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UNIVERSIDAD MARIANO GÁLVEZ DE GUATEMALA

FACULTAD DE CIENCIAS DE LA ADMINISTRACIÓN

DIRECCIÓN GENERAL DE CENTRO UNIVERSITARIOS

CENTRO UNIVERSITARIO DE VILLA NUEVA

CURSO MATEMÁTICAS APLICADA I

2015

Lic. Manuel de Jesús Campos Boc

QUINTA UNIDAD

ALGEBRA

Conceptos Básicos

-La expresión algebraica: es una combinación de números de reales y

símbolos (letras), que los representan y que envuelven únicamente todas o

algunas de las operaciones de: adición, sustracción, multiplicación, división,

potenciación o radicación.

Ejemplos:

2x3y + 1

√

( ) √

√

Los números representan valores constantes y las letras (o los símbolos)

representan valores variables.

-Término algebraico: se llama término a toda expresión algebraica cuyas

partes no están separadas por los signos + o -.

Por ejemplo:

a , y x ,5 64a3x

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-Componentes de un término algebraico: en todo término algebraico

pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte

literal y el grado o exponente.

-Signo: los términos que van precedidos del signo + se llaman términos

positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman

términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los

términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún

signo se sobreentiende de que es positivo.

-Coeficiente: se llama coeficiente al número o letra que se le coloca

delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número

de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de

que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se

sobreentiende que el coeficiente es la unidad.

-Parte literal: la parte literal está formada por las letras que haya en el

término.

-Grado o exponente: el grado de un término con respecto a una letra es

el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo:

Los términos:

x3y2z es de tercer grado

a x es segundo grado

y es primer grado

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-Clases de términos

-Por sus características

-Término entero: es el término que no tiene denominador literal.

Por ejemplo:

-Término fraccionario: es el término que si tiene denominador literal.

Por ejemplo:

-Término racional: es el término que no tiene radical. Por ejemplo:

-Término irracional: es el término que si tiene radical. Por ejemplo:

-Por su grado absoluto

-Términos homogéneos: es un conjunto de términos algebraicos con

igual valor absoluto. Por ejemplo:

√

Los términos tiene cuarto grado de valor absoluto.

1 y x ,, 2

-4ab2

-7 a, ,

aba

2xby

, a ,

aba 2-3

ab

7a x + y

8 ,

4

-Términos heterogéneos: es un conjunto de términos algebraicos con

diferente valor absoluto. Por ejemplo:

√ Tiene octavo grado absoluto.

Tiene quinto grado absoluto.

Tiene cuarto grado absoluto.

-Términos semejantes: son los términos que tienen la misma parte

literal, o dicho de otra forma aquellos que tienen las mismas letras y los

mismos exponentes Por ejemplo:

y

y

y

-Supresión de Signos de Agrupación

En ocasiones es necesario eliminar paréntesis antes de combinar términos

semejantes. Por ejemplo, para combinar términos semejantes en:

Tenemos que suprimir los paréntesis primero. Si hay un signo más (o

ningún signo) enfrente de los paréntesis, podemos simplemente eliminar;

esto es,

+ ( a - b ) = a - b

+ ( a + b ) = a + b

( 3 x + 5 ) + ( 2 x - 2 ) = 3 x + 5 + 2 x - 2

= ( 3 x + 2 x ) + ( 5 - 2 )

= 5 x + 3

5

( x² - 1 ) + ( 2 x + 5 ) + ( x - 2 ) - ( 3 x² + 3 ) = x² - 1 + 2 x + 5 + - 3 x² + x - 2 - 3

= x² + 2 x + 4 + - 3 x² + x - 5

= x² + 2 x + 4 - 3 x² + x - 5

= - 2 x² + 3 x - 1

La eliminación de paréntesis precedidos por un signo menos se hará de la

manera siguiente. Por ejemplo:

En ocasiones los paréntesis se presentan dentro de otros paréntesis. Para

evitar confusión, utilizamos diferentes símbolos de agrupación. De este

modo, por lo general:

no escribimos,

sino:

Para combinar términos semejantes en tales expresiones, los símbolos de

agrupación más internos se eliminan primero.

Como efecto de la propiedad distributiva tenemos, que:

La propiedad distributiva también puede extenderse a más de dos números

dentro de los paréntesis.

Por tanto . Además

8 x - 2 ( x - 1 ) - ( x - 3 ) = 8 x - 2 x + 2 - ( x + 3 )

= 8 x - 2 x + 2 - x - 3

= ( 8 x - 2 x - x ) + ( 2 - 3 )

= 5 x - 1

( ( x + 5 ) + 3 )

( x + 5 ) + 3

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-Reducción de términos semejantes

Es una operación que tiene por objeto convertir en un solo término dos o

más términos semejantes. En la reducción de términos semejantes pueden

ocurrir los tres casos siguientes:

1.- Reducción de dos o más términos semejantes del mismo signo:

Se suman los coeficientes, poniendo delante de esta suma el mismo signo

que tienen todos seguida de la parte literal. Por ejemplo:

2) Reducción de dos términos semejantes de distinto signo: Se

restan los coeficientes, poniendo delante de esta diferencia el signo del

mayor seguida de la parte literal. Por ejemplo:

a.- 3 a + 2 a = 5 a

b.- - 2 a - 9 a = - 10 a

c.- 1 x² y + 1 x² y + 1 x² y = 7 x² y

2 4 8 8

1 + 1 + 1 = 32 + 16 + 8 = 56 = 28 = 14 = 7

2 4 8 64 32 16 8

d.- - 1 x y - 2 x y = - 1 x y = - x y

3 3

- 1 - 2 = - 1 - 2 = - 1

3 3

64

3

a.- 2 a - 3 a = - ax x x

b.- - a + a = - 10 a

c.- - 3 a² b + a² b = 4 a² b

7 7

- 3 + 1 = - 3 + 7 = 4

7 1 7

d.- - 5 a + 3 a = - 1

6 4 12

- 5 + 3 = - 20 + 18 = - 2 = - 1

6 4 24 1224

8 13

7

x+1 x+1 x+1

7

3) Reducción de más de dos términos semejantes de signos

distintos: se reducen a un solo término todos lo positivos, se reducen a un

solo término todos los negativos y a los dos resultados obtenidos se aplica

la regla del caso anterior. Por ejemplo:

Clasificación de las Expresiones Algebraicas

-Monomio: es una expresión algebraica que consta de un solo término.

Por ejemplo:

-Binomio: es un polinomio que consta de dos términos. Por ejemplo:

-Trinomio: es un polinomio que consta de tres términos. Por ejemplo:

a.- 5 a - 8 a + a - 6 a + 21 a =

5 a + a + 21 a = 27 a

- 8 a - 6 a = - 14 a

27 a - 14 a = 13 a

b.- - 2 bx² + 1 bx² + 3 bx² - 4 bx² + bx²5 5 4

1 bx² + 3 bx² + bx² = 1 + 3 + 1 = 4 + 15 + 20 = 39 bx²5 4 5 4 1 20

- 2 bx² - 4 bx² = - 2 - 4 = - 2 - 20 = - 22 bx²5 5 1 5

39 bx² - 22 bx² = 39 - 22 = 195 - 440 = - 245 = - 49

20 5 20 5 100 20

- 49 bx²20

20

5

100

bx²

◊ 7 xy ◊ - 8b ◊ x² y4n³

◊ 5 x² y + 2 ◊ x - y ◊ a² -

3 6b²

x² y³ 5mx³

◊ a + b + c ◊ y³ - 6y - 8 ◊ 4 x² - 7y³ + b²3

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-Cuatrinomio: es un polinomio que consta de cuatro términos .Por

ejemplo:

-Operaciones con expresiones algebraicas

El orden para realizar las operaciones, siempre que no existan signos de

agrupación es el siguiente:

1.- Potencia y raíces

2.- Multiplicación y división

3.- Sumas y restas

Cualquier cambio en este orden debe ser indicado por signos de agrupación.

-Suma: es el resultado de poner unas a continuación de las otras con sus

propios signos, seguidamente si hay términos semejantes se reducen a uno

solo, para lo cual basta con sumar los coeficientes numéricos y copiar la

parte literal. Por ejemplo:

◊ m² + 6m - m³ + m 4 ◊ a³ - a³ + a² - a

2 3 2

( 3 x³ y + 2 x² - 2 xy ) + ( 2 xy² + x³y + xy )

( 3 x³ y + 2 x² - 2 xy ) + ( 2 xy² + x³y + xy )

3 x³ y + x³y = 4 x³y

2 x² = 2 x²

- 2 xy + xy = - xy

2 xy² = 2 xy²

R: 4 x³y + 2 x² - xy + 2 xy²

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-Resta: para restar expresiones algebraicas es el resultado de colocar el

minuendo y a continuación el sustraendo cambiando de signo. Luego se

reducen los términos. Por ejemplo:

( 3 x²y + 1 xy² - 3 y³ ) + ( y³ - xy - 7 x²y - 2 xy² )

5 2 3

( 3 x²y + 1 xy² - 3 y³ ) + ( y³ - xy - 7 x²y - 2 xy² )

5 2 3

3 x²y - 7 x²y = 3 - 7 = 3 - 35 = - 32 x²y5 5 1 5

+ 1 xy² - 2 xy² = 1 - 2 = 3 - 4 = - 1 xy²2 3 2 3 6

- 3 y³ + y³ = - 2 y³

- xy = - xy

R: - 32 x²y - 1 xy² - 2 y³ - xy

5 6

5

6

( - 7x + x² - 3 ) + ( 6x² - 8 + 2x ) + ( 3x - x² + 5 ) =

+ x² + 6x² - x² = 6x²

- 7x + 2x + 3x = - 2x

- 3 - 8 + 5 = - 6

R: 6x² - 2x - 6

10

a.- ( 6ab - 3b + 4a ) - ( 7b - 2a - 5ab )

6ab - 3b + 4a - 7b + 2a + 5ab

R: 6a + 11ab - 10b

b.- 3ab³ - ab - 4 - 9ab - 2ab³ + 2b - 1

5y y² y² y y³ 5

3ab³ - ab - 4 - 9ab + 2ab³ - 2b + 1

5y y² y² y y³ 5

3ab³ + 2ab³ = 3 + 2 = 3 + 10 = 13 ab³5y y 5 1 5

- ab - 9ab = -1 - 9 = -1 - 9 = -10 = -10 ab

y² y² 1 1 1

- 2b

y³

-4 - 1 = -4 - 1 = -20 - 1 = -19

5 1 5 5

13 ab³ - 10 ab - 2b - 19

5 y³ 5

c.- ( 3 a²xy - 2 ax²y ) - ( - 18 ax²y + axy - 10 a²xy )

3 a²xy - 2 ax²y + 18 ax²y - axy + 10 a²xy

3 a²xy + 10 a²xy = 13 a²xy

- 2 ax²y + 18 ax²y = 16 ax²y

- axy

R: 13 a²xy + 16 ax²y - axy

y²

( ) ( )

5

1 y²

5

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-Multiplicación: es una operación algebraica que tiene por objeto hallar

una cantidad llamada producto dadas dos cantidades llamadas

multiplicando y multiplicador, tanto el multiplicando como el multiplicador

reciben el nombre de factores del producto.

-Leyes de exponentes: los exponentes se han utilizado para indicar el

número de veces que se repite un factor en un producto. Por ejemplo.

La notación exponencial proporciona un modo sencillo para multiplicar

expresiones que contienen potencias de la misma base.

1. Primera ley de los exponentes: Los exponentes se suman para

multiplicar dos potencias de la misma base.

an . am = an+m x5 . x3 = x 5+3 = x8

y2 . y4 . y6 = y2+4+6 = y12

2. Segunda ley de los exponentes: Los exponentes se multiplican para

elevar una potencia a otra potencia.

(a . b)n = an . bn (x . y)2 = x2 . y2

3. Tercera ley de los exponentes: Mediante las propiedades asociativa y

conmutativa de la multiplicación es posible escribir una potencia de un

producto es igual al producto de las potencias de cada uno de los factores.

(an) m = an m (x2) 3 = x 2 (3) = x6

Regla de los Signos, siguiente:

+ × + = +

+ × - = -

- × + = -

- × - = +

12

3 4 3+4 7

a.- ( 3 x ) ( 5 x ) = 3 ( 5 ) x = 15 x

En la multiplicación algebraica pueden considerarse los tres casos

siguientes:

a) Multiplicación de monomios.

b) Multiplicación de un polinomio por un monomio

c) Multiplicación de polinomios

a) Multiplicación de monomios: para multiplicar monomios, se

multiplican sus coeficientes y a continuación se escriben las letras

diferentes de los factores ordenados alfabéticamente, elevadas a un

exponente igual a la suma de los exponentes que cada letra tenga en los

factores. El signo del producto será el que le corresponda al aplicar la regla

de los signos. Por ejemplo:

2 2 2 1+2 2+2

b.- ( -8 a b ) ( 3 a b c ) = ( -8 . 3 ) a b c =

3 4

- 24 a b c

3 2 2

c.- ( - 4 x ) ( 5 x y ) ( - 2 x y ) =

1+3+2 2+1 6 3

( - 4 . 5 . - 2 ) x y = 40 x y

3 2 2 2 2

d.- ( - 2 a b c ) ( - 4 a b c ) ( 5 a b c ) ( - 6 a b ) =

1+2+1 7 6 4

( - 2 . - 4 . 5 . - 6 ) a b c = - 240 a b c3+2+1+1 1+2+1+2

13

b) Multiplicación de un polinomio por un monomio: para multiplicar

un polinomio por un monomio se multiplica cada uno de los términos del

polinomio por el monomio, teniendo en cuenta la regla de los signos, y se

suman todos los productos parciales así obtenidos. Por ejemplo:

3 2 2 3 4 5 2

c.- 2 a b - 1 a b + 5 a b - 2 b - 1 a b

3 4 6 5 2

4 4 3 5 2 6 7

- 2 a b + 1 a b - 5 a b + 2 a b

6 8 12 10

( ) (

3 2 2 3

b.- ( x - 3 x y + 3 x y - y ) ( 2 x y ) =

3 2 2 3

( x . 2 xy ) - ( 3 x y . 2 xy ) + ( 3 x y . 2 xy ) - ( y . 2 xy )

4 3 2 2 3 4

2 x y - 6 x y + 6 x y - 2 x y

3 2

a.- ( 3 a + 5 a - 4 ) ( 3 a ) =

3 2

( 3 a . 3 a ) + ( 5 a . 3 a ) - ( 4 . 3 a ) =

4 3

9 a + 15 a - 12 a

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c) Multiplicación de polinomios: para multiplicar un polinomio por

otro se multiplican todos los términos del multiplicando por cada uno de los

términos del multiplicador, teniendo en cuenta la regla de los signos, y a

continuación se efectúa la suma algebraica de todos los productos parciales

así obtenidos. Por ejemplo:

2 2 2

b.- ( 3 x + 2 x - 1 ) ( 4 x - 2 x + 2 ) ( 2 x - 3 x + 4 )

2

3 x + 2 x - 12

4 x - 2 x + 24 3 2

12 x + 8 x - 4 x3 2

- 6 x - 4 x + 2 x2

6 x + 4 x - 24 3 2

12 x + 2 x - 2 x + 6 x - 2

4 3 2

12 x + 2 x - 2 x + 6 x - 22

2 x - 3 x + 46 5 4 3 2

24 x + 4 x - 4 x + 12 x - 4 x5 4 3 2

- 36 x - 6 x + 6 x - 18 x + 6 x4 3 2

48 x + 8 x - 8 x + 24 x - 86 5 4 3 2

24 x - 32 x + 38 x + 26 x - 30 x + 30 x - 8

3 2 2 3 2 2

a.- ( 2 a - 3 a b + 4 a b - 2 b ) ( 3 a + 4 ab - 5 b ) =

3 2 2 3

2 a - 3 a b + 4 a b - 2 b

2 2

3 a + 4 a b - 5 b5 4 3 2 2 3

6 a - 9 a b + 12 a b - 6 a b

4 3 2 2 3 4

8 a b - 12 a b + 16 a b - 8 a b3 2 2 3 4 5

- 10 a b + 15 a b - 20 a b + 10 b5 4 3 2 2 3 4 5

6 a - a b - 10 a b + 25 a b - 28 a b + 10 b

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-Reglas o Postulados de la División:

1.- Por si el exponente mayor está en el numerador, es decir si n es menor

que m entonces:

1.- Por si el exponente mayor está en el denominador, es decir si n es

mayor que m entonces:

Para efectuar una división algebraica hay que tener en cuenta los signos,

los exponentes y los coeficientes de las cantidades que se dividen.

(+) ÷ (+) = +

(–) ÷ (–) = +

(+) ÷ (–) = –

(–) ÷ (+) = –

m 5 2

( n < m ) = a = a = a. a. a. a. a. = a. a. = a

n 3 a. a. a.

a a5 .5-3 2

a = a = a3

a

m 4 -3

( n > m ) = b = b = b. b. b. b. = 1 = b

n 7 b. b. b. b. b. b. b. b. b. b.

b b4 3

b = 1 = 1 = b7 .7-4 3

b b b

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3 2 2 3

a.- ( 3 x - 5 x y - 8 x y - 2 y ) ( 3 x + y )2 2

x - 2x y - 2 y3 2 2 3

3 x + y 3 x - 5 x y - 8 x y - 2 y3 2

- 3 x - x y2 2 3

0 - 6 x y - 8 x y - 2 y2 2

+ 6 x y + 2 x y2 3

0 - 6 x y - 2 y2 3

+ 6 x y + 2 y

0 05 3 2

b.- ( x + 2 x - x - 8 ) ( x - 2 x + 1 )

3 2

x + 2 x + 5 x + 82 5 3

x - 2 x + 1 x + 2 x - x - 85 4 3

- x + 2 x - x4 3

0 + 2 x + x - x - 84 3 2

- 2 x + 4 x - 2 x3 2

0 + 5 x - 2 x - x - 83 2

- 5 x + 10 x - 5 x2

0 + 8 x - 6 x - 82

- 8 x + 16 x - 8

0 + 10 x - 163 2

R: x + 2 x + 5 x + 8 + 10 x - 162

x - 2 x + 1