UNIVERSIDAD FERMIN TORO VICERRECTORADO ACADEMICO

FACULTAD DE INGENIERIA CABUDARE ESTADO LARAT

Mi revista!!!

Alumna: Lislour Delgado C.I 20.500.624 Algebra lineal SAIA A

Tal como sucede en los espacios de vectores de dimensión 2 y 3, un vector se puede expresar de una sólo manera como combinación lineal de los elementos de una base.

Un vector X se dice que es combinación lineal de un conjunto de vectores

si existe una forma de expresarlo como suma de parte o todos los vectores de A multiplicados cada uno de ellos por un coeficiente escalar A1, a2,…an

En álgebra lineal, el proceso de ortogonalización de Gram–Schmidt es un algoritmo para construir, a partir de un conjunto de vectores de un espacio prehilbertiano (usualmente, el espacio euclídeo Rn), otro conjunto ortonormal de vectores que genere el mismo subespacio vectorial.

Las bases ortogonales, las cuales son muy convenientes, permiten calcular las componentes de cada vector en dicha base, de manera singular. Definición. Los vectores que forman una base ortogonal son perpendiculares entre sí. Cualquier vector del plano se puede poner como combinación lineal de los vectores que forman la base.

Mínimos cuadrados es una técnica de análisis numérico encuadrada dentro de la optimización matemática, en la que, dados un conjunto de pares (o ternas, etc), se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un "mejor ajuste"), de acuerdo con el criterio de mínimo error cuadrático.

A continuación se presenta el siguiente ejercicio Nº1 para verificar si el siguiente conjunto es ortogonal:

( -1 , 4, -3 ) , ( 3 , -4 , -7) , (5 , 2 , 1 )

Se resuelve de la siguiente manera:

( -1 , 4 , -3 ) (3 , -4 , -7 ) = -3 -16 +21= 2 ≠ 0

( -1 , 4 , -3 ) (5 , 2 , 1 ) =-5 +8 -3 = -8 +8 = 0

( 3 , -4 , -7 ) ( 5 , 2 , 1 ) = 15 – 8 – 7 = 0

(-1 , 4 , -3 ) (3 , -4 , -7 ) ≠ 0

Para que sea ortogonal el resultado debe ser todos iguales a cero en este caso: (-1 , 4 , -3 ) (3 , -4 , -7 ) ≠ 0

Por lo tanto en este ejercicio se puede observar cuando NO es

ortogonal

Ahora el ejercicio Nº2 para un conjunto de vectores ortogonales:

U = ( 0 , 1 ,0 ) ; V = ( 0 , -1 , 0 ) Se resuelve asi:

= 1

+

= 1

.

= ( 0 , 1 , 0 ) ( 0 , -1 , 0 ) = 0 -1 + 0 = -1

No son ortogonales por al igual que el ejercicio anterior

≠ 0 y

≠ 0

Para este próximo ejercicio Nº3: se construye la base ortogonal

por el procedimiento del Gram Schmidt

B = { ( - 2 , 6 ) , ( - 3 , 8 ) }

= ( -2 , 6 ) ; Se resuelve de la siguiente manera

= ( -3 , 8 )

Se toma en cuenta el vector X1 y lo defino de la siguiente manera

(P1 para darle un nombre):

=

/ |

= 1 /

. (-2 , 6 )

1 /

.(-2 , 6 )

1 /

( -2 , 6 ) =

= ( -2 /

, 6 /

) = ( -2

/40 , 6

/40 ) = ( -

/20 ,

3

/ 20 )

Ahora se considera al vector 2 y lo defino como

=

= ( X2 ,

)

(

,

)= (-3 , 8 ) . ( -

/ 20 ; 3

/ 20 )

3

/ 20 + 24

/ 20

3

+ 24

/ 20

27

/20

= ( -3 , 8 ) – 27

/ 20 . ( -

/ 20 ; 3

/20

= ( -3 , 8 )- (27 (

/ 400 ; 81 (

/ 400)

= ( -3 , 8 ) - ( 27 . 40 / 400 ; 81. 40 / 400

= (-3 , 8 ) – ( 1080 /400 ; 3240 / 400 )

= ( -3 ,8 ) – ( 27 /10 ; 81 / 10 )

= (-3 – 27/10 ; 8 -81/10 )

= ( - 57 /10 ; -10 / 10 )

Para buscar P2 se resuelve de la siguiente manera:

=

/ |

|= 1 /

. ( -

,

)

= 1 /

. ( -

,

)

= 1 /

= (-

,

))

El conjunto ortogonal quedaría de la siguiente manera:

= ( -

/20 ; 3

/20 ) ; 1 /

( -

,

)

Como ejercicio Nº4:

Nos enfócanos en un conjunto que forma para R3

{(2, 1, 3), (1, 2, 1), (1, 1, 4), (-1, 1, 5)} y verifique al conjunto base, si genera al vector (2, 1, 3). Po estudio digo que ; si L1 , L2 , L3 , L4 € |R ; De forma que: L1 ( 2 ,1 ,3 ) + L2 ( 1, 2 ,1 ) + L3 ( 1,1,4)+ L4 ( -1, 1 , 5) = (0 ,0 , 0 ) 2L1 +L2+L3-L4=0 L1+2L2+L3+L4=0 3L1+L2+4L3+5L4=0 F1 4 F2

F2 – 2F1 F2 F3 – 3F1F3

F2/-1 F2

F1 -2 F2 F1 F3 + 5F2 F1 1 2 1 1 0 0 1 1/3 1 0 0 -5 1 2 0 3/8 F3 F3 1 0 1/3 -1 0 0 1 1/3 1 0 0 0 0/3 7 0 F1-1/3 F3 F1 F2 – 1/3 F1 F2 1 0 1/3 -1 0 0 1 1/3 1 0 0 0 1 21/8 0

L1 – 15 / 8 L4 = 0 L1= 15/8 L4

L3 + 21/ 8L4 = 0 L3= 21 /8 L4

Por lo tanto el sistema posee infinitas soluciones, por lo tanto el conjunto de

vectores no forma un conjunto L.I por eso digo que no es de base

Ahora como ejercicio Nº5

Utilizando el método de los mínimos cuadrados, calcular la solución

aproximada del sistema de ecuaciones

2x +y =3

X -2y =0

3x –y =-2

procede a resolver por mínimos cuadrados de la siguiente forma:

. A

=

Por formula extraídas de los conceptos: Digo que: A= 2 1 1 -2 3 -1 2 1 3

= 1 -2 -1

= X Y 3 b= 0 2 2 1 3 2 1 X = 2 2 3 3 1 -2 -1 3 -1 Y 1 -2 -1 0 2

4 + 1 9 2 -2 -3 X 6 0 6 1 - 2 -3 1 +4 +1 Y = 6 0 -2 Continúa de la siguiente forma: 14 -3 X = 12 -3 6 Y 1 Se resuelve de la siguiente manera: 3/14 14 X - 3Y = 12 -3X + 6Y=1 42x+94= 36 -42+844=14 754= 50 Y= 50/75= 2/3 -3x+6.2/3=1 -3x+4=1 -3x= 1-4 X= -3/3 = 1

La solución de este sistema es por mínimos cuadrados X= 1 2/3