algebra lineal y sus aplicaciones, 3ra edición david c. lay

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6. lgebra lineal y sus aplicaciones TERCERA EDICIN ACTUALIZADA David C. Lay University of Maryland College Park TRADUCCIN Jess Elmer Murrieta Murrieta 00 Maq. Prelimi(LAY).indd v 10/13/06 12:08:06 AM

7. Authorized translation from the English language edition, entitled Linear Algebra and its applications, 3/e by David C. Lay published by Pearson Education, Inc., publishing as Addison Wesley, INC., Copyright 2006. All rights reserved. ISBN 0321287134 Traduccin autorizada de la edicin en idioma ingls, Linear Algebra and its applications, 3/e por David C. Lay publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Addison Wesley, Copyright 2006. Todos los derechos reservados. Esta edicin en espaol es la nica autorizada. Edicin en espaol: Editor: Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: [email protected] Editor de desarrollo: Claudia Martnez Amigon Supervisor de produccin: Adriana Rida Montes Edicin en ingls: Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor: William Hoffman Project Editor: Joanne Ha Editorial Assistant: Emily Portwood Managing Editor: Karen Wernholm Production Supervisor: Sheila Spinney Senior Designer/Cover Designer: Barbara T. Atkinson Photo Researcher: Beth Anderson Digital Assets Manager: Jason Miranda Media Producer: Sara Anderson Software Development: David Malone y Mary Durnwald Marketing Manager: Phyllis Hubbard Marketing Coordinator: Celena Carr Senior Author Support/Technology Specialist: Joe Vetere Rights and Permissions Advisor: Dana Weightman Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton Composition: Techsetters, Inc. Illustrations: Techsetters, Inc. Photo Credits: 1 Bettmann/Corbis; Hulton Archive. 58, 63, 98, 156, 185, 252, 426, 469 PhotoDisc. 105 The Boeing Company. 106 Boeing Phantom Works. 140 Jet Propulsion Lab/NASA. 161 Bo Strain; Reprinted by permission of University of North Carolina at Chapel Hill. 215 Kennedy Space Center. 289, 469 Eyewire. 301 Stone. 373 Corbis. 374 From North American Datum of 1983, Charles Schwartz editor, National Geodetic Information Center. 426 Anglo-Australian Observatory/Royal Observatory, Edinburgh. 447 NASA. 448 GEOPIC image courtesy of Earth Satellite Corporation, Rockville, MD. TERCERA EDICIN, 2007 D.R. 2007 por Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Atlacomulco 500-5to. piso Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Jurez, Edo. de Mxico E-mail: [email protected] Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Nm. 1031. Addison Wesley es una marca registrada de Pearson Educacin de Mxico, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicacin pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperacin de informacin, en ninguna forma ni por ningn medio, sea electrnico, mecnico, fotoqumico, magntico o electroptico, por fotocopia, grabacin o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El prstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesin de uso de este ejemplar requerir tambin la autorizacin del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-0906-2 ISBN 13: 978-970-26-0906-3 Impreso en Mxico. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07 LAY, DAVID C. LGEBRA LINEAL Y SUS APLICACIONES PEARSON EDUCACIN, Mxico, 2007 ISBN: 978-970-26-0906-3 rea: Matemticas Formato: 20 25.5 cm Pginas: 584 00 Maq. Prelimi(LAY).indd vi 10/13/06 12:08:07 AM

8. A mi esposa, Lillian, y a nuestras hijas Christina, Deborah y Melissa, cuyo apoyo, nimos, y eles oraciones hicieron posible este libro 00 Maq. Prelimi(LAY).indd vii 10/13/06 12:08:08 AM

9. Acerca del autor David C. Lay tiene los ttulos de B. A. de Aurora University (Illinois), y de M. A. y PH. D. por la Universidad de California en Los ngeles. El profesor Lay ha sido catedrtico e investigador en matemticas desde 1966, principalmente en la Universidad de Maryland, College Park. Tambin ha trabajado como profesor visitante en la Universi- dad de msterdam, en la Universidad Libre de msterdam y en la Universidad de Kai- serslautern, Alemania. Tiene ms de treinta artculos de investigacin publicados como anlisis funcional y lgebra lineal. Como miembro fundador del Grupo de Estudio del Currculum de lgebra Lineal patrocinado por la N.S.F., el profesor Lay ha sido lder en el movimiento actual para modernizar el plan de estudios de lgebra lineal. El profesor Lay tambin es coautor de varios textos matemticos, entre ellos, Introduction to Functional Analysis, con Angus E. Taylor, Calculus and its Applications, con L. J. Goldstein y D. I. Schneider, y Linear Algebra Gens Assets for Undergraduate Mathematics, con D. Carlson, C. R. Johnson y A. D. Porter. Catedrtico de primera lnea. El profesor Lay ha recibido cuatro premios universitarios por excelencia docente, incluido en 1996 el de Distinguished ScholarTea- cher de la Universidad de Maryland. En 1994, se le concedi uno de los Premios de la Mathematical Association of America, que lleva el ttulo de Distinguished College or University Teaching of Mathematics. Ha sido elegido por los estudiantes universitarios miembro de la Alpha Lambda Delta National Scholastic Honor Society y de la Golden Key National Honor Society. En 1989, la Aurora University le concedi el premio Outstanding Alumnus. El doctor Lay es miembro de la American Mathematical Society, de la Canadian Mathematical Society, de la International Linear Algebra Society, de la Mathematical Association of America, Sigma Xi, y de la Society for Industrial and Applied Mathematics. Desde 1992, ha formado parte de la junta directiva nacional de la Association of Christians in the Mathematical Sciences. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd viii 10/13/06 12:08:08 AM

10. Contenido Prefacio ix Nota para los estudiantes xv Ecuaciones lineales en lgebra lineal 1 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos lineales en economa e ingeniera 1 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 2 1.2 Reduccin por filas y formas escalonadas 14 1.3 Ecuaciones vectoriales 28 1.4 La ecuacin matricial Ax = b 40 1.5 Conjuntos solucin de los sistemas lineales 50 1.6 Aplicaciones de los sistemas lineales 57 1.7 Independencia lineal 65 1.8 Introduccin a las transformaciones lineales 73 1.9 La matriz de una transformacin lineal 82 1.10 Modelos lineales en negocios, ciencias e ingeniera 92 Ejercicios suplementarios 102 lgebra de matrices 105 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Modelos de computadora en el diseo de aviones 105 2.1 Operaciones de matrices 107 2.2 La inversa de una matriz 118 2.3 Caracterizaciones de matrices invertibles 128 2.4 Matrices partidas 134 2.5 Factorizaciones de matrices 142 2.6 El modelo de Leontief de entrada y salida 152 2.7 Aplicaciones a los grficos por computadora 158 2.8 Subespacios de Rn 167 2.9 Dimensin y rango 176 Ejercicios suplementarios 183 ix C A P T U L O 1 C A P T U L O 2 00 Maq. Prelimi(LAY).indd ix 10/13/06 12:08:09 AM

11. x Contenido Determinantes 185 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Determinantes en geometra analtica 185 3.1 Introduccin a los determinantes 186 3.2 Propiedades de los determinantes 192 3.3 Regla de Cramer, volumen y transformaciones lineales 201 Ejercicios suplementarios 211 Espacios vectoriales 215 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Vuelo espacial y sistemas de control 215 4.1 Espacios y subespacios vectoriales 216 4.2 Espacios nulos, espacios columna y transformaciones lineales 226 4.3 Conjuntos linealmente independientes; bases 237 4.4 Sistemas de coordenadas 246 4.5 La dimensin de un espacio vectorial 256 4.6 Rango 262 4.7 Cambio de base 271 4.8 Aplicaciones a ecuaciones en diferencias 277 4.9 Aplicaciones a cadenas de Markov 288 Ejercicios suplementarios 298 Valores propios y vectores propios 301 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Sistemas dinmicos y los bhos manchados 301 5.1 Vectores propios y valores propios 302 5.2 La ecuacin caracterstica 310 5.3 Diagonalizacin 319 5.4 Vectores propios y transformaciones lineales 327 5.5 Valores propios complejos 335 5.6 Sistemas dinmicos discretos 342 5.7 Aplicaciones a las ecuaciones diferenciales 353 5.8 Estimaciones iterativas para valores propios 363 Ejercicios suplementarios 370 C A P T U L O 3 C A P T U L O 5 C A P T U L O 4 00 Maq. Prelimi(LAY).indd x 10/13/06 12:08:09 AM

12. Ortogonalidad y mnimos cuadrados 373 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Reajuste del Nivel de Referencia Norteamericano 373 6.1 Producto interior, longitud y ortogonalidad 375 6.2 Conjuntos ortogonales 384 6.3 Proyecciones ortogonales 394 6.4 El proceso Gram-Schmidt 402 6.5 Problemas de mnimos cuadrados 409 6.6 Aplicaciones a modelos lineales 419 6.7 Espacios con producto interior 427 6.8 Aplicaciones de los espacios con producto interior 436 Ejercicios suplementarios 444 Matrices simtricas y formas cuadrticas 447 EJEMPLO INTRODUCTORIO: Procesamiento de imgenes multicanal 447 7.1 Diagonalizacin de matrices simtricas 449 7.2 Formas cuadrticas 455 7.3 Optimizacin restringida 463 7.4 La descomposicin en valores singulares 471 7.5 Aplicaciones al procesamiento de imgenes y a la estadstica 482 Ejercicios suplementarios 491 Apndices A Unicidad de la forma escalonada reducida A1 B Nmeros complejos A3 Glosario A9 Respuestas a ejercicios impares A19 ndice I1 Contenido xi C A P T U L O 6 C A P T U L O 7 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xi 10/13/06 12:08:10 AM

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14. xiii Prefacio La respuesta de estudiantes y profesores a las primeras tres ediciones de lgebra lineal y sus aplicaciones ha sido muy gratificante. Esta tercera edicin actualizada proporciona un apoyo sustancial tanto para la enseanza como para el uso de tecnologa en el curso. Como antes, el texto presenta una introduccin elemental moderna al lgebra lineal y una amplia seleccin de interesantes aplicaciones. El material es accesible a estudiantes que hayan adquirido la madurez necesaria, por lo general, en clculo, despus de com- pletar satisfactoriamente dos semestres de matemticas a nivel universitario. La meta principal del texto es ayudar a los estudiantes a dominar los conceptos y las habilidades bsicas que despus utilizarn en sus carreras. Los temas incluidos siguen las recomendaciones del Linear Algebra Curriculum Study Group, las cuales se basan en una investigacin cuidadosa de las necesidades reales de los estudiantes y en un consen- so logrado entre profesionales de muchas disciplinas que utilizan lgebra lineal. Espero que este curso sea una de las clases de matemticas ms tiles e interesantes que puedan tomarse durante los estudios universitarios. CARACTERSTICAS DISTINTIVAS Introduccin temprana de conceptos clave Muchas ideas fundamentales del lgebra lineal se introducen en siete lecturas, una lectura al inicio de cada captulo, en el establecimiento concreto de Rn, y despus se examinan de manera gradual desde diferentes puntos de vista. Posteriormente aparecen generalizaciones de estos conceptos como extensiones naturales de ideas familiares, vi- sualizadas a travs de la intuicin geomtrica desarrollada en el captulo 1. En la opinin del autor, una de las caractersticas positivas del texto es que el nivel de dificultad es bastante uniforme a lo largo del curso. Una visin moderna de la multiplicacin de matrices La notacin correcta es crucial, y el texto refleja la forma real en que los cientficos e ingenieros aplican el lgebra lineal en la prctica. Las definiciones y comprobaciones se enfocan en las columnas de una matriz en lugar de en sus entradas. Un tema esencial es considerar un producto vector-matriz Ax como una combinacin lineal de las columnas de A. Este moderno enfoque simplifica muchos argumentos, y vincula las ideas de espacio vectorial con el estudio de sistemas lineales. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xiii 10/13/06 12:08:10 AM

15. Transformaciones lineales Las transformaciones lineales forman un hilo que se entreteje en la tela de este texto. Su utilizacin mejora el sentido geomtrico de lo escrito. Por ejemplo, en el captulo 1, las transformaciones lineales proporcionan una visin dinmica y grfica de la multiplicacin matriz-vector. Valores propios y sistemas dinmicos Los valores propios aparecen equitativamente pronto en el texto, en los captulos 5 y 7. Como este material se estudia durante varias semanas, los alumnos tienen ms tiempo del usual para absorber y revisar estos conceptos crticos. Los valores propios se aplican a sistemas dinmicos discretos y continuos, los cuales aparecen en las secciones 1.10, 4.8, 4.9, y en cinco secciones del captulo 5. Algunos cursos llegan al captulo 5 en unas cinco semanas pues cubren las secciones 2.8 y 2.9 en lugar del captulo 4. Estas dos secciones opcionales presentan todos los conceptos del espacio vectorial incluidos en el captulo 4, mismos que son necesarios para abordar el captulo 5. Ortogonalidad y problemas de mnimos cuadrados Estos temas reciben un tratamiento ms comprensible en comparacin con el que se encuentra comnmente en los textos bsicos. El Linear Algebra Curriculum Study Group ha enfatizado la necesidad de contar con una unidad sustancial en los problemas de ortogonalidad y mnimos cuadrados, debido a que la ortogonalidad cumple un papel importante en los clculos computacionales y en el lgebra lineal numrica, y porque los sistemas lineales inconsistentes surgen muy frecuentemente en el trabajo prctico. CARACTERSTICAS PEDAGGICAS Aplicaciones Una amplia seleccin de aplicaciones ilustra el poder del lgebra lineal para explicar principios fundamentales y simplificar los clculos en ingeniera, ciencia computacional, matemticas, fsica, biologa, economa y estadstica. Algunas aplicaciones aparecen en secciones diferentes; otras se explican mediante ejemplos y ejercicios. Adems, cada captulo abre con un ejemplo introductorio que especifica la etapa apropiada para efectuar determinada aplicacin del lgebra lineal, y proporciona una motivacin para desarrollar las matemticas que siguen. Despus, el texto retoma la aplicacin en una seccin cercana al final del captulo. Un fuerte nfasis geomtrico En el curso, todos los conceptos importantes reciben una interpretacin geomtrica, debido a que muchos estudiantes aprenden de mejor manera cuando pueden visualizar una idea. Existe una cantidad sustancialmente mayor de ilustraciones de lo usual, y algunas de las figuras no han aparecido nunca antes en un texto de lgebra lineal. Ejemplos En contraste con lo que se acostumbra en la mayor parte de los libros de lgebra, este texto dedica una proporcin ms grande de su material de exposicin a ejemplos. Existen ms ejemplos de los que ordinariamente presentara un profesor en clase. Pero como han sido escritos con cuidado y de manera detallada, los estudiantes pueden leerlos por s mismos. xiv Prefacio 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xiv 10/13/06 12:08:11 AM

16. Prefacio xv Teoremas y demostraciones Los resultados importantes se establecen como teoremas. Otros conceptos tiles se des- pliegan dentro de recuadros iluminados para utilizarse como referencias rpidas. La mayor parte de los teoremas tienen comprobaciones formales, escritas pensando en los alumnos principiantes. En algunos casos, los clculos esenciales de una comprobacin se muestran en un ejemplo seleccionado cuidadosamente. Algunas verificaciones de rutina se dejan para la seccin de ejercicios, cuando esto resulta benfico para los estudiantes. Problemas de prctica Antes de cada serie de ejercicios aparecen algunos problemas de prctica seleccionados en forma cuidadosa. La serie de ejercicios va seguida por soluciones completas. Estos problemas se enfocan en dificultades potenciales que pueden encontrarse en la serie de ejercicios o proporcionan un calentamiento para la ejecucin posterior de los ejercicios; con frecuencia, las soluciones contienen sugerencias o advertencias tiles acerca de la tarea. Ejercicios La abundancia de ejercicios incluye desde clculos de rutina hasta preguntas conceptuales que requieren de mayor reflexin. Un buen nmero de preguntas innovadoras destacan las dificultades conceptuales que el autor ha encontrado en los estudiantes a travs de los aos. Cada serie de ejercicios se organiza cuidadosamente, en el mismo orden general que el texto: las asignaciones de tarea pueden encontrarse con facilidad cuando slo se ha estudiado una parte de determinada seccin. Una caracterstica notable de los ejercicios es su simplicidad numrica. Los problemas se desdoblan rpidamente, por lo que los estudiantes pasan poco tiempo realizando clculos numricos. Los ejercicios se concentran en inducir la comprensin de los temas, en vez de demandar clculos mecnicos. Preguntas de verdadero o falso Para estimular a los estudiantes a leer todo el texto y a pensar de manera crtica, se han desarrollado 300 preguntas simples del tipo verdadero o falso que aparecen en 33 secciones del texto, justo enseguida de los problemas computacionales. Estas preguntas pueden responderse directamente a partir del texto y preparan al estudiante para los problemas conceptuales que vienen despus. Los estudiantes aprecian estas preguntas luego de reconocer la importancia de leer el texto con cuidado. Con base en pruebas de clase y discusiones con estudiantes, se decidi no poner las respuestas en el texto. Para comprobar la comprensin del material, existen 150 preguntas adicionales del tipo verdadero o falso (casi siempre al final de los captulos.) El texto proporciona respuestas simples V/F a la mayor parte de estas preguntas, pero omite las justificaciones a las respuestas (que, por lo general, requieren de cierta reflexin). Ejercicios de escritura Para todos los estudiantes de lgebra lineal resulta esencial poseer la capacidad de escribir enunciados matemticos coherentes, no slo para quienes obtendrn un ttulo en matemticas. El texto incluye muchos ejercicios para los cuales parte de la respuesta consiste en proporcionar una justificacin escrita. Los ejercicios conceptuales que requieren una comprobacin corta contienen, por lo general, sugerencias que ayudan al estudiante a iniciar la bsqueda de la solucin. Para gran parte de los ejercicios de escritura con nmero impar, se incluye una solucin al final del texto o se proporciona una sugerencia. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xv 10/13/06 12:08:12 AM

17. Temas computacionales El texto acusa el impacto de la computadora tanto en el desarrollo como en la prctica del lgebra lineal en las ciencias y la ingeniera. Las frecuentes notas numeradas dirigen la atencin hacia aspectos de cmputo y distinguen entre conceptos tericos, digamos la inversin de matrices, e implementaciones de computadora, tales como las factorizaciones LU. CD ANEXO Y SOPORTE EN LA RED La edicin actualizada del texto incluye una copia completa (en ingls) de la Gua de estudio (Study Guide) en el CD anexo. Esta gua fue escrita para ser una parte integral del curso. Un cono SG en el texto dirige a los estudiantes a subsecciones especiales de la gua que sugieren cmo dominar los conceptos clave del curso. La gua proporciona una solucin detallada a cada tercer ejercicio con nmero impar, lo que permite a los estudiantes verificar su trabajo. Se proporciona una explicacin completa cada vez que un ejercicio de escritura con nmero impar tiene slo una sugerencia en las respuestas. Existen advertencias frecuentes que identifican los errores comunes y muestran cmo evitarlos. Los recuadros de MATLAB presentan comandos cada vez que uno de stos es necesario. Los apndices en la Gua de estudio proporcionan informacin comparable acerca de Maple, Mathematica y calculadoras grficas TI y HP. Inicio del trabajo con tecnologa Si su curso incluye algn trabajo con MATLAB, Maple, Mathematica o calculadoras TI o HP, puede leer uno de los proyectos que aqu se presentan para obtener una introduccin a la tecnologa. (Vea la pgina 104 del texto.) Archivos de datos Cientos de archivos contienen datos para alrededor de 900 ejercicios numricos incluidos en el texto, estudios de caso y proyectos de aplicacin. Los datos estn disponibles en una diversidad de formatos para MATLAB, Maple, Mathematica y las calculadoras grficas TI-83+/86/89 y HP48G. Al permitir a los estudiantes la introduccin de matrices y vectores para un problema en particular con unos cuantos golpes de tecla, los archivos de datos eliminan errores de entrada y ahorran tiempo en la realizacin de tareas. Nuevos proyectos de MATLAB Estos proyectos exploratorios invitan a los estudiantes a descubrir aspectos matemticos y numricos que son bsicos en lgebra lineal. Escritos por Rick Smith, fueron desa- rrollados para acompaar un curso computacional de lgebra lineal en University of Florida, donde se ha utilizado lgebra lineal y sus aplicaciones por muchos aos. Los proyectos estn sealados mediante el cono CD en puntos adecuados del texto. Alre- dedor de la mitad de los proyectos exploran conceptos fundamentales como el espacio de columna, la diagonalizacin, y las proyecciones ortogonales; otros se enfocan en aspectos numricos como los flops, mtodos iterativos, y la DVS, y algunos examinan aplicaciones como las cadenas de Markov. www.pearsoneducacion.net/lay Esta pgina web contiene el material incluido en el CD anexo, excepto la Gua de estudio y los nuevos proyectos de MATLAB. Adems, el sitio contiene el primer captulo xvi Prefacio 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xvi 10/13/06 12:08:13 AM

18. Prefacio xvii del texto actualizado y el primer captulo de la Gua de estudio (en ingls). Este material es proporcionado para ayudar a los profesores a iniciar con su curso, tal como si una librera distribuyera el texto justo antes de que las clases comenzaran. Para los estudiantes, el sitio en red contiene hojas de repaso y exmenes de prctica (con soluciones) que cubren los temas principales del texto. Provienen de manera directa de cursos que el autor ha impartido en los ltimos aos. Cada hoja de repaso identifica definiciones clave, teoremas y habilidades de una parte especfica del texto. Aplicaciones por captulos El sitio en la red tambin contiene siete casos de estudio, los cuales amplan los temas introducidos al inicio de cada captulo al agregar datos del mundo real y oportunidades para efectuar una exploracin ms profunda. Por otro lado, ms de veinte proyectos de aplicacin hacen extensivos los temas del texto o introducen nuevas aplicaciones, como ranuras cbicas, rutas de vuelo en aerolneas, matrices de dominancia en competencias deportivas, y cdigos de correccin de errores. Algunas aplicaciones matemticas son las tcnicas de integracin, la localizacin de races polinomiales, las secciones cni- cas, las superficies cuadrticas, y los extremos para funciones de dos variables. Tambin se incluyen temas de lgebra lineal numrica, como nmeros de condicin, factorizacin de matrices, y el mtodo QR para encontrar valores propios. Entrelazados en cada anlisis se encuentran ejercicios que pueden involucrar grandes series de datos (y por ende requerir el uso de la tecnologa para resolverlos). RECURSOS PARA EL PROFESOR Pgina de recursos para profesores En la pgina Web www.pearsoneducacion.net/lay el profesor tambin puede acceder a una pgina de descarga donde encontrar todos los archivos de los materiales que acom- paan al libro de texto. Entre otras cosas, esta pgina incluye: Manual de soluciones a los ejercicios del libro. Banco de exmenes en formato electrnico. Dos captulos adicionales a los del libro impreso. Manuales de las aplicaciones y calculadoras ms utilizadas. Curso de CourseCompass en lnea Este libro cuenta tambin con un curso precargado en CourseCompass, que es una plata- forma completa para cursos en lnea desarrollada por Blackboard Technologies y com- plementada con contenidos de Pearson Educacin. En sta el profesor puede asignar exmenes y tareas, organizar todos los materiales del curso, comunicarse con sus alumnos y administrar las calificaciones. Para mayor informacin, visite www.pearsoneducacion.net/coursecompass RECONOCIMIENTOS El autor expresa su gratitud a muchos grupos de personas que lo han ayudado a travs de los aos con diferentes aspectos del libro. Se agradece a Israel Gohberg y Robert Ellis por ms de quince aos de colaboracin en la investigacin del lgebra lineal, lo cual ha conformado en gran medida una visin particular de esta materia. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xvii 10/13/06 12:08:14 AM

19. Ha sido un privilegio trabajar con David Carlson, Charles Johnson, y Duane Porter en el Linear Algebra Curriculum Study Group. Sus ideas sobre la enseanza del lgebra lineal han influido en este texto de muchas maneras importantes. Agradezco de manera sincera a los siguientes revisores por su anlisis cuidadoso y sus sugerencias constructivas: Revisores de la tercera edicin y ejecutores de pruebas en clase David Austin, Grand Valley State University G. Barbanson, University of Texas at Austin Kenneth Brown, Cornell University David Carlson, San Diego State University Greg Conner, Brigham Young University Casey T. Cremins, University of Maryland Sylvie DesJardins, Okanagan University College Daniel Flath, University of South Alabama Yuval Flicker, Ohio State Universitv Scott Fulton, Clarkson University Herman Gollwitzer, Drexel University Jeremy Haefner, University of Colorado at Colorado Springs William Hager, University of Florida John Hagood, Northern Arizona University Willy Hereman, Colorado School of Mines Alexander Hulpke, Colorado State University Doug Hundley, Whitman College James F. Hurley, University of Connecticut Jurgen Hurrelbrink, Louisiana State University Jerry G. Ianni, La Guardia Community College (CUNY) Hank Kuiper, Arizona State University Ashok Kumar, Valdosta State University Earl Kymala, California State University, Sacramento Kathryn Lenz, University of Minnesota-Duluth Jaques Lewin, Syracuse University En-Bing Lin, University of Toledo Andrei Maltsev, University of Maryland Abraham Mantell, Nassau Community College Madhu Nayakkankuppam, University of Maryland-Baltimore County Lei Ni, Stanford University Gleb Novitchkov, Penn State University Ralph Oberste-Vorth, University of South Florida Dev Sinha, Brown University Wasin So, San Jose State University Ron Solomon, Ohio State University Eugene Spiegel, University of Connecticut Alan Stein, University of Connecticut James Thomas, Colorado State University Brian Turnquist, Bethel College Michael Ward, Western Oregon University Bruno Welfert, Arizona State University Jack Xin, University of Texas at Austin Para esta actualizacin de la tercera edicin, agradezco a Thomas Polaski, de Win- throp University, quien revis materiales complementarios de la tercera edicin y siempre estuvo dispuesto a dar un consejo. Tambin estoy agradecido con Rick Smith, de University of Florida, por adaptar sus proyectos de MATLAB para la actualizacin, y con Jeremy Case, de Taylor University, por su ayuda con los proyectos. Por ltimo, agradezco a todo el personal de Addison-Wesley por su trabajo en esta actualizacin. David C. Lay xviii Prefacio 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xviii 10/13/06 12:08:15 AM

20. xix Nota para los estudiantes Este curso puede ser el ms interesante y valioso entre todas las clases de matemticas que pueden cursarse durante los estudios universitarios. De hecho, algunos estudiantes me han escrito o hablado despus de graduarse y an utilizan de manera ocasional este texto como una referencia en sus carreras en varias corporaciones importantes y en escuelas de posgrado en ingeniera. Los siguientes comentarios ofrecen algunos con- sejos prcticos e informacin que pueden ayudarle a dominar el material y a disfrutar el curso. En lgebra lineal, los conceptos son tan importantes como los clculos. Los ejercicios numricos simples que inician cada serie de ejercicios slo ayudan a verificar su comprensin de los procedimientos bsicos. Posteriormente, en su carrera, las computadoras realizarn los clculos, pero ser necesario elegir los adecuados, saber cmo interpretar los resultados, y despus explicar las soluciones a otras personas. Por esta razn, en el texto muchos ejercicios le piden explicar o justificar los clculos realizados. Con frecuencia se solicita una explicacin escrita como parte de la respuesta. Para la gran mayora de los ejercicios con nmero impar, encontrar la explicacin deseada o al menos una buena sugerencia. Debe evitar la tentacin de buscar las respuestas a los ejercicios hasta no haber intentado escribir una solucin por usted mismo. De otra manera, es posible considerar que algo ha sido comprendido an cuando en realidad no sea as. Para dominar los conceptos del lgebra lineal, es necesario leer y releer el texto con sumo cuidado. Los trminos nuevos se presentan en negritas, algunas veces encerrados en recuadros de definicin.Al final del texto se incluye un glosario de trminos. Los conceptos importantes se establecen como teoremas o se incluyen en recuadros iluminados, para utilizarse como referencia rpida. Es recomendable leer las cuatro primeras pginas del prefacio para aprender ms sobre la estructura del texto. Esto le proporcionar un marco para comprender la manera en que se desarrollar el curso. En sentido prctico, el lgebra lineal es un lenguaje. Este lenguaje debe aprenderse de la misma forma en que se aprende un idioma extranjero con trabajo diario. El material presentado en una seccin no se comprende con facilidad a menos que se haya estudiado por completo el texto y se hayan resuelto los ejercicios de las secciones pre- vias. Por eso es necesario mantenerse al corriente con el curso, lo cual le ahorrar mucho tiempo y angustia. 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xix 10/13/06 12:08:16 AM

21. Notas numricas Se recomienda leer las notas numricas incluidas en el texto, incluso si no se est utilizando una computadora o calculadora grfica junto con el libro. En la vida real, la mayor parte de las aplicaciones de lgebra lineal implican clculos que estn sujetos a algn error numrico, an cuando dicho error pueda ser muy pequeo. Las notas numricas le advertirn acerca de dificultades potenciales al utilizar posteriormente el lgebra lineal en su carrera, y si estudia estas notas ahora, existe una mayor posibilidad de que las recuerde despus. Si el lector disfruta la lectura de las notas numricas, es posible que luego desee tomar un curso de lgebra numrica. Debido a la alta demanda de mayor poder computacional, los cientficos en computacin y los matemticos trabajan en el lgebra lineal numrica para desarrollar algoritmos ms rpidos y confiables con qu realizar clculos, y los ingenieros elctricos disean computadoras ms rpidas y pequeas para ejecutar los algoritmos. Este campo resulta estimulante, y su primer curso en lgebra lineal lo ayudar a prepararse para abordarlo. xx Nota para los estudiantes 00 Maq. Prelimi(LAY).indd xx 10/13/06 12:08:16 AM

22. Cifras de inflexin, WEB 223 Interpolacin de polinomios, WEB 27, 184 Isomorfismo, 177, 251 Matriz jacobiana, WEB 209 Polinomio de Laguerre, 261 Transformadas de Laplace, 140, 202 Polinomio de Legendre, 436 Transformaciones lineales en clculo, 232-233, 329-330 Secuencia de Lucas, WEB 325 Ranuras, WEB 26 Desigualdad del tringulo, 433 Polinomios trigonomtricos, 440 lgebra lineal numrica Matriz de banda, 151 Matriz diagonal en bloques, 138, 140 Factorizacin de Cholesky, 462, 492 Matriz compaera, 372 Nmeros de condicin, 131-132, WEB 131, 133-134, 200, 445, 478 Rango efectivo, 268, 474 Aritmtica de punto flotante, 10, 23, 211 Subespacios fundamentales, 270, 380, 479 Rotacin de Givens, 104 Matriz de Gram, 492 Matriz de Hilbert, 134 Reflexin de Householder, 184, 444 Matriz mal condicionada (problema), 131, 414 Mtodo de potencia inversa, 366-368 Mtodos iterativos, 363-370 Mtodo de Jacobi para los valores propios, 317 LAPACK, 115, 138 Problemas a gran escala, 106, 138, 374 Factorizacin LU, 142-146, 149, WEB 150, 486 Conteos de operacin, 23, 125, 143-144, 146, 190, 195 Productos externos, 117, 136 Procesamiento paralelo, 2, 116 Pivoteo parcial, 20, 146 Descomposicin polar, 492 Mtodo de potencia, 363-366 Potencias de una matriz, WEB 114 Seudoinversa, 480, 492 Algoritmo QR, 318, 368 Factorizacin QR WEB 150, 405-407, WEB 405, 445 Factorizacin para revelacin del rango 150, 300, 486 Teorema del rango, WEB 265, 271 Cociente de Rayleigh, 369, 445 Error relativo, 445 Complemento de Schur, 139 Factorizacin de Schur, 445 Descomposicin en valores singulares, 150, WEB 447, 471-482 Matriz dispersa, 106, 155, 195 Descomposicin espectral, 453 Factorizacin espectral, 150 Matriz tridiagonal, 151 Matriz de Vandermonde, 184, 212, 372 Arquitectura de tubera vectorial, 138 Ciencias fsicas Viga en voladizo, 286 Centro de gravedad, 39 Reacciones qumicas, 59-60, 63 Malla de cristal, 248, 255 Descomposicin de una fuerza, 389 Sonido grabado digitalmente, 278 Eliminacin Gaussiana, 14 Ley de Hooke, 120 Interpolacin de polinomios, WEB 26, 184 Primera ley de Kepler, 426 Imagen de satlite, 447 Modelos lineales en geologa y geografa, 423-424 Estimacin de la masa para sustancias radiactivas, 425 Sistema de masa y resorte, 223-224, 244 Modelo para circos glaciales, 423 Modelo para el pH del suelo, 423 Matrices de giro de Pauli, 183 Movimiento peridico, 335 Formas cuadrticas en fsica, 456 Datos de radar, 140 Datos ssmicos, 2 Sonda espacial, 140 Flujo de calor de estado estable, 12, 101, WEB 150 Principio de superposicin, 77, 96, 354 Ecuacin de los tres momentos, 286 Flujo de trfico, WEB 61-62, 64 Superficie de tendencia, 423 Clima, 296 Experimento en tnel de viento, 27 Estadstica Anlisis de varianza, 412 Covarianza, 484-485, 489 Rango completo, 270 Bloques de Helmert, 374 Error de mnimos cuadrados, 413 Lnea de mnimos cuadrados, WEB 373, 419-421 Modelo lineal en estadstica, 419-425 Cadenas de Markov, 288-298, 310 Forma de desviacin media para los datos, 421, 484 Inversa de Moore-Penrose, 480 Procesamiento de imgenes multicanal, 447-448, 483-484, 489 Regresin mltiple, 423-424 Polinomios ortogonales, 431 Regresin ortogonal, 491 Potencias de una matriz, WEB 114 Anlisis del componente principal, 447-448, 485-487 Formas cuadrticas en estadstica, 456 Reajuste del Nivel de Referencia Norteamericano, 373-374 Coeficientes de regresin, 419 Sumas de cuadrados (en regresin), 427, 437-438 Anlisis de tendencia, 438-440 Varianza, 427, 485 Mnimos cuadrados ponderados, 428, 436-438 00 Maq. Prelimi(LAY).indd i 10/13/06 12:08:01 AM

24. 1 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal EJEMPLO INTRODUCTORIO Modelos lineales en economa e ingeniera A finales del verano de 1949 Wassily Leontief, profesor de Harvard, introdujo cuidadosamente la ltima de sus tarjetas perforadas en la computadora de la universidad, la Mark II. Las tarjetas contenan informacin acerca de la economa de Estados Unidos, y representaban un resumen de ms de 250,000 piezas de informacin producidas por la oficina encargada de las estadsticas laborales en Estados Unidos despus de dos aos de trabajo intenso. Leontief haba dividido la economa de Estados Unidos en 500 sectores, tales como la industria del carbn, la industria automotriz, las comunicaciones, etc. Para cada sector, escribi una ecuacin lineal que describa la forma en que dicho sector distribua sus salidas hacia otros sectores de la economa. Debido a que la Mark II, una de las computadoras ms grandes de la poca, no poda manejar el sistema resultante de 500 ecuaciones y 500 incgnitas, Leontief haba condensado el problema en un sistema de 42 ecuaciones y 42 incgnitas. La programacin de la computadora Mark II para las 42 ecuaciones de Leontief requiri varios meses de esfuerzo, y l estaba ansioso por ver cunto tiempo le tomara a la mquina resolver el problema. La Mark II zumb y destell durante 56 horas hasta que finalmente produjo una solucin. La naturaleza de esta solucin se analizar en las secciones 1.6 y 2.6. Leontief, quien recibi el Premio Nobel de Economa en 1973, abri la puerta a una nueva era en el modelado matemtico de la economa. Sus esfuerzos desplegados en Harvard en 1949 marcaron uno de los primeros usos significativos de las computadoras para analizar lo que entonces era un modelo matemtico a gran escala. Desde entonces, los investigadores de muchos otros campos han empleado computadoras para analizar modelos matemticos. Debido a las masivas cantidades de datos involucrados, por lo general, los modelos son lineales; esto es, se describen mediante sistemas de ecuaciones lineales. La importancia del lgebra lineal para las aplicaciones se ha elevado en proporcin directa al aumento del poder de las computadoras, cada nueva generacin de equipo y programas de cmputo dispara una demanda de capacidades an mayores. WEB 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 1 10/13/06 12:12:47 AM

25. L os sistemas de ecuaciones lineales se encuentran en el corazn del lgebra lineal, y este captulo los utiliza para introducir algunos de los conceptos centrales del lgebra lineal de una manera simple y concreta. En las secciones 1.1 y 1.2 se presenta un mtodo sistemtico para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Este algoritmo se utilizar para realizar clculos a lo largo del texto. En las secciones 1.3 y 1.4 se muestra cmo un sistema de ecuaciones lineales es equivalente a una ecuacin vectorial y a una ecuacin matricial. Esta equivalencia reducir problemas que involucran combi- naciones lineales de vectores a preguntas sobre los sistemas de ecuaciones lineales. Los conceptos fundamentales de generacin, independencia lineal y transformaciones lineales, que se estudian en la segunda mitad del captulo, desempearn un papel esencial a lo largo del texto mientras se explora la belleza y el poder del lgebra lineal. 1.1 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Una ecuacin lineal en las variables x1, . . . , xn es una ecuacin que puede escribirse de la forma a1x1 + a2x2 + + anxn = b (1) donde b y los coeficientes a1, . . . , an son nmeros reales o complejos, por lo general co- nocidos. El subndice n puede ser cualquier entero positivo. En los ejemplos y ejercicios del libro, n est normalmente entre 2 y 5. En los problemas de la vida real, n puede ser igual a 50, 5000, o incluso a valores ms grandes. Por lo tanto, la ciencia de las computadoras est slidamente ligada al lgebra lineal mediante el crecimiento explosivo de los procesamientos paralelos de datos y los clculos a gran escala. Los cientficos e ingenieros trabajan ahora en problemas mucho ms complejos de lo que crean posible hace unas cuantas dcadas. En la actualidad, el lgebra lineal tiene para los estudiantes universitarios un mayor valor potencial en muchos campos cientficos y de negocios que cualquier otra materia de matemticas. El material incluido en este texto proporciona la base para un trabajo posterior en muchas reas interesantes. A continuacin se presentan unas cuantas posibilidades; posteriormente se describirn otras. Exploracin petrolera. Cuando un barco busca depsitos submarinos de petrleo, diariamente sus computadoras resuelven miles de sistemas de ecuaciones lineales por separado. La informacin ssmica para elaborar las ecuaciones se obtiene a partir de ondas de choque submarinas creadas mediante explosiones con pistolas de aire. Las ondas rebotan en las rocas que hay bajo la superficie marina y se miden empleando gefonos conectados a extensos cables instalados debajo del barco. Programacin lineal. En la actualidad, muchas decisiones administrativas importantes se toman con base en modelos de programacin lineal que utilizan cientos de variables. Por ejemplo, la industria de las aerolneas emplea programas lineales para crear los itinerarios de las tripulaciones de vuelo, monitorear las ubicaciones de los aviones, o planear los diversos programas de servicios de apoyo como mantenimiento y operaciones en terminal. Redes elctricas. Los ingenieros utilizan programas de cmputo de simulacin para disear circuitos elctricos y microchips que incluyen millones de transistores. Estos programas utilizan tcnicas de lgebra lineal y sistemas de ecuaciones lineales. 2 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 2 10/13/06 12:12:56 AM

26. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 3 Las ecuaciones 4x1 5x2 + 2 = x1 y x2 = 2 6 x1 + x3 son ambas lineales porque pueden reordenarse algebraicamente como en la ecuacin (1): 3x1 5x2 = 2 y 2x1 + x2 x3 = 2 6 Las ecuaciones 4x1 5x2 = x1x2 y x2 = 2 x1 6 no son lineales debido a la presencia de x1x2 en la primera ecuacin y x1 en la segunda. Un sistema de ecuaciones lineales (o sistema lineal) es una coleccin de una o ms ecuaciones lineales que involucran las mismas variables digamos, x1, . . . , xn. Un ejemplo es 2x1 x2 + 1.5x3 = 8 x1 4x3 = 7 (2) Una solucin del sistema es una lista (s1, s2, . . . , sn) de nmeros que hacen de cada ecuacin un enunciado verdadero cuando los valores s1, . . . , sn sustituyen, respectivamente, a x1, . . . , xn. Por ejemplo, (5, 6.5, 3) es una solucin del sistema (2) porque, cuando estos valores sustituyen en (2) a x1, x2 y x3, respectivamente, las ecuaciones se simplifican a 8 = 8 y 7 = 7. El conjunto de todas las soluciones posibles se llama conjunto solucin del sistema lineal. Se dice que dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucin. Esto es, cada solucin del primer sistema es una solucin del segundo sistema, y cada solucin del segundo sistema es una solucin del primero. Determinar el conjunto solucin de un sistema de dos ecuaciones lineales resulta sencillo porque consiste en localizar la interseccin de dos rectas. Un problema tpico es x1 2x2 = 1 x1 + 3x2 = 3 Las grficas de estas ecuaciones son rectas, las cuales se denotan mediante 1 y 2. Un par de nmeros (x1, x2) satisface las dos ecuaciones de este sistema si, y slo si, el pun- to (x1, x2) pertenece tanto a 1 como a 2. En el sistema anterior, la solucin es el punto nico (3, 2), lo cual puede verificarse con facilidad. Vea la figura 1. FIGURA 1 Exactamente una solucin. 2 3 x2 x1 l1 l2 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 3 10/13/06 12:12:57 AM

27. 4 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal x1 2x2 + x3 = 0 2x2 8x3 = 8 4x1 + 5x2 + 9x3 = 9 1 2 1 0 2 8 4 5 9 Por supuesto, la interseccin de dos rectas no debe darse necesariamente en un solo punto las rectas pueden ser paralelas o coincidir y, por lo tanto, intersecar en todos los puntos sobre la recta. En la figura 2 se muestran las grficas que corresponden a los siguientes sistemas: Las figuras 1 y 2 ilustran los siguientes hechos generales acerca de los sistemas lineales, los cuales sern verificados en la seccin 1.2. Un sistema de ecuaciones lineales puede 1. no tener solucin, o 2. tener exactamente una solucin, o 3. tener una cantidad infinita de soluciones. Se dice que un sistema de ecuaciones lineales es consistente si tiene una solucin o una infinidad de soluciones; un sistema es inconsistente cuando no tiene ninguna solucin. Notacin matricial La informacin esencial de un sistema lineal puede registrarse de manera compacta en un arreglo rectangular llamado matriz. Dado el sistema (3) con los coeficientes de cada variable alineados en columnas, la matriz FIGURA 2 (a) Sin solucin. (b) Con infinidad de soluciones. 2 3 x2 x1 l1 l2 (a) 2 3 x2 x1 l1 (b) x1 2x2 = 1 x1 2x2 = 1 x1 + 2x2 = 3 x1 + 2x2 = 1 (a) (b) 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 4 10/13/06 12:12:58 AM

28. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 5 se denomina matriz coeficiente (o matriz de coeficientes) del sistema (3), y (4) se denomina matriz aumentada del sistema. (Aqu, la segunda fila contiene un cero porque la segunda ecuacin podra escribirse como 0x1 + 2x2 8x3 = 8.) La matriz aumentada de un sistema consta de su matriz de coeficientes con una columna adicional que contiene las constantes de los lados derechos de las ecuaciones. El tamao de una matriz indica el nmero de filas y columnas que la integran. La matriz aumentada (4) que se present lneas arriba tiene 3 filas y 4 columnas y se conoce como una matriz de 3 4 (se lee 3 por 4). Si m y n son enteros positivos, una matriz m n es un arreglo rectangular de nmeros con m filas y n columnas. (El nmero de filas siempre va primero.) La notacin matricial simplificar los clculos de los ejemplos que se presentan enseguida. Resolucin de un sistema lineal En esta seccin y en la siguiente se describe un algoritmo, o procedimiento sistemtico, para resolver sistemas lineales. La estrategia bsica es reemplazar un sistema con un sistema equivalente (es decir, uno con el mismo conjunto solucin) que sea ms fcil de resolver. Dicho de manera sencilla, utilice el trmino x1 que est presente en la primera ecuacin de un sistema para eliminar los trminos x1 que haya en las otras ecuaciones. Des- pus use el trmino x2 presente en la segunda ecuacin para eliminar los trminos x2 en las otras ecuaciones, y as sucesivamente, hasta que obtenga un sistema de ecuaciones equivalente muy simple. Para simplificar un sistema lineal se utilizan tres operaciones bsicas: reemplazar una ecuacin mediante la suma de la propia ecuacin y un mltiplo de otra ecuacin, intercambiar dos ecuaciones, y multiplicar todos los trminos de una ecuacin por una constante distinta de cero. Despus del primer ejemplo, se ver por qu estas tres operaciones no cambian el conjunto solucin del sistema. EJEMPLO 1 Resuelva el sistema (3). Solucin El procedimiento de eliminacin se muestra enseguida con y sin notacin matricial, y los resultados se colocan uno junto al otro para compararlos: Mantenga x1 en la primera ecuacin y elimnela de las otras ecuaciones. Para hacer esto, sume 4 veces la ecuacin 1 a la ecuacin 3. Por lo general, luego de alguna prctica este tipo de clculos se realizan mentalmente: x1 2x2 + x3 = 0 2x2 8x3 = 8 4x1 + 5x2 + 9x3 = 9 1 2 1 0 0 2 8 8 4 5 9 9 4[ecuacin 1]: + [ecuacin 3]: [nueva ecuacin 3]: 4x1 8x2 + 4x3 = 0 4x1 + 5x2 + 9x3 = 9 3x2 + 13x3 = 9 1 2 1 0 0 2 8 8 4 5 9 9 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 5 10/13/06 12:12:59 AM

29. 6 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal El resultado de este clculo se escribe en lugar de la tercera ecuacin original: Ahora, multiplique la ecuacin 2 por 1/2 para obtener 1 como el coeficiente para x2. (Este clculo simplificar la aritmtica del siguiente paso.) Utilice x2 en la ecuacin 2 para eliminar 3x2 en la ecuacin 3. El clculo mental es El nuevo sistema tiene una forma triangular:1 Al final, se desear eliminar el trmino 2x2 de la ecuacin 1, pero resulta ms eficiente utilizar primero x3 en la ecuacin 3, para eliminar los trminos 4x3 y +x3 en las ecuaciones 2 y 1. Los dos clculos mentales son Es conveniente combinar los resultados de estas dos operaciones: Ahora, despus de haber limpiado la columna que est sobre la x3 en la ecuacin 3, regrese a la x2 en la ecuacin 2 y sela para eliminar el 2x2 ubicado sobre ella. Debido al trabajo previo realizado con x3, ahora no existe ninguna operacin que involucre a trminos de x3. 1En la prxima seccin, el trmino intuitivo triangular se reemplazar por uno ms preciso. x1 2x2 + x3 = 0 x2 4x3 = 4 3x2 + 13x3 = 9 1 2 1 0 0 1 4 4 0 3 13 9 3[ecuacin 2]: 3x2 12x3 = 12 + [ecuacin 3]: 3x2 + 13x3 = 9 [nueva ecuacin 3]: x3 = 3 x1 2x2 + x3 = 0 x2 4x3 = 4 x3 = 3 1 2 1 0 0 1 4 4 0 0 1 3 4[ec. 3]: + [ec. 2]: [nueva ec. 2]: 4x3 = 12 x2 4x3 = 4 x2 = 16 1[ec. 3]: + [ec. 1]: [nueva ec. 1]: x3 = 3 x1 2x2 + x3 = 0 x1 2x2 = 3 x1 2x2 = 3 x2 = 16 x3 = 3 1 2 0 3 0 1 0 16 0 0 1 3 x1 2x2 + x3 = 0 2x2 8x3 = 8 3x2 + 13x3 = 9 1 2 1 0 0 2 8 8 0 3 13 9 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 6 10/13/06 12:13:00 AM

30. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 7 Sume dos veces la ecuacin 2 a la ecuacin 1 para obtener el sistema En esencia, el trabajo ya est hecho. Se observa que la solucin nica del sistema original es (29, 16, 3). Sin embargo, como hay muchos clculos involucrados, resulta una buena prctica verificar las operaciones. Para comprobar que (29, 16, 3) es una solucin, sustituya estos valores en el lado izquierdo del sistema original, y calcule: Los resultados coinciden con el lado derecho del sistema original, as que (29, 16, 3) es una solucin del sistema. En el ejemplo 1 se ilustra cmo, en un sistema lineal, las operaciones sobre ecuaciones corresponden a las operaciones sobre las filas apropiadas de la matriz aumentada. Las tres operaciones bsicas mencionadas con anterioridad corresponden a las siguientes operaciones sobre la matriz aumentada. OPERACIONES ELEMENTALES DE FILA 1. (Reemplazo) Reemplazar una fila por la suma de s misma y un mltiplo de otra fila.2 2. (Intercambio) Intercambiar dos filas. 3. (Escalamiento) Multiplicar todas las entradas de una fila por una constante distinta de cero. Las operaciones de fila pueden aplicarse a cualquier matriz, no nicamente a una que surja como la matriz aumentada de un sistema lineal. Se dice que dos matrices son equivalentes por filas si existe una sucesin de operaciones elementales de fila que convierta una matriz en la otra. Es importante advertir que las operaciones de fila son reversibles. Si dos filas se intercambian, pueden regresarse a sus posiciones originales mediante otro intercambio. Si una fila se escala mediante una constante c distinta de cero, al multiplicar despus la nueva fila por 1/c se obtiene la fila original. Por ltimo, considere una operacin de reemplazo que involucra dos filas por ejemplo, las filas 1 y 2 y suponga que a la fila 2 se le suma la fila 1 multiplicada por c para producir un nueva fila 2. Si desea revertir esta operacin, sume a la nueva fila 2 la fila 1 multiplicada por c y obtenga la fila 2 original. Vea los ejercicios 29 a 32 al final de esta seccin. Por el momento, nuestro inters reside en las operaciones de fila sobre la matriz aumentada de un sistema de ecuaciones lineales. Suponga un sistema que se transforma en otro nuevo mediante operaciones de fila. (29, 16, 3) Cada una de las ecuaciones originales determina un plano en el espacio tridimensional. El punto (29, 16, 3) pertenece a los tres planos. 2Una parfrasis comn del reemplazo de una fila es sumar a una fila un mltiplo de otra fila. x1 = 29 x2 = 16 x3 = 3 1 0 0 29 0 1 0 16 0 0 1 3 (29) 2(16) + (3) = 29 32 + 3 = 0 2(16) 8(3) = 32 24 = 8 4(29) + 5(16) + 9(3) = 116 + 80 + 27 = 9 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 7 10/13/06 12:13:00 AM

31. 8 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Al considerar cada uno de los tipos de operaciones de fila, puede advertirse que cualquier solucin del sistema original contina siendo una solucin del sistema nuevo. Asi- mismo, como el sistema original puede producirse mediante operaciones de fila sobre el sistema nuevo, cada una de las soluciones del sistema nuevo tambin es una solucin del sistema original. Esta explicacin justifica el hecho siguiente. Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas tienen el mismo conjunto solucin. Aunque el ejemplo 1 es extenso, puede afirmarse que, despus de algn tiempo de prctica, los clculos se ejecutan con rapidez. Por lo general, en el texto y en los ejercicios las operaciones de fila sern muy fciles de realizar, lo cual permitir que el estudiante se enfoque en los conceptos importantes. No obstante, se recomienda aprender a realizar operaciones de fila de manera precisa porque se utilizarn a lo largo de todo el libro. En el resto de esta seccin se muestra cmo utilizar las operaciones de fila para determinar el tamao de un conjunto solucin, sin resolver por completo el sistema lineal. Preguntas de existencia y unicidad En la seccin 1.2 se estudiar porqu un conjunto solucin para un sistema lineal puede no contener ninguna solucin, contener solamente una solucin, o contener una infinidad de soluciones. Para determinar cul posibilidad es verdadera para un sistema en particular, se formulan dos preguntas. DOS PREGUNTAS FUNDAMENTALES ACERCA DE UN SISTEMA LINEAL 1. El sistema es consistente? Es decir, existe al menos una solucin? 2. Si existe solucin, slo hay una? Esto es, la solucin es nica? Estas dos preguntas aparecern a lo largo del texto en muchas formas diferentes. En esta seccin y en la prxima, se mostrar cmo contestarlas mediante operaciones de fila sobre la matriz aumentada. EJEMPLO 2 Determine si el siguiente sistema es consistente: Solucin ste es el sistema del ejemplo 1. Suponga que se realizan las operaciones necesarias para obtener la forma triangular En este punto ya se conoce x3; si su valor se sustituyera en la ecuacin 2, sera posible calcular x2 y, por ende, se podra determinar x1 a partir de la ecuacin 1. Por lo tanto, x1 2x2 + x3 = 0 x2 4x3 = 4 x3 = 3 1 2 1 0 0 1 4 4 0 0 1 3 x1 2x2 + x3 = 0 2x2 8x3 = 8 4x1 + 5x2 + 9x3 = 9 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 8 10/13/06 12:13:01 AM

32. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 9 existe una solucin; y el sistema es consistente. (De hecho, x2 se determina nicamente con la ecuacin 2 puesto que x3 tiene un solo valor posible, y por lo tanto x1 se resuelve solamente a partir de la ecuacin 1. De manera que la solucin es nica.) EJEMPLO 3 Determine si el siguiente sistema es consistente: (5) Solucin La matriz aumentada es Para obtener una x1 en la primera ecuacin, se intercambian las filas 1 y 2: Para eliminar el trmino 5x1 en la tercera ecuacin, se agrega a la fila 3 la fila 1 multiplicada por 5/2: (6) Enseguida, utilice el trmino x2 en la segunda ecuacin para eliminar el trmino (1/2)x2 de la tercera ecuacin. Sume a la fila 3 la fila 2 multiplicada por 1/2: (7) Ahora, la matriz aumentada est en forma triangular. Para interpretarla de manera correcta, regrese a la notacin con ecuaciones: (8) La ecuacin 0 = 5/2 es una forma corta de 0x1 + 0x2 + 0x3 = 5/2. Desde luego, este sistema en forma triangular tiene una contradiccin. No existen valores de x1, x2, x3 que satisfagan (8) porque la ecuacin 0 = 5/2 nunca es verdadera. Como (8) y (5) tienen el mismo conjunto solucin, el sistema original es inconsistente (es decir, no tiene solucin). Preste atencin especial a la matriz aumentada en (7). Su ltima fila es tpica de un sistema inconsistente en forma triangular. 2 3 2 1 0 1 4 8 0 1/2 2 3/2 x2 4x3 = 8 2x1 3x2 + 2x3 = 1 5x1 8x2 + 7x3 = 1 0 1 4 8 2 3 2 1 5 8 7 1 2 3 2 1 0 1 4 8 5 8 7 1 2 3 2 1 0 1 4 8 0 0 0 5/2 2x1 3x2 + 2x3 = 1 x2 4x3 = 8 0 = 5/2 Este sistema es inconsistente porque no existe un punto que pertenezca de manera simultnea a los tres planos. 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 9 10/13/06 12:13:02 AM

33. 10 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal P R O B L E M A S D E P R C T I C A A lo largo del texto, debe intentar resolver los problemas de prctica antes de trabajar con los ejercicios. Despus de cada serie de ejercicios se presentan las soluciones. 1. Exprese con sus propias palabras la siguiente operacin elemental de fila que debe realizarse para resolver los sistemas presentados a continuacin. [Para (a), existe ms de una respuesta posible.] 2. La matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transformada mediante operaciones de fila a la forma que se presenta a continuacin. Determine si el sistema es consistente. 3. Es (3, 4, 2) una solucin del siguiente sistema? 4. Para cules valores de h y k es consistente el siguiente sistema? NOTA NUMRICA En problemas reales, los sistemas de ecuaciones lineales se resuelven empleando una computadora. Para una matriz de coeficientes cuadrada, los programas de cmpu- to casi siempre usan el algoritmo de eliminacin que se presenta aqu en la seccin 1.2, con pequeas modificaciones para mejorar su precisin. La gran mayora de los problemas de lgebra lineal que se presentan en los negocios y la industria se resuelven con programas que utilizan la aritmtica de punto flotante. Los nmeros se representan como decimales .d1 dp 10r, donde r es un entero y el nmero p de dgitos a la derecha del punto decimal usualmente se encuentra entre 8 y 16. Normalmente, las operaciones aritmticas con estos nmeros resultan inexactas, porque el resultado debe redondearse (o truncarse) al nmero de dgitos almacenados. El error de redondeo tambin se presenta cuando un nmero como 1/3 es introducido a la computadora, puesto que su representacin debe aproximarse mediante un nmero finito de dgitos. Por fortuna, las inexactitudes de la aritmtica de punto flotante muy pocas veces causan problemas. Las notas numricas incluidas en este libro lo prevendrn, ocasionalmente, sobre aspectos que podr necesitar tener en consideracin ms adelante en su carrera. a. x1 + 4x2 2x3 + 8x4 = 12 x2 7x3 + 2x4 = 4 5x3 x4 = 7 x3 + 3x4 = 5 b. x1 3x2 + 5x3 2x4 = 0 x2 + 8x3 = 4 2x3 = 3 x4 = 1 5x1 x2 + 2x3 = 7 2x1 + 6x2 + 9x3 = 0 7x1 + 5x2 3x3 = 7 1 5 2 6 0 4 7 2 0 0 5 0 2x1 x2 = h 6x1 + 3x2 = k 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 10 10/13/06 12:13:02 AM

34. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 11 Resuelva los sistemas de los ejercicios 1 a 4 usando las operaciones elementales de fila sobre las ecuaciones o sobre la matriz aumentada. Utilice el procedimiento de eliminacin sistemtica descrito en esta seccin. 3. Encuentre el punto (x1, x2) que pertenece tanto a la lnea x1 + 5x2 = 7 como a la lnea x1 2x2 = 2. Vea la figura. 4. Encuentre el punto de interseccin de las rectas x1 5x2 = 1 y 3x1 7x2 = 5. Considere cada matriz de los ejercicios 5 y 6 como la matriz aumentada de un sistema lineal. Exprese con sus propias palabras las siguientes dos operaciones elementales de fila que deben realizarse en el proceso para resolver el sistema. En los ejercicios 7 a 10, la matriz aumentada de un sistema lineal ha sido reducida mediante operaciones de fila a la forma que se muestra. En cada caso, ejecute las operaciones de fila apropiadas y describa el conjunto solucin del sistema original. 1.1 EJERCICIOS Resuelva los sistemas de los ejercicios 11 a 14. x1 + 3x3 = 2 x2 3x4 = 3 2x2 + 3x3 + 2x4 = 1 3x1 + 7x4 = 5 x1 2x4 = 3 2x2 + 2x3 = 0 x3 + 3x4 = 1 2x1 + 3x2 + 2x3 + x4 = 5 15. 16. 1 7 3 4 0 1 1 3 0 0 0 1 0 0 1 2 1 4 9 0 0 1 7 0 0 0 2 0 7. 8. 1 1 0 0 4 0 1 3 0 7 0 0 1 3 1 0 0 0 2 4 1 2 0 3 2 0 1 0 4 7 0 0 1 0 6 0 0 0 1 3 9. 10. x1 + 5x2 = 7 2x1 7x2 = 5 2x1 + 4x2 = 4 5x1 + 7x2 = 11 1. 2. 1 4 5 0 7 0 1 3 0 6 0 0 1 0 2 0 0 0 1 5 1 6 4 0 1 0 2 7 0 4 0 0 1 2 3 0 0 3 1 6 5. 6. x2 x1 x1 + 5x2 = 7 x1 2x2 = 2 x2 + 4x3 = 5 x1 + 3x2 + 5x3 = 2 3x1 + 7x2 + 7x3 = 6 x1 3x2 + 4x3 = 4 3x1 7x2 + 7x3 = 8 4x1 + 6x2 x3 = 7 x1 3x3 = 8 2x1 + 2x2 + 9x3 = 7 x2 + 5x3 = 2 x1 3x2 = 5 x1 + x2 + 5x3 = 2 x2 + x3 = 0 11. 12. 13. 14. Determine si los sistemas de los ejercicios 15 y 16 son consisten- tes. No resuelva los sistemas por completo. 17. Las tres rectas x1 4x2 = 1, 2x1 x2 = 3, y x1 3x2 = 4 tienen un punto de interseccin comn? Explique su respuesta. 18. Los tres planos x1 + 2x2 + x3 = 4, x2 x3 = 1, y x1 + 3x2 = 0 tienen al menos un punto de interseccin comn? Explique su respuesta. En los ejercicios 19 a 22, determine el valor o los valores de h tales que la matriz dada es la matriz aumentada de un sistema lineal consistente. 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 11 10/13/06 12:13:03 AM

35. 12 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal En los ejercicios 23 y 24, varios enunciados clave de esta seccin se citan directamente, se han modificado un poco (pero siguen siendo verdaderos), o se han alterado de alguna forma que los vuelve falsos en algunos casos. Marque cada enunciado como verdadero o falso y justifique su respuesta. (Si el enunciado es verdadero, d la ubicacin aproximada en el texto donde aparece uno similar o haga referencia a una definicin o teorema. Si es falso, d la ubicacin del enunciado que se cita o utiliza de manera inco- rrecta, o proporcione un ejemplo que muestre que no es verdadero en todos los casos.) En muchas secciones de este texto aparecern preguntas similares del tipo verdadero/falso. 23. a. Todas las operaciones elementales de fila son reversibles. b. Una matriz de 5 6 tiene seis filas. c. El conjunto solucin de un sistema lineal que incluya las variables x1, . . . , xn es una lista de nmeros (s1, . . . , sn) que hace de cada ecuacin del sistema un enunciado verdadero cuando los valores s1, . . . , sn sustituyen, respectivamente, a x1, . . . , xn. d. Las dos preguntas fundamentales acerca de un sistema lineal involucran la existencia y la unicidad. 24. a. En una matriz aumentada, las operaciones elementales de fila no cambian nunca el conjunto solucin del sistema lineal asociado. b. Dos matrices son equivalentes por filas cuando poseen el mismo nmero de filas. c. Un sistema inconsistente tiene ms de una solucin. d. Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen el mismo conjunto solucin. 25. Encuentre una ecuacin que involucre a g, h y k, la cual per- mita que esta matriz aumentada corresponda a un sistema consistente: 1 4 7 g 0 3 5 h 2 5 9 k 26. Construya tres matrices aumentadas diferentes de tres sistemas lineales cuyo conjunto solucin sea x1 = 2, x2 = 1, x3 = 0. 27. Suponga que el sistema presentado a continuacin es consistente para todos los valores posibles de f y g. Qu puede afirmarse acerca de los coeficientes c y d? Justifique su respuesta. x1 + 3x2 = f cx1 + dx2 = g 28. Suponga que a, b, c y d son constantes de tal forma que a es diferente de cero y el sistema presentado a continuacin es consistente para todos los valores posibles de f y g. Qu puede afirmarse acerca de los nmeros a, b, c y d? Justifique su respuesta. ax1 + bx2 = f cx1 + dx2 = g En los ejercicios 29 a 32, encuentre la operacin elemental de fila que transforma la primera matriz en la segunda, determine entonces la operacin de fila inversa que transforma la segunda matriz en la primera. Un aspecto importante en el estudio de la transferencia de calor es determinar la distribucin de la temperatura en estado estable sobre una placa delgada cuando se conoce la temperatura presente alrededor de los bordes. Suponga que la placa mostrada en la figura representa la seccin transversal de una viga de metal, con un flujo de calor insignificante en la direccin perpendicular a la placa. Sean T1, . . . , T4 las temperaturas en los cuatro nodos in- teriores de la malla que se muestra en la figura. En un nodo, la temperatura es aproximadamente igual al promedio de los cuatro nodos ms cercanos a la izquierda, arriba, a la derecha y abajo.3 Por ejemplo, 3Vea Frank M. White, Heat and Mass Transfer (Reading, MA: Addison-Wesley Publishing, 1991), pp. 145149. T1 = (10 + 20 + T2 + T4)/4, o 4T1 T2 T4 = 30 1 h 4 3 6 8 1 h 3 2 4 6 1 3 2 4 h 8 2 3 h 6 9 5 19. 20. 21. 22. 0 2 5 1 4 7 3 1 6 , 1 4 7 0 2 5 3 1 6 1 3 4 0 2 6 0 5 9 , 1 3 4 0 1 3 0 5 9 1 2 1 0 0 5 2 8 4 1 3 6 , 1 2 1 0 0 5 2 8 0 7 1 6 1 2 5 0 0 1 3 2 0 3 9 5 , 1 2 5 0 0 1 3 2 0 0 0 1 29. 30. 31. 32. 10 10 40 40 20 20 30 30 1 2 4 3 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 12 10/13/06 12:13:04 AM

36. 1.1 Sistemas de ecuaciones lineales 13 33. Escriba un sistema de cuatro ecuaciones cuya solucin proporcione un estimado para las temperaturas T1, . . . , T4. 34. Resuelva el sistema de ecuaciones del ejercicio 33. [Suge- rencia: Para acelerar los clculos, intercambie las filas 1 y 4 antes de comenzar las operaciones de reemplazo.] S O L U C I O N E S A L O S P R O B L E M A S D E P R C T I C A 1. a. Para realizar clculos a mano, lo mejor es intercambiar las ecuaciones 3 y 4. Otra posibilidad es multiplicar la ecuacin 3 por 1/5; o reemplazar la ecuacin 4 por su suma con la fila 3 multiplicada por 1/5. (En cualquier caso, no utilice x2 en la ecuacin 2 para eliminar 4x2 en la ecuacin 1. Espere hasta alcanzar la forma triangular y hasta que los trminos con x3 y x4 hayan sido eliminados de las primeras dos ecuaciones.) b. El sistema est en forma triangular. La simplificacin posterior comienza con x4 en la cuarta ecuacin. Utilice esta x4 para eliminar todos los trminos con x4 locali- zados arriba de ella. Ahora, el paso adecuado es sumar la ecuacin 4, multiplicada por 2, con la ecuacin 1. (Despus de esto, vaya a la ecuacin 3, multiplquela por 1/2, y utilice la ecuacin resultante para eliminar los trminos con x3 ubicados arriba de ella.) 2. El sistema correspondiente a la matriz aumentada es La tercera ecuacin vuelve x3 = 0, que ciertamente es un valor permisible para x3. Despus, al eliminar los trminos con x3 en las ecuaciones 1 y 2, es posible encontrar valores nicos para x2 y x1. Por lo tanto, existe una solucin y es nica. Compare esta situacin con la del ejemplo 3. 3. Resulta sencillo verificar si una lista especfica de nmeros es una solucin. Sean x1 = 3, x2 = 4, y x3 = 2, y encuentre que Aunque se satisfacen las primeras dos ecuaciones, la tercera no, entonces (3, 4, 2) no es una solucin al sistema. Observe el uso de parntesis cuando se hacen susti- tuciones, los cuales son muy recomendables como proteccin contra errores arit- mticos. 4. Cuando la segunda ecuacin se reemplaza por su suma con la primera ecuacin multiplicada por 3, el sistema se convierte en Si k + 3h es diferente de cero, el sistema no tiene solucin. El sistema es consistente para cualesquiera valores de h y k que produzcan k + 3h = 0. x1 + 5x2 + 2x3 = 6 4x2 7x3 = 2 5x3 = 0 5(3) (4) + 2(2) = 15 4 4 = 7 2(3) + 6(4) + 9(2) = 6 + 24 18 = 0 7(3) + 5(4) 3(2) = 21 + 20 + 6 = 5 2x1 x2 = h 0 = k + 3h Como (3, 4, 2) satisface las dos primeras ecuaciones, se encuentra sobre la lnea de interseccin de los dos primeros planos. Como (3, 4, 2) no satisface las tres ecuaciones, no pertenece a los tres planos. (3, 4, 2) 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 13 10/13/06 12:13:18 AM

37. 14 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal 1.2 REDUCCIN POR FILAS Y FORMAS ESCALONADAS En esta seccin se perfecciona el mtodo de la seccin 1.1 en un algoritmo de reduccin por filas que permitir analizar cualquier sistema de ecuaciones lineales.1 Las preguntas fundamentales de existencia y unicidad, expuestas en la seccin 1.1, podrn contestarse utilizando la primera parte del algoritmo. El algoritmo se aplica a cualquier matriz, ya sea vista como una matriz aumentada para un sistema lineal o no. Entonces, la primera parte de esta seccin trata acerca de una matriz rectangular arbitraria. Se comienza por introducir dos clases importantes de matrices que incluyen las matrices triangulares de la seccin 1.1. En las definiciones presentadas a continuacin, una fila o una columna distinta de cero en una matriz sern una fila o una columna que contengan al menos una entrada diferente de cero; una entrada principal de una fila se refiere a la entrada diferente de cero que se encuentra ms a la izquierda (en una fila distinta de cero). Una matriz escalonada (respectivamente, matriz escalonada reducida) es una matriz que est en forma escalonada (respectivamente, forma escalonada reducida). La propiedad 2 enuncia que las entradas principales forman un patrn escalonado (como escalera) que avanza hacia abajo y a la derecha de la matriz. La propiedad 3 es una simple consecuencia de la propiedad 2, pero se incluy aqu para enfatizarla. Las matrices triangulares de la seccin 1.1, tales como D E F I N I C I N Una matriz rectangular est en forma escalonada (o en forma escalonada por filas) si tiene las tres propiedades siguientes: 1. Todas las filas distintas de cero estn arriba de cualquier fila integrada slo por ceros. 2. Cada entrada principal de una fila est en una columna situada a la derecha de la entrada principal de la fila que se encuentra arriba de dicha entrada. 3. Todas las entradas que se localicen en una columna situada debajo de una entrada principal son ceros. Si una matriz en forma escalonada satisface las siguientes condiciones adicionales, entonces se encuentra en forma escalonada reducida (o forma escalonada reducida por filas): 4. La entrada principal de cada fila distinta de cero es 1. 5. Cada 1 principal es la nica entrada distinta de cero en su columna. 1Este algoritmo es una variacin de lo que se conoce comnmente como eliminacin gaussiana. Los matemticos chinos utilizaron un mtodo de eliminacin similar alrededor del ao 250 a.C. El proceso no se conoci en la cultura occidental sino hasta el siglo xix, cuando un famoso matemtico alemn, Carl Friedrich Gauss, lo descubri. Un ingeniero alemn, Wilhelm Jordan, populariz el algoritmo al emplearlo en un texto sobre geodesia en 1888. 2 3 2 1 0 1 4 8 0 0 0 5/2 y 1 0 0 29 0 1 0 16 0 0 1 3 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 14 10/13/06 12:13:21 AM

38. estn en forma escalonada. De hecho, la segunda matriz est en forma escalonada reducida. A continuacin se presentan ejemplos adicionales. EJEMPLO 1 Las siguientes matrices estn en forma escalonada. Las entradas principales () pueden tener cualquier valor distinto de cero; las entradas con asterisco (*) pueden tener cualquier valor (incluso cero). Las siguientes matrices estn en forma escalonada reducida porque las entradas principales son nmeros 1, y abajo y arriba de cada 1 principal slo existen ceros. Cualquier matriz distinta de cero se puede reducir por filas (esto es, transformarse mediante operaciones elementales de fila) para producir ms de una matriz en forma escalonada, para ello se usan diferentes sucesiones de operaciones de fila. Sin embargo, la forma escalonada reducida que se obtiene a partir de una matriz es nica. El teorema siguiente se comprueba en el apndice A incluido al final del texto. Si una matriz A es equivalente por filas a una matriz escalonada U, se dice que U es una forma escalonada (o una forma escalonada por filas) de A; si U est en su forma escalonada reducida, se afirma que es la forma escalonada reducida de A. [La mayora de los programas de matrices y de las calculadoras con capacidad para resolver matrices utilizan la abreviatura RREF para encontrar la forma escalonada reducida (por filas). Algunos usan REF para la forma escalonada (por filas) (del ingls row reduced echelon form y row echelon form).] Posiciones pivote Cuando las operaciones de fila sobre una matriz producen una forma escalonada, las operaciones de fila posteriores para obtener la forma escalonada reducida no cambian las posiciones de las entradas principales. Como la forma escalonada reducida es nica, las entradas principales siempre estn en las mismas posiciones en cualquier forma escalonada obtenida a partir de una matriz dada. Estas entradas principales corresponden a los nmeros 1 principales que hay en la forma escalonada reducida. T E O R E M A 1 Unicidad de la forma escalonada reducida Cada matriz es equivalente por filas a una y slo una matriz escalonada reducida. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 , 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 15 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 15 10/13/06 12:13:22 AM

39. 16 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal En el ejemplo 1, los cuadros () identifican las posiciones pivote. Muchos conceptos fundamentales incluidos en los primeros cuatro captulos de este libro estarn conectados de una forma u otra con las posiciones pivote que aparecen en una matriz. EJEMPLO 2 Reduzca por filas la matriz A que se muestra a continuacin hasta la forma escalonada, y localice las columnas pivote de A. Solucin Use la misma estrategia bsica aplicada en la seccin 1.1. El elemento superior de la columna distinta de cero que se encuentra ms a la izquierda de la matriz es la primera posicin pivote. En esta posicin, debe colocarse una entrada distinta de cero, o pivote. Una buena alternativa es intercambiar las filas 1 y 4 (porque las comparaciones mentales en el siguiente paso no involucrarn fracciones). Cree ceros debajo del pivote 1, para ello sume mltiplos de la primera fila a las filas de abajo, y obtenga la matriz (1) que se presenta enseguida. La posicin pivote de la segunda fila debe estar lo ms a la izquierda que sea posible a saber, en la segunda columna. Se elegir al 2 en esta posicin como el siguiente pivote. Sume la fila 2 multiplicado por 5/2 a la fila 3, y la fila 2 multiplicado por 3/2 a la fila 4. D E F I N I C I N En una matriz A, una posicin pivote es una ubicacin en A que corresponde a un 1 principal en la forma escalonada reducida de A. Una columna pivote es una columna de A que contiene una posicin pivote. 1 4 5 9 7 0 2 Pivote 4 6 6 0 5 10 15 15 Prxima columna pivote 0 3 6 4 9 A = 0 3 6 4 9 1 2 1 3 1 2 3 0 3 1 1 4 5 9 7 1 4 5 9 7 0 2 4 6 6 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 Pivote 4 5 9 7 1 2 1 3 1 2 3 0 3 1 Columna pivote 0 3 6 4 9 (1) (2) 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 16 10/13/06 12:13:23 AM

40. La matriz en (2) es diferente a cualquiera de las matrices encontradas en la seccin 1.1. No hay forma de crear una entrada principal en la columna 3! (No pueden usarse las filas 1 o 2 porque al hacerlo se destruira el arreglo escalonado de las entradas principales ya producidas.) Sin embargo, es posible producir una entrada principal en la columna 4 intercambiando las filas 3 y 4. La matriz est en forma escalonada y, por lo tanto, las columnas 1, 2 y 4 de A son columnas pivote. Un pivote, como el ilustrado en el ejemplo 2, es un nmero distinto de cero situado en una posicin pivote que se utiliza cuando es necesario para crear ceros por medio de operaciones de fila. Los pivotes empleados en el ejemplo 2 fueron 1, 2 y 5. Debe advertirse que estos nmeros no son los mismos que los elementos reales de A ubicados en las posiciones pivote iluminadas que se muestran en (3). De hecho, una sucesin diferente de operaciones de fila podra involucrar un conjunto de pivotes distinto. Adems, un pivote no ser visible en la forma escalonada si la fila se escala para convertir el pivote en un 1 principal (lo cual muchas veces es conveniente para realizar clculos a mano). Con el ejemplo 2 como gua, ahora es posible describir un procedimiento eficiente para transformar una matriz en una matriz escalonada o escalonada reducida. El estudio cuidadoso y el dominio de este procedimiento producirn grandes dividendos durante todo el curso. Algoritmo de reduccin por filas El algoritmo que se describe enseguida consta de cuatro pasos, y produce una matriz en forma escalonada. Un quinto paso produce una matriz en forma escalonada reducida. El algoritmo se ilustra mediante un ejemplo. EJEMPLO 3 Aplique operaciones elementales de fila para transformar la siguiente matriz a la forma escalonada y despus a la forma escalonada reducida: A = 0 Posiciones pivote 3 6 4 9 1 2 1 3 1 2 3 0 3 1 Columnas pivote 1 4 5 9 7 0 3 6 6 4 5 3 7 8 5 8 9 3 9 12 9 6 15 1 4 5 9 7 0 2 4 6 6 0 0 0 5 Pivote 0 Columnas pivote 0 0 0 0 0 Forma general: 0 0 0 0 0 0 0 0 0 (3) 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 17 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 17 10/13/06 12:13:24 AM

41. 18 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Solucin PASO 1 Empiece con la columna distinta de cero que se encuentra ms a la izquierda. En este caso es una columna pivote. La posicin pivote est en la parte superior. PASO 2 Seleccione como pivote una entrada distinta de cero en la columna pivote. Si es necesario, intercambie filas para mover esta entrada a la posicin pivote. Intercambie las filas 1 y 3. (Tambin podran haberse intercambiado las filas 1 y 2.) PASO 3 Use operaciones de reemplazo de fila para crear ceros en todas las posiciones ubicadas debajo del pivote. Como paso preliminar, se podra dividir la fila superior entre el pivote, 3. Pero con dos nmeros 3 en la columna 1, esto es tan fcil como sumar la fila 1 multiplicada por 1 a la fila 2. PASO 4 Cubra (o no tome en cuenta) la fila que contiene la posicin pivote y cubra todas las filas, si existe alguna, por encima de sta. Aplique los pasos 1, 2 y 3 a la submatriz restante. Repita el proceso hasta que no haya ms filas distintas de cero por modificar. Con la fila 1 cubierta, el paso 1 muestra que la columna 2 es la siguiente columna pivote; para el paso 2, en dicha columna se seleccionar como pivote la entrada superior. 0 3 6 6 4 5 3 7 8 5 8 9 3 Columna pivote 9 12 9 6 15 3 Pivote 9 12 9 6 15 3 7 8 5 8 9 0 3 6 6 4 5 3 Pivote 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2 6 0 3 6 6 4 5 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 18 10/13/06 12:13:25 AM

42. Para el paso 3, se podra insertar el paso opcional de dividir la fila superior de la submatriz entre el pivote 2. En vez de eso, se suma 3/2 veces la fila superior a la fila de abajo. Esto produce Cuando se cubre la fila que contiene la segunda posicin pivote para el paso 4, queda una nueva submatriz que tiene solamente una fila: Se ha alcanzado una forma escalonada para la matriz completa sin tener que aplicar los pasos 1, 2 y 3 en esta submatriz. Si se quisiera obtener la forma escalonada reducida, tendra que efectuarse un paso ms. PASO 5 Empiece con el pivote situado ms a la derecha trabajando hacia arriba y a la izquierda, cree ceros arriba de cada pivote. Si un pivote no es 1, hgalo 1 mediante una operacin de escalamiento. El pivote situado ms a la derecha est en la fila 3. Se crean ceros encima de l, sumando mltiplos adecuados de la fila 3 a las filas 2 y 1. El siguiente pivote est en la fila 2. Escale esta fila dividindola entre el pivote. Se crea un cero en la columna 2 sumando 9 veces la fila 2 a la fila 1. 3 9 12 9 6 15 0 2 Pivote 4 4 2 6 0 3 Nueva columna pivote 6 6 4 5 3 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2 6 0 0 0 0 1 4 3 9 12 9 0 9 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4 Fila escalada por 1 2 3 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2 6 0 0 0 0 1 Pivote 4 3 9 12 9 0 9 0 2 4 4 0 14 0 0 0 0 1 4 Fila 1 + (6)Fila 3 Fila 2 + (2)Fila 3 3 0 6 9 0 72 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4 Fila 1 + (9)Fila 2 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 19 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 19 10/13/06 12:13:25 AM

43. 20 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Por ltimo, se escala la fila 1 al dividirla entre el pivote 3. sta es la forma escalonada reducida de la matriz original. La combinacin de los pasos 1 a 4 se llama fase progresiva del algoritmo de reduccin por filas. El paso 5, que produce la forma escalonada reducida nica, se llama fase regresiva. 1 0 2 3 0 24 0 1 2 2 0 7 0 0 0 0 1 4 Fila escalada por 1 3 1 0 5 1 0 1 1 4 0 0 0 0 x1 5x3 = 1 x2 + x3 = 4 0 = 0 Soluciones de sistemas lineales El algoritmo de reduccin por filas conduce directamente a una descripcin explcita del conjunto solucin de un sistema lineal cuando se aplica, el algoritmo, a la matriz aumentada del sistema. Por ejemplo, suponga que la matriz aumentada de un sistema lineal ha sido transformada en la forma escalonada reducida equivalente Existen tres variables porque la matriz aumentada tiene cuatro columnas. El sistema de ecuaciones asociado es (4) Las variables x1 y x2 correspondientes a columnas pivote de la matriz se denominan variables bsicas.2 La otra variable, x3, se llama variable libre. Cuando un sistema es consistente, como en (4), el conjunto solucin puede descri- birse de manera explcita al resolver el sistema de ecuaciones reducido para las variables bsicas en trminos de las variables libres. Esta operacin es posible debido a que la NOTA NUMRICA En el paso 2 que se mostr con anterioridad, un programa de computadora generalmente selecciona como pivote en una columna la entrada que tenga el mayor valor absoluto. Esta estrategia, llamada pivoteo parcial, se usa porque reduce los errores de redondeo en los clculos. 2Algunos textos utilizan el trmino variables principales porque corresponden a las columnas que contienen las entradas principales. 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 20 10/13/06 12:13:26 AM

44. forma escalonada reducida coloca cada variable bsica en una, y slo una, ecuacin. En (4), se puede despejar x1 de la primera ecuacin y x2 de la segunda. (La tercera ecuacin no se toma en cuenta porque no ofrece restricciones a las variables.) (5) Al afirmar que x3 es libre, se implica la posibilidad de asignarle cualquier valor. Una vez que se efecta esta asignacin, las frmulas de (5) determinan los valores para x1 y x2. Por ejemplo, cuando x3 = 0, la solucin es (1, 4, 0); cuando x3 = 1, la solucin es (6, 3, 1). Cada asignacin diferente de x3 determina una solucin (diferente) del sistema, y cada solucin del sistema est determinada por una asignacin de x3. La solucin de (5) se denomina solucin general del sistema porque proporciona una descripcin explcita de todas las soluciones. EJEMPLO 4 Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya matriz aumentada se ha reducido a Solucin La matriz est en forma escalonada, pero se requiere la forma escalonada reducida antes de despejar las variables bsicas. A continuacin se completa la reduccin por filas. El smbolo ~ colocado antes de una matriz indica que sta es equivalente por filas a la matriz precedente. Existen cinco variables puesto que la matriz aumentada tiene seis columnas. Ahora el sistema asociado es (6) Las columnas pivote de la matriz son 1, 3 y 5; as que las variables bsicas son x1, x3 y x5. Las variables restantes, x2 y x4, deben ser libres. Al despejar las variables bsicas, se 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 0 0 1 7 1 6 2 5 2 4 0 0 2 8 1 3 0 0 0 0 1 7 1 6 2 5 0 10 0 0 2 8 0 10 0 0 0 0 1 7 1 6 2 5 0 10 0 0 1 4 0 5 0 0 0 0 1 7 1 6 0 3 0 0 0 0 1 4 0 5 0 0 0 0 1 7 x1 = 1 + 5x3 x2 = 4 x3 x3 es libre x1 + 6x2 + 3x4 = 0 x3 4x4 = 5 x5 = 7 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 21 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 21 10/13/06 12:13:27 AM

45. 22 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal obtiene la solucin general: (7) Observe que el valor de x5 ya qued fijado por la tercera ecuacin del sistema (6). Descripciones paramtricas de conjuntos solucin Las descripciones en (5) y (7) son descripciones paramtricas de conjuntos solucin en los cuales las variables libres actan como parmetros. La resolucin de un sistema significa encontrar una descripcin paramtrica del conjunto solucin, o determinar que el conjunto solucin est vaco. Cuando un sistema es consistente y tiene variables libres, el conjunto solucin permite obtener muchas descripciones paramtricas. Por ejemplo, en el sistema (4) se podra sumar cinco veces la ecuacin 2 a la ecuacin 1 y obtener el sistema equivalente Podra tratarse a x2 como parmetro y despejar x1 y x3 en trminos de x2, y se tendra una descripcin precisa del conjunto solucin. Sin embargo, para ser consistente, se es- tablece la convencin (arbitraria) de usar siempre las variables libres como parmetros para describir un conjunto solucin. (La seccin de respuestas incluida al final del texto refleja tambin esta convencin.) Cuando un sistema es inconsistente, el conjunto solucin est vaco, incluso si el sistema tiene variables libres. En este caso, el conjunto solucin no tiene representacin paramtrica. Sustitucin regresiva Considere el sistema siguiente cuya matriz aumentada est en forma escalonada pero no en forma escalonada reducida: Un programa de computadora resolvera este sistema por sustitucin regresiva, en lugar de calcular la forma escalonada reducida. Esto es, el programa resolvera la ecuacin 3 para x4 en trminos de x5 y sustituira la expresin para x4 en la ecuacin 2; resolvera la ecuacin 2 para x2 y luego sustituira las expresiones para x2 y x4 en la ecuacin 1 y despejara x1. El formato matricial que se utiliza en este texto para aplicar la fase regresiva de reduccin por filas, la cual produce la forma escalonada reducida, requiere el mismo nmero de operaciones aritmticas que la sustitucin regresiva. Pero la disciplina del formato matricial reduce sustancialmente la posibilidad de cometer errores durante los x1 = 6x2 3x4 x2 es libre x3 = 5 + 4x4 x4 es libre x5 = 7 x1 + 5x2 = 21 x2 + x3 = 4 x1 7x2 + 2x3 5x4 + 8x5 = 10 x2 3x3 + 3x4 + x5 = 5 x4 x5 = 4 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 22 10/13/06 12:13:27 AM

46. 3x2 6x3 + 6x4 + 4x5 = 5 3x1 7x2 + 8x3 5x4 + 8x5 = 9 3x1 9x2 + 12x3 9x4 + 6x5 = 15 clculos efectuados a mano. Se recomienda de manera enftica usar solamente la forma escalonada reducida para resolver un sistema. La Gua de estudio (Study Guide) que acompaa a este texto ofrece algunas sugerencias tiles para realizar operaciones de fila con exactitud y rapidez. Preguntas de existencia y unicidad Aunque una forma escalonada no reducida es una herramienta poco eficiente para resolver un sistema, est considerada como el mecanismo correcto para resolver las dos preguntas fundamentales enunciadas en la seccin 1.1. EJEMPLO 5 Determine la existencia y unicidad de las soluciones del sistema Solucin La matriz aumentada de este sistema se redujo por filas en el ejemplo 3 a (8) Las variables bsicas son x1, x2 y x5; las variables libres son x3 y x4. No hay ninguna ecuacin del tipo 0 = 1 que origine un sistema inconsistente, as que podra usarse sustitucin regresiva para encontrar una solucin. Pero en (8) ya es evidente la existencia de una solucin. Adems, la solucin no es nica porque existen variables libres. Cada asignacin diferente de x3 y x4 determina una solucin distinta. Por lo tanto, el sistema tiene un nmero infinito de soluciones. NOTA NUMRICA En general, la fase progresiva de la reduccin por filas es mucho ms larga que la fase regresiva. Para resolver un sistema, un algoritmo se mide generalmente en flops (u operaciones en punto flotante). Un flop es una operacin aritmtica (, , *, /) con dos nmeros reales en punto flotante.3 Para una matriz de n (n 1), la reduccin a la forma escalonada puede requerir 2n3/3 n2/2 7n/6 flops (lo cual es aproximadamente 2n3/3 flops cuando n es moderadamente grande por ejemplo, n 30). Por otro lado, la reduccin posterior a la forma escalonada reducida necesita cuando mucho n2 flops. 3Tradicionalmente, un flop era slo una multiplicacin o una divisin porque la suma y la resta requeran mucho menos tiempo y podan no tomarse en cuenta. La definicin de flop que se da aqu es la preferida en la actualidad, como consecuencia de los avances en la arquitectura de computadoras. Vea Golub y Van Loan, Matrix Computations, 2a. edicin (Baltimore: The Johns Hopkins Press, 1989), pp. 1920. 3 9 12 9 6 15 0 2 4 4 2 6 0 0 0 0 1 4 1.2 Reduccin por las y formas escalonadas 23 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 23 10/13/06 12:13:28 AM

47. 24 Captulo 1 Ecuaciones lineales en lgebra lineal Cuando un sistema est en forma escalonada y no contiene ninguna ecuacin del tipo 0 = b, con b diferente de 0, toda ecuacin distinta de cero contiene una variable bsica con un coeficiente diferente de cero. Las variables bsicas estn completamente determi- nadas (sin variables libres), o por lo menos una de las variables bsicas puede expresarse en trminos de una o ms variables libres. En el primer caso existe una solucin nica; en el ltimo, hay un nmero infinito de soluciones (una para cada asignacin de valores a las variables libres). Estas observaciones justifican el teorema siguiente. El procedimiento siguiente define cmo encontrar y describir todas las soluciones de un sistema lineal. P R O B L E M A S D E P R C T I C A 1. Encuentre la solucin general del sistema lineal cuya matriz aumentada es 1 3 5 0 0 1 1 3 T E O R E M A 2 Teorema de existencia y unicidad Un sistema lineal es consistente si, y slo si, la columna del extremo derecho de la matriz aumentada no es una columna pivote esto es, si, y slo si, una forma escalonada de la matriz aumentada no tiene ninguna fila de la forma [0 0 b] con b diferente de cero. Si un sistema lineal es consistente, entonces el conjunto solucin contiene (i) una solucin nica, cuando no existen variables libres, o bien (ii) un nmero infinito de soluciones, cuando existe por lo menos una variable libre. USO DE LA REDUCCIN POR FILAS PARA RESOLVER UN SISTEMA LINEAL 1. Escriba la matriz aumentada del sistema. 2. Utilice el algoritmo de reduccin por filas para obtener una matriz aumentada equivalente de forma escalonada. Decida si el sistema es o no consistente. Si no hay solucin, detngase; en caso contrario, contine con el siguiente paso. 3. Contine la reduccin por filas hasta obtener la forma escalonada reducida. 4. Escriba el sistema de ecuaciones que corresponda a la matriz obtenida en el paso 3. 5. Reescriba cada ecuacin diferente de cero del paso 4 de manera que su nica variable bsica est expresada en trminos de cualesquiera variables libres que aparezcan en la ecuacin. 01 Maq. Cap. 01(LAY).indd 24 10/13/06 12:13:30 AM

48. 2. Encuentre la solucin general del sistema x1 2x2 x3 + 3x4 = 0 2x1 + 4x2 + 5x3 5x4 = 3 3x1 6x2 6x3 + 8x4 = 2 En los ejercicios 1 y 2, determine cules matrices estn en forma escalonada reducida y cules slo en forma escalonada. 6. Repita el ejercicio 5 para una matriz de 3 2 diferente de cero. Encuentre las soluciones generales de los sistemas cuyas matrices aumentadas se dan en los ejercicios 7 a 14. 1.2 EJERCICIOS 1. a. 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 b. 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 c. 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 d. 1 1 0 1 1 0 2 0 2 2 0 0 0 3 3 0 0 0 0 4 2. a. 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 b. 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 c. 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 d. 0 1 1 1 1 0 0 2 2 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3. 1 2 3 4 4 5 6 7 6 7 8 9 4. 1 3 5 7 3 5 7 9 5 7 9 1 Reduzca por filas las matrices de los ejercicios 3 y 4 a la forma escalonada reducida. Encierre las posiciones pivote incluidas en la matriz final y en la matriz original, y enumere las columnas pivote. 15. a. 0 0 0 0 b. 0 0 0 0 0 0 0 5. Describa las formas escalonadas posibles de una matriz de 2 2 distinta de cero. Utilice los smbolos (), * y 0, como en la primera parte del ejemplo 1. En los ejercicios 15 y 16 se u