UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA

FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

Especialidad de Ing. Mecánica Eléctrica

DATOS :

INTEGRANTES : CODIGO FIRMA

Paucar Chariarse, Abelardo José 20140201C ______ Reyes Intuscca, Edson Franco 20142103I ______ Sánchez Osorio, Isael Joel 20142108K ______ Vargas Cano, Ronaldhino 20140013B ______

SECCIÓN : B

PROFESOR : REYNA MEDINA, Jexy Arturo

TEMA : Lugares Geométricos en el espacio

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“Año de la Promoción de la Industria Responsable y del Compromiso Climático”

INTRODUCCIÓN

El presente trabajo tiene como objetivo identificar las superficies cuadráticas y reconocer su presencia en la naturaleza, así como mostrar ejemplos visuales de la aplicación de éstas en diferentes ámbitos del desarrollo humano. Debemos precisar que no se da una definición rigurosa de superficie, más bien intuitiva.

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(x−x0 , y− y0 , z−z0)=λ.(u1 , u2 , u3)

x2

a2− y2

b2=1

y=x2

x2

a2+ y2

b2=1

C. HIPERBÓLICO

x2

a2+ y2

b2= z2

c2

C. PARABÓLIC

C. ELÍPTICO

PLANO

RECTA

CILINDRO

CONO

(x−h)2

a2+

( y−k )2

b2−

(z−m)2

c2=1

(x−h)2

a2−

( y−k )2

b2−

( z−m)2

c2=1

z= x2

a2+ y2

b2

z= x2

a2− y2

b2

(x−h)2

a2+

( y−k)2

b2+

(z−m)2

c2=1

(x−h)2+¿LUGARES GEOMETRICOS EN EL ESPACIO

HIPERBOLOIDE

ELIPSOIDE

ESFERA

PARABOLOIDE

P. HIPÉRBOLOIDE

P. ELÍPTICO

H. HIPERBOLICO

H. ELÍPTICO

P⃗X=λ u⃗+μ v⃗

1. PARABOLOIDE

Paraboloide Hiperbólico

Paraboloide Elíptico

Paraboloide

Un paraboloide será elíptico cuando los

términos cuadráticos de su ecuación

canónica sean de signo contrario:

( xa )2

−( yb )2

=z

Un paraboloide será elíptico cuando los

términos cuadráticos de su ecuación

canónica sean del mismo signo:

( xa )2

+( yb )2

=z

Es la superficie que se ha creado al deslizar una parábola vertical con la concavidad hacia abajo, a lo largo de la otra, perpendicular a la primera; las secciones horizontales son elipses mientras que las verticales

El paraboloide hiperbólico se engendra a partir de dos parábolas mediante el deslizamiento de una de ellas, paralelamente a sí misma, sobre la otra. A la primera parábola se la denomina generatriz y a la

Aplicaciones

Paraboloides hiperbólicos en estructuras

Antenas parabólicas

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2. ESFERA:

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Aplicaciones:

Si el plano es tangente el área de contacto queda reducida a un punto.

Si el plano pasa por el centro de la esfera el radio del círculo es el de la esfera. En este caso el círculo es máximo.

Si la distancia d, entre el plano y el centro, es inferior al radio R de la esfera, aplicando el teorema de Pitágoras, el radio de la sección es:

R'=√R2−d2

Ecuación paramétrica:

X=x0+r cosθ×sin γ

Y= y0+r sinθ× sin γ

Y= y0+r cosθ

Secciones: La intersección de un plano y una esfera siempre es una circunferencia.

Superficie: s=4 π ×R2

Volumen: V= 43π ×R3

Ecuación cartesiana:

(x−h)2

R2+

( y−k)2

R2+

(z−m)2

R2=1

De centro (h,k,m) y de radio R

La esfera es la superficie de revolución formada por el conjunto de los puntos del espacio cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro.

Se origina al rotar una superficie semicircular, alrededor de su

Esfera

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3. ELIPSOIDE

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EJEMPLOS REALES x=0 < < ay=0 < < b

Si  > c no hay intersección Si  = c la intersección se reduce a un punto

Si  c la curva de corte es una elipse de

ecuación  x2

a2 β2+ y2

β2b2=1 donde β2=1−α 2

c2

CORTES

CORTES POR PLANOS “Z=α”

V= 4π3

abc

S≈4 π ( apb p+ap c p+c pbp

3)1p

Donde p≈1.6075

VOLUMEN

CÁLCULOS

CORTES POR PLANOS “y=α, x=α”

SUPERFICIE

Ecuación cartesiana: (x−h)2

a2+

( y−k)2

b2+

(z−m)2

c2=1 de

centro (h, k, m) 

Un elipsoide es una superficie curva cerrada cuyas tres secciones ortogonales principales son elípticas, es decir, son originadas por planos que contienen dos ejes cartesianos. En matemáticas, es una cuádrica análoga a la elipse, pero en tres dimensiones.

ELIPSOIDE

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4. HIPERBOLOIDE:

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EJEMPLOS REALES

2do caso:

−(x−h)2

a2−

( y−k )2

b2+(z−m)2

c2=1 de

1er caso:

(x−h)2

a2−

( y−k )2

b2−

( z−m)2

c2=1 de

2do caso:

(x−h)2

a2−

( y−k )2

b2+(z−m)2

c2=1 de

1er caso:

(x−h)2

a2+

( y−k)2

b2−

(z−m)2

c2=1 de

H. ELIPTICO (DOS HOJA)

H. HIPERBOLICO (UNA HOJA)

Tipos

El hiperboloide es la superficie de revolución generada por la rotación de una hipérbola alrededor de uno de sus dos ejes de simetría. Dependiendo del eje elegido, el hiperboloide puede ser de una o dos hojas.

HIPERBOLOIDE

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5. CILINDRO

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C. hiperbólicoC. parabólico

CILINDRO

En geometría, un cilindro es una superficie de las denominadas cuadráticas formada por el desplazamiento paralelo de una recta llamada generatriz a lo largo de una curva plana, que puede ser cerrada o abierta, denominada directriz del cilindro.

Tipos

C. elíptico

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6. CONO

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Cono Elíptico

Ecuación

CONO

En geometría, un cono recto es un sólido de revolución generado por el giro de un triángulo rectángulo alrededor de uno de sus catetos. Al círculo conformado por el otro cateto se denomina base y al punto donde confluyen las generatrices se llama vértice o cúspide.

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7. RECTAS

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Ecuaciones continúas de la recta:

Despejando e igualando λ se obtiene:

Ecuaciones implícitas, pueden ser intersección de planos:

Ecuación paramétrica de la recta:

Operando en la ecuación vectorial

esta igualdad se verifica si

Ecuación vectorial de una recta:

Se clasifican de acuerdo a sus ecuaciones, ósea el lenguaje para su obtención.

Es el lugar geométrico donde los puntos siguen una misma dirección y son colineales .También se define como la mínima distancia entre dos puntos

Rectas

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8. PLANOS

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Vector normal

El vector es un vector normal al plano es decir perpendicular al plano

Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano el vector

es perpendicular al vector n y se cumple lo siguiente

Forma canoníca o segmentaria de un plano

Sean los puntos x0 y0 y z0 se

Ecuación general o implícita de un plano

El punto está en el plano si tiene solución el sistema

Este sistema tiene que ser compatible determinado en las incógnitas λ y µ por tanto el determinante de la matriz ampliada debe ser cero

Damos los valores

Sustituimos

Finalmente obtenemos la ecuación

Ecuación vectorial de un plano

Un plano queda determinado por un punto P y un par de vectores con distinta dirección

Ecuación paramétrica de un plano

Esta igualdad se verifica si cumple

Es aquella superficie que posee 2 dimensiones y contiene infinitos puntos y rectas tiene distintas denotaciones o ecuaciones

Planos

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CUADRO DE APLICACIONES

SUPERFICIE CUADRICAS APLICACIONES VIDEO

01 paraboloide

Antenas parabolicas

https://www.youtube.com/watch?v=xtRw3RntG2ccopa de helado

silla de montar

estructuras de edificios

02 esferapelotas de todo tipos

http://www.youtube.com/watch?v=p1_7Df9qe1Aboliches

03 elipsoidepelota de futbol americano,

huevohttp://www.youtube.com/watch?v=8LgDF3-83pE

04 hiperboloide plato de sopa  http://www.youtube.com/watch?v=a8XUHBNwJlw

05 cono

conos de helado

http://www.youtube.com/watch?v=rAkrxGQ0huoarboles navideños

altoparlantes

06 cilindrobarril de chavo del 8

 http://www.youtube.com/watch?v=Fy4Kkgi3AJ8cables de electricidad

07 rectas

graficas velocidad vs tiempo

https://www.youtube.com/watch?v=fQW_d41kvU4

grafica de posición vs tiempo

proceso termico de dilatación

presion

termodinamica

8 planos

movimiento bidimensional, puede ser parabólico

https://www.youtube.com/watch?v=fQW_d41kvU4En el famoso sistema de

posicionamiento global más conocido como GPS

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Vector normal

El vector es un vector normal al plano es decir perpendicular al plano

Si P(x0, y0, z0) es un punto del plano el vector

es perpendicular al vector n y se cumple lo siguiente

Forma canoníca o segmentaria de un plano

Sean los puntos x0 y0 y z0 se

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USO EN GEOGEBRA

SUPERFICIE CUADRICAS VIDEO

01

paraboloide http://www.youtube.com/watch?v=ah3Tul_bXwM

02

esfera https://www.youtube.com/watch?v=JcdTiskaccc

03

elipsoide http://www.youtube.com/watch?v=rFUHVbj7VYs

04

hiperboloide http://www.youtube.com/watch?v=IUVkYQFjvdQ

05

cilindro http://www.youtube.com/watch?v=lLwXv0wTbG8

06

cono http://www.youtube.com/watch?v=lLwXv0wTbG8

07

rectas http://www.youtube.com/watch?v=3NMea0EFJIM

08

planos http://www.youtube.com/watch?v=NiyqQW7RG8M

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