Algebra Lineal

Autores:

Sofia Mendez

Miguel Novella

Diego Perez

Pablo Garcia

Vectores

Características:

• Tiene sentido, dirección y magnitud

• Puede descomponerse entre sus diferentes componentes

• Representan fenómenos físicos

• Se representa su dirección utilizando angulos de separación o elevación con respecto a un

punto de referencia

Definición:

Es un segmento de recta dirigido que va de un punto inicial hacia un punto final. Puede

representarse de las siguientes maneras:

• ���� Siendo este la representación de un vector que va desde un punto inicial A a

un punto final B.

• También es posible usar únicamente �→ como representación teniendo esta

componentes [x, y].

Algunos tipos de vectores:

• Vectores equivalentes: son vectores A y B que comparten una misma magnitud y

dirección.

• Vectores en posición estándar: cuando el punto inicial coincide con el sistema de

coordenadas.

Propiedades:

a) U x v = -(v x u)

b) U x u = 0

c) U x kv = k(U x v)

d) U x 0 = 0

e) U . (v x w)=( U x v) . w

f) U x (v + w)=( U x v) + (u x w)

g) U + v = v + u

h) U +(v + w) =( U + v) + w

i) U +(- u) = 0

j) U + 0 = u

k) c(U + v) = cu + cv

l) (c+d)u = cu + du

m) c(du) = (cd)u

n) 1u = u

• Vectores paralelos: Se consideran vectores paralelos aquellos que son múltiplos escalares

entre sí.

Notación: �→ || �→

• Vectores ortogonales (perpendiculares): Cuando el Angulo entre los dos vectores es recto.

Notacion: �→⫠ �→

• Vector unitario: es un vector con magnitud o longitud igual a uno.

RECTAS

• Rectas en R2 y R3

En el plano xy, general de la ecuación de una recta es ax+by=c. si b≠0, entonces la ecuación puede

reexpresarse como = − � � +

�� , lo cual tiene forma de y=mx+k [Ésta es la forma con

intercepción al origen; m es la pendiente de la recta, y el punto con coordenadas (0, k) es la

intercepción en y.]

• Vector Normal

Es aquel vector que es perpendicular a la recta, es decir, es octogonal a cualquier vector que sea

paralelo a la recta y se denota con la letra n, la ecuación n

.x=0 es la forma normal de la ecuación

de la recta.

• Vector Dirección

Es un vector particular paralelo a la recta L, se denota con la letra d y la forma vectorial es x=td.

FORMA NORMAL

FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE L

FORMA VECTORIAL DE LA ECUACIÓN DE UNA RECTA L EN R2 o R

3

� = � + t�

Donde p es un punto específico

sobre L y d≠0 es un vector de

dirección L

La forma normal de la ecuación de una recta L en

R2 es

� ∙ �� − �� = ��� ∙ � = � ∙ �

Donde p es un punto específico sobre L y n≠0 es

un vector normal para L

�� + � = ! Donde � = "��" es un vector

normal para L

ECUACIONES PARAMÉTRICAS

Ecuaciones Paramétricas son aquellas correspondientes a las componentes de la forma vectorial

ECUACIONES SIMÉTRICAS

Las Ecuaciones Simétricas se obtienen al despejar t en las ecuaciones paramétricas

� − #$%$

= y − #'%'

= z − #)%)

= �* + +,*- = �. + +,.

� = �/ + +,/