algebra lineal

D E P A R T A M E N T

ÁLGEBRA LINEAL O D E C I E N C I A S B Á S I C A S

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Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez Departamento de Ciencias Básicas

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Contenidos._____________________________________________________________________________

Unidad 1. MATRICES, DETERMINANTES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 2 Matrices. Operaciones con matrices. Matrices elementales. Matrices equivalentes. Operaciones elementales. Determinantes. Propiedades de los determinantes. Aplica- ciones de los determinantes. Matriz inversa. Sistemas de ecuaciones lineales. Rango de una matriz. Soluciones de un sistema de ecuaciones lineales. Interpretación geométrica.

Unidad 2. VECTORES, RECTAS Y PLANOS 64 Vectores en el espacio. Distancia entre dos puntos. Norma. Producto escalar. Producto vectorial. Rectas en el espacio. Planos en el espacio. Planos paralelos. Planos perpendiculares. Ángulos entre planos.

Unidad 3. ESPACIOS VECTORIALES 100 Definición. Propiedades de los espacios vectoriales. Subespa- cios vectoriales. Combinaciones lineales. Conjunto generador. Conjuntos linealmente dependientes. Conjuntos linealmente independientes. Base de un espacio vectorial. Dimensión. Caracterización de un subespacio vectorial. Operaciones con subespacios vectoriales.

Unidad 4. TRANSFORMACIONES LINEALES 122 Definición. Propiedades. Kernel. Imagen de una transformación. Nulidad. Rango. Teorema fundamental del álgebra lineal. Alge- bra de las transformaciones lineales. Matriz asociada a una transformación lineal.

BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 144

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UNIDAD 1

Matrices, Determinantesy

Sistemas de Ecuaciones Lineales.

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Matrices.________________________________________________________________________

Las matrices fueron creación del eminente matemático inglés Arthur Cayley(1821-1895). Como muchas invensiones matemáticas, la teoria y el álgebra de matricessurgieron como prolongación de sus investigaciones e intereses matemáticos primarios.Cayley estudió en el Trinity College, Universidad de Cambridge. A comienzos de sucarrera, mientras se dedicaba al estudio y a la práctica del derecho, realizó alguno desus descubrimientos matemáticos más brillantes, entre los que destacan: el desarrollodel álgebra de matrices, la teoría de la invarianza algebraica y su desarrollo de lageometría no dimensional. Sus trabajos en geometría cuatridimensional,proporcionaron a los físicos del siglo XX, especialmente a Albert Einstein, la estructurapara desarrollar la teoría de la relatividad.

El objetivo de esta primera unidad es revisar algunas ideas fundamentales sobrematrices y determinantes, y aplicarlas en la solución de sistemas de ecuaciones lineales.

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Matrices.

Definición: A una ordenación o arreglo rectangular de elementos (en este curso nos interesa que loselementos sean números) les llamaremos .MATRIZ

Ejemplos:

E œ F œ" $ #ß !"

# #

! "" #Œ Œ È "

# 1

G œ

# # !

" %

!ß " # $ " % !

Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

$#

Si hay filas y columnas, decimos que el orden de la matriz es , y nos referimos a ella7 8 7‚ 8como "matriz " o simplemente, como matriz rectangular.7‚ 8

E œ

+ + + ÞÞÞ Þ++ + + ÞÞÞ ++ + + ÞÞÞ +ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ+ + + ÞÞÞ +

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

"" "# "$ "8

#" ## #$ #8

$" $# $$ $8

7" 7# 7$ 78

Una matriz se llama matriz cuadrada y se dice que tiene orden .8 ‚ 8 8

F œ

+ + ÞÞÞ ++ + ÞÞÞ +ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ+ + ÞÞÞ +


"" "# "8

#" ## #8

8" 8# 88

El elemento en la -ésima fila y en la -ésima columna de una matriz de orden se denota3 4 E 7‚ 8como . Así, el elemento que ocupa la tercera fila y la cuarta columna es .+ +

34 $%

3era fila

4ta columna

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

3era fila

4ta columna

3era fila

4ta columna

44434241

34333231

24232221

14131211

aaaaaaaaaaaaaaaa

Ejemplos:

1) En la siguiente matriz . El elemento representa a aquél que está en la fila4

E œ + "$ %! &

Î ÑÏ Ò "#

1 y columna 2 , es decir , el 4.

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2) Si una matriz es de orden , entonces ésta tiene tres filas y dos columnas.$ ‚ #

3) El orden de la siguiente matriz es .$ ‚ $

E œ " # $! $ #" " #

Î ÑÏ Ò

Ejercicios:

I Determine el orden de las siguientes matrices.Ñ

+Ñ E œ ,Ñ F œ

$ #$ #" !# %

&!*


Î ÑÏ Ò

-Ñ G œ .Ñ H œ % #$ %$ "

" % ! '"

$

Î ÑÏ Ò Œ

II) De la matriz dada determine el número correspondiente al elemento pedido.4

E œ "$ %! &

Î ÑÏ Ò

i) ii) iii)+ œ + œ + œ$" ## $#

iv) v) + œ + œ"" $$

Respuestas:

I) a) es de orden E % ‚ # b) es de orden F $ ‚ " c) es de orden G $ ‚ # d) D es de orden 1 5‚II) i) ii) iii) iv) v) No existe ! % & "

Notación Matricial.

Para ahorrar tiempo y espacio, al escribir una matriz, es conveniente usar una notación especial.Se suele escribir y cuando se quiere señalar expresamente que la matriz es de orden , seE œ Ð+ Ñ 7 ‚ 8

34

denota .E7‚8

Ejemplo: Determine la matriz , si ; para y .E œ Ð+ Ñ + œ 3 4 3 œ "ß # ß $ 4 œ "ß #

34 34

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Respuesta: E œ# $$ %% &

Î ÑÏ Ò

Observación: es un conjunto numérico cualquiera.` Š Š 7‚ 8 Ð Ñß

Una matriz se dice racional, real o compleja según sea el conjunto en el que se encuentren losnúmeros del arreglo o elementos de la matriz (coeficientes de la matriz).

Ejemplo:

es el conjunto de matrices reales.` ‘7‚ 8 Ð Ñ

Ejercicios:

I Indique cuántas filas y columnas tiene cada una de las siguientes matricesÑ

a ) b) c) ` T U1 6 4 2‚ ‚ &‚%

II) ¿Qué puede decir de ) ?` ‚7‚8 Ð

Respuestas:

I) a) es una matriz con 1 fila y 6 columnasQ b) es una matriz de 4 filas y 2 columnasE c) es una matriz de filas y 4 columnasF &

II) ) es el conjunto de matrices complejas, con filas y columnas.` ‚7B8 Ð 7 8

La Diagonal Principal de una Matriz Cuadrada.

Se dice que los elementos , , ..... en una matriz cuadrada están sobre su + + + ß"" ## $$

diagonalprincipal. Por ejemplo, las diagonales principales de las siguientes matrices se resaltan en negrita.

; E œ F œ% '

& ! # (

%#

Î ÑÏ Ò Œ #

'*

"! (

Definición: Diremos que dos matrices y son iguales, cuando son del mismo orden y todos losE Felementos que se ubican en la misma posición, son iguales. Esto es, y son dos matricesE Figuales sí y solo si:

i) Eß F − ` ‘7‚8

a bii) ; donde y ˆ ‰ ˆ ‰+ œ , " Ÿ 3 Ÿ 7 " Ÿ 4 Ÿ 8

34 34

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Ejemplo: De la definición, tenemos:

È ÈÈ" # $

! # % "œ

!ß & % $

! Ð "Ñ # &

"#

"!!"!!

1 1

Pero ; puesto que los correspondientes elementos en la segunda fila noŒ Œ " # $ " # $% ! " " ! %

Á

son iguales.

También, puesto que las matrices no tienen el mismo orden.Œ Œ " " " " "" " " " "

Á

Ejemplo: Halle los valores de e si:B C

Œ Œ " #

B !œ

#C " #) !$

Solución: De la definición, igualamos los elementos correspondientes

y " œ #C " B œ )$

y #C œ # B œ )È$C œ " B œ # y

Ejercicios:

1.- Indique el orden de las siguientes matrices:

a) b) Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

È Œ # & "

! $#

* # " (

& !! &

1

c) d) a b Œ % " $" ! "" # $

e) E$‚&

2.- Dada la matriz E

; determine el valor del elemento que se indica:E œ

" # %! & %

& ! "

# !ß &

!ß $ "ß # $

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

ÈÈ

"#

$

a) b) + œ + œ"$ #"

c) d) + œ + œ%# ##

e) f) + œ + œ&" $%

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3.- Determine la matriz que satisfaga la condición dada:E%‚&

a) b) + œ 4 3 + œ #3 434 34

c) d) + + œ 3 #434œ $3 #4

34

#

4.- Halle los valores de las incógnitas de manera que se verifique la igualdad:

a) Œ Œ B $ $ $ " #C " )

œ

b) Œ Œ B C $ ' $% ! % B C

œ

c) Œ Œ Œ B C A " & #B C & !$A % ) " A " D

œ

d) Œ Œ Œ B C A " C B B A ' %C D #C #D ' " D

œ

Respuestas:

1.- a) b) c) $ ‚ $ # ‚ # " ‚ $ d) e) # ‚ $ $ ‚ &

2.- a) b) c) + œ % + œ ! + œ #"$ #" %#

d) e) f) No existe+ œ & + œ !ß $ + œ## &" $%

3.-

a) b) Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

! " # $ % " ! " # $ " ! " # $ $ # " ! " # " ! " # & % $ # " $ # " ! " ( ' & % $

c) d) Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

& ( * "" "$ $ & ( * "") "! "# "% "' ' ) "! "# "%"" "$ "& "( "* "" "$ "& "( "*"% "' ") #! ## ") #! ## #% #'

4.- a) B œ $ à C œ % b) B œ C œ $

c) ; B œ C œ à D œ & à A œ* * (

# # # d) B œ $ à C œ & à D œ % à A œ "

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Operaciones con Matrices.

En álgebra damos por hecho que cualquier par de números reales pueden sumarse, restarse yßmultiplicarse; sin embargo, con matrices no siempre es posible realizar dichas operaciones. Estudiaremos acontinuación las operaciones con matrices, sus propiedades y restricciones.

Adición De Matrices.

Solamente las matrices que tienen el mismo orden pueden sumarse. Sean y E F7‚ 8 7‚ 8dos matrices de orden , entonces la suma de y es la matriz de orden definida por:7‚ 8 E F 7‚ 8ß

E F œ + ,c d34 34

Ejemplo:

Si y E œ F œ % # " & " $! $ " ! # $Œ Œ

entonces EF œ œ % & # " " $ " $ #! ! $ # " $ ! " %Œ Œ

Para poder sumar matrices, éstas deben ser delmismo orden y los elementos de la matriz sumacorresponden a la suma de las componentescorrespondientes.

¡¡IMPORTANTE!!

Ejercicios:

1) Sea y E œ F œ

% # "! $ # #& " $ ! " &# $ & $ ) *

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

Determine E F

2) Sean las matrices

A = , Œ Œ Î ÑÏ Ò

# & ) %$ " # '

ß F œ G œ! $

#"

#

Determine E F G

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Respuesta:

1) 2) E F œ EF G œ " ! "#& ! )& "" %

"! "#$ "&Î#

Î ÑÏ Ò Œ

Propiedades de la Adición:

De las propiedades de los números reales se puede deducir que la operación de adición en elconjunto de las matrices satisface las siguientes propiedades:7‚ 8 Sean y tres matrices de orden Entonces se cumple:E ßF G 7‚ 8Þ

1) Ley Asociativa para la suma de matrices ÐE F Ñ G œ E ÐF G Ñ

2) Ley Conmutativa para la suma de matrices E F œ F E

3) La matriz cero o la matriz nula denotada por , es la matriz con cada elemento igual a cero.7‚ 8 7‚ 8) Puesto que para cada matriz , la matriz cero es el E œ E œ E E) ) 7‚8 elemento neutro

para cada conjunto de las matrices . Por ejemplo:7‚ 8

Œ Œ Œ Œ Œ " & " ! ! ! " & " ! ! ! " & "& # $ ! ! ! & # $ ! ! ! & # $

œ œ

4) Matriz simétrica donde es la matriz nula de orden E Ð EÑ œ ß 7 ‚ 8) )

Multiplicación Por Escalar.

El producto de un número y una matriz , denotado por , es una matriz con elementos5 E 5Eformados por el producto de cada elemento de por .E 5

Ejemplo 1: # † œ" # # %$ % ' )" # # %


Ejemplo 2: & œ% " # #! & "!& ' ( #& $! $&! # $ ! "! "&


Ejercicios: Resuelva los siguientes ejercicios:

1) # † $ † # ! # " # "" ! $ # $ ! % & ' " # %


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2) 11Ð &Ñ Ð #Ñ

" # % ' !$ " ) "! !

"

#Œ Œ Œ

3) Hallar y siB ß C ß D A

$ œ B C B ' % B CD A " #A D A $Œ Œ Œ

Respuesta:

1) 2) Î ÑÏ Ò Œ ( ' (

% * ' & % #%

& "$ "" "#

3) B œ #ß C œ % ß D œ " ß A œ $

Diferencia De Matrices.

Sean A y dos matrices de orden , la diferencia entre y es la 7‚ 8 7‚ 8F 7‚ 8 E Fmatriz de orden definida por:7‚ 8ß

E F œ + ,c d34 34

Ejemplo:

Si y , entoncesE œ F œ & # " ' " $* $ " ! # $Œ Œ

EF œ & # " ' " $* $ " ! # $Œ Œ

œ & ' # " " $* ! $ # " $Œ

œ "" " %* & #Œ

Ejercicios:

1) Determine el valor de y para que se cumpla la siguiente igualdadBß C ß A D

Œ Œ Œ B C A " C B B A ' %

C " #C #A ' " D œ

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2) Sean las matrices A , œ F œ" # $ #$ % " && ' % $


Hallar la matriz de manera que se cumpla la igualdad H œ: ;< => ?

Î ÑÏ Ò

E F H œ $B #) ) en la cual es la matriz nula de orden .

3) Sean las matrices = , . E F œ

" # % & " #$ # " $ $ %Œ Œ

Determina la matriz de manera que se cumpla la igualdad H œ E F H œ7 8 =: ; <Œ

) ), donde es la matriz nula de orden . # ‚ $

4) Hallar #E $F

E œ ß F œ# % ' $ ! #) "! "# ( " )Œ Œ

Respuesta:

1) ; ; ; B œ $ C œ ! D œ ' A œ "

2) ; ; ; ; ; : œ # ; œ % < œ % = œ " > œ * ? œ *

3) ; ; ; ; ; 7 œ ' 8 œ $ = œ ' : œ ! ; œ " < œ &

4) Œ & ) '$( "( %)

Multiplicación De Matrices.

Sea una matriz de orden y sea una matriz de orden . El producto es laE 7‚ 8 F 8 ‚ : E † Fmatriz de orde , cuyos elementos son:G 7‚ : - 3 4

- œ + † ,3 4 35 545œ"

8!

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Ejemplos:

1) Las matrices y se pueden multiplicar ya que se cumplen lasE œ F œ" % & # # $

#$%

Œ Î ÑÏ Ò

condiciones anteriormente descritas

La matriz resultante es de orden G # ‚ "

2)

−=

⋅

−

8116131

674

121432

413121

−=

⋅

−

8116131

674

121432

413121

Observe que el elemento se obtiene de la siguiente manera:-"#

- + † , + † ,"# "" #" "# ##

=

( œ " † $ # † #

Para multiplicar dos matrices el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

La matriz resultante tiene orden " el número de filas de primera matriz por el número de columnas de la segunda matriz "

¡¡IMPORTANTE!!

3) Las matrices y no se pueden multiplicar ya que elE œ F œ% # # " $$ " # % &$ % ' " #


número de columnas de es 2 y el número de filas de es 3.E F

4) Suponga que un fabricante produce cuatro artículos. Su demanda estáEjemplo de Aplicación:

dada por el vector de demanda una matriz . El precio. œ Ð " ‚ % Ñ$! #! %! "!a bpor unidad que recibe el fabricante por los artículos está dado por el vector de precios

: œ % ‚ "Ñ

#!"&")%!


( una matriz

¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?

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Respuesta:

La demanda del primer artículo es 30 y el fabricante recibe $ por cada artículo vendido.#!Entonces recibe $ de las ventas del primer artículo. Si se sigue este razonamiento, se ve$! † #! œ '!!que la cantidad total de dinero que recibe es:

a bÎ ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

$! #! %! "! Þ œ # !#!

#!"&")%!

Recibe $ # !#!

Ejercicios:

1) Dadas las siguientes matrices

A = , , , Ô ×Õ Ø ” • ” • c d" "

# ! # $" #

F œ G œ H œ" " %$ # &

a) ¿Cuál es el orden de cada una de ellas?

b) ¿Es posible resolver los siguientes Productos? Si es posible, determínelos.

i) ii) iii)E † F E † G F † G iv) v) vi)G † E G † H H † G

c) Resuelva las multiplicaciones que se pueden resolver del ejercicio ( b)

2) Calcule si:Bß Cß Dß Aß :ß ;

a) # œ Þ B C " C $ % !D A $ # ! # %A #C "*

% "# $% "

Œ Œ Œ Î ÑÏ Ò

b) $ œ #B C $ % # # B (DÎ$ A " #A % A D# : & ' $ & : ' ;

% $! &

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï ÒŒ Þ

3) Suponga que un fabricante produce cinco artículos. Su demanda está dada por el vector dedemanda una matriz . El precio por unidad que recibe el. œ Ð " ‚ & Ñ"& #! "! #! #&a bfabricante por los artículos está dado por el vector de precios

( una matriz ¿Cuánto dinero recibirá el fabricante?: œ & ‚ "Ñ

$!!#!!"!!"&!%&!


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4.- Determine el valor de y en:B ß Cß Dß Aß : ;

$ œ #B C $ % # # B (#Î$ A " #A % A D#: & ' $ & : ';

% $! &

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï ÒŒ †

5) Para que dos matrices se puedan multiplicar y sumar ambas deben ser cuadradas y de igual orden.Dé un ejemplo.

Respuestas:

1)a) es de orden es de orden es de orden es de orden E $ ‚ #ßF # ‚ #ß G # ‚ "ßH " ‚ #

b) i) ii) iii)E F œ E G œ F G œ # $ *# # )( $ '

*#

† † †Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Œ

iv) No se pueden multiplicar las dos matrices v) vi) Œ ) "# "! "&

H G œ Ð#$Ñ†

2) a) B œ 'à C œ %à D œ $à A œ %

$

b) B œ %à C œ à D œ #'à A œ *à : œ à ; œ #& ( $

$ # #3) $ #$ (&!

4) B œ %ß A œ *ß C œ ß D œ $!ß : œ ß ; œ #& ( $

$ # #5) Revíselo con su profesor.

Propiedades De La Multiplicación De Matrices.

Sean y matrices cualesquiera (*), se verifican las propiedades:Eß F G

1) Ley asociativa para la multiplicaciónde matrices

A † † † †ÐF G Ñ œ ÐE FÑ G 2) Ley Distributiva para la multiplicación de matrices

i) ÐE F Ñ G œ E G F G† † †

ii) H ÐI J Ñ œ H I H J† † †

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3) matriz Idéntidad de orden . Llamaremos matriz unitaria o identidad de orden a la matrizM 8 88

cuadrada de orden definida por:8

donde = 1 si si M œ M œ œ8

" ! ! Þ !! " ! Þ Þ! ! " ! !! ! Þ " !! ! ! Þ "

3 œ 4! 3 Á 4

‘Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

œ$ $3 4 3 4

E M œ E† 8

4) La ley Conmutativa para el producto matricial, en general:No Se Cumple E † F Á F † E

(*) Se exige, obviam ente, que tengan sentido todos los productos que aquí

intervienen.

Observación:

1) Sean y ¿significa que o ?E ß F − Q E † F œ E œ F œ2 ) ) )

Compruébalo tu mismo:

Si y ambas matrices distintas a E œ F œ œ! $ " "! ! !! " ! ! ! !Œ Œ Œ )

ahora multiplica.... ¿Qué pasa? Concluye.

Matrices Elementales.

1) Sea una matriz cuadrada de orden . es una si se verifica que E œ + 8 E + œ !ß3 4

ˆ ‰3 4

Matriz Diagonal

para todos los 3 Á 4Þ Es decir:

E œ

+ ! ! ! !! + ! Þ Þ! ! + Þ ÞÞ ! ! Þ ÞÞ Þ Þ Þ +


""

##

$$

88

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2) Una matriz cuadrada es Triangular Superior si todos los elementos bajo la diagonal principalE œ +ˆ ‰34

son igual a cero. Esto es, si . + œ ! ß 3 434

Es decir:

E# " #! # $! ! $

= Î ÑÏ Ò

3) Una matriz cuadrada es Triangular Inferior si todos los elementos sobre la diagonalE œ +ˆ ‰34

principal es cero. Esto es, , si .+ œ ! 3 434

Es decir:

E# ! ! " ) !! $ #

= Î ÑÏ Ò

4) Una matriz es simétrica, si los elementos simétricos (imagenes especulares respecto a laE œ +ˆ ‰34

diagonal son iguales), es decir, si cada .+ œ +34 43

Esto es:

E œ" # %# " $% $ #

Î ÑÏ Ò

5) La matriz transpuesta de una matriz de orden es la matriz de orden , que seE 7‚ 8 E 8 ‚7>

obtiene permutando las filas por las columnas. Es decir:

Si entoncesE œ ß E œ# $ % "# $

> # % #$ " $

Î ÑÏ Ò Œ

6) Se dice que una matriz real es Ortogonal si E E † E œ E E œ M> > † Es decir:

Si , entonces:E œ

" ) %

* * *

% % (

* * *

) " %

* * *

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

E E œ † œ>

" ) % " % )

* * * * * *

* % ) % "

* * * *(

) " % % ( %

* * * * * *

" ! !! " !! ! "

†

Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï Ò

Î ÑÏ Ò%

*

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7) Sea una matriz y sea la submatriz ( cuadrada de que se obtieneE Q 8 "Ñ E7‚ 8 34

suprimiendo la - ésima fila y su - ésima columna,3 4 Ejemplo:

Si , entonces la submatriz es la matriz que resulta de eliminar laE œ Q" " %# $ && $ %

Î ÑÏ Ò "$

fila y la columna . Esto es: . " $ Q œ# $& $"$ Œ

En forma análoga, tenemos que: .Q œ" %& %## Œ

Matrices Equivalentes.

Se dice que dos matrices son equivalentes, lo cual se escribe si puedeE C F FE µ F, obtenerse a partir de mediante una sucesión finita de algunas operaciones, las cuales llamaremosEOperaciones Elementales.

Operaciones Elementales.

Dada una matriz de orden , llamaremos Operaciones Elementales (OE) sobre a cadaE 7‚ 8 Euna de las siguientes operaciones (sobre las filas o columnas de una matriz):

1) Intercambiar filas (o columnas), lo cual denotaremos por 0 Ç 0 Ð- Ç - Ñ3 4 3 4

Ejemplo: 0 Ç 0# $

1

11 1


# $ " # $# ! " " $

$ # " !0 Ç 0

# $

2) Reemplazar una fila (o columna) por veces la fila (o columna) 3 < 3 0 œ < † 0 - œ < † -3 3 3 3a bEjemplo: 0 œ #01 1


" # $ # % '# " ! # " !" " $ " " $

0 œ # 01 1

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3) Reemplazar la fila (o columna) por la suma de la misma fila (o columna) más veces la fila 3 3 < 4(o columna ) 0 œ 0 < 0

3 3 4

Ejemplo: (a la fila 2 se le suma 3 veces la fila 1)0 œ 0 $ 0# # "


" # $ " # $# " ! & & *" " $ " " $

0 œ 0 $ 0→# # "

Cada vez que realizamos una operación elemental, usamos el símbolo ó ya que las matricesÄ µque se obtienen al hacer estas OE son semejantes a la inicialmente dada.

Las OE se hacen sobre las filas o columnas, pero no a ambas simultáneamente.

Las OE se hacen sobre las filas o columnas, pero no a ambas simultáneamente.

Ejercicio: Sea Resuelva las siguientes OE, siempre sobre la última matrizE œ

" # "% " !# " $& # $


obtenida.

+Ñ 0 œ 0 $ 0 ,Ñ 0 œ 0" " $ $2

-Ñ 0 œ 0 0 .Ñ 0 œ 0 # 0% % " # "#

/Ñ 0 œ $ 0 0 0Ñ 0 œ 0 0$ $ % $ "#

g) : 0 œ 0 0% % "

Respuesta:

a) E œ 0 œ 0 $ 0

" # " "$ " "% " ! % " !# " $ # " $& # $ & # $

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò→" " #

b)

3Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

"$ " " " " "% " ! % " !# " $ # " $& # $ & # $

0 œ 0→$ $

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c)

8 1

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

"$ " " "$ " "% " ! % " !

# " $ # " $& # $ #

0 œ 0 0→% % "

d)

3 3

8 1 8 1


" " " " " "% " ! ## " #

# " $ # " $ # #

0 œ 0 # 0# # "

e)

8 1 8 1


"$ " " "$ " " ## " # ## " # # " $ #) % "" # #

0 œ $ 0 0$ $ #

f) No se puede desarrollar porque la fila que se quiere cambiar es la Nº y esta no está en las filas de laß $OE.

g) La división de filas NO es una OE.

Matriz Escalonada.

Definición: Una matriz está en la forma escalonada en renglones si se cumplen las siguientes condiciones:

i) Todos los renglones cuyos elementos son todos ceros aparecen en la parte inferior de la matriz.ii) El primer número diferente de cero (comenzando por la izquierda) en cualquier renglón cuyos

elementos no todos son ceros es 1.iii) Si dos renglones sucesivos tienen elementos distintos de cero, entonces el primer 1 en el renglón

de abajo esta más hacia la derecha que el primer 1 en el renglón de arriba.

Ejemplo: Algunas matrices en la forma escalonada son:

, , 1 0 0 1 0 0 00 1 0 0 1 0 00 0 1 0 0 0 1

1 0 0 00 0

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï ÒŒ &! " #

ß" ! $ ! "! " & ! !! ! ! " #

Ejercicios: Escalona las siguientes matrices a través de OE

E œ ß F œ# "$ %

# " #" # $" $ %

Œ Î ÑÏ Ò

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


21

Sabían que el matemático inglés James Joseph Sylvester (1814 –1897) fue el primero que uso el término matriz en 1850, para distinguir las matrices de los

determinantes.

La intensión era que el término matriz tuviera el

significado de “madre” de los determinantes

Sabían que el matemático inglés James Joseph Sylvester (1814 –1897) fue el primero que uso el término matriz en 1850, para distinguir las matrices de los

determinantes.

La intensión era que el término matriz tuviera el

significado de “madre” de los determinantes

VIR

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OM

EZ


22

Determinantes________________________________________________________________________

Gottfried Wilhelm von Leibniz Augustin Louis CauchyGottfried Wilhelm von Leibniz Augustin Louis Cauchy

Los determinantes aparecieron en la literatura matemática más de un sigloantes de las matrices. Algunos grandes matemáticos de los siglos XVIII y XIX ayudarona desarrollar las propiedades de los determinantes. La mayoría de los historiadorescreen que la teoría de los determinantes tuvo su origen con el matemático alemánGottfried Wilhelm Von Leibniz (1646-1716), quien junto a Newton fue el coinventor delcálculo. Leibniz uso los determinantes en 1693 en referencia de los sistemas deecuaciones simultáneas. Sin embargo, algunos piensan que un matemático japonés,Seki Kowa, hizo lo mismo casi 10 años antes. El contribuyente más prolífico a la teoría de determinantes fue el matemáticofrancés Louis Cauchy (1789-1857), por ejemplo, escribió una memoria de 84 páginas en1812, que contenía la primera demostración de la propiedad" "../> E † F œ ./> E † ./> Fa b a b a b

Carl Gustav Jacob Jacobi Charles Lutwidge DodgsonCarl Gustav Jacob JacobiCarl Gustav Jacob Jacobi Charles Lutwidge Dodgson

Un segundo contribuyente (después de Cauchy) fue el matemático alemán CarlGustav Jacob Jacobi (1804 - 1851). Fue con él que la palabra "determinante" ganó suaceptación final. Por último, ninguna historia estaría completa sin citar el libro AnElementary Theory of Determinats, escrito en 1867 por Charles Lutwidge Dodgson,(1832-1898). En este libro Dodgson da las condiciones bajo las cuales los sistemas deecuaciones tienen soluciones no triviales. Charles Dodgson es más conocido por supseudónimo de escritor "Lewis Carroll". Con ese nombre publicó su famoso libro Aliciaen el País de las Maravillas.

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23

Determinantes.

A toda matriz cuadrada , le corresponde un único número real llamado yE determinante de Eque se denota como o .¸ ¸ a bE ./> E

Así,

Si , entonces E œ E œ

+ + ÞÞÞ + + + ÞÞÞ ++ + ÞÞÞ + + + ÞÞÞ +ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞ+ + ÞÞÞ +


¸ ¸â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

"" "# "8 "" "# "8

#" ## #8 #" ## #8

8" 8# 88

Þ ÞÞÞ+ + ÞÞÞ +

8" 8# 88

Observación

No debes confundir una matriz con un

determinante, no es lo mismo.

Observación

No debes confundir una matriz con un

determinante, no es lo mismo.

Curiosidad: La función determinante apareció por primera vez en

la investigación de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de

propiedades de las matrices cuadradas.

Curiosidad: La función determinante apareció por primera vez en

la investigación de los sistemas de ecuaciones lineales. Veremos que es una herramienta indispensable en el estudio y obtención de

propiedades de las matrices cuadradas.

Cálculo del Determinante de una Matriz .E8

i) Si = entonces el E Ð+ Ñ ß ./> ÐE Ñ œ +"‚" "" ""

ii) En general, el determinante de puede calcularse con respecto a cualquier fila o columna, con laEfórmula que damos a continuación.

, es una matriz de orden mayor que 1./> ÐE Ñ œ Ð " Ñ + ./> ÐE Ñ E!5 œ"

835

3 5 3 5

y es una submatrizE35

- En particular, si es una matriz cuadrada de orden 2, es decir, , se tiene que:E E œ+ ,- .Œ

./> E œ Ð " Ñ + ./> ÐE Ñ!5œ"

#"5

" 5 "5

./> E œ Ð " Ñ + † . Ð " Ñ , † -"" "#

o bien, ./> E œ + † . , † -

VIR

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24

Ejemplo: Si , entoncesE œ " #$ %Œ

./> E œ œ " % # $ œ % ' œ "! " #$ %

a b º º † †

- Si la matriz es cuadrada de orden 3, es decir,

E œ+ + ++ + ++ + +

Î ÑÏ Ò

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$$

, se tiene que:

./> ÐE Ñ œ Ð " Ñ + ./> ÐE Ñ!5 œ"

3" 5

" 5 " 5

Ejemplo: Si , entoncesE œ" # "$ % #$ " !

Î ÑÏ Ò

./>ÐEÑ œ œ Ð "Ñ " Ð "Ñ † # † Ð "Ñ "" # "$ % #$ " !

% # $ # $ %" ! $ ! $ "

â ââ ââ ââ ââ ââ â º º º º º ºa b"" "# "$

† †

Resolviendo , se tiene: l E l œ #$

Ejercicios: Encuentra el determinante de la matriz que a continuación se presentan.E

1) Si 2) SiE œ E œ" " + ,# " , +Œ Œ

3) Si 4) SiE œ E œ" # " # " "! # " # ! "$ " # # % "


Respuestas:

1) 2) lEl œ " lEl œ + ,# #

3) 4) lEl œ "& lEl œ "'

Sabías que el matemático francés Pièrre Frederick Sarrus (1798 – 1861) ideó un

método para encontrar el determinante de una matriz de orden 3.

Sabías que el matemático francés Pièrre Frederick Sarrus (1798 – 1861) ideó un

método para encontrar el determinante de una matriz de orden 3.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


25

Método de Sarrus.

Sea la matriz de orden 3: E œ+ + ++ + ++ + +

Î ÑÏ Ò

"" "# "$

#" ## #$

$" $# $$

Para calcular su determinante, según este método, se procede de la siguiente manera:

1) Se repiten hacia el lado derecho de la última columna del determinante asociado, las dos primerascolumnas del lado izquierdo.

= l E l+ + + + ++ + + + ++ + + + +

â ââ ââ ââ ââ ââ â"" "# "$ "" "#

#" ## #$ #" ##

$" $# $$ $" $#

2) Se suman los productos obtenidos al multiplicar los elementos de las diagonales principales, y serestan los tres productos de los elementos de las diagonales secundarias.

l E l + Þ+ Þ+ + Þ+ Þ+ + Þ+ Þ+ + Þ+ Þ+ + Þ+ Þ+ + Þ+ Þ+ ="" ## $$ "# #$ $" "$ #" $# "# #" $$ "" #$ $# "$ ## $"

Ejemplo:

Si , entonces = E œ l E l œ# $ # # $ # # $" ! # " ! # " !% # " % # " % #

Î ÑÏ Ò

â ââ ââ ââ ââ ââ â./> E œ # ! " $ # % Ð #Ñ " # Ð$ " " # # # # ! %Ñ œ *a b a b a b† † † † † † † † † † † †

Ejercicios: Encuentra el determinante de la matriz dada, usando el método de Sarrus.

1) E œ" # $" % &" ! $

Î ÑÏ Ò

2) F œ # " $! # "$ % "

Î ÑÏ Ò

3) G œ+ , + + , + + , +

Î ÑÏ Ò

Respuestas:

1) = l E l %2) l E l œ #(3) l E l œ !

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26

Desafío:Desafío:

Aplica todo lo anterior, calcula el determinante de la matriz de orden 4:

E œ

" # " $% ! " # # $ " $% # " $


Respuesta: ./> ÐE Ñ œ "$

Es evidente que el cálculo del determinante de una matriz de orden puede ser tedioso, como8habrás podido ya observar en el cálculo del determinante de orden imagínese para el caso de% ‚ %ßdeterminantes de orden y así sucesivamente. Sin embargo, existen algunas matrices a las cuales es& ‚ &muy sencillo calcular sus determinantes.

1) Sea una matriz triangular inferior o superior. EntoncesE8

.../> ÐEÑ œ + + † + † Þ † +"" $$ 88† ##

Esto es, el determinante de una matriz triangular es igual al producto de sus componentes en ladiagonal.

Ejemplo: Sea E œ

# $ ! "! $ # %! ! " $! ! ! #


entonces, es una matriz triangular superior, por lo tanto:E

./> ÐEÑ œ # $ " # œ "#† † † 2) Si la primera columna o fila de una matriz tiene todos sus elementos nulos excepto el del lugar+

"", su determinante es:

â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â

+ + + ÞÞÞ +! + + ÞÞÞ +! + + ÞÞÞ +ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ! + + ÞÞÞ +

œ +

+ + ÞÞÞ ++ +

"" "# "$ "8

## #$ #8

$# $$ $8

8# 8$ 88

""

## #$ #8

$# $$ÞÞÞ +

ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ ÞÞÞ+ + ÞÞÞ +

$8

8# 8$ 88

Ejemplo:

Si , entoncesE œ

# " $ %! & ( #! # $ #! ' & "


./> ÐEÑ œ # † œ # † ( œ "%& ( ## $ #' & "

â ââ ââ ââ ââ ââ â a b

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27

Propiedades De Los Determinantes.

Sea una matriz cuadrada de orden .E 8

1) Si en un determinante todos los elementos de una fila o columna son ceros, entonces eldeterminante es cero.

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â+ , - , -. / 0 / 0œ ! œ !

2 3! ! ! !

!! o

Ejercicio: Verifica la propiedad anterior.

i)

â ââ ââ ââ ââ ââ â& " #! ! !$ "! (

œ

2) El determinante de una matriz es igual al de su traspuesta. Es decir, . Esto es:l E l œ E>¹ ¹â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â

+ , - + . 1. / 0 , / 21 2 3 - 0 3

œ


i) ii)

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â& " # & " $" "! # " "! "!$ "! ( # # (

œ œ

3) Si en un determinante se intercambian dos filas o dos columnas, se obtiene un determinante que esel opuesto aditivo del original.

â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â+ , - + , - +. / 0 . / 0 .1 2 3 1 2 3 1 2 3 1

œ œ . / 0 - ,+ , - 0 /

3 2 o


i) ii)

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â& $ " # % ## % # & $ "( ' " ( ' "

œ œ

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28

4) Si los elementos de una fila o columna de un determinante se multiplican por un número real, elvalor de este determinante es equivalente al producto del número real por el valor del determinanteoriginal. Es decir:

, se tiene que:a: − ‘

: † œ œ+ , - + , - + -. / 0 . / 0 . 01 2 3 1 3

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â:1 :2 :5 :2

:,:/

Ejercicio: Verifica la propiedad anterior

i) & † œ% $ "# ! "! $ #

â ââ ââ ââ ââ ââ âii)

â ââ ââ ââ ââ ââ â#! "& &# ! "! $ #

œ

5) Si los correspondientes coeficientes de dos filas (o dos columnas) son iguales o están en una razónconstante, el determinante es cero. Es decir:

â â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â ââ â â â â â+ , - , , + , -+ , - / /

2 2 $+ $, $-1 2 3 1œ ! œ ! œ !

+. . / 0 o o

Ejercicio: Calcula los determinantes.

i) ii)

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â' # # # $ %( $ $ # $ %) & & " & (

œ œ

6) Un determinante se puede expresar como suma de dos determinantes descomponiendo comosumandos los elementos de una fila o columna cualquiera, como se indica a continuación.

â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â+ , - + , - + , - + , -. / 01 2 3

œ œ 1 2 3 1 2 3 1 2 3

. . / / 0 0 . / 0 . / 0" # " # " # " " " # # #

â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â+ , -. / 0 / 0 / 0 / 01 2 3

œ œ , - , - , -

2 3 2 3 2 3

+ + + +. . . .1 1 1 1

" # " #

" # " #

" # " #

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Ejercicio:

i)

â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â% $ " $ "& $ # $ #( ' " ' "

$ " $ " $ " $ "! # ! # ! # ! # " # " # " # " #

œ œ

ii)

â â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â ââ â â â â â â â& ' ( & ' ( & ' ( & ' (

" ! " " ! " " ! " " ! "œ œ ) "! "# % % ' % "! # % ' "! % % #

7) Si se sustituye cualquier fila o columna por la suma de ella más veces otra fila5 o columna, el determinante de la matriz no cambia.

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â+ , - + , -. / 0 . / 01 2 3 $1 . $2 / $3 0

œ

Š ‹0 œ$ 0 0$ $ #

Ejemplo: Si a la fila 2 le sumamos 2 veces la fila 1 ( ), obtenemos:0 œ 0 #0# # "

;

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â" $ " " $ "# % " % "! $( ' " ( ' "

œ " œ "

8) l M l œ "8

Ejercicios:

1) Encuentre el determinante de las siguientes matrices usando propiedades

a) b)

1

E œ F œ

" # $ % & " # $ " & # ' ! " # $# $ % ' % # & ' % $ ! ) # $ % &


2) Sea E œ F œ

" ! " ! ! ! " "" # ! " ! " ! "! ! " " # ! ! " # ! " ! ! " ! "


Calcula Identidad de orden ./> ÐE F Ñ M ß M œ %c d† >% %

3) Encuentra el valor de si se cumple la siguiente igualdad5

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â5 # % #& 5 & $ %

! " ! " 5 # #" ! 5 % " ! "

œ

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4) Prueba que

â ââ ââ ââ ââ ââ â" + , -" , - +" - + ,

œ !

5) Calcula:

G œ

" $ & ( *# % # % #! ! " # $! ! & ' #! ! # $ "

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â

Respuestas:

1) a) = ./> ÐE Ñ (!# b) ./> ÐFÑ œ ##!

2) ./> M œ !

" ! # #! # " !" " " ## ! # %

Ô ×Ö ÙÖ ÙÕ ØÎ ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò %

3) 5 œ #

5) ./>ÐGÑ œ "%

Aplicaciones De Los Determinantes.

Menor de una Matriz.

Se llama del elemento de la matriz a la submatriz .Menor + E Q34 34

Ejercicios: Calcula los determinantes para la siguiente matriz E œ" # $" % &" ! $

Î ÑÏ Ò

a) lQ l œ"$

b) lQ l œ##

Respuestas: a) b) % !

VIR

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Cofactor.

Sea una matriz de orden , el cofactor de , se determina por E 7‚ 8 34 E E œ Ð "Ñ lQ l3 4 34

34

Ejemplo: Si , entoncesE œ# " $% & #" ! "

Î ÑÏ Ò

E œ Ð "Ñ Q œ " œ )# $% #$# $ #

$ # ¸ ¸ º º

Ejercicios: Sea la matriz , determina:E œ# " $% & #" ! "

Î ÑÏ Ò

1) 2) E œ E œ$$ "#

3) 4) E œ E œ$# ""

Respuestas:

1) Ð " Ñ œ '# "% &

$$º º2) Ð " Ñ œ '

% #" "

"#º º3) )4) &

Adjunta de una Matriz.

Dada una matriz cuadrada de orden , se define la matriz adjunta de la cual se escribeE 8 E+.4ÐEÑß F 8 ‚ 8Þcomo la traspuesta de la matriz de cofactores de orden Veamos como se determina:

Sea la matriz de cofactores de entoncesF œ E Eß34

F œ

E E Þ Þ EE E Þ Þ E 8Þ Þ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ Þ

E E Þ Þ E8 " 8 #


"" "# " 8

# " ## #

8 8

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ÐF Ñ œ œ +.4 ÐEÑ

E E Þ Þ EE E Þ Þ EÞ Þ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ Þ

E E Þ Þ E

>


"" #" 8"

"# ## 8#

"8 #8 88

Ejemplo: Si , entonces la es:E œ +.4 ÐEÑ# % $! " "$ & (

Î ÑÏ Ò

E œ œ "#" "& ("" º º

; en forma análoga (verifícalo), tenemos que:E œ œ $! "$ ("# º º

E œ $ ß E œ "$ ß E œ &"$ #" # #

E œ # ß E œ ( ß E œ ##$ $ " $ #

E œ #$$

Así que es la matriz de cofactores, de manera que la traspuesta deF œ ß"# $ $ "$ & # ( # #

Î ÑÏ Ò

F E es la adjunta de . Esto es:

+.4 E œ"# "$ ( $ & # $ # #

a b Î ÑÏ Ò

Ejercicios: Determina la matriz adjunta para las siguientes matrices.

1) 2) E œ E œ " # $" # %! # #

$ #% &

Î ÑÏ Ò Œ

3) 4) E œ E œ+ , $ "# # ' + , # "! # &

" $ ! #

" ' " $

Œ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

Respuestas:

1) 2) Î ÑÏ Ò Œ "# "! #

# # (# # %

& # % $

3) 4) Œ Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò

, , " " # #+ + ! " $ $

! " ! #

# # $ #

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Matriz Inversa.

Dada una matriz de orden y . Existe la matriz , denominada inversa de ,E 8 ./>ÐEÑ Á ! E E"

que cumple lo siguiente:

E † E œ E † E œ M8 8 88 8" "

Existen diversos métodos que permiten encontrar la amtriz inversa. En este curso estudiaremos elmétodo de la matriz equivalente y el de la matriz adjunta.

Método 1: Matriz Equivalente.

Una forma de encontrar la inversa de una matriz es a través de OE Se trabaja con una matrizÞaumentada. A la izquierda se coloca la matriz a la cual se le quiere determinar la inversa y a la derecha, lamatriz Idéntidad, y a través de OE hechas sobre toda la matriz, se transforma la matriz de la izquierda en laIdentidad y la matriz que resulta a la derecha, es la matriz inversa buscada.

)=ÐEß M Ä

+ , Þ Þ l " ! Þ ! ! " ! Þ ! l +‡ ,‡ -‡ Þ Þ. / 0 Þ l ! " Þ Þ ! ! " Þ ! l .‡ /‡ Þ Þ Þ2 3 4 Þ l ! Þ " Þ ! ! ! " Þ l 2‡ 3‡ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ l Þ Þ Þ " ! Þ Þ Þ Þ l Þ Þ Þ ÞB C Þ Þ l ! Þ Þ Þ "

Î Ñ Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò Ï ÒÞ! ! Þ " l B‡ C‡ Þ Þ Þ

El * indica un término distinto del dado inicialmente

Ejemplo: Determina, si es que existe, la matriz inversa de , haciendo OE:E

E œ" ! "# " "! # "

Î ÑÏ Ò

Desarrollo:

1° Como (verifícalo), se tiene que existe ../> E Á ! Ea b "

2° Para determinar , trabajamos con el método de la matriz equivalente. Esto es:E"

( ) =Eß M 0 œ 0" ! " l " ! ! " ! "l " ! !# " " l ! " ! ! " " l # " !! # " l ! ! " ! # " l ! ! "

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò→

# # " # 0

→0 œ 0 # 0

" ! " " ! !! " " # " !! ! " % # "

$ $ #

Î ÑÏ Ò

| ||

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→0 œ 0

" ! " l " ! !! " " l # " !! ! " l % # "

$ $

Î ÑÏ Ò

0 œ 0 0" " $

0 œ 0 0" ! ! l $ # "! " ! l # " "! ! " l % # "

# $#

Î ÑÏ Ò

Por lo tanto: E œ $ # "# " " % # "

"Î ÑÏ Ò

No es necesario comprobar, pero si multiplicamos E E œ M†

"

$

Ejercicios: Determina , si es que existe, para cada matriz dada, usando OE.E"

a) b) E œ E œ " " ! " # "" # " # ! "$ " " " " !


c) d) E œ E œ! " "# " " # " "

" ! " "# " $ "# " ! #" " # "

Î ÑÏ Ò


Respuestas:

a) b) E œ E œ" " " "Î$ "Î$ #Î$# " " "Î$ "Î$ "Î$ & % $ #Î$ "Î$ %Î$

" "Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

c) No tiene matriz Inversa d) E œ

" $ " %! % " ' " % " & " " ! "

"


Método 2: Matriz Adjunta.

Otro método para encontrar la matriz inversa de una matriz, es a través de la matriz adjunta yusando la siguiente fórmula:

E œ † +.4 E" "Ek k a b

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Ejemplo: Hallemos la Inversa de , si existe por medio de la matriz adjunta, sabiendo que E ß Eesta dada de la siguiente manera:

E œ" # "! $ # # ! "

Î ÑÏ Ò

Desarrollo:

1° Como el = 11 , tenemos que existe .lE l Á ! E"

2° Determinaremos la matriz adjunta:

E.4 ÐE Ñ œ Ò E Ó œ " "

$ # ! # ! $! " # " # !

"

# " " " " #! " # " # !

# " " " " # $ # ! # ! $

"

>

3 4

>

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

º º º º º ºº º º º º º

º º º º º º

E.4 E œ œ$ % ' $ # (# " % % " #( # $ ' % $

a b Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

>

3° Por último, E œ † +.4 E"

E" k k a b

E œ † œ"

""

$ # ( $Î"" #Î"" (Î"" % " # %Î"" "Î"" #Î"" ' % $ 'Î"" %Î"" $Î""

"Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

Ejercicios: Determina a través de la , si es posible.E +.4ÐEÑ"

1) 2) 3) E œ E œ E œ# $ ' + ! ," & $ ! " !% # " , ! +

$ " " "" $ " "" " $ "" " " $



Respuestas:

1) E œ "Î( "&Î(( $Î"" "Î( ##Î(( !##Î(( "'Î(( "Î""

"Î ÑÏ Ò

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2) E œ"

+ ,

+ ! ,

! + , ! , ! +

"

# ## #

Î ÑÏ Ò

3) E œ

&Î"# "Î"# "Î"# "Î"# "Î"# &Î"# "Î"# "Î"# "Î"# "Î"# &Î"# "Î"# "Î"# "Î"# "Î"# &Î"#

"


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37

Sistemas De Ecuaciones Lineales.________________________________________________________________________________

Johann Carl Friedrich GaussJohann Carl Friedrich Gauss

La teoría de las ecuaciones lineales juega un papel importante y motivador en elámbito del álgebra lineal. Muchos problemas de álgebra lineal son equivalentes alestudio de un sistema de ecuaciones lineales, como por ejemplo hallar el núcleo de unaaplicación lineal o caracterizar el subespacio generado por un conjunto de vectores.

Los fenómenos lineales son aquellos en que, al duplicar o triplicar la causa, seduplica o triplica el efecto, y al sumar las causas, se suman los efectos. Muchosfenómenos naturales y sociales tienen comportamientos muy similares al lineal; por ellose pueden estudiar, con una aproximación aceptable, considerándolos como tales.

Se cree que hacia el 1100 AC, los chinos ya se plantearon el problema de cómoresolver dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Y en Japón, el matemático SekiKowa (1642-1708) hizo un aporte igual o mejor en esta materia que el matemáticoinglés Isaac Newton (1642-1727). Poco después de que Seki Kowa hubiera previsto lasolución de un sistema de manera hipotética, en 1693, Leibniz encontró un método pararesolver sistemas de ecuaciones lineales simultáneas, comparable al creado por loschinos. Este método fue aplicada en 1750 por Cramer (matemático Suizo, 1704-1752) ysimplificado en 1764 por E. Bézout (matemático francés 1730-1763). Sin embargo, elmatemático que hizo mayores contribuciones en este tema fue el alemán Johann CarlFriedrich Gauss (1777-1855). Incluso, dos métodos muy utilizados para resolversistemas de ecuaciones llevan su nombre.

En esta sección veremos como aplicar todo lo aprendido anteriormente en lasolución de sistemas de ecuaciones lineales. Veremos detalladamente el algoritmo deeliminación Gaussiana y de Gauss-Jordan, analizaremos las soluciones de dichossistemas y daremos una interpretación geométrica de ellas.

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38

En esta sección describiremos tres métodos para encontrar todas las soluciones (si existen) de unsistema de ecuaciones lineales con incógnitas. Analizaremos sistemas de ecuaciones lineales que no7 8poseen solución, que poseen solución única o infinitas soluciones. Comenzaremos con algunas definiciones que son escenciales para avanzar en este tema.

Definición: Una Ecuación Lineal o de primer grado en incógnitas es una expresión de8 B ß B ß B ß ÞÞÞß B" # $ 8

la forma:

+ B + B + B ÞÞÞ + B œ ," " # # $ $ 8 8

..... (1)

donde son números dados en algún conjunto numérico.+ ß + ß + ß ÞÞÞß + ß ," # $ 8

se llaman coeficientes de la ecuación y el término independiente. Se llama+ ß + ß + ß ÞÞÞß + ," # $ 8

solución de la ecuación a toda -upla de números que reemplazados ordenadamente en lugar de las8incógnitas , , , , convierten a la expresión (1) en una identidad.B B B ÞÞÞ B

" # $ 8

Se dice que las soluciones satisfacen la ecuación.

Por ejemplo, dada la ecuación , dos soluciones de la misma son:#B $B #B B œ (" # $ %

ÈŠ ‹È Œ "ß "ß #ß ! #ß ß !ß "#

"

$ y .

Estudiaremos ahora los sistemas de ecuaciones y su resolución.

Definición: Se denomina sistema de ecuaciones lineales a un conjunto de dos o más ecuaciones linealescon dos o más incógnitas.

Ejemplo:

........................................................

ÚÝÝÝÝÛÝÝÝÝÜ

+ B + B + B ÞÞÞ + B œ ,+ B + B + B ÞÞÞ + B œ ,

"" " "# # "$ $ "8 8 "

#" " ## # #$ $ #8 8 #

................................................................................

+ B + B + B ÞÞÞ + B œ ,7" " 7# # 7$ $ 78 8 7

Observación: Con el sistema anterior se pueden formar tres matrices:

i) Una matriz de :coeficientes numéricos

E œ

+ + Þ Þ ++ + Þ Þ ++ + Þ Þ +Þ Þ Þ Þ Þ

+ + Þ Þ +


"" "# "8

#" ## #8

$" $# $8

7" 7# 78

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


39

ii) Una matriz de incógnitas:

\ œ

BBÞ

B 8


"

#

iii) Una matriz de términos independientes:

F œ

,,

, 8


"

#

Þ

Utilizando esta tres matrices, es posible escribir el sistema de ecuaciones lineales de la formasiguiente:

E †\ œ F

Es decir,

Î ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò


+ + Þ Þ ++ + Þ Þ ++ + Þ Þ +Þ Þ Þ Þ Þ

+ + Þ Þ +

† œ

B ,B ,Þ Þ

B ,8 8

"" "# "8

#" ## #8

$" $# $8

7" 7# 78

" "

# #

Ahora bien, si juntamos la matriz y la matriz , formamos una nueva matriz llamada E F MatrizAmpliada y denotada por .ÐEßFÑ

ÐE ß F Ñ œ

+ + + Þ l ,+ + + Þ l ,Þ Þ Þ Þ l ÞÞ Þ Þ Þ l Þ

+ + + Þ l ,


"" "# "$ "

#" ## #$ #

7" 7# 7$ 8

Ejercicios: Dado los siguientes sistemas de ecuaciones, escribe las matrices: .Eß Fß \ß ÐEßFÑ

1) B B B œ "" # $

B B œ %" $

# B #B %B œ #" # $

2) B B œ "# %

#B B œ !" $

B %B œ $$ %

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


40

Respuestas:

1) E œ ß F œ ß \ œ" " " "

" ! " %# # % # B

BB

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò

"

#

$

ÐE ß F Ñ œ" " " l " " ! " l %# # % l #

Î ÑÏ Ò

2) E œ ß F œ ß \ œ! " ! " "# ! " ! !! ! " % $

BBBB



"

#

$

%

ÐEßFÑ œ! " ! " l "# ! " ! l !! ! " % l $

Î ÑÏ Ò

Métodos De Resolución De Sistemas De Ecuaciones.

GABRIEL CRAMER

Método 1: REGLA DE CRAMER.

GABRIEL CRAMERGABRIEL CRAMER

Método 1: REGLA DE CRAMER.

Sea una matriz de orden . Entonces la sólución al sistema está dado porE 8 E \ œ Fúnica † , B œ B œ B œ ß ÞÞÞÞÞÞ B œ

" # 3 8" # 3 8

H H

H H H H

H H

Donde: es el determinante de H E es el determinante de sustituir la columna por la matriz de términos independientes,H 3

3

es decir, la matriz .F

¡¡IMPORTANTE!!Para resolver un sistema

usando este método se requiere que 0)det( ≠A

¡¡IMPORTANTE!!Para resolver un sistema

usando este método se requiere que 0)det( ≠A

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


41

Ejemplo: Para mostrar la aplicación de este método, vamos a resolver el siguiente sistema.

# B B $ B œ "" # $

B &B B œ %" # $

$ B # B %B œ "" # $

1° Identifiquemos cada una de las matrices del sistema.

E œ ß F œ ß \ œ# " $ " " & " % B$ # % "

B

B


"

#

$

2° Verifiquemos que el determinante de sea distinto de cero. En efecto:E

H œ ./> E œ# " $ # " " & " " &$ # % $ #

a bâ ââ ââ ââ ââ ââ â

œ %! $ ' %& % % œ # Á !a b a b Por lo tanto, podemos aplicar la regla de Cramer.

3° Calculemos el valor de las incógnitas:

B"œ œ œ $

'

#

â ââ ââ ââ ââ ââ â"%"

" $& "# %#

B#œ œ œ "

#

#

â ââ ââ ââ ââ ââ â# $" "$ %

"%"#

B$œ œ œ #

%

#

â ââ ââ ââ ââ ââ â# "" &$ #

"%"

#

4° La solución del sistema está dada por la matriz \ œ œBB "B

$

#


"

#

$

Ejercicios: Resuelve, si es posible, los siguientes sistemas usando la Regla de Cramer.

1) # B B œ $" #

$ B #B œ &" #

2) # B %B 'B œ ")" # $

% B &B 'B œ #%" # $

$B B #B œ %" # $

3) #B $B B œ &" # $

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


42

B #B $B œ !" # $

% B B B œ "" # $

4) B $B B œ %" # $

& B B œ $" #

# B 'B #B œ )" # $

Respuestas:

1) B œ B œ"" "

( (" #

2) B œ % B œ # B œ $" $#

3) B œ B œ B œ " & $

% % %" # $

4) no se puede resolver por Cramer../>ÐEÑ œ !ß

¡¡CUIDADO!! Esta Regla tiene dos limitaciones:

1° La matriz de coeficientes numéricos deber ser cuadrada ya que se calcula el determinante de ella y, además, debe ser distinto de cero.

2° Sirve sólo cuando el sistema tiene una única solución.







Método 2: ECUACIÓN MATRICIAL

Otra forma de resolver un sistema de ecuaciones es a través de la siguiente ecuación matricial.

multiplicando por la matriz inversa a la izquierda E \ œ F Î E† Š ‹"

Š ‹E E \ œ E F" "

† † †

M † \ œ E F8

"

†

\ œ E †F"

Es decir, para resolver un sistema de ecuaciones se debe encontrar la matriz inversa de si esEßque existe, la cual se multiplica por la matriz .F

Ejemplo: Para mostrar la aplicación de este método, vamos a resolver el siguiente sistema.

B B B œ #" # $

#B $B B œ $" # $

#B #B B œ #" # $

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


43

1° Identifiquemos cada una de las matrices del sistema.

E œ ß F œ ß \ œ" " " ## $ " $ B # # " #

B

B


"

#

$

2° Se dice que existe la matriz inversa, sí y sólo si, .k kE Á ! Verifiquemos que el determinante sea distinto de cero.

k k a bâ ââ ââ ââ ââ ââ âE # $ " # $œ œ $ # % ' # # œ $ Á !

" " " " "

# # " # #

3° Como verificamos que el determinante es distinto de cero, buscaremos la matriz inversa. Paraello, utilizaremos la matriz adjunta.

+.4 E œ

$ " # " # $# " # " # #

" " " " " "# " # " # #

" " " " " " $ " # " # $

a bÎ ÑÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÐ ÓÏ Ò

º º º º º ºº º º º º º

º º º º º º

>

+.4 E œ œ " ! # " " #" $ % ! $ $# $ & # % &

a b Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò

>

4° Por lo tanto, la matriz inversa queda determinada como sigue:

E œ +.4 E œ" "

E $

" " #! $ $ # % &

" k k a b Î ÑÏ Ò

E œ"Î$ "Î$ #Î$! " "

#Î$ %Î$ &Î$

"Î ÑÏ Ò

5° Luego, \ œ E †F"

\ œ Þ œ"Î$ "Î$ #Î$ # "! " " $ "

#Î$ %Î$ &Î$ # #


6° La solución del sistema está dada por la matriz \ œ œBB "B

"

#


"

#

$

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


44

Ejercicios: Resuelve los siguientes sistema usando la ecuación matricial.

1) B #B B œ $" # $

2 B &B B œ "" # $

B B *B œ "'" # $

2) #B $B œ %# $

#B 'B (B œ "&" # $

B #B &B œ "!" # $

Respuestas:

1) luego E œ ß B œ " B œ " B œ # %% "* ("* ) $ ( $ "

"

" # $

Î ÑÏ Ò

2) , por lo tanto no se puede resolver el sistema por este método./> ÐEÑ œ !

¡¡CUIDADO!! Este método también tiene algunas limitaciones, primero, la matriz de coeficientes numéricos debe ser cuadrada para poder así encontrar su determinante, y si este es igual a cero, no se puede aplicar este método.

Método 3: METODO GAUSSIANO

Este método es más general que los otros dos anteriores, pues nos permite analizar con más detallelas distintas soluciones de un sistema de ecuaciones lineales.

Un sistema de ecuaciones lineales admite transformaciones mediante OE, manteniendo invariablesu solución hasta llegar a una matriz escalonada por filas.

El método consiste en reducir por filas la matriz ampliada a la forma escalonada para, luego,despejar el valor de la última incógnita. Después se usa la sustitución hacia atrás para obtener el valor delas demás incógnitas.

Ejemplo: Para comprender mejor el método, apliquémoslo para resolver el siguiente sistema.

B C D œ # #B $C D œ $

#B #C D œ #

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


45

1° Caractericemos el sistema de ecuaciones:

Matriz de coeficientes.E œ ß" " "# $ " # # "

Î ÑÏ Ò

Matriz de términos independientes.F œ ß#$ #

Î ÑÏ Ò

, Matriz de incógnitas.\ œBCD

Î ÑÏ Ò

, Matriz ampliada.

ÐEßFÑ œ

" " " l ## $ " l $

# # " l #

Î ÑÏ Ò

2° Escalonemos la matriz ampliada, realizando OE sobre las filas.

;

ÐEßFÑ œ 0 œ 0 #0 0 œ 0 #0

" " " l ## $ " l $

# # " l #

Î ÑÏ Ò # # " $ $ "

Î ÑÏ Ò

" " " l #! & $ l "! % $ l #

0 œ &0 %0 $ $ "

Î ÑÏ Ò

" " " l #! & $ l "! ! $ l '

0 œ 0 0 # # $

Î ÑÏ Ò

" " " l #! & ! l &! ! $ l '

3° De la última matriz, obtenemos el siguiente sistema equivalente.

B C D œ # &C œ &$D œ '

4° Si despejamos las incógnitas y y reemplazamos sus valores en la primera ecuación obtenemosC Del valor de . Así, podemos concluir que la solución del sistema es:B

\ œ œB "C "D #


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


46

Oye!!¿Sabías que existía otro

método para resolver sistemas de ecuaciones llamado Gauss-Jordan?

Si quieres saber más acerca de ello, revisa el libro

Álgebra Lineal de Stanley Grossman que se encuentra

en biblioteca.

Oye!!¿Sabías que existía otro

método para resolver sistemas de ecuaciones llamado Gauss-Jordan?

Si quieres saber más acerca de ello, revisa el libro

Álgebra Lineal de Stanley Grossman que se encuentra

en biblioteca.

Análisis De Las Soluciones De Un Sistema De Ecuaciones.

Para analizar las soluciones de un sistema de ecuaciones, necesitamos conocer un concepto queaún no hemos visto: .El Rango de una Matriz

Rango de una Matriz.

Se llama Rango de una matriz al orden de la mayor submatriz cuadrada cuyoE − `7‚8

determinante es no nulo.

Ejemplo 1: Sea , las posibles submatrices de orden 3 son:E œ# # ! %! " " ! " " # #

Î ÑÏ Ò

Î Ñ Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ï Ò

# # ! # # % # ! % # ! %! " " ! " ! ! " ! " " ! " " # " " # " # # " # #

à à à

Verifica que el determinante de cada una de las matrices anteriores es cero, por lo tanto el rangode la matriz no es 3.E

Luego, debemos considerar las submatrices de orden 2. Una de éstas es cuyoŒ # #! "

determinante no es cero. En consecuencia, el rango de es dos, lo que se denota como .E V E œ #a b

Ejemplo 2: Sea una matriz cuadrada de orden 3.E œ" # $# $ %$ & (

Î ÑÏ Ò

Por lo tanto, si es una matriz de orden 3, entonces el rango debería ser 3 pero si calculamos suE ßdeterminante nos damos cuenta que este es igual a cero.

lEl œ œ ! Ê V E Á $" # $# $ %$ & (

â ââ ââ ââ ââ ââ â a b

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


47

Busquemos el determinante de alguna de sus submatrices de orden 2.

¹ ¹ º º a bE œ œ " Á ! Ê V E œ #$ %& (""

Otra forma, más general, es determinar el rango a través de OE, ya que estas no modifican ni suorden ni su rango. Las OE se hacen sobre las filas hasta escalonar la matriz y el rango estará determinadopor el número de filas no nulas.

Ejemplo: Determinemos el rango de la siguiente matriz.

E œ

" $ # " ## & " $ & " $ # $ $$ % " # *


1° Realicemos las OE para escalonar la matriz:

−−−−−

−−

9214333231

5315221231 f2=f2-2f1

f3=f3+f1

f4=f

4-3f

1

−−−−

−−−

31513012060

1551021231

f3=f

3+6f

2

f4=f4-13f2

−−−−−

−

1064600053230001551021231

f4=f4+2f3

−−−

−

0000053230001551021231

−−−−−

−−

9214333231

5315221231 f2=f2-2f1

f3=f3+f1

f4=f

4-3f

1

−−−−

−−−

31513012060

1551021231

f3=f

3+6f

2

f4=f4-13f2

−−−−−

−

1064600053230001551021231

f4=f4+2f3

−−−

−

0000053230001551021231

Como la matriz escalonada tiene filas no nulas, resulta que el rango de es $ E $

También es posible escalonar la matriz realizando OE sobre las columnas, pero convendremos en trabajar por filas.

También es posible escalonar la matriz realizando OE sobre las columnas, pero convendremos en trabajar por filas.

Ejercicios: Encuentra el rango de las siguientes matrices a través de OE.

1) E œ" ! " "! # " #" % $ &

Î ÑÏ Ò

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


48

2) E œ

! " " "" " ! "" # " !# % " !


3) E œ

" " # " " ! " #" # & %# " " "


Respuestas:

1) < œ #2) < œ $3) < œ #

Análisis De Soluciones A Través Del Estudio De Rangos.

Sistema de Ecuaciones

R(A) = R(A,B)

SI

NO Sistema Incompatible

No Existe Solución

R(A) = R(A,B) = nNO Sistema Compatible

Indeterminado

Existen Infinitas Soluciones

Sistema Compatible Determinado

Existe Una Única Solución

SI

Donde:

•n es N° de incógnitas

•R(A) rango de la matriz de coeficientes

•R(A,B) es rango de la matriz ampliada

Análisis De Soluciones A Través Del Estudio De Rangos.


R(A) = R(A,B)

SI


No Existe Solución


Indeterminado




SI


R(A) = R(A,B)

SI


No Existe Solución

NO Sistema IncompatibleSistema Incompatible

No Existe SoluciónNo Existe Solución


Indeterminado


Sistema Compatible Indeterminado








SI

Donde:




Donde:




VIR

GIN

IO G

OM

EZ


49

Estudiemos algunos sistemas.

1) Sistema Compatible Determinado.

Ya vimos que este tipo de sistema posee solución única.

Ejemplo: Resolvamos el siguiente sistema usando el método Gaussiano.

B C D œ # #B $C D œ $

#B #C D œ #

1° Caracterizando el sistema de ecuaciones

E œ ß F œ ß \ œ" " " # B# $ " $ C # # " # D


2° Aplicaremos operaciones elementales a la matriz ampliada

ÐEßFÑ œ" " " l ## $ " l $ # # " l #

Î ÑÏ Ò

0 œ 0 #0# # "

0 œ 0 #0$ $ "

ÐEßFÑ œ" " " l #! & $ l "! % $ l #

Î ÑÏ Ò

0 œ &0 %0" " " l #! & $ l "! ! $ l '

$ $ "

Î ÑÏ Ò

0 œ 0 0" " " l #! & ! l &! ! $ l '

# # $

Î ÑÏ Ò

3° Analizando los rangos de la matriz escalonada. Tenemos que:

8 œ $ V E œ $a b ; Por lo tanto, el sistema posee solución única.V EßF œ $a b4° Trabajaremos el sistema equivalente al original para determinar la solución al sistema deecuaciones lineales. El sistema resultante es:

B C D œ # &C œ &$D œ '

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


50

Se determina una de las incógnitas y las restantes resultan de ir reemplazando los valoresencontrados.

De aquí resulta: B œ " C œ " D œ #

2) Sistema Compatible Indeterminado.

Ya vimos que este tipo de sistema posee infinitas soluciones.

Ejemplo: Resolvamos el siguiente sistema usando OE.

B C D œ "# B $C #D œ #$ B # C D œ $

1° Caracterizando el sistema de ecuaciones lineales.

E œ à F œ à \ œ" " " " B# $ # # C$ # " $ D


2° Escalonando la matriz ampliada.

a b Î ÑÏ ÒEßF œ

" " " l "# $ # l #$ # " l $

0 œ 0 #0# # "

0 œ 0 $0$ $ " Î Ñ

Ï Ò" " " l "! & % l !! & % l !

0 œ 0 0" " " l "! & % l !! ! ! l !

$ $ #

Î ÑÏ Ò

3° Analizando los rangos de la matriz escalonada.

Como , se tiene que el sistema es Compatible Indeterminado;8 œ $ß V E œ #ß V EßF œ #a b a bpor lo tanto, tiene infinitas soluciones.

Con la matriz obtenida podemos formar el sistema equivalente:

B C D œ " & C %D œ !

4° Observa que la expresión , permite conocer el número de incógnitas de las cuales8 V Ea bdependeran las otras.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


51

Es decir: . Esto significa que de las incógnitas, de ellas quedan en función de la$ # œ " $ #otra incógnita. En efecto:

Si despejamos de la segunda ecuación tenemos: C C œ D%

&

Si este resultado lo reemplazamos en la primera ecuación y despejamos , tenemos que:B

B œ " D"

&

5° La solución general, entonces, es: \ œ œBCD

" D

D

D

Î ÑÏ Ò

Î ÑÐ ÓÏ Ò

"&

%&

6° Algunas soluciones particulares son: \ œ à \ œ à \ œ"!! " #

Î ÑÏ Ò

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

'&% )& &

(&

3) Sistema Incompatible o Inconsistente.

Este tipo de sistema, como ya vimos, no tiene solución.

Ejemplo: Resolvamos el siguiente sistema

# C $D œ %#B 'C (D œ "&B #C &D œ "!


E œ à F œ à \ œ! # $ % B# ' ( "& C" # & "! D


2° Escalonando la matriz ampliada.

ÐEßFÑ œ! # $ l %# ' ( l "&" # & l "!

Î ÑÏ Ò

→ →0 Ç 0 0 œ 0 # 0

" # & l "!# ' ( l "&! # $ l %

" $ # # "

Î ÑÏ Ò

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


52


" # & l "! " # & l "!! # $ l & ! # $ l &! # $ l % ! ! ! l "

0 œ 0 0→$ $ #

3° Analizando los rangos de la matriz escalonada. Tenemos que:

8 œ $ß V E œ #ß V EßF œ $a b a b Por lo tanto, el sistema no tiene solución

Observación: Si el vector de términos Independientes es un vector nulo, entonces el sistema esHomogéneo No Homogéneo., en caso contrario se llama

El sistema homogéneo , es decir, es Compatible:E †\ œ ) siempre tiene solución

a) Si tiene una solución única, ésta es la trivial ( con B œ !à a3ß 3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8 Ñ3

b) Si , entonces tiene Infinitas soluciones, entre ellas la trivial.8 Á <

Para resolver este tipo de sistema de ecuaciones debemos calcular el determinante de la matriz decoeficientes numéricos. Si el determinante es distinto de cero, el sistema posee solución única y es latrivial, pero si el determinante es igual a cero, el sistema posee infinitas soluciones y éstas se obtienen porel método gaussiano.

Ejemplo 1: Determinemos la o las soluciones del siguiente sistema homogéneo.

# B $C %D œ ! B #C D œ !

B $C &D œ !


E œ à F œ à \ œ# $ % ! B" # " ! C " $ & ! D


2° Calculando el determinante de la matriz .E

../> ÐE Ñ œ œ &) Á !# $ %" # " " $ &

â ââ ââ ââ ââ ââ â3° Luego, el sistema tiene solución única, y es la trivial.

Por lo tanto: B œ ! C œ ! D œ !

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


53

Ejemplo 2: Determinemos la o las soluciones del siguiente sistema homogéneo.

B $C &D œ !#B 'C "!D œ ! B &C D œ !


E œ à F œ à \ œ" $ & ! B# ' "! ! C " & " ! D


2° Calculando el determinante de la matriz .E

../> ÐE Ñ œ œ !" $ &# ' "! " & "

â ââ ââ ââ ââ ââ â Como el , tenemos que el sistema tiene infinitas soluciones y para determinarlas, lo./> ÐEÑ œ !haremos a través del método gaussiano.

3° Realizando operaciones elementales en la matriz . E

E œ" $ &# ' "! " & "

Î ÑÏ Ò

0 œ 0 #0# # "

0 œ 0 0$ $ "

Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò a b" $ & " $ &

! ! ! ! # %! # % ! ! !

0 Ç 0 à 8 Á V E# $

4° Resolviendo el sistema equivalenteB $C &D œ !# C %D œ !

C œ #D B œ ""D

5° La solución general, entonces, es: \ œ œB ""DC # DD D


6° Algunas soluciones particulares son:

\ œ à \ œ à \ œ! "" ##! # %! " #


VIR

GIN

IO G

OM

EZ


54

Ejercicios:

Resuelve los siguientes sistemas usando el método de Gauss Si el sistema tieneÞ infinitas soluciones además de la general determine una particular.

1) # B $ œ B $B$ # "

B $B œ " #B" # $

$B B œ # #B# $ "

2) > $> &> > œ %" # $ %

#> &> #> %> œ '" # $ %

3) B B #B œ "1 # $

B $B %B œ "" # $

#B #B %B œ $" # $

4) $B 'C 'D œ * #B &C %D œ ' B "'C "%D œ $ Respuestas:1) Sistema Compatible Determinado: B œ " B œ ! B œ !

" # $

2) Sistema Compatible Indeterminado Solución General: Ð # "* > ( =ß # ) > # =ß >ß =Ñ >ß = − ‘ Solución Particular: Si > œ ! ß = œ !ß Ð #ß #ß !ß !Ñ3) El sistema es Incompatible.4) Sistema Compatible Indeterminado.

Solución General : ($ > ß > ß > Ñ > −# )

* *‘

Soluciones Particulares: a b Œ Œ $ß !ß ! à ß ß " à ß ß "#* ) #& )

* * * *

Existen sistemas de ecuaciones lineales en las cuales al menos uno de los coeficientes numéricos+

34 es una constante desconocida y necesitamos saber cómo es la solución del sistema.

Ejemplo: Determinaremos el o los valores que deberían tener y en el sistema que se+ ,presenta a continuación, para que sea:

i) Compatible Determinado ii) Compatible Indeterminado iii) Incompatible

$B #B &B œ "" # $

B B #B œ "" # $

%B $B +B œ ," # $

1° Caracterizando el sistema.

E œ à F œ à \ œ$ # & "" " # " B% $ + ,

B

B


"

#

$

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


55

2° Aplicando operaciones elementales sobre la matriz ampliada.

ÐEßFÑ œ 0 Ç 0

$ # & " " " # "

" " # " $ # & "

% $ + , % $ + ,

Î Ñ Î ÑÐ Ó Ð ÓÏ Ò Ï Ò

¸ ¸¸ ¸¸ ¸" #

→0 œ 0 $0 à 0 œ 0 %0

" " # "

! " " #

! " + ) , %# # " $ $ "

Î ÑÐ ÓÏ Ò

¸̧¸

0 œ 0 0

" " " "

! " " #

! ! + ( , #$ $ #

Î ÑÐ ÓÏ Ò

¸̧¸

3° Analizando los rangos.

8 œ $ depende del valor de .V E œ +a b depende de los valores de y .V EßF œ + ,a bi) Para que el sistema sea Compatible Determinado se debe cumplir que: , esV E œ V EßF œ 8a b a b

decir, . Esto ocurre cuando , o bien, .V E œ V EßF œ $ + ( Á !a b a b + Á (

Conclusión: El sistema tendrá solución única a + − Ö(×‘

ii) Para que el sistema sea Compatible Indeterminado se debe cumplir que: , V E œ V EßF 8a b a bes decir, . Esto ocurre cuando y 0, o bien, cuando V E œ V EßF $ + ( œ ! , # œ + œ (a b a by . En este caso, el , œ # V E œ V EßF œ #Þa b a b

Conclusión: El sistema tendrá infinitas soluciones cuando y .+ œ ( , œ #

iii) Para que el sistema sea Incompatible se debe cumplir que: . Esto ocurre cuandoV E Á V EßFa b a b+ ( œ ! , # Á ! + œ ( , Á #Þ y , o bien y

Ejercicios:

1) Considere los sistemas

a) #B $B & œ !" #

B (B B œ !" # $

%B ""B 5B œ !" # $

b) B B B œ !" # $

#B $B %B œ !" # $

$B %B 5B œ !" # $

¿Para qué valores de los sistemas tendrán soluciones no triviales?5

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


56

2) Determinar qué valor debería tomar para que el sistema siguiente sea!

i) Compatible Determinadoii) Compatible Indeterminadoiii) Incompatible

B B B œ "" # $

$B B B œ &" # $

! ! %B B œ &

" #!

3) Determinar qué valores debe tomar y para que el sistema sea+ ,

i) Compatible Determinadoii) Compatible Indeterminadoiii) Incompatible

B B B œ "" # $

$B B #B œ &" # $

%B +B œ ," $

Respuestas:

1) a) 5 œ"!

"" b) 5 œ &

2) i) ! !Á ! • Á & ii) ! œ & iii) ! œ !

3) i) + Á ' ii) + œ ' • , œ ) iii) + œ ' • , Á )

Interpretación Geométrica De Los Sistemas De Ecuaciones.

Geométricamente en el plano , se interpretan de la siguiente forma (Cada ecuación se representa‘#

en una línea recta)

a) Rectas No Paralelas.

Un punto de intersección

b) Rectas Paralelas.

No existe intersección

c) Rectas que Coincidens.

Infinitos puntos de intersección

a) Rectas No Paralelas.

Un punto de intersección

b) Rectas Paralelas.

No existe intersección

c) Rectas que Coincidens.

Infinitos puntos de intersección

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


57

En el espacio , la interpretación es la siguiente (cada ecuación representa un plano)‘$

Los tres planos se intersectan enla misma recta. Entonces cadapunto sobre el plano es unasolución y se tiene un númeroinfinito de soluciones.

a)

b) Dos de los planos coinciden e intersectan a un tercer plano en una recta. Entonces cada punto sobre la recta es una solución y existe un número infinito de soluciones..

c) Los tres planos se intersectan en un punto, entonces existe una solución única.

d) Al menos dos de los planos son paralelos y distintos. Entonces ningún punto puede estar en ambos y no hay solución. El sistema no tiene solución.

e) Dos de los planos coinciden en una recta. El tercer plano es paralelo a L (y nocontiene a , de manera que ningún puntodel tercer plano se encuentra en los dosprimeros. No existe solución.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


58

AUTOEVALUACION N° 1

Indicación: Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.

PROBLEMA 1: Encuentra el valor de para que se cumpla la igualdad propuesta:Bß Cß Aß D

Œ Œ Œ B C A " C B B A ' %C D #C #D ' " D

œ

PROBLEMA 2: Dadas las matrices

E œ à F œ à" ! # " & " ! $$ % " " # " " !& # ! $ ' ! $ "


- -- - - -

- -

G œ à" ! ( &# $ ! "! ! " "

Î ÑÏ Ò

- --

-

Determina , ( ) , .E G # E G † F G † F> > > >



PROBLEMA 1: Dado que una matriz se dice IDEM-POTENTE si . Verifica si las matricesE œ E#

siguientes son o no idempotente.

E œ F œ G œÎ Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò

2 -3 -5 -1 3 5 0 1 0-1 4 5 1 -3 -5 0 0 11 -3 4 -1 3 5 0 0 0

; ;

PROBLEMA 2: Dadas las matrices:

A ; B ; C1 -3 2 1 4 1 0 2 1 -1 -22 1 -3 2 1 1 1 3 -2 -1 -14 -3 -1 1 -2 1 2 2 -5 -1 0

œ œ œÔ × Ô × Ô ×Õ Ø Õ Ø Õ Ø

Comprueba que EF œ EG

VIR

GIN

IO G

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59



PROBLEMA 1: Sea E œ

" $ ! #$ "# # ' # "! # & " ' " $


a) Calcula ¸ ¸E

b) Determina la matriz E.4 Ea bc) Determina la matriz inversa de .E

PROBLEMA 2: Verifica que:

a) La adjunta de una matriz escalar es una matriz escalarb) La adjunta de una matriz diagonal es una matriz diagonalc) La adjunta de una matriz triangular es una matriz triangular

PROBLEMA 3: Para las siguentes matrices, determina las respectivas matrices adjuntas.

a) b) E œ F œ# ! " # $ ! " " " & " %% ! " " ! !


PROBLEMA 4: Para las matrices del problema 3, determina, si existe, las respectivas matrices inversas.Si existe, muéstralas.

VIR

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60



PROBLEMA 1: Sea .E œ-9= ! =/8! " !

=/8 ! -9=

Î ÑÏ Ò

! !

! !

Determina si posee inversa y si es posible, hállala.E

PROBLEMA 2: Que valores de hacen que la matriz dada sea singular (inversible).+

E œ F œ + + " + " + # # $" # $ " + " #

# + + $ + ( ! ! + #


PROBLEMA 3: Encuentra de manera que la matriz tenga inversa.B − ‘a bInd.: es la matriz idéntica de orden 3M

a) b) E œ E œ BMB % )$ B #

# ! " " " "% ! "

Œ Î ÑÏ Ò

c) E œ BM # " "! # $! % %

Î ÑÏ Ò

PROBLEMA 4: Determina la matriz en la ecuación: con\ E † \ † F œ E † Fa b" >

E à F œ" " " ! ! "! " # " # !$ " ! " " !


VIR

GIN

IO G

OM

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61



PROBLEMA 1: Sea y . Calcula los siguientes determinantes.E œ ./> E œ &+ , -. / 01 2 3

Î ÑÏ Ò a b

a) b)

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â1 2 3 & &2 &3. / 0 $. $/ $0+ , - %+ %, %-

c) d)

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â+ , , - #+ #. #, #/ #- #0. / / 0 1 2 31 2 2 3 . / 0

PROBLEMA 2: Calcula los siguientes determinantes:

a) b) » »È ÈÈ È

â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â+ , # + ,

# + , + ,

" # " "" " ! "" " " #" " # "

PROBLEMA 3: Determina los valores de , que satisfacen la ecuación: 0 donde es-%‘ - -./> M E œ ßa bincógnita de la ecuación e es la matriz idéntica de orden 4.M

E œ

# " ! )! " ! "!! ! % !! ! ! &


VIR

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62

AUTOEVALUACION N° 6Indicación: Responde estas preguntas y luego revisa tus resultados con el profesor.

PROBLEMA 1: ¿Qué condiciones se deben cumplir para que el sistema se pueda resolver mediante laecuación ?\ œ E F"

Si dichas condiciones se cumplen, encuentre la solución usando la ecuación matricial yoperaciones elementales.

B B œ "

B B B œ #

B B œ $

B B B œ %

% "

# $ "

$ #

% $ "

PROBLEMA 2: Resuelva el siguiente sistema usando la regla de Cramer.

$C #B œ D "

$B #D œ ) &C

$D " œ B #C PROBLEMA 3: Resuelva usando el método gaussiano.

#B C D œ "

B #C D œ %

B C #D œ $



PROBLEMA 1: Determina los valores de tales que los sistemas posean:5

i) ninguna soluciónii) más de una solucióniii) una sola solución

a) b) 5B C D œ " B #C $D œ #

B 5C D œ " $B %C #D œ 5

B C 5D œ " #B $C D œ "

PROBLEMA 2: Considera el siguiente sistema. Determina el valor que debe tener " " de manera que el+sistema sea compatible.

B #C D œ "

#B C $D œ %

B C Ð+ #ÑD œ $+ &

%B #C Ð+ 'ÑD œ $+ )#

VIR

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63

UNIDAD 2

VECTORES, RECTAS Y PLANOS

VIR

GIN

IO G

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64

Vectores en y .‘ ‘# $

________________________________________________________________________

Sir William Rowan HamiltonSir William Rowan Hamilton Josiah Willard GibbsJosiah Willard Gibbs

El estudio de los vectores se originó con la invención de los cuaterniones deHamilton (matemático Irlandés 1805-1865). Hamilton y otros desarrollaron loscuaterniones como herramienta matemáticas para la exploración del espacio físico.Pero los resultados fueron muy complicados para entenderlos con rápidez y aplicarlosfacilmente. Los cuaterniones contenian una parte escalar y una parte vectorial y lasdificultades surgían cuando estas partes se manejaban al mismo tiempo. Losmatemáticos se dieron cuenta de que muchos problemas se podían manejarconsiderando la parte vectorial por separado y así comenzó el análisis vectorial. Este trabajo se debe al físico americano Josiah Willard Gibbs (1839-1903).Gibbs, era un físico original que hizo mucha aplicaciones en el área físico matemática.Definió por ejemplo, la igualdad, adición y multiplicación de vectores. Además, definióel producto escalar para los vectores , , , y lo aplicó en problemas referente a fuerzas.3 4 5

Al estudiar matemáticas, a comienzos del siglo XIX, no debemos perder de vistael hecho que la mayor parte de las matemáticas modernas se desarrollaron pararesolver problemas del mundo real. Los vectores fueron desarrollados por Gibbs y otrospara facilitar el análisis de los fenómenos físicos, y en ese sentidos tuvieron un granéxito.

VIR

GIN

IO G

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EZ


65

Vectores En El Espacio.

Algunas cantidades físicas como la longitud y la masa quedan perfectamente determinadas por sumagnitud. Tales cantidades se llaman Sin embargo, para otras como la fuerza y la velocidad, seEscalares.necesita especificar, además, su dirección Estas últimas se llaman .Þ Vectoriales

Se acostumbra representar un vector mediante un segmento de recta dirigido cuya direcciónrepresenta la dirección del vector y cuya longitud en términos de alguna unidad representa su magnitud.

El sistema coordenado rectangular tridimensional consta de tres rectas reales mutuamenteperpendiculares. Tales rectas se llaman ejes coordenados y su intersección común se llama origen delsistema.

El sistema así definido establece una correspondencia biunívoca entre los puntos del espacio y lasternas ordenadas de números reales.a bBß Cß D

P(2,3,5)

5

2

3

z

y

x

P(2,3,5)

5

2

3

z

y

x

P(2,3,5)

5

2

3

z

y

x figura 1

Al origen del sistema le corresponde la terna . A la terna le corresponde el puntoa b a b!ß !ß ! #ß $ß &T que muestra la figura 1.

Los planos , , se llaman y dividen al espacio en ocho regionesBC CD DB Planos Coordenadosllamadas . El octante cuyos puntos tienen sus tres coordenadas positivas se llama ,Octantes Primer Octantepero no se ha convenido una numeración para los otros siete.

Sean y dos puntos del espacio.T B ß C ß D U B ß C ß Da b a b" " " # # #

VIR

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IO G

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EZ


66

0y

z

x

P(x1,y1,z1)

Q(x2,y2,z2)

R(x2,y2,z1)

V(x1,y1,0)

T(x2,y2,0)

H

0y

z

x

P(x1,y1,z1)

Q(x2,y2,z2)

R(x2,y2,z1)

V(x1,y1,0)

T(x2,y2,0)

H

figura 2

La distancia entre y está dada por:T U

. T U œ B B C C D Da b a b a b a bÉ, # " # " # "

# # #

Ejemplo: La distancia entre los puntos y es:T #ß "ß $ U $ß %ß "a b a b. T U œ $ # % " " $a b a b a b a bÉ, # # #

. T ßU œ " * %a b È. T ßU œ "%a b È

Por lo tanto, la distancia de a es u. de m.T U "%È a b

Ejercicios:

1) Obtenga la distancia entre los puntos y , y determine el punto medio de los segmentosE Frectilineos que unen y .E F

a) EÐ$ß %ß #Ñà FÐ"ß 'ß $Ñb) EÐ%ß $ß #Ñà FÐ #ß $ß &Ñ

2) Demuestre que los tres puntos y son los vértices de un triánguloÐ"ß "ß $Ñß Ð#ß "ß (Ñ Ð%ß #ß 'Ñrectángulo y calcule su área. (Indicación: utilice el teorema de Pitágoras)

a

bc

C

A

B

Teorema de Herón de Alejandría

( )( )( )

triángulo. del área el es Atro.semiperíme el es donde

s

csbsassA −−−=

a

bc

C

A

B

Teorema de Herón de Alejandría

( )( )( )

triángulo. del área el es Atro.semiperíme el es donde

s

csbsassA −−−=

figura 3

VIR

GIN

IO G

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EZ


67

Respuestas:

1) a) 3 u. de m. a b Œ #ß &ß&

#

b) 11 u. de m. a b Œ "ß !ß $

#

2) El es rectángulo y su área es aproximadamente 5,6125˜

Definición: Llamaremos en el espacio a toda terna ordenada de números reales, . ElVector c d+ ß + ß +" # $

vector asociado con el segmento de recta cuyo punto inicial es y cuyo puntoT B ß C ß Da b" " "

terminal es se denota por:U B ß C ß Da b# # #

→ →TU œ U T œ B ß C ß D B ß C ß D œ B B ß C C ß D D œ +a b a b c d# # # " " " # " # " # "

Es usual denotar los vectores con letras minúsculas con una flecha para distinguirlos de lascantidades escalares.

Ejemplos:

1) Si y , entonces el vector se determina como sigue:T )ß *ß " U $ß 'ß ! TUa b a b →

→TU œ U T œ $ß 'ß ! )ß *ß " œ ""ß $ß "a b a b c d

→UT œ T U œ )ß *ß " $ß 'ß ! œ ""ß $ß "a b a b c d

2) Si , entonces .E )ß 'ß $ SE œ )ß 'ß $a b c d→

3) Sean los puntos y , entonces el vectorT œ Ð!ß ! Ñ U œ Ð$ß $Ñ→UT œ T U œ Ð!ß !Ñ Ð$ß $Ñ œ $ß $[ ]

Ejercicios:

1) Sean los puntos . Determine los vectores dirigidos T œ Ð$ß "Ñß U œ Ð#ß "Ñß V œ Ð%ß #Ñ→ → →TU UT VT, , .

2) Sean los puntos . Determine los vectoresT œ Ð$ß "ß "Ñß U œ Ð!ß #ß "Ñß V œ Ð%ß #ß #Ñ

dirigidos , , .→ → →TU UT VT

Respuesta:

1) ; ; → → →TU œ "ß # UT œ "ß # VT œ "ß "c d c d c d

2) ; ; → → →TU œ $ß "ß ! UT œ $ß "ß ! VT œ "ß $ß $c d c d c d

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


68

Sabías que los vectores asociados a segmentos de rectas en los que el punto

inicial no es el origen del sistema se llaman vectores libres.

Sabías que los vectores asociados a segmentos de rectas en los que el punto

inicial no es el origen del sistema se llaman vectores libres.

Definición: Sea y dos vectores y .→ →+ œ + ß + ß + , œ , ß , ß , −c d c d

" # $ " # $! ‘

i) Diremos que si y sólo si: .→ →+ œ , + œ , • + œ , • + œ ,

" " # # $ $

ii) Se define la Adición y la Multiplicación por escalar de la siguiente manera:→ →→+ , +!

1° → →+ , œ + ß + ß + , ß , ß , œ + , ß + , ß + ,c d c d c d

" # $ " # $ " " # # $ $

2° ! ! ! !→+ œ + ß + ß +c d" # $

Ejemplos:

1 Sean y . Entonces:→ →+ œ $ß "ß ! , œ #ß "ß %c d c d

1° → →+ , œ $ß "ß ! #ß "ß % œ "ß !ß %c d c d c d

2° .$ + œ $ $ß "ß ! œ *ß $ß !→ c d c d3° # , œ # #ß "ß % œ %ß #ß )

→ c d c d4° % , # + œ % #ß "ß % # $ß "ß !

→ → c d c d œ )ß %ß "' 'ß #ß !c d c d œ #ß #ß "'c d5° $ + # , œ $ $ß "ß ! # #ß "ß %→ → c d c d œ *ß $ß ! %ß #ß )c d c d œ "$ß &ß )c d

2) Si y .→ →2 œ $ß + #ß $, 5 œ + ,ß &ß !c d c d

→ →2 œ 5 Í Í

+ , œ $ + œ $+ # œ & •$, œ ! , œ !

Ú ÚÛ ÛÜ Ü

VIR

GIN

IO G

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69

Observaciones:

1) Geométricamente en vector es la diagonal del paralelógramo cuyos lados adyacentes son→ →+ ,

los vectores y como se ilustra en la figura siguiente:→ →+ ,

b

b-

ba +

ba -

a

bb

bb-

ba + bba +

ba - bba -

aa

figura 4

2) Si , entonces → → →, œ , ß , ß , , œ Ð "Ñ , œ , ß , ß , Þc d c d

" # $ " # $

3) Todo vector se puede considerar como el vector de origen en el punto y→+ œ + ß + ß + S !ß !ß !c d a b" # $

extremo en el punto como se muestra en la figura siguiente:T + ß + ß +a b" # $

0y

z

x

P(a1,a2,a3)

a

0y

z

x

P(a1,a2,a3)

a

figura 5

4) Se define la Sustracción de los vectores y como el vector→ →+ ,

→ →→ →+ , œ + Ð , Ñ œ + , ß + , ß + ,c d

" " # # $ $

Definición: Sea un vector. Se llama , o del vector , al número→ →+ œ + ß + ß + +c d" # $

norma magnitud móduloreal no negativo .¼ ¼ È→+ œ + + +# # #

" # $

Todo vector de norma 1 se llama . En el espacio hay tres vectores unitariosVector Unitarioespeciales que se denotan en forma especial, éstos son:

3 œ "ß !ß ! 4 œ !ß "ß ! 5 œ !ß !ß "• • •c d c d c d; ;

y es claro que .¼ ¼ ¼ ¼ ¼ ¼3 œ 4 œ 5 œ "• • •

Todo vector se puede escribir:→+ œ + ß + ß +c d" # $

VIR

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70

→+ œ + ß !ß ! !ß + ß ! !ß !ß +c d c d c d" # $

→+ œ + "ß !ß ! + !ß "ß ! + !ß !ß "" # $c d c d c d

→+ œ + 3 + 4 + 5" # $

• • •

Los vectores , se llaman del vector y tienen la dirección de los ejes+ 3 + 4ß + 5 +" # $

• • •

Componentes →

coordenados.

y

z

x

a

i j

k

a1 i

a2 j

a3 k

y

z

x

a

ii jj

kk

a1 ia1 i

a2 ja2 j

a3 ka3 k

figura 6

Teorema: Sean y dos vectores y . Se tiene:→ →+ , −! ‘

1) m + m œ m + m→ →

2) m + , m œ m , + m→ →→ →

3) si y sólo si m + m œ ! + œ !ß !ß ! œ→ → a b )

4) ; con m + m œ † m + m Á !! ! !→ →¸ ¸5) es un vector unitario en la dirección de , si ? œ + + m + m Á !

"

m + m

•

→→ → →

ObservacionesObservaciones

1) El vector nulo no tiene dirección definida.)

2) Es claro que para , 0, la dirección de es la misma que la de . Si , ambos! ‘ ! ! !− Á + + !→ →

vectores tendrán igual sentido y si , el sentido de será el contrario del sentido de .! ! ! + +→ →

Ejemplos: Dados los vectores y .→ →+ œ $3 4 5 , œ "ß !ß *

• • • c d1) Calcula en módulo de →+ u. de m.m + m œ $ " " œ * " " œ ""→ É a b a bÈ È# ##

VIR

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71

2) Calcula en módulo de →,

u. de m.m , m œ " ! * œ " ! )" œ )#→ É a b a bÈ È# # #

3) Calcula en módulo de →→

+ ,

m + , m œ m $ß "ß " "ß !ß * m→ → c d c d m + , m œ m %ß "ß ) m→ → c d m + , m œ % " )→ → É a b a b# # #

m + , m œ "' " '% œ )" œ *→ → È È

4) Determina un vector unitario en la dirección de .→+

1° Para ello necesitamos el móludo de . Como fue determinado en el ejemplo 1, tenemosm + m→

que u. de m.m + m œ ""→ È a b2° Por lo tanto,

? œ + œ $3 4 5 œ 3 4 5" " $ " "

m + m "" "" "" ""

• • • • •• •

→→ È È È ÈŒ

Ejercicios:

1) Determine la norma de los siguientes vectores

a) [ ]→? œ "ß # $ß &Èb) [ ]→@ œ $ß $ß "

c) Si [ ] y [ ], entonces determina→ →@ œ "ß $ß # ? œ #ß !ß "

#ll ? ll $ll @ ll→ →

2) Determina el valor de para que:5

a) donde [ ]ll ? ll œ (ß ? œ #ß $ß 5→ →

b) donde [ ]ll ? ll œ & ? œ 5ß $ß "→ →

3) Sea Determina el vector unitario en la dirección de:→ →? œ Ò "ß # ß $Ó C @ œ 3 4 '5Þ• • •

a) b) → →? @

4) Determina el vector unitario en la dirección de con norma 5.→?

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72

Respuestas:

1) a) È$)

b) È"*

c) # & $ "%È È2) a) 5 œ „ '

b) 5 œ „ "&È3) a) ? œ ß ß

" # $

"% "% "%

• – —È È È b) @ œ ß ß

" " '

$) $) $)

• – —È È È4) – —È È È ß ß

& "! "&

"% "% "%

Definición: Dos vectores y son paralelos si y sólo si existe un número tal que→ →+ , −! ‘

→ →, œ +! .

Ejemplo: Los vectores y son paralelos puesto que:→ →+ œ $3 4 5 , œ '3 #4 #5

• • • •• •

→, œ '3 #4 #5

• • •

→, œ # $3 4 5Œ • • •

, esto significa que la magnitud del vector es 2 veces la magnitud del→ →→, œ # + ,

vector . Ambos vectores son paralelos, pero tienen dirección contraria.→+

Definición: Sean y dos vectores. Se define el → →+ œ + ß + ß + , œ , ß , ß ,c d c d

" # $ " # $Producto Escalar o

Producto Punto de y como el número:→ →+ ,

→ →+ † , œ + ß + ß + † , ß , ß , œ + , œ + † , + † , + † ,c d c d !

" # $ " # $ 5 5 " " # # $ $

5 œ "

$

†

Ejemplo: Sean los vectores y , entonces el producto escalar→ →+ œ "ß $ß ' , œ $ß "ß (c d c d

→ →+ † , œ "ß $ß ' † $ß "ß (c d c d

→ →+ † , œ œ " † $ $ † " ' † (a b

→ →+ † , œ $ $ %#

→ →+ † , œ %#

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Ejercicios:

1) Sea , y Determina: → → →? œ #3 4 $5 @ œ #3 5 A œ $3 4Þ• • • • •• •

a) b) →? @ # ? A† † †→ → →

2) Calcula el valor de si5 #ß $ß 5 5ß "ß % œ #"c d † c dRespuestas:

1) a) " b) "%2) 5 œ $

Teorema: Sea el menor ángulo formado por los vectores y . Entonces:: → →+ œ + ß + ß + , œ , ß , ß ,c d c d

" # $ " # $

→ →→ →+ † , œ m + m † m , m † -9=:

Corolario:

i) El coseno del ángulo formado por los vectores y ésta dado por→ →+ ,

.-9= œ+ † ,

m + m † m , m:

→ →

→ →

ii) El ángulo entre los vectores y es → → → →

→ →+ , œ E<--9=+ † ,

m + m † m , m:

Ô ×Õ Ø

iii) → → →+ † + œ m + m#

iv) Dos vectores no nulos y son perpendiculares si y sólo si .→ →→ →+ , + † , œ !

Ejemplos:

1) Dado dos vectores, y . Determinaremos el coseno y el ángulo que→ →+ œ #3 4 #5 , œ 3 4

• • • ••

forman los vectores y .→ →+ ,

1° Para ello es necesario determinar , y .→ →→ →+ † , m + m m , m

→ →+ † , œ #3 4 #5 † 3 4 œ # " ! œ $Œ Œ • • • ••

m + m œ % " % œ * œ $→ È È

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74

m , m œ " " ! œ #→ È È

2° Luego, el coseno del ángulo formado por los vectores y es:→ →+ ,

-9= œ œ œ #+ † , $ "

m + m † m , m $ † # #:

→ →

→ → È È

3° Y el ángulo formado por los vectores y es el siguiente:→ →+ ,

:1

œ E<--9= œ E<--9= # œ <+.+ † , "

m + m † m , m # %

Ô ×Õ Ø ” •È c d→ →

→ →

Así, el menor ángulo formado por los vectores y es .→ →+ , <+.

%

1 c d2) Los vectores y son perpendiculares. En efecto, ambos son no→ →

+ œ %ß &ß ( , œ "ß #ß #c d c dnulos y además .→ →

+ † , œ % "! "% œ !

Ejercicios:

1) Sean y . Calcula:→ → →? œ 3 #4 $5à @ œ $3 #4 &5 A œ #3 %4 5

a) El coseno y el ángulo entre y → →? @

b) El coseno y el ángulo entre y → →? A

c) El coseno y el ángulo entre y → →@ A

2) Para el triángulo cuyos vértices están en y , determineEÐ#ß &ß $Ñß FÐ "ß (ß !Ñ GÐ %ß *ß (Ñlas medidas de los ángulos interiores.

Respuestas:

1) a) -9= œ "$$ à œ '* %# #!! !%"$$

‰È w ww

b) -9= œ ' à œ %! %" %(! !"$%#

‰È w ww

c) -9= œ à œ %" &) %%! !É #"$)

‰ w ww

2) ! œ #*ß ('‰

" œ *'ß ))‰

# œ &$ß $'‰

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EZ


75

Definición: Sea un vector no nulo. Los ángulos , y que forma con los ejes coordenados se→ →+ +! " #

llaman de .Angulos Directores →+

a1

a2

a3

a

αγ

β

a1

a2

a3

aa

αγ

β

-9= œ -9= œ -9= œ! " #+ + +

ll + ll ll + ll ll + ll" # $

→ → →

+ œ m + m-9= à + œ m + m-9= à + œ m + m-9=" # $

→ → →! " #

Luego, si conocemos los cosenos directores de un vector y su longitud el vector queda→ → →+ m + m +completamente determinado.

Por otro lado: m + m œ + + +→ É # # #

" # $

m + m œ + + + œ m + m -9= m + m -9= m + m -9=→ → → →# # # # # # #" $

# # #

#! " #

m + m œ m + m † -9= -9= -9=→ →# # # # #c d! " #

Luego: -9= -9= -9= œ "# # #! " #

Esta ecuación nos indica que los cosenos directores no son arbitrarios.

Sabían ustedes que las componentes de a : a1, a2,

a3 se llaman Números Directores.

Y que además, el vector a forma un ángulo α con el lado positivo del eje x, β con el lado positivo del eje y , γ con el

eje positivo del eje z. Estos ángulos reciben el nombre de Ángulos

Directores del vector .

Sabían ustedes que las componentes de a : a1, a2,

a3 se llaman Números Directores.

Y que además, el vector a forma un ángulo α con el lado positivo del eje x, β con el lado positivo del eje y , γ con el

eje positivo del eje z. Estos ángulos reciben el nombre de Ángulos

Directores del vector .

Los se determinan de la siguiente forma: ángulos directores

! " #œ E<- -9= à œ E<- -9= à œ E<--9=+ + +

m + m m + m m + m " # $

→ → →

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


76

Ejemplo: Si , entonces:→@ œ 3 4 #5• • •

a) Los cosenos directores son los siguientes, sabiendo que :m @ m œ '→ È -9= œ à -9= œ à -9= œ

" " #

' ' '! " #È È È

b) Los àngulos directores se determinan obteniendo el arco coseno de los valores anteriores. Esto es:

! œ E<- -9= œ ""%"

' È 9

" œ E<- -9= œ ''"

' È 9

# œ E<- -9= œ "%#

' È 4,749

Ejercicios:

1) Encuentra los cosenos directores de →@ œ Ò "ß #ß *ÓÞ

2) Encuentra los ángulos directores de →@ œ Ò "ß #ß * ÓÞ

3) Determina los ángulos directores del vector y prueba que→@ œ #3 $4 %5• • •

= -9= -9= -9= "# #

! " #2

Respuestas:

1) = -9= œ à -9= œ à -9=! " #" # *

)' )' )'È È È2) ! " #œ *'ß " œ ((ß & œ "$ß *9 9 9

3) ! " #œ ')ß # œ &'ß " œ %#ß !9 9 9

Definición: Sean y dos vectores no nulos. Se llama de sobre al→ →→ →+ , , +Proyección Escalar

número:

T<9C I=- œ+ † ,

m + m→→

+,

→ →

→

a

b

Proy. Escalar a

b

Proy. Escalar a

b

Proy. Escalar

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


77

Definición: Sean y dos vectores no nulos. Se llama de sobre al→ →→ →+ , , +Proyección Vectorial

vector:

T<9C Z /-> œ + T<9C Z /-> œ ++ † , + † ,

m + m m + m→ →→ →

+ +, ,•

#

→ →→ →

→ →→ o

a

b

Proy. Vectorial a

b

Proy. Vectorial

Ejemplo: Dado los vectores y Determinemos la proyección→ →? œ Ò "ß #ß "Ó @ œ Ò $ß #ß %ÓÞ

escalar y la proyección vectorial de sobre es:→ →@ ?

1° Calculemos el pruducto punto y la norma del vector .→?

→ →? † @ œ Ò "ß #ß "Ó † Ò $ß #ß %Ó œ $ % % œ $

m ? m œ " % " œ '→ È È

2° Ahora, obtendremos la proyección escalar:

T<9C I=- œ œ "ß ##%(%%)("ÞÞÞ $

'→→

?@ È

3° Calculando la proyección vectorial:

T<9C Z /-> œ Ò "ß #ß "Ó œ ß ß $ $ ' $

'' ' '

→→

?@

#Š ‹È ” •

Ejercicios: Determina la proyección vectorial de sobre → →? @ ß

1) → →? œ #3 $4 5 ß @ œ 3 #4 '5• • • •• •

2) , → →? œ Ò #ß "ß # Ó @ œ Ò !ß $ß % Ó

Respuestas:

1) # % "#

%" %" %"3 4 5• • •

2) ” •!ß ß$$ %%

#& #&

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


78

Definición: Sean y dos vectores. Se llama Producto Vectorial o→ →+ œ + ß + ß + , œ , ß , ß ,c d c d

" # $ " # $

Producto Cruz de y en ese orden al vector:→ →+ , a b

→ →+ ‚ , œ ß ß

+ + + + + +, , , , , ,” •º º º º º º# $ " $ " #

# $ " $ " #

o →→

+ ‚ , œ 3 4 5+ + + +, , , ,

+ +

, ,º º º º º º# $ " #

# $ " #

" $

" $

• • •

Ejemplo: Sean los vectores , , , , , . Determinaremos el producto cruz de→ →? œ # " $ @ œ $ " %c d c d→ →? @ y . En efecto:

→ →? ‚ @ œ 3 4 5 œ 3 "(4 &5 œ "ß "(ß &" $ # $ # " " % $ % $ "º º º º º º c d• • • •• •

Ejercicios: Determina el producto cruz entre los siguientes vectores.

1) y → →? œ 3 4 #5 @ œ #3 $4 %5• • • •• •

2) y → →? œ #3 %4 &5 @ œ $3 #4 5• • • •• •

3) y → →? œ Ò #ß "ß ! Ó @ œ 3 5• •

Respuestas:

1) →A œ #3 )4 &5• • •

2) →A œ '3 "$4 )5• • •

3) →A œ 3 #4 5• • •

Propiedades del Producto Cruz.

Sean y dos vectores en , entonces:→ →? @ ‘$

1) Propiedad Anticonmutativa para el producto vectorial→ → → →? ‚ @ œ @ ‚ ? Þ ÞŠ ‹2) . Entonces es ortogonal a y .→ → → → → → → → → →? † ? ‚ @ œ ! • @ † ? ‚ @ œ ! ? ‚ @ ? @Š ‹ Š ‹ Š ‹3) Si y son vector no nulo, entonces y son paralelos si y sólo si → → → →? @ ? @ ? ‚ @ œ

p p)

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


79

Ejercicios:

1) Determina un vector perpendicular a y simultáneamente:→ →? @

a) = y → →? Ò #ß "ß $Ó @ œ Ò"ß !ß #Ó

b) y → →? œ 3 5 @ œ #3 4 5• • •• •

2) Determina un vector unitario que sea ortogonal a:

a) y → →? œ 3 %4 5 @ œ #3 $4• • • ••

b) y → →? œ Ò #ß $ß !Ó @ œ Ò !ß % ß $Ó

3) Determina a través del producto cruz si los siguientes vectores son paralelos:

= y → →? Ò "ß #ß $Ó @ œ Ò#ß %ß 'Ó

Respuestas:

1) a) c d#ß "ß " b) c d"ß "ß "

2) a) 3 4 5$ # ""

"$% "$% "$%È È È• • •

b) 3 4 5* ' )

")" ")" ")"È È È• • •

3) Los vectores no son paralelos.

Teorema: Si es el ángulo entre entonces .: :→ → → → → →? C @ ß m ? ‚ @ m œ m? m m @ m=/8†

Es decir: sen : œm? ‚ @ m

m ? m m @ m

→ →→ →†

Ejemplo: Si es el ángulo formado por y . Determinemos y usando producto: : :→ →? @ =/8 ß

cruz dado que .→ →? œ "ß "ß " ß @ œ #ß "ß #c d c d1° Calcularemos , .m ? ‚ @ m m ? m m @ m→ → → → y

→ →? ‚ @ œ 3 4 5 œ 3 %4 $5" " " " " "" # # # # "º º º º º º• • • •• •

m ? ‚ @ m œ " "' * œ #'→ → È È m ? m œ " " " œ $→ È È m @ m œ % " % œ * œ $→ È È

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


80

2° Determinando el , tenemos que:=/8 :

=/8 œ œ œ œ !ß *)"$!'('#ÞÞÞm ? ‚ @ m #' " #'

m ? m † m @ m $ $ $ $ :

→ →→ →

ÈÈ Ê

†

3° El ángulo queda determinado como sigue:

: œ E<-=/8 œ ()ß *" #'

$ $ Ê 9

Ejercicios:

Encuentra el ángulo entre los vectores:

a) = y → →? #3 4 5 @ œ $3 #4 %5• • • •• •

b) y → →? œ "ß !ß % @ œ #ß "ß #c d c dRespuestas:

a) =/8 œ Ê œ #%ß &$!

' #*: :

ÈÈ È† 9

b) =/8 œ Ê œ $'ß "&$

$ "(: :

ÈÈ 9

Interpretación Geométrica de .m? ‚ @m→ →

Sea el paralelógramo definido por los vectores y . Por geometría básica, se tieneTUVW ? @→ →

que:

P Q

S R

h = || v || sen ϕv

u

ϕP Q

S R

h = || v || sen ϕv

u

ϕ

Area base alturaò œ †

Area ò œ m? ‚ @ m→ →

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


81

Ejemplo: Calculemos el área del paralelógramo que tiene como lados adyacentes los siguientes

vectores: → →? œ 4 ß @ œ 4 5• • •

1° Primero calcularemos . En efecto:→ →? ‚ @

→ →? ‚ @ œ 3 4 5 œ 3" ! ! ! ! "" " ! " ! "º º º º º º• • ••

2° Determinaremos la morma de .→ →? ‚ @

m ? ‚ @ m œ " œ "→ → È

3° En consecuencia, tenemos que el área del paralelógramo es ." ?Þ ./ +Þc d

Ejemplo: Encontremos el área del triángulo de vértices y .EÐ!ß #ß #Ñ ß FÐ)ß )ß #Ñ GÐ*ß "#ß 'Ñ

1° En primer lugar, debemos determinar los vectores que forman el tríangulo.

→ →+ œ EF œ F E œ )ß 'ß %c d

→ →, œ EG œ G E œ *ß "!ß %c d

2° Debemos calcular el área del triángulo, que es equivalente a la mitad del área del paralelógramo.

A A˜ òœ

"

#

A˜œ m + ‚ , m

"

#→ →

3° Calculando :→ →+ ‚ ,

→ →+ ‚ , œ 3 4 5 œ '%3 ')4 #'5

' % ) % ) '"! % * % * "!º º º º º º• • • •• •

4° Determinando la norma del vector obtenido en el 3° paso:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


82

m + ‚ , m œ *$*'→ → È5° En consecuencia, podemos afirmar que el área del triángulo es:

"

## # $%* œ #$%* œ %)ß %''%)$#'ÞÞÞ Ð? ./ + Ñ† È È . .

Ejercicios:

1) Calcula el área del paralelógramo de lados adyacentes los vectores y → →? œ Ò$ß #ß "Ó @ œ Ò "ß #ß $Ó

2) Calcula el área del paralelógramo con los vértices que se especifican y de lados y .→ →EF EG

a) E œ Ð"ß "ß " Ñß F œ Ð#ß $ß %Ñ ß G œ Ð'ß &ß #Ñ

b) , E œ Ð"ß $ß #Ñß F œ Ð#ß "ß %Ñ G œ Ð $ß "ß 'Ñ

c) E œ Ð+ß !ß !Ñß F œ Ð!ß ,ß !Ñß G œ Ð!ß !ß -Ñ

3) Calcula el área del triángulo de vértices

E œ Ð"ß $ß &Ñß F œ Ð$ß $ß !Ñß G œ Ð #ß !ß &Ñ

Respuestas:

1) . .' & Ò? ./ + ÓÈ2) a) . .# )$ Ò? ./ + ÓÈ b) . .È""%! Ò? ./ + Ó

c) . .È+ , + - , - Ò? ./ + Ó# # # # # #

3) . .* '

#Ò? ./ + Ó

È

Definición: Sean , , tres vectores. Los productos y se llaman→ → → → → →→ → →+ , - + † , ‚ - + ‚ , † -Š ‹ Š ‹

Producto Escalar Triple y los productos de la forma y → → → →→ →+ ‚ , ‚ - + ‚ , ‚ -Š ‹ Š ‹

se llaman Producto Vectorial Triple.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


83

Observación:

1) El número representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son losº ºŠ ‹→ →→+ † , ‚ -

vectores , y .→ →→+ , -

ϕ

c

a

b

n

hϕ

cc

aa

bb

nn

h

Z œ + † , ‚ -º ºŠ ‹→ →→

2) Si , entonces los vectores , , son coplanares.→ → → →→ →+ † , ‚ - œ ! + , -Š ‹

Ejemplo: Determinemos el volumen del paralelepípedo que tiene a =→? $ß &ß " ßc d→ →@ œ !ß #ß # A œ $ß "ß "c d c d y como lados adyacentes.

1° Buscando, en primer lugar, . En efecto, Verifiquémoslo→ → → →? ‚ @ ? ‚ @ œ )ß 'ß 'c d a b2° Calculemos Š ‹ c dc d→ → →? ‚ @ † A œ )ß 'ß ' $ß "ß " œ #% ' ' œ $'

3° Entonces, el volumen del paralelepipedo es º ºŠ ‹→ → →? ‚ @ † A œ $' Ð?Þ ./ @ÞÑ

Ejercicios:

1) Calcula el volumen del paralelepípedo con lados adyacentes

→ → →? œ "ß "ß ! ß @ œ !ß "ß " ß A œ "ß !ß "c d c d c d2) Calcula el volumen del paralelepípedo determinado por los vectores y , donde

→ →→TU ß TV TW

TÐ#ß "ß "Ñ ß UÐ $ß "ß %Ñ ß VÐ "ß !ß #Ñ WÐ $ß "ß &Ñy .

3) Calcular el volumen del tetraedro cuyos vértices son:

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


84

,E "ß "ß " ß F !ß ! ß # ß G !ß $ß ! H %ß !ß !a b a b a b a b El volumen de un tetaedro está dado por: Z œ F 2 œ ? ‚ @ † A

" " "

$ $ #Œ º ºŠ ‹→ → →

Respuestas:

1) . . 2) # Ð? ./ @ Ñ & Ð?Þ ./ @ÞÑ

3) El volumen de un tetaedro está dado por: Z œ F 2 œ ? ‚ @ † A" " "

$ $ #Œ º ºŠ ‹→ → →

→? œ "ß "ß "c d→@ œ "ß #ß "c d→A œ $ß "ß "c dŠ ‹

â ââ ââ ââ ââ ââ â→ → →? ‚ @ † A œ œ "Ð # "Ñ " Ð" $Ñ "Ð" 'Ñ œ #

" " " " # "$ " "

Z œ # œ Ð ?Þ ./ @Þ Ñ" "

' $†

Rectas en .‘3

Consideremos una recta que pasa por el punto y es paralela al vector P T ÐB ß C ß D Ñ < œ +ß ,ß -! ! ! !

→ c dmostrado en la figura

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


85

x

y

z

r

P0P

L

x

y

z

r

P0P

x

y

z

rr

P0P

L

La recta es el conjunto de todos los puntos del espacio para los cuales el vector P TÐBß Cß DÑ T T→

!

es paralelo a . Una manera de expresar que es paralelo a es afirmar que existe un escalar tal→ →→< T T < >

!

que:

→ →T T œ > <!

Ecuación Vectorial de la Recta a bPSi y , entonces

→ →T T œ T T œ B B ß C C ß D D < œ +ß ,ß -! ! ! ! !

c d c d→ →T T œ > <

! c d c dB B ß C C ß D D œ +>ß ,>ß ->

! ! !

es decir: B B œ +>ß C C œ ,>ß D D œ ->! ! !

o bien: Ecuación Paramétrica de la recta ÚÛÜ a bB œ B +>C œ C ,> ß > −D œ D ->

!

!

!

‘ P

Si son no nulos, entonces eliminando el parámetro se tiene:+ß ,ß - >

B B C C D D

+ , -œ œ! ! ! ; Ecuación simétrica o cartesiana de la recta a bP

Observaciones:

i) El vector determina la dirección de la recta y los números son los números→< œ +ß ,ß - +ß ,ß -c ddirectores de ella.

ii) Si uno de los números directores de una recta es cero, por ejemplo entonces la recta tiene porP , œ !ßecuación:

B B

+ -œ à C œ C

D D! !

!

Ejemplo: Determinemos la ecuación simétrica de la recta que pasa por los puntos yT Ð $ß #ß %Ñ"

T Ð'ß "ß # Ñ#

.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


86

1° Necesitamos conocer el vector director de la recta . Como nos dicen que la recta pasa por los puntosP

T T < œ T T œ * ß "ß # P" # " # y , podemos afirmar que es el vector director de .→ → c d

2° Si escogemos a como el punto por donde pasa la recta, la ecuación simétrica de la recta es:T"

B $ C # D %

* " #œ œ

Definición: Sean y dos rectas; vector director de vector director de .P P < P C < P" # " # #

→ →1

a) es paralela a si P P < ² <" #

→ →1 2

b) es perpendicular a si P P < ¼ <" #

→ →1 2

Ejemplo: Averiguemos si las siguientes rectas son paralelas o perpendiculares

B œ " >ß C œ # $>ß D œ >y B œ # > ß C œ # >ß D œ $ #>

Para averiguar si las dos rectas son paralelas debiera ocurrir que , es decir, o→ → → →< ² < < œ <1 2 1 2!

bien que . En efecto, los vectores directores son y . → → → →< ‚ < œ < œ "ß $ß " < œ "ß "ß #1 2 1 2@ c d c dSe ve claramente que .→ →< Á <1 2!

Ahora verifiquemos si , es decir . En efecto, . → → → →< ¼ < < † < œ ! "ß $ß " "ß "ß # œ !1 2 1 2 c d † c dPor lo tanto las rectas son perpendiculares.

Ejercicios:

1) Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por con vector director [Ð#ß "ß $Ñ "ß"ß $]

2) Encuentra las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por y que es a la recta: Ð"ß %ß $Ñ ¼B œ # > C œ " > D œ $ &>; ; .

3) Encuentra la ecuación de la recta en su forma simétrica que pasa por y .Ð#ß &ß 'Ñ Ð *ß $ß "Ñ

4) Considera la recta cuyas ecuaciones son:P

t

P ÀB œ # $>C œ > ß > −D œ "

ÚÛÜ ‘

Determina un vector unitario paralelo a y dos puntos distintos de la recta.P

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


87

5) Encuentra las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por los puntos yT Ð "ß "ß #Ñ"

T œ Ð#ß $ß "Ñ# .

6) Encuentra la ecuación de una recta ortogonal a las dos rectas dada y que pasaP

por el punto dado B # C $ D " B # C & D $

% ( $ $ % #œ œ à œ œ à Ð %ß (ß $Ñ

Respuestas:

1) B œ # > C œ " > D œ $ $>

2) B " œ œC % D $

" &

3) B # C & D '

"" # &œ œ

4) y dos puntos distintos son , .→? œ ß ß EÐ#ß ! "Ñ FÐ "ß "ß !Ñ’ “$ " "

"" "" ""È È È5) P À B œ " $>à C œ " #>à D œ # > à > − ‘

6) B % C ( D $

#' " $(œ œ

Teorema: Sea una recta paralela al vector y sea un punto del espacio que no pertenece a y P < E P T→!

un punto cualquiera que pertenece a la recta. La distancia de a está dada por:. E P

r

LP0

Ad

θx

z

y

rr

LP0

Ad

θx

z

y

. œm < ‚ T Em

m < m

→ →

→!

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


88

Ejemplo: Determinemos la distancia desde el punto a la rectaEÐ"ß #ß "Ñ

.P À œ œB " C ' D $

$ " #

1° Mostraremos los elementos básicos de la recta .P

→< œ $ß "ß # ß T "ß 'ß $c d a b!

2° Calcularemos el vector →T E Þ

!

→T E œ E T œ Ð"ß #ß "Ñ "ß 'ß $ œ Ò#ß %ß %Ó

! !a b

3° Calcularemos m < m œ m $ß "ß # m œ * " % œ "%→ c d È È4° Calcularemos .m < ‚ T Em→ →

!

Para ello, debemos determinar el vector . En efecto:→ →< ‚ T E

!

→ →< ‚ T E œ $ß "ß # ‚ Ò#ß %ß %Ó

!c d

→ →< ‚ T E œ à à

" # $ # $ " % % # % # %! ” •º º º º º º

→ →< ‚ T E œ %à "'à "%

!c d

Ahora bien, m < ‚ T Em œ "' #&' "*' œ %') œ ' "$→ →!

È È È5° Por tanto, la distancia del punto a la recta es E P . œ ?Þ ./7Þ

' "$

"%

ÈÈ a b

Ejercicios:

1) Determina si las rectas dadas son paralelas o perpendiculares y B # C $ D %

$ # &œ œ B œ '>ß

C œ # %>ß D œ " "! >

2) Sean los puntos y Determina la ecuación de la recta que pasa por y .EÐ "ß "ß #Ñ FÐ$ß "ß #ÑÞ E F

3) Determina la distancia entre el punto y la recta dada por UÐ$ß "ß %Ñ B œ # $> ß C œ #>ß D œ " % >

4) Determina la distancia entre el punto y la recta dada por VÐ"!ß $ß #Ñ B œ %> #à C œ $àD œ > "

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


89

Respuestas:

1) → →< œ $ß #ß & ß < œ 'ß %ß "!" #

c d c d es decir, →< œ # < ß $ß #ß & œ 'ß %ß "!

" #† †→ c d c d"

#

Por lo tanto las rectas son paralelas.

2) B "

%à C œ "à D œ #

3) .ÐUßPÑ œ 'È4) Obs.: .ÐVßPÑ œ ! V − Pa bPlanos en .‘$

Sean un punto fijo del espacio y un vector dado, con .T B C ß D 8 œ +ß ,ß - 8 Á! !ß ! !ˆ ‰ c d→ → )

x

z

y

n

P0P

x

z

y

nn

P0P

Un punto del espacio perteneciente al plano que contiene a y es perpendicular alT Bß Cß D Ta b!

vector si y sólo si el vector es perpendicular a .→ →→8 T T 8

!

→8 † T T œ !→

! ; Ecuación Vectorial del Plano.

Como , entonces→T T œ T T œ B B ß C C ß D D

9 ! ! ! !c d

→ →8 † T T œ !

!c d c d+ß ,ß - † B B ß C C ß D D œ !! ! !

+ B B , C C - D D œ !a b a b a b! ! !

+B +B ,C ,C -D -D œ !! ! !

donde ; entonces. œ +B ,C -D! ! !

+B ,C -D . œ ! ; Ecuación Cartesiana del Plano.

Entonces, podemos concluir que la ecuación del plano se puede determinar de dos formas: através de la ecuación vectorial o de la ecuación cartesiana.

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


90

Ejemplo: Determinemos la ecuación del plano que tiene vector normal y pasa por .→8 œ "ß #ß $ T "ß "ß $c d a b De la definición dada, podemos determinar la ecuación del plano de dos formas:

1° T T œ Bß Cß D B ß C ß D! ! ! !

a b a b T T œ B " ß C " ß D $

!c da b a b a b

Por lo tanto c À B "ß C "ß D $ † "ß #ß $ œ !c d c d c À B " #ÐC "Ñ $ ÐD $Ñ œ !a b c À B #C $D œ "#

2° y pasa por ; ; →8 œ "ß #ß $ T "ß "ß $ Ê B œ " C œ " D œ $c d a b! ! !

. œ " " # " $ $ œ "#a b a b† † †

Por lo tanto, reemplazamos en la ecuación general del plano. Ê B # C $D œ "#

Ejercicios:

1) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto y su vector normal es TÐ#ß "ß #Ñ 8 œ "ß !ß !→ c d2) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto y es perpendicular al vectorT Ð #ß "ß "Ñ

→8 œ #ß "ß $c d.3) Determina la ecuación del plano que pasa por los puntos yT œ Ð"ß #ß "Ñß U œ Ð #ß $ß "Ñ

V œ Ð"ß !ß %Ñ

Respuestas:

1) B œ #2) #B C $D œ )3) B *C 'D œ #$

Distancia de un Punto a un Plano.

Se puede probar que en general la distancia entre un punto y un plano está dada por:. T"

c

H œm8 † T T m

m8 m

→ →

→0 "

ó bien H œl+B ,C -D .l

+ , -

" " "

# # #Èdonde y es un vector normal al plano T − 8

"c c

p

Ejemplo: Determina la distancia del punto al plano E %ß !ß " #B C )D œ $a b

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


91

1° Sabemos que es el punto fuera del plano y el vector normal al plano queE %ß !ß " 8 œ #ß "ß )a b c d→

se obtiene de la ecuación del plano.

2° Determinaremos el valor de la expresión . En efecto:¸ ¸+B ,C -D ." " "

¸ ¸ ¸ ¸# † % " † ! ) † " $ œ ) ) $ œ "$

3° Calculando la norma del vector director, tenemos que ¡verifícalo!m8 m œ '*→ È a b4° Luego, tenemos que la distancia del punto al plano es:

u. de l.. œ '* œ "ß &'&!"'!*ÞÞÞ"$

'*È a b

Ejercicios:

1) Dertermina la distancia del punto dado al plano dado

a) Ð $ß !ß #Ñ à $ B C & D œ ! b) Ð"ß &ß %Ñ à $ B C # D œ '

2) Dertermina la distancia desde el punto al plano de vector normal [ , , ] y que pasa por Ð!ß "ß "Ñ $ " ' T Ð"ß "ß #Ñ

Respuestas:

1) a) . œ ¸ $ß #" Ð? ./ 6Ñ"*

$&È b) . œ ¸ %ß #( Ð? ./ 6Ñ

"'

"%È2) . œ

*

%'È

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Planos Paralelos.

Dos planos son paralelos si sus vectores normales son paralelos, es decir, si el producto cruz de susvectores normales es el vector nulo.

La distancia entre dos planos paralelos y que no contienen al origen, está dado por:c d

H œ¹ ¹. .

m8m

" #

→

donde: y . œ T 8 . œ T 8" " # #

† †→ →

Plano y Plano T − T −" " # #

c c

Ejemplo: Derterminemos la distancia entre los planos paralelos y $B C #D ' œ !'B #C %D % œ !.

1° Determinemos los puntos y que pertenencen a los planos respectivos.T T" #

Sea Plano y Plano T œ "ß "ß # − T œ "ß "ß # −" " # #

a b a bc c

2° Calculemos los valores de y . En efecto:. ." #

. œ T 8 œ "ß "ß # † $ß "ß # œ '" " †

→ a b c d . œ T 8 œ "ß "ß # † $ß "ß # œ #

# #†→ a b c d

3° Calculemos la norma de uno de los vectores directores de los planos. Para ello, trabajaremos conel vector →8 œ $ß "ß #c d ² 8 ² œ * " % œ "%→ È È4° Por lo tanto, podemos determinar la distancia entre los planos. Esta es:

H œ œ œ ?Þ ./ 6Þl. . l l' Ð #Ñl )

² 8 ² "% "%

" #

→ È È a b

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Ejemplo: Determina la ecuación cartesiana del plano que contiene el punto y escß "ß #ß $a bparalela al plano . Encuentre, además, la distancia entre ambos planos.d À $B C #D œ %

1° Como , se tiene que sus vectores directores también son paralelos. Por lo tanto, un vectorc d²

normal para es c →8 œ $ß "ß #c d2° La ecuación de plano solicitada es:

c À $ B " " C # # D $ œ !a b a b a bc À $B $ C # #D ' œ !

c À $B C #D ( œ !

3° La distancia entre ambos planos es:

H œ œ !ß )!"()$($ ?Þ ./ 6Þ% (

"%

¸ ¸È a b

Ejercicio: Determina la distancia entre los dos planos paralelos y .#B C D œ " %B #C #D œ $

Respuesta: . œ œ !ß #!% ?Þ ./ 6Þ"

#%È a b

Planos Perpendiculares.

Dos planos y son perpendiculares si sus vectores normales son perpendiculares, es decirc c" #→ → → →8 ¼ 8 ß 8 81 1# # " #

donde y son vectores normales a y .c c

Ejemplo: Determinemos si los siguientes planos y sonB #C $D œ & #B #C #D œ %perpendiculares.

1° Obtengamos los vectores directores de los planos correspondientes.

y → →8 œ "ß #ß $ 8 œ #ß #ß #1 c d c d#

2° Diremos que los planos son perpendiculares si y sólo si . En efecto:→ →8 † 8 œ !1 #

Ò"ß #ß $Ó Ò#ß #ß #Ó œ # % ' œ !†

Por lo tanto los planos son perpendiculares

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Ejercicios:

1) Halla la ecuación del plano que pasa por el punto y es paralela al plano .a b #ß $ß % &B #C $D œ !2) Determina el valor de de modo que los planos y 5 5B #C $D œ & 'B 5C #D œ $

sean perpendiculares.

3) Determina si los siguientes pares de planos son paralelos o perpendiculares

a) &B $C D œ %ß B %C (D œ "b) $B C %D œ $ *B $C "#D œ %c) B $C 'D œ % &B C D œ %

Respuestas:

1) &B #C $D œ #)

2) 5 œ$

%3) Son perpendiculares en son paralelos en b, No son paralelos ni perpendiculares en .+ß -

Ángulo entre Planos.

El ángulo entre dos planos se define como el ángulo entre los vectores normales a los dos planos.Este ángulo se determina de la siguiente forma:

: œ E<--9=8 Þ8

m8 m † m8 m

Ô ×Ö ÙÕ Ø

¹ ¹→ →

→ →" #

" #

Ejemplo: Calculemos el ángulo entre los planos y B #C D œ ! #B $C #D œ !

1° Determinemos , y .¹ ¹→ → → →8 Þ8 m8 m m8 m" # " #

¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹c d c d→ →8 Þ8 œ "ß #ß " † #ß $ß # œ # ' # œ '" #

m8 m œ " % " œ '→"

È È m8 m œ % * % œ "(→

#È È

: œ E<--9= œ E<--9= œ &$ß &&"ß #ß " † #ß $ß #

' † "(

'

"!#

Ô ×Ö ÙÕ Ø

¹ ¹c d c dÈ È È 9

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Ejercicios: Encuentra el ángulo entre los planos.

1) B C D œ $ • %B #C (D œ &

2) B C D œ ! • $B #C #D œ !

3) Determinar la ecuación del plano que cumpla con la condición indicada.

a) Paralelo al plano y contenga al punto .#B C D " œ ! Ð#ß $ß %Ñb) Perpendicular al plano y contenga los puntos y .B $C D ( œ ! Ð#ß !ß &Ñ Ð!ß #ß "Ñc) Perpendicular a cada uno de los planos y y contenga alB C D œ ! $B %C &D # œ !

punto .Ð$ß #ß "Ñ

Respuestas:

1) 2) )'ß !" ""ß %#9 9

3) Revise sus respuestas con sus compañeros y luego con su profesor.

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PROBLEMA 1: Dado los vectores y con , . Determina:→ → → →? œ Ò "ß &ß #Ó @ œ Ò #ß $ß "Ó ? @ − ‘3

a) Los cosenos directores para .→? b) La distancia de a .→ →@ ?

c) El área del paralelogramo generado por y .→ →? @ d) La ecuación simétrica de la recta que pasa por el punto y vectora b"ß #ß $

director .→@ e) La ecuación del plano que pasa por y vector normal .a b$ß #ß " ?→

f) La proyección vectorial de sobre .→ →? @

g) La proyección escalar de sobre .→ →@ ?

PROBLEMA 2: Determina el volumen del paralelepípedo que tiene vérticesTÐ&ß %ß &Ñà UÐ%ß "!ß 'Ñà

VÐ"ß )ß (Ñ WÐ#ß 'ß *Ñ TU ß TV C TWy y aristas .→ →→

PROBLEMA 3: Diga si el cuadrilátero que tiene sus vértices en yTÐ "ß #ß $Ñà UÐ%ß $ß "Ñà VÐ#ß #ß "ÑWÐ&ß (ß $Ñ es un paralelógramo.



PROBLEMA 1: Muestra que los puntos:

a) ,- - son colineales (que se ubican en la misma recta)Ð#ß "ß &Ñà Ð) #ß !Ñà Ð"%ß &ß &Ñb) - - y son coplanares (que se ubican en el mismo plano)Ð$ß "ß #Ñà Ð $ß "ß "Ñà Ð%ß $ß &Ñ Ð"ß "ß "Ñ

PROBLEMA 2: Determina si las rectas se intersectan. Si se intersectan, calcula el ángulo que forman.

: :P PB œ $ (> B œ & =C œ # > à > C œ $ #= à =D œ $ #> D œ # '=

" #

Ú ÚÛ ÛÜ Ü%‘ %‘

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PROBLEMA1: Sean y . Calcula:→ → →? œ "ß #ß $ à @ œ $ß #ß & A œ #ß %ß "c d c d c da) → →? @

b) $ @ &A→ →

c) T<9C I=-→→A@

d) T<9C Z /->→→?@

h) → → → →? † A A † @

j) El ángulo entre y → →? @

k) Determina el volumen del paralelepípedo generado por los vectores y .→ → →? ß @ A

PROBLEMA 2: Determina las ecuaciones de la recta que pasa por el punto y es perpendicularÐ$ß $ß %Ñ

a cada una de las rectas: y .#B% D## " &

C$œ œ œ œB $ #C ( $ D

" $ $

PROBLEMA 3: Demuestra que las rectas y sonB # C # ) D B " # C D $

$ % % $ % %œ œ œ œ

paralelas y determina la distancia entre ellas.



PROBLEMA 1: Calcula el ángulo formado por la recta y el planoB # C D %

$ " #œ œ

#B $C D "" œ !.

PROBLEMA 2: Determina la distancia del punto a la recta de intersección de los planosÐ(ß (ß %Ñ'B #C D % œ ! 'B C #D "! œ ! y .

PROBLEMA 3: Encuentra la ecuación del plano que contiene a la recta y esB # C $ D

# $ %œ œ

paralelo a la recta: .B" D(" # &

Cœ œ

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PROBLEMA 1: Determina la distancia del punto al plano .Ð#ß "ß %Ñ #B &C %D œ $!

PROBLEMA 2: Encuentra la ecuación del plano que contiene al punto y a la rectaÐ"ß "ß #ÑB # œ C " œ D&

#

PROBLEMA 3: Calcula el valor de para que los planos y5 5B #C #D ( œ !%B 5C 'D * œ ! sean perpendiculares entre si.

PROBLEMA 4: Sean , y los ángulos directores de un vector . Demuestra que! " $ →+-9= -9= -9= œ "# # #! " $ .

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UNIDAD 3

Espacios Vectoriales.

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Espacios Vectoriales.________________________________________________________________________

Max ZornGiuseppe Peano

El primero en dar una definición axiomática de espacio vectorial real, fue elmatemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) en una publicación en el año 1888.También logró establecer las condiciones que debe cumplir un objeto (por ejemplo unvector) para que sea linealmente dependiente de otros (es decir, se pueda escibir comouna combinación lineal) e introduce la idea de dimensión (para referirse al número deelementos de un conjunto).

Más adelante, en 1935, el matemático alemán Max Zorn (1906-1993), publicóun axioma que permitió fundamentar la demostración de varios teoremas relativos aespacios vectoriales, llamado ."Lema de Zorn"

Existen muchas situaciones problemáticas que se pueden resolver con mayorfacilidad aplicando los conceptos mencionados. Por ejemplo, en los sistemas deecuaciones lineales resulta natural considerar combinaciones lineales de las filas de unamatriz; también, es posible caracterizar conjuntos tales como (vectores en el plano) y‘2

‘3 (vectores en el espacio); etc.

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Definición: Un es un conjunto de objetos, llamados , que junto conespacio vectorial Z vectoresdos operaciones binarias llamadas y ,adición multiplicación por un escalarcumplen las siguientes propiedades

a) Propiedades para la Adición ( ) À Z ‚ Z Ä Z

Ð B ß C Ñ Ä B C→ → → →

i) Clausura: La suma de dos vectores es un vector.a B ß C − Z à Ð B C Ñ − Z Þ→ → → →

ii) Asociatividad: a B ß C ß D − Z à B Ð C D Ñ œ Ð B C Ñ D→ → → → → → → → →

iii) Conmutatividad: a B ß C − Z à B C œ C B→ → → → → →

iv) Elemento neutro aditivo: a B − Z ß bx − Z Î B œ B œ B→ → → →→ → →) ) )

v) Elemento inverso aditivo: a B − Z ß B Á ß bx B − Z Î B Ð B Ñ œ Ð B Ñ B œ→ → → → → → →→ →) )

b) Propiedades para la Multiplicación por un Escalar ( )† À ‚ Z Ä ZŠ

Ð ß B Ñ Ä B! !→ →

vi) Clausura bajo la multiplicación por un escalar: ; a B − Z • − B − Z→ →! Š !

vii) Asociatividad de la multiplicación por escalares: a ß − ß a B − Z à! " Š →

! " ! "Ð B Ñ œ Ð Ñ B→ →

viii) , donde es el elemento unitario del cuerpo a B − Z ß " B œ B " Þ→ →†→ Š

c) Propiedades Distributivas

ix) a − ß a B ß C − Z Î B C œ B C! Š ! ! !→ → → → → →Š ‹x) a ß − ß a B − Z Î B œ B B! " Š ! " ! "→ → → →a b

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Ejemplos:

1) El conjunto (con ) es un espacio vectorial, llamadoZ œ Ö!× œŠ ‘ trivial. En efecto, ( cumple las propiedades:Z ß ß † Ñ

i) Clausura: ! − Z à ! ! − Z Þa bii) Asociatividad: ! − Z à ! ! ! œ ! ! !a b a biii) Conmutatividad: ! − Z à ! œ !! !

iv) Elemento neutro aditivo: a ! − Z ß bx ! − Z Î ! ! œ !

v) Elemento inverso aditivo: a ! − Z ß b ! − Z Î ! ! œ !

vi) Clausura bajo la multiplicación por un escalar: , ; ! − Z − ! œ ! − Z! ‘ !

vii) Asociatividad de la multiplicación por escalares: a ß − ß ! − Z à! " ‘

! " ! "a b a b! œ ! œ !

viii) , donde 1 es el elemento neutro multiplicativo del conjunto ! − Z ß " ! œ ! Þ† ‘

ix) a − ß ! − Z Î ! ! œ ! !! ‘ ! ! !a bx) a ß − ß ! − Z Î ! œ ! ! œ !! " ‘ ! " ! "a b

2) El conjunto es un espacio vectorial.Z œ Ö"× no En efecto, no cumple la propiedad de clausura para la adición:a bZ ß ß †

i) Luego, no es un espacio vectorial." − Z à " " œ # Â Z Þ Z ß ß †a b a bObservaciones:

1) Los elementos de se denominan y los elementos de , .Z vectores escalaresŠ

2) Si = , diremos que es un . Si diremos que Š ‘ Š ‚Z œ ß Zespacio vectorial real es un espacio vectorial complejo.

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Ejercicios:

Determina si los siguientes conjuntos son e.v.

1) donde es un número real fijo y es un número realZ œ ÖÐBß CÑ À C œ 7B× 7 B arbitrario.

2) .Z œ Q#‚$

Respuestas:

1) es un e. v., ya que consiste en todos los puntos sobre la recta Z œ ÖÐBß CÑ À C œ 7B× Z C œ 7Bque pasa por el origen y tiene pendiente y cumple con todas las propiedades de un e.v.7

2) El conjunto de las matrices de orden , junto con la adición de matrices y la multiplicación por# ‚ $

un escalar, cumple con todas las propiedades de un e.v.

Propiedades De Los Espacios Vectoriales.

1) El elemento neutro para la operación adición es único.→)

2) Para cada elemento de , el inverso aditivo es único.→ →B Z B

3) Ley de Cancelación: a B ß C ß D − Z ß B C œ B D C œ D→ → → → → → → → →Ê

4) El producto del escalar por cualquier vector es el vector nulo.!

5) a − ß a B − Z à B œ B! Š ! !→ → →a b Š ‹6) a − ß œ- Š - ) )†

→ →

7) .! ) ! ) ! Š→ → →→ →B œ œ ! ” B œ ß − • B − ZÊ

Subespacios Vectoriales.

Definición: Sea un - espacio y un subconjunto de Diremos que es un Z W Z Þ WŠ subespaciovectorial de , si es un espacio vectorial sobre con las mismas operaciones deZ W Šadición y multiplicación por escalar definidas en . Se dice que hereda las operacionesZ Wdel espacio vectorial Z

Observación: Cualquiera sea el espacio , tanto como mismo, son . LosZ Z˜ ™→) subespacios triviales

demás subespacios de , distintos a los dos mencionados, se llaman Z subespacios propios.

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Teorema: Sea un - espacio vectorial y un subconjunto de . Entonces es un subespacioZ W Z WŠvectorial de si y sólo si:Z

i) W Á 9

ii) → → → →? − W • @ − W Ê ? @ − W

iii) - Š -− • ? − W Ê ? − W→ →

Ejemplo: El conjunto es subespacio de , pues verifica que:W œ ÖÐBß CÑ − Î B #C œ ! ×‘ ‘# #

i) , pues Al reemplazar en se tiene que W Á œ Ð!ß !Ñ − WÞ Ð!ß !Ñ Wß9 )→

! # ! œ !† ii) → → → →? − W • @ − W ? œ Ð? ß ? Ñ • @ œ Ð@ ß @ Ñ − WÊ

" # " #

Ê ? #? œ ! • @ #@ œ !" # " #

Ê Ð? #? Ñ Ð @ #@ Ñ œ !" # " #

, al suprimir paréntesisÊ ? @ #? #@ œ !" " # #

, al conmutar y asociarÊ Ð? @ Ñ #Ð? @ Ñ œ !" " # #

, por definición de Ê Ð ? @ ß ? @ Ñ − W W" " # #

, por adición de vectoresÊ Ð? ß ? Ñ Ð@ ß @ Ñ − W" # " #

Ê → →? @ − W

Por lo tanto, → → → →? − W • @ − W ? @ − WÊ

iii) Finalmente, probemos que À − • ? − W ? − W- ‘ -→ →Ê

- ‘ - ‘− • ? − W − • Ð? ß ? Ñ − W → Ê" #

Ê - ‘− • Ð? #? œ ! Ñ" #

Ê - Ð? # ? Ñ œ !" #

Ê - -? # ? œ !" #

Ê Ð ? ß ? Ñ − W- -" #

Ê -Ð? ß ? Ñ − W" #

Ê -→? − W

Por lo tanto ß − • ? − W ? − W- ‘ -→ →Ê

De i), ii) y iii) se tiene que es un subespacio vectorial de .W ‘#

Ejercicios: Determina si los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales.

1) W œ ÖÐB ß C Ñ − Î $B œ C ×‘#

2) W œ ÖÐB ß Cß D Ñ − Î B %C #D œ !×‘$

3) W œ ÖÐB ß C Ñ − Î C œ #B " ×‘#

4) W œ ÖÐBß C ß D Ñ − Î #B "#C D œ "×‘3

5) W œ − Q Î + , œ !+ ,- .œ Œ #‚#

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6) W œ Ö + ,B -B − T ÐBÑ Î , œ - ×##

Respuestas:

1), 2), 5) y 6) Son subespacios vectoriales.3) y 4) No son subespacios vectoriales.

Combinaciones Lineales.

Hemos visto en el capítulo anterior que todo vector de se puede escribir de laß ß @ œ +ß ,ß -→ c d ‘$

forma →@ œ + , -3 4 5• • •

En este caso se dice que es una de los tres vectores unitarios y .→@ ßcombinación lineal 3 4 5• • •

Definición: Sea un - espacio vectorial y sean vectores de . Cualquier vectorZ @ ß @ ß ÞÞÞÞß @ ZŠ → → →" # 8

que se pueda escribir de la forma , donde , , ... son! ! ! ! ! !" " # "#

→ → →@ @ ÞÞÞÞÞÞÞÞ @ ß8 8 2 n

escalares, se llama una (C.L) de .combinación lineal → → →@ ß @ ß ÞÞÞß @" # 8

Ejemplo: Encontremos los valores de , , ... que nos permitan escribir al vector! ! !" 2 nß

como una C.L. de y .→ → →A œ @ œ @ œ ( " &( # $( % "

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò" #

Es decir, = Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò

( " &( # $( % "

! !" #

Para ello formemos el sistema de ecuaciones

( œ &! !" #

( œ # $! !" #

( œ % ! !" #

Y resolvámoslo, usando matrices.

Escalonando, se tiene

| |

| | | |


" & ( " & (# $ ( ! ( (% " ( ! ! !

µ

Así, el sistema tiene solución única (¿por qué?) y ésta es y ! !" #œ # œ "

Por lo tanto,

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= Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò

( " &( # $( % "

#

Ejercicios: Encuentra los valores de , , ... , si es que existen, tales que! ! !" 2 nß

1) La matriz pueda escribirse como una C.L deQ œ Þ $ # ) " * $Œ

y Q œ Q œ Þ " ! % ! " #" " & # $ '" #Œ Œ

2) La matriz pueda escribirse como una C.L deE œ Þ# "! $Œ E œ E E œ Þ

" " ! " " "! " ! " ! "" #œ $Œ Œ Œ , y

3) El vector pueda escribirse como una C.L. de → →@ œ #ß & @ œ Ò !ß " ÓÞc d "

4) El vector pueda escribirse como una C.L de→ →@ œ Ò "ß #ß $ Ó @ œ Ò"ß #ß $Ó ß"→ →@ œ Ò #ß !ß "Ó @ œ Ò !ß #ß "ÓÞ# $ y

Respuestas:

1) y ! !" #œ $ œ #2) , y ! ! !" $#œ # œ & œ %

3) No existe ningún escalar que permita escribir al vector como una C.L. ! →@4) y! ! !" $#œ &Î$ ß œ %Î$ œ #Î$

Observación: El vector nulo es una C.L. de cualquier conjunto de vectores. En efectoß

se tiene quea8 − • a B ß B ß ÞÞÞÞß B − Z ß œ ! B ! B ÞÞÞÞ ! B )→ → → → → →→" # 8 " # 8

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Definición: Sea un - espacio vectorial y . Se dice que es unZ E œ Ö @ ß @ ß ÞÞÞß @ × © Z EŠ → → →" # 8

conjunto generador de , si todo vector en se puede escribir como una combinaciónZ Zlineal de los vectores de EÞ

La notación sirve para indicar que es un por Z œ E Z EÞ ¡ espacio generado

Ejemplos:

1) Determinar si genera a .W œ Ö "ß " à #ß " ×a b a b ‘#

Diremos que genera a sí y sólo siW œ Ö "ß " à #ß " ×a b a b ‘#

a Bß C − Bß C œ "ß " #ß "a b a b a b a b‘ ! "# de manera que

En efecto: ! " # œ B ! " œ C

resolviendo el sistema en función de e , tenemos que:B C

y ! "œ #C B œ B C

por lo tanto , , es decira b a b a bBß C œ "ß " #ß "! "

.a b a ba b a ba bBß C œ #C B "ß " B C #ß "

Como existe la c.l., podemos afirmar que ‘# œ W ¡

2) El conjunto es un conjunto generador de ,F œ ß ß ß" ! ! " ! ! ! !! ! ! ! " ! ! "œ Œ Œ Œ Œ `

#‚#

es decir:

= , pues`#‚# ¦ §œ Œ Œ Œ Œ " ! ! " ! ! ! !

! ! ! ! " ! ! "ß ß ß

cualquiera sea la matriz de orden , ésta se puede escribir como una combinación lineal de las# ‚ #matrices de .F

En efecto,

Œ Œ Œ Œ Œ + , " ! ! " ! ! ! !- . ! ! ! ! " ! ! "

œ + , - .

3) Los vectores y generan a .3 4• •

#œ œ" !! "Œ Œ ‘

4) Los vectores y generan a .3 4 5• • •

$œ ß œ œ" ! !! " !! ! "

Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò ‘

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Observación: Si se agrega uno o más vectores a un conjunto generador, se obtiene otro conjunto

generador. Por ejemplo, si , genera a , entonces , ,œ œŒ Œ Œ Œ " # " ## $ # $

‘#

Œ # $

también genera a .‘#

5) Determinar si el vector esta en el espacio vectorial generado pora b"ß &ß $ß 'W œ Ö "ß "ß "ß " à "ß "ß "ß ! à "ß "ß !ß ! à "ß !ß !ß ! ×a b a b a b a b .

Linealidad.

Sea un - espacio vectorial y ; es un conjuntoZ E œ Ö @ ß @ ß ÞÞÞÞ @ × © Z EŠ → → →" # 8

linealmentedependiente (L.D.) si existen escalares , ,..., , no todos nulos, tales que:! ! ! Š" 2 n −

... =!3 œ"

8

3 3! ! ! ! )→ → → → →@ œ @ @ @" " # 8 82

Es decir, dos vectores en un e.v son , si y solo si uno es un múltiploÞ linealmente dependientesescalar del otro.

Cuando no es L.D. se le denomina (L.I.).E linealmente independiente

Observación 1: linealmente dependientes →@ ß @ ß ÞÞÞÞÞÞÞß @

" # 8

→ → son (L.D.), si y sólo si, uno de ellos esuna los restantes. combinación lineal

Observación 2: linealmente independiente es un conjunto si todo subconjunto finito de es L.I.W W

Ejemplo: El conjunto es L.I.W œ ÖÐ #ß "ß !ß $ Ñß Ð 'ß $ß !ß * Ñ×

Efectivamente, de la definición se tiene que: + ! ! )" " #

→ → →@ @ œ2

Es decir, ! !" Ð #ß "ß !ß $ Ñ Ð 'ß $ß !ß * Ñ œ Ð!ß !ß !ß ! Ñ2

Al multiplicar por un escalar Ð# !ß $ Ñ Ð ' ß $ ß ! ß * Ñ œ Ð!ß !ß !ß ! Ñ! ! ! ! ! !" " "ß ß 2 2 2

Al sumar componente a componente

Ð # ' ß $ ß ! ß $ * Ñ œ Ð!ß !ß !ß ! Ñ! ! ! ! ! !1 2 2 2 " "

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Al igualar los vectores y formar un sistema de ecuaciones: # ' œ !! !

" 2

! !" $ œ !2

! œ ! $ * œ !! !" 2

Al resolver mediante matrices


# ' " $ " $ " $ # ' ! !$ * $ * ! ")

µ µ

Se obtiene que , de donde se concluye que los vectores son L.I.! !" œ œ !2

Ejercicios: Determina si los siguientes conjuntos son L.I. o L.D.

1) W œ ÖÐ"ß "ß !Ñ ß Ð"ß "ß "Ñ ß Ð!ß "ß "Ñ×2) V œ ÖÐ"ß "Ñ ß Ð#ß "Ñ ß Ð$ß !Ñ ×3) T œ Ö " #B ß B B ß # (B $B ×# #

Respuestas: 1) L.I. , 2) L.D. y 3) L.D.

Me cuesta entender un poco esto. ¿Existe alguna interpretación geométrica?

Me cuesta entender un poco esto. ¿Existe alguna interpretación geométrica?

Una interpretación geométrica de la dependencia e independencia lineal en es:‘$

En a) los tres vectores son independientes y no coplanares. En b) los tres vectores son dependientes y coplanares.

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Observaciones:

1) Si el conjunto ... es L.I., entonces el único valor que pueden asumir losE œ Ö @ ß @ ß ß @ ×→ → →" # 8

escalares ... en la ecuación ... es = ! ! ! ! ! ! ) ! ! !" " "8 " # 8 8ß ß ß @ @ @ œ œ ÞÞÞ œ2 2 2

→ → → →8

œ !Þ

2) Todo conjunto que consta de un único vector distinto del nulo es L.I.

3) Si uno de los vectores de un conjunto de vectores es el nulo, entonces el conjunto es L.D.

4) El conjunto es L.I.9

5) Si es un conjunto de L.D. entonces uno de los vectores es C.L. de los restantesÖ @ ß @ ß ÞÞÞÞß @ × ß Þ→ → →" # 5

6) Si el vector es C.L de entonces .. es L.D.→ → → → → → → →@ @ ß @ ß ÞÞÞß @ ß Ö @ ß @ ß @ ß Þß @ ×" # " # 55

7) Todo subconjunto de un conjunto L.I. es L.I.

8) Todo conjunto de un conjunto de vectores que contenga un subconjunto L.D es L.D.

9) Si el conjunto = es un conjunto generador L.D. del espacio vectorial ,E Ö @ ß @ ß ÞÞÞß @ × Z→ → →" # 5

entonces existe tal que es también un conjunto generador de → →@ − E E Ö @ × Z Þ4 4

Base de un Espacio Vectorial.

Hemos visto que, en , un vector se puede escribir como una C.L. de los vectores y‘#•3 œ Ð"ß !Ñ

4 3 4 5• • • •

œ Ð!ß "Ñ ß œ Ð"ß !ß !Ñß œ Ð!ß "ß !Ñ œ Ð!ß !ß. En se escribieron en términos de los vectores y ‘3

"ÑÞ

Sean un - espacio vectorial y . Se dice que es una si :Z K œ Ö @ ß @ ß ÞÞÞß @ × © Z KŠ → → →" # 8 base de Z

i) es L.I.Kii) es un conjunto generador de .K Z

Observaciones:

1) Se conviene en considerar a una base como un conjunto ordenado de vectores.2) Todo conjunto de vectores L.I., en , es una base de .8 ‘ ‘

n n

3) Dado que, en , el conjunto de vectores:‘n

→/ œ Ð "ß !ß !ß ÞÞÞÞß !Ñ"

→/ œ Ð!ß "ß !ß ÞÞÞÞß !Ñ#

→/ œ Ð!ß !ß "ß ÞÞß !Ñ$

Þ Þ

→/ œ Ð!ß !ß ÞÞÞÞÞÞß "Ñ8

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111

1 es linealmente independiente, se tiene que este conjunto constituye una base de . Esta base especial‘

n

se llama en .base canónica ‘n

¿ Se podría esto relacionar conalgún ejemplo práctico de la vida real para que me quede más claro?

¿ Se podría esto relacionar conalgún ejemplo práctico de la vida real para que me quede más claro?

Podríamos hacer una analogía con los colores. Si consideramos los tres colores primarios: rojo,amarillo y azul (los cuales son independientes entre sí) podríamos con ellos toda la gama de"generar" colores (Rosa Cromática). Recuerda que rojo y amarillo generan el naranjo; azul y rojo , el morado , etc. Entonces la sería el conjunto de los colores primarios y el conjunto de todos los colores quebaseexisten vendría a ser el espacio vectorial.

Ejemplos:

1) El conjunto es una base para el espacio vectorialF œ ÖÐ"ß #ß !Ñß Ð!ß $ß "Ñ×

Z œ ÖÐBß Cß DÑ − Î #B C $D œ !×Þ‘3

En efecto:

i) es L.I., porque sus vectores son L.I. (un vector no es múltiplo del otro).F

ii) es un conjunto generador de , pues si y se escogen arbitrariamente y se despeja F Z B D C(obteniéndose que , entonces los vectores del conjunto son de la forma C œ #B $DÑ Z ÐBß#B $Dß DÑ Ð"ß #ß !Ñ Ð!ß $ß "Ñ, es decir, son una C.L. de los vectores y .

ÐBß #B $Dß DÑ œ BÐ"ß #ß !Ñ DÐ!ß $ß "Ñ

Así, entonces, es efectivamente una base para F Z Þ

2) El conjunto es una base para el espacio vectorialF œ ß ß ß" ! ! " ! ! ! !! ! ! ! " ! ! "œ Œ Œ Œ Œ

`#‚#

. Demuéstralo.

Ejercicios:

1) Determina si constituye una base para . E œ ÖÐ"ß "ß "Ñß Ð"ß #ß $Ñß Ð#ß "ß "Ñ× ‘$

2) Sea el subespacio de generado por los vectores[ ‘%

→ → →? œ Ð"ß #ß &ß $Ñß ? œ Ð#ß $ß "ß % Ñß ? œ Ð$ß )ß $ß &Ñ" # $

Encuentra una base de este subespacio.

3) Sea el subespacio generado por los vectores[

→ → →? œ Ð"ß #ß "ß $ß %Ñ ß ? œ Ð#ß %ß #ß 'ß )Ñß ? œ Ð"ß $ß #ß #ß 'Ñß" # $

→ →? œ Ð"ß %ß & ß " ß )Ñß ? œ Ð #ß (ß $ß $ß *Ñ% &

Halla un subconjunto de los vectores que sea base de .[

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112

Respuestas:

1) es base para .E ‘$

2) , .F œ ÖÐ"ß # &ß $Ñß Ð!ß (ß *ß #Ñ×3) .F œ ÖÐ"ß #ß "ß $ß %Ñß Ð!ß "ß $ß "ß #Ñß Ð!ß !ß %ß !ß &Ñ×

Observación: Si y son bases del espacio vectorial , entoncesÖ ? ß ? ß ÞÞÞß ? × Ö @ ß @ ß ÞÞÞß @ × Z→ → → → → →" # " #m n

7 œ 8 ; es decir, dos bases cualesquiera de un mismo espacio vectorial tienen el mismonúmero de vectores.

Dimensión.

Definición: Se llama de un - espacio vectorial al número de elementos de una basedimensión Šcualquiera de . Si consiste únicamente en el vector nulo, diremos que su dimensión esZ Z!Þ

Notación: La dimensión de se denota por Z .37ÐZ ÑÞ

Ejemplos:

1) La dimensión de es . ¿Por qué?‘8 8

2) Si , entonces . W œ ÖÐ"ß "Ñ ß Ð!ß "Ñ× .37ÐWÑ œ #

Para estar seguros de nuestra afirmación, debemos probar que es una base de .W ‘#

i) Verifiquemos que es L.I.W

De ! ! )" " #

→ → →@ @ œ2

se tiene que ! !" Ð"ß "Ñ Ð!ß "Ñ œ Ð!ß !Ñ2

de donde resulta que y Por lo tanto, los vectores son L.I.! !" œ ! œ !2

ii) Verifiquemos, ahora, que generan a , es decir, que ‘ ‘# #aÐBß CÑ − ÐBß C Ñ œ Ð"ß "Ñ Ð!ß "Ñ! !" 2

Desarrollando los paréntesis À ÐBß C Ñ œ Ð ß Ñ Ð !ß Ñ! ! !" " 2

Igualando y despejando, obtenemos !" œ B

! ! !" # œ C œ C B# Ê

Por lo tanto, ÐBß C Ñ œ B Ð"ß "Ñ ÐC BÑ Ð!ß "Ñ

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Es decir, .‘# œ W

De i) y ii) se desprende que es una base de W Þ‘#

Así, entonces, como el número de elementos de es 2, podemos concluir queW

.37 ÐWÑ œ #.

Ejercicios: Determina la dimensión de cada una de las bases encontradas en los ejercicios de la página109.

Respuestas: 1) 3 2) 2 y 3) 3.

Caracterización De Un Subespacio Vectorial.

Caracterizar un subespacio de , consiste en determinar las condiciones necesarias yW Z

suficientes que debe cumplir un vector de para que pertenezca a Para ello se debe demostrar,→@ Z WÞprimero, que los vectores que generan al subespacio son linealmente independientes. Luego, se debeWdeterminar la "forma" del subespacio generado por dichos vectores.W

Ejemplo: Vamos a caracterizar al subespacio de , generado por los vectores‘$

→ →@ œ Ð!ß "ß #Ñ ß @ œ Ð "ß $ß "Ñ" #

i) Los vectores son L.I (demuéstralo).Þ

ii) Determinemos el subespacio generado por los vectores y .→ →@ @" 2

Sea es decir, sea el subespacio generado.W œ Ð!ß "ß #Ñ ß Ð "ß $ß "Ñ ß W ¡Ð B ß C ß D Ñ − W b ß − Î Ð B ß C ß D Ñ Ð!ß "ß #Ñ Ð "ß $ß "Ñ = +Í ! ! ‘ ! !1 2 1 2

= , + Í Ð B ß C ß D Ñ Ð ! ß # Ñ Ð ß $ ß Ñ! ! ! ! !1 1 2 # 2 = , Í Ð B ß C ß D Ñ Ð $ ß # Ñ! ! ! ! !2 1 1# #

Í B = !2

C œ $! !1 #

D œ # ! !1 #

Usando matrices


! " l B " $ l C" $ l C ! " l B# " l D ! ! l D #C (B

µ

Encontramos que el sistema tiene solución si y sólo si . Así , el subespacioD #C (B œ !

generado por los vectores y es:→ →@ @" 2

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114

, que corresponde a un plano en el espacio y pasa por el origen.W œ ÖÐBß Cß DÑ − Î D #C (B œ ! ×‘$

Ejercicios: Caracteriza los subespacios generados por

1) E œ ÖÐ"ß !Ñß Ð!ß "Ñ×

2) F œ ÖÐ "ß #ß " Ñ ß Ð !ß !ß " Ñ ×

3) G œ ÖÐ #ß !ß "ß # Ñ ß Ð!ß "ß !ß ! Ñ×

Respuestas:

1) W œ ‘#

2) W œ ÖÐBß Cß DÑ − Î C #B œ !×‘$

3) W œ ÖÐBß Cß Dß AÑ − Î B A œ ! • #D œ A×‘%

Observación: Es evidente que también es posible determinar la base de un subespacio vectorial.

Ejemplo: Sea . Es claro que es un subespacio de (verifícalo).W œ ÖÐBß Cß DÑ − Î#D #C œ !× W‘ ‘$ $

Los vectores de este subespacio tienen 3 componentes y se da sólo una condición; por lo tanto, labase de debe tener vectores.W # En efecto, de la condición se tiene que , es decir, . Esto último implica que # D œ #C D œ CÐBß C ß DÑ œ ÐBß Cß CÑ ÐBß Cß DÑ œ ÐBß !ß !Ñ Ð!ß Cß CÑ À o sea , de manera que

ÐBß Cß DÑ œ BÐ"ß !ß !Ñ CÐ!ß "ß "Ñ

Así, el conjunto generador de es , es decir W ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "Ñ× W œ ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "Ñ× ¡ Ahora, como y son L.I. podemos concluir que el conjunto Ð"ß !ß !Ñ Ð!ß "ß "Ñ ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "Ñ×es una base de .W

Ejercicios: Determine una base para los siguientes subespacios vectoriales.

1) W œ ÖÐBß C ß D Ñ − Î D #C œ !×‘$

2) W œ ÖÐBß C ß D ß AÑ − Î B #C œ ! • D $A œ ! ×‘4

Respuestas:

1) ÖÐ"ß !ß !Ñß Ð!ß "ß #Ñ×2) ÖÐ #ß "ß !ß !Ñß Ð!ß !ß $ß "Ñ×

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Observación 1: En un - espacio vectorial , de dimensión , todo subconjunto linealmenteŠ Z 8 W

independiente, con vectores, es una base de . Si , entonces se dice que8 Z Z œ Ö ×→)

Z tiene dimensión cero.

Observación 2: Sea un - espacio vectorial, de dimensión .Z 8Š

i) Todo subconjunto de con más de vectores es L.D.Z 8 ii) Todo subconjunto de con menos de vectores no genera a .Z 8 Z iii) Todo subconjunto de con elementos, que lo genere, es una base de .Z 8 Z iv) Todo subconjunto de con elementos y que sea L.I., es una base de .Z 8 Z v) Si es un subconjunto de , entonces .[ Z .37Ð[Ñ Ÿ 8 vi) Si es un subespacio de y entonces .[ Z .37 Ð[Ñ œ 8ß [ œ Z

Observación 3: Sea un - espacio vectorial de dimensión finita y sea Z F œ Ö @ ß @ ß ÞÞÞß @ ×Š → → →" # 8

una base de . Todo vector de se escribe en forma única como C.L de losZ @ Z→

vectores de FÞ

Intersección de Subespacios.

Teorema: Si y son dos subespacios vectoriales de un mismo - espacio vectorial , entonces laY [ ZŠintersección es un subespacio vectorial de Y [ Z Þ

Ejemplos:

1) Sean y dos planos en el espacio de tres dimensiones que pasan por el origen, entonces suY [intersección, en general, será una recta que pasa por el origen, tal como se muestra en la figura.

2) Si y , entonces una baseY œ ÖÐBß Cß DÑ − Î B C œ !× [ œ ÖÐBß Cß DÑ − Î D B C œ !×‘ ‘$ $

para es .Y [ ÖÐ"ß "ß !Ñ× En efecto:

El conjunto intersección es = Y [ ÖÐBß Cß DÑ − Î B C œ ! • D B C œ ! ×‘$

Como los vectores de tienen tres componentes y hay sólo dos condiciones, se puede concluirY [que la base tiene ( ) un sólo vector.$ # œ "

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Ahora, las condiciones indican que ; por lo tanto, los vectores delB œ C • B œ D C D œ ! ÐBß Cß DÑconjunto son de la forma y se pueden escribir comoY [ ÐCß Cß !Ñ À

ÐBß Cß DÑ œ ÐCß Cß !Ñ œ CÐ"ß "ß !Ñ

Luego, el conjunto es una base para .ÖÐ"ß "ß !Ñ× Y [

Ejercicios: Dados y determine una base para .Y [ß Y [

1) y Y œ ÖÐBß C ß DÑ − Î B œ !× [ œ ÖÐBß Cß DÑ − Î D B C œ !×‘ ‘$ $

2) y Y œ ÖÐBß C ß DÑ − Î B C œ !× [ œ ÖÐ"ß "ß !Ñ ß Ð#ß !ß "Ñ×‘$ ¢ £

Respuestas:

1) Y [ œ Ð!ß "ß "Ñ ¡2) Y [ œ Ð"ß "ß !Ñ ¡

Unión De Subespacios. En general la unión de subespacios no es un subespacio vectorial, como lo prueba el siguienteejemplo. Sean los subespacios y y sean losY œ ÖÐBß !Ñ − Î B − × [ œ ÖÐ!ß CÑ − Î C − ×‘ ‘ ‘ ‘# #

vectores y .→ →? œ Ð"ß !Ñ − Y @ œ Ð!ß "Ñ − [ Es evidente que ; además,→ →? − ÐY [Ñ • @ − ÐY [Ñ

→ →? @ œ Ð"ß !Ñ Ð!ß "Ñ œ Ð"ß "Ñ

pero Ð"ß "Ñ Â Y • Ð"ß "Ñ Â [

Luego, → →? @ Â ÐY [Ñ

Por lo tanto no es subespacio vectorial.ß ÐY [Ñ

Gráficamente:

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Teorema: Si y son subespacios de un - espacio vectorial , entonces es unY [ Z ÐY [ÑŠsubespacio si y sólo si .Y © [ • [ © Y

Suma de Subespacios.

Sean y dos subespacios del mismo - espacio vectorial , se llama Y [ ZŠ suma de yY [al conjunto Y [ œ Ö @ − Z Î @ œ ? A ß ? − Y • A − [×→ → → → → →

Observación: El conjunto es un subespacio vectorial de .ÐY [Ñ Z

Suma Directa De Subespacios.

Sean un espacio vectorial, y subespacios de .Z Y [ Z

Z œ Y Š[ Z œ Y [ • Y [ œ Ö ×Í →)

Ejemplo: Sean y los conjuntos y , definidos comoZ œ Y [‘$

Y œ ÖÐ Bß C ß D Ñ Î # B C $D œ ! ×

[ œ ÖÐ Bß C ß D Ñ Î B œ >ß C œ >ß D œ > ×

Dado que Y œ Ð"ß "ß "Ñß Ð"ß %ß # Ñ [ œ Ð"ß "ß "Ñ

y que , se cocluye que no es suma directa de y .Y [ œ [ Á Ö × Z Y [→)

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Ejercicios:

1) Si y los conjuntos y se definen comoZ œ Y [‘$

Y œ ÖÐBß Cß DÑ Î # B C $ D œ !×

[ œ ÖÐBß C ß D ÑÎ B œ >ß C œ >ß D œ > à > − ×‘

Determina si .Z œ Y Š[

2) Si yY œ ÖÐ+ß ,ß -ß .ÑÎ, - . œ !× [ œ ÖÐ+ß ,ß -ß .ÑÎ+ , œ ! • - œ #.× Encuentra una base (y su dimensión) para los conjuntos:

i) ii) iii) iv) Y [ Y [ Y [

v) Verifica si se cumple que ‘% œ Y Š[

Respuestas:

1) Sí, es suma directa.2) i) y F œ ÖÐ "ß !ß !ß !Ñß Ð!ß "ß "ß !Ñß Ð!ß "ß !ß "Ñ× .37ÐF Ñ œ $ œ .37ÐYÑ" "

ii) yF œ ÖÐ "ß "ß !ß !Ñß Ð!ß !ß #ß "Ñ× .37 ÐF Ñ œ # œ .37Ð[Ñ# #

iii) Base de y ÐY [Ñ œ ÖÐ$ß $ß #ß " Ñ× .37 ÐF+=/ ./ Y [Ñ œ "

iv) Base de ÐY [ Ñ œ .37ÐYÑ .37Ð[Ñ .37 ÐY [Ñ œ % De acuerdo a ésto cualquier base de , por ejemplo, la base canónica es base de .‘% Y [

v) No es suma directa ya que Y [ Á Ö ×→)



PROBLEMA 1: En se definen la adición y ponderación escalar de la siguiente forma:‘#

a b a b a b+ß , -ß . œ + -ß !! !a b a b+ß , œ +ß !

¿Es con estas operaciones un Espacio Vectorial?. Justifica tu respuesta.‘#

PROBLEMA 2: Sean y Y œ Bß Cß D − Î#B $C &D œ ! [ œ !ß !ß " à "ß "ß !˜ ™ ˜ ™¡a b a b a b‘$

a) Verifica que es subespacio de .Y ‘$

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b) Caracteriza .[c) Encuentra una base de .Y [d) Determina si existe tal que .! ‘ ! !− "ß ß # − [a bPROBLEMA 3: Determina para que valor de las matrices:5 − ‘

son l.d. ŸŒ Œ Œ Œ " # " $ " 5 ! "! " " # " ! 5 "

à à à

PROBLEMA 4: Demuestra que es un subespacio vectorial de[ œ Bß Cß D − Î#B %C D œ !˜ ™a b ‘$

‘$.



PROBLEMA 1: Sea . Detemina un conjunto que genere a .W œ Ö Bß Cß Dß A − ÎB #D œ !× Wa b ‘$

PROBLEMA 2: Determina si es c.l. de a b a b a b a b#ß $ß " Ö "ß "ß ) à !ß #ß ! à "ß !ß " ×

PROBLEMA 3: Encuentra la dimensión del espacio

Z œ − Ð Ñ + œ , • - œ .+ ,- . Ÿ” • „` ‘

#

PROBLEMA 4: Decide si es c.l. de .TÐ>Ñ œ > #> $ T Ð>Ñ œ Ð> "Ñ ß T Ð>Ñ œ > "ß T Ð>Ñ œ &# # "#" # $

PROBLEMA 5: Determina si el vector peretenece a , dondea bB B $ W#

.W œ ÖB #B "à B #à B B×¢ £$ # # $

PROBLEMA 6: Sean yY œ Bß Cß Dß A − Î%B $A 'D œ !˜ ™a b ‘%

, subespacios de .[ œ Bß Cß Dß A − Î$B 'C %A œ !˜ ™a b ‘ ‘% %

a) Encuentra una base para .Y [b) Determina el valor de de modo que sea un vector de .! ‘ ! ! !− $ "ß # ß "ß $ # Y [a b

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PROBLEMA 1: Sea el conjunto de todos los puntos de que estan en el plano yY B #D œ !‘$

[ œ $ß "ß %Ñà Ð#ß $ß &Ñà Ð&ß #ß *Ñà Ð"ß %ß "Ñ× ¡{( . Determina:

a) Si es subespacio vectorial de .[ ‘$

b) Una base para y Y [ c) Caracteriza Y [ d) ¿ = ?‘$ Y Š[ e) Dim( Dim(W), Dim( ) y Dim(U+W) YÑß Y [ f) Una base para +Y [

PROBLEMA 2: Sea . Verifica si F œ ÖÐ"ß #ß !Ñà Ð!ß $ß %Ñà Ð!ß !ß 'Ñ× œ F Þ‘$ ¡ Caracteriza dicho espacio.

PROBLEMA 3: Determina si es c.l. de Î Ñ Î Ñ Î ÑÏ Ò Ï Ò Ï Ò Ÿ

" # % " # & " ! $! % $ ! # $ ! " $# & " " ' ! ! $ "

à

PROBLEMA 4: Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo y sea una base de .Z F œ Ö@ ß @ ß ÞÞÞß @ × ZŠ" # 8

Demuestra que cada elemento de tiene una expresión única como combinación lineal deZlos elementos de FÞ

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UNIDAD 4

Transformaciones Lineales.

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T Lransformaciones ineales.____________________________________

Salvatore PincherleJean d'Alembert

En este último capítulo estudiaremos una clase especial de funciones, llamadasTransformaciones Lineales (conocidas también como Operadores Lineales), que tienenuna gran variedad de aplicaciones y que ocurren con bastante frecuencia en el álgebralineal y otras ramas de la matemática. Fue el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) quien definió lastransformaciones lineales sobre un espacio vectorial y las operaciones (adición ymultiplicación) con operadores lineales.

En 1890, el matemático italiano Salvatore Pincherle (1853-1936) formuló unateoría sobre las transformaciones lineales en espacios vectoriales de dimensión infinita.Esta teoría no estaba basada en el trabajo de Peano, sino en los aportes sobreoperadores abstractos de Leibniz (1646-1716) y el matemático francés Jean d'Alembert(1717-1783).

Varias de las definiciones y teoremas que veremos a continuación son válidas,también, para los espacios vectoriales complejos (espacios vectoriales en donde losescalares son números complejos). Sin embargo, en este curso sólo trabajaremos losespacios vectoriales reales y, por lo tanto, eliminaremos la palabra "real" en el análisisde los espacios y transformaciones lineales que realicemos durante el desarrollo delcapítulo.

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Transformaciones Lineales.

Definición: Sean y dos - espacios vectoriales. Se llama (T.L.) de Z [ ZŠ Transformación Linealen a toda función que verifica las siguientes condiciones:[ 0 À Z Ä [

3Ñ X debe preservar la suma a? ß @ − Z 0 ? @ œ 0 ? 0 @→ → → → → →Ê Š ‹ Š ‹ Š ‹33Ñ X debe preservar el producto por escalar a? − Z ß a − 0 ? œ 0 ?→ → →- Š - -Ê Š ‹ Š ‹

Es decir, la imagen de la suma de las imágenes de vectores es igual a la suma de las imágenes decada vector, y la imagen del producto de un escalar por un vector es igual al producto del escalarpor la imagen del vector.

Las T.L se suelen denotar por letras mayúsculas ............X ß P ß W ÞÞ Þ Las condiciones y son equivalentes a la siguientea b a b3 33

333Ñ 0 ? @ œ 0 ? 0 @ ß a ? ß @ − Z ß a ß − Š ‹ Š ‹ Š ‹! " ! " ! " Š→ → → → → →

En efecto para obtener y de basta considerar 1 y se tiene la condición a b a b a b a b3 33 333 œ œ 3 Þ! " Si se tiene la condición " œ ! 33a b La condición se obtiene aplicando la seguida de la a b a b a b333 3 33 Þ

Ejemplo: La aplicación es una transformación lineal definida a través deX À Ä‘ ‘# #

X Bß C œ $B #Cß B $Ca b a b. En efecto, si verificamos sus condiciones nos daremoscuenta que es T.L.X

3Ñ Verificando que la suma es cerrada. X B C œ X B X C ß a B ß C −Š ‹ Š ‹ Š ‹→ → → → → → ‘#

Por hipótesis se sabe que:

→ →B œ ÐB ß B Ñ X B œ $B #B ß B $B" # " # " #

de manera que Š ‹ a b de manera que → →C œ ÐC ß C Ñ X C œ $C #C ß C $C

" # " # " #Š ‹ a b → →B C œ B ß B ÐC ß C Ña b

" # " #

→ →B C œ B C ß B C Xa b ‚" " # #

X B C œ X B C ß B CŠ ‹ a b→ →" " # #

X B C œ $ B C # B C ß B C $ B CŠ ‹ Š ‹a b a b a b a b→ →" " # # " " # #

X B C œ $B $C #B #C ß B C $B $CŠ ‹ a b→ →" " # # " " # #

X B C œ $B #B ß B $B $C #C C $CŠ ‹ a b a b→ →" # " # " # " #

X B C œ X B X CŠ ‹ Š ‹ Š ‹→ → → →

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Por lo tanto, X B C œ X B X CŠ ‹ Š ‹ Š ‹→ → → →

33Ñ Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado. X B œ X B ß a B − ß a −Š ‹ Š ‹- - ‘ - ‘→ → → #

Por hipótesis se sabe que:

→ →B œ ÐB ß B Ñ X B œ $B #B ß B $B" # " # " #

de manera que Š ‹ a b

, - -→B œ B Ba b1 #

, X B œ X B BŠ ‹ Š ‹a b- -→1 #

, œ X B Ba b- -1 #

œ $ B # B ß B $ Ba b- - - -" # " #

œ $B #B ß B $B-a b" # " #

œ X B- Š ‹→

Por lo tanto X B œ X B ß a B − ß a −Š ‹ Š ‹- - ‘ - ‘→ → → #

De y se tiene que es una T.L.a b a b3 33 X

2) Sean y dos espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo , se tiene que de maneraZ [ X À Z Ä [Š

que . Pruebe que , es una transformación lineal.X ? œ a ? − Z À X ? œŠ ‹ Š ‹→ → →K K[ [

V W

T 1vr

2vr

3vruv rr +

Wθ)( uvT rr +

Sabemos que es una transformación lineal sí y sólo si preserva operaciones:X X

3Ñ Verificando que la suma es cerrada. a ? ß @ − Z X ? @ œ X ? X @→ → → → → →Ê Š ‹ Š ‹ Š ‹Por hipótesis se sabe que: → →? − Z X ? œde manera que Š ‹ K

[

→ →@ − Z X @ œde manera que Š ‹ K[

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Probando la tesis, tenemos que: X ? @ œ X ? X @Š ‹ Š ‹ Š ‹→ → → →

K K K[ [ [

œ

Por lo tanto, X ? @ œ X ? X @Š ‹ Š ‹ Š ‹→ → → →

33Ñ Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado. a? − Z ß a − X ? œ X ?→ → →- Š - -Ê Š ‹ Š ‹Por hipótesis se sabe que: → →? − Z X ? œde manera que Š ‹ K

[

Probando la tesis, tenemos que:

X ? œ X ?Š ‹- -→ →Š ‹K -K

[ [œ

Por lo tanto X ? œ X ?Š ‹ Š ‹- -→ →


3) Sea un espacio vectorial. Mostrar que de manera que , llamadaZ X À Z Ä Z X ? œ ?Š ‹→ →

transformación idéntica, es una T.L.

3Ñ Verificando que la suma es cerrada. a ? ß @ − Z X ? @ œ X ? X @→ → → → → →Ê Š ‹ Š ‹ Š ‹Por hipótesis se sabe que: → → →? − Z X ? œ ?de manera que Š ‹→ → →@ − Z X @ œ @de manera que Š ‹Probando la tesis, tenemos que:

/Por definición de X ? @ œ ? @ XŠ ‹→ → → →

/Por hipótesisœ X ? X @Š ‹ Š ‹→ →

Por lo tanto, X ? @ œ X ? X @Š ‹ Š ‹ Š ‹→ → → →

33Ñ Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado. a? − Z ß a − X ? œ X ?→ → →- Š - -Ê Š ‹ Š ‹Por hipótesis se sabe que: → → →? − Z X ? œ ?de manera que Š ‹

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/Por definición de X ? œ ? XŠ ‹- -→ →

/Por hipótesisX ? œ X ?Š ‹- -→ →Š ‹ Por lo tanto X ? œ X ?Š ‹ Š ‹- -→ →


4) Sea es una función derivable , con . Muestre que [ œ Ö0 À E Ä Î 0 B × E © X À [ Ä [‘ ‘a bde manera que , es una T.L.X 0 B œ ß a0 − [

.0 B

.Bc da b a b

3Ñ Verificando que la suma es cerrada. a 0 ß 1 − Z X 0 1 œ X 0 X 1Ê a b a b a b Por hipótesis se sabe que:

de manera que o también 0 − [ X 0 œ X 0 B œ.0 .0 B

.B .Ba b c da b a b

de manera que o también →@ − [ X 1 œ X 1 B œ.1 .1 B

.B .Ba b c da b a b


/Por definión de X 0 1 œ 0 B 1 B X.

.Ba b c da b a b

/Por propiedad del Cálculo DiferencialX 0 1 œ 0 B 1 B. .

.B .Ba b c d c da b a b

/Por hipótesisX 0 1 œ X 0 X 1a b a b a b Por lo tanto, X 0 1 œ X 0 X 1a b a b a b33Ñ Verifiquemos que el producto por escalar es cerrado.

a0 − [ß a − X 0 œ X 0- Š - -Ê a b a b Por hipótesis se sabe que:

de manera que 0 − [ X 0 œ 0 B.

.Ba b c da b


/Por definición de X 0 œ 0 B X.

.Ba b c da b- -

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/Por propiedad del Cálculo DiferencialX 0 œ 0 B.

.Ba b c da b- -

/Por hipótesisX 0 œ X 0a b a b- -

Por lo tanto X 0 œ X 0a b a b- -


Transformaciones No Lineales.

Para demostrar que una transformación no es lineal, basta mostrar que dicha transformación nopreserva la suma o la multiplicación por escalar. También, se puede demostrar usando el método delcontraejemplo.

Ejemplo: Demostremos que de manera que no es unaX À Ä X Bß C œ #B Cß C $‘ ‘# # a b a btransformación lineal.

Forma 1: Veremos que no satisface la condición de la suma:X

Verificando que la suma NO es cerrada. a ? ß @ − Z X ? @ œ X ? X @→ → → → → →Ê Š ‹ Š ‹ Š ‹ Por hipótesis se sabe que: de manera que → →? œ Bß C − Z X ? œ X Bß C œ #B Cß C $a b a b a bŠ ‹ de manera que → →@ œ +ß , − Z X @ œ X +ß , œ #+ ,ß , $a b a b a bŠ ‹Probando la tesis, tenemos

X ? @ œ X ? X @Š ‹ Š ‹ Š ‹→ → → →

X Bß C +ß , œ X Bß C X +ß ,c d a b a ba b a bX B +ß C , œ #B Cß C $ #+ ,ß , $a b a b a ba b a ba b a b a b# B + C , ß C , $ œ #B #+ C +ß C , 'a b a b#B #+ C ,ß C , $ Á #B #+ C +ß C , '

Por lo tanto, no es una transformación lineal.X

Forma 2: Veremos que no es una transformación lineal dando un contraejemplo.X

Sean y , dos vectores de a b a b"ß # #ß & ‘#

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X ? @ œ X ? X @Š ‹ Š ‹ Š ‹→ → → →

X "ß # #ß & œ X "ß # X #ß &c d a b a ba b a bX $ß ( œ X "ß # X #ß &a b a b a ba b a b a b"$ß % œ %ß " *ß #a b a b"$ß % Á "$ß "

Por lo tanto, no es una transformación lineal.X

Ejercicios: Determina cuál de las siguientes funciones son Transformaciones Lineales

1) X À Ä ß X Bß C œ &Bß B C‘ ‘# # a b a b2) X À Ä ß X Bß C œ %‘ ‘# a b3) X À Ä ß X Bß Cß D œ #B C Dß B D‘ ‘$ # a b a b4) X À Ä ß X Bß C œ B #C "ß C‘ ‘# # a b a b5) Sea es una función integrable en . Demostrar queZ œ Ö0 À +ß , Ä Î0 B +ß , © ×c d a b c d‘ ‘

X À Z Ä X 0 B œ 0 B .B‘ de manera que es una T.L.c d a ba b (+

,

Respuestas:

(1) , (3) y (5) son T.L (2) y (4) no son T.L.

Propiedades.

1) Sean y dos transformaciones lineales de en , es decir, yX P Z [ X À Z Ä [P À Z Ä [ , entonces se cumple:

a) . La imagen del vector nulo por una Transformación Lineal es siempre elX œa b) )Z [

vector nulo. Por lo tanto, para probar que una función no es T.L. basta probar queX Áa b) )

Z [.

b) X B œ X BŠ ‹ Š ‹→ →

c) es una T.L.X P

d) es T.L., para todo - - Š† X −

2) Si y son dos transformaciones lineales, entonces , es unaX À Z Ä [ P À [ Ä ^ P‰X À Z Ä ^

T.L. En efecto, cualquiera sean , en y .→ →B C Z −- Š

3Ñ P‰X B C œ P X B C a bŠ ‹ ’ “Š ‹→ → → →

por una T.L.œ P X B X C X’ “ ’ “Š ‹ Š ‹ ‚→ →

œ P X B P X C’ “ ’ “Š ‹ Š ‹→ →

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129

œ P‰X B P‰X Ca b a bŠ ‹ Š ‹→ →

33Ñ P‰X B œ P X B a bŠ ‹ ’ “Š ‹- -→ →

œ P X B’ “Š ‹- →

œ P X B- ’ “Š ‹→

œ P‰X B-a bŠ ‹→

De y se tiene que es una T.L.a b a b a b3 33 P‰X

Ejemplo: Sea . no es T. L, ya que X À Ä ß X Bß Cß D œ $B Dß ) B C X‘ ‘# # a b a bX œ X !ß ! œ $ ! !ß ) ! ! œ Ð!ß )Ñ Áˆ ‰ a b a b) )

‘ ‘# #† . Observación: Denotaremos por el conjunto de todas las transformaciones lineales de en_ Ð Z ß [ Ñ Z

[ Z [ donde y son espacios de dimensión finita sobre un mismo cuerpo . De lasŠletras y de la propiedad se tiene que es un subespacio del espacio de-Ñ .Ñ "Ñ Ð Z ß [ Ñ_todas las funciones de en donde la función nula es el vector nulo de .Z [ ÐZ ß [ Ñ_

De ahora en adelante, y serán espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo .Z [ Š

Definición: Sean y dos espacios vectoriales, definidos sobre un mismo cuerpo yZ [ ŠX À Z Ä [ una T.L. Se define , al conjunto de todos losO/<8/6 R?-6/9 X o de vectores de tales que su imagen es el vector nulo de , se denota por , así:Z [ O/<ÐX Ñ

O/< ÐX Ñ œ @ − Z Î X @ œš ›Š ‹→ → )[

Ker(T)

θW 1ur

2ur

3ur

nur

V T W

Ker(T) ⊆ V

Definición: de Se llama al subconjunto de que contiene a todos los vectores que sonM7+1/8 X [imágenes de todos los vectores de , es decir, al recorrido de la función Se denota porZ X ÞM7Ð X Ñ, así:

M7 X œ V/- X œ A − [Îb @ − Z À X @ œ Aa b a b š ›Š ‹→ → → →

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130

1ur

2ur

3ur

nur

V T W

Im(T) ⊆ W

Im(T)

1wr2wr

3wr

nwr

Proposición 1: Sea una T. L., entonces:X À Z Ä [

1) es subespacio de O/< X Za b2) es subespacio de M7 X [a b

Desafío:Desafío:

Demuestra que e son subespacios vectoriales.O/< X M7 Xa b a bDefinición: Sea una T. L. Se llama de a la dimensión del y se denotaX À Z Ä [ X O/< XNulidad a b

por Se llama de a la dimensión de la y se denota por .( 3a b a b a bX Þ X M7 X XRangoa b( 3œ />+ß œ <29

Ejemplo: Sea una T. L., definida por . ¡verifícalo! .X À Ä ß X Bß C œ # Bß C‘ ‘2 # a b a b a bEntonces:

O/< X œ Bß C − ÎX Bß C œ !ß !a b a b a b a b˜ ™‘#

O/< X œ Bß C − Î # Bß C œ !ß !a b a b a b a b˜ ™‘#

O/< X œ Bß C − Î #Bß #C œ !ß !a b a b a b a b˜ ™‘#

O/< X œ Bß C − Î #B œ ! • #C œ !a b a b˜ ™‘#

O/< X œ Bß C − Î B œ ! • C œ !a b a b˜ ™‘#

O/< X œ !ß !a b a b˜ ™Así: (a bX œ !

Por otra parte:

M7 X œ +ß , − ÎX Bß C œ +ß ,a b a b a b a b˜ ™‘#

M7 X œ +ß , − Î # Bß C œ +ß ,a b a b a b a b˜ ™‘#

M7 X œ +ß , − Î+ œ #B • , œ #Ca b a b˜ ™‘#

M7 X œ +ß , − Î +ß , œ #Bß #Ca b a b a b a b˜ ™‘#

M7 X œ +ß , − Î +ß , œ #Bß ! !ß #Ca b a b a b a b a b˜ ™‘#

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M7 X œ +ß , − Î +ß , œ #B "ß ! #C !ß "a b a b a b a ba b a ba b˜ ™‘#

M7 X œ "ß ! à !ß "a b a b a b ˜ ™¡Por lo tanto, una base para es . Así: .M7 X "ß ! à !ß " X œ #a b a b a b a b˜ ™ 3

Ejercicios: En los siguientes ejercicios, determina a) O/< Xa bb) M7 Xa bc) R Xa bd) V Xa b1) Sea X À Ä ß X Bß C œ B #Cß B C‘ ‘# # a b a b2) Sea X À Ä ß X Bß Cß D œ B Cß #B Cß $B C‘ ‘$ $ a b a b3) Sea X À Ä ß X Bß Cß D œ B Cß B Cß B C‘ ‘$ $ a b a b4) Sea X À Ä ß X Bß Cß D œ Bß C Dß C D‘ ‘$ $ a b a bRespuestas:

1) a) O/< X œ ÖÐ !ß !Ñ×a b b) M7 X œa b ‘#

c) (a bX œ ! d) 3a bX œ #

2) a) O/< X œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎB œ C œ !ß D − ×a b ‘ ‘$

b) M7 X œ ÖÐ+ß ,ß -Ñ − Î+ #, - œ ! ×a b ‘$

c) ( a bX œ " d) 3 Ð X Ñ œ #

3) a) O/< X œ ÖÐBß Cß DÑ − ÎB C œ ! ×a b ‘ $

b) M7 X œ ÖÐ+ß ,ß -Ñ − Î+ œ , œ - ×a b ‘$

c) ( a bX œ # d) 3 Ð X Ñ œ "

4) a) O/< X œ ÖÐ!ß !ß !Ñ×a b b) M7 X œa b ‘$

c) ( a bX œ ! d) 3 Ð X Ñ œ $

Proposición:

Sea , entonces:X − Z ß[_a b 1) es inyectiva sí y sólo si X O/< X œ Ö ×a b )

Z

2) es sobreyectiva si .X M7 X œ [a b

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132

Ejemplo: Si revisamos el ejemplo resuelto anteriormente en donde definida porX À Ä ß‘ ‘2 #

X Bß C œ # Bß Ca b a b, que es una T.L., encontramos que

O/< X œ Bß C − Î B œ ! • C œ ! œ !ß ! X œ !a b a b a b a b˜ ™ ˜ ™‘ (# Ê

Por lo tanto, podemos afirmar que es una T.L. inyectiva.X

Por otra parte:

M7 X œ +ß , − ÎX Bß C œ +ß , œ "ß ! à !ß "a b a b a b a b a b a b˜ ™ ˜ ™¡‘#

Por lo tanto, una base para es . Así: .M7 X "ß ! à !ß " X œ #a b a b a b a b˜ ™ 3

Entonces, . En consecuencia, es sobreyectiva.M7 X œ Xa b ‘#

Ejercicios: Verifica si las siguientes T.L. son inyectivas y sobreyectivas.

1) X À Ä ß X Bß C œ B Cß B C‘ ‘# # a b a b2) Sea X À Ä ß X Bß C œ Bß Cß B C‘ ‘# $ a b a bRespuestas:

1) es inyectiva y sobreyectiva.X2) es inyectiva, pero no sobreyectiva.X

Teorema (de las dimensiones): Si entonces:X − Z ß[ ß_a b .37 O/< X .37 M7 X œ .37 Zc d c d a ba b a bEjemplo: Del ejercicio N°1, resuelto anteriormente, , nosX À Ä ß X Bß C œ B Cß B C‘ ‘# # a b a b

encontramos que lo que implica que y, por otro lado, encontramosO/< X œ Ö !ß ! × X œ !a b a b a b(que lo que implica que .M7 X œ "ß ! à !ß " X œ #a b a b a b a b ˜ ™¡ 3

En consecuencia, tenemos que

.37 O/< X .37 M7 X œ .37c d c d a ba b a b ‘#

! # œ #

Ejercicio: Verifique el teorema de las dimensiones con el ejemplo N° 2, resuelto anteriormente.

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133

Teorema Fundamental Del Algebra Lineal.

Seav y dos - espacios vectoriales, , base de ,Z [ F œ @ ß @ ß @ ÞÞÞ ß @ ZŠ š ›→ → → →" # $ 8ß

š ›→ → → →A ß A ß A ÞÞÞ ß A [" # $ 8ß , conjunto arbitrario de vectores de . Entonces existe una única Transformación

Lineal tal que .X − Z ß[ X @ œ A ß 3 œ "ß #ß ÞÞÞ ß 8_a b Š ‹→ →" "

Observación: De la demostración del teorema se desprende que basta que dos T.L. coincidan sobre unabase cualquiera de para que sean iguales sobre todo el espacio.Z

Ejemplo: Sea una base de y consideremos dos vectores cualesquiera de ,F œ Ö "ß # à !ß " ×a b a b ‘ ‘# $

por ejemplo . Entonces:→ →A œ "ß "ß ! ß A œ !ß $ß "" #

a b a ba Bß C − Bß C œ "ß # !ß "a b a b a b a b‘ ! "# Ê a b a b a bBß C œ ß # !ß ! ! "

a b a b œ œBß C œ ß # œ B œ B

# œ C œ #B C! ! "

! !! " "

Ê Ê

Por lo tanto, a Bß C − Bß C œ B "ß # #B C !ß " ÎXa b a b a b a ba b‘# Ê

X Bß C œ X B "ß # X #B C !ß "a b c d c da b a ba b X Bß C œ BX "ß # #B C X !ß "a b a b a b a b X Bß C œ B "ß "ß ! #B C !ß $ß "a b a b a ba b X Bß C œ Bß Bß ! !ß 'B $Cß #B Ca b a b a b X Bß C œ Bß &B $Cß #B Ca b a bque resulta una transformación lineal de a .‘ ‘# $

Ejercicios:

1) Sea una T. L., definida yX À Ä ß X "ß !ß ! œ Ð#ß $Ñà X !ß "ß ! œ Ð "ß "Ñ‘ ‘3 # a b a bX !ß !ß " œ Ð #ß &Ña b . Determina:

a) X Bß Cß Da bb) O/< Xa bc) M7 Xa bd) (a bXe) 3a bX

2) Determina la fórmula de definición de la T.L.

a) tal queX À Ä‘ ‘3 3

.X "ß "ß " œ "ß #ß $ à X "ß "ß ! œ $ß #ß " à X "ß !ß ! œ !ß !ß "a b a b a b a b a b a bb) tal queX À Ä‘ ‘# #

X #ß " œ "ß &a b a b X !ß " œ "ß "a b a b

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134

c) tal queX À Ä‘ ‘$ #

X "ß !ß " œ "ß "a b a b X !ß "ß " œ !ß $a b a b X "ß "ß ! œ "ß !a b a b Averigua si existe X "ß #ß $a bd) tal queX À Ä‘ ‘# #

X "ß " œ !ß $a b a b X #ß # œ "ß $a b a bRespuestas:

1) a) X Bß Cß D œ #B C #Dß $B C &Da b a b b) O/< X œ ÖD $ß %ß " ÎD − × œ Ö $ß %ß " ×a b a b a b ¡‘

c) M7 X œ Ð +ß , Ñ Î +ß , − œa b š ›‘ ‘#

d) (a b c da bX œ .37 O/< X œ " e) 3a b c da bX œ .37 M7 X œ #

2) a) X Bß Cß D œ $C #Dß B Cß C #Da b a b b) X À Ä ß X ÐBß CÑ œ ÐB C ß # B C Ñ‘ ‘# #

c) X À Ä ß X Ð Bß Cß DÑ œ Ð C Dß #B #C DÑ‘ ‘3 #

X "ß #ß $ œ &ß $a b a b d) No existe la ecuación de la T.L., ya que los vectores son l.d.

Algebra De Las Transformaciones U Operadores Lineales.

En el estudio de las transformaciones lineales de en es de fundamental importancia que elZ [conjunto de estas transformaciones hereda una estructura natural de espacio vectorial. el conjunto de lastransformaciones lineales de un espacio en sí mismo tiene incluso una estructura algebraica mayor, puesZla composición ordinaria de funciones da una multiplicación de tales transformaciones.

Teorema: Sean y espacios vectoriales. Sean y transformaciones lineales de en . LaZ [ X W Z [funciones siguientes se definen como sigue:

i) a bŠ ‹ Š ‹ Š ‹X W ? œ X ? W ?→ → →

ii) a bŠ ‹ Š ‹- -X ? œ X ?→ →

iii) a b a bŠ ‹ Š ‹ ’ “Š ‹XW ? œ XðW ? œ X W ?→ → →

Ejemplos: Sean de manera que y dosW À Ä W Bß C œ #B Cß C X Bß C œ #B Cß !‘ ‘# # a b a b a b a boperadores lineales. eterminemos las definiciones de los siguientes operadores lineales.

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135

a) a ba b a b a bW X Bß C œ W Bß C X Bß C œ #B Cß C #B Cß !a b a b œ #Cß Ca bb) a ba b a ba bXW Bß C œ XðW Bß C œ X W Bß Cc da b œ X #B Cß Cc da b œ # #B C Cß Ca ba b œ %B Cß !a bc) a ba b a ba bWX Bß C œ WðX Bß C œ W X Bß Cc da b œ W #B Cß !a b œ # #B C !ß !a ba b œ %B #Cß !a bd) a ba b a b a b#X $W Bß C œ #X Bß C $W Bß C œ # #B Cß ! $ #B Cß Ca b a b œ %B #Cß ! 'B $Cß $Ca b a b œ "!B Cß $Ca be) X Bß C œ X † X Bß C#a b a ba b œ XðX Bß Ca ba b œ X X Bß Cc da b œ X #B Cß !a b œ # #B C !ß !a ba b œ %B #Cß !a b

Ejercicios:

a) ÐWX Ñ ÐBß CÑ œb) ÐXWÑ ÐBß CÑ œc) W ÐBß CÑ œ#

d) X ÐBß CÑ œ#

Observación: La transformación compuesta existe, sí y sólo sí, el esÐW X Ñ ÐBß CÑ Recorrido de Xsubconjunto del dominio de W Þ

Respuestas:

a) a bWX ÐBß CÑ œ ÐBß !Ñb) a bXW ÐBß CÑ œ Ð!ß CÑc) W ÐBß CÑ œ ÐBß CÑ#

d) X ÐBß CÑ œ Ð!ß !Ñ#

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Más Ejercicios: Sean las transformaciones lineales:

W À Ä Î WÐBß Cß DÑ œ ÐB Cß C DÑ‘ ‘3 #

X À Ä Î XÐBß Cß DÑ œ ÐBß B Dß B CÑ‘ ‘3 $

V À Ä Î VÐBß Cß DÑ œ ÐBß #Cß B $DÑ‘ ‘$ $

Determina si existen:

a) b) X V $X #Vc) d) W V W Xe) f) WV XVg) h) XW VWi) j) V X W#

k) l) X V# #

Respuestas:

a) ÐX VÑÐBß Cß DÑ œ Ð#Bß B #C Dß #B C $DÑb) Ð$X #VÑÐBß Cß DÑ œ ÐBß $B %C $Dß B $C 'DÑc) , no se puede determinar.ÐW VÑd) ÐW X ÑÐBß Cß DÑ œ Ð#B Dß C DÑe) ÐWVÑÐBß Cß DÑ œ ÐB #Cß B #C $DÑf) ÐX VÑÐBß Cß DÑ œ ÐBß $Dß B #CÑg) no se puede determinar.ÐX WÑÐBß Cß DÑßh) no se puede determinar.ÐV WÑÐBß Cß DÑ ßi) ÐV XÑÐBß Cß DÑ œ ÐBß #B #Dß %B $CÑj) no se puede determinar.W ß#

k) X œ ÐBß Cß DÑ#

l) V œ ÐBß %Cß %B *DÑ#

Matriz Asociada A Una Transformación Lineal. Sean y dos -espacios vectoriales, , Z [ F œ @ ß @ ß ÞÞÞ ß @ F œ A ß A ß ÞÞÞ ß AŠ

" " # 8 # " # 7š › š ›→ → → → → →

bases de y respectivamente y : W una Transformación lineal, entonces:Z [ X Z Ä

X @ œ + A + A ÞÞÞ + AŠ ‹→ → → →" "" " "# # "7 7

X @ œ + A + A ÞÞÞ + AŠ ‹→ → → →# #" " ## # #7 7

ããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããããã

X @ œ + A + A ÞÞÞ + AŠ ‹→ → → →8 8" " 8# # 87 7

La matriz: E œ

+ + Þ Þ ++ + Þ Þ +Þ Þ Þ Þ ÞÞ Þ Þ Þ Þ

+ + Þ Þ +


"" "# "8

#" ## #8

8" 8# 87

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137

cuya j-ésima columna está formada por las coordenadas del transformado por del j-ésimo vectorX

de la base con respecto a la base se llama con respecto a las bases y F F F F" # " #

Matriz Asociada a Xy la denotaremos por ó . Observemos que el orden de es donde es laQ X X Q X 7‚ 8 7c d c d c d

F F F F F F" # " # " #

dimensión de y es la dimensión de .[ 8 Z

Ejemplo: Sea la T.L. definida por .X À Ä X Bß Cß D œ #B Cß C D‘ ‘$ # a b a b y bases de y respectivamente.F œ "ß "ß " à "ß "ß ! à "ß !ß ! F œ #ß ! à !ß "

" #˜ ™ ˜ ™a b a b a b a b a b ‘ ‘$ #

Entonces:

X "ß "ß " œ "ß # œ #ß ! # !ß ""

#a b a b a b a b

X "ß "ß ! œ "ß " œ #ß ! " !ß ""

#a b a b a b a b

X "ß !ß ! œ #ß ! œ " #ß ! ! !ß "a b a b a b a bLuego, la matriz asociada a la T.L. es E œ

" "

# #"

# " !

Î ÑÏ Ò

Proposición 1: Sean y dos - espacios vectoriales, , yZ [ F œ @ ß @ ß ÞÞÞ @Š" " # 8š ›→ → →

F œ A ß A ß ÞÞ A Z [ E# " #š ›→ → →. , bases de y respectivamente y una matriz de ordenm

7‚ 8 X Zcon elementos en . Entonces existe una única transformación lineal de enŠ[ X œ E tal que .c d

F F" #

Ejemplo: La transformación lineal de en cuya matriz asociada respecto de las bases‘ ‘# $

canónicas es , es tal que:E œ

# "! #

$

Î ÑÏ Ò"

#

X "ß ! œ # "ß !ß ! ! !ß "ß ! $ !ß !ß " œ #ß !ß $a b a b a b a b a bX !ß " œ " "ß !ß ! # !ß "ß ! !ß !ß " œ "ß #ßa b a ba b a ba b a b ˆ ‰" "

# #

Por lo tanto: y X "ß ! œ #ß !ß $ X !ß " œ "ß #ßa b a b a b ˆ ‰"#

Entonces, se puede definir:X

a Bß C − Bß C œ "ß ! !ß "a b a b a b a b‘ ! "# Ê a b a b a bBß C œ ß ! !ß! "

a b a b œBß C œ ßœ Bœ C

! "!"

Ê

Por lo tanto, a Bß C − Bß C œ B "ß ! C !ß " ÎXa b a b a b a b‘# Ê

X Bß C œ X B "ß ! X C !ß "a b c d c da b a b

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X Bß C œ BX "ß ! C X !ß "a b a b a b X Bß C œ B #ß !ß $ C "ß #ßa b a b ˆ ‰"

#

X Bß C œ #Bß !ß $B Cß #Cß Ca b a b ˆ ‰"#

X Bß C œ #B Cß #Cß $B Ca b ˆ ‰"#

que resulta una transformación lineal de a .‘ ‘# $

Observación: Si se intercambia el orden de los vectores de las bases, cambia la transformación lineal.(¡verifícalo!).

Proposición 2: Sean , dos -espacios vectoriales, , yZ [ F œ @ ß @ ß ÞÞÞ @Š" " # 8š ›→ → →

F œ A ß A ß ÞÞÞß A Z [ X À Z Ä [# " # 7š ›→ → → bases de y respectivamente. Si es una

T.L., entonces . Es deir, al multiplicar la matriz asociada a c d ’ “ ’ “Š ‹X B œ X B XF F" # F F" #

→ →

por el vector coordenado de respecto de la base se obtiene el vector coordenado→B F ß"

de la imagen de por respecto de la base .→B X F#

Ejemplo: Sea definida como .X À Ä X œ + ,ß - #.ß ,+ ,- .

` ‘ ‘#‚#

a b a bŒ $

La matriz asociada a respecto a las basesX

F œ à à à" ! " ! ! ! ! #! " ! ! " ! ! !" ŸŒ Œ Œ Œ y

F œ #ß #ß # à "ß !ß ! à "ß "ß !#

˜ ™a b a b a b es

c d Î ÑÏ ÒX œ

! ! ! " " " " ## ! " #

F F" #

Si ; entonces y→ →B œ B œ$ ! "

%

%

!

Œ ’ “Î ÑÐ ÓÐ ÓÏ Ò" "

# #F"

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’ “Š ‹ Î ÑÏ Ò


Î ÑÐ ÓÏ ÒX B œ œ

! ! ! " " " " ## ! " #

% "

!

!

→F

"#

*#

"&#

#

Entonces, X B œ ! #ß #ß # "ß !ß ! "ß "ß ! œ $ß ß !Š ‹ a b a b a b ˆ ‰→ * "& "&# # #



PROBLEMA 1: Sea de manera queX À Ä‘ ‘$ $

XÐBß Cß DÑ œ ÐB %Cß $C &Dß $DÑ

a) Diga si es transformación lineal.X b) Determine el y la O/< X M7 Xa b a b c) Calcule y .( 3a b a bX X d) Diga si es una transformación inyectiva.X

PROBLEMA 2: Sea una T.L. definida por:X À Ä‘ ‘$ $

. SeanX Bß Cß D œ %B 'Cß #D C Bß B Ca b a b yI œ "ß !ß ! à !ß "ß ! à !ß !ß "š ›a b a b a b base de .J œ "ß "ß " à "ß #ß ! à %ß &ß 'š ›a b a b a b ‘$

Encontrar la matriz asociada a la transformación dada las basesX y .I J



PROBLEMA 1: Considera la T.L. definida por:X À Ä` ‘ ‘#a b %

X œ B %D AßA Dß B CßAB CD AŒ a b

a) ¿Es inyectiva?Xb) ¿Es sobreyectiva?>

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140

c) Encuentra X " #! "Œ

PROBLEMA 2: Sea una T.L. tal que:X À Ä‘ ‘$ $

X "ß !ß ! œ "ß %ß % àa b a b X !ß "ß ! œ "ß !ß # àa b a b X !ß !ß " œ "ß "ß "a b a b Determina la definición de y calculo X X "ß #ß $a b

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141

Pre- Examenes

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142

PRE-EXAMEN N° 01


PROBLEMA 1: a) Determina la condición de y de modo que la matriz sea invertible.+ , E b) Resuelve la ecuación para , , para y .\ E\ œ F + œ " , œ !

E œ à F œ" ! " # ", # + $ ! " " ! " $


PROBLEMA 2: Sean y subespacios de definidos como sigue:.Y [ ‘$

y .Y œ Ö Bß Cß D − ÎB C D œ !× [ œ Ö !ß "ß ! à $ß "ß ! ×a b a b a b ¡‘$

a) Verifica que es subespacio de .Y ‘$

b) Determina una base de y extiéndela a una base de .Y [ ‘$

PROBLEMA 3: Sea una transformación lineal tal que:X À Ä‘ ‘# #

X "ß $ œ $ß # à X &ß $ œ 'ß %a b a b a b a ba) Encuentra explícitamente la transformación lineal .Xb) ¿Es inyectiva?. ¿Por qué?.X

PROBLEMA 4: Encuentra la ecuación del plano que pasa por los puntos yT "ß %ß # ß T #ß $ß !" #a b a b

T "ß #ß %$a b.

PROBLEMA 5: Determina los valores de " ", si es posible, de modo que el sistema tenga infinitas-soluciones.

B C -D œ !

$B %C #D œ !

#B $C D œ !

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


143

PRE-EXAMEN N° 02


PROBLEMA 1: Resuelve, usando determinantes (Regla de Cramer)

#D $ œ C $B

B $D œ #C "

$C D œ # #B

PROBLEMA 2: Demuestra que , donde:‘$ œ Y Š[

yY œ Ö Bß Cß D − ÎB D œ !×a b ‘$

[ œ Ö Bß Cß D − ÎB œ ! • &C #D œ !×a b ‘$

PROBLEMA 3: Sea definida por: X À Ä X Bß Cß D œ B Cß B Dß C D‘ ‘$ $ a b a ba) Determina la matriz asociada con respecto a la base canónica.E œ Xc dGGb) Usando , determina los valores propios de .E X

PROBLEMA 4: Resuelve la ecuación para 5 − À‘

â â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â ââ â â â5 # % #& 5 & $ %! " ! " 5 # #" ! 5 % " ! "

œ

Con el valor de encontrado, sustitúyelo en el siguiente sistema y encuentra su solución,5si existe.

5B C D A œ !

5B C D 5A œ "

5B C D %A œ #

PROBLEMA 5: Para el triángulo cuyos vértices están en yEÐ#ß &ß $Ñß FÐ "ß (ß !Ñ GÐ %ß *ß (Ñcalcula la longitud de cada lado, el punto medio de cada lado y su área de dos formasdistintas (vectorial y con la fórmula de Herón de Alejandría).

VIR

GIN

IO G

OM

EZ


144

B Ribliografía ecomendada.________________________________________

1) Ayres, F. (1994) : . Ed. McGraw-Hill, México D.F.Matrices

2) De Burgos, J. (1994) : . Ed. McGraw-Hill, Madrid.Álgebra Lineal

3) Devaud, G.; Erpelding, M.T.; Kirstein, L.; Navarro, M.I.; Ortega, M., y Vicente, M. (1996) : . Proyecto de Desarrollo de la Docencia.Álgebra Lineal U. de Concepción.

4) Grossman, S. (1996) : . Ed. McGraw-Hill, Bogotá.Álgebra Lineal

5) Hoffman, K. y Kunze, R. (1997): . Ed. Prentice Hall, México D.F.Álgebra Lineal

6) Lipschutz, S. (1993) : . Ed. McGraw-Hill, Madrid.Álgebra Lineal

7) Torregrosa, J.R. y Jordán, C. (1993) : .Álgebra Lineal y sus Aplicaciones Ed. McGraw-Hill, Madrid.

algebra lineal

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