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Algebra LinealTercer Examen Parcial

Maestro Eduardo Uresti, Enero-Mayo 2011

Grupo: Matrıcula: Nombre: Tipo:11

1. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı es lineal-

mente independiente:

1. {6 + x− x2,−3− x}2. {6− x− x2,−30 + 29x + 5x2,−6x}3. {3− 3x− 2x2, 1− x− x2,−4− 4x + 5x2}4. {−5− 27x + 42x2,−4− 24x + 36x2, 1 + 3x− 6x2, 6x− 6x2}

Respuesta:

2. Indique la dimension del subespacio . . .

(1) generado por{[−2 0

−2 1

],

[2 0

2 −1

],

[−4 0

−4 2

],

[−4 0

−4 2

]}

(2) generado por{1 + 2x+ x2 − x3, −3− 3x,

13 + 2x+ 5x2 + 5x3, 3− 3x+ 2x2 + 3x3

}

(3) formado por los vectores x que cumplen: 5 10 10

1 2 2

1 2 2

x =

0

0

0

Respuesta:

3. Liste todos los valores de a para los cuales el conjunto

formado por las matrices[2 5

5 2

],

[4 4

2 2

][

3 5

3 2

],

[2 2

a 2

]sea linealmente dependiente.

Respuesta:

4. Suponga que la transformacion lineal T : R2 → R2 cum-

ple:

T

[−5

5

]=

[−4

−2

]y

T

[−3

−3

]=

[2

−4

]Determine

T

[3

−1

]Respuesta:

5. Indique cuales opciones sı contienen una transformacion

lineal de R2 en R2 :

1. T

[x

y

]=

[−2 + x

−3 + x

]

2. T

[x

y

]=

[3x+ y

x− 2 y

]

3. T

[x

y

]=

[x y

−3 y

]

4. T

[x

y

]=

[x+ 4 y

−3 y

]

Respuesta:

6. Si

p1 = 9 + 13x, p2 = 6 + 4x, p3 = 1 + 3x, p4 = 18 + 26x

Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:

1. p1 ∈ Gen {p2, p3} 2. p2 ∈ Gen {p1, p4}3. p3 ∈ Gen {p1, p2} 4. p2 ∈ Gen {p1, p3}5. p4 ∈ Gen {p3} 6. p4 ∈ Gen {p1}

Respuesta:

7. Determine el polinomio caracterıstico de la matriz

A =

23 −15 −9

17 −11 −7

21 −15 −7

De, en orden creciente a las potencias, sus coeficientes. De

ser necesario reporte ceros en los terminos faltantes.

Respuesta:

8. Para que valores del escalar c el espacio generado por 1

−1

2

,

−1

3

−6

,

−1

1− 2 c

−2 + 2 c+ c2

,

2

0

6− 5 c+ c2

tiene dimension 2.

Indique su respuesta, completando los espacios de ser ne-

cesario, en las posibles:

1) Solo para c =

2) Hay una infinidad de valores para c.

MA1010, Tercer Examen Parcial, Tipo: 11 2

3) Solo para c1 = y c2 =

(Con c1 ≤ c2)

4) No existe valor de c.

5) Solo para c1 = , c2 = y c3 =

(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)

Respuesta:

9. Los vectores

1.

3

−13

−11

2.

−11

47

42

3.

1

−4

−4

4.

−3

13

11

5.

3

−12

−12

son vectores propios de la matriz

A =

−349 −48 −39

1476 203 165

1356 186 152

De en orden los valores propios a los cuales corresponden.

Respuesta:

10. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 3 a 0

3 6 4

2 4 2

no sea invertible?

Respuesta:

11. Suponga una maquiladora con tres tipos de piezas como

materia prima: tipo A, tipo B y tipo C. En una primera

etapa de ensamble usando As, Bs y Cs se producen los

tipos de armados M, N y P. En una segunda etapa de en-

samble usando los tipos M, N y P se producen los tipos

de armados X, Y y Z. Se sabe que para armar 4 Xs, 5 Ys

y 2 Zs se requirieron en total 435 As, 411 Bs y 454 Cs;

para armar 3 Xs, 3 Ys y 4 Zs se requirieron en total 413

As, 393 Bs y 439 Cs; y que para armar 5 Xs, 5 Ys y 4 Zs

se requirieron en total 563 As, 535 Bs y 593 Cs. Ademas,

se sabe que para obtener un X se requieren 4 Ms, 3 Ns y

2 Ps; para un Y se requieren 3 Ms, 5 Ns y 3 Ps y para

un Z se requieren 3 Ms, 5 Ns y 5 Ps. Indique, en orden,

cuantas piezas A y cuantas B se requieren para armar un

X y cuantas piezas A y cuantas B para armar un M.

Respuesta:

12. Que valor debe tener a para que el polinomio:

p = 3 + a x + 11x3

sea una combinacion lineal de los polinomios:

p1 = 1− 4x2 + x3

p2 = −1 + x + 4x2 + x3

p3 = −1 + x + 3x2 + x3

Respuesta:





ple:

T

[1

0

]=

[1

−1

]y

T

[0

1

]=

[−2

−4

]Determine

T

[−3

−5

]Respuesta:


2

2

,

−2

−2

−2

,

−2

−4− 2 c

−4− 5 c+ c2

,

−1

−4

8− 7 c+ c2

tiene dimension 2.




2) Solo para c1 = , c2 = y c3 =

(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)

3) Solo para c =


(Con c1 ≤ c2)


Respuesta:



1. {−6− x + 5x2, 6 + 2x + 6x2, 3− 3x− 3x2}2. {4− 4x− 4x2,−22 + 20x + 17x2, 12− 24x− 42x2,−2− 3x2}3. {5− x− 2x2,−6 + x + 3x2}4. {3 + 2x− 19x2,−1 + 6x− 2x2, 4x− 5x2}

Respuesta:



1 2

],

[5 3

1 4

][

4 2

4 4

],

[5 a

3 3


Respuesta:



1 3

],

[−4 4

2 −4

],

[0 0

0 2

],

[−2 2

1 −1

]}(2) generado por{

3 + 8x+ 7x2 + 13x3, 3 + x+ 2x2 + 2x3,

7x+ 5x2 + 11x3, 1− 2x− x2 − 3x3

}(3) formado por los vectores x que cumplen: 5 5 5

3 4 3

4 4 7

x =

0

0

0

Respuesta:

6. Si

A1 =

[5 3

3 5

]A2 =

[6 −3

−3 −2

]

A3 =

[23 −6

−6 −1

]A4 =

[15 9

9 15

]Indique cuales opciones contienen declaraciones ciertas:

1. A4 ∈ Gen{A2, A3} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A4 ∈ Gen{A3} 4. A4 ∈ Gen{A1}5. A3 ∈ Gen{A1, A2} 6. A1 ∈ Gen{A4}

Respuesta:

7. Los vectores

1.

−2

9

7

2.

−3

15

16

3.

4

−18

−14

4.

−9

45

48

5.

−1

4

2


A =

−102 −28 6

330 88 −15

−90 −34 21


Respuesta:



ple:

T

[−3

−1

]=

[−4

−1

]y

T

[−2

2

]=

[−2

3

]Determine

T

[2

4

]Respuesta:


A =

49 −11 −14

110 −24 −32

70 −16 −20



Respuesta:

10. Indique en cuales opciones el conjunto dado sı genera a

M2×2 :

1.

{[−6 0

−1 0

],

[−1 −1

−2 6

],

[0 3

−3 −1

],

[28 −11

27 −19

]}

2.

{[−4 1

−5 3

],

[−7 −13

13 3

],

[6 6

−5 −3

],

[40 41

−18 −24

],

[5 6

−3 −3

]}

3.

{[0 −5

4 −3

],

[−4 0

3 0

],

[−2 −5

−5 −1

],

[−3 4

1 −4

],

[−4 3

5 1

]}

4.

{[0 3

30 15

],

[−1 −1

2 2

],

[−2 −3

−6 −1

],

[0 −2

−20 −10

]}

Respuesta:

11. Si:

A =

[−4 −1

−3 −1

]

B =

[−10 −5

−5 −1

]

C =

[3 1

−4 −1

]

D =

[−4 −1

−3 −1

]Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-

ciales:A X + B Y = C

X + 2Y = D

Reporte el renglon 2.

Respuesta:

12. Si:

A =

[−1 −1

0 0

]

B =

[−4 −3

−1 −1

]

C =

[−3 1

−4 1

]Resuelva para X la siguiente ecuacion:

A X = B X + C


Respuesta:




1. Si

A1 =

[−1 −1

0 −3

]A2 =

[3 −3

1 0

]

A3 =

[5 −7

2 −3

]A4 =

[−4 −4

0 −12


1. A1 ∈ Gen{A2, A3} 2. A2 ∈ Gen{A1, A4}3. A4 ∈ Gen{A2, A3} 4. A4 ∈ Gen{A1}5. A4 ∈ Gen{A3} 6. A1 ∈ Gen{A4}

Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x+ 2 y

−4 y

]

2. T

[x

y

]=

[x y

−6 y

]

3. T

[x

y

]=

[4x+ y

x− 5 y

]

4. T

[x

y

]=

[−2 + x

−4 + x

]

Respuesta:



1.

{[−1 −3

0 −3

],

[6 5

4 4

],

[−6 −4

6 3

],

[1 4

6 5

]}

2.

{[−5 5

−9 −10

],

[5 4

−6 4

],

[0 −3

5 2

]}

3.

{[5 0

0 −3

],

[6 2

4 4

],

[−5 −3

−5 −6

]}

4.

{[29 −13

28 20

],

[−6 6

−3 −3

],

[1 5

4 6

],

[−2 −3

−6 −1

]}

Respuesta:
















Respuesta:



4 −1

],

[2 1

−2 2

],

[0 −1

−2 −1

],

[2 2

0 3

]}

(2) generado por{2− 3x− 3x2 − 2x3, 3 + 2x+ 3x3,

−1− 2x− x2 − x3, 2− 3x− 2x3

}


4 7 4

2 2 5

x =

0

0

0

Respuesta:


A =

−67 −21 −12

102 32 18

228 72 41



Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[2

2

]y

T

[0

1

]=

[2

−3

]


Determine

T

[5

−4

]Respuesta:


2

−2

,

−1

−1

3

,

2

4− 2 c

−4− 4 c+ c2

,

−1

−3

7− 5 c+ c2

tiene dimension 2.



1) Solo para c1 = , c2 = y c3 =

(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)


3) Solo para c =



(Con c1 ≤ c2)

Respuesta:



3 2

],

[5 4

5 3

][

5 1

4 2

],

[3 5

2 a


Respuesta:


M2×2 :

1.

{[2 −1

−2 −6

],

[−5 5

6 −4

],

[1 −6

−1 6

],

[−1 −6

4 6

]}

2.

{[6 0

2 5

],

[0 36

−26 7

],

[−6 3

−3 −4

],

[2 6

−6 2

],

[−14 36

−40 −8

]}

3.

{[−6 0

−3 2

],

[−14 12

−7 26

],

[1 0

5 −6

],

[1 −3

−4 0

]}

4.

{[5 −9

22 14

],

[3 −1

6 2

],

[−16 −13

−2 16

],

[5 2

4 −2

]}

Respuesta:

11. Sea A una matriz cuadrada. Indique validez a cada una

de las siguientes afirmaciones:

a) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-

ne solucion unica.

b) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-

tonces A es invertible.

c) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0

tiene infinitas soluciones.

d) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas

soluciones, entonces A no es invertible.

dentro de las respuestas posibles:

1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:

12. Los vectores

1.

3

−12

9

2.

3

−11

10

3.

18

−69

60

4.

6

−23

20

5.

1

−4

3


A =

−102 −12 18

402 48 −70

−340 −40 60


Respuesta:






2 3

],

[2 4

1 1

][

2 4

3 2

],

[4 2

4 a


Respuesta:

2. En las afirmaciones siguientes V es un espacio lineal, B es

una base para V , G es un conjunto generador para V , I es

un conjunto linealmente independiente de V , D es un con-

junto linealmente dependiente de V , C es un conjunto de

elementos de V y 14 es la dimension de V . Indique como

son cada una de las afirmaciones

a) Si G tiene 14 elementos, entonces I es linealmente

independiente.

b) I tiene menos de 15 elementos.

c) B tiene mas de 14 elementos.

d) D tiene al menos 14 elementos.

e) Si D tiene mas de 14 elementos, entonces D genera a

V .

Respecto a la respuesta

1) Cierto

2) Falso

3) No hay suficiente informacion

Respuesta:



a) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.

b) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0

tiene solucion unica.

c) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-

lucion, entonces A es invertible.

d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene

infinitas soluciones.


1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:

4. Si:

A =

[0 −3

3 2

]

B =

[−3 −4

1 1

]

C =

[4 −3

−1 1


A X = B X + C


Respuesta:

5. Los vectores

1.

12

−9

45

2.

1

−1

4

3.

−30

24

−112

4.

4

−3

15

5.

−15

12

−56


A =

197 −40 −60

−168 33 51

744 −148 −226


Respuesta:



2 0

],

[0 2

2 2

]


[0 0

0 1

],

[a 4

8 6

]no genere M2×2.

Respuesta:



1. {−5− 4x− 2x2, 5x + x2,−6 + 2x− 6x2}2. {4− 3x + 6x2,−4− x− 6x2,−4 + 7x− 6x2}3. {4 + 2x− 4x2, 3 + 4x + 5x2}4. {−5− 6x + 6x2, 12x + 48x2,−3− 6x− 6x2, 38 + 60x + 12x2}

Respuesta:

8. Indique en cuales opciones el conjunto dado no genera a

M2×2 :

1.

{[−19 −2

5 −6

],

[−2 0

0 −1

],

[−6 0

1 −5

],

[5 2

−3 −5

]}

2.

{[1 5

3 −6

],

[4 1

6 1

],

[−4 3

2 −4

],

[6 −2

−4 −5

],

[1 −5

4 −5

]}

3.

{[−5 −2

5 −6

],

[1 −2

0 6

],

[−2 5

5 2

],

[2 6

−1 −6

]}

4.

{[−12 20

−20 −24

],

[−2 −5

2 −2

],

[1 −3

2 4

],

[−16 0

−20 8

],

[−5 −4

−2 −2

]}

Respuesta:


1

−2

,

1

2

−1

,

−1

−1 + 2 c

2− 3 c+ c2

,

−1

1

34− 11 c+ c2

tiene dimension 2.





3) Solo para c =

4) Solo para c1 = , c2 = y c3 =

(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)


(Con c1 ≤ c2)

Respuesta:

10. Cuales opciones no contienen vectores propios a la matriz

A =

−22 50 15

−22 44 12

40 −70 −17

de la lista de vectores:

1.

1

1

−2

2.

2

3

−7

3.

0

−1

3

4.

2

4

−10

5.

1

5

−15

6.

0

9

−30

Respuesta:

11. Indique cuales opciones no contienen una transformacion


1. T

[x

y

]=

[x+ 6 y

y

]

2. T

[x

y

]=

[x y

−8 y

]

3. T

[x

y

]=

[−4 + x

−5 + x

]

4. T

[x

y

]=

[4x+ y

x− 3 y

]

Respuesta:


ple:

T

[−3

1

]=

[−2

2

]y

T

[1

4

]=

[3

3

]Determine

T

[3

1

]

Respuesta:





ple:

T

[1

0

]=

[−2

4

]y

T

[0

1

]=

[−3

3

]Determine

T

[−3

−5

]Respuesta:


M2×2 :

1.

{[5 2

−6 −6

],

[−4 6

−2 −4

],

[3 −2

5 4

],

[6 −4

4 −1

]}

2.

{[−6 −1

3 −3

],

[4 −6

4 2

],

[−4 3

6 6

],

[24 −11

38 52

]}

3.

{[8 −37

−18 3

],

[3 −10

−30 −26

],

[−1 5

0 −3

],

[−1 4

6 4

]}

4.

{[−5 −3

−4 4

],

[28 22

32 −4

],

[−1 1

−1 −5

],

[2 −3

−3 −5

],

[−21 18

5 −1

]}

Respuesta:

3. Los vectores

1.

1

4

−1

2.

0

12

−33

3.

0

4

−11

4.

1

3

2

5.

−2

−8

2


A =

−163 44 16

−832 225 80

648 −176 −59


Respuesta:







a) Si D tiene 20 elementos, entonces D es base.

b) B tiene menos de 20 elementos.

c) D tiene al menos 20 elementos.

d) G tiene menos de 20 elementos.

e) Si G tiene 21 elementos, entonces G es linealmente

dependiente.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:

5. Si:

A =

[−3 −4

1 1

]

B =

[−16 −17

1 3

]

C =

[−3 −4

1 1

]

D =

[3 −4

1 −1



X + 4Y = D


Respuesta:



0 1

],

[1 0

2 2

][

2 2

0 2

],

[a 2

2 6

]


no genere M2×2.

Respuesta:

7. Para que valores del escalar x el espacio generado por 1

−1

−2

,

0

1

−1

,

−1

1 + x

2− 4x+ x2

,

−2

0

18− 7x+ x2

tiene dimension 2.



1) No existe valor de x.

2) Hay una infinidad de valores para x.

3) Solo para x =

4) Solo para x1 = , x2 = y x3 =

(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)

5) Solo para x1 = y x2 =

(Con x1 ≤ x2)

Respuesta:

8. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 8 −4 a

4 −1 0

4 −2 −2

no sea invertible?

Respuesta:


ple:

T

[2

−5

]=

[2

−4

]y

T

[−3

4

]=

[−3

−1

]Determine

T

[4

−2

]Respuesta:


A =

−349 84 −24

−960 231 −66

1824 −440 125


1.

1

3

−4

2.

4

11

−20

3.

−2

−5

12

4.

7

19

−37

5.

−20

−54

106

6.

−9

−24

48

Respuesta:



1.

{[2 −6

1 2

],

[4 0

1 −2

],

[−3 5

−5 −3

]}

2.

{[−5 15

−30 −30

],

[2 0

−3 −3

],

[1 −2

3 3

],

[3 −3

6 6

]}

3.

{[3 2

2 4

],

[−33 18

18 −12

],

[6 −6

−6 0

]}

4.

{[−5 2

−5 −1

],

[−4 3

−2 −1

],

[3 0

1 −1

],

[6 −4

−3 4

]}

Respuesta:


{4 + 2x + 2x2, 3 + x + 5x2, 14 + 6x + a x2}

sea linealmente dependiente.

Respuesta:





ple:

T

[1

0

]=

[−4

−4

]y

T

[0

1

]=

[2

4

]Determine

T

[−3

−5

]Respuesta:

2. Indique en cuales opciones el conjunto dado no es lineal-


1.

{[−1 −6

−6 5

],

[5 5

−6 −5

],

[3 −4

−5 1

]}

2.

{[−3 0

3 −4

],

[4 6

−2 −3

],

[−4 −6

−1 3

],

[3 6

−5 4

]}

3.

{[−4 −2

2 −6

],

[−16 −30

2 24

],

[−3 2

−3 −3

],

[−5 −5

0 1

]}

4.

{[−22 8

−30 10

],

[1 −5

−6 5

],

[4 −3

3 0

]}

Respuesta:


(1) generado por{[0 −1

−1 1

],

[0 0

−1 −1

],

[1 −1

0 −2

],

[1 −2

1 1

]}

(2) generado por{1 + x− 3x2 − 3x3, 2 + 2x− 6x2 − 6x3,

−2− 2x+ 6x2 + 6x3, −2− 2x+ 6x2 + 6x3

}


2 4 8

3 3 12

x =

0

0

0

Respuesta:

4. Que valor debe tener a para que la matriz:

A =

[0 a

4 4

]

sea una combinacion lineal de las matrices:

A1 =

[3 −3

2 1

]A2 =

[−3 3

−1 0

]A3 =

[3 2

0 −1

]Respuesta:
















Respuesta:



4 1

],

[3 1

5 2

][

1 4

5 3

],

[4 a

4 3


Respuesta:



1 2

],

[2 2

2 1

][

2 0

0 1

],

[10 a

5 6

]no genere M2×2.

Respuesta:




a) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-


b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-

ces A es invertible.

c) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion

unica, entonces A no es invertible.

d) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-

ne infinitas soluciones.


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:


ple:

T

[5

1

]=

[−3

−1

]y

T

[−3

−5

]=

[3

−1

]Determine

T

[4

4

]Respuesta:

10. Los vectores

1.

2

−9

−5

2.

1

−4

−3

3.

−2

8

6

4.

15

−69

−33

5.

−2

9

5


A =

−7 −5 5

−2 17 −26

86 23 −4


Respuesta:

11. Para que valores del escalar a el espacio generado por 1

−2

−2

,

1

−3

0

,

0

−a

−3 a+ a2

,

1

−4

32− 11 a+ a2

tiene dimension 2.



1) Solo para a =

2) No existe valor de a.

3) Solo para a1 = y a2 =

(Con a1 ≤ a2)

4) Hay una infinidad de valores para a.

5) Solo para a1 = , a2 = y a3 =

(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)

Respuesta:


A =

301 −89 −26

1252 −370 −108

−850 250 72


1.

−16

−68

50

2.

9

38

−27

3.

−2

−9

8

4.

6

26

−20

5.

1

4

−2

6.

4

17

−12

Respuesta:






2 1

],

[−2 1

2 −1

],

[−2 0

1 0

],

[−1 2

1 −2

]}

(2) generado por{−2 + 3x− 3x2 − 3x3, −2 + 3x− 3x2 − 3x3,

6− 9x+ 9x2 + 9x3, 6− 9x+ 9x2 + 9x3

}


3 9 9

3 9 9

x =

0

0

0

Respuesta:

2. Si:

A =

[0 3

−3 2

]

B =

[−3 1

−4 1

]

C =

[−4 −3

−1 −1


A X = B X + C


Respuesta:


A =

[6 a

0 −3

]sea una combinacion lineal de las matrices:

A1 =

[3 −2

0 1

]A2 =

[1 1

2 3

]A3 =

[1 2

2 −2

]

Respuesta:

4. Si

p1 = 8 + 6x, p2 = 4 + 2x, p3 = 4 + 4x, p4 = 32 + 24x


1. p2 ∈ Gen {p1, p3} 2. p4 ∈ Gen {p1}3. p4 ∈ Gen {p3} 4. p1 ∈ Gen {p2, p3}5. p3 ∈ Gen {p1, p2} 6. p1 ∈ Gen {p4}

Respuesta:


A =

0 2 −1

−5 −1 3

−10 −4 7


1.

1

0

0

2.

2

3

5

3.

0

−1

−1

4.

0

2

4

5.

−1

−2

−3

6.

1

1

2

Respuesta:


{1 + 3x + x2, 4 + 5x + 3x2, 19 + 29x + a x2}


Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[3

−3

]y

T

[0

1

]=

[−2

3

]Determine

T

[−5

4

]Respuesta:

















Respuesta:


A =

−17 −3 −9

12 −1 10

54 15 22



Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[6x+ y

x− 2 y

]

2. T

[x

y

]=

[x y

−6 y

]

3. T

[x

y

]=

[x+ 8 y

5 y

]

4. T

[x

y

]=

[−4 + x

−6 + x

]

Respuesta:



1.

{[−3 2

−6 −5

],

[−2 1

6 −5

],

[−4 4

−5 −4

],

[−4 11

−43 15

]}

2.

{[−1 −3

1 4

],

[5 3

−6 −3

],

[4 5

6 −1

],

[1 5

−4 −5

]}

3.

{[−5 −1

−3 −4

],

[−13 −29

−33 10

],

[−3 −5

−6 1

]}

4.

{[4 6

−1 −2

],

[−5 2

3 3

],

[−6 −3

5 5

]}

Respuesta:

12. Para que valores del escalar k el espacio generado por

1

−2

1

,

0

1

1

,

−1

2 + 2 k

−1− 2 k + k2

,

0

−1

19− 9 k + k2

tiene dimension 2.



1) No existe valor de k.

2) Hay una infinidad de valores para k.

3) Solo para k =

4) Solo para k1 = , k2 = y k3 =

(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)

5) Solo para k1 = y k2 =

(Con k1 ≤ k2)

Respuesta:




1. Si:

A =

[0 0

0 0

]

B =

[−4 −3

−1 −1

]

C =

[2 −3

1 −1


A X = B X + C


Respuesta:



0 0

],

[−1 −1

0 0

],

[−2 0

0 0

],

[−2 −1

0 0

]}

(2) generado por{−1− 3x− 3x2 + 3x3, −3− x3,

1− x+ 2x3, −x− 3x2

}


1 3 1

2 2 5

x =

0

0

0

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[−1

−2

]y

T

[0

1

]=

[−3

−1

]Determine

T

[5

−5

]Respuesta:


una base para V , G es un conjunto generador para V , Ies un conjunto linealmente independiente de V , D es un

conjunto linealmente dependiente de V , C es un conjunto

de elementos de V y 9 es la dimension de V . Indique como


a) Si D tiene 9 elementos, entonces D genera a V .

b) I tiene al menos 9 elementos.

c) G tiene al menos 9 elementos.

d) Si I tiene menos de 9 elementos, entonces I genera

a V .

e) B tiene 9 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


{6 + 5x + 6x2, 6 + 5x + x2, 24 + a x + 14x2}


Respuesta:



1. {2 + 5x− 6x2,−5x + 2x2}2. {21 + 12x− 24x2,−21− 27x− 2x2, 2− x− 6x2, 3 + 6x + 4x2}3. {−18− 35x + 22x2, 3 + 5x− 3x2,−5x + 4x2}4. {−1 + x + 6x2, 2− 2x + 5x2, 5− 2x2}

Respuesta:

7. Los vectores

1.

−3

3

−3

2.

−12

10

−19

3.

1

−1

1

4.

4

−3

8

5.

−8

6

−16



A =

324 260 −64

−273 −219 54

498 400 −98


Respuesta:


p = −2 + a x + 6x3


p1 = 1− 2x2 + x3

p2 = −1 + x + 2x2 + x3

p3 = −1 + x− x2 + x3

Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x y

−6 y

]

2. T

[x

y

]=

[2x+ y

x− 8 y

]

3. T

[x

y

]=

[−4 + x

−4 + x

]

4. T

[x

y

]=

[x+ 8 y

5 y

]

Respuesta:

10. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −8 −4 −3

−8 −4 −4

a −4 0

sea singular?

Respuesta:


A =

−45 −30 16

80 53 −28

10 6 −3



Respuesta:


A =

[−13 a

12 6


A1 =

[4 −3

−3 −1

]A2 =

[−1 0

2 0

]A3 =

[2 0

−2 −2

]

Respuesta:




1. Los vectores

1.

−2

−8

8

2.

3

13

−15

3.

15

64

−71

4.

−30

−128

142

5.

1

4

−4


A =

−422 150 45

−1764 627 188

1876 −666 −199


Respuesta:


A =

2 16 −10

0 22 −12

0 36 −20



Respuesta:








b) G tiene a lo mas 13 elementos.



a V .

e) D tiene mas de 13 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


p = a− 2x− x3


p1 = 1− 5x2 + x3

p2 = −1 + x + 5x2 + x3

p3 = −1 + x + 2x2 + x3

Respuesta:



a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene infinitas



tonces A ·A es invertible.

c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.

d) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene



1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:



3 2

],

[4 3

1 4

][

5 3

2 5

],

[2 3

4 a


Respuesta:



A =

[12 0

a −1


A1 =

[−3 1

−1 1

]A2 =

[0 −2

4 2

]A3 =

[−2 0

1 −1

]

Respuesta:



−1 0

],

[2 0

−6 −4

],

[−6 8

−2 −4

],

[1 −2

2 2

]}

(2) generado por{−3− x+ 2x2 − 3x3, 9 + 3x− 6x2 + 9x3,

−9− 3x+ 6x2 − 9x3, 3 + x− 2x2 + 3x3

}


5 8 20

5 5 20

x =

0

0

0

Respuesta:


ple:

T

[−4

1

]=

[3

4

]y

T

[−5

1

]=

[2

2

]

Determine

T

[−2

2

]Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[2x+ y

x− 6 y

]

2. T

[x

y

]=

[x+ 4 y

y

]

3. T

[x

y

]=

[x y

−4 y

]

4. T

[x

y

]=

[−7 + x

−4 + x

]

Respuesta:



1. {−6− 3x− x2, 6− 4x + 6x2,−24 + 2x− 14x2}2. {5− 2x + 6x2, 4 + 3x− 6x2}3. {−4 + 2x− 2x2,−3− 4x, 3− 4x + 6x2}4. {12− 4x + 4x2,−24 + 7x− 19x2, 4− x + 5x2,−4 + 2x + 6x2}

Respuesta:


−1 −2 0

−1 a 0

sea singular?

Respuesta:





A =

6 1 2

−34 −7 −10

26 7 6



Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[6x+ y

x− 4 y

]

2. T

[x

y

]=

[−3 + x

−5 + x

]

3. T

[x

y

]=

[x+ 8 y

y

]

4. T

[x

y

]=

[x y

−3 y

]

Respuesta:


A =

[−4 7

12 a


A1 =

[−2 −1

3 −3

]A2 =

[0 0

4 0

]A3 =

[2 −2

−1 0

]Respuesta:

4. Si:

A =

[−3 −4

1 1

]

B =

[−3 −4

1 1

]

C =

[−4 −3

−1 −1

]

Resuelva para X la siguiente ecuacion:

(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:



2 1

],

[1 2

1 2

][

0 1

0 2

],

[2 8

4 a

]no genere M2×2.

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[1

3

]y

T

[0

1

]=

[−1

1

]Determine

T

[−4

4

]

Respuesta:


{2 + 2x + 5x2, 2 + 6x + 4x2, a + 28x + 26x2}


Respuesta:


A =

3 156 −53

2 109 −37

6 312 −106



1.

14

10

29

2.

9

6

18

3.

13

9

26

4.

10

7

20

5.

−2

−1

−3

6.

4

3

9

Respuesta:



−2 2

],

[2 0

−6 7

],

[−2 −2

−2 1

],

[1 2

0 1

]}(2) generado por{

−1 + x+ 2x2, −1 + x+ x2 − 3x3,

2− 2x− x2 + 9x3, 2− 2x− x2 + 9x3

}(3) formado por los vectores x que cumplen: 1 2 2

5 10 10

1 2 2

x =

0

0

0

Respuesta:

10. Si:

A =

[−2 −3

1 1

]

B =

[−6 −16

2 6

]

C =

[−2 1

−3 1

]

D =

[−4 −3

−1 −1

]

Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-

ciales:

A X + B Y = C

X + 5Y = D


Respuesta:



1.

{[−2 −3

−6 0

],

[0 −4

0 −3

],

[−2 2

2 3

],

[−1 −5

−5 6

]}

2.

{[6 −4

1 3

],

[4 2

5 0

],

[1 3

6 −3

]}

3.

{[39 −6

7 20

],

[−1 1

−2 −2

],

[5 −2

0 2

],

[−4 −2

−1 −2

]}

4.

{[0 3

−5 −1

],

[6 5

2 4

],

[−30 −34

5 −17

]}

Respuesta:

12. Para que valores del escalar b el espacio generado por 1

1

−1

,

−1

−3

5

,

−2

−2− b

2− b+ b2

,

−1

−2

15− 7 b+ b2

tiene dimension 2.



1) Solo para b1 = y b2 =

(Con b1 ≤ b2)

2) Solo para b1 = , b2 = y b3 =

(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)

3) Solo para b =

4) No existe valor de b.

5) Hay una infinidad de valores para b.

Respuesta:






1. T

[x

y

]=

[x y

−5 y

]

2. T

[x

y

]=

[x+ 8 y

4 y

]

3. T

[x

y

]=

[5x+ y

x− 7 y

]

4. T

[x

y

]=

[−6 + x

−8 + x

]

Respuesta:


ple:

T

[−1

4

]=

[3

1

]y

T

[4

0

]=

[−2

−4

]Determine

T

[−4

1

]Respuesta:

3. Si:

A =

[−4 −1

−3 −1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[−2 1

−3 1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:







a) Si I tiene 14 elementos, entonces I genera a V .

b) B tiene menos de 14 elementos.

c) Si D tiene mas de 14 elementos, entonces D genera a

V .


e) I tiene al menos 14 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



5 3

],

[1 4

2 5

][

1 3

1 2

],

[3 a

3 3


Respuesta:

6. Si

A1 =

[4 5

1 −3

]A2 =

[6 2

6 2

]

A3 =

[16 9

13 1

]A4 =

[16 20

4 −12


1. A2 ∈ Gen{A1, A4} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A4 ∈ Gen{A2, A3} 4. A1 ∈ Gen{A4}5. A4 ∈ Gen{A3} 6. A3 ∈ Gen{A1, A2}

Respuesta:


7. Los vectores

1.

1

−3

3

2.

−42

117

−132

3.

8

−22

26

4.

−14

39

−44

5.

3

−9

9


A =

384 68 −60

−1074 −190 168

1194 212 −186


Respuesta:



1. {2− 6x− 5x2, 4 + 4x− 6x2, 14− 10x− 27x2}2. {3x− 2x2,−5− 4x− 2x2}3. {4− x− 6x2,−5x + 3x2,−12− 22x + 33x2, 8 + 23x− 27x2}4. {2x + 5x2, 4− 3x + x2,−3− 3x− 2x2}

Respuesta:
















Respuesta:


M2×2 :

1.

{[−4 2

−5 1

],

[4 −6

−2 0

],

[6 4

0 −3

],

[−3 2

−1 −1

]}

2.

{[0 −4

0 −6

],

[6 5

1 3

],

[−4 6

−2 1

],

[3 −2

−3 1

],

[−2 −1

−3 −3

]}

3.

{[2 −3

0 −5

],

[2 4

−2 −1

],

[−4 19

−2 −7

],

[2 2

−2 6

]}

4.

{[−6 1

3 −2

],

[47 −15

−6 16

],

[−5 3

−6 −3

],

[−6 6

−6 −1

],

[8 −25

57 5

]}

Respuesta:


A =

−41 −136 48

32 103 −36

48 152 −53


1.

−1

0

−1

2.

−8

5

6

3.

−7

5

7

4.

3

−2

−3

5.

1

−1

−2

6.

−27

18

24

Respuesta:



−1 0

],

[2 −2

2 0

],

[2 −2

2 0

],

[−1 1

−1 0

]}

(2) generado por{−3− x, −1 + 3x− 3x2,

−5 + 5x− 6x2, 7− x+ 3x2

}


4 12 12

1 3 3

x =

0

0

0

Respuesta:










a) B tiene 16 elementos.

b) D tiene al menos 16 elementos.

c) Si D tiene mas de 16 elementos, entonces D genera a

V .

d) I tiene al menos 16 elementos.

e) G tiene al menos 16 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



1.

{[4 3

0 −4

],

[0 1

0 −6

],

[−6 5

−3 −2

],

[−2 −6

−4 −4

]}

2.

{[−5 1

−2 5

],

[−3 −1

−2 5

],

[−4 2

−3 −4

]}

3.

{[−6 6

0 2

],

[24 −24

−30 −40

],

[−1 1

−5 −5

]}

4.

{[−6 −3

5 3

],

[−6 −4

−3 −3

],

[12 −30

−36 −36

],

[−2 4

−2 0

]}

Respuesta:

3. Si

A1 =

[2 5

5 3

]A2 =

[5 5

−1 −1

]

A3 =

[7 10

4 2

]A4 =

[4 10

10 6

]Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:

1. A4 ∈ Gen{A2, A3} 2. A4 ∈ Gen{A1}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A3 ∈ Gen{A1, A2}5. A2 ∈ Gen{A1, A4} 6. A1 ∈ Gen{A2, A3}

Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[−5 + x

−8 + x

]

2. T

[x

y

]=

[5x+ y

x− 7 y

]

3. T

[x

y

]=

[x y

−7 y

]

4. T

[x

y

]=

[x+ 3 y

y

]

Respuesta:



5 5

],

[1 4

5 1

][

3 3

5 2

],

[4 a

3 5


Respuesta:


A =

−45 12 10

−108 29 24

−92 24 21



Respuesta:


M2×2 :

1.

{[0 2

6 3

],

[6 −1

−5 −4

],

[−44 20

44 51

],

[−4 −2

26 −4

],

[−2 3

2 6

]}

2.

{[5 −6

6 1

],

[3 −2

−1 4

],

[0 −4

−2 0

],

[3 −5

5 0

],

[6 −6

3 −1

]}

3.

{[5 0

−2 1

],

[−3 3

6 4

],

[−5 −4

−6 −3

],

[6 5

−6 −2

]}

4.

{[−4 4

0 5

],

[3 6

−4 5

],

[−6 −68

34 −66

],

[6 4

−5 3

]}

Respuesta:


8. Cuales opciones contienen vectores propios a la matriz

A =

17 17 −2

−2 −8 −4

20 20 −2


1.

7

−4

9

2.

4

−3

5

3.

9

−6

12

4.

1

−1

1

5.

−2

1

−3

6.

5

−3

6

Respuesta:


−2

−1

,

1

−3

1

,

1

−2− a

−1 + a2

,

0

−1

8− 5 a+ a2

tiene dimension 2.



1) Solo para a1 = , a2 = y a3 =

(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)



(Con a1 ≤ a2)

4) Solo para a =


Respuesta:

10. Si:

A =

[−3 1

−4 1

]

B =

[−8 1

−17 5

]

C =

[−4 −1

−3 −1

]

D =

[−2 −3

1 1

]

Resuelva para Y el siguiente sistema de ecuaciones matri-

ciales:

A X + B Y = C

X + 4Y = D


Respuesta:





b) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.

c) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-



ne solucion unica.


1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[−3

4

]y

T

[0

1

]=

[3

−2

]Determine

T

[−5

3

]

Respuesta:






1 −1

],

[2 −2

1 2

],

[2 4

−4 −1

],

[−1 −2

2 2

]}

(2) generado por{3− 2x+ 2x2 − 3x3, 3− x2 − x3,

18− 6x+ 3x2 − 12x3, −9 + 4x− 3x2 + 7x3

}


1 2 3

4 8 12

x =

0

0

0

Respuesta:



a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion


b) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-

ne solucion unica.

c) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0


d) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-



1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[−4

3

]y

T

[0

1

]=

[−3

3

]Determine

T

[−5

−4

]Respuesta:







a) G tiene al menos 11 elementos.

b) Si G tiene 11 elementos, entonces I es linealmente

independiente.

c) Si D tiene mas de 11 elementos, entonces D es base.

d) D tiene a lo mas 11 elementos.

e) I tiene menos de 12 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


A =

186 72 44

−468 −182 −108

41 18 3


1.

−16

37

5

2.

4

−9

−2

3.

36

−84

−9

4.

−3

7

1

5.

1

−2

−1

6.

−11

26

2

Respuesta:



1. {−3 + 2x− 6x2,−2− 2x− 2x2, 4 + 6x− 5x2}2. {−1 + 4x,−5− x2}3. {6− 6x + 6x2,−2 + 6x + 5x2, 20 + 55x2}4. {−7 + 32x− 14x2, 5− 21x + 23x2,−1 + 4x− 6x2, 1− 5x− x2}

Respuesta:


7. Los vectores

1.

22

−28

−58

2.

3

−4

−8

3.

11

−14

−29

4.

1

−1

−3

5.

−3

4

8


A =

154 28 43

−188 −35 −52

−408 −72 −115


Respuesta:


M2×2 :

1.

{[3 −6

−4 2

],

[−5 2

−1 −4

],

[1 1

6 4

],

[0 −1

−3 4

]}

2.

{[−5 −4

−5 −5

],

[2 4

−4 −4

],

[−4 5

1 6

],

[6 4

−2 −5

],

[−5 −6

4 4

]}

3.

{[−3 −1

−4 −3

],

[4 −4

4 6

],

[−35 −14

4 19

],

[−5 0

4 5

]}

4.

{[6 4

4 2

],

[−3 5

−4 5

],

[3 −2

−3 −1

],

[−3 2

4 3

]}

Respuesta:
















Respuesta:


ple:

T

[−2

5

]=

[3

2

]y

T

[−4

−4

]=

[3

−3

]Determine

T

[2

1

]Respuesta:



5 2

],

[1 2

1 1

][

5 4

4 4

],

[1 4

5 a


Respuesta:

12. Si

A1 =

[−1 0

−2 −3

]A2 =

[−3 5

5 3

]

A3 =

[−4 5

3 0

]A4 =

[−4 0

−8 −12


1. A3 ∈ Gen{A1, A2} 2. A4 ∈ Gen{A1}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A4 ∈ Gen{A3}5. A4 ∈ Gen{A2, A3} 6. A2 ∈ Gen{A1, A4}

Respuesta:





p = −4 + 5x + a x3


p1 = 1− x2 + x3

p2 = −1 + x + x2 + x3

p3 = −1 + x + 4x2 + x3

Respuesta:







a) G tiene a lo mas 16 elementos.

b) B tiene mas de 16 elementos.


d) I tiene menos de 17 elementos.

e) Si D tiene mas de 16 elementos, entonces D genera a

V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:

3. Si

A1 =

[−3 −3

3 3

]A2 =

[6 −3

−1 3

]

A3 =

[15 −12

0 12

]A4 =

[−9 −9

9 9


1. A4 ∈ Gen{A2, A3} 2. A4 ∈ Gen{A3}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A4 ∈ Gen{A1}5. A3 ∈ Gen{A1, A2} 6. A2 ∈ Gen{A1, A4}

Respuesta:

4. Si:

A =

[−1 −2

1 0

]

B =

[−4 −3

−1 −1

]

C =

[−4 −3

−1 −1


A X = B X + C


Respuesta:



1. {−3− x + 6x2, 3 + 2x2}2. {6 + x + 2x2, 24− 8x + 4x2,−6 + 5x, 60− 14x + 12x2}3. {−16− 46x− 45x2, 4 + 4x + 5x2, 6x + 5x2}4. {−4− 5x + 3x2,−2 + x− 2x2, 5− 5x + 6x2}

Respuesta:


{6 + 2x + 3x2, 3 + x + 2x2, 15 + 5x + a x2}


Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[3

−3

]y

T

[0

1

]=

[3

3

]Determine

T

[2

−5

]

Respuesta:


8. Los vectores

1.

2

5

−1

2.

6

15

−3

3.

−7

−18

4

4.

1

2

1

5.

7

18

−4


A =

−87 38 10

−236 103 28

64 −28 −9


Respuesta:


A =

341 96 −42

−1314 −370 162

−276 −78 35


1.

1

−4

−1

2.

−12

45

6

3.

33

−126

−24

4.

15

−57

−10

5.

12

−46

−9

6.

−3

11

1

Respuesta:


1

2

,

1

2

0

,

−1

−1− 2 c

−2 + 2 c+ c2

,

2

2

10− 5 c+ c2

tiene dimension 2.



1) Solo para c1 = , c2 = y c3 =

(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)


3) Solo para c =



(Con c1 ≤ c2)

Respuesta:


ple:

T

[2

−2

]=

[−2

3

]y

T

[2

0

]=

[−3

4

]Determine

T

[−3

−4

]Respuesta:

12. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 4 3 2

a 0 2

−2 −1 −1

sea singular?

Respuesta:





ple:

T

[3

4

]=

[−4

−2

]y

T

[3

−2

]=

[−3

4

]Determine

T

[3

−2

]Respuesta:



1.

{[2 −3

3 4

],

[6 −6

2 5

],

[4 −14

12 29

],

[5 −2

1 −4

]}

2.

{[4 1

5 −6

],

[−5 0

0 −4

],

[−1 6

−4 −2

],

[4 −1

0 2

]}

3.

{[2 −2

−2 −5

],

[5 −3

−6 2

],

[1 −5

3 2

]}

4.

{[5 −34

−2 −25

],

[1 −2

2 1

],

[1 −6

0 −4

]}

Respuesta:



5 4

],

[5 3

4 4

][

2 4

2 4

],

[5 3

a 1


Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[−3 + x

−4 + x

]

2. T

[x

y

]=

[x y

−5 y

]

3. T

[x

y

]=

[4x+ y

x− 2 y

]

4. T

[x

y

]=

[x+ 7 y

3 y

]

Respuesta:


A =

108 −32 26

87 −26 21

−321 96 −77


1.

−3

−2

9

2.

12

9

−36

3.

2

1

−7

4.

−1

0

4

5.

1

1

−3

6.

−6

−4

19

Respuesta:

6. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 6 10 a

3 6 0

3 5 5

sea singular?

Respuesta:

7. Si:

A =

[2 −3

1 −1

]

B =

[4 −1

−3 1

]

C =

[3 1

−4 −1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:







a) G tiene al menos 8 elementos.

b) Si D tiene 8 elementos, entonces D es base.

c) B tiene 8 elementos.


e) I tiene al menos 8 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:

9. Los vectores

1.

1

1

−3

2.

12

20

−54

3.

2

4

−10

4.

1

2

−5

5.

−6

−10

27


A =

−27 −51 −26

−44 −82 −42

120 225 115


Respuesta:


2

−2

,

−1

−1

4

,

2

4 + 2 a

−4 + a+ a2

,

2

4

8− 7 a+ a2

tiene dimension 2.




2) Solo para a =


(Con a1 ≤ a2)


5) Solo para a1 = , a2 = y a3 =

(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)

Respuesta:

11. Si

p1 = 29+30x, p2 = 5+6x, p3 = 6+6x, p4 = 145+150x


1. p1 ∈ Gen {p4} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p3 ∈ Gen {p1, p2} 4. p1 ∈ Gen {p2, p3}5. p2 ∈ Gen {p1, p4} 6. p4 ∈ Gen {p1}

Respuesta:

12. Si

A1 =

[1 1

−3 1

]A2 =

[−2 0

4 0

]

A3 =

[−5 1

9 1

]A4 =

[2 2

−6 2


1. A4 ∈ Gen{A3} 2. A4 ∈ Gen{A1}3. A4 ∈ Gen{A2, A3} 4. A3 ∈ Gen{A1, A2}5. A2 ∈ Gen{A1, A4} 6. A1 ∈ Gen{A2, A3}

Respuesta:






1. T

[x

y

]=

[−4 + x

−6 + x

]

2. T

[x

y

]=

[x+ 7 y

−3 y

]

3. T

[x

y

]=

[3x+ y

x− 2 y

]

4. T

[x

y

]=

[x y

−4 y

]

Respuesta:


M2×2 :

1.

{[0 −2

−6 6

],

[−6 −5

0 0

],

[18 27

36 −36

],

[−36 −22

24 −24

]}

2.

{[6 −5

4 3

],

[−1 −2

−3 2

],

[2 5

−2 3

],

[−6 6

5 2

]}

3.

{[5 6

1 0

],

[−4 −5

−3 −5

],

[6 3

2 −5

],

[6 0

5 0

],

[3 5

1 −2

]}

4.

{[2 −6

6 −4

],

[1 −2

2 −6

],

[−6 −9

−36 −15

],

[1 3

6 1

]}

Respuesta:


A =

−160 −54 26

370 125 −60

−250 −84 41



Respuesta:

4. Para que valores del escalar k el espacio generado por 1

−1

−2

,

−1

3

−2

,

−2

2 + 2 k

4− 8 k + k2

,

1

−3

22− 9 k + k2

tiene dimension 2.





3) Solo para k =


(Con k1 ≤ k2)

5) Solo para k1 = , k2 = y k3 =

(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)

Respuesta:


1 2 0

1 1 1

no sea invertible?

Respuesta:


{5 + 2x + 3x2, 2 + 4x + 4x2, 9 + 10x + a x2}


Respuesta:


A =

[0 18

a −5


A1 =

[3 −3

4 4

]A2 =

[1 −3

−1 1

]A3 =

[0 4

1 −2

]Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[2

−4

]y

T

[0

1

]=

[−1

−3

]Determine

T

[−2

2

]Respuesta:







a) D tiene menos de 8 elementos.

b) G tiene mas de 8 elementos.

c) Si I tiene 8 elementos, entonces I es base.

d) Si D tiene mas de 8 elementos, entonces D es base.

e) B tiene menos de 8 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



1. {48 + 18x− 36x2,−6− 5x + x2,−26− 7x + 23x2,−2 + 2x + 5x2}2. {2 + 3x2, 5 + 3x + x2}3. {4− 6x + 6x2, 13 + 9x− 3x2, 3 + 5x− 3x2}4. {−4− 6x− 3x2, 2x + x2,−x + 3x2}

Respuesta:


A =

585 −222 −78

1912 −725 −254

−1104 417 144


1.

15

49

−28

2.

4

13

−7

3.

−42

−138

81

4.

1

3

−1

5.

9

30

−18

6.

−2

−7

5

Respuesta:

12. Si:

A =

[−4 −3

−1 −1

]

B =

[−14 −12

−2 −2

]

C =

[−4 −1

−3 −1

]

D =

[3 −4

1 −1



X + 3Y = D


Respuesta:




1. Si:

A =

[−3 −4

1 1

]

B =

[−15 −15

0 5

]

C =

[−3 1

−4 1

]

D =

[2 1

−3 −1



X + 4Y = D


Respuesta:


(1) generado por{[2 2

2 1

],

[0 1

2 2

],

[−1 1

−2 0

],

[2 0

−2 0

]}

(2) generado por{−x+ x2 + 3x3, −1 + x+ x2 + 2x3,

2 + x+ x2 − 3x3, −2 + 3x+ x2 − 2x3

}


1 2 1

5 5 8

x =

0

0

0

Respuesta:



1. {−6− 6x− x2,−1 + 3x + 5x2, 6 + 2x− 4x2}2. {5 + 3x + x2, 1− 2x− 3x2}3. {x− 2x2, 3x,−13x− 4x2}4. {18 + 35x + 5x2,−3 + 5x, 6 + 3x + x2, 3 + 34x + 3x2}

Respuesta:


{2 + 2x + 6x2, 5 + 2x + 4x2, a + 14x + 36x2}


Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[−8 + x

−3 + x

]

2. T

[x

y

]=

[x+ 5 y

−4 y

]

3. T

[x

y

]=

[3x+ y

x− 2 y

]

4. T

[x

y

]=

[x y

−4 y

]

Respuesta:


ple:

T

[4

4

]=

[4

−4

]y

T

[−4

−1

]=

[3

1

]Determine

T

[−3

−3

]Respuesta:


p = a + 3x + x3


p1 = 1− 3x2 + x3

p2 = −1 + x + 3x2 + x3

p3 = −1 + x + 2x2 + x3

Respuesta:



5 a 0

5 10 6

no sea invertible?

Respuesta:







a) Si D tiene mas de 18 elementos, entonces D genera a

V .


independiente.

c) G tiene a lo mas 18 elementos.

d) B tiene mas de 18 elementos.

e) D tiene al menos 18 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


A =

−299 −144 −34

924 445 105

−1272 −612 −144


1.

2

−7

12

2.

−1

4

−8

3.

7

−22

31

4.

−12

38

−54

5.

4

−12

15

6.

3

−10

16

Respuesta:


A =

−39 −15 11

32 14 −8

−100 −36 30



Respuesta:

12. Si

A1 =

[2 2

0 −1

]A2 =

[0 5

−1 1

]

A3 =

[2 17

−3 2

]A4 =

[8 8

0 −4


1. A1 ∈ Gen{A2, A3} 2. A2 ∈ Gen{A1, A4}3. A4 ∈ Gen{A2, A3} 4. A4 ∈ Gen{A1}5. A1 ∈ Gen{A4} 6. A3 ∈ Gen{A1, A2}

Respuesta:






1. {−3− 4x + x2, 8− 8x + 4x2,−1− 6x + 2x2, 16 + 26x− 7x2}2. {−6x + 3x2, 6− 2x, 6 + 16x− 9x2}3. {−2 + 2x− 3x2,−1− x + 5x2, 5x + 4x2}4. {5− 3x− 5x2, 3− x}

Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x+ 7 y

2 y

]

2. T

[x

y

]=

[6x+ y

x− 4 y

]

3. T

[x

y

]=

[−4 + x

−6 + x

]

4. T

[x

y

]=

[x y

−3 y

]

Respuesta:



1 1

],

[0 1

2 2

][

0 1

0 1

],

[a 3

6 7

]no genere M2×2.

Respuesta:

4. Si:

A =

[2 0

2 2

]

B =

[−2 −3

1 1

]

C =

[2 −3

1 −1


A X = B X + C


Respuesta:


A =

17 −71 −31

30 −124 −54

−60 260 114


1.

8

14

−29

2.

4

7

−15

3.

3

5

−10

4.

−21

−36

75

5.

−2

−3

6

6.

1

2

−4

Respuesta:

6. Si:

A =

[−2 −3

1 1

]

B =

[−13 −19

6 6

]

C =

[3 1

−4 −1

]

D =

[4 −1

−3 1



X + 5Y = D


Respuesta:

7. Si

p1 = 10 + 14x, p2 = 6 + 6x, p3 = 1 + 2x, p4 = 40 + 56x

Indique cuales opciones contienen declaraciones falsas:

1. p1 ∈ Gen {p4} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p2 ∈ Gen {p1, p3} 4. p1 ∈ Gen {p2, p3}5. p3 ∈ Gen {p1, p2} 6. p2 ∈ Gen {p1, p4}


Respuesta:


A =

−1 3 −1

−2 −2 2

−4 −12 8



Respuesta:


−1

−1

,

0

1

1

,

1

−1− c

−1− 3 c+ c2

,

0

−1

5− 5 c+ c2

tiene dimension 2.



1) Solo para c1 = , c2 = y c3 =

(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)

2) Solo para c =



(Con c1 ≤ c2)


Respuesta:


ple:

T

[−4

3

]=

[3

−1

]y

T

[−5

3

]=

[2

−4

]

Determine

T

[1

−3

]Respuesta:







a) I tiene mas de 14 elementos.


c) Si G tiene 14 elementos, entonces I es linealmente

independiente.

d) G tiene al menos 14 elementos.

e) Si D tiene 14 elementos, entonces D genera a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



2 4

],

[1 3

5 1

][

5 3

1 5

],

[1 4

a 2


Respuesta:



















Respuesta:


{6 + 5x + 2x2, 2 + 5x + 3x2, a + 35x + 18x2}


Respuesta:



1. {1− 6x− 2x2,−5− 4x + 4x2,−24 + 8x + 24x2, 24 + 60x− 12x2}2. {−3− x + 5x2,−5− 4x + 4x2, 5 + 3x− 5x2}3. {1 + 2x, 5− 5x− 3x2}4. {7− 3x + 9x2,−3− 3x− 6x2, 4− 6x + 3x2}

Respuesta:


M2×2 :

1.

{[−30 6

−26 42

],

[3 −1

1 −5

],

[3 0

5 −3

],

[−12 2

−12 16

]}

2.

{[1 1

3 −5

],

[2 1

−6 2

],

[6 −4

0 5

],

[−3 −3

−6 3

]}

3.

{[−6 3

6 4

],

[−5 0

4 6

],

[−1 −3

−1 −2

],

[−4 6

4 −5

],

[−3 −2

6 2

]}

4.

{[6 0

0 −5

],

[4 5

3 −2

],

[2 0

−2 −3

],

[5 −2

2 3

]}

Respuesta:







a) Si D tiene mas de 14 elementos, entonces D genera a

V .

b) I tiene a lo mas 14 elementos.


d) B tiene 14 elementos.



1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[8x+ y

x− 7 y

]

2. T

[x

y

]=

[−6 + x

−3 + x

]

3. T

[x

y

]=

[x+ 2 y

y

]

4. T

[x

y

]=

[x y

−5 y

]

Respuesta:

7. Si:

A =

[4 −3

−1 1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[−4 −1

−3 −1


(A X B)T

CT −B = 0



Respuesta:

8. Los vectores

1.

−1

2

−3

2.

1

−1

3

3.

3

−3

9

4.

−3

2

−10

5.

3

−2

10


A =

−67 −7 19

80 11 −22

−204 −21 58


Respuesta:


A =

41 −75 −36

70 −132 −64

−105 201 98


1.

−3

−3

3

2.

7

12

−18

3.

6

10

−15

4.

2

3

−4

5.

0

1

−2

6.

1

2

−3

Respuesta:

10. Si

A1 =

[−2 3

2 6

]A2 =

[−1 6

−2 1

]

A3 =

[−3 9

0 7

]A4 =

[−4 6

4 12


1. A1 ∈ Gen{A2, A3} 2. A4 ∈ Gen{A3}3. A3 ∈ Gen{A1, A2} 4. A2 ∈ Gen{A1, A4}5. A4 ∈ Gen{A1} 6. A4 ∈ Gen{A2, A3}

Respuesta:


ple:

T

[2

2

]=

[3

1

]y

T

[5

−5

]=

[4

−3

]Determine

T

[−3

1

]Respuesta:



5 0

],

[0 −2

−2 0

],

[1 0

−2 −1

],

[1 0

1 −1

]}

(2) generado por{14 + 6x+ 14x3, 2− x− 3x2 + 2x3,

2 + x+ 2x3, −2− 2x− 2x2 − 2x3

}


4 6 4

4 4 7

x =

0

0

0

Respuesta:






1. {−1 + 6x + 2x2,−5 + 4x− 2x2,−2− 5x− 2x2}2. {−4 + 5x + 6x2, 33− 33x− 21x2, 30− 21x + 12x2,−3 + x− 5x2}3. {5 + x− x2,−1− 3x− 4x2, 11− 9x− 19x2}4. {4 + 4x− 3x2,−6 + 6x + x2}

Respuesta:


A =

−138 62 −16

−348 156 −40

−114 50 −12


1.

5

12

2

2.

1

3

3

3.

3

6

−3

4.

0

1

4

5.

18

42

3

6.

2

5

2

Respuesta:









c) D tiene mas de 17 elementos.

d) Si G tiene 17 elementos, entonces I es linealmente

independiente.

e) Si D tiene 17 elementos, entonces D es base.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:

4. Si

A1 =

[4 0

−3 4

]A2 =

[1 3

−3 6

]

A3 =

[7 9

−12 22

]A4 =

[8 0

−6 8


1. A1 ∈ Gen{A4} 2. A4 ∈ Gen{A2, A3}3. A4 ∈ Gen{A3} 4. A2 ∈ Gen{A1, A4}5. A4 ∈ Gen{A1} 6. A1 ∈ Gen{A2, A3}

Respuesta:


A =

[a 15

20 −4


A1 =

[−2 3

0 −1

]A2 =

[4 4

4 1

]A3 =

[2 −3

4 −2

]Respuesta:

6. Si:

A =

[−4 −3

−1 −1

]

B =

[3 1

−4 −1

]

C =

[−2 1

−3 1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:


7. Si:

A =

[4 −1

−3 1

]

B =

[18 −7

−11 3

]

C =

[−2 1

−3 1

]

D =

[3 −4

1 −1


ciales:

A X + B Y = C

X + 4Y = D


Respuesta:


{5 + 2x + 6x2, 3 + 3x + 6x2, 16 + 10x + a x2}


Respuesta:


ple:

T

[1

1

]=

[−4

−3

]y

T

[5

0

]=

[3

2

]Determine

T

[−2

−3

]

Respuesta:


A =

21 −16 10

64 −47 28

80 −56 31



Respuesta:


1

−1

,

0

1

−1

,

1

1− 2 b

−1− 2 b+ b2

,

−2

−1

21− 9 b+ b2

tiene dimension 2.



1) Solo para b1 = , b2 = y b3 =

(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)


(Con b1 ≤ b2)


4) Solo para b =


Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[−2

−3

]y

T

[0

1

]=

[−1

3

]Determine

T

[5

−3

]Respuesta:





ple:

T

[1

0

]=

[3

4

]y

T

[0

1

]=

[2

−4

]Determine

T

[3

5

]Respuesta:



1 2

],

[2 0

0 1

][

1 0

1 2

],

[7 a

2 6

]no genere M2×2.

Respuesta:


A =

7 −19 −15

8 −41 −36

−8 47 42


1.

−2

−8

10

2.

2

6

−7

3.

2

3

−3

4.

0

3

−4

5.

3

3

−3

6.

0

1

−1

Respuesta:


{5 + 4x + 2x2, 5 + 6x + 4x2, 25 + 28x + a x2}


Respuesta:



1. {6− 4x + 2x2,−33 + 23x− 19x2,−1 + x− 3x2}2. {−4 + 5x + x2,−2− x + 4x2}3. {−2− 5x + 6x2,−2− 2x− 4x2, 5 + 6x + 4x2}4. {2 + 2x, 1− 17x + 3x2,−9− 3x− x2,−1 + 5x− x2}

Respuesta:


−2

2

,

2

−2

0

,

2

−4 + c

4− 6 c+ c2

,

−1

1

20− 9 c+ c2

tiene dimension 2.





3) Solo para c1 = , c2 = y c3 =

(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)


(Con c1 ≤ c2)

5) Solo para c =

Respuesta:


A =

[−2 −9

a −2


A1 =

[4 −3

2 0

]A2 =

[0 −1

−2 2

]A3 =

[−3 −2

3 −3

]

Respuesta:


8. Si:

A =

[0 2

−2 2

]

B =

[−3 1

−4 1

]

C =

[4 −1

−3 1


A X = B X + C


Respuesta:


ple:

T

[−1

−3

]=

[1

1

]y

T

[4

5

]=

[−3

−2

]Determine

T

[−2

1

]Respuesta:


A =

16 −10 −4

46 −30 −14

−59 40 21



Respuesta:

11. Si:

A =

[−4 −3

−1 −1

]

B =

[−14 −12

−2 −2

]

C =

[−4 −1

−3 −1

]

D =

[2 1

−3 −1



X + 3Y = D


Respuesta:








b) Si D tiene 19 elementos, entonces D genera a V .



e) I tiene mas de 19 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:










a) Si I tiene 20 elementos, entonces I es base.


c) B tiene menos de 20 elementos.

d) I tiene al menos 20 elementos.

e) Si D tiene menos de 20 elementos, entonces D es base.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


−1 0 a

−1 0 −2

sea singular?

Respuesta:


p = 2 + 5x + a x3


p1 = 1− 3x2 + x3

p2 = −1 + x + 3x2 + x3

p3 = −1 + x + 4x2 + x3

Respuesta:

4. Si:

A =

[−3 −4

1 1

]

B =

[3 −4

1 −1

]

C =

[4 −3

−1 1

]

Resuelva para X la siguiente ecuacion:

(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:



1 3

],

[4 3

1 2

][

1 3

1 2

],

[5 a

4 4


Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[1

−2

]y

T

[0

1

]=

[1

−2

]Determine

T

[3

−2

]Respuesta:


A =

71 108 60

61 94 52

−187 −284 −158


1.

5

4

−13

2.

−11

−9

28

3.

−36

−30

93

4.

1

1

−3

5.

4

3

−10

6.

−16

−13

41

Respuesta:



A =

−8 18 10

−8 16 8

4 −6 −2



Respuesta:


ple:

T

[−2

−3

]=

[3

4

]y

T

[4

−2

]=

[4

−2

]Determine

T

[1

3

]Respuesta:



1. {−4 + x2, 5 + x− 6x2}2. {−2− 4x− x2,−19− 20x + 4x2, 3− 3x2}3. {−5− 6x− 3x2, 6 + 2x + 6x2,−5 + 4x− 4x2}4. {9 + 4x + 4x2, 3 + 2x + x2, 6 + 10x− x2,−3− 4x}

Respuesta:


(1) generado por{−3− 3x+ x2 + 2x3, −3 + 3x+ 2x2 + 3x3,

−1− 2x− x2 − 2x3, 2− x− x2 + 3x3

}


2 −2

],

[−2 2

2 −2

],

[4 −4

−4 4

],

[−2 2

2 −2

]}


1 2 2

1 2 2

x =

0

0

0

Respuesta:


A =

[−24 −14

0 a


A1 =

[−3 −3

−3 3

]A2 =

[3 1

−3 3

]A3 =

[4 2

0 2

]

Respuesta:





ple:

T

[1

0

]=

[−2

1

]y

T

[0

1

]=

[−2

4

]Determine

T

[−4

−2

]Respuesta:



1. {30− 17x + 3x2, 6− 5x− x2, 6− 3x + x2}2. {−6 + 4x− 22x2,−3− x2, 3− x + 6x2,−3 + 3x− 16x2}3. {−4− 3x,−1 + 4x− 5x2}4. {2− 3x + 4x2, 4 + 5x + x2,−5− x− 5x2}

Respuesta:


A =

[a 0

−1 1


A1 =

[−2 −1

1 0

]A2 =

[−1 −3

−1 −1

]A3 =

[−1 2

3 0

]Respuesta:







a) Si D tiene menos de 14 elementos, entonces D genera

a V .

b) Si I tiene 14 elementos, entonces I genera a V .


d) I tiene a lo mas 14 elementos.

e) D tiene al menos 14 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:

5. Si

A1 =

[−3 3

5 −1

]A2 =

[2 1

4 −2

]

A3 =

[−1 4

9 −3

]A4 =

[−9 9

15 −3

]


1. A3 ∈ Gen{A1, A2} 2. A1 ∈ Gen{A4}3. A2 ∈ Gen{A1, A4} 4. A4 ∈ Gen{A2, A3}5. A4 ∈ Gen{A3} 6. A4 ∈ Gen{A1}

Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x y

−2 y

]

2. T

[x

y

]=

[−3 + x

−6 + x

]

3. T

[x

y

]=

[x+ 2 y

2 y

]

4. T

[x

y

]=

[2x+ y

x− 6 y

]

Respuesta:


7. Si:

A =

[2 −3

1 −1

]

B =

[6 −16

2 −6

]

C =

[2 1

−3 −1

]

D =

[4 −1

−3 1



X + 5Y = D


Respuesta:

8. Los vectores

1.

4

−9

11

2.

−1

3

−4

3.

−2

6

−8

4.

−4

9

−11

5.

−2

4

−4


A =

−20 −13 −3

66 45 12

−90 −62 −17


Respuesta:


A =

5 20 −14

−3 −16 12

−3 −20 16



Respuesta:


−1

−2

,

2

−4

0

,

−2

2− 2 a

4 + 2 a+ a2

,

−1

0

10− 5 a+ a2

tiene dimension 2.




2) Solo para a =

3) Solo para a1 = , a2 = y a3 =

(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)


(Con a1 ≤ a2)


Respuesta:



4 4

],

[2 4

5 2

][

1 3

1 3

],

[4 1

4 a


Respuesta:

12. Si:

A =

[4 −1

−3 1

]

B =

[2 1

−3 −1

]

C =

[−4 −1

−3 −1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:





ple:

T

[−2

−4

]=

[1

−2

]y

T

[4

−2

]=

[1

−1

]Determine

T

[1

−3

]

Respuesta:


A =

−13 −5 7

20 9 −10

−14 −5 8



Respuesta:

3. Los vectores

1.

−2

6

−4

2.

1

−3

2

3.

−6

15

−17

4.

−9

24

−24

5.

3

−8

8


A =

129 33 −15

−312 −80 36

376 96 −44


Respuesta:

4. Si:

A =

[3 −4

1 −1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[2 −3

1 −1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:



1.

{[−2 −1

2 −2

],

[3 1

4 0

],

[4 −5

−6 −6

],

[2 −5

6 4

]}

2.

{[6 −4

1 −4

],

[−27 8

−11 26

],

[1 −4

−2 2

]}

3.

{[−4 3

3 −4

],

[0 2

5 −6

],

[−17 20

−1 25

],

[1 5

3 5

]}

4.

{[−6 1

4 −6

],

[3 −5

2 0

],

[0 6

−6 −6

]}

Respuesta:


A =

[6 0

0 a


A1 =

[−1 0

1 1

]A2 =

[−2 −2

0 3

]A3 =

[−1 4

−1 −1

]Respuesta:


{3 + 4x + 6x2, 1 + 5x + 4x2, 13 + a x + 28x2}


Respuesta:








a) Si D tiene mas de 15 elementos, entonces D es base.

b) D tiene menos de 15 elementos.

c) Si G tiene 16 elementos, entonces G es linealmente

dependiente.

d) B tiene menos de 15 elementos.



1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[−3

−3

]y

T

[0

1

]=

[1

1

]Determine

T

[−4

3

]Respuesta:


−2

1

,

0

2

−2

,

1

−2 + b

1− 5 b+ b2

,

0

2

18− 9 b+ b2

tiene dimension 2.



1) Solo para b =

2) Solo para b1 = , b2 = y b3 =

(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)


(Con b1 ≤ b2)



Respuesta:

11. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −1 5 5

−1 6 0

−2 10 a

sea singular?

Respuesta:

12. Si

A1 =

[3 0

1 1

]A2 =

[2 4

2 −2

]

A3 =

[9 12

7 −5

]A4 =

[6 0

2 2


1. A1 ∈ Gen{A4} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A4 ∈ Gen{A3} 4. A4 ∈ Gen{A2, A3}5. A2 ∈ Gen{A1, A4} 6. A3 ∈ Gen{A1, A2}

Respuesta:






2 0

],

[1 2

0 2

][

2 0

2 0

],

[a 6

6 4

]no genere M2×2.

Respuesta:

2. Si:

A =

[4 −1

−3 1

]

B =

[3 1

−4 −1

]

C =

[−3 −4

1 1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:



4 3

],

[1 3

4 1

][

5 5

2 2

],

[a 3

1 1


Respuesta:


−2

1

,

0

1

−2

,

−2

4 + 2 k

−2− 9 k + k2

,

−1

4

25− 11 k + k2

tiene dimension 2.




(Con k1 ≤ k2)

2) Solo para k1 = , k2 = y k3 =

(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)



5) Solo para k =

Respuesta:


ple:

T

[5

0

]=

[1

−4

]y

T

[2

−1

]=

[−2

−2

]Determine

T

[−2

−3

]Respuesta:

6. Los vectores

1.

−4

−10

17

2.

1

3

−2

3.

2

6

−4

4.

8

20

−34

5.

−12

−33

36


A =

−32 8 −4

−18 2 −6

446 −124 37


Respuesta:


A =

[a −13

−15 −5

]



A1 =

[1 1

1 3

]A2 =

[0 2

3 0

]A3 =

[2 −3

−3 2

]

Respuesta:



a) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0


b) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene


c) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.




1) Falso

2) Cierto

3) No se sabe

Respuesta:


A =

−504 −144 37

1884 538 −138

382 108 −27


1.

−2

6

−4

2.

15

−54

−3

3.

2

−7

0

4.

0

−1

−4

5.

1

−4

−2

6.

−4

14

−1

Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x y

−6 y

]

2. T

[x

y

]=

[x+ 2 y

2 y

]

3. T

[x

y

]=

[8x+ y

x− 7 y

]

4. T

[x

y

]=

[−6 + x

−7 + x

]

Respuesta:



1.

{[−4 −4

5 5

],

[−6 −3

−6 0

],

[−1 −2

4 0

]}

2.

{[14 −24

10 −14

],

[−6 −4

−2 −2

],

[5 −5

3 −3

]}

3.

{[−5 2

2 −3

],

[−3 1

−2 −5

],

[6 5

2 −6

],

[1 1

−6 4

]}

4.

{[−2 1

−2 1

],

[3 −1

−4 −2

],

[−6 6

5 3

],

[4 −16

−12 0

]}

Respuesta:






a) Si D tiene mas de 8 elementos, entonces D es base.

b) D tiene a lo mas 8 elementos.



a V .

e) I tiene mas de 8 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:





(1) generado por{[−6 −5

7 1

],

[0 −2

2 0

],

[2 1

−2 0

],

[−2 −1

1 1

]}

(2) generado por{1− 2x+ 3x2 + 2x3, 3− 6x+ 9x2 + 6x3,

1− 2x+ 3x2 + 2x3, −1 + 2x− 3x2 − 2x3

}


5 8 5

4 4 7

x =

0

0

0

Respuesta:

2. Si

A1 =

[3 −3

−3 5

]A2 =

[−2 0

5 −1

]

A3 =

[1 −3

2 4

]A4 =

[6 −6

−6 10


1. A2 ∈ Gen{A1, A4} 2. A4 ∈ Gen{A3}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A1 ∈ Gen{A2, A3}5. A4 ∈ Gen{A1} 6. A4 ∈ Gen{A2, A3}

Respuesta:



1.

{[−3 −3

−4 5

],

[3 43

29 −20

],

[−3 5

1 2

]}

2.

{[−1 −3

−1 −1

],

[1 2

0 4

],

[2 4

−2 −6

]}

3.

{[−1 4

3 −4

],

[1 1

−6 6

],

[−4 3

4 −3

],

[−7 1

−26 34

]}

4.

{[5 −4

−4 6

],

[0 −2

−6 3

],

[3 5

0 6

],

[2 −4

−1 −2

]}

Respuesta:


2

−2

,

−1

−4

−2

,

−1

−2− 2 c

2− 6 c+ c2

,

1

2

4− 5 c+ c2

tiene dimension 2.



1) Solo para c =


3) Solo para c1 = , c2 = y c3 =

(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)



(Con c1 ≤ c2)

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[−1

−1

]y

T

[0

1

]=

[1

−1

]Determine

T

[−5

−5

]Respuesta:


{3 + 4x + 2x2, 6 + 4x + 5x2, a + 32x + 28x2}


Respuesta:


ple:

T

[4

−3

]=

[3

−3

]y

T

[−2

−5

]=

[3

4

]Determine

T

[−4

−3

]Respuesta:






b) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.

c) Si la matriz A es invertible, entonces A x = 0 tiene

solucion unica.




1) No se sabe

2) Cierto

3) Falso

Respuesta:


A =

6 4 2

−14 −11 −8

13 12 11



Respuesta:


A =

270 66 24

−984 −241 −87

−204 −48 −20


1.

−12

42

16

2.

−2

7

3

3.

−9

31

14

4.

1

−3

−3

5.

4

−13

−9

6.

−6

20

12

Respuesta:


5 8 4

0 a 4

no sea invertible?

Respuesta:



2 0

],

[1 2

2 1

][

1 1

1 0

],

[3 a

9 2

]no genere M2×2.

Respuesta:




1. Si

p1 = 18 + 16x, p2 = 3 + x, p3 = 5 + 5x, p4 = 54 + 48x


1. p1 ∈ Gen {p4} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p4 ∈ Gen {p1} 4. p1 ∈ Gen {p2, p3}5. p3 ∈ Gen {p1, p2} 6. p2 ∈ Gen {p1, p3}

Respuesta:

2. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −3 0 a

−3 −2 −6

4 4 8

no sea invertible?

Respuesta:







a) D tiene mas de 14 elementos.


c) I tiene a lo mas 14 elementos.

d) G tiene al menos 14 elementos.

e) Si I tiene 14 elementos, entonces I es base.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


{1 + 4x + 3x2, 3 + 3x + 5x2, 6 + 15x + a x2}


Respuesta:


A =

4 −24 −30

−3 17 22

3 −12 −17



Respuesta:

6. Los vectores

1.

−1

3

−1

2.

−3

9

−3

3.

−6

14

−8

4.

1

−2

1

5.

−1

2

−1


A =

−13 −4 5

33 12 −9

−16 −4 8


Respuesta:

7. Si:

A =

[−2 1

−3 1

]

B =

[−3 1

−4 1

]

C =

[2 −3

1 −1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:




1. T

[x

y

]=

[7x+ y

x− 2 y

]

2. T

[x

y

]=

[−6 + x

−5 + x

]

3. T

[x

y

]=

[x+ 3 y

5 y

]

4. T

[x

y

]=

[x y

−6 y

]

Respuesta:



1.

{[−6 −1

−1 1

],

[3 6

−4 2

],

[4 3

−4 −6

]}

2.

{[8 2

−26 −18

],

[2 2

−5 −3

],

[0 3

3 3

]}

3.

{[3 −5

6 4

],

[4 5

−3 6

],

[−3 −3

−3 −4

],

[6 6

−1 0

]}

4.

{[−5 2

−6 −6

],

[−6 6

−1 1

],

[3 5

−6 6

],

[−13 47

−45 21

]}

Respuesta:


(1) generado por{−3− 3x+ x2 − 2x3, −3x3,

−2 + 2x2 − x3, −1− 3x+ 3x2 + x3

}(2) generado por{[

−2 −2

0 2

],

[0 −1

−2 1

],

[−2 −1

−2 2

],

[1 −2

0 −2

]}


2 4 6

5 5 15

x =

0

0

0

Respuesta:


A =

[3 a

12 12


A1 =

[2 −2

3 −3

]A2 =

[−3 0

−3 4

]A3 =

[2 0

4 3

]

Respuesta:


ple:

T

[−4

2

]=

[4

1

]y

T

[−3

−5

]=

[2

−4

]Determine

T

[1

−1

]

Respuesta:





A =

−126 −45 9

222 81 −15

−696 −240 54


1.

0

−2

−10

2.

1

−2

4

3.

−2

5

−4

4.

4

−9

12

5.

−6

14

−16

6.

−3

6

−13

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[3

3

]y

T

[0

1

]=

[−4

4

]Determine

T

[3

3

]Respuesta:

3. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 2 −1 0

2 −2 −2

4 −4 a

no sea invertible?

Respuesta:



1. {−6 + 3x− 3x2, 6− x}2. {−15− 25x + 32x2, 2 + 4x− 5x2,−3− x + 2x2,−21− 17x + 25x2}3. {−4x− 5x2, 6− 6x + 6x2, 6 + 3x− 2x2}4. {5 + x + 5x2,−20 + 4x + 15x2, 3− x− 4x2}

Respuesta:
















Respuesta:


ple:

T

[−5

−5

]=

[−4

2

]y

T

[4

1

]=

[−3

1

]Determine

T

[−3

−1

]

Respuesta:


p = 4 + 5x + a x3


p1 = 1 + x2 + x3

p2 = −1 + x− x2 + x3

p3 = −1 + x + 3x2 + x3

Respuesta:


8. Los vectores

1.

1

3

3

2.

−1

−3

−3

3.

6

15

9

4.

−6

−14

−5

5.

−12

−28

−10


A =

−55 30 −12

−99 56 −24

63 −27 5


Respuesta:







a) B tiene mas de 16 elementos.

b) Si D tiene 16 elementos, entonces D es base.




dependiente.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


A =

[−4 14

a −3


A1 =

[3 2

−1 0

]A2 =

[−2 3

−2 3

]A3 =

[−1 2

0 −3

]

Respuesta:


−1

1

,

−2

0

−4

,

0

2 c

−3 c+ c2

,

1

−3

29− 11 c+ c2

tiene dimension 2.



1) Solo para c =


3) Solo para c1 = , c2 = y c3 =

(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)



(Con c1 ≤ c2)

Respuesta:


{6 + 6x + x2, 1 + 4x + 6x2, a + 18x + 19x2}


Respuesta:





A =

−26 −16 4

12 10 0

−96 −52 20



Respuesta:

2. Si

p1 = 7 + 6x, p2 = 5 + x, p3 = 2 + 5x, p4 = 21 + 18x


1. p4 ∈ Gen {p3} 2. p1 ∈ Gen {p4}3. p1 ∈ Gen {p2, p3} 4. p2 ∈ Gen {p1, p4}5. p4 ∈ Gen {p1} 6. p2 ∈ Gen {p1, p3}

Respuesta:

3. Si:

A =

[2 −2

4 2

]

B =

[−2 −3

1 1

]

C =

[−3 1

−4 1


A X = B X + C


Respuesta:



1.

{[−42 4

−6 −15

],

[−2 −2

0 6

],

[6 −2

1 3

],

[4 6

0 3

]}

2.

{[−4 6

5 2

],

[3 4

−4 5

],

[3 2

2 5

]}

3.

{[−5 4

5 0

],

[2 −2

5 1

],

[5 1

−4 4

],

[−6 4

−3 −6

]}

4.

{[−2 6

0 −1

],

[−2 0

−1 −2

],

[4 −24

−2 0

]}

Respuesta:


−1

1

,

0

2

4

,

−1

1 + x

−1− 2x+ x2

,

−2

2

18− 9x+ x2

tiene dimension 2.





3) Solo para x =

4) Solo para x1 = , x2 = y x3 =

(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)


(Con x1 ≤ x2)

Respuesta:


ple:

T

[−5

1

]=

[−2

2

]y

T

[5

−3

]=

[−3

1

]Determine

T

[1

1

]Respuesta:

7. Si

A1 =

[5 5

5 4

]A2 =

[5 4

−1 6

]

A3 =

[20 17

2 22

]A4 =

[10 10

10 8


1. A4 ∈ Gen{A1} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A1 ∈ Gen{A4} 4. A4 ∈ Gen{A3}5. A4 ∈ Gen{A2, A3} 6. A3 ∈ Gen{A1, A2}

Respuesta:




2 5

],

[3 3

4 5

][

1 3

5 3

],

[4 3

a 5


Respuesta:







a) I tiene menos de 13 elementos.


c) Si D tiene mas de 12 elementos, entonces D es base.

d) G tiene a lo mas 12 elementos.


dependiente.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


A =

3 −4 2

−12 −1 6

12 −12 5


1.

2

2

6

2.

−6

−9

−18

3.

−1

−2

−3

4.

−1

−1

−4

5.

3

5

8

6.

1

2

2

Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x+ 8 y

2 y

]

2. T

[x

y

]=

[x y

−7 y

]

3. T

[x

y

]=

[−3 + x

−6 + x

]

4. T

[x

y

]=

[8x+ y

x− 7 y

]

Respuesta:

12. Si:

A =

[4 −3

−1 1

]

B =

[4 −3

−1 1

]

C =

[−2 −3

1 1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:






2 1

],

[2 0

0 0

],

[1 0

−2 −2

],

[1 −1

−2 1

]}

(2) generado por{9 + 3x− 6x2 + 6x3, −9− 3x+ 6x2 − 6x3,

3 + x− 2x2 + 2x3, 3 + x− 2x2 + 2x3

}


1 4 1

3 3 6

x =

0

0

0

Respuesta:



4 3

],

[4 3

5 3

][

5 4

1 5

],

[1 1

4 a


Respuesta:



2 0

],

[1 2

1 1

][

1 0

0 1

],

[5 4

3 a

]no genere M2×2.

Respuesta:


ple:

T

[−3

4

]=

[4

−3

]y

T

[−1

5

]=

[3

2

]Determine

T

[−3

−4

]Respuesta:







a) G tiene mas de 13 elementos.

b) I tiene a lo mas 13 elementos.





1) Cierto

2) Falso


Respuesta:

6. Los vectores

1.

1

−1

−4

2.

1

−2

−1

3.

−6

15

−6

4.

2

−5

2

5.

−1

1

4


A =

123 54 17

−272 −119 −38

−10 −6 0


Respuesta:


7. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −4 2 a

−2 1 1

−2 2 0

no sea invertible?

Respuesta:


p = 2 + a x + 6x3


p1 = 1 + 4x2 + x3

p2 = −1 + x− 4x2 + x3

p3 = −1 + x− 3x2 + x3

Respuesta:



1.

{[2 2

3 0

],

[0 4

2 −4

],

[2 −1

−1 −3

],

[1 5

−4 0

]}

2.

{[5 −5

−1 0

],

[5 −3

−6 1

],

[0 2

−5 1

]}

3.

{[0 22

15 −15

],

[1 −2

−2 3

],

[−3 3

1 −4

],

[4 0

1 3

]}

4.

{[3 4

−4 4

],

[1 4

−1 4

],

[6 4

4 −3

]}

Respuesta:

10. Si:

A =

[−1 −2

1 0

]

B =

[−4 −3

−1 −1

]

C =

[−3 −4

1 1


A X = B X + C


Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x y

−7 y

]

2. T

[x

y

]=

[4x+ y

x− 4 y

]

3. T

[x

y

]=

[x+ 7 y

−3 y

]

4. T

[x

y

]=

[−4 + x

−2 + x

]

Respuesta:


A =

−36 46 −14

−84 108 −33

−168 214 −65


1.

−9

−21

−42

2.

5

11

23

3.

−12

−27

−57

4.

1

2

4

5.

−3

−7

−15

6.

4

9

18

Respuesta:





ple:

T

[1

0

]=

[−3

1

]y

T

[0

1

]=

[−3

−4

]Determine

T

[−5

−5

]Respuesta:
















Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x y

−8 y

]

2. T

[x

y

]=

[x+ 7 y

−y

]

3. T

[x

y

]=

[−3 + x

−4 + x

]

4. T

[x

y

]=

[3x+ y

x− 7 y

]

Respuesta:



1.

{[−5 −6

−4 6

],

[0 0

6 −1

],

[2 33

−5 −27

],

[−6 3

−1 −2

]}

2.

{[2 −1

−2 2

],

[−15 9

11 −7

],

[−3 3

−1 5

]}

3.

{[3 −3

2 0

],

[4 −5

6 3

],

[0 2

1 −2

],

[−2 −1

6 5

]}

4.

{[2 0

0 −3

],

[−3 −4

−4 3

],

[2 6

2 3

]}

Respuesta:







b) Si D tiene menos de 9 elementos, entonces D genera

a V .

c) G tiene menos de 9 elementos.


e) D tiene a lo mas 9 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


−1

2

,

−1

2

0

,

1

−1− a

2− 5 a+ a2

,

−2

4

12− 7 a+ a2

tiene dimension 2.




(Con a1 ≤ a2)

2) Solo para a =



5) Solo para a1 = , a2 = y a3 =

(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)


Respuesta:


A =

27 −70 50

−33 80 −58

−54 144 −102


1.

−3

4

7

2.

8

−10

−18

3.

−14

17

30

4.

−9

11

19

5.

20

−24

−42

6.

1

−1

−2

Respuesta:


A =

−30 −25 11

70 59 −26

70 58 −25



Respuesta:



a) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion


b) Si la matriz A no es invertible, entonces A x = 0 tie-

ne infinitas soluciones.

c) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0


d) Si el sistema A x = 0 tiene solucion unica, entonces

A es invertible.


1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:

10. Si

A1 =

[4 6

−2 6

]A2 =

[−1 6

−1 −2

]

A3 =

[3 12

−3 4

]A4 =

[8 12

−4 12


1. A4 ∈ Gen{A2, A3} 2. A1 ∈ Gen{A2, A3}3. A4 ∈ Gen{A1} 4. A3 ∈ Gen{A1, A2}5. A1 ∈ Gen{A4} 6. A2 ∈ Gen{A1, A4}

Respuesta:


A =

[−4 3

a 5


A1 =

[1 1

1 2

]A2 =

[−2 2

0 1

]A3 =

[−2 −3

0 −1

]

Respuesta:


{1 + 6x + 6x2, 3 + 4x + 3x2, 6 + a x + 21x2}


Respuesta:





ple:

T

[1

0

]=

[1

1

]y

T

[0

1

]=

[−1

−3

]Determine

T

[3

−2

]Respuesta:



1.

{[6 −5

−3 −4

],

[−2 −1

−6 −2

],

[9 −29

−10 −11

],

[1 4

2 1

]}

2.

{[4 −5

−4 3

],

[−4 5

2 1

],

[−32 40

28 −16

]}

3.

{[6 0

−3 5

],

[−4 −1

−3 5

],

[5 4

4 −6

]}

4.

{[−1 −2

0 −3

],

[−5 4

−4 −6

],

[−4 2

−5 −6

],

[−2 −3

−2 −2

]}

Respuesta:
















Respuesta:







b) I tiene mas de 9 elementos.


d) Si I tiene 9 elementos, entonces I genera a V .



1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


ple:

T

[1

2

]=

[3

−2

]y

T

[5

−1

]=

[−4

4

]Determine

T

[−4

1

]Respuesta:



5 1

],

[5 5

3 3

][

4 1

5 4

],

[5 a

5 3


Respuesta:


2

−1

,

0

1

−1

,

0

k

−5 k + k2

,

−1

−3

22− 9 k + k2

tiene dimension 2.



1) Solo para k =


2) Solo para k1 = , k2 = y k3 =

(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)


(Con k1 ≤ k2)



Respuesta:


A =

[a 6

−12 −3


A1 =

[2 −3

3 −2

]A2 =

[−1 2

0 −1

]A3 =

[2 3

1 2

]Respuesta:


A =

−9 6 1

−97 74 17

308 −238 −56


1.

0

−2

7

2.

1

2

−3

3.

−1

−5

14

4.

2

5

−10

5.

−2

−6

14

6.

0

−3

11

Respuesta:


A =

8 0 −4

12 −2 −4

12 −6 0



Respuesta:



a) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-


b) Si el sistema (A A) x = 0 tiene solucion unica, enton-



solucion unica.




1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:


M2×2 :

1.

{[−1 6

−2 −2

],

[25 65

−12 5

],

[25 −5

4 14

],

[5 −5

0 1

],

[6 4

0 3

]}

2.

{[6 3

0 −3

],

[2 4

5 −4

],

[4 5

−4 5

],

[−3 4

2 −1

],

[1 3

5 1

]}

3.

{[−2 6

−3 −2

],

[0 1

4 4

],

[5 3

2 −6

],

[5 2

−5 −5

]}

4.

{[−4 −4

5 1

],

[6 4

5 5

],

[−4 5

−6 −3

],

[64 7

50 43

]}

Respuesta:




1. Los vectores

1.

−2

3

−4

2.

−1

1

−1

3.

0

−6

9

4.

0

2

−3

5.

−4

6

−8


A =

7 30 20

5 −8 −10

−10 0 7


Respuesta:
















Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x+ 6 y

4 y

]

2. T

[x

y

]=

[x y

−2 y

]

3. T

[x

y

]=

[−2 + x

−4 + x

]

4. T

[x

y

]=

[8x+ y

x− 7 y

]

Respuesta:



1.

{[9 −12

24 −12

],

[−2 2

−4 3

],

[−1 2

−4 1

]}

2.

{[−2 −4

4 0

],

[2 −1

6 −1

],

[−6 1

1 −1

],

[3 1

5 3

]}

3.

{[−6 −5

12 −6

],

[−3 −2

3 6

],

[−2 0

0 −1

],

[2 3

−6 −3

]}

4.

{[1 1

6 −4

],

[4 3

−1 0

],

[6 −3

−5 −5

]}

Respuesta:


A =

[−5 −4

2 a


A1 =

[−2 −3

0 4

]A2 =

[1 3

2 −1

]A3 =

[2 2

0 −1

]Respuesta:


{5 + x + 6x2, 4 + 2x + x2, 14 + a x + 13x2}


Respuesta:



2

2

,

−1

−3

−3

,

−1

−2 + c

−2− c+ c2

,

−1

0

6− 5 c+ c2

tiene dimension 2.



1) Solo para c1 = , c2 = y c3 =

(Con c1 ≤ c2 ≤ c3)

2) Solo para c =


(Con c1 ≤ c2)



Respuesta:


ple:

T

[−3

−4

]=

[−4

−3

]y

T

[−2

3

]=

[−2

−1

]Determine

T

[−1

−1

]Respuesta:

9. Si:

A =

[2 1

−3 −1

]

B =

[4 −1

−3 1

]

C =

[3 1

−4 −1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:



2 0

],

[2 1

1 1

][

1 1

1 0

],

[6 3

7 a

]no genere M2×2.

Respuesta:








b) D tiene mas de 10 elementos.



e) Si D tiene menos de 10 elementos, entonces D genera

a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


A =

7 3 −2

12 4 −4

21 9 −6



Respuesta:






1 4

],

[1 4

2 3

][

5 2

5 3

],

[2 4

a 5


Respuesta:


0 a −3

−3 −6 −3

sea singular?

Respuesta:

3. Si

p1 = 7 + 11x, p2 = 4 + 2x, p3 = 1 + 3x, p4 = 14 + 22x


1. p4 ∈ Gen {p3} 2. p1 ∈ Gen {p2, p3}3. p2 ∈ Gen {p1, p4} 4. p2 ∈ Gen {p1, p3}5. p3 ∈ Gen {p1, p2} 6. p4 ∈ Gen {p1}

Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[8x+ y

x− 8 y

]

2. T

[x

y

]=

[−7 + x

−3 + x

]

3. T

[x

y

]=

[x+ 7 y

−y

]

4. T

[x

y

]=

[x y

−6 y

]

Respuesta:



−1 −1

],

[2 −1

2 1

],

[3 −6

1 1

],

[1 2

2 0

]}

(2) generado por{−4 + 2x− 6x2 + 2x3, 4− 2x+ 6x2 − 2x3,

−2 + x− 3x2 + x3, −6 + 3x− 9x2 + 3x3

}


3 5 3

1 1 3

x =

0

0

0

Respuesta:


ple:

T

[−3

4

]=

[4

4

]y

T

[−5

1

]=

[−3

−2

]Determine

T

[−1

−1

]Respuesta:


A =

59 21 −9

−132 −46 21

60 24 −7



Respuesta:

8. Los vectores

1.

−1

2

3

2.

18

−32

−40

3.

1

−2

−3

4.

3

−5

−6

5.

9

−16

−20



A =

−146 −153 54

264 277 −98

336 354 −126


Respuesta:


A =

[8 11

6 a


A1 =

[1 −2

−2 4

]A2 =

[4 4

2 −3

]A3 =

[2 1

0 −1

]Respuesta:





b) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion




d) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0



1) Cierto

2) Falso

3) No se sabe

Respuesta:



1.

{[4 −5

−6 1

],

[18 −15

−24 5

],

[1 −5

−3 0

]}

2.

{[6 −1

1 −1

],

[−6 6

−5 5

],

[−5 1

−5 4

]}

3.

{[20 −9

−19 18

],

[−6 5

6 −2

],

[0 4

1 0

],

[5 −2

−4 −4

]}

4.

{[2 0

6 −5

],

[2 4

1 −4

],

[1 4

1 2

],

[−1 −5

0 4

]}

Respuesta:


−2

−1

,

−2

3

0

,

−2

4− 2 b

2− 7 b+ b2

,

2

−4

10− 7 b+ b2

tiene dimension 2.




2) Solo para b =

3) Solo para b1 = , b2 = y b3 =

(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)



(Con b1 ≤ b2)

Respuesta:






−1 2

],

[3 −1

−4 5

],

[−2 −2

−2 0

],

[1 1

0 1

]}

(2) generado por{8 + 4x2, 8x+ 8x2,

−2 + 3x+ 2x2, −2− x− 2x2

}


1 2 1

3 3 6

x =

0

0

0

Respuesta:



5 3

],

[3 4

4 5

][

3 5

2 4

],

[a 1

4 2


Respuesta:


A =

143 33 −12

−824 −190 68

−704 −162 55


1.

−9

48

30

2.

0

1

3

3.

1

−4

1

4.

2

−11

−8

5.

−2

10

4

6.

2

−9

−1

Respuesta:

4. Los vectores

1.

−4

17

−8

2.

7

−29

12

3.

1

−4

1

4.

−14

58

−24

5.

−2

8

−2


A =

562 152 43

−2300 −622 −176

860 232 65


Respuesta:


−1

1

,

2

0

0

,

0

k

−4 k + k2

,

0

2

10− 7 k + k2

tiene dimension 2.






(Con k1 ≤ k2)

4) Solo para k1 = , k2 = y k3 =

(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)

5) Solo para k =

Respuesta:



1.

{[0 −6

−4 1

],

[−3 4

−6 −4

],

[2 6

−2 2

],

[5 4

−30 8

]}

2.

{[1 2

6 2

],

[0 −32

−28 −12

],

[−1 6

1 1

]}

3.

{[2 5

−2 −4

],

[2 3

3 6

],

[2 −4

5 3

],

[2 −6

−4 −5

]}

4.

{[6 1

4 −6

],

[−5 −5

4 −5

],

[4 −1

−2 −5

]}


Respuesta:


4 4 8

0 −4 a

sea singular?

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[3

−4

]y

T

[0

1

]=

[−4

−2

]Determine

T

[−5

−2

]Respuesta:


ple:

T

[5

1

]=

[−1

−2

]y

T

[−4

−2

]=

[−3

3

]Determine

T

[−3

4

]Respuesta:



1 1

],

[1 0

0 0

]

[2 1

1 2

],

[6 5

3 a

]no genere M2×2.

Respuesta:


M2×2 :

1.

{[−5 −2

−2 0

],

[−2 −3

−5 −6

],

[2 0

6 −4

],

[2 5

4 4

]}

2.

{[6 21

18 33

],

[3 4

1 5

],

[50 26

−30 52

],

[6 1

−6 5

],

[−1 0

1 −3

]}

3.

{[3 −42

27 25

],

[−4 −20

40 −8

],

[0 6

−6 −2

],

[−1 4

1 −5

]}

4.

{[6 −3

3 5

],

[−6 0

5 4

],

[1 3

0 5

],

[3 −3

−6 −6

]}

Respuesta:



a) Si para un vector b el sistema A x = b no tiene so-




c) Si el sistema A x = 0 tiene infinitas soluciones, en-



ne solucion unica.


1) Falso

2) No se sabe

3) Cierto

Respuesta:





2

−1

,

2

2

0

,

0

2x

−4x+ x2

,

1

4

3− 5x+ x2

tiene dimension 2.



1) Solo para x =



(Con x1 ≤ x2)


5) Solo para x1 = , x2 = y x3 =

(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)

Respuesta:


p = a + 5x + 5x3


p1 = 1 + 6x2 + x3

p2 = −1 + x− 6x2 + x3

p3 = −1 + x + 6x2 + x3

Respuesta:

3. Si:

A =

[−2 1

−3 1

]

B =

[2 −3

1 −1

]

C =

[3 1

−4 −1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:



1. {−1 + 3x + 3x2,−6− 5x− x2}2. {−4− 2x− 5x2,−8 + 10x− 5x2, 8 + 18x + 15x2,−6 + 4x− 5x2}3. {4 + 6x,−1− 2x− 3x2, 1 + x− 4x2}4. {46x + 40x2,−2 + 5x + 6x2, 3 + 4x + x2}

Respuesta:



3 5

],

[2 2

1 3

][

4 3

4 5

],

[3 4

a 3


Respuesta:


A =

55 −18 13

84 −23 21

−116 44 −26


1.

−2

6

16

2.

1

1

−3

3.

2

0

−8

4.

0

1

1

5.

2

1

−7

6.

0

−3

−4

Respuesta:

7. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz −1 −1 0

−2 −4 a

−1 −2 −2

sea singular?

Respuesta:








a) I tiene al menos 16 elementos.

b) G tiene menos de 16 elementos.

c) B tiene 16 elementos.


e) Si I tiene menos de 16 elementos, entonces I genera

a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



1 2

],

[2 0

2 0

][

1 1

1 1

],

[a 1

5 5

]no genere M2×2.

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[2

−2

]y

T

[0

1

]=

[−2

−2

]Determine

T

[4

5

]Respuesta:

11. Los vectores

1.

−1

−2

0

2.

−7

−18

−17

3.

7

18

17

4.

−3

−6

0

5.

2

6

8


A =

340 −169 41

942 −469 114

1088 −544 133


Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[7x+ y

x− 4 y

]

2. T

[x

y

]=

[−3 + x

−5 + x

]

3. T

[x

y

]=

[x y

−6 y

]

4. T

[x

y

]=

[x+ 5 y

−y

]

Respuesta:





ple:

T

[−1

−4

]=

[−4

−1

]y

T

[−1

3

]=

[2

1

]Determine

T

[3

−2

]Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[4

−1

]y

T

[0

1

]=

[3

−1

]Determine

T

[2

4

]Respuesta:



1.

{[2 −6

0 −5

],

[−1 1

−2 2

],

[−3 −1

2 −1

],

[0 20

8 11

]}

2.

{[2 −4

5 −3

],

[−2 −5

5 −4

],

[5 5

−4 −5

]}

3.

{[−4 0

2 5

],

[−1 0

0 6

],

[−3 −2

6 −3

],

[−1 −3

2 −4

]}

4.

{[−8 −4

−18 −24

],

[−2 0

−2 −4

],

[1 −2

−4 −2

]}

Respuesta:







a) B tiene menos de 14 elementos.

b) D tiene mas de 14 elementos.

c) Si D tiene 14 elementos, entonces D genera a V .

d) G tiene mas de 14 elementos.


dependiente.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


M2×2 :

1.

{[−4 −3

0 4

],

[−4 −5

6 −5

],

[4 3

−4 −4

],

[−2 5

5 −5

],

[1 −4

4 2

]}

2.

{[2 0

−6 −4

],

[17 22

20 −17

],

[−3 −6

4 3

],

[5 −26

16 −17

],

[3 1

5 −4

]}

3.

{[1 −6

−1 4

],

[2 −3

−3 2

],

[1 5

4 5

],

[3 5

4 1

]}

4.

{[46 −6

−5 16

],

[14 −54

−45 −6

],

[2 6

5 2

],

[6 −6

−5 1

]}

Respuesta:


A =

−5 2 −2

−11 12 2

13 −14 −2



Respuesta:


1

−2

,

0

1

2

,

1

1 + x

−2− 2x+ x2

,

1

−1

14− 9x+ x2

tiene dimension 2.




(Con x1 ≤ x2)

2) Solo para x =


4) Solo para x1 = , x2 = y x3 =

(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)



Respuesta:


{1 + 6x + x2, 2 + 3x + 6x2, 8 + a x + 16x2}


Respuesta:

9. Si:

A =

[−3 1

−4 1

]

B =

[−11 4

−15 4

]

C =

[−4 −3

−1 −1

]

D =

[4 −1

−3 1



X + 3Y = D


Respuesta:


A =

[11 −11

a 0


A1 =

[0 3

0 3

]A2 =

[4 −2

2 2

]A3 =

[3 −1

2 2

]Respuesta:

11. Los vectores

1.

2

7

−6

2.

11

37

−35

3.

−22

−74

70

4.

−4

−14

12

5.

−2

−6

8


A =

621 −122 64

2057 −404 212

−2026 398 −209


Respuesta:












1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:




1. Si:

A =

[−3 −4

1 1

]

B =

[−11 −11

0 4

]

C =

[2 1

−3 −1

]

D =

[3 1

−4 −1



X + 3Y = D


Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[7x+ y

x− 5 y

]

2. T

[x

y

]=

[−5 + x

−7 + x

]

3. T

[x

y

]=

[x+ 3 y

4 y

]

4. T

[x

y

]=

[x y

−5 y

]

Respuesta:


A =

[7 a

4 11


A1 =

[0 2

0 −1

]A2 =

[3 −3

1 4

]A3 =

[−1 4

−2 −1

]Respuesta:






solucion unica.



d) Si la matriz A no es invertible, entonces A ·A x = 0



1) Cierto

2) No se sabe

3) Falso

Respuesta:



1.

{[−17 −6

13 3

],

[−6 −4

5 2

],

[−5 2

3 −1

]}

2.

{[−6 0

4 −3

],

[−6 5

3 3

],

[3 −3

−4 3

],

[−1 4

−1 3

]}

3.

{[2 2

1 2

],

[5 4

2 −2

],

[−3 −1

−3 1

]}

4.

{[2 −4

−4 −6

],

[−2 6

22 26

],

[2 4

0 3

],

[5 −1

3 4

]}

Respuesta:


A =

17 −19 −18

−24 28 26

36 −42 −39



Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[2

−2

]


y

T

[0

1

]=

[4

2

]Determine

T

[−2

−3

]Respuesta:


−2

1

,

2

−5

1

,

2

−4− 2 b

2− 5 b+ b2

,

−1

4

13− 7 b+ b2

tiene dimension 2.





3) Solo para b =


(Con b1 ≤ b2)

5) Solo para b1 = , b2 = y b3 =

(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)

Respuesta:


{2 + 4x + x2, 6 + 6x + 5x2, 26 + a x + 21x2}


Respuesta:







a) D tiene a lo mas 20 elementos.

b) Si D tiene menos de 20 elementos, entonces D genera

a V .


d) I tiene a lo mas 20 elementos.

e) B tiene mas de 20 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:

11. Los vectores

1.

−2

6

8

2.

3

−12

0

3.

4

−15

−3

4.

−12

45

9

5.

1

−3

−4


A =

255 63 17

−900 −222 −60

−384 −96 −26


Respuesta:



0 2

],

[0 0

0 1

][

1 2

2 2

],

[5 a

2 7

]no genere M2×2.

Respuesta:






2 2

],

[2 2

4 3

][

4 3

4 1

],

[5 4

a 1


Respuesta:


A =

306 −116 −52

1145 −433 −193

−790 298 132


1.

12

45

−30

2.

12

45

−31

3.

7

26

−18

4.

1

4

−3

5.

22

82

−56

6.

−3

−11

7

Respuesta:

3. Los vectores

1.

15

−69

6

2.

−5

23

−2

3.

2

−9

2

4.

−2

9

−2

5.

−2

8

−6


A =

−42 −10 0

123 31 3

−382 −82 16


Respuesta:

4. Si

p1 = 10 + 26x, p2 = 6 + 6x, p3 = 1 + 5x, p4 = 30 + 78x


1. p1 ∈ Gen {p4} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p1 ∈ Gen {p2, p3} 4. p2 ∈ Gen {p1, p3}5. p3 ∈ Gen {p1, p2} 6. p4 ∈ Gen {p1}

Respuesta:

5. ¿Cual es el valor del parametro a para que la matriz 2 −2 a

1 −1 −1

1 0 0

no sea invertible?

Respuesta:

6. Si:

A =

[4 −1

−3 1

]

B =

[2 −3

1 −1

]

C =

[−2 1

−3 1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:







a) I tiene mas de 10 elementos.




d) D tiene menos de 10 elementos.

e) Si I tiene menos de 10 elementos, entonces I genera

a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[4x+ y

x− 8 y

]

2. T

[x

y

]=

[x+ 5 y

−y

]

3. T

[x

y

]=

[x y

−6 y

]

4. T

[x

y

]=

[−3 + x

−7 + x

]

Respuesta:



1 1

],

[2 2

2 1

][

0 0

0 1

],

[8 a

6 6

]no genere M2×2.

Respuesta:



1.

{[−1 0

−6 5

],

[−1 6

5 −6

],

[−2 6

0 3

]}

2.

{[1 −4

−6 4

],

[2 6

1 −6

],

[18 −38

−37 35

],

[−5 4

2 −3

]}

3.

{[4 −28

−4 0

],

[4 6

−3 −2

],

[5 −1

−4 −2

]}

4.

{[1 −1

4 6

],

[−1 6

−5 −4

],

[6 −2

6 −6

],

[3 4

−5 −2

]}

Respuesta:


−2

1

,

0

−1

1

,

1

−2− k

1− 3 k + k2

,

0

1

19− 9 k + k2

tiene dimension 2.



1) Solo para k =


3) Solo para k1 = , k2 = y k3 =

(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)



(Con k1 ≤ k2)

Respuesta:


ple:

T

[1

3

]=

[4

4

]y

T

[1

−3

]=

[3

−1

]Determine

T

[−4

−1

]Respuesta:






1 0

],

[−1 −2

1 −2

],

[−2 −2

0 2

],

[−2 1

1 −2

]}

(2) generado por{−2x− 2x2 + 3x3, −2− 3x− x2 + 3x3,

−6x− 2x2 + x3, −2 + 3x+ 3x2 − 2x3

}


3 6 9

3 6 9

x =

0

0

0

Respuesta:

2. Si

A1 =

[6 −1

−1 −1

]A2 =

[2 −2

3 2

]

A3 =

[12 −7

8 5

]A4 =

[18 −3

−3 −3


1. A4 ∈ Gen{A3} 2. A1 ∈ Gen{A4}3. A4 ∈ Gen{A1} 4. A2 ∈ Gen{A1, A4}5. A3 ∈ Gen{A1, A2} 6. A1 ∈ Gen{A2, A3}

Respuesta:

3. Si:

A =

[−2 0

−2 −2

]

B =

[−4 −3

−1 −1

]

C =

[−3 1

−4 1


A X = B X + C


Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[−2 + x

−6 + x

]

2. T

[x

y

]=

[x+ 7 y

−y

]

3. T

[x

y

]=

[x y

−8 y

]

4. T

[x

y

]=

[3x+ y

x− 3 y

]

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[−2

−1

]y

T

[0

1

]=

[−4

−2

]Determine

T

[2

−5

]Respuesta:







a) Si D tiene 16 elementos, entonces D es base.

b) I tiene mas de 16 elementos.

c) Si I tiene menos de 16 elementos, entonces I genera

a V .


e) G tiene mas de 16 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



p = a− 4x− 12x3


p1 = 1− x2 + x3

p2 = −1 + x + x2 + x3

p3 = −1 + x + 6x2 + x3

Respuesta:


A =

−7 −3 0

−12 −4 −6

84 33 17



Respuesta:

9. Si:

A =

[−4 −1

−3 −1

]

B =

[−24 −6

−18 −6

]

C =

[−3 1

−4 1

]

D =

[−2 −3

1 1



X + 5Y = D


Respuesta:

10. Los vectores

1.

3

−9

−12

2.

−6

27

30

3.

−6

21

27

4.

−2

7

9

5.

2

−9

−10


A =

−13 −4 0

30 25 −12

48 24 −7


Respuesta:



1.

{[0 −5

4 2

],

[5 3

−1 6

],

[5 43

7 10

],

[0 −5

−4 −2

]}

2.

{[6 3

−1 −4

],

[−6 −7

−23 −28

],

[−6 −4

−5 −4

]}

3.

{[5 −6

3 6

],

[4 2

−1 3

],

[−2 −5

4 5

],

[−2 1

2 1

]}

4.

{[−2 0

1 3

],

[3 −1

3 5

],

[−1 3

4 −3

]}

Respuesta:


{6 + x + 2x2, 2 + 5x + 6x2, a + 17x + 22x2}


Respuesta:





ple:

T

[1

0

]=

[−1

−2

]y

T

[0

1

]=

[−3

−4

]Determine

T

[2

2

]Respuesta:

2. Los vectores

1.

−16

−10

6

2.

8

5

−3

3.

−3

−3

−3

4.

1

1

1

5.

−9

−6

3


A =

95 −125 29

57 −75 17

−39 51 −13


Respuesta:


A =

[a 2

−1 −4


A1 =

[0 −2

−3 0

]A2 =

[0 4

2 4

]A3 =

[2 0

0 4

]Respuesta:

4. Si:

A =

[−1 1

−2 0

]

B =

[−4 −1

−3 −1

]

C =

[2 1

−3 −1


A X = B X + C


Respuesta:



3 3

],

[2 3

4 5

][

1 4

2 3

],

[a 3

3 1


Respuesta:



1. {−3− 6x− 6x2, 1− x− x2,−5 + 4x2}2. {−1 + 3x + 2x2,−6− 3x− 4x2}3. {6− 4x− 5x2,−1 + 3x2,−34 + 20x + 37x2,−18 + 8x + 28x2}4. {−14x + 14x2,−3− 2x + 5x2, 6− 3x− 3x2}

Respuesta:


1

−1

,

0

−1

2

,

−1

−1 + 2 a

1− 7 a+ a2

,

1

3

7− 7 a+ a2

tiene dimension 2.



1) Solo para a1 = , a2 = y a3 =

(Con a1 ≤ a2 ≤ a3)


3) Solo para a =



(Con a1 ≤ a2)


Respuesta:



2 1

],

[1 1

1 1

][

1 0

2 2

],

[4 a

8 7

]no genere M2×2.

Respuesta:


A =

−4 0 2

26 5 −8

−10 0 5



Respuesta:


ple:

T

[3

2

]=

[−4

−1

]y

T

[−5

4

]=

[−4

−3

]Determine

T

[1

2

]

Respuesta:







a) Si G tiene 21 elementos, entonces G es linealmente

dependiente.


c) I tiene mas de 20 elementos.


e) Si D tiene menos de 20 elementos, entonces D es base.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


3 6 4

3 a 0

no sea invertible?

Respuesta:





ple:

T

[1

0

]=

[4

3

]y

T

[0

1

]=

[4

1

]Determine

T

[2

2

]Respuesta:
















Respuesta:



1. {3 + 6x + 6x2,−4− 4x− 6x2}2. {13− 14x + 28x2, 3− 4x + 6x2,−1 + 3x− x2}3. {22− 36x2,−29 + 38x− 13x2, 4− 6x + 3x2, 5− 2x− 5x2}4. {2 + 3x− 5x2, 6 + 2x− 3x2,−5 + 6x− x2}

Respuesta:


M2×2 :

1.

{[−6 −5

6 −2

],

[−4 6

4 −2

],

[−5 3

0 5

],

[1 3

5 2

],

[−4 −6

0 4

]}

2.

{[−6 −2

−5 −2

],

[−2 −3

−6 1

],

[28 13

28 9

],

[4 −2

−5 6

],

[62 10

19 42

]}

3.

{[6 −5

1 −2

],

[2 −2

5 −2

],

[5 4

1 5

],

[−2 3

−2 1

]}

4.

{[−3 −6

−2 5

],

[4 −2

3 3

],

[−2 −5

−18 24

],

[1 5

−5 2

]}

Respuesta:


A =

−39 −17 −1

70 33 0

168 63 12


1.

−5

12

10

2.

4

−9

−10

3.

3

−7

−7

4.

6

−15

−9

5.

−1

3

0

6.

−2

5

4

Respuesta:



2 2

],

[2 5

1 4

][

4 2

1 3

],

[3 a

3 1


Respuesta:


p = a− 3x− 4x3


p1 = 1 + 6x2 + x3

p2 = −1 + x− 6x2 + x3

p3 = −1 + x + 2x2 + x3

Respuesta:


8. Si:

A =

[−1 0

−1 0

]

B =

[−4 −1

−3 −1

]

C =

[−4 −1

−3 −1


A X = B X + C


Respuesta:


−2

−1

,

0

2

2

,

2

−4 + k

−2− k + k2

,

0

0

6− 5 k + k2

tiene dimension 2.




(Con k1 ≤ k2)

2) Solo para k1 = , k2 = y k3 =

(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)



5) Solo para k =

Respuesta:


A =

−1 −1 1

15 11 3

−15 −11 −5



Respuesta:


ple:

T

[5

3

]=

[4

1

]y

T

[−3

0

]=

[−4

−1

]Determine

T

[−2

3

]

Respuesta:



0 −1

],

[−2 −1

2 1

],

[1 −3

3 −2

],

[2 −2

1 −2

]}

(2) generado por{−2 + x+ 3x2 + 3x3, 1− x+ 3x2 − 3x3,

−2 + 3x+ 3x3, −3 + x+ 3x2 − 2x3

}


1 2 3

3 6 9

x =

0

0

0

Respuesta:






1 1

],

[2 2

−1 0

],

[0 −2

−2 −1

],

[0 0

2 −2

]}

(2) generado por{−4− 14x+ 2x2 − 2x3, 1− 3x+ x2 − 3x3,

2 + x+ 3x2 − 3x3, −1− 3x+ 3x2 − x3

}


2 5 6

5 5 15

x =

0

0

0

Respuesta:

2. Si

A1 =

[0 −2

3 1

]A2 =

[−1 5

0 0

]

A3 =

[−3 13

3 1

]A4 =

[0 −6

9 3


1. A4 ∈ Gen{A1} 2. A1 ∈ Gen{A4}3. A3 ∈ Gen{A1, A2} 4. A1 ∈ Gen{A2, A3}5. A4 ∈ Gen{A3} 6. A4 ∈ Gen{A2, A3}

Respuesta:



1 3

],

[3 4

2 4

][

2 1

4 2

],

[3 5

a 1


Respuesta:


A =

−65 −44 −21

90 61 29

30 20 10



Respuesta:
















Respuesta:



1. {−2− 4x− 3x2, 5− 5x + 3x2,−2 + 26x + 6x2}2. {−5 + 2x + 3x2,−3− 6x− 2x2,−3− 4x + 5x2}3. {6− 3x + 4x2,−3 + x + 3x2,−x + 10x2, 3x− 30x2}4. {2 + 6x2, 1− 5x− 5x2}

Respuesta:


A =

−153 36 −6

−660 155 −28

120 −28 5


1.

7

30

−4

2.

1

4

−1

3.

−3

−13

1

4.

−6

−26

4

5.

5

21

−3

6.

−4

−17

2

Respuesta:



ple:

T

[−3

3

]=

[1

−3

]y

T

[2

5

]=

[4

−1

]Determine

T

[1

1

]Respuesta:

9. Si

p1 = 14 + 9x, p2 = 2 + 5x, p3 = 6 + 2x, p4 = 42 + 27x


1. p2 ∈ Gen {p1, p3} 2. p4 ∈ Gen {p3}3. p4 ∈ Gen {p1} 4. p3 ∈ Gen {p1, p2}5. p1 ∈ Gen {p2, p3} 6. p2 ∈ Gen {p1, p4}

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[−4

3

]y

T

[0

1

]=

[4

−3

]Determine

T

[−3

5

]Respuesta:


1

2

,

−2

0

−2

,

1

1 + 2 b

2− 3 b+ b2

,

−2

−4

24− 11 b+ b2

tiene dimension 2.




(Con b1 ≤ b2)


3) Solo para b1 = , b2 = y b3 =

(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)

4) Solo para b =


Respuesta:

12. Si:

A =

[0 2

−2 0

]

B =

[−4 −1

−3 −1

]

C =

[−2 −3

1 1


A X = B X + C


Respuesta:






1.

{[−3 −2

−4 −3

],

[−2 −5

−5 −4

],

[−4 −5

−6 −5

],

[3 −1

1 1

]}

2.

{[4 −6

−4 2

],

[1 2

6 −6

],

[6 3

−4 6

]}

3.

{[0 −5

4 11

],

[4 3

4 3

],

[1 2

0 −2

]}

4.

{[3 4

−3 4

],

[−4 2

−6 4

],

[−4 0

6 −4

],

[2 4

−3 0

]}

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[1

−1

]y

T

[0

1

]=

[2

3

]Determine

T

[−4

−2

]Respuesta:


M2×2 :

1.

{[−4 2

−4 2

],

[4 −1

1 5

],

[28 −13

25 −7

],

[−36 12

−18 −24

]}

2.

{[25 9

−15 26

],

[−1 3

1 4

],

[−4 0

−3 4

],

[−5 −3

−25 23

],

[2 0

−5 5

]}

3.

{[4 −5

0 −6

],

[4 −3

−3 0

],

[−3 6

3 −5

],

[−1 1

6 −6

],

[−6 2

−4 −4

]}

4.

{[−6 3

4 −4

],

[1 −2

−6 0

],

[4 −4

−6 3

],

[6 −6

−3 4

]}

Respuesta:


{6 + 5x + 2x2, 1 + 5x + x2, 26 + 30x + a x2}


Respuesta:

5. Si

p1 = 6 + 8x, p2 = 3 + 5x, p3 = 3 + 3x, p4 = 18 + 24x


1. p2 ∈ Gen {p1, p3} 2. p1 ∈ Gen {p2, p3}3. p4 ∈ Gen {p1} 4. p4 ∈ Gen {p3}5. p1 ∈ Gen {p4} 6. p2 ∈ Gen {p1, p4}

Respuesta:






a) I tiene menos de 9 elementos.

b) D tiene menos de 8 elementos.

c) Si D tiene menos de 8 elementos, entonces D es base.

d) Si I tiene 8 elementos, entonces I genera a V .



1) Cierto

2) Falso


Respuesta:


−2

2

,

2

−2

2

,

1

−2− 2x

2− 3x+ x2

,

−1

2

28− 11x+ x2

tiene dimension 2.



1) Solo para x =



4) Solo para x1 = , x2 = y x3 =

(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)


(Con x1 ≤ x2)

Respuesta:



1 4 4

1 5 0

sea singular?

Respuesta:


ple:

T

[−1

5

]=

[1

1

]y

T

[−1

−1

]=

[−2

2

]Determine

T

[−1

1

]Respuesta:
















Respuesta:


A =

−10 21 13

−12 26 16

12 −21 −11



Respuesta:

12. Los vectores

1.

−1

−2

−1

2.

−3

−9

3

3.

3

6

3

4.

1

4

−4

5.

−2

−8

8


A =

82 −32 −12

208 −82 −32

−16 8 6


Respuesta:






1. {6 + 2x− 5x2, 6 + 5x + 4x2}2. {−32− 23x + 8x2,−5− 2x + 2x2,−4− 5x, 39 + 36x− 6x2}3. {4x + 5x2,−x + 4x2, 5 + 2x− 4x2}4. {4x− 2x2,−10 + 21x + 12x2, 2− 5x− 2x2}

Respuesta:


p = −2 + 4x + a x3


p1 = 1 + 6x2 + x3

p2 = −1 + x− 6x2 + x3

p3 = −1 + x− 2x2 + x3

Respuesta:







a) D tiene a lo mas 19 elementos.

b) G tiene al menos 19 elementos.

c) I tiene menos de 20 elementos.


e) Si I tiene 19 elementos, entonces I es base.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



3 3

],

[2 5

2 4

][

3 1

1 5

],

[3 5

4 a


Respuesta:

5. Si

p1 = 8 + 16x, p2 = 5 + 4x, p3 = 1 + 4x, p4 = 32 + 64x


1. p4 ∈ Gen {p1} 2. p3 ∈ Gen {p1, p2}3. p2 ∈ Gen {p1, p3} 4. p1 ∈ Gen {p4}5. p4 ∈ Gen {p3} 6. p1 ∈ Gen {p2, p3}

Respuesta:

6. Si:

A =

[−4 −1

−3 −1

]

B =

[−10 −2

−12 −4

]

C =

[4 −3

−1 1

]

D =

[4 −3

−1 1


ciales:

A X + B Y = C

X + 3Y = D


Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[−3

2

]y

T

[0

1

]=

[1

−4

]Determine

T

[3

5

]

Respuesta:




1. T

[x

y

]=

[−2 + x

−5 + x

]

2. T

[x

y

]=

[x+ 7 y

4 y

]

3. T

[x

y

]=

[x y

−7 y

]

4. T

[x

y

]=

[4x+ y

x− 4 y

]

Respuesta:
















Respuesta:


−1

−2

,

1

−2

−1

,

2

−2 + 2 k

−4− 5 k + k2

,

−1

2

13− 7 k + k2

tiene dimension 2.




(Con k1 ≤ k2)


3) Solo para k1 = , k2 = y k3 =

(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)


5) Solo para k =

Respuesta:


A =

14 6 −4

4 4 0

48 24 −12



Respuesta:


A =

−27 0 8

44 13 −4

−76 −8 17


1.

3

−9

11

2.

3

−7

10

3.

−6

15

−21

4.

2

−7

8

5.

−1

3

−4

6.

1

−2

3

Respuesta:






5 3

],

[2 2

3 1

][

1 1

4 5

],

[2 a

1 1


Respuesta:


ple:

T

[3

−4

]=

[−4

−2

]y

T

[0

−5

]=

[3

1

]Determine

T

[4

1

]Respuesta:

3. Los vectores

1.

−4

9

−10

2.

−3

7

−7

3.

−1

2

−2

4.

6

−14

14

5.

−8

18

−20


A =

−24 −20 −8

56 47 19

−56 −46 −18


Respuesta:


A =

4 81 −42

6 143 −74

12 274 −142


1.

0

1

2

2.

18

30

57

3.

5

9

17

4.

7

12

23

5.

3

3

6

6.

1

2

4

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[1

−1

]y

T

[0

1

]=

[3

1

]Determine

T

[2

3

]Respuesta:


−1

1

,

1

−3

−3

,

−2

2− 2 b

−2− 6 b+ b2

,

−2

0

−5 b+ b2

tiene dimension 2.



1) Solo para b =

2) Solo para b1 = , b2 = y b3 =

(Con b1 ≤ b2 ≤ b3)


(Con b1 ≤ b2)



Respuesta:


7. Si:

A =

[4 −1

−3 1

]

B =

[2 1

−3 −1

]

C =

[2 −3

1 −1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:

8. Si

A1 =

[1 5

2 3

]A2 =

[−2 −1

−1 5

]

A3 =

[−1 4

1 8

]A4 =

[4 20

8 12


1. A2 ∈ Gen{A1, A4} 2. A3 ∈ Gen{A1, A2}3. A4 ∈ Gen{A1} 4. A1 ∈ Gen{A4}5. A4 ∈ Gen{A2, A3} 6. A4 ∈ Gen{A3}

Respuesta:


6 4 3

a 0 3

no sea invertible?

Respuesta:



0 0

],

[2 1

1 1

]

[0 2

2 1

],

[6 a

3 2

]no genere M2×2.

Respuesta:







a) B tiene menos de 10 elementos.


independiente.

c) I tiene mas de 10 elementos.




1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



1.

{[1 4

−1 −2

],

[−4 −6

0 3

],

[−2 4

0 −3

]}

2.

{[4 4

2 0

],

[−15 1

−3 −39

],

[−3 1

3 −3

],

[−3 −4

−6 −6

]}

3.

{[3 −5

−6 −6

],

[−5 −5

−3 −6

],

[6 −4

1 6

],

[−6 −2

0 −4

]}

4.

{[1 2

3 −1

],

[4 5

2 2

],

[9 9

−3 9

]}

Respuesta:





A =

−43 −24 −18

39 22 16

63 36 26


1.

10

−8

−15

2.

−8

6

12

3.

1

−1

−1

4.

12

−10

−18

5.

7

−6

−10

6.

−3

2

5

Respuesta:


A =

[−7 a

−3 1


A1 =

[2 −1

−1 −1

]A2 =

[4 −1

1 −1

]A3 =

[−1 −2

−2 0

]Respuesta:








b) B tiene 10 elementos.

c) I tiene al menos 10 elementos.

d) G tiene menos de 10 elementos.

e) Si I tiene 10 elementos, entonces I genera a V .


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:





b) Si la matriz A ·A no es invertible, entonces A x = 0



solucion unica.

d) Si para un vector b el sistema A x = b tiene solucion



1) No se sabe

2) Falso

3) Cierto

Respuesta:



1. {−2 + 5x− 6x2,−2 + 6x + 4x2}2. {11 + x− x2,−6− 5x + 6x2, 5− 4x + 5x2}3. {−26 + 18x + 33x2, 5− 3x− 5x2, 4 + 3x2, 34− 18x− 27x2}4. {−5 + 3x, x + x2, 6 + 4x + x2}

Respuesta:


A =

−3 1 −1

−28 −16 −7

88 38 23



Respuesta:



−2

−2

,

−2

5

2

,

1

−2− 2 k

−2 + k2

,

2

−3

14− 9 k + k2

tiene dimension 2.





(Con k1 ≤ k2)

3) Solo para k1 = , k2 = y k3 =

(Con k1 ≤ k2 ≤ k3)


5) Solo para k =

Respuesta:


5 a 0

5 10 6

no sea invertible?

Respuesta:



2 1

],

[5 2

2 5

][

3 5

3 4

],

[2 a

2 3


Respuesta:


ple:

T

[3

−2

]=

[−2

1

]y

T

[5

2

]=

[−1

3

]Determine

T

[1

1

]Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x y

−3 y

]

2. T

[x

y

]=

[5x+ y

x− 7 y

]

3. T

[x

y

]=

[−7 + x

−6 + x

]

4. T

[x

y

]=

[x+ 5 y

5 y

]

Respuesta:



0 0

],

[1 2

1 0

][

0 0

2 1

],

[3 3

a 2

]no genere M2×2.

Respuesta:





A =

−396 −120 33

931 281 −79

−1502 −460 119


1.

−2

5

−6

2.

1

−3

1

3.

−6

15

−19

4.

−9

24

−21

5.

−8

20

−25

6.

−9

23

−26

Respuesta:


ple:

T

[1

0

]=

[4

3

]y

T

[0

1

]=

[4

3

]Determine

T

[3

5

]Respuesta:



4 1

],

[5 5

5 5

][

5 3

2 2

],

[2 3

1 a


Respuesta:


A =

[9 21

a −18

]


A1 =

[−3 −1

−2 3

]A2 =

[0 3

4 −3

]A3 =

[0 −3

1 0

]Respuesta:



1. {−4 + 2x− 5x2, 6 + 5x + 6x2,−3x + 5x2}2. {−4x + 6x2, 5− x− x2}3. {3− 3x− x2, 5− 2x + 2x2,−45 + 27x− 7x2,−1− 5x− 7x2}4. {−6− 5x + x2,−1− x, 8 + 7x− x2}

Respuesta:


(1) generado por{11− 12x− 4x2 + 6x3, −2 + 3x− 2x2 + 3x3,

2− 8x2 + 12x3, 3− 3x− 2x2 + 3x3

}


−1 −2

],

[2 0

0 2

],

[2 −1

1 −1

],

[−6 3

−2 −3

]}


3 6 9

2 4 6

x =

0

0

0

Respuesta:


ple:

T

[2

−5

]=

[1

2

]y

T

[−2

−4

]=

[1

3

]Determine

T

[4

−1

]Respuesta:


8. Los vectores

1.

−2

0

−4

2.

1

1

−2

3.

−1

−3

11

4.

3

3

−6

5.

−1

0

−2


A =

17 −33 −8

36 −72 −18

−122 246 62


Respuesta:






a) I tiene a lo mas 8 elementos.


c) Si I tiene 8 elementos, entonces I genera a V .


e) Si D tiene 8 elementos, entonces D es base.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:

10. Si:

A =

[−3 1

−4 1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[−2 −3

1 1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:


−3 −2 0

−6 −6 a

sea singular?

Respuesta:



2 1

],

[0 2

1 1

][

1 1

0 2

],

[2 a

6 8

]no genere M2×2.

Respuesta:





ple:

T

[1

0

]=

[−4

−2

]y

T

[0

1

]=

[−3

4

]Determine

T

[−3

−4

]

Respuesta:



1.

{[−1 −3

−2 5

],

[1 2

1 −2

],

[4 13

9 −23

]}

2.

{[5 −2

−6 −2

],

[−5 −1

6 −3

],

[3 6

−2 6

]}

3.

{[−2 0

−4 6

],

[7 −1

−2 −5

],

[−6 3

−1 6

],

[−3 −2

−1 5

]}

4.

{[−3 −4

6 0

],

[3 6

6 −3

],

[−3 3

−4 −4

],

[−2 −6

−6 6

]}

Respuesta:


(1) generado por{−6− 6x− 2x2 + 2x3, 9 + 9x+ 3x2 − 3x3,

6 + 6x+ 2x2 − 2x3, −3− 3x− x2 + x3

}


−2 −1

],

[8 5

10 −3

],

[−1 0

−2 2

],

[−2 −2

−2 0

]}


2 3 2

5 5 8

x =

0

0

0

Respuesta:

4. Si:

A =

[2 −3

1 −1

]

B =

[5 −11

0 −3

]

C =

[−3 1

−4 1

]

D =

[−4 −1

−3 −1


ciales:

A X + B Y = C

X + 4Y = D


Respuesta:

5. Los vectores

1.

8

22

−28

2.

−4

−11

14

3.

1

3

−3

4.

−8

−23

27

5.

−3

−9

9


A =

−435 88 −56

−1278 259 −164

1422 −288 183


Respuesta:


A =

222 42 −19

−940 −178 80

450 84 −41



1.

8

−34

17

2.

4

−17

8

3.

4

−17

9

4.

−9

39

−18

5.

−2

9

−3

6.

1

−4

3

Respuesta:


2

1

,

−2

−2

2

,

−2

−4− 2x

−2− 9x+ x2

,

1

2

31− 11x+ x2

tiene dimension 2.





(Con x1 ≤ x2)


4) Solo para x =

5) Solo para x1 = , x2 = y x3 =

(Con x1 ≤ x2 ≤ x3)

Respuesta:


ple:

T

[−1

3

]=

[−3

2

]y

T

[−5

4

]=

[−4

3

]Determine

T

[1

−4

]Respuesta:

9. Si

A1 =

[−1 2

2 6

]A2 =

[−1 0

4 1

]

A3 =

[−3 2

10 8

]A4 =

[−3 6

6 18

]


1. A1 ∈ Gen{A2, A3} 2. A4 ∈ Gen{A1}3. A3 ∈ Gen{A1, A2} 4. A4 ∈ Gen{A3}5. A4 ∈ Gen{A2, A3} 6. A1 ∈ Gen{A4}

Respuesta:



2 1

],

[3 5

5 4

][

2 4

5 5

],

[a 5

5 5


Respuesta:


M2×2 :

1.

{[−44 −43

46 −19

],

[5 6

−6 2

],

[−5 −1

5 −6

],

[34 21

−32 23

],

[4 5

0 −5

]}

2.

{[6 −2

−5 −4

],

[5 −3

−2 1

],

[4 −2

−4 1

],

[4 −5

−1 6

]}

3.

{[−5 2

3 −6

],

[5 −5

−4 −5

],

[4 −5

−1 −1

],

[0 −4

−6 5

]}

4.

{[6 6

−1 −4

],

[−33 −33

−2 2

],

[6 6

−10 −28

],

[3 3

1 2

]}

Respuesta:

12. Si:

A =

[2 1

−3 −1

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[−4 −3

−1 −1


(A X B)T

CT −B = 0


Respuesta:






2 −2

],

[2 0

−4 4

],

[1 0

−2 2

],

[1 0

−2 2

]}

(2) generado por{2− x2, −3 + 3x− x2 + 3x3,

12− 7x+ 4x2 − 11x3, −1− 2x− 2x2 + 2x3

}


2 4 2

4 4 7

x =

0

0

0

Respuesta:


ple:

T

[−3

5

]=

[2

3

]y

T

[2

1

]=

[−1

3

]Determine

T

[4

−1

]Respuesta:


p = 3− 2x + a x3


p1 = 1 + 4x2 + x3

p2 = −1 + x− 4x2 + x3

p3 = −1 + x− x2 + x3

Respuesta:



5 3

],

[2 5

3 1

][

5 5

5 5

],

[3 4

1 a


Respuesta:


A =

4 26 −36

−9 −81 114

−11 −61 84


1.

−1

4

3

2.

−14

46

34

3.

5

−16

−12

4.

8

−26

−19

5.

2

−7

−5

6.

3

−10

−7

Respuesta:

6. Si:

A =

[4 −3

−1 1

]

B =

[9 −13

−2 4

]

C =

[−2 −3

1 1

]

D =

[2 1

−3 −1



X + 3Y = D


Respuesta:







a) B tiene mas de 13 elementos.


b) Si D tiene mas de 13 elementos, entonces D es base.


d) D tiene mas de 13 elementos.

e) I tiene menos de 14 elementos.


1) Cierto

2) Falso


Respuesta:



1. T

[x

y

]=

[x+ 4 y

−y

]

2. T

[x

y

]=

[−8 + x

−3 + x

]

3. T

[x

y

]=

[6x+ y

x− 8 y

]

4. T

[x

y

]=

[x y

−6 y

]

Respuesta:

9. Si

p1 = 11 + 11x, p2 = 5 + 2x, p3 = 2 + 3x, p4 = 33 + 33x


1. p2 ∈ Gen {p1, p4} 2. p4 ∈ Gen {p1}3. p1 ∈ Gen {p2, p3} 4. p1 ∈ Gen {p4}5. p2 ∈ Gen {p1, p3} 6. p3 ∈ Gen {p1, p2}

Respuesta:


A =

1 0 −3

−12 5 −2

0 0 −2



Respuesta:

11. Si:

A =

[2 2

0 2

]

B =

[−2 1

−3 1

]

C =

[2 −3

1 −1


A X = B X + C


Respuesta:



1. {−2 + 2x + x2,−2x− 3x2,−3 + 2x + 5x2}2. {−6 + 3x + 12x2, 1− 4x + 2x2, 3− 5x− 2x2,−1− 3x + 6x2}3. {4− 4x− 5x2, 3 + x− 6x2}4. {6− 4x + 4x2, 1 + x− 5x2,−27 + 23x− 35x2}

Respuesta:

algebra lineal - tec · algebra lineal tercer examen parcial maestro eduardo uresti, enero-mayo...

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