecuaciacute on de la circunferencia que pasa por el punto A(minus8 5) y por las circunferencias

C1 x2 + y2 minus 8x minus 6y + 17 = 0


10 Hallar la ecuaciacute on de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta L 2x + y minus14 = 0y que pasa por las intersecciones de las circunferencias

C1 x2 + y2 minus 8x minus 4y minus 6 = 0

C2 x2 + y2 minus 4x + 4y minus 2 = 0

11 Hallar la ecuaciacute on del diacute ametro de la circunferencia x2 + y2 + 4x minus 6y minus 17 = 0 que es perpendicular a la recta L 5x + 2y minus 13 = 0

12 Halle la ecuaciacute on de la circunferencia que teniendo el centro en la recta L1 2x + y = 0es tangente a las rectas L1 4x minus 3y + 10 = 0 y L2 4x minus 3y minus 30 = 0

13 Halle la ecuaciacute on de la circunferencia de centro el punto C (minus3 3) y es tangente a la recta L 5x minus 12y minus 27 = 0

14 Halle las ecuaciones de las rectas tangente a la circunferencia C x2 + y2 minus 2x + 4y = 0que sean perpendiculares a la recta

L x

minus2y + 9 = 0

15 Halle la ecuaciacute on de la circunferencia cuyo centro esta en la recta L 2x + y minus 7 = 0sabiendo que pasa por el punto A(3 1) y que es tangente a la recta L1 4x minus 3y minus 14 = 0

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16 Hallar la ecuaciacute on de la circunferencia que pasa por los puntos

a) A(4 5) B(3 minus2) C (1 minus4)

b) A(8 minus2) B(6 2) C (3 minus7)17 Determinar la longitud de la cuerda comacute un a las circunferencias

C1 x2 + y2 minus 6x minus 16y + 23 = 0 y C2 x2 + y2 + 10x minus 4y minus 21 = 0

18 Hallar la ecuaciacute on de la circunferencia que pasa por el origen de coordenadas y por el puntode intersecciacute on de las circunferencias

C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9

19 Dadas las circunferencias C1 (x minus 5)2 + (y + 7)2 = 9 y C2 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 1 hallar

la ecuaciacute on de la mediatriz del segmento que une los centros de dichas circunferencias 20 El punto P (5 1) es el centro de una cuerda de la circunferencia C1 x2+y2minus6x+6yminus82 = 0

Halle la longitud de dicha cuerda

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Problemas de Parabolas

1 Halle la ecuaciacute on de la paracute abola cuyo vertice estacute a en el origen de coordenadas sabiendoque

a) La paracute abola estacute a situada en el semiplano derecho es simetrica con respecto al eje X y su paracute ametro es p = 3

b) La paracute abola estacute a situada en el semiplano izquierdo es simetrica con respecto al eje X

y su paracute ametro es p = minus1

2c) La paracute abola estacute a situada en el semiplano superior es simetrica con respecto al eje Y

y su paracute ametro es p = 1

4

2 Determinar el valor del paracute ametro y la situaciacute on de las paracute abolas siguientes con respecto a

los ejes coordenados

( a) y2 = 6x ( b) x2 = 5y ( c) y2 = minus4x ( d) x2 = minusy

3 Hallar la ecuaciacute on de la paracute abola cuyo vertice estacute a en el origen de coordenadas sabiendoque

a) La paracute abola es simetrica con respecto al eje X y pasa por el punto A(9 6)

b) La paracute abola es simetrica con respecto al eje X y pasa por el punto B(minus1 3)

c) La paracute abola es simetrica con respecto al eje Y y pasa por el punto C (1 1)

d) La paracute abola es simetrica con respecto al eje Y y pasa por el punto D(4 minus8)

4 Un cable de acero esta colgado por los dos extremos los puntos de suspensiacute on estacute an situados a una altura y a una distancia de 20m La magnitud de la flexiacute on a la distancia de 2m de los puntos de suspensiacute on en sentido horizontal es igual a 14 4m Determinar la magnitud de suspensiacute on de este cable en su punto medio suponiendo que el cable tiene la forma de un arco de paracute abola

5 Hallar el foco F y la ecuaciacute on de la recta directriz de la paracute abola y2 = 24x

6 Calcular el radio focal del punto M de la paracute abola y2 = 20x si la abscisa del punto M es

7

7 Hallar la ecuaciacute on de la paracute abola si se da el foco F (minus7 0) y la recta directriz LD xminus7 = 0

8 Dadas las ecuaciones de las siguientes paracute abolas determinar el vertice el foco el paracute ametroy la ecuaciacute on de la recta directriz

( a) y2 = 4x minus 8 ( b) y2 = 4 minus 6x ( c) x2 = 6y + 2 ( d) x2 = 2 minus y

9 Hallar la ecuaciacute on de la paracute abola cuyo eje focal sea paralelo al eje X y que pase por los puntos (3 3) (6 5) y (6

minus3)

10 Hallar la ecuaciacute on de la paracute abola que tiene como vertice V (minus2 1) y cuyos extremos del ladorecto son (0 0) y (minus4 0)

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11 Hallar la ecuaciacute on de la paracute abola si se dan su foco F (7 2) y la ecuaciacute on de la recta directriz LD x minus 5 = 0

12 Hallar la ecuaciacute on de la recta que es tangente a la paracute abola

P y2 = 8x y es paralela a la

recta L 2x + 2y minus 3 = 0

13 Hallar la ecuaciacute on de la circunferencia que pasa por el vertice y los extremos del lado rectode la paracute abola P y2 minus 4x + 2y + 9 = 0

14 Hallar la ecuaciacute on de la paracute abola cuyo lado recto mide 6 unidades de directriz L y +3 = 0y foco sobre la recta L1 2x minus y + 1 = 0

15 Hallar la ecuaciacute on de la recta tangente y normal a la paracute abola P y2 minus 4x + 6y + 1 = 0 en el punto A(7 3)

16 Hallar la ecuaciacute on de las tangentes trazadas del punto A(2 minus4) a la paracute abola P x2

minus 6x minus4y + 17 = 0

17 Hallar en la paracute abola y2 = 64x el punto M macute as pracute oximo a la recta L 4x + 3y minus 14 = 0 y calcular la distancia del punto M a esta recta

18 Hallar la ecuaciacute on de la paracute abola cuyo vertice es el origen sabiendo que su simetrıa respectoal eje Y que pasa por el punto A(4 minus8)

19 El vertice de una paracute abola es el punto V (5 minus2) y su recta directriz la recta LD 9x minus 5y minus12 = 0 Hallar la ecuaciacute on de la paracute abola

20 Dado el vertice de una paracute abola A(6 minus3) y la recta directriz la recta LD 3x minus 5y + 1 = 0

21 Hallar la ecuaciacute on de la paracute abola si se dan el foco F (2 minus1) y la recta directriz la recta LD x minus y minus 1 = 0

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Problemas propuestos Elipses

1 Hallar la ecuaciacute on de la elipse cuyos vertices son los puntos (4 0) (minus4 0) y cuyos focos son los puntos (3 0) (

minus3 0)

2 Hallar la ecuaciacute on de la elipse cuyos vertices son los puntos (0 6) (0 minus6) y cuyos focos son los puntos (0 4) (0 minus4)

3 Los focos de una elipse son los puntos (3 0) (minus3 0) y la longitud de uno su lado recto es igual a 9 Halle la ecuaciacute on de la elipse

4 Hallar la ecuaciacute on de la elipse cuyos focos son los puntos (2 0) (minus2 0) y su excentricidad

es igual a 2

3

5 Hallar la ecuaciacute on de la elipse que tiene su centro en el origen uno de sus vertices es el

punto (0 minus7) y que pasa por el punto1048616radic

5 14

3

10486176 Una elipse tiene su centro en el origen y su eje focal coincide con el eje X Halle su ecuaciacute on

sabiendo que pasa por los puntos (radic

6 minus1) y (2radic

2)

7 Los focos de una elipse son F 1(3 1) y F 2(minus1 1) Hallar la ecuaciacute on de la elipse sı uno de los extremos del eje menor esta en la recta L x minus 2y minus 3 = 0

8 Hallar la ecuaciacute on de la elipse con extremos del eje menor en (minus9 0) y (15 0) y cuya

excentricidad es 3

5

9 Hallar la ecuaciacute on de la elipse cuyos focos y vertice coinciden con los focos y vertices de las paracute abolas P 1 y2 + 4x minus 12 = 0 y P 2 y2 minus 4x minus 12 = 0

10 Determinar la distancia de la recta L 4x + 3y minus 12 = 0 al foco macute as cercano a la elipse E 9y2 + 13x2 = 13

11 Una elipse tiene su centro en C (2 5) y un extremo del eje menor en B(4 5) y pasa por el punto Q(3 8) Halle su ecuaciacute on

12 Una elipse es tangente a una circunferencia de tal manera que sus focos se encuentran

tambien sobre la circunferencia iquestCuacute al es la excentricidad de la elipse

13 En la elipse de ecuaciacute on 25x2+16y2 = 400 Hallar el perımetro del triangulo F 1F 2P siendoF 1 F 2 los focos y P un punto de la elipse distinto de los vertices

14 Hallar la ecuaciacute on de la elipse cuyos ejes son las rectas L1 2x + y = 3 L2 x minus 2y = 0teniendo los semiejes una longitud respectiva de 1 y 3

15 Los focos de una elipse son F 2(minus2 minus2) y F 1(4 minus2) Hallar la ecuaciacute on de la elipse si unode sus vertices esta sobre la recta L x minus y minus 8 = 0

16 Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes a la elipse E 3x

2

+ y

2

+ 4x minus 2y minus 3 = 0 que son perpendiculares a la recta L x + y minus 5 = 0

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17 Encontrar en la elipse E 4x2+9y2 = 72 el punto P macute as pracute oximo a la recta L 2xminus3y+25 =0 y calcular la distancia del punto P a esta recta

18 Hallar la ecuaciacute on de la elipse de centro (0 0) y eje focal el eje X en la que el lado recto

es visto desde el origen de coordenadas bajo un acute angulo de 90o si ademacute as se sabe que b = 1

19 Hallar las ecuaciones de las tangentes a la elipse x2

10 +

2y2

5 = 1 que son paralelas a las

rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV




Primer Pracute actica calificada de acute Algebra Superior (Grupo A)

1 Resolver las siguientes ecuaciones cuadracute aticas

a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0

2 Hallar el valor de m si la ecuaciacute on mx2minus (3+8m)x + 9 + 1 9m = 0 tiene soluciacute on acute unica

3 Si 2x + 1


4 Resolver la inecuaci on x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0




a) 2x2 minus 3x minus 1 = 0 b) 9x2 minus 6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1

x

minus1 isin [8 16] halle el mayor valor de m y el menor valor de n tal que x isin [m n]


(x minus 2)2 le 0



1 Resolver las siguientes ecuaciones cuadracute aticasa) 2x2 minus 3x minus 1 = 0 b) 9x2 minus 6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1


4 Resolver la inecuacion x3 minus x2

le 0




M 1 Ley conmutativa forall a b isin IR ab = ba

M 2 Ley asociativa forall a b c isin IR (ab)c = a(bc)

M 3 Existencia y unicidad del neutro multiplicativo exist 1 isin IR forall a isin IR 1a = a

M 4 Existencia y unicidad del inverso multiplicativo forall a = 0 a isin IRexist aminus1 isin IR aaminus1 = 1

donde aminus1 = 1

a

D Ley de distribucion de la multiplicacion respecto de la adicion

forall a b c isin IR a(b + c) = ab + ac

12 Teoremas relativos a la igualdad

Teorema 11 Las siguientes cuatro condicionales son verdaderas

1 Si a = b and c isin IR rArr a + c = b + c (monotonıa para la suma)

2 Si a + c = b + c rArr a = b (simplificaciacute on para la suma)

3 Si a = b and c isin IR rArr ac = bc (monotonıa para la multiplicaciacute on)

4 Si ac = bc and c = 0 rArr a = b (simplificaciacute on para la multiplicaciacute on)

Teorema 12 Para todo a

isin IR se cumple 0a = 0

Teorema 13 (Referente al opuesto de un nacute umero real)

1 forall a isin IR minusa = (minus1)a

2 forall a b isin IR a(minusb) = (minusa)b = minus(ab)

3 forall a isin IR minus(minusa) = a

4 forall a b isin IR (minusa)(minusb) = ab

Teorema 14 (acerca del inverso de un nacute umero real)

1 Si a = 0 a isin IR entonces (aminus1)minus1 = a

2 Si a = 0 and b = 0 entonces (ab)minus1 = aminus1bminus1

13 Diferencia de dos numeros reales

Definiciacute on 11 forall a b isin IR se define

a

minusb = a + (

minusb)

Se lee rdquola diferencia de a y b es igual a la suma de a con el opuesto de brdquo

JR Ticona P UANCV






ab

= abminus1




a0 = 1

a

m

= a

mminus1

a si m ge 1




1) aman = am+n

2) (am)n = amn

3) (ab)m = ambm

4) am

an

= amminusn

5)983080a

b

983081m=

am

bm




a





















( a) 2x + 9 = 15 ( b) 3

2x + 2(x minus 1) = 5 ( c)

minus7x + 5

7 +

9x minus 7

8 = minus1

( d) 2x minus (x + 1)

4 =

5x + 2

6 ( e)

3x minus 7(x + 1)

6 =

2x minus 1

3 minus 2 ( f )

2x minus 5

3 minus minus2x + 8

7 = x

( g) 6x

minus(x

minus8)

6 = minus2x

minus17

3



ax2 + bx + c = 0



1 2x2 minus 3x + 2 = 0

2 x2 minus x = 0

3 x2 + 4 = 0

4 x2 minus 4 = 0




Ejemplos



= 0


b

2a

10486172

= b2 minus 4ac

4a2



2a


2a

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= 0


∆ = b2 minus 4ac





Teorema 112 Si r1 =

minusb +radic

b2 minus 4ac

2a

y r2 =


2a



1 r1 + r2 = minus b

a y r1r2 =

c

a










radic minus3

1057306 minus4

9





radic minus4 = 2i

radic minus3 =


9 = 1057306 49i

radic minus5 =

radic 5i

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2i z 3 = minus2

3 + 4i







181 Problemas







( g) 16x2 + 24x + 5 = 0 ( h) 3x3 + x2

minus10x = 0






( 4) 4x2

+ 12x + 13 = 0 ( 5) 6x2

+ 12x + 9 = 0 ( 6) x2


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mx2 minus (3 + 8m)x + 9 + 19m = 0



( a)


( b)

x2 + y2 = 5x minus y = 1

( c)

y = 2 minus x2

x minus y = 0

( d)

x + y2 = 3x minus y = 1

( e)


( f )

x = 9 minus y2

x + y = 3







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minusa es positivo




Teorema 113


2 a es negativo

hArr a lt 0




Teorema 114


2 ab lt 0 hArr

(a gt 0and

b lt 0)or

(a gt 0and

b lt 0)

Corolario 19



Ejemplos





Teorema 116


2 a lt c

and b lt d










Si a gt 0 rArr 1

a gt 0

Si a lt 0 rArr 1

a lt 0

Ejemplos

1 2


3








1 Si 0 lt a lt b

rArr 1

a

gt 1

b


a gt

1

b

















192 Problemas


a) a lt a + b2

lt b

b) a lt 3a + b

4 lt

a + b

2 lt

a + 3b

4 lt b


a + b gt 1 + ab













JR Ticona P UANCV








a) a


plusmninfina

=

10486161


No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin


minusinfininfin

infinminusinfin


1101 Intervalos




1102 Problemas



2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53





3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

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(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


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h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






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P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



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1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

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26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

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a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






ab

= abminus1




a0 = 1

a

m

= a

mminus1

a si m ge 1




1) aman = am+n

2) (am)n = amn

3) (ab)m = ambm

4) am

an

= amminusn

5)983080a

b

983081m=

am

bm




a





















( a) 2x + 9 = 15 ( b) 3

2x + 2(x minus 1) = 5 ( c)

minus7x + 5

7 +

9x minus 7

8 = minus1

( d) 2x minus (x + 1)

4 =

5x + 2

6 ( e)

3x minus 7(x + 1)

6 =

2x minus 1

3 minus 2 ( f )

2x minus 5

3 minus minus2x + 8

7 = x

( g) 6x

minus(x

minus8)

6 = minus2x

minus17

3



ax2 + bx + c = 0



1 2x2 minus 3x + 2 = 0

2 x2 minus x = 0

3 x2 + 4 = 0

4 x2 minus 4 = 0




Ejemplos



= 0


b

2a

10486172

= b2 minus 4ac

4a2



2a


2a

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= 0


∆ = b2 minus 4ac





Teorema 112 Si r1 =

minusb +radic

b2 minus 4ac

2a

y r2 =


2a



1 r1 + r2 = minus b

a y r1r2 =

c

a










radic minus3

1057306 minus4

9





radic minus4 = 2i

radic minus3 =


9 = 1057306 49i

radic minus5 =

radic 5i

JR Ticona P UANCV








2i z 3 = minus2

3 + 4i







181 Problemas







( g) 16x2 + 24x + 5 = 0 ( h) 3x3 + x2

minus10x = 0






( 4) 4x2

+ 12x + 13 = 0 ( 5) 6x2

+ 12x + 9 = 0 ( 6) x2


JR Ticona P UANCV















mx2 minus (3 + 8m)x + 9 + 19m = 0



( a)


( b)

x2 + y2 = 5x minus y = 1

( c)

y = 2 minus x2

x minus y = 0

( d)

x + y2 = 3x minus y = 1

( e)


( f )

x = 9 minus y2

x + y = 3







JR Ticona P UANCV






minusa es positivo




Teorema 113


2 a es negativo

hArr a lt 0




Teorema 114


2 ab lt 0 hArr

(a gt 0and

b lt 0)or

(a gt 0and

b lt 0)

Corolario 19



Ejemplos





Teorema 116


2 a lt c

and b lt d










Si a gt 0 rArr 1

a gt 0

Si a lt 0 rArr 1

a lt 0

Ejemplos

1 2


3








1 Si 0 lt a lt b

rArr 1

a

gt 1

b


a gt

1

b

















192 Problemas


a) a lt a + b2

lt b

b) a lt 3a + b

4 lt

a + b

2 lt

a + 3b

4 lt b


a + b gt 1 + ab













JR Ticona P UANCV








a) a


plusmninfina

=

10486161


No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin


minusinfininfin

infinminusinfin


1101 Intervalos




1102 Problemas



2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53





3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0













( a) 2x + 9 = 15 ( b) 3

2x + 2(x minus 1) = 5 ( c)

minus7x + 5

7 +

9x minus 7

8 = minus1

( d) 2x minus (x + 1)

4 =

5x + 2

6 ( e)

3x minus 7(x + 1)

6 =

2x minus 1

3 minus 2 ( f )

2x minus 5

3 minus minus2x + 8

7 = x

( g) 6x

minus(x

minus8)

6 = minus2x

minus17

3



ax2 + bx + c = 0



1 2x2 minus 3x + 2 = 0

2 x2 minus x = 0

3 x2 + 4 = 0

4 x2 minus 4 = 0




Ejemplos



= 0


b

2a

10486172

= b2 minus 4ac

4a2



2a


2a

JR Ticona P UANCV






= 0


∆ = b2 minus 4ac





Teorema 112 Si r1 =

minusb +radic

b2 minus 4ac

2a

y r2 =


2a



1 r1 + r2 = minus b

a y r1r2 =

c

a










radic minus3

1057306 minus4

9





radic minus4 = 2i

radic minus3 =


9 = 1057306 49i

radic minus5 =

radic 5i

JR Ticona P UANCV








2i z 3 = minus2

3 + 4i







181 Problemas







( g) 16x2 + 24x + 5 = 0 ( h) 3x3 + x2

minus10x = 0






( 4) 4x2

+ 12x + 13 = 0 ( 5) 6x2

+ 12x + 9 = 0 ( 6) x2


JR Ticona P UANCV















mx2 minus (3 + 8m)x + 9 + 19m = 0



( a)


( b)

x2 + y2 = 5x minus y = 1

( c)

y = 2 minus x2

x minus y = 0

( d)

x + y2 = 3x minus y = 1

( e)


( f )

x = 9 minus y2

x + y = 3







JR Ticona P UANCV






minusa es positivo




Teorema 113


2 a es negativo

hArr a lt 0




Teorema 114


2 ab lt 0 hArr

(a gt 0and

b lt 0)or

(a gt 0and

b lt 0)

Corolario 19



Ejemplos





Teorema 116


2 a lt c

and b lt d










Si a gt 0 rArr 1

a gt 0

Si a lt 0 rArr 1

a lt 0

Ejemplos

1 2


3








1 Si 0 lt a lt b

rArr 1

a

gt 1

b


a gt

1

b

















192 Problemas


a) a lt a + b2

lt b

b) a lt 3a + b

4 lt

a + b

2 lt

a + 3b

4 lt b


a + b gt 1 + ab













JR Ticona P UANCV








a) a


plusmninfina

=

10486161


No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin


minusinfininfin

infinminusinfin


1101 Intervalos




1102 Problemas



2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53





3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






= 0


∆ = b2 minus 4ac





Teorema 112 Si r1 =

minusb +radic

b2 minus 4ac

2a

y r2 =


2a



1 r1 + r2 = minus b

a y r1r2 =

c

a










radic minus3

1057306 minus4

9





radic minus4 = 2i

radic minus3 =


9 = 1057306 49i

radic minus5 =

radic 5i

JR Ticona P UANCV








2i z 3 = minus2

3 + 4i







181 Problemas







( g) 16x2 + 24x + 5 = 0 ( h) 3x3 + x2

minus10x = 0






( 4) 4x2

+ 12x + 13 = 0 ( 5) 6x2

+ 12x + 9 = 0 ( 6) x2


JR Ticona P UANCV















mx2 minus (3 + 8m)x + 9 + 19m = 0



( a)


( b)

x2 + y2 = 5x minus y = 1

( c)

y = 2 minus x2

x minus y = 0

( d)

x + y2 = 3x minus y = 1

( e)


( f )

x = 9 minus y2

x + y = 3







JR Ticona P UANCV






minusa es positivo




Teorema 113


2 a es negativo

hArr a lt 0




Teorema 114


2 ab lt 0 hArr

(a gt 0and

b lt 0)or

(a gt 0and

b lt 0)

Corolario 19



Ejemplos





Teorema 116


2 a lt c

and b lt d










Si a gt 0 rArr 1

a gt 0

Si a lt 0 rArr 1

a lt 0

Ejemplos

1 2


3








1 Si 0 lt a lt b

rArr 1

a

gt 1

b


a gt

1

b

















192 Problemas


a) a lt a + b2

lt b

b) a lt 3a + b

4 lt

a + b

2 lt

a + 3b

4 lt b


a + b gt 1 + ab













JR Ticona P UANCV








a) a


plusmninfina

=

10486161


No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin


minusinfininfin

infinminusinfin


1101 Intervalos




1102 Problemas



2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53





3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0








2i z 3 = minus2

3 + 4i







181 Problemas







( g) 16x2 + 24x + 5 = 0 ( h) 3x3 + x2

minus10x = 0






( 4) 4x2

+ 12x + 13 = 0 ( 5) 6x2

+ 12x + 9 = 0 ( 6) x2


JR Ticona P UANCV















mx2 minus (3 + 8m)x + 9 + 19m = 0



( a)


( b)

x2 + y2 = 5x minus y = 1

( c)

y = 2 minus x2

x minus y = 0

( d)

x + y2 = 3x minus y = 1

( e)


( f )

x = 9 minus y2

x + y = 3







JR Ticona P UANCV






minusa es positivo




Teorema 113


2 a es negativo

hArr a lt 0




Teorema 114


2 ab lt 0 hArr

(a gt 0and

b lt 0)or

(a gt 0and

b lt 0)

Corolario 19



Ejemplos





Teorema 116


2 a lt c

and b lt d










Si a gt 0 rArr 1

a gt 0

Si a lt 0 rArr 1

a lt 0

Ejemplos

1 2


3








1 Si 0 lt a lt b

rArr 1

a

gt 1

b


a gt

1

b

















192 Problemas


a) a lt a + b2

lt b

b) a lt 3a + b

4 lt

a + b

2 lt

a + 3b

4 lt b


a + b gt 1 + ab













JR Ticona P UANCV








a) a


plusmninfina

=

10486161


No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin


minusinfininfin

infinminusinfin


1101 Intervalos




1102 Problemas



2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53





3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0















mx2 minus (3 + 8m)x + 9 + 19m = 0



( a)


( b)

x2 + y2 = 5x minus y = 1

( c)

y = 2 minus x2

x minus y = 0

( d)

x + y2 = 3x minus y = 1

( e)


( f )

x = 9 minus y2

x + y = 3







JR Ticona P UANCV






minusa es positivo




Teorema 113


2 a es negativo

hArr a lt 0




Teorema 114


2 ab lt 0 hArr

(a gt 0and

b lt 0)or

(a gt 0and

b lt 0)

Corolario 19



Ejemplos





Teorema 116


2 a lt c

and b lt d










Si a gt 0 rArr 1

a gt 0

Si a lt 0 rArr 1

a lt 0

Ejemplos

1 2


3








1 Si 0 lt a lt b

rArr 1

a

gt 1

b


a gt

1

b

















192 Problemas


a) a lt a + b2

lt b

b) a lt 3a + b

4 lt

a + b

2 lt

a + 3b

4 lt b


a + b gt 1 + ab













JR Ticona P UANCV








a) a


plusmninfina

=

10486161


No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin


minusinfininfin

infinminusinfin


1101 Intervalos




1102 Problemas



2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53





3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






minusa es positivo




Teorema 113


2 a es negativo

hArr a lt 0




Teorema 114


2 ab lt 0 hArr

(a gt 0and

b lt 0)or

(a gt 0and

b lt 0)

Corolario 19



Ejemplos





Teorema 116


2 a lt c

and b lt d










Si a gt 0 rArr 1

a gt 0

Si a lt 0 rArr 1

a lt 0

Ejemplos

1 2


3








1 Si 0 lt a lt b

rArr 1

a

gt 1

b


a gt

1

b

















192 Problemas


a) a lt a + b2

lt b

b) a lt 3a + b

4 lt

a + b

2 lt

a + 3b

4 lt b


a + b gt 1 + ab













JR Ticona P UANCV








a) a


plusmninfina

=

10486161


No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin


minusinfininfin

infinminusinfin


1101 Intervalos




1102 Problemas



2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53





3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0







Si a gt 0 rArr 1

a gt 0

Si a lt 0 rArr 1

a lt 0

Ejemplos

1 2


3








1 Si 0 lt a lt b

rArr 1

a

gt 1

b


a gt

1

b

















192 Problemas


a) a lt a + b2

lt b

b) a lt 3a + b

4 lt

a + b

2 lt

a + 3b

4 lt b


a + b gt 1 + ab













JR Ticona P UANCV








a) a


plusmninfina

=

10486161


No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin


minusinfininfin

infinminusinfin


1101 Intervalos




1102 Problemas



2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53





3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




192 Problemas


a) a lt a + b2

lt b

b) a lt 3a + b

4 lt

a + b

2 lt

a + 3b

4 lt b


a + b gt 1 + ab













JR Ticona P UANCV








a) a


plusmninfina

=

10486161


No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin


minusinfininfin

infinminusinfin


1101 Intervalos




1102 Problemas



2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53





3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0








a) a


plusmninfina

=

10486161


No se definen

infin minus infin 0

0

infininfin


minusinfininfin

infinminusinfin


1101 Intervalos




1102 Problemas



2x minus 1

3x + 2 isin⟨

minus1

2 26

53





3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




3 Si 2x + 1


4 Si 3


2minus

1



2

radic 4 minus x2


x2 minus 3

111 Inecuaciones






(I )

ax + b lt 0 a = 0




3Soluciacute on





9x + 72x + 8x le 16 + 3 + 180

89x le 199

x le 199

89

lArrrArr x isin⟨

minusinfin 199

89






2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0





2 lt

2x minus 8

4 le x

2 minus 3

Soluciacute on


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 and 2x minus 8

4 le x

2 minus 3


3 minus 5x

2 lt

2x minus 8

4 le x





lArrrArr x gt 14

12 =

7

6 and x le 2


20

7

6

A =

x isin IR x gt

7

6



7

6 2

852061






2 minus 2x

( j)radic

2(x + 2) gtradic

8(3 minus x) ( k) 4



( p) 3(2x

minus2)

2 ge 6x

minus3

5 + x

10 ( q ) 1

minusx

2 lt 3x

minus7

3 ( r) 5x

minus1

minus3 lt 7(x + 1)

minus2

JR Ticona P UANCV






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






(I )















Veamos



isin ⟨minus3 5



JR Ticona P UANCV





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0





⟨5 +



5-3 0








lArrrArr (x

minus2)2

minus3 gt 0






1048616x minus 3

5

1048617 ge 0




1048616x +

3

5

1048617 le 0





lArrrArr 0

le (x

minus2)(x + 2)

and (x

minus1)2 + 2

le 0







x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0





x isin IR

2


1

2 4






1048616minus1

2

10486172

ge minus1 +

1048616minus1

2

10486172


ge minus34




Resolver en B

2

2xminus

1 isin 1048667

1


2 le 2

2xminus

1 le 4 x = 1

2


2 ge 1

4


2


2

lArrrArr 5

2 ge x ge 3

4


4

5


A cap B =

10486673

4 1

852061



(+) (

minus) lt 0


JR Ticona P UANCV




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




Resumiendo


lArrrArr x lt 4 x

= 0




(+) (+) gt 0

entonces


2






( d) x2 + 4


x3 minus x2

(x minus 2)2 le 0

( g) (x + 4)2(x + 2)

(2x minus 1)2 le 0 ( h)

1


1

x minus 1 ge 0


JR Ticona P UANCV









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0









h(t) = minus16t2 + 64t + 80



Soluciacute on




= minus16(t minus 2)2 + 64 + 80






JR Ticona P UANCV





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0





P (x) = minus004x2 + 240x minus 10000



P (x) = minus004(x2


= minus004(x2 minus 3000)2 + 370000



(x2

minus3000)2

ge 0

forallx

isin IR





R( p) = minus1

2 p2 + 30 p


JR Ticona P UANCV





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0





R( p) = minus1


= minus12

( p2 minus 60 p + 900) + 450

= minus1

2( p minus 30)2 + 450

Paso 2 Analizar


minus1


minus1

2( p minus 30)2

+ 450 le +450



S (t) = 32t2 minus 16t + 287






S = 32t2 minus 16t + 287


= 32(t minus 25)2 + 87

Paso 2 Analizar



32(t minus 25)2 + 87 ge 87



JR Ticona P UANCV




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




1123 Problemas









JR Ticona P UANCV




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




113 Valor Absoluto





Propiedades




4 |ab| = |a||b|

5

a

b

=

|a||b|

6 |a|2

= a2





12 |

a| lt

|b| equiv

a2 lt b2



3)

emptycupminus2

3


|x + 1

| minus3

|x

minus1

| = 2


JR Ticona P UANCV






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






|x

minus1| = 0

rArr x = 1


|x + 1| =


|x minus 1| =





minus







x = minus5


5x + 5 + 3x minus 3 = 2

x = 0



5x + 5 minus 3x + 3 = 2

x = minus3







x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






x le 3



x le 3]

[x ge 1

2 rArr 2x minus 1


1


x minus 3 le 0]









lArrrArr [x =

radic 13

or x =

minusradic







2

C s = empty cup

minus1

2

=

minus1

2



2



x = 1

2 or0 = 0

1

2

cup⟨minusinfin

1

2














x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0













x le 2






lArrrArr C s = [

minus2 0

⟩ cup ⟨4 6]














lArrrArr minus10 lt

minus2 lt 4

minus3x lt 10


JR Ticona P UANCV






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






( a) |2x minus 1| = 4 ( b) |3x + 2| = 2

( c) |5x minus 1| = 1

2 ( d) |3x minus 2| = 3

2














( c)

x

2 minus 1

2

le 1


( e) xminus

1

x + 1 le 1 ( f ) 2 lt |2x minus 1| lt 3

( g)

x2 minus 2

2x2 minus 1



( a) |x minus 2| gt 3 ( b) |2x + 1| gt 1



JR Ticona P UANCV





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0





1 Resolver en IR

( a) (x2 minus 5)2 = 16 ( b) (x + 2)2 gt 0

[ 4 Puntos ]

2 Si 3


2 minus1

2


[ 4 Puntos ]

3 Resolver en IR

( a) x2 + 1


1

x + x lt 0

[ 4 Puntos ]


x minus 3

x

le 2

[ 4 Puntos ]

5 Resolver en IR


[ 4 Puntos ]

JR Ticona P UANCV




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




115 Radicacion




Por ejemplo

1radic


2 5radic


3 3








Ejemplos


16


5 tal que b3 = 5


32 tal que b5 = 32



( a)

nradic

ab =

n

radic a nradic

b ( b)

n1057306 ab =

nradic

anradic b b = 0

( c) m

991770 nradic

a = mnradic

a ( d) nradic

am = npradic

amp si p isin IN +

( e) mradic

a = mnradic

an




2

minus b

2


JR Ticona P UANCV






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






(radic

a +radic

b)(radic


( 3radic

a minus 3radic

b)( 3radic

a2 + 3radic

ab + 3radic

b2) = (a minus b)

( 3radic

a + 3radic

b)( 3radic

a2 minus 3radic

ab + 3radic

b2) = (a + b)

( nradic

a minus nradic

b)( nradic

anminus1 + nradic

anminus2 nradic





Ejemplos

1) 1radic

3=

radic 3

3

2) x minus aradic

x +radic

a =

(x minus a)(radic

x minus radic a)

(radic

x +radic

a)(radic

x minus radic a)

= (x minus a)(

radic x minus radic

a)

(x minus a) = (

radic x minus radic

a)

3) 15radic 23 =

5radic

2

2


5radic

45radic 25 =

5radic

42


Si m


an

m = mradic

an


radic a2 = |a|

Teorema 123



b



Ejemplosradic

2x

minus1 = 3 3

radic x

minus 3radic

x

minus1 = 4

radic x

minus1

minus

radic 2x

minus1 = 4

Propiedades

JR Ticona P UANCV




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




1 radic


2 radic










(x ge 9

5 and x ge 1) = U


U x ge 9


rArr1048667

9

5 infin

⟩cap 2 5

there4 C S = 2 5


6 minus x +radic


Soluciacute on



= U


rArr U =

1048667minus 1

12 6

852061


6 minus x + 2radic

6 minus xradic

x + 7 + x + 7 = 12x + 1

2radic

6 minus xradic


minusxradic

x + 7 = 6x

minus6

JR Ticona P UANCV





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0





(6 minus x)(x + 7) = 36x2 minus 72x + 36

minusx2

minusx + 42 = 36x2

minus72x + 36


(37x + 3)(x minus 2) = 0


minus 3

37 2



1153 Problemas


( a)radic


2x minus 1 = 3

( c)radic


x2 minus 4 +radic

x minus 2 +radic

x3 minus 8 = 0

( e)radic


2x minus 3 +radic

x + 1 =radic

3x minus 2



( d) x +radic

4x + 1 = 5 ( e)radic


( g)radic



x2 + 9 = 2x minus 3


( a)radic

6 minus x +radic

x + 7 =radic

12x + 1 ( b)radic

x minus 3 +radic

2x + 1 minus 2radic

x = 0

( c)radic


radic 2x ( d)



5x






2 0 le radic a lt


3 radic

a le

b lArrrArr

a le

b2 siempre que a ge

0 and

b ge

0

4 radic


JR Ticona P UANCV




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




5 radic


6 radic

a +radic




x + 1Soluciacute on




lArrrArr x ge 1

2 and x le 2

C S = 10486671

2 2852061




x ge 0 and x le 3


U =

10486670

3

2



C S = U cap A =

⟨1

3

2



p









4 minus x2 ge 1




3 le x leradic

3JR Ticona P UANCV





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0





radic 3]








2 si x ge 1]


4 minus 1

4 minus 3

2 si x ge 1]


minus 74 si x ge 1]


1048616x minus 1

2

10486172

le 7

4 si x ge 1]


4 le x minus 1

2 le 7

4 si x ge 1]


C S = [minus2 1] cup 9831311 1 +

radic 7

2 983133 cup 983131minus2 1 +

radic 7



( a)radic



2x + 1

( c)radic


radic 3x lt

radic x2 + 2

( e)radic


radic 8 minus 4x gt


( g)radic






( a)radic




( d)radic



6 minus |x| le x


( a)radic

4

minusx2

ge minus1 ( b)

radic 4

minusx2

ge 1 ( c)

radic 4

minusx2

ge x

minus1


JR Ticona P UANCV



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0



Capıtulo 2



211 Par ordenado










por un par ordenado


Esto es (x1 y1) + (x2 y2) = (x1 + x2 y1 + y2)



34







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0







d(P 1 P 2) =radic




2

y1 + y22

1048617


JR Ticona P UANCV














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0














( a) (2 3) (8 0) (5 6) ( b) (1 4) (7 1) (5 8)










radio





( a) 2y = 3y minus 2 ( b) x

3 +

y

4 = 1 ( c) 2x + 5y = 6

( d) y = 2 ( e) x = 6 ( f ) 3x minus y ge 1







( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






( d) yminus

5 = minus

2x2 + 10x ( e) x = 3y2 ( f ) x = minus

2y2

minus6x








que tiene dos pasos















2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



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abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

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26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




2) Simetrıas
























JR Ticona P UANCV






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






( a) R

y = x + 3x = y2y = 2y = minus3

( b) R


( c) R

y = x2y = x + 2

( d) R

y = x2x = y2

( e) R y = x3y = x2

( f ) R y = x3y = x






x2






abc

B =

m n






Soluciacute on






relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



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abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

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26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0





relaciones de A

timesB no vacıos









Rang(S ) =

y isin

Bexist

x isin

A (x y) isin

S



e) Dom(S 5

) = A


e) Rang(S 5

) = B


241 Relacion en A



JR Ticona P UANCV











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

JR Ticona P UANCV




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0











abcd







d) iquestEs R








JR Ticona P UANCV





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

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26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0





lowast (a a)

isin R

and (a c)

isin R

rArr (a c)

isin R









equivalencia


251 Definicion





S = (x y) isin IR2





Rang(S ) =

y

isin IR

existx

isin IR

and (x y)

isin S

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26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

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27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




26 Lugar geometrico





Trabajo encargado













radic 3

JR Ticona P UANCV




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

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6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


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rectas L 3x + 2y + 7 = 0

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a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0




27 La recta

Trabajo encargado


















radic 2


JR Ticona P UANCV










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0










3












JR Ticona P UANCV






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0






L1 2x + y + 2 = 0 y

L2 2x + y

minus18 = 0




3 minus5

3

















L x

minus2y + 9 = 0


JR Ticona P UANCV









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0









C1 (x + 3)2 + (y + 1)2 = 25 C2 (x minus 2)2 + (y + 4)2 = 9




JR Ticona P UANCV











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



le 0











4












7





minus3)


JR Ticona P UANCV


















JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

minus3x

minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



(x minus 2)2 le 0





3 Si 2x + 1



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JR Ticona P UANCV






minus3 0)




es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

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minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



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3 Si 2x + 1



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es igual a 2

3



5 14

3



6 minus1) y (2radic

2)



excentricidad es 3

5










2

+ y

2


JR Ticona P UANCV








10 +

2y2


rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

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3 Si 2x + 1



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3 Si 2x + 1

x



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3 Si 2x + 1



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rectas L 3x + 2y + 7 = 0

JR Ticona P UANCV






a) 2x2

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minus1 = 0 b) 9x2

minus6x + 1 = 0 c) x2 + x + 1 = 0


3 Si 2x + 1



(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



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3 Si 2x + 1



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a) 2x2

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(x minus 2)2 le 0






3 Si 2x + 1

x



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3 Si 2x + 1



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algebra superior 003

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