algebra lineal

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Vectores, primera parte. Breve descripción de lo que es un vector y algunas de las operaciones que se pueden llevar a cabo.

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  • Vector Segmento de recta dirigido que representa el desplazamiento desde su punto A hasta otro punto B. A se conoce como el punto inicial u origen y B como punto terminal o punta.

    *Cuando A esta en el origen se considera que esta en posicin estndar. Notacin: ; v = ; = Para encontrar el vector se tiene que restar B menos A. Forma de escribir:

    o Si = (2, 1) entonces = = [2, 1] (vector rengln) o 21 (vector colmna). o Las coordenadas individuales (1, 1) son conocidas como componentes del vector .

    Caractersticas: o Magnitud: conocido tambin como longitud, norma o tamao.

    o Direccin: medida en radianes.

  • Operaciones con vectores:

    Suma Sean = [!, !] y = [!, !]se define la suma: o + = ! + !, ! + ! o Propiedades de la suma de vectores:

    : + = + : + + = + ( + ) ( ): + 0 = : + = : 0 butiva: ( + ) = + Distributiva: ( + ) = +

    Multiplicacin por un escalar Sea c un escalar y = [!, !] :

    o c = [!, !] o Propiedades

    Asociativa: = Distributiva: ( + ) = + Distributiva: ( + ) = + Elemento Neutro: 1 =

    o Caracterstica: Misma direccin que el vector. El mismo sentido del vector si la constante es positiva. Sentido contrario si la constante es negativa. Si 0

  • Resta Sean = [!, !] y = [!, !]se define la resta: o + = = ! !, ! !

    Vectores iguales: son vectores que tienen la misma magnitud y la misma direccin. Vectores paralelos: si son mltiplos escalares mutuos. Vectores octogonales / perpendiculares: si el ngulo entre ellos de 90. Vector unitario: es un vector con longitud de 1. Normalizar un vector

    Es el proceso de encontrar un vector unitario en la misma direccin que el vector dado. o =

    Magnitud de un vector

    = ! + ! Direccin de un vector

    tan = !! = tan!! !! Dados dos vectores, = [,] y = [,]:

    Distancia entre y : o d(, ) = = ! !, ! ! = ! ! ! + ! ! !

    ngulo entre y : o El ngulo debe ser el menor entre los dos vectores. o cos = *se puede dar en radianes o grados.

    Producto punto/escalar: o = !, ! !, ! = !! + !!

  • Proyeccin de sobre : o El punto terminal del vector que se quiera proyectar debe tener 90 con el vector donde se proyectar. o Cuando el ngulo entre los vectores sea agudo la direccin del vector resultante ser la misma. o Cuando el ngulo entre los vectores sea obtuso la direccin del ngulo resultante ir en direccin contraria. o ! =

    Ecuaciones en una recta en R2

    Forma general ax + by=c Forma normal (con solo dos componentes) = * = es el vector normal perpendicular a la recta. es el vector en posicin estndar correspondiente a cualquier punto sobre la recta. es el vector en posicin estndar correspondiente a un punto conocido sobre la recta. Forma vectorial = + * es el vector direccin Forma paramtrica = ! + ! = ! + !

    Ecuaciones en un plano P en R3

    Forma general ax + by + cz = d Forma normal (con solo tres componentes)

  • = Forma vectorial = + + (tiene 2 parmetros y 2 componentes de direccin) *donde Forma paramtrica = ! + ! + ! = ! + ! + ! = ! + ! + !

    Ecuaciones en una recta en R3 En R3 , una recta es la interseccin de dos planos, por lo que se expresa la ecuacin de una recta en R3 en sus formas general y normal. Forma general ax + by + cz = d (plano 1) ax + by + cz = d (plano 2) Forma normal ! = ! ! ! = ! ! Forma vectorial = + Forma paramtrica = ! + ! = ! + ! = ! + ! Ecuaciones simtricas = !! = !! = !! *cuando una componente del vector direccin es cero(ej: ! = 0) las ecuaciones simtricas se

    dan as:

  • !! = !! ; = ! Distancia desde un punto F(fuera) hasta una recta 1. Encontrar (vector entre un punto conocido y el punto de fuera) 2. Encontrar ! 3. Encontrar ! 4. Calcular magnitud del vector ! Distancia desde un punto F(fuera) hasta una recta

    !

    Producto cruz o producto vectorial

    Notacin: Importante: el producto cruz esta definido sola para R3 el resultado es otro vector en R3 que es perpendicular a y .

    Definicin: = !!! y = !!! !!! !!! = !! !!!! !!!! !!