algebra lineal

ETS DE INGENIEROS DE MONTES PRIMER CURSO

GRUPO B EJERCICIOS DEL TEMA 7

Series. Integrales Impropias

© Ignacio López Torres 2008 Reservados todos los derechos. Prohibida la reproducción total o parcial sin autorización del autor.

Ejercicios del Tema 7. Series numéricas. Integrales impropias.

Ejercicio 1.

Estudia el carácter de las siguientes series:

1.1.∞P=1

¡1 + 1

3+ 1

32+ + 1

3

¢(Sol.: Divergente).

1.2.∞P=1

5·6·7···(+1)1·2·3··(+2)·(+3) (Sol.: Convergente).

1.3.∞P=1

− log4√5 (Sol.: Convergente).

1.4.∞P=1

³3p+

23 − 3√´

(Sol.: Divergente).

1.5.∞P=1

(cos(√+1)−cos(√))

sen√

+1+√

2

(Sol.: Divergente).

1.6.∞P=1

1

1+ 1

(Sol.: Divergente).

1.7.∞P=1

3!(Sol.: Convergente).

1.8.∞P=1

tan¡+

¢, con ∈ R y 0

4(Sol.: Convergente).

1.9.∞P=1

3+2

(Sol.: Convergente).

1.10.∞P=2

1(log)log(log)

(Sol.: Divergente).

1.11.∞P=1

3

2 arctan (Sol.: Convergente).

1.12.∞P=1

13145 +1

(Sol.: Divergente).

1.13.∞P=1

1·3·5··(2−3)·(2−1) (Sol.: Divergente).

1.14.∞P=1

³1√− 1´

(Sol.: Divergente).

1.15.∞P=2

³log(+1)

log− 1´

(Sol.: Divergente).

1


1.16.∞P=1

1

32 4

¡2

¢(Sol.: Convergente).

1.17.∞P=1

sen 1

(Sol.: Divergente).

1.18.∞P=1

¡1− cos 1

¢(Sol.: Convergente).

1.19.∞P=1

13log


1.20.∞P=1

tan (Sol.: Divergente).

1.21.∞P=3

1

log√(log)2−1


1.22.∞P=1

1(1+(log)2)


1.23.∞P=1

−1+−2 (Sol.: Divergente).

1.24.∞P=1

1cosh


1.25.∞P=1

1cosh2


1.26.∞P=2

1

12 (log)

35

(Sol.: Divergente).

1.27.∞P=2

1 log

(Sol.: Divergente).

1.28.∞P=2

log(log)

log(Sol.: Divergente).

1.29.∞P=3

1 log log(log)

(Sol.: Divergente).

1.30.∞P=1

cos¡+

¢, con ∈ R y 0

2(Sol.: Convergente).

1.31.∞P=1

1

(1+ 12+ 13++ 1

)(Sol.: Divergente).

1.32.∞P=2

1+ 12+ 13++ 1

54 log


2


1.33.∞P=1

( √− 1) (Sol.: Convergente).

Ejercicio 2.

Estudia el carácter de las siguientes series, según los valores de los parámetros

y , siendo ∈ R:

2.1.∞P=1

·! , siendo 6= 0 Sol.: Convergente ∀ ∈ R, con 6= 0.

2.2.∞P=1

³+1++1

+

´, siendo 0 y 0.

Sol.:

1) : Si 1, divergente; si 1, convergente; si = 1 (y 1),

convergente.

2) : Si 1, divergente; si 1, convergente; si = 1 (y 1),

convergente.

3) = : Si 1, convergente; si ≥ 1, divergente.

2.3.∞P=0

(+2)(+4)(+2)

(+3)(+5)(+7)(+2+3), siendo ∈ R Sol.: Si − 1,

convergente; si − ≥ 1, divergente.

2.4.∞P=1

, con 6= 0 Sol.: Si || 1, convergente; si || ≤ 1, diver-

gente.

2.5.∞P=1

!√ Sol.: convergente ∀ ∈ R.

2.6.∞P=1

·!

Sol.:

Si || 1, divergente; si || 1, convergente; si = 1, convergente; si

= −1, convergente.

2.7.∞P=1

·! , con 6= 0Sol.:

Si || 1, divergente; si || 1, convergente; si = 1, divergente; si

= −1, divergente.

2.8.∞P=3

1 log(log(log))

Sol.: si 1, convergente; si ≤ 1, diver-gente.

2.9.∞P=1

(!)2

(2)!2 Sol.: si || 2, convergente; si || ≥ 2, divergente.

3


2.10.∞P=2

1− , siendo 0 Sol.: si 1, convergente; si ≤ 1,

divergente.

2.11.∞P=1

, siendo 0 Sol.: si 0 1, convergente; si ≥ 1,divergente.

Ejercicio 3.

Estudia la convergencia y la convergencia absoluta de las siguientes series:

3.1.∞P=1

(−1)+1 1√

Sol.: No es absolutamente convergente, y no es

convergente.

3.2.∞P=1

(−1) sen2

Sol.: Es absolutamente convergente (y por tanto

convergente).

3.3.∞P=1

(−1)−1 1

(log)32

Sol.: No es absolutamente convergente, pero

si es convergente.

3.4.∞P=1

(−1)−1−2 Sol.: Es absolutamente convergente (y por tanto

convergente).

3.5.∞P=1

(−1)−1 !


convergente).

3.6.∞P=1

(−1)+1 11+ 1

2+ 13++ 1

Sol.: No es absolutamente convergente,

pero si es convergente.

3.7.∞P=1

(−1)−1 1√(+1)(+2)

Sol.: Es absolutamente convergente (y

por tanto convergente).

3.8.∞P=1

(−1) sen

Sol.: No es absolutamente convergente, pero si es

convergente.

3.9.∞P=1

(−1) cos

Sol.: No es absolutamente convergente, y no es

convergente.

3.10.∞P=1

(−1)−1 1cosh


convergente).

4


3.11.∞P=1

(−1) ¡√+ 1−√¢ Sol.: No es absolutamente convergente,

pero si es convergente.

Ejercicio 4.

Prueba que las series siguientes son convergentes, obtén una aproximación

a su suma con un error menor que 10−3, e indica si dicho error es por exceso opor defecto:

4.1.∞P=1

(−1)−1 12

Sol.: Para obtener una aproximación a la suma de

esta serie con un error menor que 10−3, es necesario sumar los primeros 31términos, mediante la cuál es ' 0822971. Una cota del error cometidoes || ≤ 1

322 10−3. El error es por exceso.

4.2.∞P=1

(−1) 2!


esta serie con un error menor que 10−3, es necesario sumar los primeros 9términos, mediante la cuál es ' −0864903. Una cota del error cometidoes || ≤ 210

10! 10−3. El error es por defecto.

4.3.∞P=1

(−1)−1 !


esta serie con un error menor que 10−3, es necesario sumar los primeros 8términos, mediante la cuál es ' 0655157. Una cota del error cometidoes || ≤ 9!

99 10−3. El error es por defecto.

4.4.∞P=1

(−1) sen


esta serie con un error menor que 10−3, es necesario sumar los primeros3141 términos, mediante la cuál es ' 0521521. Una cota del error

cometido es || ≤ sen 3142

10−3. El error es por defecto.

4.5.∞P=1

(−1)−1 1cosh

Sol.: Para obtener una aproximación a la suma

de esta serie con un error menor que 10−3, es necesario sumar los primeros7 términos, mediante la cuál es ' 0455303. Una cota del error cometidoes || ≤ 1

cosh 8 10−3. El error es por exceso.

Ejercicio 5.

Estudia el carácter de las siguientes series, sumándolas en caso de conver-

gentes:

5


5.1.∞P=1

1(+1)(+2)

Sol.: Telescópica. = 14− 1

2(+1)(+2). Por

tanto, = 14.

5.2.∞P=1

24+32+4

Sol.: Telescópica. =12− 1

2++2. Por tanto,

= 12.

5.3.∞P=1

(−1) 22+44+32+4

Sol.: Telescópica. = −12 − (−1)2++2

. Por

tanto, = −12.

5.4.∞P=2

log¡1− 1

2

¢Sol.: Telescópica. = − log 2 − log

+1. Por

tanto, = − log 2.

5.5.∞P=4

2(−1)2!

Sol.: Exponencial. = 7− 8.

5.6.∞P=

1

(), con ∈ R y 1. Sol.: Hipergeométrica. =

−1 .

5.7.∞P=0

(+1)(+2)(+)

(+1)(+2)(+), con ∈ R y 6= . Sol.: Hiperge-

ométrica. Converge sii +1. En caso de convergente, =(+1)

(−−1)+.

5.8.∞P=1

2+33+3

Sol.: Aritmético-geométrica. = 19.

5.9.∞P=1

(+1)(+2)

2Sol.: Aritmético-geométrica. = 48.

5.10.∞P=1

¡12+ +1

¢Sol.: Geométrica + Aritmético-geométrica. =

2

(−1)2 .

Ejercicio 6.

En el supuesto de que las series de números reales positivos∞P=1

y∞P=1

sean convergentes, responder razonadamente a las siguientes preguntas:

6.1. ¿Son convergentes las series∞P=1

2 y∞P=1

2? Razona la veracidad o

falsedad de la proposición recíproca.

6.2. ¿Es convergente la serie∞P=1

( + )?

6



√?


?


( · +1) 12 y∞P=1

( · +1) 12 ?

6.6. Si, además, la sucesión () es monótona decreciente ¿Es convergente la

serie∞P=1

?


2?


12( + +1) y

∞P=1

12( + +1)?

Una solución.

6.1. En el supuesto de que las series de números reales positivos∞P=1

y∞P=1

sean convergentes, las series∞P=1

2 y∞P=1

2 también son convergentes. En

efecto, aplicando el criterio de comparación por paso al límite, dado que

lim2= lim = 0 (al ser

∞P=1

convergente, observa que necesaria-

mente es lim = 0) y que la serie∞P=1

es convergente, resulta que la

serie∞P=1

2 también es convergente (Id. para∞P=1

2 en relación a∞P=1

).

Observa que esta propiedad no se verifica si las series son de términos

cualesquiera. En efecto, la serie∞P=1

(−1) 1√es convergente, pero la serie

∞P=1

³(−1) 1√

´2=∞P=1

1es divergente.

La proposición recíproca es la siguiente: "Supongamos que las series de

números reales positivos∞P=1

y∞P=1

verifican que las series∞P=1

2 y

∞P=1

2 son convergentes. Entonces, las series∞P=1

y∞P=1

son conver-

gentes". Es evidente que la proposición es falsa (un contraejemplo: la

serie armónica∞P=1

1).

7



y∞P=1

sean convergentes, vimos en la parte de teoría que la serie∞P=1

( + )

es convergente, y su suma es +, donde =∞P=1

y =∞P=1

.


y∞P=1

sean convergentes, hemos visto que la serie∞P=1

( + ) es convergente.

Aplicando la desigualdad existente entre la media aritmética y la media

geométrica, probada en la parte práctica del tema 1, dep · ≤ +

2

se sigue, aplicando el criterio de la mayorante convergente, que la serie∞P=1

√ es convergente.


y∞P=1

sean convergentes, sabemos que las series∞P=1

( + ),∞P=1

2,∞P=1

2 y

∞P=1

( + )2también son convergentes, por lo que de

· = 1

2

³( + )

2 − 2 − 2

´se sigue que la serie

∞P=1

también es convergente.

Observa que esta propiedad no se verifica si las series son de términos

cualesquiera. En efecto, la serie∞P=1

(−1) 1√es convergente, pero la serie

∞X=1

µ(−1) 1√

¶µ(−1) 1√

¶=

∞X=1

1

es divergente.


y∞P=1

sean convergentes, es evidente que las series∞P=1

+1 y∞P=1

+1, también

son convergentes, por lo que del apartado 6.4. se sigue que las series∞P=1

( · +1) 12 y∞P=1

( · +1) 12 también son convergentes.

8



y

∞P=1

sean convergentes, y que la sucesión () sea monótona decreciente,

veamos en primer lugar que la sucesión () está acotada. En efecto, dado

que ∀ ∈ N es +1 ≤ , de

(+ 1)+1 ≤ (+ 1) = + ,

dando valores a y sumando ordenadamente, se sigue que

(+ 1) ≤ 1 + 1 +,

donde y representan, respectivamente, el término -ésimo de la

sucesión de sumas parciales de la serie∞P=1

y la suma de dicha serie.

Por tanto, existe un número real positivo tal que ∀ ∈ N es

≤ ,

por lo que la serie∞P=1

, al estar mayorada por la serie∞P=1

=

∞P=1

, es convergente.

6.7. En general, la serie∞P=1

2 no es convergente, como se puede ver con el

contraejemplo de las series∞P=1

1

32

y∞P=1

1

32

, que son ambas convergentes,

pero la serie∞X=1

21

32

1

32

=

∞X=1

1

no es convergente.


y∞P=1

sean convergentes, es evidente que las series∞P=1

+1 y∞P=1

+1, también

son convergentes, por lo que del apartado 6.2. se sigue que las series∞P=1

12( + +1) y

∞P=1

12( + +1) también son convergentes.

Ejercicio 7.

Razona la veracidad o falsedad de las siguientes afirmaciones:

7.1. Si lim = 0, entonces la serie∞P=1

es convergente.

9


7.2. Si la serie∞P=1

es divergente, entonces la serie∞P=1

|| es divergente.

7.3. Si es () la sucesión de sumas parciales de la serie∞P=1

, y () está

acotada, entonces la serie∞P=1

es convergente.

7.4. Si se verifica que 0 ≤ ≤ , ∀ ∈ N, y la serie∞P=1

es divergente,

entonces la serie∞P=1

también es divergente.

7.5. La serie∞P=1

− cosh es convergente ∀ ∈ R.

7.6. Si 0∀ ∈ N, y la serie∞P=1

es convergente, entonces la serie

∞P=1

(−1) también es convergente.

7.7. Si 0∀ ∈ N, y la serie∞P=1

1+

es convergente, entonces la serie

∞P=1


7.8. Si son ∈ R y : [+∞) → R una función integrable en [ ]∀ ∈ R,con ≥ , tal que lim

→+∞() = +∞, entonces la integral R +∞

() es

divergente.

7.9. La integralR +∞1

− cosh es divergente ∀ ∈ R.7.10. Si son ∈ R y : [+∞) → R una función integrable en [ ]∀ ∈ R,

con ≥ , tal que la integralR +∞

() es divergente, entonces la integralR +∞

|()| también es divergente.

7.11. La integral impropiaR +∞1

− cosh 1 1(log )

es convergente ∀ ∈ R.

7.12. Si son ∈ R y : [+∞)→ R una función continua en [+∞) tal quelim

→+∞() = 0, entonces la integral

R +∞

() es convergente.

7.13. Si las integrales impropiasR +∞

() yR +∞

() son ambas conver-

gentes, entoncesR +∞

( + )() también es convergente.

7.14. Si son ∈ R y : [+∞)→ R dos funciones continuas en [+∞) talesque () ≤ ()∀ ∈ [+∞) y que R +∞

() es convergente, entonces

la integralR +∞

() es también convergente.

10


7.15. Si son ∈ R y : [+∞)→ R dos funciones continuas en [+∞) talesque () ≤ ()∀ ∈ [+∞) y que R +∞

() es divergente, entonces

la integralR +∞

() es también divergente.

Una solución.

7.1. Falso. Se puede poner como contraejemplo la serie∞P=1

1, que es divergente

siendo lim 1= 0.

7.2. Verdadero. Se trata de la proposición contrarecíproca de "Si una serie es

absolutamente convergente, entonces es convergente".

7.3. Falso. Se puede poner como contraejemplo la serie∞P=1

(−1), cuya suce-sión de sumas parciales está acotada, pero no es convergente.

7.4. Falso. Se puede poner como contraejemplo las series∞P=1

1(divergente) y

∞P=1

12(convergente), que verifican la condición de que ∀ ∈ N,

0 ≤ 1

2≤ 1

.

7.5. Falso. Es evidente que la serie∞P=1

− cosh =∞P=1

1cosh

converge ∀ ∈ Rtal que 6= 0.

7.6. Verdadero, ya que, si 0∀ ∈ N, y la serie∞P=1

es convergente,

entonces la serie∞P=1

(−1) es absolutamente convergente, y por tantoconvergente.

7.7. Verdadero. Dado que 0∀ ∈ N y que, al ser∞P=1

1+

convergente,

se verifica que lim 1+

= 0, se sigue (al ser 1 + 1∀ ∈ N) quelim = 0, por lo que de

lim1+

= lim(1 + ) = 1,

resulta (aplicando el criterio de comparación por paso al límite) que∞P=1


7.8. Verdadero. Se sigue de la definición de integral impropia de Tipo I.

11


7.9. Falso. La integralR +∞0

− cosh es convergente ∀ ∈ R tal que 6= 0.7.10. Verdadero. Se trata de la proposición contrarecíproca de "Si una integral

impropia es absolutamente convergente, entonces es convergente".

7.11. Verdadero. Dado queZ +∞

1

− cosh 11

(log ) =

Z +∞

1

1

cosh 1(log ),

y que cosh 1 1, la integral impropia es convergente ∀ ∈ R (ver el

ejemplo 5.4.1.2. de la parte teórica de integrales impropias).

7.12. Falso. Como contraejemplo, se puede tomar la función : [1+∞) → Rdefinida mediante () = 1

, que es continua en [+∞) y verifica que

lim→+∞

() = 0, pero la integralR +∞1

1 es divergente.

7.13. Verdadero. Se sigue de la definición de integral impropia de Tipo I.

7.14. Falso. Como contraejemplo, se pueden tomar las funciones : [1+∞)→R definidas mediante () = 1

2, () = −, que son ambas continuas en

[1+∞), cumplen que () ≤ ()∀ ∈ [1+∞) y verifican que la integralR +∞1

12 es convergente, pero la integral

R +∞1

(−) es divergente.7.15. Falso. Como contraejemplo, se pueden tomar las funciones : [1+∞)→

R definidas mediante () = 12, () = − 1

, que son ambas continuas en

[1+∞), cumplen que () ≤ ()∀ ∈ [1+∞) y verifican que la integralR +∞1

12 es convergente, pero la integral

R +∞1−1

es divergente.

Ejercicio 8.

Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias:

8.0.R +∞1

2+12(+1)2

(Sol.: Convergente, y su valor es 12).

8.1.R +∞0

(1+2)√2+1


8.2.R +∞1

√2+1

(Sol.: Convergente, y su valor es arg tanh√22).

8.3.R −√+√−, con ∈ R y 0 (Sol.: Convergente, y su valor es

).

8.4.R +∞2

1+−22 (Sol.: Convergente, y su valor es 1

3(log 2− log 5)).

8.5.R 10

1+−22 (Sol.: Divergente).

8.6.R +∞0

(2+2+2)2

(Sol.: Convergente, y su valor es 18 − 1

4)

12


8.7.R +∞0

+1

(Sol.: Convergente, y su valor es log 2).

8.8.R +∞0

242+25

(Sol.: Divergente).

8.9.R +∞2

log

(Sol.: Divergente).

8.10.R +∞2

√3 log


8.11.R 7−1(+ 1)

− 13 (Sol.: Convergente, y su valor es 6).

8.12.R +∞1

− cosh 2 (Convergente, y su valor es 1cosh 2−1).

8.13.R 21

√

log (Sol.: Divergente).

8.14.R 10

log

(Sol.: Divergente).

8.15.R 4−1

√4+3−2 (Sol.: Convergente, y su valor es ).

8.16.R +∞0

− cos , siendo ∈ R y 0 (Sol.: Convergente,

y su valor es 2+2

).

8.17.R +∞1

−2


8.18.R +∞1

sen2 2


8.19.R +∞0

sen3√2 (Sol.: Convergente).

8.20.R +∞−∞ −

2

(Sol.: Convergente, y su valor es√).

8.21.R +∞0

senh (Sol.: Divergente).

8.22.R +∞0

cosh


8.23.R −

√2−2 , con ∈ R y 0 (Sol.: Convergente, y su valor es

).

8.24.R +∞0

sen2

, con ∈ R (Sol.: Convergente para 1 3).

8.25.R

2

0sen2√cos


8.26.R

2

0

sen·√cos (Sol.: Divergente).

Ejercicio 9.

Partiendo del resultado Z +∞

0

sen

=

2

13


(cuya demostración no se pide), estudia la convergencia y, en caso de conver-

gente, obtén el valor de las integrales siguientes:

9.1. 1 =R +∞0

sen cos

.

9.2. 2 =R +∞0

sen2 2

.

9.3. 3 =R +∞0

sen2 cos2 2

.

9.4. 4 =R +∞0

sen4 2

.

9.5. 5 =R +∞0

sen4 4

.

9.6. 6 =R +∞0

(1−cos )24

.

9.7. 7 =R +∞0

1−cos2 2

.

9.8. 8 =R +∞0

sen2 3

.

Una solución.

9.1.

1 =

Z +∞

0

sen cos

=

1

2

Z +∞

0

sen 2

(1)=1

2

Z +∞

0

sen

=

4

En (1) se ha aplicado el cambio de variable 2 = .

9.2.

2 =

Z +∞

0

sen2

2

(2)= lim

→+∞

µ−sen

2

¶+ lim

→0+

µ−sen

2

¶+ 21 =

2

En (2) se ha integrado por partes con = sen2 y = 2.

9.3.

3 =

Z +∞

0

sen2 cos2

2 =

1

4

Z +∞

0

sen2 2

2

(3)=1

2

Z +∞

0

sen2

2 =

4

En (3) se ha aplicado el cambio de variable 2 = .

9.4.

4 =

Z +∞

0

sen4

2 =

Z +∞

0

sen2 (1− cos2 )2

= 2 − 3 =

4

14


9.5.

5 =

Z +∞

0

sen4

4

(4)= lim

→+∞

µ−sen

4

33

¶+ lim

→0+

µ−sen

4

33

¶+

+4

3

Z +∞

0

sen3 cos

3

En (4) se ha integrado por partes con = sen4 y = 4. Los dos

límites son 0, y la integralR +∞0

sen3 cos 3

se puede resolver por partes

tomando = sen3 cos, y = 3. Finalmente, se obtiene

5 =4

3(3

23 − 1

24) =

3

9.6.

6 =

Z +∞

0

(1− cos)24

= 4

Z +∞

0

sen4 2

4

(5)=1

2

Z +∞

0

sen4

4 =

1

25 =

=

6.

9.7. Evidentemente, 7 = 2 =2. No obstante, observa que

7 =

Z +∞

0

1− cos2 2

=

Z +∞

0

1

2−

Z +∞

0

cos2

2,

donde las integralesR +∞0

12 y

R +∞0

cos2 2

son ambas divergentes.

9.8. Del ejercicio 8.24. se deduce que 8 es divergente.

Ejercicio 10.

10.1. Prueba que la serie∞P=1

(−1)−1 12−1 es convergente.

10.2. Prueba que la serie∞P=1

(−1)−1 12es convergente.

10.3. Para cada ∈ N, se define =R

4

0tan . Obtén una fórmula

recurrente que exprese +2 en términos de y de (Sugerencia: Integra

en la identidad tan+2 = (1 + tan2 ) tan − tan ). Deduce que lasucesión () es convergente, y calcula lim

→+∞.

10.4. Sustituye sucesivamente en la fórmula anterior = 0 2 4 6 2 − 2,para obtener la suma parcial -ésima de la serie

∞P=1

(−1)−1 12−1 . Deduce

de dicha expresión la suma de esta serie.

15


10.5. Sustituye sucesivamente en la fórmula anterior = 1 3 5 7 2 − 1,para obtener la suma parcial -ésima de la serie

∞P=1

(−1)−1 12. Deduce

de dicha expresión la suma de esta serie.

Una solución.

10.1. Aplicando el criterio de Leibniz, dado que 12−1 0∀ ∈ N, que

³1

2−1´

es una sucesión monótona decreciente, y que lim 12−1 = 0, resulta que la

serie∞P=1

(−1)−1 12−1 es convergente.

10.2. Aplicando el criterio de Leibniz, dado que 12

0∀ ∈ N, que ¡ 12

¢es

una sucesión monótona decreciente, y que lim 12= 0, resulta que la serie

∞P=1

(−1)−1 12es convergente.

10.3. Integrando en la identidad dada en el intervalo [0 4], fácilmente se llega

a

+2 =1

+ 1− .

Pasando al límite en esta expresión, observamos que, en caso de que la

sucesión () sea convergente, su límite es lim = 0. Por otra parte, de

0 ≤¯̄̄̄¯Z

4

0

tan

¯̄̄̄¯ ≤

Z 4

0

tan =1

2log 2,

se deduce que () está acotada. Dado que () es también monótona

decreciente, se deduce que () es convergente.

10.4. Dando los valores = 0 2 4 6 2 − 2, y sumando y restando alterna-tivamente miembro a miembro, se llega fácilmente a

2 =

X=1

(−1)−1 1

2− 1 − 0,

de donde se sigue pasando al límite que

∞X=1

(−1)−1 1

2− 1 = 0 =

4.

10.5. Dando los valores = 1 3 5 7 2 − 1, y sumando y restando alterna-tivamente miembro a miembro, se llega fácilmente a

2+1 =

X=1

(−1)−1 12− 1,

16


de donde se sigue pasando al límite que

∞X=1

(−1)−1 12= 1 =

log 2

2.

17


algebra lineal

Documents