algebra lineal parcial 4

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”

VICERRECTORADO DE BARQUISIMETODEPARTAMENTO DE ESTUDIOS GENERALES Y BÁSICOS

SECCIÓN DE MATEMÁTICAS

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O 25Cuarto Examen Parcial de Algebra Lineal - Sustitutivo (25 %)

Apellidos Nombres Seccion

Cedula Profesor Fecha 07/03/2005

LEA CUIDADOSAMENTE CADA PREGUNTA ANTES DE RESPONDERLAJUSTIFIQUE SUS RESPUESTAS DEBIDAMENTE

TRABAJE ORDENADAMENTE Y ESCRIBA DE FORMA CLARA Y LEGIBLE

Primera parte. Verdadero o Falso.Decidir sobre la veracidad o falsedad de la siguientes proposiciones. (2 ptos. c.u.)

1. Si λ es un valor propio de A, entonces λ2 es un valor propio de A2.

2. Si A es invertible, entonces todos sus valores propios son distintos de 0.

3. Si A es diagonalizable, entonces todos sus valores propios son reales y distintos.

Segunda parte. Desarrollo.Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente.

1. Considere la aplicacion T : M2×2 → P3 dada por:

T

(

a b

c d

)

= (a−b+2c+d)+(−a+2c+2d)x+(a−2b+5c+4d)x2+(2a−b+c−d)x3

a) Pruebe que T es una transformacion lineal (2 ptos.)

b) Hallar la matriz de la transformacion, el nucleo, la imagen, el rango y la nulidadde T . (4 ptos.)

2. Dada la matriz

A =

4 1 0 12 3 0 1−2 1 2 −32 −1 0 5

a) Hallar los valores propios de A. (2 ptos.)

1

b) ¿Cual es la multiplicidad algebraica y geometrica de cada uno de los valorespropios de A? (3 ptos.)

c) ¿Es A diagonalizable? en caso afirmativo halle la matriz C tal que C−1AC esdiagonal. (1 pto.)

3. Sean V y W espacios vectoriales reales. Pruebe que T : V → W es una trans-formacion lineal si y solo si para cualesquiera u, v ∈ V y α ≥ 0 se tiene queT (u + αv) = T (u) + αT (v) (3 ptos.)

4. Sea T : V → V una transformacion lineal. Sean β1 y β2 bases de V. Si AT es larepresentacion matricial de T en la base β1 y BT es la representacion matricial deT en la base β2, pruebe AT y BT son similares. (4 ptos.)

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O 25Cuarto Examen Parcial de Algebra Lineal (25 %)





1. Considere la transformacion lineal T : M2×2(R) → P2 dada por:

T

(

a b

c d

)

= (a + b − c) + (a + 2b + c + d)x + (−a − 3b − 3c − 2d)x2

a) Encuentre la matriz de la Transformacion con respecto a las bases canonicasde M2×2(R) y P2. (2 ptos.)

b) Encuentre:

1) El nucleo y la nulidad de la transformacion. (3 ptos.)

2) La imagen y el rango de la transformacion. (2 ptos.)

2. Dada la matriz

A =

4 1 0 12 3 0 1

−2 1 2 −32 −1 0 5



c) ¿Es A diagonalizable? en caso afirmativo halle la matriz invertible C y la matrizdiagonal D tal que D = C−1AC. (2 ptos.)


4. Sea la aplicacion T : R3→ P1 tal que T (1,−2,−1) = 2 + 4x, T (0, 1,−2) = −1 y

T (1,−2, 0) = 5 − 3x. ¿Es T lineal? en caso afirmativo halle T (x, y, z). (5 ptos.)

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O 25Cuarto Examen Parcial de Algebra Lineal - Sustitutivo (25%)





1. Considere la transformacion lineal T : P2 → P3 dada por:

T (p(x)) = xp(x)

a) Encuentre la matriz de la Transformacion con respecto a las bases β1 = {1, x, x2}y β2 = {1, (1 + x), (1 + x)2, (1 + x)3}. (4 ptos.)

b) Encuentre:



2. Dada la matriz

A =

1 0 1 41 0 3 2

−3 2 1 −25 0 −1 2




3. Sean V y W espacios vectoriales reales. Pruebe que T : V → W es una trans-formacion lineal si y solo si para cualesquiera u, v ∈ V y α ≥ 0 se tiene queT (u + αv) = T (u) + αT (v) (5 ptos.)

4. Pruebe que si A es similar a B, entonces An es similar a Bn con n ∈ Z+. (4 ptos.)

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O 25Cuarto Examen Parcial de Algebra Lineal (25 %)





1. Considere la transformacion lineal T : M2×2(R) → P2 dada por:

T

(

a b

c d

)

= (a + b − c) + (a + 2b + c + d)x + (−a − 3b − 3c − 2d)x2

a) Encuentre la matriz de la Transformacion con respecto a las bases canonicasde M2×2(R) y P2. (2 ptos.)

b) Encuentre:



2. Dada la matriz

A =

4 1 0 12 3 0 1

−2 1 2 −32 −1 0 5





4. Sea la aplicacion T : R3→ P1 tal que T (1,−2,−1) = 2 + 4x, T (0, 1,−2) = −1 y

T (1,−2, 0) = 5 − 3x. ¿Es T lineal? en caso afirmativo halle T (x, y, z). (5 ptos.)

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O 25Cuarto Examen Parcial de Algebra Lineal (25%)

Apellidos y Nombres Seccion

Profesor Cedula Fecha:



Responda las siguientes preguntas razonando sus respuestas suficientemente.

1. Considere la aplicacion lineal T : M2×2 → P2 dada por:

T

([

a b

c d

])

= (2b − c) + (a − b + d)x + (3a − b − c + d)x2

Halle:

a) Una representacion matricial de T . (1 ptos.)

b) El nucleo e imagen de T . (3 ptos.)

c) La nulidad y el rango de T . (1 ptos.)

2. Dada la matriz

A =

5 4 24 5 22 2 2

a) Halle los autovalores de A. (1 pto.)

b) ¿Cual es la multiplicidad geometrica y algebraica de cada uno de los autovaloresde A? (4 ptos.)

c) ¿Es diagonalizable? En caso afirmativo halle la matriz diagonal D y la matrizinvertible P tales que D = P−1AP . (1 ptos.)

3. Halle la transformacion lineal T : R4 → M3×1(R), si existe, tal que:

T (1,−2, 1, 1) =

12

−3

; T (2, 1, 3, 0) =

0−1

2

T (0, 5, 1,−2) =

−2−5

8

; T (3,−1, 3, 0) =

1−1

2

(5 ptos.)

1

4. Pruebe que:

a) Si A es una matriz diagonalizable de orden n y λ1, λ2, . . . , λn son los autovaloresde A, entonces det(A) = λ1λ2 · · ·λn. (3 ptos.)

b) Si β = {v1, v2, . . . , vn} es una base de V y T y L son dos transformacioneslineales de V en W tales que T (vi) = L(vi) para cada i ∈ {1, . . . , n}, entoncesT = L, es decir, T (v) = L(v) para cada v ∈ V. (3 ptos.)

c) Si T : V → W es una transformacion lineal tal que N(T ) = 0/V y si {v1, v2, · · · , vn}es un subconjunto linealmente independiente de V, entonces {T (v1), T (v2), · · · , T (vn)}es un subconjunto linealmente independiente de W. (3 ptos.)

¡EXITO!

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