Álgebra lineal ma1010 - cb.mty.itesm.mxcb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-03a.pdf ·...

Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones Lineales Álgebra Lineal - p. 1/47

Álgebra LinealMa1010

Aplicaciones de Sistemas de Ecuaciones LinealesDepartamento de Matemáticas

ITESM

IntroduccionObjetivoFraccionesParcialesEjemplo 1Ejemplo 2Ejemplo 3ModelosEjemplo 4NotaEjemplo 5ReaccionesQuımicasEjemplo 6Ejemplo 7Ejemplo 8Ejemplo 9Ejemplo XEjemplo XEjemplo X


Introducción

En esta lectura veremos algunas aplicaciones delos sistemas de ecuaciones lineales. Lasaplicaciones de la resoluciones de sistemas soninnumerables, y por consiguiente es imposiblepretender cubrir las aplicaciones. Queda comoreto personal encontrar situaciones donde surganeste tipo de problemas.



Objetivo

La lectura pretende que usted conozca algunas delas situaciones que conducen a la resolución deun sistema de ecuaciones lineales. Notablemente,la técnica de las fracciones parciales, el ajuste decurvas y algunos más.



Fracciones parciales

Una técnica muy conveniente utilizada en algunastareas matemáticas es aquella conocida comofracciones parciales. Ésta se aplica parasimplificar integrales o transformadas de Laplace,por citar algunos ejemplos. La idea principalconsiste en cambiar la forma que puede serexpresado un cociente entre polinomios a otraforma más conveniente para cierto tipo de cálculo.



Ejemplo

Determine los valores de las constantes a y b paraque satisfagan:

1

(x− 2)(x+ 3)=

a

x− 2+

b

x+ 3



Soluci onSe debe cumplir:

1(x−2)(x+3)

= a

x−2+ b

x+3

= a (x+3)+b (x−2)(x−2) (x+3)

= a x+3 a+ b x− 2 b(x−2)(x+3)

= (3 a−2 b)+ (a+b)x(x−2)(x+3)



Esto se cumple si:



Esto se cumple si:

1 + 0 ∗ x = 1 = (3 a− 2 b) + (a+ b) x

Es decir, si:

3 a − 2 b = 1

a + b = 0

El cual tiene como solución:

a =1

5y b = −

1

5



Ejemplo

(Forma dudosa) Determine los valores de lasconstantes a y b para que satisfagan:

2 + 2x+ 2x2

(x+ 1)(x2 + 1)=

a

x+ 1+

b

x2 + 1




2+2x+2x2

(x+1)(x2+1)= a

x+1+ b

x2+1

= a (x2+1)+b (x+1)(x+1) (x2+1)

= a x2 + a+ b x+ b

(x+1)(x2+1)

= (a+b)+ (b)x+a x2

(x+1)(x2+1)



Esto se cumple si:

2 + 2x+ 2x2 = (a+ b) + (b) x+ a x2

Es decir, si:a + b = 2

+ b = 2

a = 2



Esto se cumple si:

2 + 2x+ 2x2 = (a+ b) + (b) x+ a x2


+ b = 2

a = 2

El cual no tiene solución.



Esto se cumple si:

2 + 2x+ 2x2 = (a+ b) + (b) x+ a x2


+ b = 2

a = 2

El cual no tiene solución. ¿Qué puede andar mal?



Esto se cumple si:

2 + 2x+ 2x2 = (a+ b) + (b) x+ a x2


+ b = 2

a = 2

El cual no tiene solución. ¿Qué puede andar mal?La forma propuesta para la expresión enfracciones parciales.



Ejemplo

Determine los valores de las constantes a, b y cpara que satisfagan:

2 + 2x+ 2x2

(x+ 1)(x2 + 1)=

a

x+ 1+

b x+ c

x2 + 1




2x2+2x+2(x+1)(x2+1)

= a

x+1+ bx+c

x2+1

= a(x2+1)+(bx+c)(x+1)(x+1)(x2+1)

= ax2+a+bx

2+bx+cx+c

(x+1)(x2+1)

= (a+b)x2+(b+c)x+(a+c)(x+1)(x2+1)



Esto se cumple si:

2x2 + 2x+ 2 = (a+ b)x2 + (b+ c)x+ (a+ c)

Es decir, si:

a + b = 2

b + c = 2

a + c = 2



Esto se cumple si:

2x2 + 2x+ 2 = (a+ b)x2 + (b+ c)x+ (a+ c)

Es decir, si:

a + b = 2

b + c = 2

a + c = 2

El cual tiene como solución:

a = 1, b = 1 y c = 1



Determinación de curvas

Un problema comun en diferentes áreas es ladeterminación de curvas. es decir el problema deencontrar la función que pasa por un conjunto depuntos.




Un problema comun en diferentes áreas es ladeterminación de curvas. es decir el problema deencontrar la función que pasa por un conjunto depuntos. Usualmente se conoce la naturaleza de lafunción, es decir, se conoce la forma que debetener la función.




Un problema comun en diferentes áreas es ladeterminación de curvas. es decir el problema deencontrar la función que pasa por un conjunto depuntos. Usualmente se conoce la naturaleza de lafunción, es decir, se conoce la forma que debetener la función. Por ejemplo, línea recta, parábolao exponencial etc.




Un problema comun en diferentes áreas es ladeterminación de curvas. es decir el problema deencontrar la función que pasa por un conjunto depuntos. Usualmente se conoce la naturaleza de lafunción, es decir, se conoce la forma que debetener la función. Por ejemplo, línea recta, parábolao exponencial etc. Lo que se hace para resolvereste tipo de problemas es describir la forma másgeneral de la función mediante parámetrosconstantes.




Un problema comun en diferentes áreas es ladeterminación de curvas. es decir el problema deencontrar la función que pasa por un conjunto depuntos. Usualmente se conoce la naturaleza de lafunción, es decir, se conoce la forma que debetener la función. Por ejemplo, línea recta, parábolao exponencial etc. Lo que se hace para resolvereste tipo de problemas es describir la forma másgeneral de la función mediante parámetrosconstantes. Y posteriormente se determinanestos parámetros haciendo pasar la función porlos puntos conocidos.



Ejemplo

Determine la función cudrática que pasa por lospuntos P (1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3).



Ejemplo

Determine la función cudrática que pasa por lospuntos P (1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3).Soluci onLa forma más general de una cuadrática es:

f(x) = a x2 + b x+ c

donde los coeficientes a, b, y c son constantesnuméricas. El problema consiste en determinarestos coeficientes.



Ejemplo

Determine la función cudrática que pasa por lospuntos P (1, 4), Q(−1, 2), y R(2, 3).Soluci onLa forma más general de una cuadrática es:

f(x) = a x2 + b x+ c

donde los coeficientes a, b, y c son constantesnuméricas. El problema consiste en determinarestos coeficientes. Así pues los parámetros a, b, yc se vuelven ahora las incógnitas. Y para poderlasdeterminar requerimos de ecuaciones oigualdades que deben satisfacer.



Para determinar estas ecuaciones debemos usarlos puntos. Para que la función pase por el puntoP (1, 4) se debe cumplir que

f(x = 1) = 4




f(x = 1) = 4

es decir, se debe cumplir:

a (1)2 + b (1) + c = 4




f(x = 1) = 4


a (1)2 + b (1) + c = 4


a+ b+ c = 4



Procediendo de igual manera con el puntoQ(−1, 2): formulamos la ecuación:

a− b+ c = 2

y para R(2, 3):

4a+ 2b+ c = 3



Resumiendo para que la funciónf(x) = a x2 + b x+ c pase por los puntos P , Q, y Rdeben cumplirse las ecuaciones:

a + b + c = 4

a − b + c = 2

4a + 2b + c = 3



Resumiendo para que la funciónf(x) = a x2 + b x+ c pase por los puntos P , Q, y Rdeben cumplirse las ecuaciones:

a + b + c = 4

a − b + c = 2

4a + 2b + c = 3

La solución a este sistema es:

a = −

2

3, b = 1, y c =

11

3



La misma situación presentada en el problema delas fracciones parciales que originaba un sistemainconsistente, se puede presentar en ladeterminación de funciones. Y la conclusión essimilar: si el sistema originado es inconsistente loque se concluye es que no existe una función conesa forma general que pase exactamente por lospuntos dados.



Ejemplo

Conociendo la solución general a una ED:

y(t) = C1 et + C2 e

−t + C3 e3 t

Determine en orden los valores de las constantesC1, C2, y C3 para que se cumpla:

y(0) = 0, y′(0) = −1, y′′(0) = −2



Ejemplo

Conociendo la solución general a una ED:

y(t) = C1 et + C2 e

−t + C3 e3 t

Determine en orden los valores de las constantesC1, C2, y C3 para que se cumpla:

y(0) = 0, y′(0) = −1, y′′(0) = −2

Soluci on

y(t) = C1 et + C2 e

−t + C3 e3 t

y′(t) = C1 et− C2 e

−t + 3C3 e3 t

y′′(t) = C1 et + C2 e

−t + 9C3 e3 t



Usando las condiciones iniciales y las derivadascalculadas tenemos:

0 = C1 + C2 + C3

−1 = C1 − C2 + 3C3

−2 = C1 + C2 + 9C3



Usando las condiciones iniciales y las derivadascalculadas tenemos:

0 = C1 + C2 + C3

−1 = C1 − C2 + 3C3

−2 = C1 + C2 + 9C3

La solución es: C1 = 0, C2 = 1/4 y C3 = −1/4.



Balanceo de Reacciones Químicas

Una aplicación sencilla de los sistemas deecuaciones se da en el balanceo de reaccionesquímicas.



Balanceo de Reacciones Químicas

Una aplicación sencilla de los sistemas deecuaciones se da en el balanceo de reaccionesquímicas. La problemática consiste en determinarel número entero de moléculas que intervienen enuna reacción química cuidando siempre que elnúmero de átomos de cada sustancia se preserve.



Ejemplo

Balancee la reacción química

aCH4 + bO2 → cCO2 + dH2O



Ejemplo

Balancee la reacción química

aCH4 + bO2 → cCO2 + dH2O

Soluci onPara determinar los coeficientes a, b, c, y d querepresentan el número de moléculas de lassustancias en la reacción debemos igualar elnúmero de átomos en cada miembro:



Por los atomos de carbono

a = c

Por los atomos de oxıgeno

2 b = 2 c+ d

Por los atomos de hidr ogeno

4 a = 2 d



Este sistema es consistente y origina infinitassoluciones. La fórmula general para las solucionesqueda:

a = 12d

b = d

c = 12d



Este sistema es consistente y origina infinitassoluciones. La fórmula general para las solucionesqueda:

a = 12d

b = d

c = 12d

El valor más pequeño de d que hace que losnúmeros de moléculas sean enteros positivos esd = 2:

a = 1, b = 2, c = 1, y d = 2



Aplicaciones a Manufactura

Ejemplo

Patito computers fabrica tres modelos decomputadoras personales: cañon, clon, ylenta-pero-segura. Para armar una computadoramodelo cañon necesita 12 horas de ensamblado,2.5 para probarla, y 2 más para instalar susprogramas. Para una clon requiere 10 horas deensamblado, 2 para probarla, y 2 para instalarprogramas. Y por último, para unalenta-pero-segura requiere 6 para ensamblado, 1.5para probarla, y 1.5 para instalar programas. Si lafábrica dispone en horas por mes de 556 paraensamble, 120 para pruebas, y 103 horas parainstalación de programas, ¿cuántas computadorasse pueden producir por mes?



Soluci onEn nuestro caso las incógnitas el número de cadatipo de computadora a producir:

x = número de computadoras cañony = número de computadoras clonz = número de computadoras lenta-pero-segura



Soluci onEn nuestro caso las incógnitas el número de cadatipo de computadora a producir:

x = número de computadoras cañony = número de computadoras clonz = número de computadoras lenta-pero-segura

Para determinar las ecuaciones debemos utilizarlos tiempos de ensamblado, pruebas, e instalaciónde programas.


Ensamblado

556(total) = 12 x(cañon) + 10 y(clon) + 6 z(lenta)


Ensamblado


Pruebas

120(total) = 2.5 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)


Ensamblado


Pruebas

120(total) = 2.5 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)

Instalaci on de programas

103(total) = 2 x(cañon) + 2 y(clon) + 1.5 z(lenta)


Al resolver este sistema obtenemos:

x = 34, y = 4, z = 18


Dado lo común de las aplicaciones hacia el área demanufactura, existe una forma simple de construir la matriz delsistema de ecuaciones que en general se trabaja como unatabla:■ En la última columna aparecen los recursos: un renglón para

cada tipo de recursos y en cuya posición final se pone eltotal de recursos disponibles.

■ En las primera columnas se colocan los objetos o modelos aser ensamblados o construidos: en cada posición se colocael total de recursos que consume en forma unitaria cada tipode objeto.


Recursos requeridos por unidad

Recurso Cañon Clon Lenta Total

Ensamble 12 10 6 556

Pruebas 2.5 2 1.5 120

Instalación 2 2 1.5 103



Aplicaciones Diversas

Ejemplo

Un negociante internacional necesita, enpromedio, cantidades fijas de yenes japoneses,francos franceses, y marcos alemanes para cadauno de sus viajes de negocios. Este año viajó tresveces. La primera vez cambió un total de $434 a lasiguiente paridad: 100 yenes, 1.5 francos y 1.2marcos por dolar. La segunda vez, cambió un totalde $406 con las siguientes tasas: 100 yenes, 1.2francos, y 1.5 marcos por dolar. La tercera vezcambió $434 en total, a $125 yenes, 1.2 francos, y1.2 marcos por dolar. ¿Qué cantidades de yenes,francos y marcos compró cada vez?



Soluci onEn nuestro caso las incógnitas son las cantidadesde moneda extranjera requerida que se mantuvofija en los tres viajes:



Soluci onEn nuestro caso las incógnitas son las cantidadesde moneda extranjera requerida que se mantuvofija en los tres viajes:

x = cantidad de yenesy = cantidad de francosz = cantidad de marcos



Primera vez:

434(total) =1

100x+

1

1.5y +

1

1.2z



Primera vez:

434(total) =1

100x+

1

1.5y +

1

1.2z

Segunda vez:

406(total) =1

100x+

1

1.2y +

1

1.5z



Primera vez:

434(total) =1

100x+

1

1.5y +

1

1.2z

Segunda vez:

406(total) =1

100x+

1

1.2y +

1

1.5z

Tercera vez:

434(total) =1

125x+

1

1.2y +

1

1.2z



Resolviendo el sistema anterior obtenemos:

x = 10500, y = 126, z = 294



Transferencia de Calor

Ejemplo

Suponga que la placa de la siguiente figura representa una seccióntransversal perpendicular a la placa.

TCN

TCS

TCOTCE

t t t

t t t t t

t t t t t

t t t

T4

T1

T5

T2

T6

T3

Sean T1, T2, T3, T4, T5, y T6 las tempreaturas interiores de los

nodos de la red. La temperatura en un nodo es aproximadamente

igual al promedio de las temperaturas de los cuatro nodos más

cercanos arriba, abajo, a la derecha, y a la izquierda.


Así por ejemplo

T1 = (TCN+ T2 + T4 + TCO

) /4.

Determine las temperaturas T1 a T6 sabiendo que

TCN= 25o, TCE

= 37o, TCS= 10o, TCO

= 31o

Reporte sólo el valor de T2.

Soluci on

Las ecuaciones para las temperaturas de los puntos interiores a la placa T1 a T6

quedan:

T1 = (TCN+ T2 + T4 + TCO

)/4

T2 = (TCN+ T3 + T5 + T1)/4

T3 = (TCN+ TCE

+ T6 + T2)/4

T4 = (T1 + T5 + TCS+ TCO

)/4

T5 = (T2 + T6 + TCS+ T4)/4

T6 = (T3 + TCE+ TCS

+ T5)/4


Usando los datos de las temperaturas a los costados de la placa y convirtiendocada ecuación a la forma canónica queda (conviene multiplicar por 4 cadaecuación):

4T1 − T2 − T4 = 56

−T1 + 4T2 − T3 − T5 = 25

− T2 + 4T3 − T6 = 62

−T1 + 4T4 − T5 = 41

− T2 − T4 + 4T5 − T6 = 10

− T3 − T5 + 4T6 = 47

Quedando

T1 T2 T3 T4 T5 T6

4 −1 0 −1 0 0 56

−1 4 −1 0 −1 0 25

0 −1 4 0 0 −1 62

−1 0 0 4 −1 0 41

0 −1 0 −1 4 −1 10

0 0 −1 0 −1 4 47


Al reducir la matriz obtenemos la solución:

T1 = 25.527

T2 = 24.496

T3 = 27.527

T4 = 21.614

T5 = 19.931

T6 = 23.614



Splines cúbicosEjemplo

Determine los coeficientes que deben tener los polinomios

S1(x) = A1 +B1 (x− 0.4) + C1 (x− 0.4)2 +D1 (x− 0.4)3

S2(x) = A2 +B2 (x− 0.5) + C2 (x− 0.5)2 +D2 (x− 0.5)3

para que se cumpla:

1.− S1(0.4) = 0.528571 2.− S1(0.5) = 0.895926

3.− S2(0.5) = 0.895926 4.− S2(0.6) = 0.356182

5.− S′

1(0.5) = S′

2(0.5) 6.− S′′

1 (0.5) = S′′

2 (0.5)

7.− S′′

1 (0.4) = 0 8.− S′′

2 (0.6) = 0

Lo que debe hacer es tomar como incógnitas dichos coeficientes,usar las condiciones anteriores para construir ecuaciones, yresolver el sistema que se forma.


La condición 1. lleva a la ecuación A1 = 0.528571

La condición 2. lleva a la ecuación A1 + .1B1 + .01C1 + .001D1 = .895926

La condición 3. lleva a la ecuación A2 = .895926

La condición 4. lleva a la ecuación A2 + .1B2 + .01C2 + .001D2 = .356182

La condición 5. lleva a la ecuación B1 + .2C1 + .03D1 = B2

La condición 6. lleva a la ecuación 2C1 + .6D1 = 2C2

La condición 7. lleva a la ecuación 2C1 = 0

La condición 8. lleva a la ecuación 2C2 + .6D2 = 0.Al resolver este sistema de 8 ecuaciones con 8 incógintas daa la solución:

A1 = .52857100 B1 = 5.9412975 C1 = 0.0 D1 = −226.77475

A2 = 0.89592600 B2 = −.86194500 C2 = −68.032425 D2 = 226.77475



Suma de los primeros cuadradosEjemplo

Existe una fórmula para calcular la suma

1 + 4 + 9 + · · ·+ n2.

Sabiendo que la fórmula es un polinomio de grado tres en lavariable n, encuentre dicha fórmula. Sugerencia : Proponga comofórmula

F (n) = An3 +B n2 + C n+D

donde A,B,C y D son incógnitas. Dando los valores n = 1, n = 2,

n = 3 y n = 4 y conociendo los resultados que dan esas sumas,

plantea y resuelve el sistema.


Soluci on

Para n = 1 la suma da:1

∑

i=1

i2 = 12 = 1

Por tanto, la fórmula para n = 1 debe dar 1. La ecuación queda:

A 13 +B 12 + C 1 +D = A+B + C +D = 1

Para n = 2 la suma da:

2∑

i=1

i2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5


A 23 +B 22 + C 2 +D = 8A+ 4B + 2C +D = 5


Para n = 3 la suma da:

3∑

i=1

i2 = 12 + 22 + 32 = 1 + 4 + 9 = 14


A 33 +B 32 + C 3 +D = 27A+ 9B + 3C +D = 27

Para n = 4 la suma da:4

∑

i=1

i2 = 12 + 22 + 32 + 42 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30


A 43 +B 42 + C 4 +D = 64A+ 16B + 4C +D = 30

Al resolver este sistema de 4 ecuaciones para A, B, C y D obtenemos:

A =1

3, B =

1

2, C =

1

6

Por tanto la fórmula de la sumatoria queda:

∀n ∈ N,

n∑

i=1

i2 =1

3n3 +

1

2n2 +

1

6n



Integración numéricaEjemplo

La integral de una función en un intervalo se puede aproximardividiendo el intervalo en un número de puntos adecuado (2n+1) yen cada 3 puntos consecutivos cambiar la función a integrar por laparábola (polinomio cuadrático) que pasa ellos. Utilice esta técnicapara calcular la integral

∫

1.8

1.

f(x) dx

Utilizando los datos:

i xi f(xi)

1 1.0 1.37772

2 1.2 1.28014

3 1.4 1.36167

4 1.6 2.69787

5 1.8 2.55062


Soluci on

Primero calculemos la parábola que pasa por los 3 primeros puntos. La parábolaserá f1(x) = a1 x

2 + b1 x+ c1. Al aplicar las condiciones de que pase por esospuntos quedan las ecuaciones

Para (1.0, 1.37772) 1.00 a1 + 1.0 b1 + c1 = 1.37772

Para (1.2, 1.28014) 1.44 a1 + 1.2 b1 + c1 = 1.28014

Para (1.4, 1.36167) 1.96 a1 + 1.4 b1 + c1 = 1.36167

Resolviendo el sistema se obtiene

a1 = 2.238875, b1 = −5.413425, c1 = 4.552270

Por tanto,∫

1.4

1.0

f(x) dx ≈

∫

1.6

1.0

f1(x) dx = 0.5239966667


Por otro lado, para últimos 3 puntos la parábola será f2(x) = a2 x2 + b2 x+ c2. Al

aplicar las condiciones de que pase por esos puntos quedan las ecuaciones

Para (1.4, 1.36167) 1.96 a2 + 1.4 b2 + c2 = 1.36167

Para (1.6, 2.69787) 2.56 a2 + 1.6 b2 + c2 = 2.69787

Para (1.8, 2.55062) 3.24 a2 + 1.8 b2 + c2 = 2.55062

Resolviendo el sistema se obtiene

a2 = −18.543125, b2 = 62.310375, c2 = −49.528330

Por tanto,∫

1.8

1.4

f(x) dx ≈

∫

1.8

1.4

f2(x) dx = 0.9802513333

Así∫

1.8

1.0

f(x) dx =

∫

1.4

1.0

f(x) dx+

∫

1.8

1.4

f(x) dx ≈ 1.504248

Álgebra lineal ma1010 - cb.mty.itesm.mxcb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-03a.pdf ·...

Documents