ALGEBRA LINEAL

Ing. César H. Rodríguez Castro

TOMADO DE http://www.vitutor.com/index.html

ALGEBRA LINEAL

1. Matrices 2. Determinantes 3. Sistemas de ecuaciones. Regla de Cramer 4. Sistemas de ecuaciones. Método de Gauss

Matrices

Concepto de matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma

rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a

la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz será de dimensión: 2x4, 3x2, 2x5,... Sí la matriz tiene el mismo número

de filas que de columna, se dice que es de orden: 2, 3, ...

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de matrices

Matriz fila

Una matriz fila está constituida por una sola fila.

Matriz columna

La matriz columna tiene una sola columna

Matriz rectangular

La matriz rectangular tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su

dimensión mxn.

Matriz cuadrada

La matriz cuadrada tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j = n+1.

Matriz nula

En una matriz nula todos los elementos son ceros.

Matriz triangular superior

En una matriz triangular superior los elementos situados por debajo de la diagonal

principal son ceros.

Matriz triangular inferior

En una matriz triangular inferior los elementos situados por encima de la diagonal

principal son ceros.

Matriz diagonal

En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la

diagonal principal son nulos.

Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal

principal son iguales.

Matriz identidad o unidad

Una matriz identidad es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a 1.

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene

cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α ·A)t = α· At

(A · B)t = Bt · At

Matriz regular

Una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular

Una matriz singular no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente

Una matriz, A, es idempotente si:

A2 = A.

Matriz involutiva

Una matriz, A, es involutiva si:

A2 = I.

Matriz simétrica

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica

Una matriz antisimétrica o hemisimétrica es una matriz cuadrada que verifica:

A = -At.

Matriz ortogonal

Una matriz es ortogonal si verifica que:

A·At = I.

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (-A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz A = (aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está

multiplicado por k.

k · A=(k aij)

Propiedades

a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b

a · (A + B) = a · A + a · BA,B Mmxn , a

(a + b) · A = a · A + b · A A Mmxn , a, b

1 · A = A A Mmxn

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i

de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz inversa

A · A-1 = A-1 · A = I

Propiedades

(A · B)-1 = B-1 · A-1

(A-1)-1 = A

(k · A)-1 = k-1 · A-1

(A t)-1 = (A -1)t

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que

denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Consideremos una matriz 3x3 arbitraria

La ampliamos con la matriz identidad de orden 3.

2º Utilizando el método Gauss vamos a transformar la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.

F2 - F1

F3 + F2

F2 - F3

F1 + F2

(-1) F2

La matriz inversa es:

Rango de una matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas) que son

linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

Cálculo por el método de Gauss

Podemos descartar una línea si:

Todos sus coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra. Una línea es combinación lineal de otras.

F3 = 2F1

F4 es nula

F5 = 2F2 + F1

r(A) = 2.

En general consiste en hacer nulas el máximo número de líneas posible, y el

rango será el número de filas no nulas.

F2 = F2 - 3F1

F3= F3 - 2F1

Por tanto r(A) = 3.

Matrices. Resumen

Concepto de matriz

Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma

rectangular, formando filas y columnas.

Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a

la que pertenece.

El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz.

El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij), y un

elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, por aij.

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.

Tipos de matrices

Matriz fila:

Es una matriz constituida por una sola fila.

Matriz columna:

Es una matriz con una sola columna.

Matriz rectangular:

Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su

dimensión mxn.

Matriz cuadrada:

La que tiene el mismo número de filas que de columnas.

Los elementos de la forma aii constituyen la diagonal principal.

La diagonal secundaria la forman los elementos con i+j=n+1.

Matriz nula:

Todos los elementos son nulos.

Matriz triangular superior:

Los elementos situados por debajo de la diagonal principal son 0.

Matriz triangular inferior:

Los elementos situados por encima de la diagonal principal son 0.

Matriz diagonal:

Todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos.

Matriz escalar:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales.

Matriz identidad o unidad:

Es una matriz diagonal en la que los elementos de la diagonal principal son iguales a

1.

Matriz traspuesta:

Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando

ordenadamente las filas por las columnas.

(At)t = A

(A + B)t = At + Bt

(α · A)t = α· At

(A · B)t = Bt · At

Matriz regular:

Es aquella matriz cuadrada que tiene inversa.

Matriz singular:

Es aquella que no tiene matriz inversa.

Matriz idempotente:

Si A2 = A.

Matriz involutiva:

Si A2 = I.

Matriz simétrica:

Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=At.

Matriz antisimétrica o hemisimétrica:

Es aquella matriz cuadrada que verifica: A=-At.

Matriz ortogonal:

Si verifica: A·At= I

Suma de matrices

Dadas dos matrices de la misma dimensión, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando

los elementos de las dos matrices que ocupan la misma misma posición.

Propiedades

Interna: Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C Elemento neutro: A + 0 = A Elemento opuesto:A + (-A) = O

Conmutativa: A + B = B + A

Producto de un número real por una matriz

Dada una matriz A=(aij) y un número real k R, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada

elemento está multiplicado por k.

kA=(k aij)

Propiedades

a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b

a · (A+B) = a · A + a · B A,B Mmxn , a

(a+b) · A = a · A+b · A A Mmxn , a, b 1 · A = A A Mmxn

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A

coincide con el número de filas de B.

Mm x n x Mn x p = M m x p

El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades

Asociativa: A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro: A · I = A

No es Conmutativa: A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma: A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz inversa

A · A-1 = A-1 · A = I

Propiedades

(A · B)-1 = B-1 · A-1

(A-1 ) -1 = A

(k · A)-1 = k-1 · A-1

(A t) -1 = (A -1) t

Cálculo por el método de Gauss.

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A,

que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A | I) esto es, A está en la mitad izquierda

de M y la matriz identidad I en la derecha.

2º Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado

derecho será la matriz inversa: A-1

Rango de una matriz

Rango de una matriz: es el número de líneas de esa matriz (filas o columnas)

que son linealmente independientes.

Una línea es linealmente dependiente de otra u otras cuando se puede

establecer una combinación lineal entre ellas.

Una línea es linealmente independiente de otra u otras cuando no se puede establecer una combinación lineal entre ellas.

El rango de una matriz A se simboliza: rang(A) o r(A).

Cálculo por el método de Gauss.

Podemos descartar una línea si:

Todos los coeficientes son ceros. Hay dos líneas iguales. Una línea es proporcional a otra.

Una línea es combinación lineal de otras.

Matrices. Ejercicios y problemas

1Dadas las matrices:

Calcular:

A + B; A - B; A x B; B x A; At.

2Demostrar que: A2 - A- 2 I = 0, siendo:

3 Sea A la matriz . Hallar An , para n

4Por qué matriz hay que premultiplicar la matriz

para que resulte la matriz .

5Calcular la matriz inversa de:

6 Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

7 Una fábrica produce dos modelos de lavadoras, A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la terminación L y 50 unidades en la terminación S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la terminación L y 30 unidades en la terminación S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1.2 horas de administración. La terminación S lleva 33

horas de taller y 1.3 horas de administración.

1.Representar la información en dos matrices.

2.Hallar una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas

para cada uno de los modelos.

8 Calcular el rango de la matriz siguiente:

9 Siendo:

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

10Resolver; en forma matricial, el sistema:

Matrices. Ejercicios

1Sean las matrices:

Efectuar las siguientes operaciones:

(A + B) 2; (A - B) 2; (B) 3; A · B t · C.

2Sean las matrices:

1Justificar si son posibles los siguientes productos:

1(A t · B ) · C

2(B · Ct ) · At

2Determinar la dimensión de M para que pueda efectuarse el producto A · M · C

3Determina la dimensión de M para que C t · M sea una matriz cuadrada.

3Hallar todas las matrices que conmuten con la matriz:

4Siendo:

Resolver la ecuación matricial:

A X + 2 B = 3 C

5Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estanterías: A, B y C. En cada uno de los tamaños, grande y pequeño. Produce diariamente 1000 estanterías grandes y 8000 pequeñas de tipo A, 8000 grandes y 6000 pequeñas de tipo B, y 4000 grandes y 6000 pequeñas de tipo C. Cada estantería grande lleva 16 tornillos y 6 soportes, y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos.

1Representar esta información en dos matrices.

2Hallar una matriz que represente la cantidad de tornillos y de soportes necesarios para la producción diaria de cada uno de los seis modelos-tamaño de estantería.

Ejercicios de ecuaciones matriciales

1Dadas las matrices:

Resolver la ecuación:

A · X = B

2Dadas las matrices:

Resolver la ecuación:

X · A + B = C

3Siendo:

Calcular el valor de X en las siguientes ecuaciones:

4Siendo:

Resolver la ecuación matricial:

A X + 2 B = 3 C

5Resolver las ecuación matricial:

A · X + 2 · B = 3 · C

6Resolver; en forma matricial, el sistema:

7Obtener las matrices A y B que verifiquen el sistema:

8Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

1

2

Ejercicios resueltos de matriz inversa

1Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

2Calcular por el método de Gauss la matriz inversa de:

3Hallar por determinantes la matriz inversa de:

4¿Para qué valores de x la matriz no admite matriz

inversa?

5Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa?

Ejercicios del rango de una matriz

1Hallar el rango de la matriz siguiente:

2Calcular por el método de Gauss el rango de la matriz siguiente:

3Hallar por el método de Gauss el rango de la matriz siguiente:

4Calcular por determinantes el rango de la matriz:

5Hallar por determinantes el rango de la matriz:

6Calcular por determinantes el rango de la matriz:

7Determinar por determinantes el rango de la matriz:

Determinantes

Concepto de determinante

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante

de A, denotado por |A| o por det (A).

A =

Determinante de orden uno

|a11| = a11

|5| = 5

Determinante de orden dos

= a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante de orden tres

Consideremos una matriz 3 x 3 arbitraria A = (aij). El determinante de A se define como

sigue:

=

a11 a22 a33 + a12 a23 a 31 + a13 a21 a32 -

- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

=

3 · 2 · 4 + 2 · (-5) · (-2) + 1 · 0 · 1 -

- 1 · 2 · (-2) - 2 · 0 · 4 - 3 · (-5) · 1 =

= 24 + 20 + 0 - (-4) - 0 - (-15) =

= 44 + 4 + 15 = 63

Obsérvese que hay seis productos, cada uno de ellos formado por tres elementos de la matriz. Tres de los productos aparecen con signo positivo (conservan su signo) y

tres con signo negativo (cambian su signo).

Regla de Sarrus

Pierre Sarrus (1798, 1861) fue un matemático francés que estableció una regla para

para calcular determinantes de orden 3.

Regla de Sarrus

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Ejemplo

Menor complementario y adjunto

Menor complementario de un elemento de un determinante

Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden

n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

Adjunto de un elemento de un determinante

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

El signo es + si i+j es par.

El signo es - si i+j es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos de una

línea por sus adjuntos correspondientes:

Ejemplo

= 3(8+5) - 2(0-10) + 1(0+4) = 39 + 20 + 4 = 63

Cálculo de determinantes

Determinante de orden uno

|a 11| = a 11

|-2| = -2

Determinante de orden dos

= a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante de orden tres

Se aplica la regla de Sarrus:

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por

elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.

Seguiremos los siguientes pasos:

1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que

contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor

común en una línea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los

elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de

orden inferior en una unidad al original.

= 2(-58)

Propiedades de los determinantes

1.|At|= |A|

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta At son iguales.

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F3 = F1 + F2

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

Matriz inversa

Cálculo de la matriz inversa

Cálculo de la matriz inversa

1. Calculamos el determinante de la matriz, en el caso que el determinante sea nulo la matriz no tendrá inversa.

2. Hallamos la matriz adjunta, que es aquella en la que cada elemento se sustituye por su adjunto.

3. Calculamos la traspuesta de la matriz adjunta.

4. La matriz inversa es igual al inverso del valor de su determinante por la matriz traspuesta de la adjunta.

Rango de una matriz

Es el número de filas o columnas linealmente independientes, utilizando esta definición

se puede calcular usando el método de Gauss.

También podemos decir que el rango es: el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula. Utilizando esta definición se puede calcular el rango usando determinantes.

Cálculo del rango de una matriz por determinantes

1. Podemos descartar una línea si:.

Todos sus coeficientes son ceros.

Hay dos líneas iguales.

Una línea es proporcional a otra.

Una línea es combinación lineal de otras.

Suprimimos la tercera columna porque es combinación lineal de las dos primeras: c3 =

c1 + c2

2. Comprobamos si tiene rango 1, para ello se tiene que cumplir que al menos un

elemento de la matriz no sea cero y por tanto su determinante no será nulo.

|2|=2≠0

3. Tendrá rango 2 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 2, tal que su determinante no sea nulo.

4. Tendrá rango 3 si existe alguna submatriz cuadrada de orden 3, tal que su determinante no sea nulo.

Como todos los determinantes de las submatrices son nulos no tiene rango 3, por

tanto r(B) = 2.

5. Si tiene rango 3 y existe alguna submatriz de orden 4, cuyo determinante no sea nulo, tendrá rango 4. De este mismo modo se trabaja para comprobar si tiene rango

superior a 4.

RESUMEN - Determinantes

Definición de determinante

A cada matriz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante

de A , denotado por |A| o por det (A).

Determinante de orden uno

|a 11| = a 11

Determinante de orden dos

= a 11 a 22 - a 12 a 21

Determinante de orden tres

=

a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 -

- a 13 a22 a31 - a12 a21 a 33 - a11 a23 a32.

Regla de Sarrus

Los términos con signo + están formados por los elementos de la diagonal principal y

los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Los términos con signo - están formados por los elementos de la diagonal secundaria y los de las diagonales paralelas con su correspondiente vértice opuesto.

Menor complementario

Se llama menor complementario de un elemento aij al valor del determinante de orden n-1 que se obtiene al suprimir en la matriz la fila i y la columna j.

Adjunto

Se llama adjunto del elemento aij al menor complementario anteponiendo:

El signo es + si i+j es par.

El signo es - si i+j es impar.

El valor de un determinante es igual a la suma de productos de los elementos

de una línea por sus adjuntos correspondientes:

Determinante de orden superior a tres

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por

elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1 .

Seguiremos los siguientes pasos:

1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger

aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa

línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela ).

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos

los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4.Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un

determinante de orden inferior en una unidad al original.

Propiedades de los determinantes

1.|At|= |A|

2. |A|=0 Si:

Posee dos líneas iguales

Todos los elementos de una línea son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la

diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela

multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por

dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. |A·B| =|A|·|B|

Matriz inversa

Rango de una matriz

El rango es el orden de la mayor submatriz cuadrada no nula.

Determinantes. Ejercicios y problemas

1Demostrar, sin desarrollar, que los siguientes determinantes valen cero:

2Sabiendo que |A|=5, calcula los otros determinantes.

3 Demostrar que los siguientes determinantes son múltiplos de 5 y 4 respectivamente,

sin desarrollarlos

4Demostrar, sin desarrollar, que el siguiente determinante es múltiplo de 15:

5Demuéstrese las igualdades que se indican, sin necesidad de desarrollar los

determinantes:

6 Resolver las siguientes ecuaciones sin desarrollar los determinantes.

7 Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

8 Pasando a determinantes triangulares, calcular el valor de:

9Calcular los determinantes de Vandermonde:

10 Hallar la matriz inversa de:

11 Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa?

12 Calcular el rango de las siguientes matrices:

13 Resolver las siguientes ecuaciones matriciales:

1A · X = B

2 X · A + B = C

Determinantes. Ejercicios

1Si el valor del determinante

. Calcular el valor de:

2Demostrar que el siguiente determinante es divisible por 21:

3 Aplicando las propiedades de los determinantes, calcular:

4Calcular el valor de los siguientes determinantes:

5¿Para qué valores de x la matriz no admite matriz inversa?

6Resolver las ecuación matricial:

A · X + 2 · B = 3 · C

Regla de Cramer

La regla de Cramer sirve para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Se aplica a sistemas que cumplan las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

El determinante de la matriz de los coeficientes es distinto de cero.

Tales sistemas se denominan sistemas de Cramer.

Sea Δ el determinante de la matriz de coeficientes.

Y sean:

Δ 1, Δ 2 , Δ 3 ... , Δ n

los determinantes que se obtiene al sustituir los coeficientes del 2º miembro (los términos independientes) en la 1ª columna , en la 2ª columna, en la 3ª columna y en la

enésima columna respectivamente.

Un sistema de Cramer tiene una sola solución que viene dada por las siguientes

expresiones:

Ejemplo

Resolver por la regla de Cramer

1

2

3

4

5

6

Sistemas de ecuaciones lineales

Ecuación lineal con n incógnitas

ES cualquier expresión del tipo:a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + anxn = b, donde ai, b . Los valores ai se denominan coeficientes, b término independiente y los valores

xiincógnitas.

Solución de una ecuación lineal

Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación.

Dada la ecuación x + y + z + t = 0, son soluciones de ella:

(1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).

Ecuaciones equivalentes

Son aquellas que tienen la misma solución.

Sistemas de ecuaciones lineales

Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a11x1 + a12x2 + .....................+a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + .....................+a2nxn = b2

...............................................................

am1x1 + am2x2 + .....................+amnxn = bm

xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n). aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n). bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

m, n ; m > n, ó, m = n, ó, m < n. Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al

número de incógnitas.

aij y b i .

Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las letras x, y, z, t, ...

Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Solución de un sistema

Es cada conjunto de valores que satisface a todas las ecuaciones.

Sistemas de ecuaciones equivalentes

Los sistemas de ecuaciones equivalentes son los que tienen la misma solución,

aunque tengan distinto número de ecuaciones.

Obtenemos sistemas equivalentes por eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros.

Dos filas son iguales.

Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Criterios de equivalencia de sistemas de ecuaciones

1º Si a ambos miembros de una ecuación de un sistema se les suma o se les resta una misma expresión, el sistema resultante es equivalente.

2º Si multiplicamos o dividimos ambos miembros de las ecuaciones de un sistema por

un número distinto de cero, el sistema resultante es equivalente.

3º Si sumamos o restamos a una ecuación de un sistema otra ecuación del mismo

sistema, el sistema resultante es equivalente al dado.

4º Sin en un sistema se sustituye una ecuación por otra que resulte de sumar las dos ecuaciones del sistema previamente multiplicadas o divididas por números no nulos, resulta otro sistema equivalente al primero.

5º Si en un sistema se cambia el orden de las ecuaciones o el orden de las incógnitas,

resulta otro sistema equivalente.

Clasificación de sistemas de ecuaciones

Atendiendo al número de sus soluciones

Incompatible

No tiene solución.

Compatible

Tiene solución.

Compatible determinado

Solución única.

Compatible indeterminado

Infinitas soluciones.

Sistemas de ecuaciones escalonados

Son aquellos en que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior.

x + y + z = 3 y + 2 z = −1

z = −1

Si nos vamos a la 3a ecuación, tenemos que z = −1.

Sustituyendo su valor en la 2a obtenemos que y = 1.

Y sustituyendo en la 1a los valores anteriores tenemos que x = 3.

También es un sistema escalonado:

x + y + z = 4

y + z = 2

Como en este caso tenemos más incógnitas que ecuaciones, tomaremos una de las incógnitas (por ejemplo la z) y la pasaremos al segundo miembro.

x + y + z = 3

y = 2 − z

Consideraremos z= λ , siendo λ un parámetro que tomara cualquier valor real.

x + y + z = 3 y = 2 − λ

Las soluciones son:

z= λ y = 2 − λ x= 1.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado.

Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de las variables y los términos independientes (separados por una recta).

Ejemplos

3x +2y + z = 1

5x +3y +4z = 2

x + y - z = 1

Resolución de problemas con sistemas de ecuaciones

Pasos a seguir:

Leer y comprender el enunciado.

Anotar los datos utilizando: esquemas, dibujos, diagramas de árbol...

Elegir una notación que nos permita relacionar las distintas variables.

Plantear y resolver el sistema.

Comprobar la solución.

El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con

impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

x = Importe en € de los refrescos. x=120 €

y = Importe en € de la cerveza. y=160 €

z = Importe en € del vino. z=220 €

Sistemas de ecuaciones I. Resumen

Ecuación lineal con n incógnitas:

Cualquier expresión del tipo:a1x1+ a2x2 + a3x3 + ... +anxn = b, donde ai, b . Los valores ai se denominan coeficientes, b término independiente y los valores x i

incógnitas.

Solución de una ecuación lineal: Cualquier conjunto de n números reales que verifica la ecuación se denomina solución de la ecuación.

Ejemplo: Dada la ecuación x+y+z+t=0, son solución de ella: (1,-1,1,-1), (-2,-2,0, 4).

Ecuaciones equivalentes: Son aquellas que tienen la misma solución.

Sistema de ecuaciones

Es un conjunto de expresiones algebraicas de la forma:

a11x1 + a12x2 + .....................+a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + .....................+a2nxn = b2

...............................................................

am1x1 + am2x2 + .....................+amnxn = bm

xi son las incógnitas, (i = 1,2,...,n). aij son los coeficientes, (i = 1,2,...,m) (j = 1,2,...,n). bi son los términos independientes, (i = 1,2,...,m).

m, n ; m > n, ó, m = n, ó, m < n. Obsérvese que el número de ecuaciones no tiene por qué ser igual al

número de incógnitas.

aij y b i . Cuando n toma un valor bajo, es usual designar a las incógnitas con las

letras x, y, z, t, ...

Cuando bi = 0 para todo i, el sistema se llama homogéneo.

Solución de un sistema: Es cada conjunto de valores que satisface a todas las

ecuaciones.

Clasificación de sistemas

Atendiendo al número de sus soluciones:

Incompatible: no tiene solución. Compatible: tiene solución. Compatible determinado: solución única.

Compatible indeterminado: infinitas soluciones.

Sistemas escalonados:

Son aquellos en que cada ecuación tiene una incógnita menos

que la anterior.

Sistemas equivalentes

Son aquellos que tienen la misma solución, aunque tengan distinto número de ecuaciones. Obtenemos sistemas equivalentes por:

Eliminación de ecuaciones dependientes. Si:

Todos los coeficientes son ceros. Dos filas son iguales. Una fila es proporcional a otra.

Una fila es combinación lineal de otras.

Transformaciones:

Se pueden realizar las siguientes transformaciones:

Cambiar el orden de las ecuaciones del sistema. Cambiar el orden de las incógnitas en la ecuación. Multiplicar los dos miembros de una ecuación por un número

distinto de cero. Sustituir una ecuación del sistema por una combinación lineal de

ella y de las restantes siempre que el coeficiente de la ecuación sustituida sea distinto de cero.

Método de Gauss

El método de Gauss consiste en transformar un sistema de ecuaciones en otro equivalente de forma que éste sea escalonado. Para facilitar el cálculo vamos a transformar el sistema en una matriz, en la que pondremos los coeficientes de

las variables y los términos independientes (separados por una recta).

Discusión de sistemas I

Discutir un sistema es determinar si tiene solución y, caso de tenerla, saber si ésta es única. Es decir, determinar si es compatible o incompatible, y en caso

de ser compatible, si es determinado o indeterminado.

Resolución de problemas.

Pasos a seguir:

Leer y comprender el enunciado.

Anotar los datos utilizando: esquemas, dibujos, diagramas de árbol...

Elegir una notación que nos permita relacionar las distintas variables.

Plantear y resolver el sistema.

Comprobar la solución.

Sistemas I. Ejercicios y problemas

1Discutir los siguientes sistemas y resolverlos en caso de que proceda:

1

2Resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3 Se considera el sistema:

1. Resuélvelo y clasificalo en función del número de soluciones.

2. Determina si es posible, o no, eliminar una de las ecuaciones, de forma que el

sistema que resulte sea equivalente al anterior.

4Clasificar y resolver el sistema:

5Discutir el sistema según los valores del parámetro a.

6 Estudiar la compatibilidad del sistema según los valores de los parámetros a y b.

Resolverlo en los casos en que sea compatible.

7 Determinar para qué valores de k, el siguiente sistema tiene infinitas soluciones.

8 Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:

Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)

Mina A 1 2 3

Mina B 2 5 7

Mina C 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

9 La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el

momento de nacer sus hijos?

10Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo.

Cada volumen de trigo se vende por 4 €, el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €.

Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos volúmenes de cada especie se venden?

Sistemas. Ejercicios

1 Decir si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones:

1. En un sistema compatible indeterminado se puede eliminar una ecuación y obtener un sistema equivalente.

2. Un sistema compatible indeterminado es equivalente a un sistema homogéneo.

3. Todo sistema compatible indeterminado tiene dos ecuaciones iguales.

4. De un sistema incompatible podemos extraer otro compatible (no equivalente)

eliminando ecuaciones.

2Clasificar y resolver el siguiente sistema de ecuaciones:

3Resolver el siguiente sistema de ecuaciones de ecuaciones lineales:

¿Es posible transformarlo en uno compatible indeterminado cambiando solamente la

tercera ecuación?

4 Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así,

resolver del sistema para ese valor de m.

5Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre. El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre.

El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para

formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.

Resolver por el método de Gauss los sistemas

1

2

3

4

5

6

7

8

Ejercicios de discusión de sistemas por el método de Gauss

1 Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así,

resolver del sistema para ese valor de m.

2Estudiar si existe algún valor de m, para el cual el sistema es compatible. Si es así,

resolver del sistema para ese valor de m.

3Discutir el sistema según los valores del parámetro a.

4Estudiar la compatibilidad del sistema según los valores de los parámetros a y b.

5Determinar para qué valores de k, el siguiente sistema tiene infinitas soluciones.

Problemas de sistemas de ecuaciones lineales

1El dueño de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por importe de 500 € (sin impuestos). El valor del vino es 60 € menos que el de los refrescos y de la cerveza conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescos deben pagar un IVA del 6%, por la cerveza del 12% y por El vino del 30%, lo que hace que la factura total con

impuestos sea de 592.4 €, calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

2Una empresa tiene tres minas con menas de composiciones:

Níquel (%) Cobre (%) Hierro (%)

Mina A 1 2 3

Mina B 2 5 7

Mina C 1 3 1

¿Cuántas toneladas de cada mina deben utilizarse para obtener 7 toneladas de níquel, 18 de cobre y 16 de hierro?

3La edad de un padre es doble de la suma de las edades de sus dos hijos, mientras que hace unos años (exactamente la diferencia de las edades actuales de los hijos), la edad del padre era triple que la suma de las edades, en aquel tiempo, de sus hijos. Cuando pasen tantos años como la suma de las edades actuales de los hijos, la suma de edades de las tres personas será 150 años. ¿Qué edad tenía el padre en el

momento de nacer sus hijos?

4Se venden tres especies de cereales: trigo, cebada y mijo.

Cada volumen de trigo se vende por 4 €, el de la cebada por 2 € y el de mijo por 0.5 €.

Si se vende 100 volúmenes en total y si obtiene por la venta 100 €, ¿cuántos

volúmenes de cada especie se venden?

5Se tienen tres lingotes compuestos del siguiente modo:

El primero de 20 g de oro, 30 g de plata y 40 g de cobre. El segundo de 30 g de oro, 40 g de plata y 50 g de cobre. El tercero de 40 g de oro, 50 g de plata y 90 g de cobre.

Se pide qué peso habrá de tomarse de cada uno de los lingotes anteriores para

formar un nuevo lingote de 34 g de oro, 46 g de plata y 67 g de cobre.