algebra lineal. sistemas

Linear Algebra

Sistemas Lineales

OpenMaths.com 1.1.2.5.3 Ver 01:15/10/2010

NOTA

La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.2.5.3 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.2 ALGEBRA

1.1.2.5 LÍNEAR ALGEBRA

1.1.2.5.3 SISTEMAS LINEALES

COPYLEFT

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Miguel Pérez Fontenla [email protected]

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

15/10/2010

| INTRODUCCIÓN 1

TABLA DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 3

Historia .................................................................................................................................. 3

Apliciaciones ......................................................................................................................... 3

CONCEPTOS BÁSICOS .......................................................................................................... 5

Sistemas de ecuaciones lineales ............................................................................................ 5

Método de Sustitución ....................................................................................................... 5

Método de Igualación ........................................................................................................ 5

Método de Reducción........................................................................................................ 6

Método de Gauss ............................................................................................................... 6

Método numérico de Gauss ................................................................................................... 9

REGLA DE CRAMER ........................................................................................................... 11

TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS .............................................................................. 15

Teorema de Rouché-Fröbenius ........................................................................................... 16

Grados de libertad ............................................................................................................... 17

SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS ............................................................................ 18

DISCUSION DE SISTEMAS ................................................................................................. 19

Ejercicios Propuestos .............................................................................................................. 26

| INTRODUCCIÓN 2

| INTRODUCCIÓN 3

INTRODUCCIÓN

Un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas. Una solución para el sistema debe proporcionar un valor para cada incógnita, de manera que en ninguna de las ecuaciones del sistema se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.

Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.

Historia

Apliciaciones

In mathematics, the theory of linear systems is a branch of linear algebra, a subject which is fundamental to modern mathematics. Computational algorithms for finding the solutions are an important part of numerical linear algebra, and such methods play a prominent role in engineering, physics, chemistry, computer science, and economics. A system of non-linear equations can often be approximated by a linear system (see linearization), a helpful technique when making a mathematical model or computer simulation of a relatively complex system.

| INTRODUCCIÓN 4

| CONCEPTOS BÁSICOS 5

CONCEPTOS BÁSICOS

Sistemas de ecuaciones lineales

Hasta ahora, para resolver un sistema de ecuaciones, como mucho de tres incógnitas, se empleaban los conocidos métodos de sustitucón, igualación y reducción, así como una pequeña introducción al método de Gauss, así como métodos gráficos. Recordémoslos.

Supongamos el sistema

2 3 14

5 4 23

2 3 5

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + − =

Método de Sustitución

( )( ) ( )

2 3 14 14 2 3

5 4 23 5 4 14 2 3 23 3 9 9 3

2 3 5 2 3 14 2 3 5 7 11 47 7 11 9 3 47

14 2 2 3 3 1 1

9 3 2 3 3

52 226 52 2

26

x y z z x y

x y z x y x y x y y x

x y z x y x y x y x x

z z

y y

xx x

+ + = = − −

+ + = + + − − = + = = − + − = + − − − = + = + − =

= − ⋅ − ⋅ = =

= − ⋅ = =− =− = − ⇔ = =

−

Método de Igualación

14 2 3 23 5 42 3 14 14 2 3 3 9

5 25 4 23 23 5 4 14 2 3 7 11 47

32 3 5 5 2

3

47 79 3 9 3

26 52 21147 7

9 3 2 311

14 2

x y x yx y z z x y x y

x yx y z z x y x y x y

x y z x yz

xy x x

x xx

y y

z

− − = − − + + = = − − + = − − + + = = − − − − = + =

− + − = − − = − − = − − = − = − ⇔ = −

= = − ⋅ = = −

2

3

2 3 3 1 1

x

y

z

=

=⋅ − ⋅ = =


Método de Reducción

2 3 14 14 2 2 3 3 1 1

5 4 23 2ª 1ª 3 9 9 3 2 3 3

2 3 5 3 1ª 3ª 7 11 47 11 1ª 2ª 26 52 2 2

x y z z z

x y z x y y y

x y z x y x x x

+ + = = − ⋅ − ⋅ = =

+ + = − + = = − ⋅ = = + − = ⋅ + + = ⋅ − = ⇔ = =

Método de Gauss

2 1

3 1 3 2

14 3 3 12

22 3 14 2 3 14 2 3 1424 3 1

5 4 23 2 5 7 3 24 7 3 24 37

2 3 5 2 7 4 7 52 5252

152

x

x y z x y z x y z

x y z F F y z y z y

x y z F F y z F F z

z

− ⋅ −= =

+ + = + + = + + = − ⋅

+ + = − + + = + = = = + − = − − = − − + =

= =

Método Matricial

Ahora que hemos estudiado matrices, podemos utilizar nuestro nuevo conocimiento para expresar nuestro sistema en forma matricial de la siguiente forma

2 3 14

5 4 23

2 3 5

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + − =

Llamemos A a la matriz de coeficientes, X a la matriz de incógnitas y B a la matriz de términos independientes

2 3 1 14

5 4 1 ; ; 23

1 2 3 5

x

A X y B

z

= = = −

De esta forma el sistema se puede expresar de forma matricial de la manera siguiente

2 3 14 2 3 1 14

5 4 23 5 4 1 23

2 3 5 1 2 3 5

x y z x

x y z y AX B

x y z z

+ + = + + = = ⇔ = + − = −

Multiplicando por la izquierda, ambos miembros de esta igualdad, por la matriz inversa A-1 se tiene

1

1 1 1 1

2 3 1 14

5 4 1 23

1 2 3 5

x

AX B A AX A B IX A B X A B y

z

−

− − − −

= ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = −


Es decir, que con solo calcular la inversa de la matriz de coeficientes A-1 y multiplicarla por la matriz de términos independientes B tendremos siempre resuelta la solución de un sistema lineal

12 3 1 14 14 11 1 14 2

15 4 1 23 16 7 3 23 3

261 2 3 5 6 1 7 5 1

x

y

z

−− −

= = − = − − −

Y este método es válido para una matriz de cualquier orden n

Ejemplo 1

Resolver el sistema,

2 2 8

5

2 3

2 8

x y z t

x y z t

x y t

x y t

+ − + = + + + =

+ + = − + =

Solución

12 2 8 2 1 1 2 8 2 1 1 2 8

5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5

2 3 1 2 0 1 3 1 2 0 1 3

2 8 2 1 0 1 8 2 1 0 1 8

x y z t x x

x y z t y y

x y t z z

x y t t t

x

y

z

t

−+ − + = − −

+ + + = ⇔ = ⇔ = ⇔ + + = − + = − −

3 3 54 4 4

31 14 4 4

31 14 4 4

5 5 74 4 4

1 8 2

0 5 1

0 3 1

1 8 3

− − − − − = =

− − − −

Ejemplo 2

Resolver el sistema, (PAU)

2 2 4

5

6

6 3 3 2 32

x y z t

x y z t

x y z t

x y z t

− − + = + + − =

− − + = − − + =

Solución


12 2 4 1 2 2 1 4 1 2 2 1 4

5 1 1 1 1 5 1 1 1 1 5

6 1 1 1 1 6 1 1 1 1 6

6 3 3 2 32 6 3 3 2 32 6 3 3 2 32

x y z t x x

x y z t y y

x y z t z z

x y z t t t

−− − + = − − − −

+ + − = − − ⇔ = ⇔ = − − + = − − − − − − + = − − − −

Pero la matriz de coeficientes tiene determinante 0, por tener dos columnas iguales

1 2 2 1

1 1 1 1; 0

1 1 1 1

6 3 3 2

A A

− − − = = − − − −

Por lo que el método matricial anterior no es válido en este caso y tendremos que seguir estudiando con mayor profundidad la resolución de sistemas para solucionar este y otros incovenientes que van a surgir.


Método numérico de Gauss

Al igual que con la matriz inversa utilizamos el método de cálculo numérico de Gauss-Jordan para resolver cualquier matriz inversible de orden n, podemos utilizar la misma técnica para resolver un sistema lineal de ecuaciones

Sea, por ejemplo, el sistema ya calculado

2 2 8

5

2 3

2 8

x y z t

x y z t

x y t

x y t

+ − + = + + + =

+ + = − + =

Lo vamos a expresar en forma matricial mediante la matriz de coeficientes, ampliándola con una columna más formada por la matriz columna de términos independientes

2 1 1 2 8

1 1 1 1 5

1 2 0 1 3

2 1 0 1 8

− −

A esta matriz le aplicamos ahora el método de Gauss-Jordan hasta transformar la patriz de coeficientes en la matriz identidad I. Cuando lo hayamos conseguido, la última columna de esta matriz ampliada transformada, será la solución de nuestro sistema de ecuaciones.

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

x

y

z

t

Iteración 1

1

11

1 12 221 1

2 312 211

3 12 231 1

311

41 14

11

2 1 1 2 8 1 1 4

1 1 1 1 5 0 0 1

1 2 0 1 3 0 0 1

2 1 0 1 8 0 2 1 1 0

F

a

a FF

a

a FF

a

a FF

a

− − −

↔ −

− − − −

−

Iteración 2


12 21

22

1 12 2 2

312 2 22

3 12 2 32 2

322

42 24

22

1 1 4 1 0 2 1 3

0 0 1 0 1 3 0 2

0 0 1 0 0 4 0 4

0 2 1 1 0 0 0 7 1 4

a FF

a

F

a

a FF

a

a FF

a

−

− − ↔ − − −

− − − −

−

Iteración 3

13 31

33

23 32

33

3

33

43 34

33

1 0 2 1 3 1 0 0 1 5

0 1 3 0 2 0 1 0 0 1

0 0 4 0 4 0 0 1 0 1

0 0 7 1 4 0 0 0 1 3

a FF

a

a FF

a

F

a

a FF

a

−

− −

− ↔ − − − − −

−

Iteración 4

14 41

44

24 42

44

34 43

44

4

44

1 0 0 1 5 1 0 0 0 2

0 1 0 0 1 0 1 0 0 1

0 0 1 0 1 0 0 1 0 1

0 0 0 1 3 0 0 0 1 3

a FF

a

a FF

a

a FF

a

F

a

−

−

− − ↔

− − −

De donde las soluciones al sistema son

2

1

1

3

x

y

z

t

− =


REGLA DE CRAMER

Cramer publicó esta regla en 1750 (http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_Cramer)

y sirve para resolver sistemas que tienen el mismo número de ecuaciones que de incógnitas, siempre y cuando, la matriz de coeficientes sea no singular, es decir, |A| ≠ 0. De hecho, este tipo de sistemas se les conoce como sistemas de Cramer

Con los métodos numéricos actuales, esta regla está en absoluto desuso, a excepción de su aplicación puramente matemática y su aplicación en la resolución paramétrica de sistemas. Sin embargo, como no está permitido el uso de calculadoras científicas que resuelvan este tipo de sistemas y deetrminantes, los alumnos tienen la obligación y necesidad de conocerlo.

Cramer propuso un método por deteminantes que daba las soluciones directas de cada una de las incógnitas mediante sustitución de la columna de terminos independientes en cada columna de la matriz de coeficientes

Consideremos el sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas siguiente

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.....................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

Que escrito en forma matricial sería

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

... ... ... ... ... ...

...

n

n

n n nn n n

a a a x b

a a a x b

a a a x b

=

Se tiene que

{ }

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...; 1,2,..

n

n

n n n nn

i

a a b a

a a b a

a a b ax i n

A= ∀ ∈

Grabiel Cramer (1704-1752)


Demostración

Tenemos el sistema

11 12 1 1 1

21 22 2 2 2

1 2

...

...

... ... ... ... ... ...

...

n

n

n n nn n n

a a a x b

a a a x b

a a a x b

=

; sabemos que lo podemos resolver

matricialmente mediante el cálculo de la inversa:

1

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

1 2

...

...

... ... ... ... ... ...

...

n

n

n n n nn n

x a a a b

x a a a b

x a a a b

− =

Pero también hemos visto que la inversa se puede obtener mediante adjuntos como:

1

11 12 1 11 12 1 11 21 1

21 22 2 21 22 2 12 22 21

1 2 1 2 1 2

... ... ...

... ... ...1 1 1( )

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ... ...

t

n n n

n n nt

n n nn n n nn n n nn

a a a A A A A A A

a a a A A A A A AA Adj A

A A A

a a a A A A A A A

−

−

= ⇔ = =

Por tanto, sustituyendo

1 11 21 1 1 11 1 21 2 1

2 12 22 2 2 12 1 22 2 2

1 2 1 1 2 2

... ...

... ...1

... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n n

n n n

n n n nn n n n nn n

x A A A b A b A b A b


A


+ + + + + + = = + + +

Es decir, cada solución xi viene dada por

( )1 1 2 2

1...i i i ni nx A b A b A b

A= + + +

Donde la expresión 1 1 2 2 ...i i ni nA b A b A b+ + + coincide por el desarrollo por la columna i-ésima

del determinante

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... ...

... ...

... ... ... ... ... ...

... ...

n

n

n n n nn

a a b a

a a b a

a a b a

Por lo tanto


{ }

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

... ...

... ...1; 1, 2,..

... ... ... ... ... ...

... ...

n

n

i

n n n nn

a a b a

a a b ax i n

A

a a b a

= ∀ ∈

Ejemplo 1

2 0 1 2 1 0

2 3 5 2 1 3 5

3 3 2 3 3 3 2 3

x y z x

x y z y

x y z z

− + = − + − = − ⇔ − = − − + = −

Solución

Al resolverlo por Cramer se tendría 0 2 1

1 15 1 3 10 1

103 3 2

xA

−

= − − = ⋅ =

−

1 0 11 1

2 5 3 20 210

3 3 2

yA

= − − = ⋅ =

1 2 01 1

2 1 5 30 310

3 3 3

zA

−

= − = ⋅ =

−

Ejemplo 2

Supongamos que tenemos nuestro ya conocido sistema lineal 2 2 8 2 1 1 2 8

5 1 1 1 1 5; donde 4

2 3 1 2 0 1 3

2 8 2 1 0 1 8

x y z t x

x y z t yA

x y t z

x y t t

+ − + = − + + + = ⇔ = = + + = − + = −

Solución

Al resolverlo por Cramer se tendría 8 1 1 2

5 1 1 11 18 2

3 2 0 1 4

8 1 0 1

xA

−

= = ⋅ =

−


( )

2 8 1 2

1 5 1 11 14 1

1 3 0 1 4

2 8 0 1

yA

−

= = ⋅ − = −

2 1 8 2

1 1 5 11 14 1

1 2 3 1 4

2 1 8 1

zA

= = ⋅ =

−

2 1 1 8

1 1 1 51 112 3

1 2 0 3 4

2 1 0 8

tA

−

= = ⋅ =

− −

Otro buen ejercicio desarrollado para matriz 3x3 en la pg 75 de 2º Bach CS de Santillana

| TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS 15

TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS

También denominado teorema de Rouché-Capelli, en honor al matemático francés Eugène Rouché (1832-1910)

se trata de un teorema de álgebra lineal que permite calcular el número de soluciones de un sistema lineal de ecuaciones en función del rango de algunas matrices.

Cramer solo nos resuelve sistemas de igual número de ecuaciones que de incógnitas, pero con esta poderosa arma que vamos a enunciar, podremos discutir cualquier sistema de ecuaciones.

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Rouch%C3%A9-Capelli

http://es.wikipedia.org/wiki/Ferdinand_Georg_Frobenius

Aclararemos determinados conceptos:

• Compatible equivale a decir que tenga solución • Incompatible si no tiene solución • Condición necesaria es lo mismo que decir implica => • Condición necesaria y suficiente, es lo mismo que decir equivalencia, <=> • Magnitud paramétrica es la que tiene infinitos posibles valores variando un parámetro

real que habitualmente designaremos por las letras griegas λ, µ

Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917)


Sea el sistema lineal

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.....................

...

n n

n n

m m mn n m

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

de m ecuaciones con n incógnitas 1 2, ,..., nx x x

Denominemos A a la matriz de coeficientes

• X a la matriz de incógnitas • B a la matriz de términos independientes • A* a la matriz ampliada, añadiéndole a A la columna de los términos independientes.

11 12 1 1 1 11 12 1 1

21 22 2 2 2 21 22 2 2

1 2 1 2

... ...

... ...; ; ; *

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

... ...

n n

n n

m m mn n m m m mn m

a a a x b a a a b

a a a x b a a a bA X B A A B

a a a x b a a a b

= = = = =

El sistema también lo podemos escribir en función de las columnas C1, C2,...Cn de la siguiente manera:

11 12 1 1

21 22 2 21 2 1 1 2 2

1 2

... ...... ... ... ...

n

n

n n n

m m mn m

a a a b

a a a bx x x C x C x C x B

a a a b

+ + + = ⇔ + + + =

Teorema de Rouché-Fröbenius

La condición necesaria y suficiente para que un sistema de m ecuaciones con n incógnitas sea compatible, es que el rango de la matriz de coeficientes A , sea igual al rango de la matriz ampliada A* = A|B.

Dicho en forma más corta

Un sistema es compatible <=> rang(A) = rang(A*)

Este teorema nos va a permitir discutir los sistemas de cualquier tipo. Con él, determinaremos cuando es compatible y cuando incompatible.

Si en algún caso se encuentra solución única, ésta la calcularemos por Cramer.

Si la solución es paramétrica, también Cramer nos ofrece una buena manera de calcularla.

Demostración


Condición necesaria =>

Si el sistema es compatible, existe una solución (s1, s2, …, sn) que satisface el sistema, por tanto

1 1 2 2 ... n nC s C s C s B+ + + =

Por lo que la matriz B es combinación lineal de las columnas de la matriz A por lo que

rang(A*) = rang(A)

Condición suficiente <=

Si rang(A) = rang(C), la columna de términos independientes B añadida a la matriz de coeficientes C es combinación lineal de los vectores columna de la misma, luego existen (s1, s2, …, sn) tales que

1 1 2 2 ... n nC s C s C s B+ + + =

Por tanto (s1, s2, …, sn) es solución del sistema => sistema compatible.

Podemos resumir este teorema en el siguiente esquema

Si rang(A) = rang(A*) = r => Sistema COMPATIBE

Determinado si r = n

Indeterminado si r<n

Si rang(A) ≠ rang(A*) => Sistema INCOMPATIBLE

Grados de libertad

En un sistema compatible indeterminado, la diferencia entre el número de incógnitas y el rango de las matrices se denomina grados de libertad del sistema. Por ejemplo, si esta diferencia fuera 2, el sistema contaría con dos incógnitas que podrían tomar cualquier valor arbitrario, por lo que se denominan incógnitas libres, o parámetros

| SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS 18

SISTEMAS LINEALES HOMOGENEOS

Un sistema de ecuaciones lineales se dice homogéneo si los términos independientes son todos nulos:

11 1 12 2 1

21 1 22 2 2

1 1 2 2

... 0

... 0

.....................

... 0

n n

n n

m m mn n

a x a x a x

a x a x a x

a x a x a x

+ + + = + + + = + + + =

Un sistema homogéneo es SIEMPRE compatible pues rang(A) = rang(A*) y al menos (0,0, …,0) es una solución .

Entonces se pueden dar estas opciones

Si rang(A) = nº de incógnitas => Sistema COMPATIBE determinado de solución única,

la (0,0,...,0)

Si rang(A) < nº de incógnitas => Sistema COMPATIBLE indeterminado

| DISCUSION DE SISTEMAS 19

DISCUSION DE SISTEMAS

Caso 1

Lo más sencillo que nos puede ocurrir, a efectos de cálculos, es que se nos presente un sistema INCOMPATIBLE, es decir que rang(A) ≠ rang(A*), pues el sistema no tendría solución y no habría más que hacer

Ejemplo

2 3 3 2 2 3 3 2

2 6 1 2 0 6 1 ; 0 ( ) 2

3 2 7 1 3 2 7 1

x y z x

x z y A rang A

x y z z

− + = − − − = ⇔ − − = = ⇔ = − + = − − −

Pero sin embargo

2 3 2

2 0 1 9 ( *) 3

3 2 1

rang A

−

− = ⇔ =

− −

Como rang(A) ≠ rang(A*) , por Rouché-Fröbenius el sistema es INCOMPATIBLE

Caso 2

El caso más sencillo que se nos puede presentar es el de un sistema de Cramer, es decir, AX = B con igual número de ecuaciones que de soluciones y |A| ≠ 0.

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

...

...

.....................

...

n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

+ + + = + + + = + + + =

En este caso, la solución es única y se resuelve por la propia regla de Cramer.

Ejemplo

2 3 7 2 3 1 7

2 2 4 2 0 2 4 ; 32 0 ( ) ( *) 3

3 2 3 8 3 2 3 8

x y z x

x z y A rang A rang A n

x y z z

− + = − − − − − = ⇔ − − = = ≠ ⇔ = = = − − = − −

Aplicando Rouché-Fröbenius el sistema es COMPATIBLE determinado de solución única:


7 3 11 32

4 0 2 1;32 32

8 2 3

2 7 11 64

2 4 2 2;32 32

3 8 3

2 3 71 96

2 0 4 332 32

3 2 8

x

y

z

− −

= − = =

− −

−

= − − = =

−

− −−

= − = = −

−

Caso 3

El tercer caso en orden de dificultad sería el de un sistema compatible pero indeterminado. Pongamos el siguiente

Ejemplo

2 3 3 13 2 3 3 13 2 3 3 13

2 6 16 2 0 6 16 ; * 2 0 6 16

3 2 7 22 3 2 7 22 3 2 7 22

x y z x

x z y AX B A

x y z z

− + = − − − − − − − = ⇔ − − = ⇔ = = − −

− + = − − − − −

Calculando los siguientes determinantes

2 3 3 2 3 132 3

2 0 6 0; 6 0; 2 0 16 02 0

3 2 7 3 2 22

− − −−

− − = = ≠ − =−

− − −

Se tiene que |A| = 0 luego rang(A) = 2 y rang(A*) = 2 también.

Aplicando Rouché-Fröbenius tenemos que

Rang(A) = Rang(A*) = 2 < nº incógnitas = 3 => Sistema COMPATIBLE indeterminado

La indeterminación surge del hecho que la tercera ecuación es combinación lineal de las dos primeras (no puede ser de otro modo al ser 0 el determinante de la ampliada) . Por tanto podemos eliminar dicha ecuación y resolver el sistema indeterminado que forman las dos primeras.

La manera en que tenemos ahora que presentar las infinitas soluciones es parametrizando la tercera incógnita z = λ, y calculando las otras dos incógnitas x e y en función de este λ dentro de un sistema de orden 2 de Cramer:


2 3 13 3 2 3 13 32

2 16 6 2 0 16 6

x y xA

x y

λ λλ λ

− = − − − − − ⇔ = ⇒ = − = − − −

El cual se resuelve por la regla de Cramer

13 3 31 48 1824 9

16 6 02 2

2 13 31 58 1829 9

2 16 62 2

x

y

z

λ λλ

λ

λ λλ λ

λ

λ

− − − += = = − + −

− − = = = − ∈

− − =

ℝ

Si ahora le vamos dando a λ cualquier valor real, se van obteniendo las infinitas soluciones de sistema.

Caso 4

Que el sistema sea homogéneo.

Este caso es más sencillo, si cabe, incluso que el caso 2, pero el hecho que sea homogéneo suele poner algo nerviosos a los alumnos.

Empezamos puntualizando que todos los sistemas homogéneos son siempre COMPATIBLES pues siempre existe la solución trivial (0,0,...,0), luego solo queda saber si esta solución es única o será indeterminado. Veamos un ejemplo del segundo caso:

Ejemplo

2 3 3 0 2 3 3 0 2 3 3 0

2 6 0 2 0 6 0 ; * 2 0 6 0

3 2 7 0 3 2 7 0 3 2 7 0

x y z x

x z y AX B A

x y z z

− + = − − − + = ⇔ − = ⇔ = = −

− + = − −

ran(A) = 2 = rang(A*) < 3 <=> Sistema COMPATIBLE indeterminado

Al igual que hicimos en el caso 3, parametrizamos la incógnita z = λ

2 3 3 2 3 32

2 6 2 0 6

x y xA

x y

λ λλ λ

− = − − − ⇔ = ⇒ = − = − − −

y operamos con la regla de Cramer exactamente igual que hicimos en el caso previo, resultando las soluciones:


3 31 189

6 02 2

2 31 189

2 62 2

x

y

z

λ λλ

λ

λ λλ λ

λ

λ

− − += = = + −

− − = = = − ∈

− − =

ℝ

Caso 5

Empezamos ahora con sistemas dependientes de parámetros.

Suelen ser los problemas de selectividad y es el caso más complejo, aunque solo en apariencia, que se nos puede presentar

Estos sistemas se tienen que discutir en función de los valores que puedan tomar los parámetros dados, que a su vez, suelen ser de 1 parámetro o 2. Sería muy raro que nos presentasen un sistema más complejo que 2 parámetros.

Este caso 5 lo resolveremos para 1 parámetro yd ejaremos el caso 6 para los 2 parámetros

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema según los valores de α. Propuesto en las PAU Galicia COU

2

3

3

x y z

x y z

x y z

α αα

α

+ + = +

+ + = + + =

1 1 2 1 1 2

1 1 3 ; * 1 1 3

1 1 1 3 1 1 1 3

x

y AX B A

z

α α α αα α

α α

+ + = ⇔ = =

Donde el determinante de la matriz de coeficientes viene dado por

( )22

1 1

1 1 2 1 1

1 1 1

αα α α α= − + = −

Este determinante es entonces 0 solo cuando α = 1. Discutimos entonces esta disyuntiva:

Si α ≠ 1 se tiene que el rang(A) = rang(A*) = 3 luego sistema COMPATIBLE de solución ÚNICA (aunque siempre dependiente del parámetro α) y que se resuelve por Cramer:


( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( ) ( )( )( )

23 2

2 2 2

22

2 2 2

22

2 2 2

2 11 3 51 3 7 5

3 1 3 5 ;1 1 1

3 1 1

1 2 32 11 2 4 2

1 3 2;1 1 1

1 3 1

1 23 11 3 6 3

1 1 3 31 1 1

1 1 3

x

y

z

α αα αα α α

α αα α αα

ααα α

αα α αα

α ααα α

α α αα

+− +− − +

= = = = +− − −

+− −− + −

= = = = −− − −

+− −− + −

= = = = −− − −

Si α = 1 el sistema sería

3

3

3

x y z

x y z

x y z

+ + =

+ + = + + =

Donde rang(A) = rang(A*) = 1 < 3; luego es un sistema de una sola ecuación y tres incógnitas, por tanto COMPATIBLE indeterminado, donde para resolverlo habría que parametrizar dos incógnitas:

,

3

x

y

z

λµ λ µλ µ

=

= ∈= − −

ℝ

Caso 6

Vamos a discutir ahora un sistema lineal con 2 parámetros, que podría llegar a ser el problema más enrevesado que se te puede presentar, pero veamos un

Ejemplo

Resolver el siguiente sistema según los valores de α y β. Propuesto en las PAU Murcia

2008

2

2 2

x y z

x y

x y z

β

α

− − =

− + = + + = −

1 1 1 1 1 1

1 1 0 2 ; * 1 1 0 2

1 2 2 1 2 2

x

y AX B A

z

β β

α α

− − − − − = ⇔ = = −

− −

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:


1 1 1

1 1 0 1

1 2

αα

− −

− = +

Tenemos dos casos, pues

Si α ≠ -1 se tiene que el rang(A) = rang(A*) = 3 (independientemente del valor que tome β) luego sistema COMPATIBLE de solución ÚNICA (aunque siempre dependiente de los parámetros α y β) y que se resuelve por Cramer:

1 11 2( 1)

2 1 0 ;1 1

2 2

1 11 2( 2)

1 2 0 ;1 1

1 2 2

1 11 2 2

1 1 21 1

1 2

x

y

z

ββ α

α αα

ββ

α α

βαβ α β

α αα

− −− +

= =+ +

−

−+

= − =+ +

−

−− − − +

= − =+ +

−

Si α = -1 el sistema sería

2

2 2

x y z

x y

x y z

β− − =

− + = − + = −

Donde Rang(A) = 2 y ahora habrá que volverlo a discutir, a su vez, en función de los posibles valores de β

1 1 1 1 1 1

1 1 0 2 ; * 1 1 0 2

1 1 2 2 1 1 2 2

x

y AX B A

z

β β− − − − − = ⇔ = = −

− − − −

Ahora vamos a ver que valores de β nos dan rango 3 ó 2 para la matriz ampliada A*

Por lo de pronto , en la matriz de coeficientes tenemos garantizado el rango 2 porque

1 02 0

1 2= ≠

−, por lo que orlamos esta matriz 2 x 2 con la columna de la matriz

ampliada y calculamos el determinante


1 1

2 1 0 4

2 1 2

ββ

− −

= +

− −

Si β ≠ -4 entonces Rang(A) =2 ≠ rang(A*) = 3 => Sistema INCOMPATIBLE

Si β = -4 entonces Rang(A) =2 = rang(A) = 2 => Sistema COMPATIBLE determinado que a su vez hay que calcular por Cramer, parametrizando previamente un incógnita que en este caso debe ser la x, para garantizar que el determinante de la matriz de coeficientes resultante sea no nulo.

42

2 2 22 2

2 2 2 2 0

x y z x xx y

x y y yx y z

x y z y z z

λ λ− − = − = = − + =

− + = = = − + = − − + = − − + = − =

| Ejercicios Propuestos 26

Ejercicios Propuestos

1.- Dado el sistema de ecuaciones lineales

ax + y + z = 1

x + ay + z = b

x + y + az = 1

a) discutir el sistema en función de a y b

b) resolver el sistema para a = b = -2

2.- Estudiar, para los diferentes valores del parámetro a, la existencia de soluciones del sistema

x + y + z = a - 1

2x + y + az = a

x + ay + z = 1

y resolverlo cuando sea compatible determinado.

PAU Galicia Junio 1994

Solucion

2

x + y + z = a - 1 1 1 1 1

2x + y + az = a 2 1 ; 3 2 ( 1)( 2)

x + ay + z = 1 1 1 1

a

a a A a a a a

a

−

= + + = + +

Si a ≠ -1 y a ≠ -2 entonces 0 ( ) 3 ( *) ºA ran A rang A n incognitas≠ ⇔ = = = lo que

equivale a decir, por el teorema de Rouche Frobenius, que el sistema es compatible determinado de solución única que resolveremos por Cramer:

2 3 2 3 2

1 1 1

1

( 1) ( 1)1 1 1 1 2 2x=

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

a

a a

a aa a a a a a a a a a

a a a a a a

−

− − +− + + − − + − − + + −= = =

+ + + + + +

( 2)

( 1)

a

a

−

+

( 1)( 2)

( 2)( 2)

a a

aa

− − −=

++

( )2

1 1 1 1 2 0

2 2 2 2

21 1 1 1 0 0y=

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

a a

a a a a

a

a a a a a a

− −

− −

−= =

+ + + + + +


( )

1 1 1 1 1 1

2 1 0 1 2

2 ( 1)( 2)1 1 0 1 2 ( 2)z=

( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2) ( 1)( 2)

a a

a a

a a aa a a a a

a a a a a a a a

− −

− − +

− − − − − +− − −= = =

+ + + + + + + +

Si a = -1 entonces 0 ( ) 2A rang A= ⇔ = y rang(A*) =3 pues

1 1 2

2 1 1 3 0

1 1 1

−

− = ≠

−

;

incompatible

Si a = -2 entonces 0 ( ) 2A rang A= ⇔ = y rang(A*) =3 pues

1 1 3

2 1 2 8 0

1 2 1

−

− = ≠

−

;

incompatible

3. Dado el sistema

2 1

2 2

3 4

x y z

x y z m

x y mz

+ − = −

− + =

− + =

hallar razonadamente los valores del parámetro m para los cuales el sistema es compatible PAU Galicia Prueba previa 1996

4. Considerese el siguiente sistema de ecuaciones lineales ( en él a,b y c son datos; las incógnitas son x,y,z):

=+

=+

=+

acybz

baycx

cbxay

Si a, b y c son no nulos, el sistema tiene solución única. Hallar dicha solución.


Solución

0 0

0 ; * 0

0 0

ay bx c b a x c b a c

cx ay b c a y b AX B A c a b

bz cy a c b z a c b a

+ = + = ⇔ = ⇔ = =

+ =


( )2

0 0

0 0 0

0

b a a

A c a ab abc ab b c A b

c b b c

=

= = − = − ↔ = ⇔ =

=

Caso 1: a = 0 (y supongamos b ≠ 0 y b ≠ c)

( )3 2 2 2

0 0 0

* 0 0 ( ) 2 . Como 0 ( *) 3 0

0 0 0 0

b c b c

A c b rang A c b c cb c c b rang A c

c b c

= ⇒ = = − = − ↔ = ⇔ ≠

Si c ≠ 0 el sistema es INCOMPATIBLE por ser 2 = rang(A) ≠ rang(A*) = 3

Si c = 0 , en cuyo caso nos quedaría el sistema

3

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 ; * 0 0 0 donde 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

b x b b

y b AX B A b b b

b z b b

= ⇔ = = = −

Por lo que es también INCOMPATIBLE al ser 2 = rang(A) ≠ rang(A*) = 3

Caso 2: b = 0 (y supongamos a ≠ 0 y b ≠ c)

( )3 2 2 2

0 0 0 0 0

0 0 ; * 0 0 donde 0

0 0 0 0 0

a x c a c a c

c a y AX B A c a c a c ca c c a

c z a c a c a

= ⇔ = = = − = −

En este caso tenemos que estudiar los casos c = 0 y c = a

Si c ≠ 0 y c ≠ a rang(A*) = 3 por lo que el sistema sería INCOMPATIBLE

Si c = 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 ; * 0 0 0

0 0 0 0 0 0

a x a

a y AX B A a

z a a

= ⇔ = =

donde rang(A) = 1 ≠ rang(A*) = 2

por lo que el sistema sería también INCOMPATIBLE

Si c = a tendríamos

3 3

0 0 0 0 0 a a

0 0 ; * 0 0 donde a a 0 a a 0

0 0 0 0 0 a a

a x a a a

a a y AX B A a a

a z a a a

= ⇔ = = = − =

por

lo que 2 = rang(A) = rang(A*) por lo que el sistema es COMPATIBLE indeterminado.


Para resolverlo, parametrizamos z = λ y tendríamos

2

2

11

00 0

0 010 0 1

0 00 0

a ax

aaa x a

x ay a aa a y y

ax ay aaa z a

z λ

−= = −

+ = − = ⇔ = = + =

=

Caso 3: b = c (siendo a ≠ 0 y b ≠ 0)

En este caso se tiene el sistema

0 0

0 ; * 0

0 0

ay bx b b a x b b a b

bx ay b b a y b AX B A b a b

bz by a b b z a b b a

+ = + = ⇔ = ⇔ = =

+ =

Por ser las dos primeras ecuaciones iguales, la matriz ampliada tiene rang(A*) = 2 por lo que el sistema es también COMPATIBLE indeterminado, siendo las soluciones:

2 2

2 2

2 2

1

1

0

b a b ax

a bb b

b b ab ay

ab b b

z λ

−= =

= = =

=

Caso 4: a ≠ 0 y b ≠ 0 y b ≠ c

En este caso ran(A) = 3 = rang(A*) luego el sistema es COMPATIBLE determinado de solución única, que podemos obtener por Cramer:

( )( )

2

3 2 2 2

2 2

01 ( )

0 1( ) ( ) ( )

01 ( )

0( ) ( ) ( ) ( )

0

1 1 ( ) ( ) ( )0

( ) ( ) ( )0 0

c aabc ab ab c b c b

x b aab b c ab b c ab b c b c

a c b

b cb c b cb bc b b c b c

y c bab b c ab b c ab b c a b c a

a b

b a c b a cc c b bc b c a c b a

z c a b c b b cab b c ab b c ab b c

c a c a

− − −= = = = = −

− − − −

− +− − += = = = =

− − − −

− − − − −= = − − = =

− − −

2 2bc c

ab

− −


5. Discutir, según los valores de m, el sistema de ecuaciones lineales:

3 2

5 8 9 3

2 3 1

x y z m

x y z

x y z

− + =

− + =

+ − = −

PAU Galicia Septiembre 1997

6. Se considera el sistema de ecuaciones lineales

=

−+

−

−

6

0

3

.

2

1

3

.

35

11

1

zy

xm

a) Discutirlo según los valores de m

b) Resolverlo en el caso de m = 2

PAU Galicia Prueba previa 1998

7. Se considera el sistema de ecuaciones en las incógnitas x, y, z, t,

=−+

=++

=++

022

02

02

tyx

tzy

zyx

λ

a) Encontrar los valores de λ para los que el rango de la matriz de los coeficientes del sistema es 2.

b) Resolver el sistema anterior para λ = 0


7. Se considera el siguiente sistema de ecuaciones

=++

=−

=++

1

1

zyx

yx

zyx

λλ

λ

a) Discutir la compatibilidad del sistema en función del parámetro λ.

b) Encontrar, cuando existan, sus soluciones.

PAU Galicia Prueba previa 1999


8.- Dado el siguiente sistema de ecuaciones:

+=++

=+

+=+++

23

32)1(

azyax

ayax

azyxa

a) Estudiarlo según los valores del parámetro a.

b) Resolver el sistema en los casos en que resulte ser compatible determinado

PAU Septiembre 1999

9.- Considerar el sistema de ecuaciones

=−−+

=++−

=+

0)1(

)1(

1

zyx

zyx

zy

λλλ

donde λ es un número real

a) Discutirlo según los valores del parámetro λ

b) Resolverlo para λ = 0

c) Resolverlo para λ = 3

PAU Galicia Septiembre 2000

a) (2 puntos) Discutir en función de los valores de k y resolver el sistema

=+−

=−

=++

0

02

05

zyx

kyx

zyx

b) (1 punto) Discutir en función de los valores de λ y resolver en los caqsos de compatibilidad el sistema

=++

=+−

=−

=++

λλzyx

zyx

yx

zyx

22

0

032

05

Selectividad Septiembre 2000


a) (1,5 puntos) Discutir en función de los valores de k y resolver cuando tenga mas de una solución el sistema

=−−

=+−

=++

56

92

32

zyx

kzyx

zyx

14. By considering the coefficient determinant, find all rational numbers a and b for which the following system has (i) no solutions, (ii) exactly one solution, (iii) infinitely many solutions:

2 3

2 2

5 2 1

x y z

x z

x y

βα− + =

+ =

+ =

Solution

2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 0 2 2 ; * 0 2 2

5 2 1 5 2 0 1 5 2 0 1

x y z x

x z y AX B A

x y z

β β βα α α− + = − −

+ = ⇔ = ⇔ = = + =

1 2

0 2 2 24 2 24 0 12

5 2 0

βα αβ αβ αβ

−

= − ⇒ − = ↔ =

So, if αβ ≠ 12 the system has an unique solution

If αβ = 12 then rang(A)=2, but rang(A*) can be equal to 3 if

3 2

2 0 2 0

1 2 0

β−

≠ , which is equivalent to say that if β ≠ 4 then rang(A*)=3

1 2 3

0 2 0

5 2 1

α−

≠ , which is equivalent to say that if α ≠ 3 then rang(A*)=3


In conclusion, if αβ = 12 and β ≠ 4 or α ≠ 3 then no solution

If αβ = 12 and β = 4 or α = 3 then infinitely many solutions

2 4 33 2 2 2 3

3 2 2 arbitrary5 2 1 2

5 2 1 1 5

2

xx y z

x zx z z

x yx y

y

λλ

λ

λ

=

− + = + = − + = =

+ = + = − =

15. Decide whether the following system of linear equations is consistent and find the

solution in dependence on parameters α and β:

( )( )

3 5

2 3

5

x y z

x y z

x y z

α α β β α β

β αβ α α β β

α β β α β

+ + + = +

+ + = + + + + = +

Solution

( )( ) ( )

3 5 3 5

2 3 2 3

55

x y z x

x y z y

zx y z

α α β β α β α α β β α ββ αβ α α β β β αβ α α β β

α β β α βα β β α β

+ + + = + + + + + = + + ⇔ = + + ++ + = +

( )2 2

0 0α α β β αβ α

β αβ α β αβ α α α β αα β

α β β α β β

+

= = = −

The expression ( )2 2α β α− will be 0 when or α = 0 or when β2 = α2. Otherwise,

( )2 2 0α β α− ≠

Then

If α ≠ 0 and β2 ≠ α2

then rang(A) = rang (A*) = 3 => CONSISTENT with a unique solution

If α = 0

5 5 1

1

5 5

y z y z x

x x y

y z z

β β ββ β λ λβ β β λ

+ = + = =

= ⇔ = = ∈ + = = −

ℝ

Which has rang(A) = rang(A*) = 2 => CONSISTENT with infinitely many solutions


If β2 = α2 then β = ±α and the system results

If β = +α

2 2

2 8 2 8 1 2 1 1 2 8

2 4 2 4 1 1 0 and 1 2 4 0

6 6 1 1 1 1 1 6

x y z x y z

x y z x y z forsomevalue

x y z x y z

α α α α

α α α α α α α α α αα α α α

+ + = + + =

+ + = + ⇔ + + = + → = + ≠ + + = + + =

The system is INCONSISTENT for α

If β = -α

2 2

2 2 1 0 1 1 0 2

2 2 2 2 1 1 0 and 1 2 2 0

2 4 2 4 1 2 1 1 2 4

x z x z

x y z x y z

x y z x y z

α α α

α α α α α α α α α αα α α α

− = − − = − − −

− − + = − + ⇔ − − + = − + − − = − − − + ≠ − − = − − − = − − − − −

The system is INCONSISTENT for α

http://www.iesbajoaragon.com/~matematicas/Matemat2/rouche_06.pdf

Extraordinaria colección de problemas propuestos en Matemáticas II de Ed Santillana.


BIBLIOGRAFIA

MATEMATICAS aplicadas a las ciencias sociales, 2º BACH. Andrés Nortes y otros. Editorial SANTILLANA

http://www.matematicasbachiller.com/ Genial web, con montones de problemas resueltos mediante videos

http://www.numbertheory.org/book/

http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/LinAlg/SpecialMatrices.aspx Magnifica página en inglés de álgebra lineal

http://en.wikipedia.org/wiki/Determinant

http://www.iesbajoaragon.com/~matematicas/Matemat2/rouche_06.pdf

algebra lineal. sistemas

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