PARA ESTUDIANTES DEINGENIERA Y CIENCIASPARA ESTUDIANTES DEINGENIERA Y CIENCIASJuan Carlos Del Valle SoteloInstituto Tecnolgico y de Estudios Superioresde Monterrey, Campus Estado de MxicoPage (PS/TeX): 1 / 4, COMPOSITEDirector General Mxico:Editor sponsor:Coordinadora editorial:Supervisor de produccin:Miguel ngel Toledo CastellanosPablo Eduardo Roig VzquezMarcela I. Rocha MartnezZeferino Garca GarcaLGEBRA LINEAL PARA ESTUDIANTES DE INGENIERA Y CIENCIASProhibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.DERECHOS RESERVADOS 2011 respecto a la primera edicin porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.Edificio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D. F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736A Subsidiary of Companies, Inc. The McGraw-HillISBN: 978-970-10-6885-41234567890 1098765432101Impreso en Mxico Printed in MexicoPage (PS/TeX): 5 / 5, COMPOSITEA la memoria de Esther, mi amada madre;a mi hermano Manuel;a mis hijas Miriam y SamanthaEn un universo quiz a innitoinconcebiblemente antiguoes una dicha saber que tengo mi origenen una amorosa madre y en un hermanoque me cuid o como a un hijoy por eso es mi padrey percibir una innit esima parte de men la mirada de dos peque nos seresque en momentos difcileshan sido tan grandes.Page (PS/TeX): 6 / 6, COMPOSITEPage (PS/TeX): 7 / 7, COMPOSITEContenidoAgradecimientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIIIPrlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVPARTE IMATRICES, SISTEMAS Y DETERMINANTESCAPTULO 1 Matrices y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1 1.1.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.1 1.1.2 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1.1 1.1.3 Matrices especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 1.1 1.1.4 Propiedades de las operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 1.1 1.1.5 Matrices con n umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 1.2 Sistemas lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 1.1 1.2.1 Deniciones, soluciones y forma matricial de sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 1.1 1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 1.1 1.2.3 Operaciones de rengl on para matrices, equivalencia por las y soluciones1 1.1 1.2.3 de sistemas escalonados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 1.1 1.2.4 M etodo de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 1.1 1.2.5 M etodo de Gauss-Jordan y sistemas con soluci on unica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 1.1 1.2.6 Sistemas homog eneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 1.1 1.2.7 Estructura de las soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321 1.1 1.2.8 Sistemas lineales con n umeros complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 1.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 1.1 1.3.1 Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 1.1 1.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55CAPTULO 2 Matrices invertibles y determinantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 2.1 Matrices invertibles y sus inversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 1.1 2.1.1 Denici on y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 1.1 2.1.2 Matrices invertibles y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 1.1 2.1.3 M etodo de Gauss-Jordan para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 681 1.1 2.1.4 Matrices elementales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 711 1.1 2.1.5 Inversas de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 741 2.2 Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 1.1 2.2.1 Desarrollo por cofactores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 751 1.1 2.2.2 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 801 1.1 2.2.3 M etodo de la adjunta para hallar la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 831 1.1 2.2.4 Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 841 1.1 2.2.5 Determinantes de matrices con componentes complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851 2.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861 1.1 2.3.1 Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 861 1.1 2.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102VIIPage (PS/TeX): 8 / 8, COMPOSITEVIII CONTENIDOPARTE IIESPACIOS VECTORIALES, PRODUCTO INTERIOR, NORMAS,VALORES Y VECTORES PROPIOSCAPTULO 3 Espacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131 3.1 Geometra de los espacios Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131 1.1 3.1.1 El plano cartesiano R2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1131 1.1 3.1.2 Interpretaci on geom etrica del determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1171 1.1 3.1.3 El espacio vectorial Rn, geometra y propiedades algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1191 1.1 3.1.4 La desigualdad de Schwarz, angulos entre vectores y ortogonalidad . . . . . . . . . . . . 1231 3.2 Espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311 1.1 3.2.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1311 1.1 3.2.2 Propiedades elementales de los espacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1381 1.1 3.2.3 Subespacios vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1391 1.1 3.2.4 Combinaciones lineales y subespacios generados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1431 3.3 Dependencia e independencia lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511 1.1 3.3.1 Criterios de independencia lineal en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1561 3.4 Bases y dimensi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1581 1.1 3.4.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1581 1.1 3.4.2 Dimensi on, extracci on de bases y compleci on de un conjunto L.I. a una base . . . . 1601 1.1 3.4.3 Rango de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1691 3.5 Espacios vectoriales sobre los n umeros complejos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1731 3.6 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1751 1.1 3.6.1 Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1751 1.1 3.6.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207CAPTULO 4 Espacios con producto interior y espacios normados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2351 4.1 Espacios con producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2351 1.1 4.1.1 Deniciones, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2361 1.1 4.1.2 Ortogonalidad y norma inducida por el producto interior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2471 1.1 4.1.3 Desigualdad de Schwarz y angulo entre vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2521 1.1 4.1.4 Proyecciones, proceso de ortogonalizaci on, factorizaci on QR. . . . . . . . . . . . . . . . . . 2631 1.1 4.1.5 Aproximaci on optima de un vector por elementos de un subespacio . . . . . . . . . . . . 2831 4.2 Espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3031 1.1 4.2.1 Deniciones y ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3031 1.1 4.2.2 Distancia en espacios vectoriales normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3091 1.1 4.2.3 Normas que provienen de productos interiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3171 1.1 4.2.4 Normas equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3241 1.1 4.2.5 Construcci on de normas en espacios de dimensi on nita a partir de normas en Rn3341 1.1 4.2.6 Aproximaciones optimas en espacios normados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3371 1.1 4.2.7 Qu e norma utilizar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3411 4.3 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3471 1.1 4.3.1 Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3471 1.1 4.3.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383CAPTULO 5 Transformaciones lineales, valores y vectores propios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4151 5.1 Transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4151 1.1 5.1.1 Denici on, ejemplos y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4161 1.1 5.1.2 N ucleo e imagen de una transformaci on lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4221 5.2 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4331 1.1 5.2.1 Vectores de coordenadas, cambio de bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4331 1.1 5.2.2 Representaciones matriciales de un operador lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4411 1.1 5.2.3 Representaciones matriciales de transformaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4471 1.1 5.2.4 Isomorsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452Page (PS/TeX): 9 / 9, COMPOSITECONTENIDO IX1 5.3 Valores y vectores propios, diagonalizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4571 1.1 5.3.1 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4571 1.1 5.3.2 Diagonalizaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4711 1.1 5.3.3 Valores propios complejos y diagonalizaci on sobre C. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4821 1.1 5.3.4 Operadores autoadjuntos y matrices sim etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4911 5.4 Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4971 1.1 5.4.1 Ejercicios resueltos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4971 1.1 5.4.2 Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539PARTE IIIAPLICACIONES, USO DE TECNOLOGA, MTODOS NUMRICOSCAPTULO 6 Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811 6.1 Matrices de incidencia y teora de grafos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5811 6.2 Redes de conducci on y principios de conservaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5891 1.1 6.2.1 Flujo vehicular. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5901 1.1 6.2.2 Circuitos el ectricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5911 1.1 6.2.3 Balance qumico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5951 6.3 An alisis insumo-producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5961 1.1 6.3.1 Modelo para economa abierta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5961 1.1 6.3.2 Modelo para economa cerrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6021 1.1 6.3.3 Singularidad de la matriz de Leontief para el modelo de economa cerrada . . . . . . 6041 1.1 6.3.4 Inversa de la matriz de Leontief para el modelo de economa abierta y m etodo de1 1.1 6.3.4 aproximaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6051 6.4 Programaci on lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6131 1.1 6.4.1 Enfoque geom etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6131 1.1 6.4.2 M etodo simplex para el problema est andar de programaci on lineal . . . . . . . . . . . . . 6201 1.1 6.4.3 Restricciones generales y m etodo simplex de dos fases. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6311 1.1 6.4.4 Dualidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6411 6.5 Teora de juegos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6441 1.1 6.5.1 Juegos estrictamente determinados y puntos silla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6451 1.1 6.5.2 Estrategias y pagos esperados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6461 1.1 6.5.3 Estrategias optimas y valor esperado para juegos matriciales con matriz de pagos1 1.1 6.3.4 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6481 1.1 6.5.4 Estrategias optimas y valor esperado con programaci on lineal para juegos1 1.1 6.3.4 matriciales con matriz de pagos mn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6521 1.1 6.5.5 Filas y columnas recesivas o dominantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6571 6.6 Cadenas de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6581 6.7 Sistemas lineales de ecuaciones diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6661 6.8 Optimizaci on de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6711 1.1 6.8.1 Problemas fsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6721 1.1 6.8.2 C alculo diferencial en espacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6791 1.1 6.8.3 C alculo diferencial para funcionales en Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6981 1.1 6.8.4 Extremos locales de funcionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7061 1.1 6.8.5 Extremos locales y valores propios de la matriz hessiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7091 1.1 6.8.6 Condiciones necesarias para que cierto tipo de funcionales en espacios de1 1.1 6.3.4 dimensi on innita alcancen valores extremos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7161 1.1 6.8.7 Din amica de un monopolista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7251 1.1 6.8.8 Eplogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7271 6.9 Ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728Page (PS/TeX): 10 / 10, COMPOSITEX CONTENIDOCAPTULO 7 Uso de tecnologa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611 7.1 La calculadora HP 50g y algebra lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611 1.1 17.1.1 Teclado y sus funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7611 1.1 17.1.2 La pantalla y comandos de decisi on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7631 1.1 17.1.3 Modos de operaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7641 1.1 17.1.4 C alculo simb olico vs num erico y almacenamiento de objetos algebraicos . . . . . . 7651 1.1 17.1.5 Escritura de vectores y matrices en la Hp 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7661 1.1 17.1.6 Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7681 1.1 17.1.7 Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711 1.1 17.1.8 Factorizaci on QR y ortogonalizaci on, factorizaci on LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7721 1.1 17.1.9 Forma escalonada y forma escalonada reducida con la HP 50g, sistemas lineales 7731 1.1 7.1.10 M etodos de Gauss y Gauss-Jordan paso a paso en forma autom atica con la1 1.1 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7741 1.1 7.1.11 Inversa de una matriz paso a paso de manera autom atica con la calculadora1 1.1 7.1.10 HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7751 1.1 7.1.12 M etodos de Gauss y Gauss-Jordan con operaciones de rengl on ejecutadas por el1 1.1 7.1.10 usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7751 1.1 7.1.13 Inversa de una matriz por el m etodo de Gauss-Jordan con operaciones de rengl on1 1.1 7.1.10 ejecutadas por el usuario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7771 1.1 7.1.14 Transformaciones lineales, n ucleo e imagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7791 1.1 7.1.15 Valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7801 1.1 7.1.16 N umeros complejos con la HP 50g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7801 7.2 MATLAB y algebra lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811 1.1 17.2.1 Interacci on con MATLAB y almacenamiento de informaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7811 1.1 17.2.2 Escritura de matrices y operaciones b asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7831 1.1 17.2.3 Formatos y modo simb olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7851 1.1 17.2.4 Matrices especiales, informaci on b asica y edici on de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . 7861 1.1 17.2.5 Operaciones de rengl on con MATLAB. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7891 1.1 17.2.6 Funciones programadas por el usuario, programaci on en MATLAB y operaciones1 1.1 7.1.10 de rengl on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7901 1.1 17.2.7 Traza, determinante, rango, inversa y transpuesta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7971 1.1 17.2.8 Forma escalonada reducida, soluci on de sistemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7981 1.1 17.2.9 Valores y vectores propios, polinomio caracterstico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8001 1.1 7.2.10 Factorizaci on QR y factorizaci on LU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8021 7.3 Excel, la herramienta Solver y programaci on lineal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8031 1.1 17.3.1 Activaci on de Solver en Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8031 1.1 17.3.2 La funci on SUMAPRODUCTO de Excel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8051 1.1 17.3.3 Resoluci on de problemas de programaci on lineal con Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . 8061 7.4 Ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813CAPTULO 8 lgebra lineal numrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8191 8.1 Aritm etica de la computadora y errores de redondeo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8191 8.2 M etodos directos para resolver sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8221 1.1 18.2.1 M etodo de Gauss para sistemas lineales de orden n con sustituci on regresiva . . . 8221 1.1 18.2.2 M etodo de Gauss para hallar la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8271 1.1 18.2.3 Factorizaci on LU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8291 1.1 18.2.4 Estrategias para pivotar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8381 8.3 M etodos iterativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8481 1.1 18.3.1 La teora de punto jo y normas matriciales naturales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8481 1.1 18.3.2 M etodo iterativo de Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8621 1.1 18.3.3 Planteamiento general para un m etodo iterativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 877Page (PS/TeX): 11 / 11, COMPOSITECONTENIDO XI1 1.1 8.3.4 M etodo iterativo de Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8801 1.1 8.3.5 M etodo iterativo de Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8871 1.1 8.3.6 Series de Neumann y m etodo iterativo para aproximar la inversa de una matriz . . 8961 8.4 Transformaciones de Householder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9011 1.1 8.4.1 Deniciones y transformaciones b asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9021 1.1 8.4.2 Factorizaci on QR de Householder y sistemas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9081 1.1 8.4.3 Reducci on de Householder-Hessenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9131 1.1 8.4.4 Rotaciones y reexiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9171 8.5 Aproximaci on de valores y vectores propios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9231 1.1 8.5.1 M etodo de la potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9231 1.1 8.5.2 Deaci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9311 1.1 8.5.3 Iteraci on inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9371 1.1 8.5.4 M etodo QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9391 1.1 8.5.5 M etodo QR con reducci on de Hessenberg y desplazamientos . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9461 1.1 8.5.6 M etodo de Jacobi para aproximar valores y vectores propios de matrices sim etricas 9501 8.6 Ejercicios propuestos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956A Conjuntos, demostraciones e induccin matemtica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985A A.1 Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9851 1.1 A.1.1 Conjuntos, elementos y subconjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9851 1.1 A.1.2 Operaciones con conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9881 1.1 A.1.3 Reuniones e intersecciones de familias de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 992A A.2 Demostraciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9931 1.1 A.2.1 El m etodo deductivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9931 1.1 A.2.2 M etodos de demostraci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9951 1.1 A.2.3 Bicondicional y deniciones, lemas y corolarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 999A A.3 Inducci on matem atica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1002B Nmeros complejos, campos y espacios vectoriales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011B B.1 N umeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1011B B.2 Campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1017B B.3 Polinomios sobre campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10211 1.1 B.3.1 Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10211 1.1 B.3.2 Races y teorema fundamental del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025B B.4 Espacios vectoriales sobre otros campos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1026B B.5 Aplicaci on a la teora de detecci on y correcci on de errores en c odigos . . . . . . . . . . . . . . . 1030C Demostraciones que fueron diferidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1037D Formas cannicas de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055E Respuestas a ejercicios seleccionados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073Lista de smbolos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1105Alfabeto griego . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1108Lista de aplicaciones adicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1109Lista de programas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1110Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111ndice analtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113Page (PS/TeX): 12 / 12, COMPOSITEPage (PS/TeX): 13 / 13, COMPOSITEAgradecimientosDeseo primeramente agradecer a Miguel Angel Toledo y a Ram on Ordu na, quienes me invitaron a rea-lizar este proyecto con McGraw-Hill, por el gran apoyo y paciencia que tuvieron desde el inicio hasta laculminaci on de la obra, sin ellos hubiera sido imposible terminarla. Este libro lo escrib en el procesadorde texto matem atico y cientco LATEXy el trabajo editorial para su formaci on fue considerable; deseodar las gracias a Marcela Rocha y a Pablo Roig por todo el esfuerzo que hicieron para que el proyectopudiera editarse en ese formato y por toda la ayuda que me brindaron en el transcurso de su elaboraci on.La mayora de la las guras las constru utilizando los programas LaTeXPiX, TeXCad, GNUPLOT,TeXCad32 o LaTeX-CAD; deseo dar cr edito y reconocimiento a los autores de estos paquetes dedistribuci on gratuita por la magnca tarea que han realizado en esas herramientas de dibujo en elambiente LATEX, las cuales facilitaron enormemente el trabajo gr aco en este libro. Tambi en quieroreconocer la excelente labor de maquetaci on por parte de Merc` e Aicart Martnez.Las im agenes 3D la m aquina de la p agina 416 y los dep ositos interconectados de la gura6-20, fueron dise nadas por Ernesto Byas Lizardo y Ram on Nu nez Serrania. Todos los dibujos delos circuitos el ectricos y los digrafos del captulo 6 los realizaron Miriam Del Valle y Samantha DelValle. Los planos en tres dimensiones de la gura 1-2 los construy o Eli en Rodrguez Del Valle. Ernestoy Miriam hicieron la revisi on, en computadora, de las respuestas num ericas de muchos de los ejerciciospropuestos y Miriam ley o el texto en su totalidad para localizar erratas. Mi m as sincero agradecimientoa todos ellos por la desinteresada ayuda que me brindaron.Doy gracias a las autoridades del campus Estado de M exico, del Instituto Tecnol ogico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, por las facilidades que me dieron para la realizaci on de esta obra; y a EnriqueOrtiz, de HP Calculators Latin America, por el soporte otorgado para la realizaci on de la secci on 7.1.El doctor Francisco Delgado Cepeda, profesor del campus Estado de M exico, ley o por completo elprimer captulo; le agradezco mucho su colaboraci on y valiosos comentarios.El doctor Fermn Acosta Magallanes, profesor del campus Estado de M exico y de la UPIITA delIPN, sacric o mucho de su tiempo al leer casi en su totalidad el libro. Sus comentarios, observaciones ycorrecciones fueron de un enorme valor. Obviamente cualquier error t ecnico en el texto es absolutamentemi responsabilidad. El inter es constante que mantuvo Fermn en la realizaci on de esta obra fue un granestmulo para su culminaci on y estar e siempre agradecido con el.Cuando estaba escribiendo este trabajo, se presentaron algunos problemas serios en mi salud, ygracias a los cuidados y apoyo de mis hermanas Rosa Mara y Gabriela, mi hermano Manuel, mi cu nadoJos e Manuel Lara, mi doctora de cabecera Daniela Lara Del Valle, mis sobrinos Emmanuel Lara, EtzelRodrguez, Rosa Mara Lara, Noem Del Valle, Alejandro Urban, y mis hijas Samantha y Miriam, ahoraestoy escribiendo estas ultimas lneas. Espero que ellos sepan que pueden contar siempre conmigo comoyo cont e con ellos.XIIIPage (PS/TeX): 14 / 14, COMPOSITEXIV AGRADECIMIENTOSEscribir un libro, especialmente uno como este, es una labor en la que hay gran sacricio no s olodel autor, sino tambi en de los que son m as cercanos a el: su familia; en este caso mis hijas Samanthay Miriam. Su paciencia, amor y comprensi on fueron el principal incentivo para llegar al nal de esteproyecto.Finalmente quiero agradecer a Rub en Dario Santiago Acosta, director del Departamento de Ma-tem aticas y Fsica del campus Estado de M exico, por su valiosa cooperaci on para la realizaci on de estelibro. En la vida de todo ser humano existen periodos en que los avatares son m as intensos y frecuentes;el lapso para realizar esta obra fue una de esas etapas para m. Rub en fue en todo momento un apoyo y,aunque la suerte no siempre est a de mi lado, soy muy afortunado por tener a un gran amigo como el.Page (PS/TeX): 15 / 15, COMPOSITEPrlogoEste libro tiene su germen en las notas del curso semestral de algebra lineal que he impartido a lo largode varios a nos en el Instituto Tecnol ogico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado deM exico, las cuales son el esqueleto de lo que ahora pretendo mostrar como un cuerpo ya con piel ycompleto, que se desarroll o gracias a la experiencia adquirida a trav es de todos esos a nos.El objetivo principal es presentar a detalle y profundidad los principales temas del algebra lineal,mostrando la utilidad de esta materia por medio de una gran variedad de aplicaciones a otros campos y alas propias matem aticas. Integrando la teora, la pr actica, el uso de tecnologa y los m etodos n umericosde esta disciplina.El libro est a dise nado de tal manera que se puede usar para un curso de uno o dos semestres, depen-diendo de los programas de estudio de cada instituci on y de la profundidad con la que se desee tratarcada tema. En el primer caso conviene cubrir las partes I y II, exceptuando los apartados 4.2, 5.3.3 y5.3.4. Para el segundo caso, se recomiendan todos los temas de las partes I y II, las formas can onicasde Jordan del ap endice D y el material adicional que se incluye en el sitio web del libro. En ambasmodalidades se pueden incluir las secciones que se consideren adecuadas de la parte III, especialmentelas aplicaciones del captulo 6.Como su nombre lo indica, Algebra lineal para estudiantes de ingeniera y ciencias est a orientadopara ser utilizado tanto en escuelas de ingeniera como en escuelas de ciencias, ya sea a nivel licenciaturao posgrado. Los requisitos acad emicos para la comprensi on del material son las matem aticas elementa-les que se cubren a nivel medio superior ( algebra, geometra analtica y c alculo diferencial e integral).La mayora de los estudiantes que toman un curso de algebra lineal, salvo los que cursan la ca-rrera de matem aticas, se enfrentan por primera vez a una materia en la que se tienen que hacer de-mostraciones de teoremas y proposiciones matem aticas utilizando el m etodo l ogico-deductivo; es laprincipal dicultad que entra na un curso de esta naturaleza para el lector profano en el campo delrigor matem atico. Sin embargo, en algebra lineal la mayora de las demostraciones son constructi-vas; es decir, la prueba de un teorema es en s un algoritmo para resolver una serie de importan-tes problemas; lo cual representa una ventaja did actica para poder iniciarse en el rigor l ogico de lasmatem aticas. Aun tomando en consideraci on esa ventaja, aprender en qu e consiste probar rigurosa-mente proposiciones matem aticas no es f acil. Para apoyar al estudiante en esta tarea, el ap endice A.2contiene una breve introducci on al m etodo deductivo y a los m etodos de demostraci on en matem ati-cas dise nada para que el lector pueda estudiarla por cuenta propia o con un poco de ayuda desu profesor, a trav es de casos concretos y con un mnimo de conocimientos previos que segura-mente todo estudiante, a este nivel, posee. En estos tiempos, donde la credulidad y las pseudocien-cias son estimuladas medi aticamente como instrumentos de mercadotecnia para vender productos quecuran todos los males incluyendo los polticos y sociales, el escepticismo, como una cultu-ra de lo que se arma se demuestra, debera ser cultivado por el Homo sapiens moderno y el alge-bra lineal es una excelente oportunidad para iniciarse, al menos en la parte matem atica, en esa cultura.XVPage (PS/TeX): 16 / 16, COMPOSITEXVI PROLOGOHe dividido el libro en tres partes que, desde mi punto de vista, conforman lo que es el algebra lineal.Las primeras dos contienen el n ucleo te orico de la materia. La parte I matrices, sistemas lineales, de-terminantes e inversas de matrices es la m as elemental y es la columna vertebral en la que se apoya elresto del libro; mientras que la II espacios vectoriales, producto interior, normas, valores y vectorespropios es el corpus de ese n ucleo que incluye los temas m as relevantes del algebra lineal. Estos dossegmentos constituyen los primeros cinco captulos de la obra, y en ellos he intentado exponer el signi-cado matem atico del algebra lineal. En la parte III que contiene los ultimos tres captulos del texto,a trav es de diversas aplicaciones en el captulo 6, he tratado de hacer patente la utilidad pr actica quetiene esta importante materia. Los c alculos num ericos en algebra lineal pueden llegar a ser muy com-plejos aritm eticamente y tomar demasiado tiempo realizarlos; afortunadamente en esta epoca contamoscon tecnologa para apoyarnos en esta tarea. En el captulo 7, inclu el uso de la tecnologa en el algebralineal, especcamente con MATLAB y la calculadora HP 50g; y EXCEL, para programaci on lineal. Sinembargo, una exposici on del algebra lineal que no muestra las dicultades inherentes que se presentanal hacer c alculos num ericos en esta materia y c omo resolverlas matem aticamente, es incompleta. Poresta raz on, el captulo nal contiene una introducci on relativamente profunda de los principales m etodosnum ericos que se utilizan en algebra lineal; con m as de 32 programas en MATLAB de esos algoritmospara ser utilizados o modicados, en este u otro lenguaje, por el estudiante a su conveniencia.Al escribir esta obra intent e tener siempre presentes los obst aculos a los que se enfrentan la mayorade los estudiantes de algebra lineal, el principal es el alto nivel de abstracci on de la materia. Para soslayaresta dicultad, el libro contiene m as de 200 guras con el prop osito de crear im agenes que puedanayudar al lector a visualizar fsica y geom etricamente entes abstractos y convertirlos en conceptos m asconcretos. Adem as, a lo largo de sus 8 captulos y 5 ap endices, inclu m as de 450 ejemplos para apoyarloa comprender la materia. Sin embargo, pens e que esto no era suciente, pues el estudiante necesitaver c omo se resuelven ejercicios en algebra lineal, sobre todo aquellos que tienen contenidos altos deabstracci on; por esta raz on incorpor e, en la ultima secci on de cada uno de los primeros cinco captulosque conforman el n ucleo principal del libro un grupo de ejercicios resueltos con detalle; en totalforman un conjunto de m as de 230 ejercicios de c alculos directos, demostraciones, etc., que junto conlos ejemplos del texto suman un total de m as de 680 problemas completamente resueltos que el lectorpuede consultar seg un lo necesite. Naturalmente, no basta con ver, se necesita hacer y, para ello,el libro contiene al nal de cada captulo una secci on de ejercicios propuestos al estudiante conrespuestas a los ejercicios seleccionados en el ap endice E para que practique a discreci on o de acuerdocon las instrucciones de su profesor; en total el libro cuenta con m as de 2300 ejercicios propuestos.Con el prop osito de no interrumpir la exposici on de la teora en el texto y para facilitar su consulta,coloqu e aparte, en el captulo 6, las aplicaciones. Al principio de cada una de ellas se hacen explcitoslos requisitos del material del texto y de otras disciplinas que se necesitan para su estudio. El nivelde las aplicaciones aumenta gradualmente desde el muy elemental hasta un nivel que demanda muchom as esfuerzo para su comprensi on; sin embargo, confo que la utilidad nal que el estudiante encuentreen ellas bien valdr a la pena el tiempo invertido para su estudio. De hecho, este captulo se puede abordarinmediatamente despu es de que se cumplan los requisitos que se nala la aplicaci on correspondiente; porejemplo, las aplicaciones de las secciones 6.1, 6.2, 6.4, 6.5 y 6.6, se pueden tratar en seguida que seha cubierto el material de matrices y sistemas lineales (o en forma simult anea). Sin embargo, en eltexto hay algunas aplicaciones que en realidad est an concatenadas a la teora por ejemplo, el tema deaproximaci on optima en espacios normados, o la interesante teora de detecci on y correcci on de erroresen c odigos binarios que est a al nal del ap endice B, esas no las inclu en el captulo 6 y se encuentrandispersas a lo largo del libro; en la p agina 1109 hay una lista de ellas con referencias al lugar donde sePage (PS/TeX): 17 / 17, COMPOSITEPROLOGO XVIIlocalizan en el texto. Una funci on semejante cumple el listado de la p agina 1110, que es una descripci onde los principales programas en MATLAB que contiene el libro y se nala su ubicaci on.Adem as, esta obra cuenta con una p agina donde el estudiante tendr a acceso a diversos recursos:www.mhhe.com/uni/delvalleag1e.Espero que Algebra lineal para estudiantes de ingeniera y ciencias cumpla con los prop ositos paralos que fue creado, sirva de apoyo a la labor docente de los profesores que trabajan educando en estamateria y que vosotros, estudiantes, encuentren en el no s olo d onde aprender algebra lineal, sino quetambi en disfruten de ese proceso como yo lo hice al escribir cada una de las lneas de este libro (tambi ensufr, ojal a ustedes no).M exico D.F., primavera de 2011JUAN CARLOS DEL VALLE SOTELOPage (PS/TeX): 18 / 18, COMPOSITEPage (PS/TeX): 1 / 1, COMPOSITEIMatrices, sistemas ydeterminantesPage (PS/TeX): 2 / 2, COMPOSITEPage (PS/TeX): 3 / 3, COMPOSITE1Matrices ysistemas linealesEn este captulo se introducen los conceptos b asicos que se requieren para estudiar algebra lineal. Co-menzamos en la primera secci on con el tema fundamental de matrices. Las matrices se crearon paraoperar ciertos arreglos num ericos que aparecen tanto en aplicaciones como en las propias matem ati-cas. Continuamos en la segunda secci on con el estudio general de sistemas de ecuaciones lineales. Lossistemas de ecuaciones lineales tienen una gran variedad de aplicaciones en ciencias e ingeniera y se-guramente el lector ya tuvo alg un contacto con ellos en forma elemental en secundaria y bachillerato;aqu nos abocamos a un estudio general y profundo de este importante tema. La tercera secci on con-tiene un compendio de ejercicios resueltos de las dos secciones precedentes para que el lector consulteel mayor n umero de ejemplos resueltos y un conjunto de ejercicios propuestos para que los resuelva elestudiante.1.1 Matrices1.1.1 Deniciones y ejemplosDenici on 1.1 Una matriz A es un arreglo de m-renglones o las y n-columnas de mn n umerosreales:A =a11a12 a1na21a22 a2n............am1am2 amn.Se dice entonces que A es una matriz de tama no mn y simb olicamente se escribeA = [ai j] ,i = 1, 2, ..., m; j = 1, 2, ..., n. Esto es, ai j representa el n umero que se encuentra en la la i y en lacolumna j. A los elementos ai j se les llaman las componentes (entradas) de la matriz A.P Nota 1.11. Los par entesis rectangulares se pueden suplir por par entesis circulares en notaciones matriciales.En este libro emplearemos par entesis rectangulares.3Page (PS/TeX): 4 / 4, COMPOSITE4 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales2. En el caso particular de que una matriz tenga tama no 1 1 escribiremos simplemente a en lugarde [a]; es decir, identicaremos toda matriz [a] con el n umero real a. Ejemplo 1.1 SiA =_ 2 3 54 2 1_,A es una matriz 23 y, para este caso, a11 =2, a12 = 3, a13 = 5, a21 =4, a22 = 2, a23 = 1.P Nota 1.2 Al conjunto de matrices de tama no mn lo denotaremos, en este libro, por Mmn.Denici on 1.2 Dos matrices A = [ai j], B = [bi j] son iguales (A = B) si y s olo si: A y B tienen el mismo tama no y ai j = bi ji , j. Ejemplo 1.2 De acuerdo con la denici on precedente_ 1 3 95 7 2_=_ 1 3 95 6 2_. Ejemplo 1.3 Determinar el valor de a para que las matrices A =_a 11 2a_ y B =_2 11 4_sean iguales.Soluci on Dado que ambas matrices tienen el mismo tama no ellas ser an iguales si y s olo si coincidencomponente a componente; para lo cual es suciente que a = 2 y 2a = 4; esto es, para a = 2. Ejemplo 1.4 Resolver el ejemplo anterior si A =_ a 03 3a_y B =_ 1 03 4_.Soluci on Para que las matrices sean iguales se requiere, en este caso, que a = 1 y 3a = 4, luego sedebe tener simult aneamente a = 1 y a = 4/3; lo cual es imposible. Por tanto A = B para cualquier valorde a. 1.1.2 Operaciones con matrices1. Multiplicaci on de un escalar1con una matriz. Si R y A = [ai j] Mmn se deneA =[ai j]. Es decir, el resultado de multiplicar una matriz con un escalar es la matriz que tiene comocomponentes cada una de las entradas de la matriz original multiplicada por dicho escalar.2. Suma de matrices. Si A, B Mmn, A = [ai j], B = [bi j]; se dene la suma de A con B comoA+B = [ci j], con ci j = ai j +bi j i , j. As, la suma de dos matrices s olo se puede realizar cuando estas tienen el mismo tama no y el resultado es tambi en una matriz mn.11Diremos que todo n umero real es un escalar.Page (PS/TeX): 5 / 5, COMPOSITESECCION1.1 Matrices 53. Multiplicaci on de una matriz la por matriz columna.2_ a11a12 a1n b11b21bn1= a11b11 +a12b21 + a1nbn1.De acuerdo con esta denici on, el producto de una matriz la con una matriz columna s olo se pue-de llevar a cabo cuando la primera tiene tama no 1n y la segunda n1 (las dos tienen el mismon umero de componentes) y el resultado de la operaci on ser a una matriz 1 1 (un n umero real).4. Producto de una matriz mn con una matriz np. Si A = [ai j] Mmn y B = [bi j] Mnp,el producto de A con B se dene como AB = [ci j] dondeci j =nk=1aikbk j,para i = 1, 2, . . . , m y j = 1, 2, . . . , p. Es decir, la componente ci j del producto AB es el resultadode multiplicar la i- esima la de A con la j- esima columna de B. Adem as, para poder efectuar elproducto, la primera matriz debe tener el mismo n umero de columnas que de las la segunda y lamatriz AB tiene entonces tama no mp. En forma equivalente, si Fi, i = 1, . . . , m, son las las de Ay Cj, j = 1, . . . , p, son las columnas de B, entoncesAB =F1C1F1C2 F1CpF2C1F2C2 F1Cp............FmC1F2C2 FmCp(1.1) Ejemplo 1.5 Hola21 0 1 22 4 1 32 4 0 5=2 0 2 2222 422 322 42 0 52 Si A =_ 2 4 15 2 0_y B =_ 4 5 21 0 1_, entonces A+B =_ 6 9 14 2 1_._ 1 0 2 4 5 21004==(1)(2) +(0)(1) +(2)(0)+ (4)(0) +(5)(4)22.Note que en este caso la matriz la tiene tama no 1 5 y la columna 5 1 (las dos tienen el mismon umero de componentes).12Una matriz la es una matriz que tiene solamente un rengl on y una matriz columna es una matriz que tiene una sola columna(cfr. inciso 3 de la p ag. 8).Page (PS/TeX): 6 / 6, COMPOSITE6 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales Ejemplo 1.6 SiA =_ 1 2 40 2 1_y B =1 2 4 50 1 0 21 0 0 1,A M23, B M34; el producto AB est a denido (el n umero de columnas de A es igual al n umero delas de B, en este caso 3) y el producto AB ser a una matriz 24, dos las y cuatro columnas (tantas lascomo A y tantas columnas como B). Para obtener las componentes ci j de las las de la matriz productoAB procedemos de la manera siguiente.La primera la de AB: Los elementos de la primera la de AB se obtienen multiplicando, sucesi-vamente, la primera la de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B:c11 =_ 1 2 4 101= 5,c12 =_ 1 2 4 210= 4,c13 =_ 1 2 4 400=4,c14 =_ 1 2 4 521=5.La segunda la de AB: Los elementos de la segunda la de AB se obtienen multiplicando, sucesi-vamente, la segunda la de A con la primera, segunda, tercera y cuarta columas de B:c21 =_ 0 2 1 101=1,c22 =_ 0 2 1 210=2,c23 =_ 0 2 1 400= 0,c24 =_ 0 2 1 521= 5.Luego,AB =_ 5 4 4 51 2 0 5_.Page (PS/TeX): 7 / 7, COMPOSITESECCION1.1 Matrices 7En realidad, la notaci on matricial est a dise nada para ejecutar mec anica y mentalmente los c alculoscuando el tama no de las matrices no es muy grande; por eso el lector debe procurar, en la medida delo posible, aprovechar esta ventaja para efectuar las operaciones de esta manera. De hecho, a partir deaqu, el lector ya no encontrar a un producto de matrices realizado con el detalle con el que se hizo en elejemplo precedente; pues utilizaremos sistem aticamente (1.1) para producto de matrices y haremos losc alculos sin hacer explcitas las operaciones. Ejemplo 1.71 0 12 1 13 2 00 1 11 1 10 1 2=F1C1F1C2F1C3F2C1F2C2F2C3F3C1F3C2F3C3=0 2 11 0 32 5 5.1.1.3 Matrices especiales1. Matriz cero. La matriz cero de tama no mn se dene como aquella que tiene las mn compo-nentes nulas; esto es,O = [ai j]donde ai j = 0 i , j. As, por ejemplo,O =_0 0 00 0 0_es la matriz cero 23.2. Matriz identidad nn:In =1 0 00 1 0............0 0 1;es decir, In = [ai j], dondeai j =_ 1, si i = j;0, si i = j.As, por ejemplo,I3 =1 0 00 1 00 0 1es la matriz identidad 33.Page (PS/TeX): 8 / 8, COMPOSITE8 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales3. Como mencionamos en el inciso 3 de la subsecci on 1.1.2, a las matrices que tienen s olo una la os olo una columna les llamaremos, respectivamente, matrices la y matrices columna. Adem as,en este libro utilizaremos una notaci on especial en el caso de las matrices columna (cuando tenganm as de un elemento) an aloga a la notaci on vectorial

b =a11a21...an1.La raz on de esta notaci on se ver a m as adelante cuando se estudie el espacio vectorial Rn en elcaptulo 3.A las matrices de tama no n n les llamaremos matrices cuadradas de orden n y al conjunto for-mado por estas lo denotaremos por Mn. Si A = [ai j] es una matriz cuadrada de orden n se dice que loselementos a11, a22, a33,..., ann forman o est an en la diagonal de la matriz A. Y si A = [ai j] Mmn,diremos que los elementos ai j con i = j forman la diagonal principal de la matriz A. Ejemplo 1.8 SiM =1 5 0 27 3 1 13 0 4 21 5 9 7entonces m11 =1, m22 = 3, m33 = 4, m44 = 7sonlos elementos de la diagonal de la matriz cuadrada M.Denici on 1.3 Una matriz cuadrada A de orden n es triangular superior si las componentes queest an por debajo de la diagonal son todas nulas. La matriz es triangular inferior si las componentesque est an por arriba de la diagonal son todas iguales a cero. Ejemplo 1.9 SiA =1 5 0 20 3 1 10 0 4 20 0 0 7y B =1 0 0 05 3 0 02 0 4 06 0 4 0,entonces A es una matriz triangular superior y B es una matriz triangular inferior.Denici on 1.4 Sea A una matriz cuadrada de orden n. Se dice que A es una matriz diagonal si todaslas componentes fuera de su diagonal son nulas. Si aii = i, i = 1, 2, . . . , n, son las componentes de ladiagonal de esta matriz se escribeA = diag(1, 2, . . . , n)para representar a la matriz diagonal A.Page (PS/TeX): 9 / 9, COMPOSITESECCION1.1 Matrices 9 Ejemplo 1.10 La matriz cuadrada4 0 00 3 00 0 8es diagonal. Esto es,A = diag(4, 3, 8).Denici on 1.5 Si A = [ai j] Mmn se dene la matriz transpuesta de A como At= [bi j], dondebi j = aji para i = 1, 2, ..., n y j = 1, 2, ..., m.De la denici on 1.5 se desprende que At tiene tama no nm y que en la matriz transpuesta la primeracolumna es la primera la de A, la segunda columna es la segunda la de A, etc etera.Denici on 1.6 Una matriz A es sim etrica cuando At= A.La denici on 1.6 entra na que una matriz sim etrica es necesariamente cuadrada; pues si A Mmn yA es sim etrica, entonces A = At Mnm, de donde m = n; ya que dos matrices que son iguales debentener el mismo tama no. Ejemplo 1.11 SiA =_1 2 3 45 6 7 8_,At=1 52 63 74 8. Ejemplo 1.12 La matrizA =_ 1 22 3_es sim etrica pues claramente A = At.1.1.4 Propiedades de las operacionesA continuaci on enunciamos las principales propiedades de las operaciones con matrices, las cuales son,en general, f aciles de probar y su comprobaci on se deja como ejercicio al lector.1. Si A, B,C Mmn y , R:(a) A+B Mmn.(b) A+(B+C) = (A+B) +C.Page (PS/TeX): 10 / 10, COMPOSITE10 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales(c) A+B = B+A.(d) A+O = A, donde O es la matriz cero mn.(e) Existe una matriz A Mmn tal que A+(A) =O. De hecho, si A = [ai j], A = [ai j].(f) A Mmn.(g) (A) = ()A.(h) (+)A = A+A.(i) (A+B) = A+B.(j)31A = A.2. (a) Si A, B, C son matrices tales que los productos A(BC) y (AB)C est an denidos, entoncesA(BC) = (AB)C.(b) Si AB est a denido se tiene: (AB) = (A)B = A(B).(c) Si A Mmn, AIn = ImA = A.(d) En general AB = BA.(e) Si A Mmn y B,C Mnp , entoncesA(B+C) = AB+AC.3. (a) Si A y B son matrices del mismo tama no (A+B)t= At +Bt.(b) Si A, B son matrices tales que el producto AB est a denido, entonces (AB)t= BtAt.(c) (At)t= A A Mmn.Es conveniente que el lector tenga siempre presente la propiedad 2(d); es decir, la no conmutatividaddel producto de matrices. Pues es claro que en principio el hecho de que el producto AB est e denido,no garantiza que ni siquiera el producto BA est e denido; por ejemplo, si A es una matriz 2 3 y B esuna matriz 34, el producto AB est a denido y el producto BA no. M as a un, aunque los productos ABy BA est en denidos estos, en general, ser an distintos como ilustramos en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.13_ 1 13 2__ 1 02 4_=_ 3 47 8_,_ 1 02 4__ 1 13 2_=_1 114 10_;esto es,_ 1 13 2__ 1 02 4_=_ 1 02 4__ 1 13 2_

Finalizamos este apartado con las demostraciones, en los siguientes dos ejemplos, de un par depropiedades simples del producto de matrices que ser an utilizadas m as adelante.13M as adelante, en el tema de espacios vectoriales, se ver a la importancia de esta aparentemente inocua propiedad.Page (PS/TeX): 11 / 11, COMPOSITESECCION1.1 Matrices 11 Ejemplo 1.14 Sean A = [ai j] Mmn y C = [bi j] Mnp. Si ck =b1kb2k...bnk es la columna k de C y

dk es la columna k de AC, k = 1, 2, . . . , p, demostrar que

dk = Ackk.Esto es,AC =_ Ac1Ac2 Acp (1.2)DEMOSTRACION Q Sean i j las componentes del producto AC, entonces, para cada k = 1, 2, . . . , p,

dk =1k2k...mk;pero ik=_ai1 ai2 ainb1kb2k...bnk=nj=1ai jbjk;por tanto,

dk =nj=1a1jbjknj=1a2jbjk...nj=1amjbjk. (1.3)Por otra parte,Ack=a11 a12 a1na21 a22 a2n............am1 am2 amnb1kb2k...bnk=nj=1a1jbjknj=1a2jbjk...nj=1amjbjk. (1.4)De (1.3) y (1.4) se tiene Ack = dk k. QPage (PS/TeX): 12 / 12, COMPOSITE12 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales Ejemplo 1.15 Supongamos ahora que A = [ai j] Mmn yc =x1x2...xn, entonces,x1a11a21...am1+x2a12a22...am2+ +xna1na2n...amn=a11a12 a1na21a22 a2n............am1am2 amnx1x2...xn. (1.5)En efecto:x1a11a21...am1+x2a12a22...am2+ +xna1na2n...amn=x1a11x1a21...x1am1+x2a12x2a22...x2am2+ +xna1nxna2n...xnamn=a11x1 +a12x2 + +a1nxna21x1 +a22x2 + +a2nxn...am1x1 +am2x2 + +amnxn= Ac.1.1.5 Matrices con n umeros complejosEn este apartado se introduce, por primera vez en este libro, el uso de n umeros complejos en algebralineal; especcamente en el tema de matrices con componentes complejas. El apendice B contieneun breve estudio de este importante campo num erico y de sus principales propiedades, y el lector queno est e habituado a trabajar con n umeros complejos, o necesite repasar este tema, debera consultar lasecci on B.1 de este ap endice cuanto antes. Alo largo de este texto se incluyen apartados que contienen eluso de n umeros complejos en temas que ya se han tratado con n umeros reales. En general, la transici onen cada caso ser a muy sencilla, pues una vez que se dominan los temas de algebra lineal con n umerosreales los cambios para tratar estos con n umeros complejos son mnimos y, en realidad, las dicultadestienen que ver m as con la familiaridad que tenga el lector con el uso de n umeros complejos que conaspectos aridos de generalizaci on. De hecho, el uso de este campo num erico en algebra lineal se vahaciendo cada vez m as necesario en la medida que se avanza en la materia, tanto en la teora como enlas aplicaciones. Se han incluido este tipo de subsecciones para ir acostumbrando al lector al uso de losn umeros complejos en algebra lineal. Obviamente, el lector que no desee en este momento abordar estostemas puede omitirlos y regresar a ellos cuando lo juzgue pertinente.Recordemos (cfr. ap endice B) que los n umeros complejos tienen la formaa+biPage (PS/TeX): 13 / 13, COMPOSITESECCION1.1 Matrices 13donde a, b son n umeros reales e i es la unidad imaginaria. Al conjunto de estos n umeros se les representapor Cy este campo incluye de manera natural a los n umeros reales mediante la identicaci on del n umeroreal a con el n umero complejo a +0i. Estos n umeros se operan algebraicamente de manera an aloga alos n umeros reales, utilizando todas las propiedades de estos y conviniendo en que la unidad imaginariaen este sistema satisface4i2 =1.De esta manera, operar algebraicamente matrices con componentes complejas es un proceso com-pletamente an alogo al que se utiliza cuando estas tienen entradas que son n umeros reales. Es decir, sesuman, restan, multiplican, etc., en la misma forma que las matrices reales, pero operando sus com-ponentes con las reglas algebraicas de los n umeros complejos. Al conjunto de matrices de tama nomn con componentes complejas lo denotaremos por Mmn(C). Todas las propiedades acerca de ma-trices con componentes reales que vimos en esta secci on siguen siendo v alidas para las matrices conentradas complejas. Ejemplo 1.16 Sean A, B M23(C) las matrices denidas porA =_ 12i 4i 235i 4+6i 9i_y B =_ 37i 54i 29i5i 76i 1+i_.Entonces1. A+B=_12i 4i 235i 4+6i 9i_+_37i 54i 29i5i 76i1+i_=_49i 58i 49i3 11 18i_.2. 5A= 5_12i 4i 235i 4+6i 9i_=_ 510i 20i 101525i 20+30i 45i_.3. (3+2i)B=(3+2i)_12i 4i 235i 4+6i 9i_=_ 74i812i 6+4i199i 26i 1827i_.Aqu hemos realizado las operaciones(3+2i)(12i)= 36i +2i 4i2= 34i 4(1)= 34i +4= 74i,14En la secci on B.1 del ap endice B se hace un estudio m as detallado y formal de los n umeros complejos.Page (PS/TeX): 14 / 14, COMPOSITE14 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealespara obtener la componente c11 de (3+2i)B;(3+2i)(4i)= 12i 8i2= 12i 8(1)= 812i,para obtener la componente c12 de (3+2i)B; etc etera. Ejemplo 1.17 SeanA =_ 1+i 2i 23i_y B =_ i 3 2+5i2i 1i 0_,entoncesAB=_1+i 2i 23i__i 3 2+5i2i 1i 0_=_(1+i)(i) +2(2i) (1+i)(3) +2(1i) (1+i)(2+5i) +2(0)(i)(i) +(23i)(2i)(i)(3) +(23i)(1i)(i)(2+5i) +(23i)(0)_=_1+3i 5+i 3+7i5+4i 18i 52i_.1.2 Sistemas linealesSeguramente el lector est a familiarizado, por cursosm as elementales, con sistemas simult aneos de dos otres ecuaciones lineales con dos o tres inc ognitas. Seles llama sistemas lineales porque, para el caso de dosinc ognitas, digamos x, y, las ecuaciones tienen la for-ma ax+by =c, cuyos lugares geom etricos correspon-den a lneas rectas en el plano. Cuando se resuelveun sistema lineal de dos ecuaciones con dos inc ogni-tas, se busca el punto de intersecci on de dos lneasrectas (si es que estas no son paralelas). Aqu estu-diaremos sistemas lineales generales de m ecuacio-nes con n inc ognitas siendo m y n cualquier par den umeros enteros no negativos. Los sistemas linealestienen una gran variedad de aplicaciones en ingenieray ciencias; veremos algunas de estas aplicaciones enel captulo seis.yxx y = 1x +y = 3Page (PS/TeX): 15 / 15, COMPOSITESECCION1.2 Sistemas lineales 151.2.1 Deniciones, soluciones y forma matricial de sistemas linealesDenici on 1.7 Un sistema de m-ecuaciones con n-inc ognitas que tiene la formaa11x1+ a12x2+ + a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ + a2nxn= b2 am1x1+ am2x2+ + amnxn= bm(1.6)donde los ai j, bi R, i = 1, 2, . . . , m, j= 1, 2, . . . , n, est an dados, es lineal. Una soluci on de estesistema de ecuaciones es una n-ada ordenada (1, 2, . . . , n) de n umeros reales, tales que al hacerlas sustitucionesx1=1x2=2...xn=nen cada una de las m-ecuaciones las convierte en identidades. Ejemplo 1.18 El sistema de dos ecuaciones con tres inc ognitas2x13x2x3=4 (1.7)x1 + x2 +x3=3 (1.8)es lineal y (1, 2, 4) es una soluci on del mismo. En efecto, al sustituir x1 =1, x2 = 2 y x3 =4 enla primera ecuaci on (1.7) se tiene2(1) 3(2) (4) =4y al hacer las mismas sustituciones en la segunda ecuaci on (1.8),(1) +(2) +(4) =3. Ejemplo 1.19 El sistema de dos ecuaciones con dos inc ognitasx21 3x2= 1x1/21+x2=no es lineal (por qu e?).Si se tiene el sistema lineal (1.6) aA =a11a12 a1na21a22 a2n............am1am2 amnPage (PS/TeX): 16 / 16, COMPOSITE16 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesse le llama la matriz de coecientes del sistema. En tal caso, si ponemosx =x1x2xny

b =b1b2bm,entonces el sistema lineal se puede escribir en forma matricial comoAx =

b,pues al hacer el producto se obtienea11x1+ a12x2+ + a1nxna21x1+ a22x2+ + a2nxn am1x1+ am2x2+ + amnxn=b1b2bmque equivale, por denici on de igualdad de matrices, al sistema (1.6). Ejemplo 1.20 Para el sistema 33x1+ x2+ 2x3= 92x1+ 4x2 3x3= 13x1+ 6x2 5x3= 0la matriz de coecientes esA =1 1 22 4 33 6 5y la ecuaci on matricial correspondiente es1 1 22 4 33 6 5x1x2x3=910.Denici on 1.8 El sistema mn Ax =

b es: Consistente: si tiene al menos una soluci on. Inconsistente: si no tiene soluciones.En la gura 1-1 se ilustran los lugares geom etricos de cuatro sistemas lineales en el plano: con soluci on unica (a), inconsistentes (b) y (c) y con una innidad de soluciones (d).Page (PS/TeX): 17 / 17, COMPOSITESECCION1.2 Sistemas lineales 17(a) (b)(c) (d)Figura1-1 (a) dos lneas que se intersecan en un solo punto, (b) dos lneas paralelas que no se intersecan,(c) tres lneas que no se intersecan simult aneamente y (d) dos lneas que coinciden.De manera an aloga, una ecuaci on lineal con tres inc ognitas, ax +by +cz = d, corresponde al lu-gar geom etrico de puntos que est an en un plano en el espacio tridimensional. Tambi en en este caso,cuando se resuelven sistemas lineales con tres inc ognitas, se buscan intersecciones de los correspon-dientes planos. Nuevamente los planos pueden no intersecarse, intersecarse en una innidad de puntoso intersecarse en un unico punto. La gura 1-2 ilustra estas posibilidades.Figura1-2 Planos que se intersecan, respectivamente, en una lnea recta, en un unico punto y que no tienenintersecci on simult anea.Denici on 1.9 Dos sistemas lineales del mismo tama no, Ax =

b, Hx =c, son equivalentes si tienenel mismo conjunto de soluciones.En el siguiente ejemplo resolveremos un sistema lineal de manera an aloga a como el lector, segu-ramente, ya lo ha hecho en cursos de bachillerato; sin embargo, lo haremos con un m etodo que intro-ducir a el importante algoritmo de Gauss; el cual consiste, esencialmente, en ir haciendo pivotes paraeliminar variables (inc ognitas) y obtener un sistema equivalente en forma escalonada y nalmenteresolverlo por sustituci on regresiva.Page (PS/TeX): 18 / 18, COMPOSITE18 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales Ejemplo 1.21 Resolvamos el sistema linealx1 + x2 +2x3 = 9 (1.9)2x1 +4x23x3 = 1 (1.10)3x1 +6x25x3 = 0 (1.11)Para ello, con la ecuaci on (1.9), eliminemos la variable x1 de las ecuaciones (1.10) y (1.11) multi-plicando5(1.9) por 2 y sumando con (1.10); luego multiplicando (1.9) por 3 y sumando con (1.11);obteniendo el sistema equivalente:x1 +x2 +2x3 =192x27x3 =17 (1.12)3x211x3 =27 (1.13)De manera an aloga, multiplicando (1.12) por 3, (1.13) por 2 y sumando los resultados, habremoshecho un pivote con la variable x2 de la ecuaci on (1.12) para eliminar la variable x2 de la ecuaci on(1.13), produciendo el sistema equivalente escalonadox1+ x2+ x3= 92x2 7x3= 17 x3= 27Finalmente, haciendo sustituci on regresiva, es decir, despejando y sustituyendo variables de este ultimo sistema de abajo hacia arriba, tenemosx3= 3;x2= 17+7(x3)2= 17+7(3)2= 2;x1= 9x22x3= 9(2) 2(3)= 1.As, el sistema es consistente con soluci on unicax =123.Podemos sintetizar el m etodo del ejemplo precedente de la siguiente manera. Denotemos por Rila i- esima ecuaci on de un sistema lineal; la notaci on Ri Ri +Rj signica que la ecuaci on Ri sesustituye por la ecuaci on que se obtiene de sumar veces la ecuaci on Ri con veces la ecuaci on Rj.Las operaciones algebraicas que hicimos en el ejemplo anterior se resumen en el siguiente esquema.15Cuando se multiplica una ecuaci on por un n umero, signica que ambos lados de la igualdad en dicha ecuaci on se multiplicanpor ese n umero; y cuando se suman dos ecuaciones, quiere decir que se suman miembro a miembro los correspondientes lados dela igualdad.Page (PS/TeX): 19 / 19, COMPOSITESECCION1.2 Sistemas lineales 19x1 +x2 +2x3= 92x1 +4x23x3= 13x1 +6x25x3= 0R22R1 +R2R33R1 +R3x1 +x2 +2x3= 92x27x3= 173x211x3= 27R33R2 +2R3x1 +x2 +2x3= 92x27x3= 17x3= 3En cada paso del proceso anterior se obtiene un sistema equivalente; es decir, con las mismas solu-ciones pero m as sencillo, hasta que el ultimo sistema equivalente est a escalonado y se puede resolverhaciendo sustituci on regresiva.Es claro que en el ejemplo 1.21 y en la discusi on anterior s olo se trabaj o con los coecientes, y quede las variables x1, x2 y x3 unicamente se utiliza la posici on que tienen en el arreglo. Se ve entoncesque para resolver un sistema lineal Ax =

b, basta trabajar con la matriz de coecientes A y el t erminoindependiente

b.6Para ello, a continuaci on damos el siguiente concepto.Denici on 1.10 Para el sistema lineala11x1+ a12x2+ + a1nxn= b1a21x1+ a22x2+ + a2nxn= b2 am1x1+ am2x2+ + amnxn= bmo, en forma matricial, Ax =

b conx =x1x2xny

b =b1b2bm,se dene la matriz aumentada (tambi en se le llama matriz ampliada) del mismo como[ A|

b] =a11a12 a1na21a22 a2n am1am2 amnb1b2bmEl lado izquierdo en la partici on [ A|

b] contiene la matriz de coecientes [ai j] y el lado derecho con-tiene los t erminos independientes bi del sistema lineal. La denici on anterior provee una notaci on muysimple para evitar, en un sistema lineal, escribir las variables y unicamente trabajar con los coecientes.La primera la de la matriz ampliada equivale a la ecuaci on a11x1 +a12x2 + +a1nxn = b1, la segunda16Llamaremos t ermino independiente en un sistema lineal Ax =

b, a la matriz columna

b y t erminos independientes del mismosistema a las respectivas componentes de este vector.Page (PS/TeX): 20 / 20, COMPOSITE20 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesla equivale a la ecuaci on a21x1 +a22x2 + +a2nxn = b2, etc., y la ultima la equivale a la ecuaci onam1x1 +am2x2 + +amnxn = bm. La lnea vertical en la partici on[ A|

b] unicamente sirve para hacernotoria la columna que contiene los t erminos independientes bi del sistema lineal; y de hecho se puedeomitir, si as se desea, cuando se conviene en que la ultima columna de la matriz aumentada contenga elt ermino independiente

b del sistema.Resolveremos ahora, en el siguiente ejercicio, el ejemplo 1.21 utilizando la matriz aumentada. Ejemplo 1.22 Para este caso, haciendo las mismas operaciones que en la discusi on posterior al ejem-plo 1.21, pero esta vez a los renglones de la matriz ampliada se tiene:1 1 22 4 33 6 5910R22R1 +R2R33R1 +R31 1 20 2 70 3 1191727R33R2 +2R31 1 20 2 70 0 19173y, al hacer sustituci on regresiva como se hizo en ese ejemplo (cfr. p ag. 18),x1x2x3=123.Hasta aqu, aunque se ha utilizado en forma intuitiva el signicado de sistema escalonado, no se haprecisado con exactitud. En la siguiente subsecci on nos abocamos a ello.1.2.2 Matrices escalonadas y sistemas escalonadosDenici on 1.11 La matriz A Mmn est a en forma escalonada si se cumplen las siguientes doscondiciones. Las las nulas (si existen)7est an por debajo de las las no nulas. El primer elemento distinto de cero de cada la no nula est a a la derecha del primer elementodiferente de cero de las las precedentes.8 Ejemplo 1.23 SiA =0 1 2 3 5 30 0 1 0 2 40 0 0 0 0 10 0 0 0 0 00 0 0 0 0 0y B =1 2 4 0 30 1 2 3 40 0 1 0 20 0 2 3 00 0 0 0 0,A est a en forma escalonada pero B no.17Una la es nula si todas sus entradas son ceros; una la es no nula si por lo menos una de sus componentes es distinta de cero.18En el caso que el primer elemento distinto de cero est e en la primera la, se sobreentiende que la condici on se cumple porvacuidad.Page (PS/TeX): 21 / 21, COMPOSITESECCION1.2 Sistemas lineales 21Denici on 1.12 Al primer elemento distinto de cero de cada la no nula, de una matriz en formaescalonada, se le llama pivote.Denici on 1.13 Un sistema Hx =c est a escalonado si la matriz ampliada[ H|c] es una matrizescalonada. A las variables que correspondan a pivotes en un sistema escalonado se les llamar anvariables ligadas (o principales o b asicas) y a las restantes variables libres (o no b asicas). Ejemplo 1.24 En el sistema escalonado 461 0 3 2 1 50 0 5 0 1 10 0 0 0 7 60 0 0 0 0 52370,hay pivotes en las columnas 1, 3, 5 y 6; que corresponden, respectivamente, a las variables x1, x3, x5 yx6. As que estas variables son ligadas y x2, x4 son variables libres.Entonces, para resolver un sistema escalonado al hacer sustituci on regresiva, se despejan las varia-bles ligadas dej andolas en funci on de las variables libres procediendo de abajo hacia arriba, enel caso que el sistema tenga variables libres; en caso contrario, simplemente se despejan las variablesligadas actuando tambi en de abajo hacia arriba. Ejemplo 1.25 Resolver los siguientes sistemas lineales escalonados.1.5 1 30 3 50 0 23842.1 3 0 5 00 0 1 2 00 0 0 0 10 0 0 0 047103.1 3 50 1 20 0 0321

Soluci on 1. En este caso, x1, x2 y x3 son todas variables ligadas, el sistema no tiene variables libres yx3 =4/2 =2; x2 = 85x23= 6; x1 = 3+x23x35=3. Es decir,x1x2x3=362es la unica soluci on.Page (PS/TeX): 22 / 22, COMPOSITE22 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales2. Para este sistema escalonado x1, x3 y x5 son las variables ligadas; mientras que x2 y x4 son las va-riables libres. Entonces x5 = 1, x3 = 72x4, x1 = 4+3x25x4; lo cual indica que al dar valoresconcretos arbitrarios a las variables libres x2 y x4 se obtiene una soluci on. As, el conjunto de solu-ciones de este sistema es innito y est a dado por:{(x1, x2, x3, x4, x5)| x5 = 1, x3 =72x4, x1 = 4+3x25x4; x2, x4 R}.Una manera m as compacta de expresar las soluciones es:x1x2x3x4x5=4+3s 5rs72rr1; r, s R.Al dar valores concretos a r y s se obtendr a una soluci on particular; por ejemplo, si r = 0 y s = 0, esf acil darse cuenta quex1x2x3x4x5=40701resuelve el sistema de ecuaciones.3. Para este sistema no pueden existir n umeros reales x1, x2, x3 tales que 0x1 +0x2 +0x3 =1; es decir,el sistema no tiene soluci on, es inconsistente. 1.2.3 Operaciones de rengl on para matrices, equivalencia por las y soluciones1.2.3 de sistemas escalonadosMotivados en los m etodos de la subsecci on precedente para resolver sistemas lineales, denimos lassiguientes operaciones de rengl on (la) para matrices.Operaciones elementales de rengl on para matrices1. Intercambio de las: RiRj.2. Cambio de escala: RiRi ( = 0).3. Suma de las: RiRi +Rj ( = 0).Las cuales signican, respectivamente: La la i se intercambia con la la j. La la i se cambia por la misma la multiplicada por . La la i se cambia por la suma de -veces la la i con -veces la la j.Page (PS/TeX): 23 / 23, COMPOSITESECCION1.2 Sistemas lineales 23Matrices equivalentesDenici on 1.14 Sean A, B Mmn. B es equivalente por las a la matriz A (o simplemente equi-valente a A), si B se puede obtener de la matriz A al aplicarle una sucesi on nita de operacioneselementales de rengl on. Si B es equivalente a A escribiremos B A o B A. Ejemplo 1.26 SiA =_ 1 2 3 4 52 3 1 0 1_yB =_ 1 2 3 4 50 7 7 8 9_,B A; pues B se obtiene de A mediante la operaci on de rengl onR22R1 +R2

No es difcil probar el siguiente teorema.Teorema 1.1 Si A, B Mmn, entonces1. A A. (Reexividad)2. A B B A. (Simetra)3. A B y B C A C. (Transitividad)Del teorema precedente inciso 2, se ve que ya no es necesario decir que B es equivalente a A, puesen tal caso simplemente podremos enunciar que A y B son equivalentes.Al aplicar operaciones de rengl on a un sistema se obtiene un sistema equivalente. Es decir:Teorema 1.2 Si [ A|

b] [ H|c], entonces los sistemas Ax =

b y Hx =c tienen las mismas soluciones.Es claro que siempre se pueden aplicar operaciones de la a una matriz A, de manera adecuada, paraobtener una matriz escalonada equivalente a ella. Lo cual hacemos patente en la siguiente proposici on.Teorema 1.3 Toda matriz es equivalente por las al menos a una matriz en forma escalonada.Soluciones de sistemas escalonadosDel ejemplo 1.25 (cfr. p ag. 21) se conjetura el siguiente teorema, cuya demostraci on es sencilla y sedeja como ejercicio al lector.Page (PS/TeX): 24 / 24, COMPOSITE24 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesTeorema 1.4 Sea un sistema Ax =

b y supongamos que[ H|c] es un sistema (cualquier sistema)escalonado equivalente; es decir, [A|

b] [ H|c], entonces1. Ax =

b es inconsistente si y s olo si [ H|c] tiene una la de ceros en el lado izquierdo y unelemento no nulo en el lado derecho de la partici on (ejemplo 1.25 inciso 3).2. Ax =

b tiene soluci on unica si y s olo si es consistente y[ H|c] tiene pivote en todas lascolumnas en el lado izquierdo de la partici on (ejemplo 1.25 inciso 1).3. Ax =

b tiene innidad de soluciones si y s olo si es consistente y[ H|c] no tiene pivote enalguna columna en el lado izquierdo de la partici on (ejemplo 1.25 inciso 2).P Nota 1.3 Es claro, del teorema anterior, que un sistema consistente tiene soluci on unica cuando una forma escalonada equivalente no tienevariables libres. un sistema consistente tiene una innidad de soluciones cuando una forma escalonada equivalentetiene variables libres.1.2.4 M etodo de GaussEl m etodo de Gauss sirve para llevar una matriz a una forma escalonada equivalente aplicando opera-ciones de rengl on. Bosquejamos el m etodo por medio del siguiente algoritmo:Supongamos que A es una matriz mn no nula (si A es la matriz cero, A est a en forma escalonada).G1: Se busca una la en A que tenga su primer elemento distinto de cero y se intercambia (si esnecesario) con la primera la de la matriz A; si no existe una la de A que tenga su primer elementono nulo, entonces se busca una la de la matriz A que tenga el segundo elemento distinto de ceroy se intercambia (si es necesario) con la primera la de la matriz A; de no suceder as, se buscauna la de A que tenga el tercer elemento distinto de cero y se intercambia (si es necesario) con laprimera la de A, etc.; obteniendo nalmente una matriz B1 A con un primer elemento no nuloen la primera la que llamaremos pivote (en este caso de la primera la).Por ejemplo, siA =0 4 1 33 4 0 71 1 3 5,entonces una operaci on de rengl on para llevar a cabo este paso puede ser R1R3, resultando laequivalencia de matricesA .. 0 4 1 33 4 0 71 1 3 5B1 .. 1 1 3 53 4 0 70 4 1 3.El pivote de la primera la de la matriz B1 es b111 = 1.Page (PS/TeX): 25 / 25, COMPOSITESECCION1.2 Sistemas lineales 25G2: Con el pivote de la primera la de B1 se transforman en ceros los elementos que est an por debajode el mediante la operaci on suma de las, obteniendo una matriz B2 B1 A, que tendr a todaslas componentes nulas debajo del pivote de la primera la.Por ejemplo, con el caso particular ilustrado en el paso anterior podemos hacer ceros los ele-mentos debajo del pivote 1 de la primera la de la matriz B1 mediante la operaci on R23R1+R2para obtener la matriz B2; es decir,B1 .. 1 1 3 53 4 0 70 4 1 3B2 .. 1 1 3 50 1 9 80 4 1 3G3: Ahora se repiten los pasos G1 y G2 con la segunda la de la matriz B2, produciendo una matrizB3B2B1A cuyas componentes ser an nulas debajo del pivote de su segunda la.Para el caso particular ilustrado, el pivote de la segunda la de la matriz9B2 es b222= 1. Sepueden hacer ceros los elementos debajo del mismo mediante la operaci on R34R2 +R3, esto esB2 .. 1 1 3 50 1 9 80 4 1 3B3 .. 1 1 3 50 1 9 80 0 37 29G4: Se repiten los pasos G1, G2 y G3 con las las subsecuentes de las matrices equivalentes queresulten, hasta obtener una matriz H en forma escalonada de acuerdo a la denici on 1.11.Para el caso ilustrado previamente, la matriz B3 ya est a en forma escalonada; con lo queA .. 0 4 1 33 4 0 71 1 3 5B3=H .. 1 1 3 50 1 9 80 0 37 29terminara el proceso para este ejemplo particular.P Nota 1.41. El lector debe tener en mente que el prop osito fundamental del m etodo de Gauss es obtener unamatriz en forma escalonada equivalente a una matriz dada, mediante el uso de las operacioneselementales de rengl on en cualquier combinaci on. As que el algoritmo anterior s olo es una guapara este prop osito. Cualquier modicaci on es v alida siempre y cuando se empleen unicamentelas operaciones de rengl on para matrices y se alcance el objetivo de obtener una matriz en formaescalonada equivalente por las a la matriz inicial.2. A lo largo de este texto haremos uso de oraciones informales como llevar la matriz A a for-ma escalonada. Este tipo de oraciones en realidad deben interpretarse como obtener una forma19El n umero 2 en b222 de esta notaci on juega el papel de un suprandice, haciendo referencia a la matriz B2 y no de un exponente.Page (PS/TeX): 26 / 26, COMPOSITE26 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesescalonada equivalente a la matriz A, que sera la manera apropiada de expresar este tipo de ins-trucciones; pero, ya que esa forma escalonada equivalente se obtiene a partir de la matriz A, nospermitiremos ese tipo de frases sacricando rigor en aras de brevedad en el lenguaje. Sin embar-go, es conveniente que el lector tenga siempre presente el signicado preciso de esas oracionescoloquiales. Ejemplo 1.27 Obtener una matriz equivalente por las a la matrizA =2 4 2 22 4 3 44 8 3 20 0 1 2que est e en forma escalonada.10

Soluci on A =2 4 2 22 4 3 44 8 3 20 0 1 2R1(1/2)R11 2 1 12 4 3 44 8 3 20 0 1 2R22R1 +R2R34R1 +R31 2 1 10 0 1 20 0 1 20 0 1 2R3R2 +R3R4R2 +R41 2 1 10 0 1 20 0 0 00 0 0 0= HLa matriz resultante, H, est a en forma escalonada y es equivalente a la matriz A. M etodo de Gauss para resolver sistemas lineales Ejemplo 1.28 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el m etodo de Gauss.x1 2x2+ x3 x4= 42x1 3x2+ 2x3 3x4= 13x1 5x2+ 3x3 4x4= 3x1+ x2 x3+ 2x4= 5

Soluci on Para resolver el problema llevaremos la matriz aumentada a una forma escalonada y haremossustituci on regresiva.11110Hemos marcado en color rojo los pivotes en cada paso para que el lector recuerde que el prop osito es ir haciendo ceros, mediantelas operaciones de rengl on indicadas, los elementos debajo de ellos.111De aqu en adelante, salvo algunas excepciones, ya no indicaremos las operaciones de rengl on que se requieren para obteneruna forma escalonada equivalente a una matriz, pues el objetivo es utilizar la notaci on matricial para auxiliarse y hacer todos losc alculos mec anica y mentalmente.Page (PS/TeX): 27 / 27, COMPOSITESECCION1.2 Sistemas lineales 271 2 1 12 3 2 33 5 3 41 1 1 241351 2 1 10 1 0 10 1 0 10 1 0 149991 2 1 10 1 0 10 0 0 00 0 0 04900.As, las variables ligadas son x1, x2 y las libres x3, x4. Y x2 =9+x4; x1 = 4+2x2x3 +x4 =14+3x4x3. La soluci on est a dada entonces por:x1x2x3x4=14+3r s9+rsr; r, s R. Sistemas con la misma matriz de coecientesEs frecuente en la pr actica tener que resolver sistemas con la misma matriz de coecientes pero condistintos t erminos independientes; por ejemplo, los sistemasx 2y +3z = 2x +4y +5z = 7(1.14)yr 2s +3t = 1r +4s +5t = 4(1.15)tienen la misma matriz de coecientes,_1 2 31 4 5_, y t erminos independientes_ 27_y_14_,respectivamente. En lugar de resolverlos cada uno por separado, podemos solucionarlos simult aneamen-te colocando en el lado derecho de la partici on de la matriz ampliada las dos columnas que contienenlos dos t erminos independientes, llevar a forma escalonada y resolver por sustituci on regresiva para laprimera columna y despu es para la segunda:_1 2 31 4 52 17 4__ 1 2 30 2 82 15 3_. (1.16)Resolviendo para la primera columna tenemos y = 524z, x =2+2y 3z = 311z; as quexyz=311524, R, es la soluci on para el sistema (1.14). Resolviendo ahora para la segunda columna de (1.16)obtenemos s =324t, r = 1+2s 3t =211t; es decir,rst=211324, R, es la soluci on del sistema (1.15).Page (PS/TeX): 28 / 28, COMPOSITE28 CAPITULO 1 Matrices y sistemas lineales1.2.5 M etodo de Gauss-Jordan y sistemas con soluci on unicaDenici on 1.15 Una matriz est a en forma escalonada reducida si:1. Est a en forma escalonada.2. Arriba de cada pivote las componentes (si hay) son nulas.3. Todos los pivotes son unos. Ejemplo 1.29 La matriz1 0 2 00 1 8 00 0 0 10 0 0 0est a en forma escalonada reducida.M etodo de Gauss-JordanPara llevar una matriz a forma escalonada reducida se procede de la manera siguiente:1. Se lleva la matriz a forma escalonada mediante el m etodo de Gauss.2. Se hacen ceros todos los elementos arriba de cada pivote utilizando el m etodo de Gauss de abajohacia arriba.3. Se convierten en unos todos los pivotes mediante la operaci on de rengl on cambio de escala.Empleando el m etodo de Gauss-Jordan se puede probar el teorema que enunciamos a continuaci on.Teorema 1.5 Toda matriz es equivalente por las a una y s olo una matriz en forma escalonadareducida.12 Ejemplo 1.30 Obtener la forma escalonada reducida equivalente a la matriz A por el m etodo deGauss-Jordan siA =2 1 0 3 43 1 2 0 35 4 0 1 2.Soluci on2 1 0 3 43 1 2 0 35 4 0 1 2(1)2 1 0 3 40 5 4 9 60 13 0 13 16(2)2 1 0 3 40 5 4 9 60 0 52 52 2112Compare con el teorema 1.3, p agina 23.Page (PS/TeX): 29 / 29, COMPOSITESECCION1.2 Sistemas lineales 29(3)2 1 0 3 40 5 4 9 60 0 26 26 1(4)2 1 0 3 40 65 0 65 800 0 26 26 1(5)2 1 0 3 40 13 0 13 160 0 26 26 1(6)26 0 0 26 360 13 0 13 160 0 26 26 1(7)1 0 0 1 18/130 1 0 1 16/130 0 1 1 1/26.Donde, para facilitar su comprensi on, esta vez hemos indicado las operaciones de rengl on en cadapaso del (1) al (7), se nalando los pivotes en azul m as claro cuando se hacen ceros los elementos pordebajo de los mismos y en rojo cuando se hacen ceros los elementos por encima de los pivotes. (1): R23R1 +2R2, R35R1 +2R3; (2): R313R2 +5R3; (3): R3(1/2)R3; (4): R22R3 +13R2; (5):R2(1/5)R2; (6): R113R1R2; (7): R1(1/26)R1, R2(1/13)R2, R3(1/26)R3. P Nota 1.5 A diferencia de la forma escalonada reducida de una matriz, que es unica, es claro que alhacer operaciones de rengl on a una matriz A para obtener una matriz en forma escalonada equivalente,se pueden obtener diferentes matrices. Sin embargo, para cualquier par de matrices en forma escalonadaequivalentes a la matriz A se cumple:1. Las dos matrices tienen el mismo n umero de pivotes.2. Los pivotes se encuentran en las mismas posiciones en ambas matrices; es decir, si una matriztiene un pivote en la componente i j la otra tambi en tiene un pivote en esta componente.Ilustramos la nota 1.5 en el siguiente ejemplo. Ejemplo 1.31 Sea A =2 3 1 1 54 1 0 1 21 2 3 1 1, entonces2 3 1 1 54 1 0 1 21 2 3 1 12 3 1 1 50 5 2 1 80 1 5 1 32 3 1 1 50 5 2 1 80 0 23 4 23= H1Page (PS/TeX): 30 / 30, COMPOSITE30 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesy2 3 1 1 54 1 0 1 21 2 3 1 11 2 3 1 14 1 0 1 22 3 1 1 51 2 3 1 10 7 12 3 20 1 5 1 31 2 3 1 10 1 5 1 30 7 12 3 21 2 3 1 10 1 5 1 30 0 23 4 23= H2.As A H1, A H2; H1 y H2 est an en forma escalonada, H1= H2; ambas matrices tienen el mismon umero de pivotes y se encuentran en las mismas posiciones en las dos matrices.Sistemas lineales y m etodo de Gauss-JordanLos sistemas lineales tambi en se pueden resolver utilizando el m etodo de Gauss-Jordan para llevar lamatriz ampliada a forma escalonada reducida y realizar sustituci on regresiva, como hacemos patente enel siguiente ejemplo. Ejemplo 1.32 Resolver el siguiente sistema mediante el m etodo de Gauss-Jordanx1 2x2+ x3+ 3x4= 1x1+ x2+ 2x4= 22x1 x2+ x3+ 5x4= 1Soluci on Llevemos la matriz ampliada a la forma escalonada reducida:1 2 1 31 1 0 22 1 1 51211 2 1 30 1 1 50 3 1 11131 2 1 30 1 1 50 0 2 141161 2 1 30 1 1 50 0 1 71131 2 0 40 1 0 20 0 1 74231 0 0 00 1 0 20 0 1 7023.Page (PS/TeX): 31 / 31, COMPOSITESECCION1.2 Sistemas lineales 31Al hacer sustituci on regresiva tenemos x3 = 37x4, x2 = 22x4 y x1 = 0; luego la soluci on vienedada porx1x2x3x4=022r37rr; r R. Sistemas con soluci on unicaEn este breve apartado damos criterios para determinar cu ando hay soluci on unica en un sistema utili-zando la forma escalonada reducida, los cuales son f aciles de probar utilizando el teorema 1.4.Sea A Mmn:1. Caso m> n. Sea Ax =

b un sistema lineal consistente, entonces las dos condiciones siguientes sonequivalentes ((a) (b)):(a) El sistema Ax =

b tiene soluci on unica.(b) La forma escalonada reducida equivalente a A consiste de la identidad n n seguida de(b) mn las nulas.2. Caso m < n. Supongamos que el sistema Ax =

b es consistente y tiene menos ecuaciones queinc ognitas. Entonces tiene una innidad de soluciones.3. Caso m = n. Ax =

b tiene soluci on unica para todo

b si y s olo si A es equivalente a la identidad; esdecir, la forma escalonada reducida equivalente a A es In.P Nota 1.6 Para determinar que una matriz cuadrada sea equivalente a la identidad, basta revisar queal llevarla a una forma escalonada toda columna en esta tenga pivote (por su denici on, este debeser distinto de cero); ya que entonces, por el m etodo de Gauss-Jordan, su forma escalonada reducidaequivalente ser a la identidad.1.2.6 Sistemas homog eneosDenici on 1.16 Un sistema lineal con la forma Ax =

0, donde

0 =00...0, se llama homog eneo.Todo sistema homog eneo es consistente pues x =

0 es soluci on del mismo; la llamada soluci ontrivial.De los casos 1 y 2, de criterios de soluci on unica de la subsecci on precedente, deducimos el siguienteteorema.Page (PS/TeX): 32 / 32, COMPOSITE32 CAPITULO 1 Matrices y sistemas linealesTeorema 1.6 Sea A Mmn. Entonces1. Si m = n, el sistema homog eneo cuadrado Ax =

0 tiene soluci on no trivial si y s olo si A no esequivalente a la identidad.2. Todo sistema homog eneo Ax =

0 con menos ecuaciones que inc ognitas (mi, cuandoi, j varan entre 1 y n. A este valor se le conoce como el determinante de Vandermonde.99 Sean A una matriz 33 y R, probar quedet(A) =3det(A).100 Sean A una matriz nn y R, probar quedet(A) =ndet(A).101 SeaA =_ a bc d_,mostrar utilizando el teorema 2.9, que A es invertible si y s olo si ad bc = 0 y que en tal casoA1 =1ad bc_d bc a_.102 Utilizar el ejercicio precedente para calcular (si existe):(a) _ 1 22 1_1, (b) _2 43 2_1(c) _ 3 61 2_1.En los ejercicios 103 a 106, calcular la inversa, si existe, de la matriz dada utilizando el m etodo de laadjunta (teorema 2.9, p ag. 83).103 A =1 1 23 2 22 1 1.104 A =3 1 22 1 23 1 4.105 A =1 2 12 2 33 4 2.106 A =2 1 10 0 21 1 1.107 Si A es una matriz cuadrada singular (no invertible) y B es una matriz cuadrada del mismo orden,demostrar que AB es tambi en una matriz singular.108 Demostrar que una matriz cuadrada es invertible si y s olo si su adjunta tambi en es una matriz invertibley que adem as se tiene, entonces, (Adj(A))1 = (1/|A|)A.109 Probar que si A Mn, entonces |Adj(A)| =|A