algebra lineal

. . .FIUNA00P1b000911

1. Las entradas de las matrices son elementos de un cuerpo arbitrario.

2. Si A es una matriz invertible, entonces (A-1)T = (AT)-1.

3. Una matriz A es ortogonal si y sólo sí AT es ortogonal.

4. Una solución del sistema lineal de ecuaciones A x = B es solución de una combinación lineal de las ecuaciones del sistema.

5. Si A x = B es un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas y si las filas de A son linealmente independientes, entonces el sistema tiene una solución y sólo una.

6. Si A x = 0 es un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas y si las filas de A son linealmente independientes, entonces el sistema tiene una solución y sólo una.

7. Ninguno de los axiomas que definen un espacio vectorial se deriva de los otros.

8. La unión de dos subespacios de un espacio vectorial, es un subespacio del mismo espacio vectorial.

9. La intersección de dos subespacios de un espacio vectorial, es un subespacio del mismo espacio vectorial.

10. La suma de dos subespacios de un espacio vectorial, es un subespacio del mismo espacio vectorial.

11. Todo conjunto de vectores mutuamente ortogonales, constituye un conjunto de vectores linealmente independiente.

12. Si un vector es combinación lineal de un conjunto de vectores linealmente dependiente, entonces, dicha combinación lineal es única.

13. R2 es un subespacio de R3.

14. Todo conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio vectorial V constituye una base en V.

15. La unión de un conjunto generador de un espacio vectorial V con un conjunto cuyo único elemento es un vector de V, es un nuevo conjunto generador de V.

16. El conjunto solución del sistema de ecuaciones Ax = b, es un espacio vectorial.

17. Si A y B son dos matrices compatibles para el producto, entonces (AB)T = ATBT

18. Si A y B son matrices no singulares y conmutan, entonces A-1 y B-1 conmutan.

19. Dos bases de un mismo espacio vectorial V de dimensión finita, no necesariamente tienen el mismo número de elementos.

20. En el espacio vectorial de las matrices cuadradas de orden n, el subconjunto de las matrices invertibles es un subespacio.

FIUNA00P2b001123

21. La definición de espacios vectoriales con producto interno involucra un cuerpo arbitrario K.

22. Todo conjunto normado es un espacio vectorial con producto interno.

23. Si A y B son dos subespacios ortogonales, entonces no tienen elementos comunes.

24. Una matriz real A es normal si A AT = AT A = I.

25. Una matriz real A es ortogonal si sus columnas forman un conjunto ortogonal de vectores.

26. Si λ es un valor propio de una matriz A no singular, entonces λ-1 es valor propio de A-

1.

27. El espacio propio Eλ, del valor propio λ de la matriz cuadrada A, es el espacio solución del sistema no homogéneo MX = B, donde M es la matriz λI - A.

28. Los valores propios de una matriz A no dependen del cuerpo subyacente a A.

29. Para toda aplicación lineal F:V → U, la imagen de un conjunto linealmente independiente es linealmente independiente.

30. Si T es un operador en un espacio vectorial finito, entonces la afirmación T es inyectivo

. . .es .equivalente a T es suprayectivo.

31. El término constante del polinomio característico de la matriz n-cuadrada es (-1)n-1 detA.

32. Si el operador lineal T es singular, entonces es invertible.

33. Una aplicación lineal es biyectiva si y solo si es no singular.

34. La fórmula dim V = dim (Ker F) + dim (Im F) es válido para toda aplicación lineal F.

35. Dos espacios vectoriales V y U son isomorfos si existe una aplicación lineal inyectiva F: V → U.

36. Toda matriz real simétrica es diagonalizable.

37. Todo espacio vectorial de dimensión finita, con producto interno, admite base ortonormal.

38. En Rn a partir de una matriz real A definida positiva, puede definirse un producto interno.

39. La condición necesaria y suficiente para que una matriz n-cuadrada real A defina un producto interno en Rn es que detA ≠ 0.

40. La definición de producto interno para un espacio vectorial complejo es la misma que para un espacio vectorial real.

FIUNA00F1b001218

41. Si A, B y C son matrices n-cuadradas con AB = BA y BC = CB, entonces AC = CA.

42. Si A y B son dos matrices simétricas del mismo orden y AB = BA, entonces AB es simétrica

43. La matriz A es normal si es simétrica, ortogonal o antisimétrica.

44. La matriz A es singular si es producto de matrices elementales.

45. Una matriz B es congruente a otra matriz A, si existe una matriz P tal que: B = PTA P.

46. Para dos matrices A y B se cumple que det(AB) = det A . det B

47. El axioma para espacios vectoriales que dice: 1u = u puede derivarse del otro axioma que dice: (a + b) u = a u + b u, con a = 1 y b = 0, siendo 1, a, b escalares y u un vector.

48. Todo conjunto de vectores mutuamente ortogonales es linealmente independiente.

49. En un espacio vectorial, todo conjunto de vectores linealmente independiente constituye una base.

50. Si P es la matriz de transición de la base S a T y Q la matriz de transición de la base T a U, entonces PQ es la matriz de transición de la base S a U.

51. Si T : V → V es una transformación lineal, las matrices que representan T, relativas a bases cualesquiera, son similares.

52. Si las matrices A y B son similares, entonces tr A = tr B.

53. En toda aplicación lineal T : V → W, dim T ≥ dim Ker T

54. Toda matriz real admite al admite al menos un valor propio real.

55. Una matriz n-cuadrada es diagonalizable si admite n valores propios distintos.

56. Si λ es un valor propio de la matriz A, entonces cλ valor propio de cA

57. Toda aplicación lineal T : V → W es invertible si y sólo sí es biyectiva.

58. Si λ = 0 es un valor característico de la matriz A, entonces A es singular.

59. En un espacio vectorial real con producto interno, la norma de un vector depende de la base elegida.

60. La matriz que representa el producto interno en un espacio vectorial sobre el cuerpo de los complejos es hermítica.

FIUNA00F2b001226

61. Si A es una matriz real de orden m×n, entonces ATA = AAT.

θθ−θθ

cossen

sencos

. . .62. Toda matriz ortogonal real es cuadrada e invertible.

63. Una matriz A es equivalente por filas a otra matriz B, sí y sólo si existe una matriz no singular P tal que B = PA.

64. Para toda matriz ortogonal, de orden 2×2, existe un ángulo θ tal que la matriz toma la

forma:

65. En todo espacio vectorial está definida la ortogonalidad de vectores.

66. El conjunto de los números enteros pares sobre el cuerpo de los reales, con la operación usual de adición y multiplicación, constituye un espacio vectorial.

67. El conjunto solución W de un sistema de ecuaciones lineales es un subespacio de Kn.

68. En toda matriz rectangular, el rango por filas es igual al rango por columnas.

69. El conjunto constituido por un único vector es linealmente independiente.

70. En un espacio vectorial, todo conjunto de vectores no nulos ortogonales entre sí, constituye una base.

71. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si las matrices de los coeficientes de las incógnitas, tienen el mismo espacio fila.

72. La matriz de cambio de base, en un mismo espacio vectorial es invertible.

73. Si W es el conjunto solución del sistema AX = B, entonces W es el complemento ortogonal del espacio fila de A

74. Una matriz real A es definida positiva sí y sólo sí XTAX > 0 para todo ∀X no nulo.

75. En un espacio vectorial, con producto interno, una matriz es ortogonal si sus filas constituyen un conjunto ortogonal de vectores.

76. La definición de determinante de una matriz, es válida aún si las entradas de la matriz son elementos de un anillo.

77. Los vectores propios v1, v2, ..., vn de una matriz A, perteneciente a valores propios distintos λ1, λ2, ..., λn son linealmente independientes.

78. Si λ es un valor propio de una matriz A de multiplicidad geométrica k, entonces la dimensión de su espacio propio es k.

79. Una aplicación lineal F:V→U es biyectiva sí y sólo sí es no singular.

80. Si T:V→V es un operador lineal no singular, entonces T es suprayectivo.

FIUNA01P1a010321

81. Si A es una matriz cuadrada invertible, el sistema homogéneo AX = 0 admite una solución no nula.

82. Si u y v son las soluciones particular y general de un sistema inhomogéneo de ecuaciones lineales, entonces la diferencia u - v es la solución general del sistema homogéneo asociado.

83. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene una ecuación degenerada, entonces el sistema no admite solución alguna.

84. Si AX = B es un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y A es una matriz triangular superior, con todos sus elementos diagonales no nulos, entonces el sistema admite solución única.

85. Si P es un punto en R3 y n un vector no nulo, entonces el conjunto de puntos Q para los que (Q – P).n = 0, constituye una recta en R3.

86. Si u y v son vectores no nulos. Entonces || u + v || = || u || + || v || si y sólo sí v es múltiplo de u.

87. El producto vectorial de dos vectores está definido para todo par de vectores de Rn.

88. Los vectores u y v constituyen un conjunto ortonormal de vectores si el producto escalar de los mismos es la unidad.

89. Toda matriz nula está en forma canónica por filas.

. . .90. Cualquier matriz A es equivalente por filas a una única matriz en forma canónica por

filas.

91. Si A y B son matrices triangulares superiores del mismo orden, entonces AB es triangular superior del mismo orden.

92. Toda matriz cuadrada A es el producto de matrices elementales.

93. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices elementales.

94. Si A es una matriz ortogonal, A es invertible.

95. Si A es una matriz invertible, entonces AT es invertible con (AT)-1 = (A-1)T.

96. Si A es una matriz invertible, entonces es equivalente por filas a la matriz identidad.

97. Si A y B son matrices invertibles, entonces A+B es invertible.

98. Toda matriz simétrica es invertible.


100. Si las matrices A y B son compatibles para el producto y se verifica AB = 0, entonces A = 0 o B = 0.

FIUNA01P2a010505

101. En todo espacio vectorial V sobre el cuerpo de los reales, u + u = 2u, con u ∈ V, independientemente de la definición de la suma de vectores.

102. El cuerpo de los números complejos, con las operaciones de suma de complejos y producto por números reales, constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales.

103. Los polinomios de grado 2 forman un subespacio del espacio vectorial de polinomios de grado n con (n > 2).

104. lin S = lin ( S ∪ { 0 }).

105. Para todo par de matrices A y B, rango (A + B) = rango A + rango B.

106. Sean U y W subespacios unidimensionales de R3, entonces U ∩ W = { 0 }.

107. La dimensión del espacio vectorial de las matrices n-cuadradas antisimétricas es

2

)1n(n −.

108. W es un subespacio de un espacio vectorial V si y sólo si (a u + b w) ∈ V, con u, w ∈ V y a, b ∈ K

109. Si S es un subconjunto de un espacio vectorial V, entonces S contiene a lin S.

110. Las filas de una matriz escalonada son linealmente independientes.

111. Todas las bases de un espacio vectorial V tienen el mismo número de vectores.

112. Los rangos por filas y por columnas de una matriz rectangular son iguales.

113. En todo espacio vectorial, las matrices de cambios de bases son singulares.

114. La unión de conjuntos de vectores linealmente independientes es un conjunto linealmente independiente.

115. La ortogonalidad de vectores está definida únicamente en espacios vectoriales con producto interno.

116. La desigualdad de Cauchy-Schwarz también se verifica en un espacio vectorial con producto interno definido sobre el cuerpo de los números complejos.

117. En un espacio vectorial con producto interno, si u y v son dos vectores ortogonales, entonces:

|| u + v ||2 = || u ||2 + || v ||2.

118. Si A es una matriz n-cuadrada y k un escalar, entonces det(kA) = kndet(A)

119. En todo espacio vectorial con producto interno, la matriz de representación de dicho producto interno respecto a una base cualquiera es definida positiva.

. . .120. Toda matriz real simétrica es congruente con la matriz unitaria.

FIUNA01F1a010619

121. Si B es una matriz con la primera y tercera columnas iguales, entonces para cualquier matriz A, compatible con la multiplicación, también son iguales la primera y tercera columnas de AB.

122. W es un subespacio de un espacio vectorial V, si y sólo si (au + bw) ∈ W, con u, w ∈ W y a, b ∈ K

123. Si A es una matriz con la primera y tercera filas iguales, entonces para cualquier matriz B, compatible con la multiplicación, también son iguales la primera y tercera filas de AB.

124. En toda matriz, si sus columnas constituyen un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces sus filas también forman un conjunto de vectores linealmente independientes.

125. Si Ax = 0 y ATy = b, ∀x ∧ ∀y, entonces xTb = 0.

126. Si A y B son dos matrices simétricas que conmutan, entonces AB es simétrica.

127. Toda matriz triangular superior admite inversa.

128. Una matriz cuyos elementos son solamente ceros y unos, tiene determinante igual a 1, 0 ó –1

129. Los vectores propios no nulos, correspondientes a valores propios diferentes, forman un conjunto linealmente independiente.

130. Si A y B son dos matrices que conmutan, entonces tienen los mismos vectores propios.

131. Si A, B y M son matrices tales que B = M-1 A M, entonces A y B tienen los mismos valores propios.

132. Todos los valores propios de una matriz definida positiva, son positivos.

133. Si A es una matriz diagonalizable, entonces An = P Dn P-1 para todo n entero y positivo.

134. Si λ es un valor propio de la matriz A, entonces λn es valor propio de An para todo n entero y positivo.

135. Una aplicación lineal F:V → U es biyectiva si y sólo sí es no singular.

136. Si A y B son dos matrices tales que Av = αv y Bv = βv, entonces (AB)v = (αβ)v.

137. Toda matriz es similar a su traspuesta.

138. Todos los valores propios de una matriz real simétrica son reales.

139. Si A y B son dos matrices n-cuadradas ortogonales, entonces AB es ortogonal.

140. Si S es un subconjunto cualquiera de un espacio vectorial con producto interno V, entonces, S⊥ es un subespacio de V.

FIUNA01F2a010703

141. La definición de un espacio vectorial con producto interno involucra un cuerpo arbitrario K.

142. En un espacio vectorial V con producto interno, una matriz P es ortogonal cuando las filas de P forman un conjunto ortonormal de vectores.

143. Si P y Q son dos matrices ortogonales, entonces PQ es ortogonal.

144. Un determinante de orden n es igual a una combinación lineal de determinantes de orden n – 1.

145. Los determinantes de dos matrices equivalentes son iguales.

146. Si A y B son dos matrices cuadradas que conmutan para el producto y tienen valores propios distintos, entonces tienen los mismos vectores propios.

147. Si F:V→V es una aplicación lineal tal que F(v) = 0, para algún v ≠ 0, entonces, la imagen por F de cualquier conjunto de vectores linealmente independiente, es linealmente independiente.

. . .148. Las filas de una matriz en forma escalonada son linealmente independientes.

149. Si F:V→U es una aplicación lineal, y k es un escalar no nulo, entonces, F y kF tienen el mismo núcleo y la misma imagen.

150. La matriz cuadrada A es invertible si y sólo sí cada elemento diagonal aii ≠ 0.

151. Para que un sistema lineal pueda escribirse en forma escalonada, el número de ecuaciones debe ser igual al número de incógnitas.

152. Si f y g son funciones cualesquiera en la variable x y A una matriz n-cuadrada, entonces (f + g) (A) = f(A) + g(A).

153. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes sí y sólo sí las matrices de los coeficientes son equivalentes por filas, es decir, tienen el mismo espacio propio.

154. Una matriz real simétrica es definida positiva si al menos uno de sus menores principales es positiva.

155. Una matriz B es equivalente por filas a otra matriz A, sí y sólo sí existe una matriz no singular P tal que B = AP.

156. Si T:V→V es una aplicación lineal tal que T(v) = 0 ∀v ≠ 0 ∧ v∈V, entonces V = ImT

157. La función f:V→V tal que f(x) = a x, cualquiera que sea x ∈ V y a un escalar, es una transformación lineal.

158. Un conjunto de vectores S = {u1, u2,...,un}, es una base de un espacio vectorial V, si todo vector v∈V puede escribirse como combinación lineal de los vectores de S.

159. Todo conjunto de vectores mutuamente ortogonales, constituye un conjunto linealmente independiente.

160. El espacio vectorial V es la suma directa de sus subespacios U y W si y sólo sí U∩W = {0}

FIUNA01P1b010903

161. Un sistema homogéneo admite como solución única solamente a la solución trivial.

162. Toda ecuación lineal degenerada no admite solución.

163. El sistema de ecuaciones, cuya representación gráfica son dos rectas paralelas, admite infinitas soluciones.

164. Un sistema de ecuaciones lineales está en forma triangular si no tiene ecuaciones degeneradas.

165. Un sistema de ecuaciones lineales está en forma escalonada si no tiene ecuaciones degeneradas.

166. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo puede admitir: a) solución única, b) ninguna solución y c) un número infinito de soluciones.

167. Toda matriz rectangular no nula, es equivalente por filas a una única matriz en forma canónica por filas

168. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo, con más ecuaciones que incógnitas, admite solución.

169. Los vectores u1, u2, ..., un en Rn son linealmente dependientes si existen escalares k1, k2, ... , kn tal que: k1 u1 + k2 u2 + ...+ kn un = 0.

170. Para cualquier vector arbitrario u ∈ Rn se verifica u ⋅ u ≥ 0; y u ⋅ u = 0, si y sólo si u = 0.

171. En el conjunto de vectores { 0, u1, u2, ... , un }, siendo 0 el vector nulo, 0 es ortogonal a todos los ui.

172. El producto vectorial usual de vectores se define únicamente en R3.

173. Si para las matrices A, B y C se verifica que A B = A C, entonces B = C.

174. Si la matriz A es simétrica e invertible, entonces A-1 es invertible.

175. La matriz A es singular si y sólo si A es el producto de matrices elementales.

. . .176. Si las matrices de dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes por filas,

entonces dichos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

177. Toda matriz no nula, es equivalente por filas a una matriz en forma escalonada por filas.

178. Es sistema de ecuaciones A X = 0 tiene solución única si y solo si A es no singular.

179. Si para las matrices A y B se cumple que AB y BA son del mismo orden, entonces A y B son del mismo orden.

180. Si el sistema de ecuaciones A X = B tiene más de una solución, entonces admite infinitas soluciones.

FIUNA01P2b011009

181. Toda matriz real A es equivalente a una única matriz real en forma canónica por filas.

182. Si v0 es una solución particular de un sistema inhomogéneo AX = B, entonces la solución general U del sistema puede expresarse como U = v0 + W = {v0 + w / w∈W}, donde W es la solución general del sistema homogéneo asociado AX = 0.

183. Si S = {v1, v2, ... ,vr} ⊂ Rn, entonces S es linealmente dependiente si ∃k1, k2, ... ,kr ∈ R, tal que k1v1 + k2v2 + ... + krvr = 0.

184. Si C es el cuerpo de los números complejos, entonces ∀ z ∈ C ∧ z ≠ (0, 0), z-1 ∈ C se obtiene de la fórmula z-1 = z / ( z z ).

185. Si A, B, C son matrices reales m×n, y k es un real, entonces: a) (ABt)C = A(BtC); b) A(Bt + Ct) = ABt + ACt; c) (B + C)At = BAt + BCt y; d) k(ABt) = (kA)Bt = A(kBt).

186. Si A es una matriz compleja n×n, entonces A es hermítica si AH = A, siendo AH = At.

187. Si A es una matriz real n-cuadrada invertible, entonces (At)-1 = (A-1)t.

188. Si A es una matriz compleja n×n, entonces A es unitaria si AH = A-1.

189. Si A es una matriz compleja m×n, entonces AAH es una matriz real m×m.

190. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces K es el cuerpo de los reales o el de los complejos.

191. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces en el conjunto V están definidas dos operaciones internas.

192. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces el neutro de K para la suma es el neutro para la suma en V .

193. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K y W un subespacio del mismo, entonces W es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K.

194. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces un subconjunto no vacío de vectores de V, es un subespacio si es cerrado para el producto por escalares.

195. Los espacios fila y columna de toda matriz n-cuadrada A son iguales.

196. Todos los conjuntos generadores de un mismo espacio vectorial tienen el mismo número de vectores.

197. Si en un espacio vectorial V sobre el cuerpo K, S es un conjunto de s vectores linealmente independientes y T un conjunto de t vectores linealmente dependientes, entonces t < s.

198. Si S es un conjunto de n vectores que genera el espacio n-dimensional V, entonces S es una base en V.

199. El rango de una matriz A de orden m×n es el menor de entre los números m y n.

200. Si V es el espacio vectorial de las matrices reales n-cuadradas, y W el conjunto de matrices reales n-cuadradas invertibles, entonces W es un subepacio de V.

FIUNA01F1b011210

201. El sistema de ecuaciones lineales AX = b, con A∈Rm×n, X∈Rn y b∈Rm, tiene: i) una única solución, ii) ninguna solución, o iii) un número infinito de soluciones.

202. Los sistemas de ecuaciones lineales A1X1 = b1 y A2X2 = b2, con A1∈Rm×n, X1∈Rn,

. . .b1∈Rm, A2∈Rp×q, X2∈Rq y b2∈Rp, son equivalentes sí y sólo sí tienen: i) el mismo conjunto solución y ii) m = p ∧ n = q.

203. Para todo vector u, v ∈ R3 se verifica: u×v2 = (u⋅u) (v⋅v) - (u⋅v)2.

204. ∀ u, v ∈ Cn ∧ ∀ z ∈ C se verifican: i) u⋅v = v⋅u, ii) (zu)⋅v = z(u⋅v), iii) u⋅(zv) = z(u⋅v).

205. ∀ A, B, C ∈ Rn×n ∧ ∀ k ∈ R se verifican: i) (A + B)C = AC + BC, ii) k(AB) = (kA)B = A(kB).

206. Si A ∈ Rn×n ∧ Am = 0, entonces A = 0.

207. ∀ A, B ∈ Rn×n ∧ A, B invertibles, se verifican: i) (At)-1 = (A-1)t, ii) (AB)-1 = B-1A-1, iii) AB = I

208. Si U y W son subespacios del espacio vectorial V, entonces U ∩ W, lin(U, W) y U + W son también subespacios de V.

209. En el espacio vectorial Cn sobre C, se verifica z(u + v) = zu + zv sólo si z es real.

210. Si W es el conjunto solución del sistema AX = b, con A∈Rm×n, X∈Rn y b∈Rm, se verifica que W es un subespacio de Rn y dimW = n – rango(A).

211. En el espacio vectorial V sobre el cuerpo de los números complejos, si u es la norma de u y d(u, v) la distancia entre los vectores u y v, entonces u y d(u, v) son reales.

212. Si S es un subconjunto de vectores de un espacio vectorial con producto interno V, entonces S ⊕ S⊥ = V.

213. En el espacio vectorial con producto interno V, si Proy(v, w) = cw, entonces cw es ortogonal a v - cw.

214. Si A ∈ Rn×n ∧ At = A, entonces sus vectores propios correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.

215. Si una matriz es definida positiva, su determinante es positivo.

216. Si T:V→V es una aplicación lineal en el espacio vectorial V y T(v) = 0 ∀v ∈V, entonces dim(ImT) = dimV.

217. El polinomio característico de A ∈ Rn×n es f si y sólo si f(A) = 0.

218. Si en el espacio vectorial V, A es la representación matricial de la aplicación lineal T:V→V relativa a una base S, entonces T es invertible si y sólo si A es no singular.

219. Si T:V→V es una operador lineal en el espacio vectorial V, entonces λ es un valor propio de T si el operador lineal λI - T es singular.

220. Si en los espacios vectoriales reales V y U, S = {v1, v2, ..., vm} y T = {u1, u2, ..., un} son bases, respectivamente y F:V→U una aplicación lineal, entonces ∀ v ∈ V ∧ ∀ u ∈ U tal que F(v) = u, existe una matriz A ∈ Rn×m tal que A[v]S = [u]T.

FIUNA01F2b011219

221. El sistema de ecuaciones lineales AX = B, con A∈Rm×n, X∈Rn y B∈Rm, admite solución única si y sólo si ρ(A, B) = ρ(A).

222. Si W es el conjunto solución del sistema lineal homogéneo AX = 0, con A∈Rm×n, X∈Rn, 0∈Rm, entonces el conjunto solución U del sistema inhomogéneo AX = B, con B∈Rm ∧ Av0 = B, puede obtenerse como: U = v0 + W = {v0 + w/w∈W}.

223. ∀ u, v ∈ Rn se verifica: u + v2 = u2 + v2

224. ∀ u, v, w ∈ Cn se verifican a) (u + v)⋅w = u⋅w + v⋅w; b) w⋅(u + v) = w⋅u + w⋅v; c) u⋅v = v⋅u.

225. Si A, B ∈ Rn×n ∧ A y B son congruentes, entonces A y B son similares.

226. Si A ∈ Rn×n ∧ At = A, entonces A es no singular.

227. Si U es un subespacio del espacio vectorial V ∧ S ⊂ V es una base en V, entonces

. . .algún subconjunto de S es una base de U.

228. Si U y W son subespacios del espacio vectorial V, sobre un cuerpo K, y U ∩ W = {0}, entonces dimU + dimW = dimV.

229. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los números complejos C, entonces ∀ u, v ∈ V ∧ z ∈ C, z(u + v) = zu + zv.

230. En el espacio vectorial Cn sobre C; ∀ z, w ∈ C ∧ ∀ u Cn, se verifica: z(wu) = (zw)u,.

231. Si U es el conjunto solución del sistema AX = B, con A∈Rm×n, X∈Rn y B∈Rm, entonces U es un subconjunto del espacio columna de A.

232. Si v ∈ V, y V es un espacio vectorial con producto interno, entonces v⊥ es un subespacio de V.

233. Si V es un espacio vectorial con producto interno, v, w ∈ V, c = <v, w>/<w, w>, entonces <Proy(v, w), cw> = 0.

234. Si λ es raíz de multiplicidad p de la ecuación característica de A ∈ Rn×n y q es la dimensión de su espacio propio, entonces p ≤ q.

235. Si A ∈ Rn×n es definida positiva, entonces ∀ X ∈ Rn ∧ X ≠ 0, XtAX ≥ 0.

236. Si λ es un valor propio de A ∈ Rn×n, entonces λ ∈ R.

237. Si f(t) es un polinomio, A ∈ Rn×n y f(A) = 0, entonces f es múltiplo del polinomio característico de A.

238. Si [T]S es la representación matricial del operador lineal T relativa a la base S en el espacio vectorial real V y dimV = n, entonces [T]S ∈ Rn×n ∧ ([T]S)t = [T]S.

239. Si [T]S es la representación matricial del operador lineal T relativa a la base S en el espacio vectorial real V y dimV = n, entonces los valores propios de A son los de [T]S.

240. Si P es la matriz de cambio de base desde la base S hasta otra S’ en el espacio vectorial V y Q la matriz de cambio de base desde la base T hasta otra T’ en el espacio vectorial U, entonces para toda transformación lineal F:V→U, [ ] [ ] PFQF T

STS

1''

−= .

FIUNA02P1a020321

241. Si A x = B es un sistema lineal y las filas de A son linealmente independientes, entonces el sistema tiene una solución y sólo una.

242. Si A x = 0 es un sistema lineal homogéneo y las filas de A son linealmente independientes, entonces el sistema tiene una solución y sólo una.

243. Si una ecuación es homogénea, entonces no es degenerada.

244. Si un sistema de ecuaciones lineales admite solución, entonces tiene un sistema triangular equivalente.

245. Para que un sistema de ecuaciones lineales pueda reducirse a la forma escalonada, debe tener igual número de incógnitas que de ecuaciones.

246. Los vectores de Rn no son casos particulares de Cn.

247. Para vectores arbitrarios u y v de Rn se verifica que: u – v ≤ u + v

248. Es producto vectorial de vectores está definido sólo en R3.


250. La intersección de dos subespacios de un espacio vectorial, es un subespacio del mismo espacio vectorial.

251. La unión de dos subespacios de un espacio vectorial, es un subespacio del mismo espacio vectorial.

252. Si un espacio vectorial V es generado por n vectores, entonces todo conjunto linealmente independiente de vectores de V tiene como máximo n vectores.

253. El axioma [M4]: 1u = u, puede derivarse del axioma [A4]: k(u + v) = ku + kv, haciendo k = 1 y v = 0

. . .254. Todo conjunto de vectores linealmente independiente en un espacio vectorial V, es una

base en V.

255. El conjunto de las matrices cuadradas constituye un espacio vectorial.

256. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K y W un subespacio del mismo, entonces W es un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo K.

257. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces en el conjunto V están definidas dos operaciones internas.

258. En R3, el conjunto {0, i, j, k}, siendo 0 el origen de coordenadas e i, j, k los versores coordenados, constituyen la base usual de R3.

259. Dos bases de un mismo espacio vectorial V de dimensión finita, no necesariamente tienen el mismo número de vectores.

260. La unión de un conjunto generador de un espacio vectorial V con un conjunto cuyo único elemento es un vector de V, es un nuevo conjunto generador de V.

FIUNA02P2a020513

261. Una ecuación de un sistema lineal homogéneo es degenerada. El conjunto solución del sistema no se altera si se suprime dicha ecuación degenerada.

262. Todo sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas puede reducirse a la forma triangular.

263. Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneos tiene: i) Solución única; ii) Ninguna solución; o iii) Infinitas soluciones.

264. Todo sistema lineal de ecuaciones que puede reducirse a la forma escalonada admite solución.

265. Si A es idempotente (A2 = A), entonces I – A es idempotente.

266. Si A y B son matrices nilpotentes de clase p (Ap = Bp = 0 ∧ Ap-1 ≠ 0 ∧ Bp-1 ≠ 0), entonces AB y BA son nilpotentes.

267. Si A es una matriz compleja, entonces AAH es hermítica. (Obs.: AH = At )

268. Toda matriz triangular es invertible.

269. El cuerpo de los complejos constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo de los reales.

270. En todo espacio vectorial, un conjunto constituido por un único vector es linealmente independiente.

271. En un espacio vectorial, todo conjunto de vectores linealmente independientes es una base del mismo.

272. En toda matriz mxn, las dimensiones de los espacios fila y columna son iguales.

273. El conjunto solución del sistema lineal, de m ecuaciones con n incógnitas, AX = B, es un subespacio de Kn.

274. Un espacio vectorial de dimensión n, admite subespacios solamente de dimensiones 1, 2, ..., n.

275. El conjunto de polinomios {t, t2, t3} es la base canónica del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a tres.

276. En un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, {u, v} ⊂ V, u ≠ 0 ∧ v ≠ 0 es linealmente independiente si y sólo sí v = ku, con k ≠ 0.

277. U y W son subespacios de un espacio vectorial V, entonces U∩W y U+W son subespacios de V y U∩W ⊂ U+W.

278. En un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, de dimensión n, toda matriz de cambio de base es no singular.

279. Todas las bases de un espacio vectorial tienen igual número de vectores.

280. En todo espacio vectorial V sobre un cuerpo K, el conjunto vacío de vectores Ø es un subconjunto de V y linØ = {0}.

FIUNA02F1a020625

. . .281. Si de un sistema de ecuaciones lineales se deriva otro, mediante una operación

elemental sobre una de las ecuaciones, entonces el conjunto solución no se altera.

282. Un sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, admite al menos una solución.

283. El producto vectorial de dos vectores u y v de R3, es conmutativo.

284. Si z y w son números complejos y zw = 0, entonces z = 0 o w = 0.

285. Si A y B son matrices triangulares superiores del mismo orden, entonces AB no necesariamente es triangular superior.

286. Si A es una matriz cuadrada invertible, entonces A es producto de matrices elementales.

287. Si una matriz cuadrada A es congruente con una matriz diagonal D, entonces At ≠ A.

288. El rango de una matriz es mayor que la dimensión de su espacio fila.

289. Si V es un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, dimV = n, entonces todo conjunto generador de V, con n vectores, es linealmente independiente.

290. Si S es una base de un espacio vectorial V de dimensión finita n, entonces v ∈ V, puede escribirse de una única manera como combinación lineal de los vectores de S.

291. En un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, puede hablarse de ortogonalidad de vectores sí y sólo sí se ha definido una distancia en V.

292. Si 1 y 2 son dos normas distintas definidas en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, y, si u ∧ v ∈ V ∧ u1 = v2, entonces u = v.

293. En un espacio vectorial V, si P es la matriz de cambio de base, desde una base ortonormal S hasta otra base T, también ortonormal, entonces P es ortogonal.

294. Toda matriz cuadrada compleja, tiene al menos un valor propio.

295. Si una matriz es simétrica, entonces es diagonalizable por similaridad.

296. Si todas las raíces de la ecuación característica de una matriz cuadrada A son distintas, entonces su polinomio característico es su polinomio mínimo.

297. Si una matriz es diagonalizable por similaridad, entonces la multiplicidad algebraica de cada uno de sus valores propios es igual a su multiplicidad geométrica.

298. Si F:V→U es una aplicación lineal, entonces la imagen de un conjunto de vectores linealmente independientes es linealmente independiente.

299. Si T:V→V es una operador lineal inyectivo, entonces es suprayectivo.

300. Si F:V→U es una aplicación lineal y, rango V = r. Existen bases de V y U en las que

la matriz de representación de F, adopta la forma

=

00

0IA donde I es la matriz

diagonal r-cuadrada.

FIUNA02F2a020716

301. Si la primera y la tercera columnas de una matriz B son iguales, también lo son la primera y la tercera columnas de la matriz AB, siendo A una matriz compatible con B par la multiplicación.

302. Si la primera y la tercera filas de una matriz B son iguales, también lo son la primera y la tercera filas de la matriz AB, siendo A una matriz compatible con B par la multiplicación.

303. Si A y B son dos matrices invertibles, entonces A–1 ( A + B ) B–1 = A–1 + B–1.

304. Si { u , v , w } es un conjunto de vectores linealmente independientes, entonces el conjunto { u + v , u + w , v + w } es linealmente independiente.

305. Si A1 = { u1 , u2 } es linealmente independiente y A2 = { u3 , u4 } es linealmente independiente, entonces la suma lin { u1 , u2 } ⊕ lin { u3 , u4 } es directa.

306. Si f : R2 → R2 es tal que f2 (x , y) = (0 , 0) para todo (x , y) ∈ R2, entonces Im f ⊆ ker f .

307. Si U y V son dos subespacios vectoriales de un mismo espacio vectorial, dim U = 3 y

. . .dim (U ∩ V) = 1, entonces dim V = 2.

308. Si A es una matriz cuadrada, entonces AAT es simétrica.

309. Si A es una matriz cuadrada, entonces A + AT es simétrica.

310. La imagen del vector nulo dada por una transformación lineal es el vector nulo.

311. La imagen del opuesto de todo vector dada por una transformación lineal es igual al opuesto de su imagen.

312. La inversa de una transformación lineal no singular es una transformación lineal.

313. Si una matriz A tiene n valores propios, entonces los n valores son raíces de la ecuación característica de A.

314. Una matriz A admite n vectores propios linealmente independientes si y sólo si A es diagonalizable.

315. Dos matrices A y B representan el mismo operador lineal T sí y sólo sí son similares.

316. Si S⊥ es el complemento ortogonal de un subconjunto S de vectores de un espacio vectorial V, entonces S es un subespacio de V.

317. Dos conjuntos de vectores linealmente independientes de un mismo espacio vectorial tienen al menos un vector común.

318. La intersección de dos conjuntos generadores de un mismo espacio vectorial es un conjunto generador del mismo espacio vectorial.

319. Una matriz A es definida positiva si XT A X > 0 para todo vector X ∈ Rn.

320. Una matriz triangular es invertible si no tiene elementos nulos en la diagonal.

FIUNA02P1b020914

321. La ecuación 3x + πy + ez = ln3 es una ecuación lineal. (e = 2,7182818...)

322. Si u = (a, b, c, d) es solución de un sistema lineal de ecuaciones, entonces v = (a, b, d, c) es también solución (el orden en que se escriben las componentes no afecta).

323. La ecuación homogénea AX = 0 admite solución trivial si y sólo si la ecuación tiene al menos una variable libre.

324. La ecuación Ax = b es homogénea si y sólo si el vector cero es una solución.

325. Para que un sistema de ecuaciones lineales pueda reducirse a la forma escalonada, debe tener igual número de incógnitas que de ecuaciones.

326. Si A y B son matrices invertibles y conmutan, entonces sus inversas también conmutan.

327. Toda matriz elemental E es invertible.

328. Cualquier secuencia de operaciones elementales de filas que reduzca la matriz A a la matriz unitaria I, también reduce I en A-1.

329. El producto de dos matrices invertibles es invertible

330. Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales son equivalentes por filas, entonces los dos sistemas lineales tienen el mismo conjunto solución.

331. Si las matrices aumentadas de dos sistemas lineales tienen el mismo rango, entonces los dos sistemas lineales tienen el mismo conjunto solución.

332. Dos matrices que tiene el mismo numero de filas, son equivalentes por filas

333. Si A es una matriz antisimétrica, entonces A2 es antisimétrica.

334. Si A es una matriz invertible y AB = 0, entonces la matriz B ≠ 0.

335. El conjunto de las matrices cuadradas constituye un espacio vectorial.

336. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces en el conjunto K están definidas dos operaciones internas.

337. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces en el conjunto V están definidas dos operaciones internas.

. . .338. El conjunto de matrices simétricas con las operaciones usuales de suma de matrices y

multiplicación por escalares, es un espacio vectorial.

339. El conjunto de vectores (x, y) de R2 con y = – 3x + 1 es un espacio vectorial.

340. En el espacio vectorial V sobre el cuerpo K, se verifica k + v = v + k, ∀k∈K ∧ .∀v∈V.

FIUNA02P2b021109

341. Una matriz A es diagonalizable si y sólo si su polinomio mínimo es producto de factores lineales distintos entre si.

342. A es una matriz escalar kIn si y sólo si su polinomio mínimo es m(t) = (t – k)n.

343. Una matriz real A mxn y su transpuesta At tienen el mismo número máximo de columnas linealmente independientes.

344. Matrices no similares pueden tener el mismo polinomio característico.

345. El polinomio mínimo de una matriz A existe y es único.

346. Si A y B son matrices n-cuadradas invertibles, entonces AB y (BA) -1 tienen los mismo valores propios.

347. Si A es una matriz real nxn cuyas columnas son linealmente independientes, entonces A es diagonalizable por similaridad.

348. Si A es una matriz real n-cuadrada y k un número real, entonces det(kA) = kndet(A).

349. Un sistema de ecuaciones lineales homogéneo admite soluciones distintas de la trivial si y sólo si el determinante de la matriz del sistema es nulo.

350. Si A es una matriz real no singular, entonces AtA es definida positiva.

351. Si P es una matriz ortogonal, entonces ∀ u, v ε V, con el producto interno usual < , >, se verifica: <Pu , Pv> = <u, v>.

352. Si W es un subespacio de un espacio vectorial V de dimensión finita n, entonces (W⊥)⊥ = W.

353. Si u y v son vectores cualesquiera de un espacio vectorial normado V, con norma ‖ ‖, entonces: ‖u + v‖2 + ‖u - v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2.

354. Todo espacio vectorial V con producto interno < , > es un espacio vectorial normado, con norma ‖v‖ = √<v, v>.

355. El conjunto de polinomios {t, t2, t3} es la base canónica del espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual a tres.

356. En un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, {u, v} ⊂ V, u ≠ 0 ∧ v ≠ 0 es linealmente independiente si y sólo sí v = ku, con k ∈ K ∧ k ≠ 0.

357. Si A es una matriz que representa un producto interno < , > en el espacio vectorial complejo V, entonces A es hermítica.

358. Si A y B son matrices mxn arbitrarias, entonces rango(A + B) ≤ rango(A) + rango(B).

359. Si S es un conjunto de vectores del espacio vectorial V, entonces lin (linS) = lin S

360. Si AX = B es un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas sobre el cuerpo K, entonces el conjunto solución del sistema es un subespacio de Kn.

FIUNA02F1b021220

361. Si una de las ecuaciones de un sistema lineal se reduce a una degenerada, entonces el sistema no tiene solución.

362. El espacio solución W de un sistema de ecuaciones lineales Ax = b es el complemento ortogonal del espacio fila de A.

363. Si A es una matriz normal, entonces es simétrica.

364. Si B es una matriz real no singular y M = BT B, entonces M es definida positiva.

365. Si en el sistema de ecuaciones lineales Ax = B el rango de la matriz ampliada ( AB ) es mayor que el rango de la matriz A, entonces el sistema admite infinitas soluciones.

. . .366. Una matriz cuadrada A es invertible si es equivalente por columnas a la matriz

identidad.

367. Todo subconjunto de un espacio vectorial que contenga al elemento cero, es un subespacio.

368. La envolvente lineal de un subconjunto de vectores de un espacio vectorial es un subespacio.

369. En un espacio vectorial V, todo conjunto generador de vectores linealmente independientes es una base en V.

370. El producto interno para vectores en Rn está dado únicamente por = uT v.

371. Si A es una matriz cualquiera, entonces AAT es simétrica.

372. La suma de los valores propios de una matriz A es igual a la traza de A.

373. El producto de los valores propios de una matriz A es igual al determinante de A.

374. λ es un valor propio de T si λI – T es no singular.

375. Si una matriz A tiene todos sus valores propios diferentes, entonces es diagonalizable.

376. La matriz diagonal D obtenida por similaridad a partir de una matriz A, es única.

377. Si para dos matrices A y B se cumple que AB = BA, entonces dichas matrices tienen los mismos vectores propios.

378. Si T:V→U es una aplicación lineal y {v1, v2, ...,vn} ⊂ V son tales que T(vi) son linealmente independientes, entonces los vi también lo son.

379. Ker A es el espacio solución del sistema A x = 0.

380. Todas las representaciones matriciales de un operador lineal son invertibles

FIUNA02F2b030113

381. Si en un sistema lineal de ecuaciones, una de las ecuaciones es combinación lineal de otra, entonces el sistema admite infinitas soluciones.

382. Si de un sistema de ecuaciones lineales se obtiene otra, mediante una sucesión finita de operaciones elementales, entonces ambos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

383. Si una matriz está en forma escalonada, entonces está en forma canónica por filas.

384. Toda matriz ortogonal es una matriz cuadrada invertible.

385. Si en el espacio vectorial V sobre el cuerpo K, S ⊂ V ∧ 0 ∈ S, entonces todo vector de S puede escribirse como combinación lineal de los demás.

386. Si W es un subespacio del espacio vectorial de dimensión finita V y dimW = dimV, entonces W = V.

387. Si V es un espacio vectorial real n-dimensional, entonces V y Rn son isomorfos.

388. La envolvente lineal de un subconjunto de vectores de un espacio vectorial V es un subespacio de V.

389. Si en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, los subconjuntos de vectores S y T generan el mismo subespacio, entonces S = T.

390. Si A es la representación matricial del producto interno < , > de vectores del espacio vectorial real V, respecto a la base S = {u1, u2, ..., un}, entonces A = ( <ui ,uj > )

391. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, entonces para todo par de vectores u, v de V se verifica < u, v > = < v, u >.

392. Si V es un espacio vectorial real, con producto interno < , >, entonces las matrices que representan a dicho producto interno respecto a distintas bases en V son congruentes.

393. Toda matriz cuadrada real tiene al menos un valor propio real.

394. Si λ es un valor propio de A, entonces la matriz λI – A es no singular.

395. Si una matriz n-cuadrada A tiene n vectores propios linealmente independientes, entonces es diagonalizable por similaridad.

. . .396. Los elementos de la matriz diagonal D obtenida por similaridad a partir de una matriz A

diagonalizable, son únicos.

397. Si dos matrices n-cuadradas A y B admiten los mismos vectores propios, entonces A es diagonalizable por similaridad si y sólo si B lo es.

398. Si V y U son espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre el mismo cuerpo K y F:V→U es una aplicación lineal, entonces dimV = dimU.

399. Si V y U son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y F:V→U es una aplicación lineal no singular, entonces si S ⊂ V es linealmente independiente F(S) también lo es.

400. Si T es un operador lineal en un espacio vectorial real n-dimensional V, entonces T puede ser representado por una matriz real n-cuadrada A.

FIUNA03P1a030421:

401. Si u es una solución del sistema lineal homogéneo AX = 0, entonces para todo escalar k, ku es también solución.

402. Un sistema de ecuaciones lineales en forma escalonada, con número de ecuaciones no nulas igual al número de incógnitas, admite solución única.

403. Si u y v son soluciones del sistema lineal no homogéneo AX = B, entonces u + v es también solución.

404. Si u, v, w ∈ Rn ∧ w ≠ 0, entonces: u⋅w = v⋅w ⇒ u = v .

405. Si k ∈ R, u ∈ Rn, u ≠ 0 ∧ ku = u, entonces k = 1.

406. Una matriz B es equivalente por filas a otra matriz A, si y sólo si, existe una matriz no singular P tal que B = AP.

407. Si A y B son matrices de orden m×n, entonces A y Bt son conformes para el producto de matrices y ABt es una matriz cuadrada de orden m.

408. Sólo las matrices simétricas son congruentes con matrices diagonales.

409. El producto de dos matrices invertibles es invertible.

410. La suma de dos matrices invertibles es invertible.

411. Los elementos diagonales de una matriz antihermítica son nulos.

412. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces todo subconjunto de vectores no vacío y cerrado para las suma de vectores, es un subespacio de V.

413. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces las operaciones definidas en V son las mismas que las definidas en el cuerpo K.

414. Si un espacio vectorial V, sobre el cuerpo K, tiene dimensión n, entonces todo conjunto de más de n vectores es linealmente dependiente.

415. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, y S ⊂ V consta de vectores no nulos, entonces existe v ∈ S tal que v es combinación lineal de los demás elementos de S.

416. Si el sistema homogéneo a1x1 + a2x2 +....... + anxn = 0, con algún ai ≠ 0, admite una solución no nula, entonces el sistema es linealmente dependiente

417. Los números complejos, con las operaciones suma de complejos y producto por reales, constituye un espacio vectorial sobre los números reales.

418. El espacio solución W del sistema homogéneo AX = 0, es el complemento ortogonal del espacio fila de A.

419. En el espacio vectorial complejo normado V, la norma de todo vector es un número real.

420. En el espacio vectorial V con producto interno ⟨ , ⟩, d(u, v) = ⟨u – v, u – v⟩1/2 verifica los axiomas de distancia.

FIUNA03P2a030614:

421. Si A es una matriz hermítica, entonces es invertible.

422. Si U es un subespacio del espacio vectorial V sobre el cuerpo K, entonces toda base de U puede completarse hasta obtener una base en V.

. . .423. En el espacio vectorial Rn la expresión utAv, con u, v ∈ Rn y A una matriz n-cuadrada

real simétrica es un producto interno.

424. La matriz de representación de cualquier producto interno, es definida positiva.

425. Si los valores propios de una matriz simétrica son todos distintos entre sí, entonces los respectivos vectores propios constituyen un conjunto ortogonal de vectores.

426. Si A es una matriz n-cuadrada invertible, entonces admite un valor propio igual a cero.

427. La multiplicidad geométrica de un valor propio de una matriz es siempre distinto de cero.

428. Los valores propios de una matriz triangular son las componentes diagonales de la matriz.

429. Los valores propios de una matriz real simétrica son reales.

430. Los valores propios de una matriz n-cuadrada real pueden ser números complejos.

431. Una matriz n-cuadrada A es diagonalizable bajo similaridad si y sólo si es simétrica.

432. El polinomio característico de una matriz n-cuadrada A es múltiplo de su polinomio mínimo.

433. Si λ es un valor propio de A, entonces λ es cero del polinomio mínimo de A.

434. Si U y V son espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre el mismo cuerpo K, y F:U→V es una aplicación tal que F(0) = 0, entonces F es una aplicación lineal.

435. Si U y V son espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre el mismo cuerpo K, y F:U→V es una aplicación lineal, entonces la imagen de F tiene la misma dimensión del dominio si y solo si F es singular.

436. Si T, U, V, y W son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, y f:T→U, g:U→V y h:V→W son aplicaciones lineales, entonces se verifica: (h°g)°f = h°(g°f), siendo ° el símbolo para indicar la composición de funciones.

437. La representación matricial de un operador lineal no es única. Pero las matrices que representan a un mismo operador lineal tienen los mismos valores propios.

438. Si U y V son espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre el mismo cuerpo K y W es el conjunto de las aplicaciones lineales de U en V, entonces, W, con las operaciones de suma de aplicaciones y producto por escalares es un espacio vectorial.

439. Si U y V son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y F:U→V es una aplicación lineal no singular, entonces dim(U) = dim(Im F).

440. Si T es un operador lineal en un espacio vectorial real n-dimensional V, entonces existe una base en V, tal que el operador T tiene representación mediante una matriz diagonal.

FIUNA03F1a030619:

441. Si W es el conjunto solución del sistema lineal de ecuaciones AX = B ∧ W ≠ ∅, entonces W contiene un número finito de elementos.

442. Si A es una matriz real m×n, entonces es equivalente por filas a una única matriz en forma canónica por filas, con m filas no nulas.

443. Si un sistema de ecuaciones lineales no tiene variables libres, entonces admite una solución y sola una.

444. El inverso multiplicativo de la unidad imaginaria es su opuesto aditivo.

445. Si e es una operación elemental entre filas de la matriz m×n A, denotado por e(A), y E la matriz m-cuadrada elemental correspondiente, entonces e(A) = EA.

446. Si V es un espacio vectorial n-dimensional sobre el cuerpo K y S un conjunto generador de V con n+1 elementos, entonces si se suprime uno cualquiera de los vectores de S se obtiene una base de V.

447. Si V es un espacio vectorial complejo n-dimensional, entonces V y Cn son isomorfos.

448. Si V es un espacio vectorial n-dimensional sobre el cuerpo K y S un conjunto

. . .generador de V, entonces la envolvente lineal de S es V.

449. Si en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, los subconjuntos de vectores S y T generan el mismo subespacio, entonces S y T tienen el mismo número de vectores.

450. Si en el espacio vectorial V, la representación matricial del producto interno < , >, relativa a la base S = {u1, u2, ..., un}, es A, entonces A es no singular.

451. Si V es un espacio vectorial complejo con producto interno < , >, S = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V ∧ u ∈ V, entonces se verifica que < u, ∑vi > = ∑< u, vi >.

452. Si V es un espacio vectorial real n-dimensional, con producto interno < , >, entonces para cada base de V existe una matriz que representa < , > relativa esa base.

453. Toda matriz cuadrada tiene un polinomio característico real.

454. Si las multiplicidades algebraicas de los valores propios de una matriz son iguales a las dimensiones de sus espacios propios correspondientes, entonces A es diagonalizable.

455. Si A es una matriz n-cuadrada y tiene n vectores propios linealmente independientes, entonces sus valores propios son todos distintos entre sí.

456. Toda matriz n-cuadrada tiene como máximo n vectores propios.

457. Si dos matrices n-cuadradas A y B admiten los mismos vectores propios, entonces A es diagonalizable por similaridad si y sólo si B lo es.

458. Si V y U son espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre el mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal, entonces la imagen de un conjunto de vectores linealmente independiente de V es linealmente independiente en U.

459. Si V y U son espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre el mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal no singular, entonces dimV = dimU.

460. Si V es un espacio vectorial real n-dimensional y T un operador lineal en V, entonces T es invertible.

FIUNA03F2a030718:

461. Si A y B son matrices n×n, entonces (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.

462. Si x1 y x2 son soluciones del sistema lineal Ax = b, entonces x3 = ¼ x1 + ¾ x2 es también una solución de Ax = b.

463. Si A es una matriz no singular, entonces el sistema homogéneo Ax = 0 admite una solución no trivial.

464. Si c ∈ R, u ∈ Rn y cu = 0, entonces c = 0 ∨ u = 0.

465. Si los n vectores v1, v2, ..., vn generan un espacio vectorial W, entonces dim W = n.

466. Si U y W son subespacios de un mismo espacio vectorial, entonces U∩W ≠ ∅.

467. Si S y T son subconjuntos de vectores del espacio vectorial V, S ⊂ T, y T linealmente independiente, entonces S es también linealmente independiente.

468. Si W es un subespacio del espacio vectorial V y dimW = dimV, entonces W = V.

469. Si V es un espacio vectorial real o complejo, con producto interno < , >, entonces ∀ u, v ∈ V, < u, v > es un número real positivo.

470. Si S es una base en un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, entonces la matriz que representa < , > respecto a la base S es hermítica.

471. Si en el espacio vectorial complejo V, se define el producto interno < , >, entonces ∀ v ∈ V se verifica: < v, v > ∈ R.

472. Si en el espacio vectorial complejo V, se define una distancia d( , ), entonces ∀ u, v, w ∈ V, se verifica: d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v).

473. El grado del polinomio característico de una matriz real A es igual al orden de A.

474. Si λ es raíz del polinomio característico de una matriz real A, entonces λ es raíz de su polinomio mínimo.

∑=⋅ iivuvu

. . .475. Si A y B tienen el mismo polinomio característico, entonces son matrices similares.

476. El polinomio mínimo y el característico de una matriz simétrica n-cuadrada real A, tienen el mismo grado.

477. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, el conjunto de las transformaciones lineales F:U→V, con las operaciones de suma y multiplicación por escalares, definidas usualmente para F, constituye un espacio vectorial.

478. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, de dimensiones m y n, respectivamente, entonces el conjunto de las transformaciones lineales F:U→V es isomorfo al conjunto de matrices Kn×m.

479. Si V es un espacio vectorial, de dimensión finita, sobre el cuerpo K, T:V→V es un operador lineal, entonces T es invertible.

480. Si V es un espacio vectorial, de dimensión finita, sobre un cuerpo K, T:V→V un operador lineal y KerT = { 0 }, entonces T es suprayectivo.

FIUNA03P1b030919:

481. Si u es una solución del sistema lineal AX = B, entonces ∀k∈R, ku es también solución.

482. Los sistemas de ecuaciones lineales, no degeneradas, de m ecuaciones con n incógnitas, m < n, admiten infinitas soluciones.

483. Si u y v son soluciones del sistema lineal AX = 0, entonces ∀ a, b ∈ R, au + bv es también solución.

484. Si u, v, w son vectores no nulos de Rn y u⋅v = u⋅w = 0 entonces { u, v, w } es un conjunto ortogonales de vectores.

485. Si u, v ∈ Cn y u = (u1, u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn), entonces es un producto escalar o interno en Cn.

486. Si A y B son matrices complejas, de orden m×n, y C = BtA entonces C es hermítica.

487. Si A, B y C son matrices reales de orden m×n, m ≠ n, y, a, b son números reales, entonces (aA + bB)C = aAC + bBC.

488. Si A y B son matrices reales congruentes, entonces son simétricas.

489. Si A es una matriz real no singular, entonces es el producto de matrices elementales.

490. Si A es una matriz cuadrada compleja, y AH = A, entonces A es una matriz unitaria.

491. Los elementos diagonales de una matriz antihermítica son ceros o bien son números imaginarios puros.

492. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, k∈K, v∈V ∧ kv = 0, , entonces k = 0.

493. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, y W ⊂ V es cerrado para las suma de vectores, entonces W es un subespacio de V.

494. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, y W ⊂ V es un subespacio de V, entonces W es cerrado para el producto por escalares.

495. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, S ⊂ V ∧ 0 ∉ S, entonces W = linS, es un subespacio de V.

496. Si A es una matriz real, de orden m×n, m > n,, con una columna nula. Entonces el rango por filas de A es mayor que su rango por columnas.

497. Si en V = C, con la operación de suma de complejos; K = R, con ⋅:K×V → V, definido como el producto por reales por complejos. Entonces V es un espacio vectorial sobre K.

498. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K y S = {u i} ⊂ V, es tal que V = linS, entonces ∀v∈V, existen y son únicos los escalares ki tal que v = Σkiui.

499. En el espacio vectorial métrico complejo V, la distancia entre dos vectores cualesquiera, es un número real.

. . .500. En el espacio vectorial complejo V, con producto interno ⟨ , ⟩, u, v ∈ V ⇒ ⟨u, v⟩ ∈ R.

FIUNA03P2b031114:

501. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >:V×V→K, entonces < u, v> ∈ R.

502. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo R, con producto interno < , >, entonces V con d(u, v) = | ()1/2 | , ∀ u, v ∈ V, es un espacio métrico.

503. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con norma ║ ║, entonces ∀u, v ∈ V ∧ a, b ∈ K, ║au + bv ║ = a║u║ + b║v ║.

504. En un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, de dimensión n, con producto interno < , >. Todo conjunto ortogonal de n vectores no nulos, constituye una base de V.

505. Todo conjunto ortonormal de vectores de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, con producto interno < , >, es un conjunto de vectores linealmente independiente.

506. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, de dimensión finita n, con producto interno < , >, entonces en V no pueden haber mas de n vectores ortogonales.

507. El determinante de toda matriz n-cuadrada real definida positiva, es un número positivo.

508. Si A es una matriz n-cuadrada con filas linealmente dependientes, entonces detA = 0.

509. Si A es una matriz simétrica de orden n, entonces admite n vectores propios mutuamente ortogonales.

510. Todos los valores propios de una matriz simétrica son números reales distintos.

511. Una matriz n-cuadrada y su traspuesta tienen los mismos valores propios.

512. Una matriz n-cuadrada y su traspuesta tienen los mismos vectores propios.

513. En toda matriz n-cuadrada real, la multiplicidad algebraica de uno cualquiera de sus valores propios es igual a la dimensión de su respectivo espacio propio.

514. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre un mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal, entonces KerF ≠ ∅ .

515. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre un mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal, entonces la imagen por F de una base de V es una base de ImF.

516. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre un mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal, entonces la imagen por F de un conjunto de vectores linealmente independientes de V es un conjunto linealmente independiente de U.

517. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre un mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal suprayectiva, entonces nulidad de F ≤ rango de F.

518. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre un mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal inyectiva, entonces dimV = dim(ImF) = dimU.

519. Si V y U son espacios vectoriales de igual dimensión n, sobre un mismo cuerpo K, F:V→U una aplicación lineal suprayectiva, entonces dim(KerF) = 0.

520. Si V y U son espacios vectoriales, sobre un mismo cuerpo K, de dimensiones m y n, respectivamente, y F:V→U una aplicación lineal, entonces dimV ≥ dim(ImF).

FIUNA03F1b031230:

521. Si un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene solución única, entonces ninguna ecuación degenera durante el proceso de reducción por filas.

522. Si u = {u1, u2, ..., un} y v = {v1, v2, ..., vn} son vectores de Rn y se define u⋅v = Σuivi, entonces ║u║ = │(u⋅u)1/2│, ∀u∈Rn, es una norma en Rn.

523. El conjunto de matrices reales n-cuadradas con la operación producto de matrices, constituye una estructura de grupo.

524. El resultado de efectuar una operación elemental entre filas e sobre una matriz A puede obtenerse premultiplicando A por la matriz elemental correspondiente E.

. . .525. Si una matriz real n-cuadrada A es producto de matrices elementales, entonces es

invertible.

526. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces se tienen definidas dos operaciones, una interna en V, y otra, que hace corresponder a cada elemento de K y a uno de V, un único elemento de V.

527. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces todo subconjunto de V que incluye al vector nulo, es un subespacio de V.

528. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces una condición necesaria para que S⊂V sea una base de V es que S sea linealmente independiente.

529. Si V es el espacio vectorial de las matrices reales m×n, entonces dimV = m×n.

530. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y W es un subespacio de V de dimensión m, entonces, dimW⊥ = n – m.

531. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S es una base de V, entonces S es ortogonal o a partir de S puede obtenerse una base ortogonal.

532. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es un conjunto linealmente independiente, entonces S genera V.

533. Si A es una matriz compleja invertible entonces AH = A.

534. Si A es una matriz real n-cuadrada invertible, entonces todos sus valores propios son distintos.

535. Si A es una matriz real n-cuadrada diagonalizable bajo similaridad, entonces ninguno de los valores propios de A es igual a cero.

536. La matriz diagonal D obtenida por similaridad a partir de una matriz A, verifica An = Dn.

537. En toda matriz n-cuadrada A, el grado de su polinomio mínimo es menor que el grado de su polinomio característico.

538. Si T es un operador lineal invertible en V, entonces dim(ImT) = dimV.

539. Si A es una matriz n-cuadrada real y se define ∀x∈Rn, Ax = y, entonces A es un operador lineal inyectivo.

540. Si V y U son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, dimV = m, dimU = n, S y T bases dadas de V y U, respectivamente, entonces a toda aplicación lineal F:V→U le corresponde una única matriz T

SA de orden n×m que lo representa.

FIUNA03F2b040202:

541. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene i) solución única; ii) ninguna solución, o iii) un número finito de soluciones.

542. Si u = {u1, u2, ..., un} y v = {v1, v2, ..., vn} son vectores de Cn, es decir ui , vi ∈ C, el producto escalar o interno de u y v se define u⋅v = Σuivi.

543. La operación producto de matrices es distributiva respecto a la operación suma de matrices, para las matrices m×n (m ≠ n).

544. Si A y B son matrices m×n (m ≠ n), se verifica (A + B)t = Bt + At.

545. Si una matriz real n-cuadrada A es invertible, se verifica (A–1)t = (At)–1.

546. Dados un conjunto V ≠ ∅ , un cuerpo K y dos operaciones +:V×V→V y .:K×V→V, la presencia del elemento neutro respecto a la operación +, es condición necesaria, pero no suficiente, para que V sea un espacio vectorial sobre K.

547. Si U y V son subespacios no vacíos del espacio vectorial W sobre el cuerpo K, entonces U ∩ V y U + V son cerrados para las suma de vectores y el producto por escalares.

548. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K y dimV = n, entonces S ⊂ V, con n elementos, es una base de V si S es linealmente independiente o si V = linS.

549. Si V es el espacio vectorial de matrices n-cuadrada reales, entonces W = { A / A∈V ∧ trA

. . .= 0 }, con las misma operaciones que en V, es un subespacio de V.

550. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V no es un subespacio de V, S⊥ es un subespacio de V.

551. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es un conjunto ortogonal de n vectores, entonces S es una base de V.

552. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V tiene n elementos y V = linS, entonces S es linealmente independiente.

553. Si A∈V y V es el espacio vectorial de matrices complejas n-cuadradas, entonces detA ≠ 0.

554. Toda matriz real n-cuadrada invertible A, tiene todos sus valores propios reales.

555. Si A es una matriz real n-cuadrada, v un vector propio de A perteneciente al valor propio λ y k un escalar, entonces kv es un vector propio de A perteneciente al valor propio kλ .

556. La condición necesaria y suficiente para que una matriz real n-cuadrada A sea diagonalizable bajo similaridad es que A admita n vectores propios no nulos.

557. Toda matriz n-cuadrada real A tiene uno y solo un polinomio mínimo.

558. Si T es un operador lineal en V, entonces T es invertible.

559. Si S = {u1, u2, ..., un} es una base del espacio vectorial V sobre el cuerpo K, T un operador lineal en V y [T]S la representación matricial de T respecto a la base S, entonces se verifica ∀v∈V, [T]S[v]S = [T(v)]S.

560. Si F:V→U es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales V y U sobre un mismo cuerpo K, dimV = m, dimU = n, S1 y S2 bases en V, T1 y T2 bases en U, y P∈Kmxm y Q∈Knxn

son tales que S2 = PS1 y T2 = QT1, entonces si [ ] nm1T

1SKA ×∈ es la representación matricial a F

respecto a las bases S1 y T1, [ ] [ ] PAQA 1T

1S2T

2S= es la representación matricial de F respecto a

las bases S2 y T2.

FIUNA04P1a040403:

561. Una ecuación lineal a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + amxm = b es una ecuación degenerada si no admite solución alguna.

562. El sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas a1x + b1y = c1, a2x + b2y = c2

admite solución única si y solo si a1b2 – a2b1 = 0.

563. Dos sistemas lineales son equivalentes si tienen, respectivamente, el mismo número de ecuaciones y el mismo número de incógnitas.

564. Todo sistema lineal puede transformarse mediante un número finito de operaciones elementales a otro sistema lineal equivalente en forma escalonada.

565. Un sistema lineal dado en forma escalonada, admite solución única.

566. Si u es un vector de Rm, v un vector de Rn y m ≠ n, entonces el producto escalar de u por v es cero.

567. Si u y v son vectores de Rn, entonces, si se representa con e valor absoluto de un número, con la norma de un vector, y, con u·v el producto escalar del vector u por el v, se verifica u.v ≤ uv.

568. Para todo par de vectores u y v de Rn, si se representa con la norma de un vector, se verifica: u + v≤u+v.

569. Para todo para de vectores u y v de Rn, si se representa con la norma de un vector, con d(u, v) la distancia entre u y v, se tiene: d(u, v) = u – v.

570. Si u y v son vectores de Rn (n>3), entonces, el producto vectorial de u por v, denotado por u×v, permite obtener un vector ortogonal a u y a v.

571. La suma y el producto de matrices están definidos solamente para matrices del mismo orden.

. . .572. El producto de matrices, cuando la multiplicación es posible, es conmutativo.

573. La suma y el producto de matrices son operaciones asociativas.

574. Para multiplicar una matriz por un escalar, puede multiplicarse una cualquiera de las filas de la matriz por el escalar.

575. El producto de matrices es distributivo por la izquierda y por la derecha respecto a la suma de matrices.

576. Si A es una matriz n-cuadrada real, entonces tr A (traza de A), es un número entero.

577. Si I es la matriz unitaria de orden n, entonces para toda matriz n-cuadrada A, AI = IA = A.

578. Si una matriz n-cuadrada A, es invertible, entonces su inversa es única.

579. Si una matriz n-cuadrada real A es simétrica, entonces At = A. (At = transpuesta de A).

580. Si una matriz n-cuadrada compleja A es hermítica, entonces aii es real.

FIUNA04P2a040603:

581. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, admite al menos una solución.

582. El producto vectorial de dos vectores es una operación especial para vectores de R3.

583. Si A, B y C son matrices reales compatibles para las operaciones indicadas, se verifican: (AB)C = A(BC); A(B + C) = AB + AC; (A + B)C = AC + BC y k(AB) = (kA)B = A(kB).

584. Si W es el conjunto de matrices triangulares superiores de orden n, entonces W es cerrado para la suma y producto de matrices.

585. Una matriz compleja A es unitaria si y sólo si sus filas (o columnas) forman un conjunto ortogonal de vectores respecto al producto interno de vectores complejos.

586. Dada dos matrices A y B, se dice que a) son congruentes si existe una matriz no singular P tal que B = PTAP y .b) son similares si existe una matriz no singular P tal que B = P-1AP.

587. El conjunto de las matrices reales, con las operaciones suma de matrices y producto por un número real, constituye un espacio vectorial sobre R.

588. Si V es un espacio vectorial sobre K, y W un subconjunto no vacío de V, cerrado para la suma de vectores, entonces W es un subespacio de V.

589. Si V es un espacio vectorial sobre K, U y W son dos subespacios de V, entonces U∩W y U + W son subespacios de V.

590. Los espacios fila y columna de una matriz real de orden n tienen la misma dimensión.

591. Si V es un espacio vectorial y S un conjunto de vectores no nulos linealmente independientes, entonces S en una base de V.

592. El espacio vectorial V es la suma directa de los subespacios U y W si V = U + W y U∩W = {0}.

593. El producto interno de vectores en un espacio vectorial sobre el cuerpo K, está definido solo para K = R o K = C.

594. Si V es un espacio vectorial, con producto interno < , >, sobre el cuerpo K (K = R o K = C), entonces dicho producto interior es simétrico.

595. En un espacio vectorial con producto interno, el producto interno de un vector de ese espacio vectorial por el vector nulo es nulo.

596. En un espacio vectorial con producto interno, a partir de dicho producto interno puede definirse una norma para los vectores de dicho espacio vectorial.

597. De toda base de un espacio vectorial, puede derivarse una base ortonormal.

598. Todo conjunto de vectores ortogonales es linealmente independiente.

599. El complemento ortogonal de un conjunto de vectores es un subespacio.

600. Todo producto interior de un espacio vectorial real o complejo es siempre un número real positivo.

. . .FIUNA04F1a040629:

601. Un sistema de m ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas es siempre compatible y admite infinitas soluciones si n > m.

602. Si u = {u1, u2, ..., un} y v = {v1, v2, ..., vn} son vectores de Rn, es decir ui , vi ∈ R, el producto escalar o interno de u y v se define u⋅v = Σuivi.

603. La operación producto de matrices es distributiva respecto a la operación suma de matrices, para las matrices m×n (m ≠ n).

604. Si A y B son matrices m×n (m > n), se verifica ABt = BAt

605. En una matriz real n-cuadrada no singular A se verifica (A–1)t = (At)–1.

606. Dados un conjunto V ≠ ∅ , un cuerpo K y dos operaciones +:V×V→V y .:K×V→V, entonces V es un espacio vectorial sobre K.

607. Si U y V son subespacios no vacíos distintos del espacio vectorial W sobre el cuerpo K, entonces U ∩ V = {0}.

608. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K y dimV = n, entonces S ⊂ V, con n elementos, es una base de V si S es linealmente independiente o si V = linS.

609. Si V es el espacio vectorial de matrices n-cuadrada reales, entonces W = { A / A∈V ∧ At = A }, con las misma operaciones que en V, es un subespacio de V.

610. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V,

entonces S⊥ es un subespacio de V.

611. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es un conjunto ortogonal de n vectores, entonces S es una base de V.

612. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V tiene n elementos y V = linS, entonces S es linealmente independiente.

613. Si A∈V y V es el espacio vectorial de matrices complejas n-cuadradas, entonces AH = A.

614. Toda matriz simétrica real n-cuadrada A, tiene todos sus valores propios reales.


616. La condición necesaria y suficiente para que una matriz real n-cuadrada A sea diagonalizable bajo similaridad es que A admita n vectores propios distintos.

617. Toda matriz n-cuadrada real A tiene un polinomio mínimo de grado n.

618. Si T es un operador lineal en V, entonces T admite un operador inverso T–1.

619. Si S = {u1, u2, ..., un} es una base del espacio vectorial V sobre el cuerpo K, T un operador lineal

en V y [T]S la representación matricial de T respecto a la base S, entonces ∀v∈V, [v]S[T]S = [T(v)]S.

620. Si F:V→U es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales V y U sobre un mismo cuerpo K,

dimV = m, dimU = n, S y T bases en V y U, respectivamente, entonces si [ ] mnS K ×∈TF es la

representación matricial de F respecto a las bases S y T, entonces [ ] [ ] [ ]TSS v F(v)F T = .

FIUNA04F2a040719:

621. En un sistema en forma escalonada, de m ecuaciones lineales con n incógnitas, cualquier incógnita que no sea primera, es variable libre.

622. Una ecuación a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b se dice degenerada si ai = 0 ∀i = 1, n

623. Si A, B, C ∈ V, y V es el conjunto de matrices complejas m×n. a, b son números complejos cualesquiera, se verifican: i) (A + B) + C = A + (B + C); ii) A + B = B + A; iii) a(A + B) = aA + aB, iv) (a + b)A = aA + bA, v) (ab)A = a(bA) = b(aA)

624. Si A y B son matrices hermíticas de orden n, se verifica: (AB)H = AHBH

625. Si A y B son matrices cuadradas de orden n que conmutan, entonces AT = A y BT = B.

626. Si A es una matrices antihermítica, entonces tr(A) = 0

627. Para todo espacio vectorial V sobre un cuerpo K, ∅ es un subespacio trivial del mismo.

628. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, y W ≠ ∅ y es cerrado para la suma y producto

. . .por escalares, entonces W es un subespacio de V.

629. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K de dimensión n y V = linS = linT, entonces S y T tienen igual número de vectores.

630. Si V es el espacio vectorial de matrices n-cuadrada reales, W ⊂ V y W ≠ ∅ , entonces W es un subespacio de V con las mismas operaciones de suma y producto de matrices.

631. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, y W un subespacio de V, entonces ∀ u, v ∈ W, . ∈ W.

632. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es un conjunto ortonormal de n vectores, entonces S es una base de V.

633. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n, S ⊂ V un conjunto ortogonal de m vectores no nulos, entonces existe un único conjunto T ⊂ V y n – m vectores tal que S∪T es una base ortogonal de V.

634. Si p, q ∈ V y V es el espacio vectorial de polinomios de grado menor o igual a tres sobre el cuerpo de los reales, entonces p×q, donde × indica el producto usual de polinomios, es un producto interior en V.

635. Si A es una matriz n-cuadrada, v un vector propio de A perteneciente al valor propio λ y k un escalar, entonces kv es un vector propio de A perteneciente al mismo valor propio λ .

636. Si A es una matriz real n-cuadrada y D una matriz diagonal similar a A, entonces los elementos de D son los valores propios de A.

637. En toda matriz n-cuadrada real A diagonalizable bajo similaridad se verifica Am = PDmP-1, donde D es una matriz diagonal cuyos elementos son los valores propios de A y P una matriz cuyos columnas son los vectores propios correspondientes.

638. Si T es un operador lineal en el espacio vectorial V con producto interno < , >, entonces existe una representación matricial de T respecto a toda base S de V.

639. Si S = {u1, u2, ..., un} es una base del espacio vectorial V sobre el cuerpo K, T un operador

lineal en V entonces [T]S = <ui , uj>. es la representación matricial de T respecto a la base S.

640. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, F:U→V una aplicación lineal,

S = {u1, u2, ,... , um} y T = {v1, v2, ..., vn} bases en U y V respectivamente, entonces A = (aij)T

donde los aij se obtiene de F(ui) = ai1v1 + ai2v2 + ... + ainvn con i = 1, m es la representación matricial de F respecto a las bases S y T, respectivamente.

FIUNA04P1b040922:

641. Si una ecuación lineal a1x1 + a2x2 + a3x3 + ... + amxm = b es degenerada, entonces que admita o no solución depende del valor de término independiente b.

642. Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas admite solución única si y sólo si el sistema homogéneo asociado admite como única solución la trivial.

643. Dos sistemas de ecuaciones lineales son equivalentes si ambos son equivalentes a un mismo sistema lineal en forma canónica.

644. Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, puede admitir como conjunto solución a un conjunto que tiene exactamente m vectores de n componentes.

645. Un sistema lineal dado en forma canónica admite una única solución.

646. Si u y v son vectores de Cn, el producto escalar de u por v se define: u.v = ∑=

n

1i

ii vu .

647. Si u y v son vectores de Cn, entonces el producto escalar de u por v es un número real.

648. Si u y v son vectores de Kn (K = R ∨ K = C), entonces u.v ≤ uv.

649. Si u y v son vectores de Kn (K = R ∨ K = C), y si se representa con la norma de un vector, entonces d(u, v) = u – v define una distancia en Kn.

650. Si dos matrices cuadradas A y B, de orden n, son equivalentes por filas, entonces también son equivalentes por columnas.

651. Si dos matrices A y B, conformes para la multiplicación, son tales que AB = 0, entonces A = 0 o B = 0.

652. Si una matriz compleja conmuta con su conjugada transpuesta, se dice que dicha matriz es unitaria.

653. Si una matriz compleja es antihermítica, entonces sus elementos diagonales son ceros o

. . .imaginarios puros.

654. Si A es una matriz hermítica, entonces su traza es un número real.

655. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces ∀a, b ∈ K ∧ ∀u, v ∈ V, se verifican: a(u + v) = au + av ∧ (a + b)v = av + bv ∧ (ab)v = a(bv) ∧ av = v ⇔ a = 1.

656. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K y U un subespacio del mismo, entonces ∀a, b ∈ K ∧ ∀u, v ∈ U, se verifica au + bv ∈ U.

657. Si U es un subespacio de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, S = {v1, v2, ... , vn} es un subconjunto de vectores de U y W = linS, entonces W ⊆ U.

658. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, dimV = n, S = {v1, v2, ... , vn} ⊂ V, entonces V = linS.

659. Si V = linS y S = {v1, v2, ... , vn}, entonces algún subconjunto de S es una base de V.

660. Si V es un espacio vectorial sobre K, S = {u1, u2, ... , un} ⊂ V es linealmente independiente y T = {v1, v2, ... , vm} ⊂ V es un conjunto generador, entonces m ≤ n.

FIUNA04P2b041112:

661. El producto interno definido en un espacio vectorial real o complejo es una función simétrica.

662. El producto interno definido en un espacio vectorial real o complejo asocia a todo par de vectores un número real.

663. La norma definida en un espacio vectorial real o complejo asocia a todo vector no nulo un número real no negativo.

664. La distancia puede definirse en un espacio vectorial real pero no en un espacio vectorial complejo.

665. Si dos vectores de un espacio vectorial real, son ortogonales respecto a un producto interno, son ortogonales respecto a cualquier otro producto interno definido en el mismo espacio vectorial.

666. Si < , > es un producto interno definido en un espacio vectorial real o complejo V, entonces una distancia en V puede definirse como d(u, v) = ()1/2.

667. Si A es una matriz real n-cuadrada y k un número real, se verifica: det(kA) = kdet(A).

668. Si B es la matriz obtenida intercambiando dos filas de la matriz A, entonces det(B) = det(A).

669. Si A es una matriz n-cuadrada real, entonces sus valores propios son números reales.

670. Toda matriz en un cero de su polinomio característico pero no necesariamente de su polinomio mínimo.

671. A todo valor propio de una matriz A le corresponde un espacio propio de dimensión uno.

672. En toda matriz n-cuadrada real simétrica, las multiplicidades geométrica y aritmética de uno cualquiera de sus valores propios son iguales.

673. Los vectores propios correspondientes a valores propios distintos de una matriz son ortogonales.

674. Una forma cuadrática real es siempre diagonalizable bajo congruencia y bajo similaridad.

675. La aplicación F definida en R2 como F(x, y) = (x + 1, y + 1) es una aplicación lineal.

676. Si F:V → U es una aplicación lineal sobreyectiva, entonces dimV > dimU.

677. Si T:V → V es un operador lineal inyectivo y dimV es finito, entonces T es suprayectivo.

678. Si F:V → U es una aplicación lineal, dimV = m, dimU = n y S y T son bases de V y U, respectivamente, entonces existe una matriz A de orden n×m que representa F respecto a dichas bases.

679. Si T:V → V es un operador lineal, entonces las matrices que representan T respecto a dos bases distintas S y T de V , son similares.

. . .680. Si T:V → V es un operador lineal, entonces 0 es un valor propio de T, si sólo si T

es singular.

FIUNA04F1b041207:

681. Un sistema de m ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas, admite solución única si y sólo sí n = m.

682. Si u = {u1, u2, ..., un} y v = {v1, v2, ..., vn} son vectores de Cn, es decir ui , vi ∈ C, el producto escalar o interno de u y v se define u⋅v = Σuivi.

683. La transpuesta de la matriz (AB)C, producto de las matrices A, B y C, es igual al producto de las transpuestas de C, B y A.

684. Si A y B son matrices hermíticas compatibles para la multiplicación, se verifica que AB es hermítica.

685. Si A es una matriz triangular superior, entonces A2 es triangular superior.

686. El conjunto de matrices cuadradas reales, con las operaciones producto de matrices y producto por escalares constituye un espacio vectorial.

687. Si U y W son subespacios distintos del espacio vectorial V sobre el cuerpo K, entonces U ∩ V ≠ ∅.

688. El rango de una matriz es la dimensión de su espacio fila.

689. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, entonces ∈ R, ∀u, v ∈ V.

690. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, dimV = n, entonces ∀S ⊂ V, tal que V = linS y S linealmente independiente, existe una matriz [A] ∈ Kn×n, que representa < , > respecto a S.

691. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es un conjunto ortonormal de n vectores, entonces S es una base de V.

692. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es un conjunto generador de V, entonces S es una base en V.

693. Si A es una matriz real n-cuadrada, entonces si A es simétrica, detA > 0.

694. Toda matriz real n-cuadrada A, tiene todos sus valores propios reales.


696. Si A es una matriz real n-cuadrada que admite n valores propios distintos, entonces A es diagonalizable bajo similaridad.

697. El grado del polinomio mínimo de una matriz es menor o igual al de su polinomio característico.

698. Si T es un operador lineal en V, entonces la imagen por T de una base en V es un conjunto de vectores linealmente independiente.

699. Si S = {u1, u2, ..., un} es una base del espacio vectorial V sobre el cuerpo K, T un operador lineal

en V y [T]S la representación matricial de T respecto a la base S, entonces ∀v∈V, [v]S[T]S = [T(v)]S.

700. Si V y U espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, F:V→U una aplicación lineal, dimV =

m, dimU = n, S y T bases en V y U, respectivamente, entonces si [ ] mnS K ×∈TF es la

representación matricial de F respecto a las bases S y T, y [ ] [ ] [ ]TSS v F(v)F T = .

FIUNA05P1050319:

701. Si Ax = b es un sistema lineal compatible con más incógnitas que ecuaciones, entonces admite infinitas soluciones.

702. Si el sistema lineal Ax = b, de m ecuaciones con n incógnitas, es tal que el sistema homogéneo asociado admite soluciones no triviales, entonces admite infinitas soluciones.

703. Si el sistema lineal Ax = b, de m ecuaciones con n incógnitas, admite solución única, entonces el sistema Ax = c, con c ≠ b ∧ c ≠ 0, también admite solución única.

704. Si el sistema lineal Ax = b, de m ecuaciones con n incógnitas, admite como soluciones a los vectores x e y, entonces el vector x + y es también solución.

. . .705. Si A y B son matrices cuadradas no nulas de orden n y B2 = AB, entonces A = B.

706. Si AX + B = I, es una ecuación, con A, B e I, matrices cuadradas del mismo orden, entonces X = (I – B)A-1.

707. Las matrices n-cuadradas A y At, representan la misma forma cuadrática, es decir XtAX = XtAtX.

708. Dada la forma cuadrática q(X) = XtAX, se verifica que B = (A + At)/2 es su matriz simétrica asociada.

709. Toda matriz real n-cuadrada A es congruente con una matriz simétrica.

710. Si A y B son matrices equivalentes por filas y At = A, entonces Bt = B.

711. Si A y B son matrices equivalentes por filas y B es equivalente por filas a C, entonces A y C, son equivalentes por filas.

712. Si una matriz compleja A es tal que At = A-1, se dice que dicha matriz es unitaria.

713. Si dos matrices n-cuadradas A y B son congruentes, y At = A, entonces Bt = B.

714. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, y 1 es el neutro multiplicativo de K, entonces ∀v ∈ V se verifica 1v = v.

715. Si S = {u, v, w} genera el espacio vectorial W, de dimensión dos (2), entonces w puede escribirse como combinación lineal de u y v.

716. Si S = {u, v, w, s} ⊂ R4, u, v ∈ lin{w, s} y {u, v} es linealmente independiente, entonces {w, s} es una base de lin{u, v}.

717. Si W es un subespacio e Rn y U = {u: u = 2w ∧ w ∈ W}, entonces U es también un subsepacio de Rn.

718. Si V = linS y S = {v1, v2, ... , vn}, entonces algún subconjunto de S es una base de V.

719. Si S = {u1, u2, ... , un} es un conjunto generador linealmente dependiente de V, entonces si se suprime de S un vector uk, el conjunto S – {uk} es un generador de V.

720. Si S = {u1, u2, ... , un} es un conjunto generador de V, y T = {w1, w2, ... , wm} un conjunto linealmente independiente de vectores de V, entonces n <= m.

FIUNA05P2050521:

721. Si S = {w1, w2, …, wn} es base de un espacio vectorial V, de dimensión finita, y u y v son vectores de V tales que u = Σaiwi ; v = Σbjwi y ai = bi ∀i = 1, n, entonces u = v

722. La matriz de cambio de base, para cualquier par de bases de un mismo espacio vectorial, es una matriz singular.

723. En un espacio vectorial V sobre K dados dos subespacios 21 WyW se verifica

)( 2121 WWWW +⊆∩

724. Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V tales que V es la suma directa de U y W, entonces W es el complemento ortogonal de U.

725. Si V un espacio vectorial de dimensión finita con producto interno, y, U un subespacio de V. Si v ∉ U, entonces v ∈ U⊥.

726. En un espacio vectorial con producto interno, si u y v son dos vectores ortogonales entonces 22

vuvu −=+ (donde la norma es la inducida por el producto interno).

727. Si V es un espacio vectorial complejo con producto interno , , entonces es un espacio vectorial normado con norma u,uu = .

728. Los valores propios de una matriz real son escalares no nulos.

729. Las matrices similares tienen los mismos vectores propios.

730. Si dos matrices son congruentes, entonces son similares.

731. La suma de dos valores propios de una matriz real n-cuadrada A es también un valor propio de A.

732. Si A es una matriz real n-cuadrada y v un vector propio de A correspondiente a un valor propio λ. Para cada entero positivo m, v es un vector propio de Am correspondiente al valor propio λm.

733. Dos vectores propios de A correspondientes a un mismo valor propio son linealmente dependientes.

734. La matriz cuadrada A es diagonalizable bajo similaridad si y sólo si la multiplicidad algebraica de

. . .cada valor propio es igual a su multiplicidad geométrica.

735. Si A es similar a una matriz escalar λI entonces A = λI.

736. Sean A y B dos matrices cuadradas del mismo orden. Entonces las matrices AB y BA tienen el mismo polinomio característico y, por tanto, los mismos valores y vectores propios.

737. Toda matriz real simétrica es diagonalizable tanto bajo congruencia como bajo similaridad.

738. Una aplicación lineal de 3R en 4R es inyectiva, si la dimensión de su núcleo es nula.

739. Una aplicación lineal de 3R en 4R es sobreyectiva, si la dimensión de su imagen coincide con

la dimensión de 4R .

740. Si un operador lineal T en un espacio vectorial V de dimensión finita es inyectivo, entonces es suprayectivo.

FIUNA05F1050627:

741. Toda matriz A es equivalente por filas a una única matriz en forma canónica por filas.

742. Si u y v son vectores cualesquiera de Rn, entonces u⋅v = 0 no implica u = 0 ∨ v = 0, en tanto que u⋅u = 0 implica u = 0.

743. Siendo A, B y C matrices compatibles para las operaciones indicadas, k un escalar, se verifican: a) (AB)C = A(BC); b) A(B + C) = AB + AC; c) (A + B)C = AC + BC; d) k(AB) = (kA)B = A(kB)

744. Si A es una matriz compleja y AH es su traspuesta conjugada, entonces si AAH = AHA se dice que A es una matriz unitaria.

745. Si A es una matriz real y AT es su traspuesta, entonces si AAT = ATA se dice que A es una matriz ortogonal.

746. Si W es un subespacio de V, entonces W es cerrado para la suma de vectores y para el producto por escalares.

747. Si U y W son dos subespacios de V, entonces U ∩ W, U + W y U ∪ W también son subespacios de V.

748. Si S = { w1. w2, w2, …, wr } es un conjunto de vectores linealmente dependientes de un espacio vectorial V, entonces, si v ∈ V puede escribirse como combinación lineal de los vectores de S, dicha combinación lineal es única.

749. Si V es un espacio vectorial, con producto interno < , >, entonces si <u, v> = 0, u y v son linealmente independientes.

750. Si V es un espacio vectorial con producto interno < , >, entonces la función : V → R , definido como v = (<v, v>)1/2, satisface los axiomas de norma.

751. Una matriz cuadrada real es normal si conmuta con su traspuesta, entonces si V es el espacio vectorial de matrices cuadradas reales de orden n, con producto interno <A, B> = tr(BTA), como <A, B> = <B, A>, todas las matrices de V son normales.

752. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, entonces ∀v∈V, <v, v>∈R.

753. Si A es una matriz n-cuadrada que tiene dos filas proporcionales, entonces det(A) = 0.

754. Si p(t) es el polinomio característico de la matriz n-cuadrada A, entonces p(A) = N, donde N es La matriz nula de orden n.

755. Si m(t) es el polinomio mínimo de la matriz n-cuadrada A, entonces m(t) es un divisor del polinomio característico de A.

756. Si λ es un valor propio de la matriz n-cuadrada A y m(t) su polinomio mínimo, entonces m(λ) = 0.

757. Toda matriz real simétrica, no nula, es diagonalizable bajo congruencia y bajo similaridad.

758. Una aplicación lineal de R3 en R4 nunca es sobreyectiva.

759. Una aplicación lineal de R3 en R4 siempre es sobreyectiva,.

760. Si un operador lineal T en un espacio vectorial V de dimensión finita es inyectivo, entonces es biyectivo.

FIUNA05F2050711:

761. Si una matriz cuadrada compleja A verifica AAH = I se dice que A es unitaria.

762. Si u, v, w son vectores de R3, tal que (u⋅v)⋅w = 0, entonces u, v, w son coplanares.

763. Si A, B y C son matrices n-cuadradas no singulares, entonces: a) (ABC)T = CTBTAT; b) (ABC)-1 = C-1B-1A-1.

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. . .764. Si A es una matriz n-cuadrada compleja entonces AAH es real.

765. Si A es una matriz n-cuadrada real, entonces A puede escribirse como la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.

766. Si W es un subespacio generado por m vectores de V, entonces dim(W) = m.

767. Si U y W son dos subespacios de V, entonces: dim(U ∪ W) = dim(U) + dim(W) – dim(U ∩ W).

768. Si S = { w1. w2, w3, …, wn } es un conjunto de n vectores linealmente independientes de un espacio vectorial n-dimensional V, entonces S es una base de V.

769. Si V es un espacio vectorial real, con producto interno < , >, a, b dos escalares entonces: <u, av+bw> = a<u, v> + b<u, w>.

770. Si V es un espacio vectorial con producto interno < , >, y S = {v1, v2, …, vk} un conjunto de vectores linealmente independientes de V, entonces <vi, vj> = 0, ∀i ≠ j.

771. Si V es el espacio vectorial de las matrices cuadradas complejas de orden n, con producto interno <A, B> = tr(BHA), entonces <A, B> = <B, A>.

772. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, entonces ∀v∈V y v ≠ 0, v = (|<v , v>|)1/2 > 0.

773. Si A es una matriz n-cuadrada no singular, entonces det(A) = 0.

774. Si A y B son matrices similares, entonces A y B tienen el mismo polinomio mínimo.

775. Si m(t) es el polinomio mínimo de la matriz n-cuadrada A, entonces m(A) = 0.

776. Si λ es un cero del polinomio mínimo m(t) de A, entonces λ es un cero del polinomio característico de A.

777. Si A es una matriz real simétrica no nula, entonces tiene al menos un valor propio entero.

778. Si F:U → V, es una transformación lineal entre los espacios vectoriales U y V sobre un mismo cuerpo K, S y T son bases de U y V respectivamente, entonces F tiene una representación matricial relativa a las bases S y T.

779. Si F es una aplicación lineal inyectiva de R3 en R4, entonces las imágenes por F de una base de R3 genera R4.

780. Si T es un operador lineal en un espacio vectorial V de dimensión finita n, entonces las imágenes de los k vectores linealmente independientes de V, {v1, v2, …, vk} con k < n, son linealmente independientes.

FIUNA05F3051206:

781. Si el sistema lineal Ax = 0, es compatible, también es compatible Ax = b, con b ≠ 0.

782. Si u, v, w son vectores de Rn, entonces (u – v)⋅(u – w) = 0.

783. Si A, B y C son matrices del mismo orden, entonces ABt = CBt ⇒ A = C.

784. Si A es una matriz n-cuadrada compleja, entonces A + AH es una matriz hermítica.

785. Si A es una matriz n-cuadrada real, entonces A + At es simétrica.

786. Si V es un espacio vectorial sobre K, W un subespacio de V generado por m vectores de V, entonces W es cerrado para la suma de vectores.

787. Si V es un espacio vectorial sobre K y U y W subespacios de V, entonces: dim(U) + dim(W) ≤ dim(V).

788. Si V es un espacio vectorial sobre K y S = { u1. u2, u3, …, um } un conjunto de m vectores linealmente independientes de V, entonces S es una base de V.

789. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, entonces ∀u, v∈V: <u, v> = <v, u>.

790. Si V es un espacio vectorial real con producto interno < , >, y S = {v1, v2, …, vk} un conjunto de vectores ortogonales de V, entonces vi ≠ 0, ∀i = 1, n.

791. Si V es el espacio vectorial de las matrices n-cuadradas complejas, con producto interno <A, B> = tr(BHA), entonces <A, A> ∈ R.

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. . .792. Si V es un espacio vectorial complejo, con norma ║.║, entonces ∀v∈V y ║v║∈R.

793. Si A y B son matrices similares, entonces det(A) = det(B).

794. Si A y B son matrices similares, entonces tienen el mismo polinomio característico.

795. Si f(t) es el polinomio característico de la matriz n-cuadrada A y m(t) su polinomio mínimo, entonces el grado de f(t) es mayor que el grado de m(t).

796. Si λ es un valor propio de la matriz n-cuadrada real A, entonces λ∈R.

797. Si λ es un valor propio de la matriz n-cuadrada compleja A, entonces λ∉R.

798. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, F:U → V, una transformación lineal sobreyectiva, entonces dim(ImF) = dim(V).

799. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, F:U → V, una transformación lineal inyectiva, entonces dim(KerF) = 0.

800. Si V es un espacio vectorial sobre K, de dimensión finita n, T un operador lineal biyectivo en V y S una base de V, entonces la representación matricial de T relativa a la base S es una matriz invertible.

FIUNA06P1060329:

801. Si en el proceso de escalonamiento de un sistema lineal de ecuaciones una de las ecuaciones degenera, entonces el sistema es incompatible,

802. Si el sistema homogéneo asociado al sistema lineal Ax = b, de m ecuaciones con n incógnitas, admite solución única, entonces el sistema Ax = b es compatible.

803. Si el sistema lineal Ax = b, es compatible, entonces cualquier subconjunto de sus ecuaciones constituye un sistema lineal compatible.

804. Si un sistema lineal está en forma escalonada, entonces es compatible.

805. Si u, v son vectores de R3, y w = u × v, entonces w.u = w.v = 0.

806. Si A y B son matrices reales equivalentes, entonces, ambas tienen la misma forma canónica

807. Si A es una matriz hermítica mxn, entonces AHA = AAH.

808. Si A es una matriz real mxn, entonces es equivalente por filas a una única matriz en forma canónica por filas.

809. Si se multiplican todas las entradas de una matriz cuadrada real A por un número, entonces la matriz queda multiplicada por dicho número elevada a la enésima potencia.

810. Si A, B y C son matrices complejas compatibles para la multiplicación indicada, entonces A(B + C) = (B + C)A.

811. Si A es una matriz n-cuadrada real, entonces existe otra matriz n-cuadrada real B tal que (A + B)T = A + B.

812. Si A es una matriz n-cuadrada compleja, entonces B = A + AH es una matriz hermítica.

813. Si A es una matriz n-cuadrada compleja y AHA = AAH, entonces A es una matriz unitaria.

814. Si A es una matriz n-cuadrada real, entonces es la suma de una matriz simétrica y una antisimétrica.

815. A, B y C son matrices n-cuadradas reales, AB = AC y A es no singular, entonces B = C.

816. A y B son matrices n-cuadradas reales, tales que AB = 0 y A ≠ 0, entonces B = 0.

817. Si W es un subespacio del espacio vectorial V sobre el cuerpo K, entonces cualquier de V puede escribirse como una combinación lineal de vectores de W.

818. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, y S⊂V es linealmente independiente, entonces V = linS.

819. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, S⊂V y T⊂V son bases de V, entonces linS = linT.

820. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, S⊂V y T⊂V son linealmente independientes, entonces S y T tienen el mismo número de vectores.

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. . .FIUNA06P2060519G1:

821. Si A es una matriz ortogonal, entonces detA = 1,

822. Si V es un espacio vectorial real o complejo, con producto interno < , >, entonces a partir de cualquier base S de V puede obtenerse una base ortonormal de V.

823. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , > y u, v ∈ V verifican <u, v> = 0, entonces u y v son ortogonales para cualquier producto interno definido en V.

824. Si V es un espacio vectorial real, con producto interno < , >, y se define ║v║ = (<v, v>)½, ∀v∈V, entonces ║ ║ verifica los axiomas de una norma en V.

825. En el espacio vectorial de matrices reales n-cuadradas, el producto de matrices verifica los axiomas de un producto interno.

826. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, entonces se verifica –║u║║v║ < <u, v> < ║u║║v║ donde ║u║ = (<u, u>)½, y ║v║ = (<v, v>)½.

827. Si A es una matriz real mxn, entonces el conjunto solución del sistema AX = 0 es el complemento ortogonal del espacio generado por las columnas de A.

828. Si A es una matriz real simétrica, entonces los vectores propios de A pertenecientes a valores propios distintos son ortogonales.

829. Si A es una matriz compleja y λ un número complejo que verifica Av = λv, para algún vector no nulo v, entonces λ es raíz de la ecuación característica de A.

830. Si λ1, λ2 y λ3 son valores propios de las matrices reales mxn A, B y C, respectivamente, entonces λ1 + λ2 + λ3 es un valor propio de A + B + C.

831. Si A es una matriz real simétrica y detA > 0, entonces A es definida positiva.

832. Si A es una matriz real definida positiva, entonces A es simétrica.

833. Si A es una matriz n-cuadrada compleja y AH = A-1, entonces A es unitaria.

834. Si A es una matriz n-cuadrada real, entonces todas las raíces de su ecuación característica son números reales.

835. Si A es una matriz n-cuadrada y una de las raíces de su polinomio característico tiene multiplicidad geométrica menor que su multiplicidad algebraica, entonces A no es diagonalizable bajo similaridad.

836. Si A es una matriz n-cuadrada compleja, entonces es diagonalizable bajo similaridad.

837. Si F:U→V es una aplicación lineal y linS = KerF, entonces S en no vacío.

838. Si F:U→V es una aplicación lineal, dim(KerF) = r, dimU = m y dimV = n, entonces m = n + r.

839. Si F:U→V es una aplicación entre los espacios vectoriales U y V sobre el mismo cuerpo K, entonces ∀k∈K ∧ u∈U, F(ku) = kF(u).

840. Si F:U→V es una aplicación lineal sobreyectiva y F(u1) = F(u2), entonces u1 = u2.

FIUNA06P2060519G2:

841. Si A es una matriz ortogonal definida positiva, entonces detA = 1,

842. Si S es una base de un espacio vectorial real V, con producto interno < , >, entonces a partir de S puede obtenerse una base ortogonal de V y solo una.

843. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , > y u, v ∈ V verifican <u, v> = 0, entonces u y v son linealmente independientes.

844. Si V es un espacio vectorial real, con producto interno < , >, y se define ║v║ = (<v, v>)½, ∀v∈V, entonces ║u – v║ verifica los axiomas de distancia en V.

845. En el espacio vectorial de matrices reales n-cuadradas, la traza de matrices verifica los axiomas de una norma.

846. Si V es un espacio vectorial real, con producto interno < , >, entonces se verifica –║u║║v║ < <u, v> < ║u║║v║ donde ║u║ = (<u, u>)½, y ║v║ = (<v, v>)½.

847. Si A es una matriz real mxn, entonces el conjunto solución del sistema AX = 0 es el complemento ortogonal del espacio generado por las filas de A.

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. . .848. Si A es una matriz real, entonces los vectores propios de A pertenecientes a valores

propios distintos son ortogonales.

849. Si A es una matriz compleja y λ un número complejo que verifica Av = λv, para algún vector no nulo v, entonces λ es raíz del polinomio mínimo de A.

850. Si λ1, λ2 y λ3 son valores propios de las matrices reales mxn A, B y C, respectivamente, entonces λ1λ2λ3 es un valor propio de ABC.

851. Si A es una matriz real simétrica y detA < 0, entonces A no es definida positiva.

852. Si A es una matriz real definida positiva, entonces A es singular.

853. Si A es una matriz n-cuadrada compleja y AH = A, entonces A es unitaria.

854. Si A es una matriz n-cuadrada real, entonces todas las raíces de su ecuación característica son raíces de su polinomio mínimo con igual multiplicidad.

855. Si A es una matriz n-cuadrada y la multiplicidad algebraica de ninguno de sus valores propios excede a su multiplicidad geométrica, entonces es diagonalizable bajo similaridad.

856. Si A es una matriz n-cuadrada diagonalizable bajo congruencia, entonces es diagonalizable bajo similaridad.

857. Si F:U→V es una aplicación lineal inyectiva, entonces {0} = KerF.

858. Si F:U→V es una aplicación lineal biyectiva, entonces dimU = dimV.

859. Si F:U→V es una aplicación entre los espacios vectoriales U y V sobre el mismo cuerpo K, entonces ∀u, v∈V, F(u + v) = F(u) + F(v).

860. Si F:U→V es una aplicación y F(u1) = F(u2), entonces u1 = u2.

FIUNA06F1060609:

861. Si u y v son soluciones del sistema lineal no homogéneo Ax = b, entonces u – v es una solución del sistema homogéneo Ax = 0,

862. La solución general U del sistema lineal no homogéneo Ax = b, puede escribirse como U = x0

+ W, donde x0 es una solución particular de Ax = b y W es la solución general del sistema homogéneo asociado.

863. Si u y v son vectores de Rn, entonces d = ║ v – u ║ es una definición de distancia entre los vectores u y v.

864. Si A y B son matrices m×n y existe una matriz P no singular tal que B = AP, entonces A y B son matrices equivalentes por columnas.

865. Si A es una matriz m×n entonces, con operaciones exclusivamente sobre sus filas, puede transformarse en una matriz cuyas m entradas principales son iguales a uno.

866. Si A y B son matrices n-cuadradas y existe una matriz P no singular tal que B = PtAP, entonces A y B son matrices simétricas.

867. Si A, B y P son matrices n-cuadradas, P ortogonal y B = PtAP, entonces A y B son congruentes y a la vez similares.

868. Si A es una matriz n-cuadrada real, entonces puede escribirse como un producto de matrices elementales.

869. Si V es un espacio vectorial real y S = { v1, v2, …, vr } ⊂ V es linealmente dependiente, entonces existe k, 1 < k < r, tal que vk = ∑vi. con i variando de 1 a k – 1.

870. Si V es un espacio vectorial complejo y S = { v1, v2, …, vr } ⊂ V es linealmente independiente, entonces linS es parte de una base de V.

871. Si V es un espacio vectorial real, con producto interno < , >, y S = { w1, w2, …, wr } ⊂ V es linealmente independiente, entonces ∀v∈V, v = ∑kiwi, con ki = <v, wi>/< wi, wi>.

872. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, entonces ∀ u, v ∈ V, <u, v> es un número real.

873. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, entonces ∀u∈V, <u, u> > 0.

874. Si A es una matriz n-cuadrada compleja, entonces detA es un número real.

875. Si A es una matriz n-cuadrada real, λ un escalar y v un vector tal que Av = λv, entonces λ es un número real.

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. . .876. Si A es una matriz n-cuadrada real, λ1 y λ2 son escalares distintos tal que Au = λ1u y Av =

λ2v para los vectores u y v, entonces u y v son linealmente dependientes.

877. Si A es una matriz n-cuadrada real y At = A, entonces sus valores propios son números reales.

878. Si F:U→V es una aplicación lineal, entre los espacios vectoriales U y V, sobre el mismo cuerpo K y S = { u1, u2, …, ur } ⊂ V es linealmente independiente, entonces { F(u1), F(u2), …, F(u)r } es linealmente independiente.

879. Si F:U→V es una aplicación lineal biyectiva, entre los espacios vectoriales U y V sobre el mismo cuerpo K, entonces KerF es un subespacio de V.

880. Si F:U→V es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales U y V sobre el mismo cuerpo K, S = { u1, u2, …, um } ⊂ U y T = { v1, v2, …, vn } ⊂ V son bases de U y V, respectivamente, entonces existe una matriz [F], no singular, de orden n×m tal que ∀u∈U [F][u]S = [v]T.

FIUNA06F2060626:

881. Si el sistema lineal no homogéneo Ax = b, es equivalente a un sistema en forma escalonada con una sola variable libre, entonces el vector solución es único,

882. Para que el sistema lineal Ax = b, sea compatible es necesario y suficiente que el sistema homogéneo asociado Ax = 0 admita solución única.

883. Si u y v son vectores de R3, entonces u×v = –v×u, donde × es el signo del producto vectorial.

884. A es una matriz nilpotente de clase p si y sólo si Ap = 0 y Ap+ 1 ≠ 0.

885. La forma canónica por filas de una matriz m×n A es B, entonces B es única.

886. A es una matriz normal si y sólo si AAt = AtA.

887. Si A y B son matrices simétricas, entonces AB es simétrica.

888. Si A y B son matrices n-cuadradas complejas, AB = BA, A es hermítica y B antihermítica, entonces AB es antihermítica.

889. Si S y T son bases de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, [v]S y [v]T los vectores coordenados de v∈V relativos a S y T, respectivamente, entonces existe y es única la matriz no singular P tal que: [v]S = P[v]T.

890. Si V es un espacio vectorial complejo y S = { u1, u2, …, um } y T { v1, v2, …, vn } son subconjuntos de vectores linealmente independientes de V, entonces cada vector de S puede escribirse como combinación lineal de los vectores de T.

891. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, u, v∈V tal que < u, v > = 0, entonces si a y b son números complejos cualesquiera < au, bv > = 0.

892. Si V es un espacio vectorial real, con producto interno < , >, entonces ∀ u, v ∈ V, <u, v> es un número real positivo.

893. Si V es un espacio vectorial real normado, con norma ║.║, entonces ∀u∈V, ║u║ ≥ 0.

894. Si A y B son matrices similares, entonces detA = detB.

895. Si A es una matriz n-cuadrada real diagonalizable bajo similaridad, λ1, λ2, λ3, …, λn sus valores propios, entonces λi ≠ λj, ∀i ≠ j.

896. Si A es una matriz n-cuadrada real, λ un escalar y v un vector no nulo, tal que Av = λv, entonces Anv = λnv para n entero y positivo.

897. Si λ1, λ2, λ3, …, λn son los valores propios de una matriz n-cuadrada real A y λi ≠ λj, ∀i ≠ j, entonces el polinomio característico de A es su polinomio mínimo.

898. Si F:U→V es una aplicación lineal biyectiva, entre los espacios vectoriales U y V, sobre el mismo cuerpo K, entonces dimV = dimU.

899. Si F:U→V es una aplicación lineal sobreyectiva, entre los espacios vectoriales U y V sobre el mismo cuerpo K, entonces KerF = { 0 }.

900. Si F:U→V es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales U y V sobre el mismo cuerpo K, S = { u1, u2, …, um } ⊂ U y T = { v1, v2, …, vn } ⊂ V son bases de U y V, respectivamente y KerF = { 0 }, entonces m = n.

FIUNA06F3061219:

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. . .901. Si los sistemas lineales Ax = 0 y Bx = 0 son equivalentes entonces A y B son equivalentes por

filas.

902. Si el sistema lineal, de igual número de ecuaciones que incógnitas, Ax = b, es compatible, entonces admite solución única.

903. Si u y v son vectores de R3 tales que u×v = 0, donde × es el producto vectorial, entonces, para algún escalar k, v = ku.

904. A es una matriz normal, entonces es invertible.

905. Si la forma escalonada de una matriz A, de orden m×n, es B, entonces B es única.

906. A y B son matrices triangulares superiores, entonces AB es diagonal superior.

907. Si A y B son matrices normales, entonces AB es normal.

908. Si A es hermítica, entonces –A es antihermítica,

909. Si S y T son bases de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, entonces ∀v∈V existen y son únicos los escalares (k1, k2, …kn) y (l1, l2, …ln) que son las coordenadas de v respecto a las bases S y T, respectivamente,

910. Si V es un espacio vectorial real y S = { u1, u2, …, um } y T { v1, v2, …, vn } son subconjuntos de vectores linealmente dependientes de V, entonces cada vector de S es combinación lineal de los vectores de T.

911. Si V es un espacio vectorial, con producto interno < , >, y u, v∈V son ortogonales, entonces para cualquier par de escalares a, b, au y bv son ortogonales.

912. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, entonces ∀ u, v ∈ V, <u, v> es un número real.

913. Si V es un espacio vectorial complejo normado, con norma ║.║, entonces ∀u∈V, ║u║ ≥ 0.

914. Si A y B son matrices conguentes, entonces detA = detB.

915. Si A es una matriz n-cuadrada real, λ1, λ2, λ3, …, λn sus valores propios y λi ≠ λj, ∀i ≠ j, entonces A es diagonalizable bajo similaridad.

916. Si A es una matriz n-cuadrada, v un vector propio asociado al valor propio λ, entonces para n entero y positivo se verifica Anv = λnv .

917. Si A es una matriz n-cuadrada, P(t) su polinomio característico y M(t) su polinomio mínimo, entonces M(t) divide a P(t).

918. Si F:U→V es una aplicación lineal, entre los espacios vectoriales U y V, sobre el mismo cuerpo K, entonces dimV = dim(KerF) + dimU.

919. Si F:U→V es una aplicación lineal, entre los espacios vectoriales U y V sobre el mismo cuerpo K y dimV = dimU, entonces KerF = { 0 }.

920. Si F:U→V es una aplicación lineal entre los espacios vectoriales U y V sobre el mismo cuerpo K, S = { u1, u2, …, um } ⊂ U y T = { v1, v2, …, vn } ⊂ V son bases de U y V, respectivamente, entonces existe una matriz n×m , con elementos en K, que representa F respecto a las bases S y T.

921. f

922.

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FPUNA01P1010918:

923. Si A es una matriz cuadrada invertible, el sistema AX = B admite solución única.

924. Si X1 y X2 son soluciones del sistema AX = 0, entonces, ∀a1, a2 ∈ R, a1 X1 + a2 X2

es también solución.

925. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene una ecuación degenerada, entonces el sistema no admite solución alguna.

926. Si A1 X1 = B1 y A2 X2 = B2 son sistemas lineales de n ecuaciones con n incógnitas, y A1 = A2, entonces, ambos sistemas admiten la misma solución.

927. Si Q es un punto en R3 y n un vector no nulo, entonces la ecuación de la recta que pasa por Q y tiene la dirección de n se escribe P = Q + tn, con P(x, y, z) y t variable.

928. Si Q es un punto en R3 y n un vector no nulo, entonces la ecuación del plano que pasa por Q y cuya normal tiene la dirección de n se escribe P - Q = tn, con P(x, y, z) y t variable.

929. El producto vectorial de dos vectores de R3, es otro vector cuya dirección es perpendicular al plano determinado por dichos vectores.

930. Dos vectores u y v de Rn son ortogonales si el producto escalar de los mismos es distinto de cero.

931. Toda matriz no nula, puede transformarse en una matriz escalonada mediante transformaciones elementales sobre las filas de la matriz.

932. El producto de una matriz cualquiera, de orden m x n, por la matriz nula n x n, es una matriz nula m x n.

933. Si A y B son matrices triangulares superiores del mismo orden, entonces AB es triangular superior del mismo orden.

934. Toda matriz cuadrada, de orden n, es el producto de matrices elementales.

935. Una matriz cuadrada es invertible si y solo si es el producto de matrices elementales.

936. Si A es una matriz ortogonal, A es invertible.

937. Si A es una matriz invertible, entonces kA es invertible con inversa k-1A-1, siendo k ∈ R y k ≠ 0

938. Si A es una matriz cuadrada no invertible, entonces al reducirlo a la forma escalonada, todas sus filas son nulas.

939. Si A y B son matrices invertibles, entonces AB es invertible.

940. Toda matriz cuadrada es invertible.


942. Si las matrices A y B son compatibles para el producto y se verifica AB = 0, entonces A = 0 o B = 0.

FPUNAP2011120

943. El sistema lineal AX = B, de n ecuaciones con n incógnitas, admite solución única si y sólo si el sistema homogéneo asociado AX = 0, admite como única solución a la trivial.

944. Si X1 y X2 son soluciones del sistema de ecuaciones lineales AX = B, con B ≠ 0, entonces, ∀ a1, a2 ∈ R, a1 X1 + a2 X2 es también solución.

945. Si A, B y C son puntos fijos y X un punto genérico en R3, entonces, la ecuación del plano determinado por los puntos A, B y C se escribe (X – A)×(B – A)⋅(C – A) = 0.

946. Los vectores u y v de Rn, son ortogonales si el producto escalar de los mismos es nulo.

947. Si A ∈ Rm×p, B ∈ Rp×q y C ∈ Rq×n , entonces: ABC = A(BC) = (AB)C ∧ ABC ∈ Rm×n.

948. Si A, B y C son matrices m×n, entonces ABt, AtB y A(B + C) pueden obtenerse y son matrices todas del mismo orden.

949. Si D es una matriz diagonal, con elementos diagonales (d1, d2, d3, ..., dn) entonces Dk

es diagonal con elementos diagonales (d1k , d2

k, d3k, ..., dn

k).

950. Si A es una matriz simétrica, entonces es diagonalizable por congruencia.

951. Si A es una matriz ortogonal, entonces las columnas de A forman un conjunto ortogonal por no necesariamente un conjunto ortonormal de vectores.

952. Si A y B son matrices diagonales del mismo orden, entonces A + B y AB son matrices diagonales del mismo orden.

953. Si S y T son bases de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, todo vector de T puede escribirse como combinación lineal de los vectores de S.

954. Si U es un subespacio de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y dimU = dimV, entonces, U ⊂ V y no necesariamente V ⊂ U.

955. Si S es un conjunto de vectores de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K y 0 ∉ S, entonces, S es linealmente independiente.

956. Si V es un espacio vectorial sobre R, f:V×V → R, y ∀ u, v, w ∈ V ∧ ∀ a, b ∈ R, se verifican i) f(au + bv, w) = af(u, w) + bf(v, w); ii) f(u, v) = f(v, u) y iii) f(u, u) ≥ 0, entonces f es un producto interior en V.

957. Los axiomas que verifican la norma || ||:V → K en un espacio vectorial normado V sobre el cuerpo K, son los mismos si K = R ∨ K = C.

958. Los axiomas que verifican la distancia d:V×V→K en un espacio vectorial métrico V sobre el cuerpo K, son los mismos si K = R ∨ K = C.

959. Si A es una matriz cuadrada invertible, entonces detA > 0.

960. Si A ∈ Rn×n y At = A, entonces los vectores propios de A correspondientes a valores propios distintos son ortogonales.

961. A es diagonalizable por similaridad si y sólo si los valores propios de A son positivos.

962. Si A y B son matrices reales similares, entonces tienen los mismo valores propios.

FPUNAF1011206:

963. Si el sistema lineal AX = B, de m ecuaciones con n incógnitas, admite solución, entonces es reducible a la forma escalonada.

964. Si el sistema lineal de n ecuaciones con n incógnitas, AX = B, con B ≠ 0 admite solución única, entonces el sistema homogéneo asociado tiene infinitas soluciones.

965. Si A, B y C son puntos fijos distintos en R3 y el producto escalar de A – C por B – C es cero, entonces A, B y C son vértices de un triángulo rectángulo.

966. Los vectores u y v de R3, son ortogonales si su producto vectorial es cero.

967. Si A y B son matrices n-cuadradas simétricas, entonces A⋅B es simétrica.

968. lin{(0, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1)} = R3.

969. Las dimensiones de los espacios fila y columna de una matriz A ∈ Rm×n son iguales.

970. Si S es un conjunto generador linealmente dependiente de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, entonces algún subconjunto de S es una base de V.

971. Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V y U + W = {u + w/u∈U ∧ w∈W}, entonces U + W es un subespacio de V.

972. La suma de las dimensiones de dos subespacios de un mismo espacio vectorial es menor que la dimensión de dicho espacio vectorial.

973. Si S y T son bases de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, entoces S∪T es también una base de V.

974. La desigualdad de Cauchy-Schwarz, <u, v> ≤ uv, se cumple en los espacios vectoriales reales pero no necesariamente en los espacios vectoriales complejos.

975. La ortogonalidad de vectores está definida sólo en los espacios vectoriales con producto interno.

976. Si V es un espacio vectorial con producto interno y S⊂V, entonces el complemento ortogonal de S es un subespacio de V.

977. Si S es una base en el espacio vectorial con producto interno V, a partir de S puede construirse una base ortonormal de V.

978. Si A es una matriz n-cuadrada sobre el cuerpo de los reales R. Entonces A tiene al menos un valor propio.

979. Si A es una matriz n-cuadrada que admite n vectores propios linealmente independientes, entonces es diagonalizable por similaridad.

980. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K y F:V→V un operador lineal, entonces F es invertible.

981. Si T es un operador lineal suprayectivo en un espacio vectorial V de dimensión finita, entonces T es invertible.

982. Si A es la representación matricial del operador lineal T relativa a la base S en el espacio vectorial V, entoces A es simétrica.

FPUNAF2011217:

983. Si X1 y X2 son soluciones del sistema lineal AX = B, de m ecuaciones con n incógnitas, entonces X1 + X2 también es solución.

984. Si el sistema lineal homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas, AX = 0, admite solución única, entonces el sistema AX = B, con B ≠ 0, admite también solución única.

985. Si A, B y C son puntos fijos distintos en R3 y B – A = k(C – B) con k ∈ R, entonces A, B y C determinan un plano.

986. Si los vectores u y v de R3, son tales que u×v = 0, entonces u y v son paralelos.

987. Si A y B son matrices n-cuadradas antisimétricas, entonces A⋅B es antisimétrica.

988. Si u, v y w son vectores linealmente independientes de R3, entonces ellos generan R3.

989. Si una matriz A ∈ Rm×n tiene rango tres, entonces tiene tres filas linealmente independientes.

990. Si S es un conjunto de n vectores linealmente independientes de un espacio vectorial V de dimensión n, entonces S es una base de V.

991. U y W son subespacios de un espacio vectorial V, tales que, U ∩ V = { 0 },

entonces dimU = dimV ∨ dimW = dimV.

992. Si S = ∅, entonces linS = {0}.

993. Si S y T son bases distintas de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, entonces

S∩T = ∅.

994. El axioma referente al producto interno: <au + bv, w> = a<u, w> + b<v, w>, con u, v, w vectores, y, a, b escalares, es válido para los espacios vectoriales reales con producto interno y no en los espacios vectoriales complejos con producto interno.

995. Si V es un espacio vectorial con producto interno < , >, entonces ∀v ∈ V, la expresión v = (<v ,v>)1 /2 , es una norma en V.

996. Si W es un subespacio del espacio vectorial V, con producto interno < , >, y W⊥ es

el complemento ortogonal de W, entonces W ⊕ W⊥ = V.

997. Todo espacio vectorial V, de dimensión finita n, con producto interno < , >, admite una base ortonormal.

998. Si A es una matriz n-cuadrada simétrica, entonces es diagonalizable por similaridad.

999. Si A es una matriz n-cuadrada y admite n vectores propios linealmente independientes, entonces es diagonalizable por similaridad.

1000. Si V y U son espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre el mismo cuerpo K y F:V→U un operador lineal, entonces dim (Ker F) ≤ dim (Im F).

1001. Si T es un operador lineal suprayectivo en el espacio vectorial V de dimensión finita n, entonces T es inyectivo.

1002. Si T es un operador lineal invertible en el espacio vectorial V, de dimensión finita n, entonces la representación matricial de T es independiente de la base adoptada en V.

…

FIUNA – 2do.SEMESTRE – 2º. Ex. FINAL de ÁLGEBRA LINEAL – 26/06/2006

FPUNAF3020215:

1003. Una ecuación lineal es degenerada si no admite solución alguna.

1004. Si el conjunto solución del sistema lineal homogéneo de n ecuaciones con n incógnitas, AX = 0, es no vacío, entonces el sistema AX = B, con B ≠ 0, admite al menos una solución.

1005. Si A, B y C son puntos fijos distintos en R3 y (B – A)·(C – A) = 1, entonces B – A es ortogonal a C - A.

1006. Si los vectores u y v de R3, son tales que u·v = 0, entonces u = 0 ∨ v = 0.

1007. Si A y B son matrices n-cuadradas simétricas, entonces A·B es simétrica.

1008. Si u, v y w son vectores que generan R3, entonces son linealmente independientes.

1009. Si una matriz A ∈ Rm×n tiene tres filas linealmente dependientes, entonces su rango es tres.

1010. Si S es un conjunto de n vectores de un espacio vectorial V de dimensión n, entonces linS es un subespacio de V.

1011. U y W son subespacios de un espacio vectorial V, tales que, U ∩ W = {0}, entonces U + W = V.

1012. Si S = {v1, v2, ..., vn} ⊂ V y S es linealmente independiente, entonces linS = V.

1013. Si S y T son bases distintas del mismo espacio vectorial V sobre un cuerpo K, entonces no necesariamente linS = l inT.

1014. Si V es un espacio vectorial real con producto interno < , >, entonces <v, v> ≥ 0 ∀v∈V.

1015. Si V es un espacio vectorial con norma ║·║ , entonces ║u+v║ = ║u║ + ║v║ . ∀u, v ∈ V.

1016. Si V es un espacio vectorial con producto interno < , > y S ⊂ V es ortogonal, entonces S es linealmente independiente.

1017. Todo espacio vectorial V, de dimensión finita n, con producto interno < , >, es un espacio vectorial métrico, con distancia d(u, v) = ║u-v║ y ║u║= (<u,u>)1/2 y ║v║= (<v,v>)1/2.

1018. Si A es una matriz n-cuadrada simétrica, entonces es diagonalizable por congruencia.

1019. Si A es una matriz n-cuadrada simétrica, entonces es diagonalizable por similaridad.

1020. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre el mismo cuerpo K y F:V→U un operador lineal, entonces dim (V) = dim (U).

1021. Si T es un operador lineal en el espacio vectorial V de dimensión finita n, entonces la representación matricial de T es una matriz n-cuadrada.

1022. Si F y T son operadores lineales distintos en el espacio vectorial V, de dimensión finita n, entonces las representaciones matriciales de F y T son matrices similares.

FPUNAP2021120:

1023. Se dice que A es una matriz hermítica si AH = A, siendo AH la matriz conjugada traspuesta de la matriz A.

1024. Si A es una matriz ortogonal, entonces las filas o las columnas de A son ortogonales.

1025. Para que W sea un subespacio de V es necesario y suficiente que 0 ∈ W y W sea cerrado para la suma de vectores.

1026. Si U y W son subespacios de V, entonces U∩W y U + W son subespacios de V.

1027. Si U es un subespacio de V, entonces dimU ≤ dimV.

1028. Si en el espacio vectorial V sobre un cuerpo K (K = R o K = C) se define un producto interno < , >, entonces ∀ v ∈ V se verifica: <v, v> ≥ 0 ∧ <v, v> = 0 ⇔ v = 0.

1029. Si en el espacio vectorial V sobre un cuerpo K (K = R o K = C) se define una norma , entonces ∀ v ∈ V se verifica: v∈ R ∨ v∈ C.

…


1030. Si en el espacio vectorial V sobre un cuerpo K (K = R o K = C) se define una distancia d( , ), entonces ∀ u, v ∈ V ∧ u ≠ v, se verifica: d(u, v) ≠ 0.

1031. Si V es un espacio vectorial sobre R, S una base en V y A una matriz real simétrica, entonces ∀ u, v ∈ V, [u]t

S A[v]S define un producto interno en V.

1032. Si S es una base en un espacio vectorial V sobre el cuerpo C, con producto interno < , >, entonces la matriz que representa < , > respecto a la base S es real.

1033. Los valores propios de toda matriz real son números reales.

1034. Toda matriz A es raíz de su polinomio característico pero no necesariamente de su polinomio mínimo.

1035. El grado del polinomio mínimo de una matriz real A es siempre menor que el grado del polinomio característico de A.

1036. Si λ es una raíz triple del polinomio característico de una matriz A, entonces λ es un valor propio de A de multiplicidad algebraica tres.

1037. Si A es diagonalizable por similaridad entonces no tiene valores propios repetidos.

1038. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y F:U→V una aplicación lineal, entonces la imagen por F del vector nulo en U es el vector nulo en V.

1039. Si U, V y W son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, F:U→V ∧ G:V→W aplicaciones lineales, entonces FoG = GoF, donde o indica la aplicación compuesta.

1040. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, F:U→V ∧ G:U→V son aplicaciones lineales y F(v) = G(v) para algún v∈V, entonces F = G.

1041. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, F:U→V una aplicación lineal y T⊂V es la imagen por F de S⊂U, entonces si S es linealmente independiente también lo es T.

1042. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, F:U→V una aplicación lineal, entonces ∃F-1:V→U.

FPUNAF1021204:

1043. Un sistema de ecuaciones lineales en forma escalonada, tiene solución única si y sólo si el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas.

1044. El producto vectorial de vectores en Rn está definido para todo n natural.

1045. El producto de dos matrices de orden m×n, m ≠ n, es una matriz de orden m×n.

1046. Cada operación elemental sobre las filas de una matriz puede considerarse como el resultado de premultiplicar la matriz dada por la matriz elemental correspondiente a la operación elemental entre filas.

1047. Si V es un espacio vectorial sobre K, todo subconjunto de V, con las mismas definiciones de suma y producto de vectores, es un subespacio de V.

1048. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, S⊂V y T⊂V son dos conjuntos generadores de V, entonces S y T tienen el mismo número de vectores.

1049. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, dimV = n, V = linS y S contiene n vectores, entonces S es una base en V.

1050. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, dimV = n, S⊂V y V = linS. Entonces todo vector de V puede representarse, de una manera única como combinación lineal de los vectores de S.

1051. Si V es un espacio vectorial real o complejo, con producto interno < , >, entonces ∀ u, v ∈ V, puede definirse si son o no ortogonales.

1052. Si S es una base en un espacio vectorial real, con producto interno < , >, entonces la matriz que representa < , > respecto a la base S es simétrica.

1053. Si en el espacio vectorial complejo V, se define una norma , entonces ∀ v ∈ V se verifica: v∈ C.

1054. Si en el espacio vectorial complejo V, se define una distancia d( , ), entonces ∀ u, v, w ∈ V, se verifica: d(u, v) ≤ d(u, w) + d(w, v).

1055. El grado del polinomio característico de una matriz real A es siempre igual al orden de A.

…


1056. Si λ es una raíz del polinomio característico de una matriz real A, entonces λ es un número real.

1057. Si A y B son matrices similares, entonces tienen el mismo polinomio característico.

1058. El grado del polinomio mínimo de una matriz n-cuadrada real A, es igual a n.

1059. Si U, V, W y S son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, y F:U→V, G:V→W ∧ H:W→S son aplicaciones lineales, entonces (F + G)oH = FoH + GoH.

1060. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, F:U→V ∧ G:U→V son aplicaciones lineales distintas, entonces F(u) ≠ G(u) ∀ u ∈ U.

1061. Si V es un espacio vectorial, de dimensión finita, sobre el cuerpo K, T:V→V es un operador lineal, entonces T es suprayectivo si y sólo si es inyectivo.

1062. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, F:U→V una aplicación lineal, entonces Ker(F) ≠ ∅.

FPUNAF2021218:

1063. Si una de las ecuaciones de un sistema lineal se reduce a una degenerada, entonces el sistema no tiene solución.

1064. Si una de las ecuaciones de un sistema lineal homogéneo se reduce a una degenerada, entonces el sistema no tiene solución.

1065. Si para dos matrices A y B se verifica AB = BA, entonces A–1 B–1 = B–1 A–1.

1066. Si A y B son dos matrices simétricas, entonces AB también es simétrica.

1067. Toda matriz ortogonal es invertible.

1068. Si A es una matriz normal, entonces es simétrica.

1069. El axioma para espacios vectoriales 1u = u puede derivarse del axioma (a + b) u = au + bu, haciendo a = 1 y b = 0.

1070. Todo subconjunto de un espacio vectorial que contenga al elemento cero, es un subespacio.

1071. La envolvente lineal de un subconjunto de vectores de un espacio vectorial es un subespacio.

1072. Si en la expresión a1 v1 + a2 v2 + a3 v3+ ... + an vn = 0 algunos de los ai es no nulo, entonces el conjunto v1, v2, v3, ... , vn es linealmente dependiente.

1073. Todo producto interno puede representarse con una matriz definida positiva.

1074. El teorema de Cauchy-Schwarz es aplicable únicamente a espacios vectoriales reales con producto interno.

1075. La norma de un vector se define en espacios vectoriales con producto interno.

1076. La matriz diagonal D obtenida por similaridad a partir de una matriz A, es única.

1077. La condición necesaria y suficiente para que una matriz sea diagonalizable por similaridad, es que sus valores propios sean distintos.

1078. Si λ es un valor propio de la matriz A, entonces λ2 es un valor propio de A2.

1079. El polinomio mínimo de una matriz no tiene factores repetidos.

1080. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y F:U→V y T:U→V son aplicaciones lineales, entonces F + T también es una aplicación lineal.

1081. Un isomorfismo es una aplicación lineal.

1082. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y F:U→V una aplicación lineal, entonces la imagen por F de una base en U, es una base V.

FPUNAF3030211:

1083. Una ecuación lineal homogénea degenerada admite infinitas soluciones.

1084. Un sistema de ecuaciones lineales dada en su forma triangular, no tiene filas nulas.

1085. El producto de una matriz fila A y una matriz columna B no está definida si dichas matrices tienen diferentes números de elementos.

1086. Si f(x) y g(x) son dos polinomios y A una matriz cuadrada, entonces se verifica

∑=⋅ iivuvu

…


f(A) g(A) = g(A) f(A).

1087. Toda matriz nula es antisimétrica.

1088. Si u y v son vectores no nulos. Entonces || u + v || = || u || + || v || si y sólo sí v es múltiplo escalar de u.

1089. Los cuatros primeros axiomas que define a V como un espacio vectorial sobre un cuerpo K, con las operaciones + y ⋅, equivale a decir que (V, +) es un grupo abeliano.

1090. Todo subconjunto, no vacío, de vectores de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, que es cerrado para la suma de vectores es un subespacio del mismo.

1091. Si de un conjunto de vectores linealmente dependientes, de un espacio vectorial V, se eliminan aquellos que son combinaciones lineales de los precedentes, se obtiene una base de V.

1092. En una matriz A de orden mxn (m ≠ n), el número de filas linealmente independientes es igual al número de columnas linealmente independientes.

1093. En un espacio vectorial, de dimensión finita, la matriz de cambio de base es no singular.

1094. Todo espacio vectorial V, con producto interno < , >, admite una base ortogonal.

1095. En un espacio vectorial V, con producto interno < , >, si u ∈ V y u ≠ 0, se verifica < u, u > ≥ 0.

1096. La definición de norma en un espacio vectorial V, es la misma sea que esté definido sobre el cuerpo R o el cuerpo C.

1097. Si A es una matriz simétrica, todos sus valores propios son números enteros.

1098. Si dos matrices son similares, entonces tienen el mismo polinomio mínimo.

1099. Una matriz cuadrada A cuyas filas son linealmente dependientes, no es diagonalizable por similaridad.

1100. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, y f:U→V es una aplicación lineal, entonces la imagen del vector nulo en U es el vector nulo en V.

1101. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, y f:U→V es una aplicación lineal, entonces el núcleo de f se reduce al vector nulo.

1102. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, y f:U→V es una aplicación lineal, entonces la imagen de f cubre todo el espacio vectorial V.

FPUNAP1030920:

1103. Si u es una solución del sistema lineal AX = 0, entonces ∀k∈R, ku es también solución.

1104. Los sistemas de ecuaciones lineales de m ecuaciones con n incógnitas, m > n, admiten infinitas soluciones.

1105. Si u y v son soluciones del sistema lineal AX = B, entonces ∀ a, b ∈ R, au + bv es también solución.

1106. Si u, v, w son vectores no nulos de Rn y u⋅v = u⋅w = 0 entonces v y w son ortogonales.

1107. Si u, v ∈ Rn y u = (u1, u2, ..., un), v = (v1, v2, ..., vn), entonces es un productos escalar o interno en Rn.

1108. Si A y B son matrices simétricas, entonces AB es también simétrica.

1109. Si A, B y C son matrices complejas de orden m×n, m ≠ n, y, a, b son números reales, entonces (aA + bB)C = aAC + bBC.

1110. Si A es una matriz simétrica, entonces es producto de matrices elementales.

1111. Si A es una matriz real no singular, entonces A es una matriz normal.

1112. Si A es una matriz hermítica, entonces AH = I.

1113. Los elementos diagonales de una matriz hermítica son ceros o bien son números imaginarios puros.

1114. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, k∈K, v∈V ∧ kv = 0, , entonces v =

…


0.

1115. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, W ⊂ V, W ≠ ∅ y W es cerrado para el producto por escalares, entonces W es un subespacio de V.

1116. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, y W es un subespacio de V, entonces W es cerrado para la suma de vectores.

1117. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, S ⊂ V ∧ T ⊂ V son tales que se verifica linS = linT, entonces S = T.

1118. Si una matriz cuadrada real tiene iguales sus rangos por filas y por columnas, entonces es una matriz simétrica.

1119. Si se consideran V = R y K = R, entonces V es un espacio vectorial sobre K.

1120. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K y W es un subespacio de V, entonces dimW < dimV.

1121. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K y U, W son subespacios de V tales que dimU = dimW, entonces V = U + W.

1122. Si S y T son bases de un espacio vectorial V sobre el cuerpo K, entonces S ⊆ T.

FPUNAP2031108:

1123. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >:V×V→K, entonces K = R.

1124. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo R, con producto interno < , >:V×V→R, entonces V con d(u, v) = |()1/2|, ∀ u, v ∈ V, es un espacio métrico.

1125. Si V es un espacio vectorial normado, entonces es un espacio vectorial con producto interno.

1126. Un conjunto de vectores ortogonales no nulos, de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, con producto interno < , >, es ortogonal para todo producto interno definido en V.

1127. Todo conjunto de vectores ortogonales de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, con producto interno < , >, es un conjunto de vectores linealmente independientes.

1128. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, de dimensión finita n, con producto interno < , >, entonces todo conjunto de vectores no nulos de V, mutuamente ortogonales, no puede tener más de n elementos.

1129. El determinante de una matriz n-cuadrada real no singular, es positivo.

1130. Si A es una matriz n-cuadrada real no singular, entonces A(AdjA) = (detA)In.

1131. Ningún valor propio de una matriz n-cuadrada real A puede ser nulo.

1132. Los valores propios de una matriz simétrica son positivos.

1133. En toda matriz n-cuadrada real, los vectores propios pertenecientes a valores propios distintos, son ortogonales.

1134. En toda matriz n-cuadrada real, la multiplicidad geométrica de uno cualquiera de sus valores propios es mayor que la dimensión de su respectivo espacio propio.

1135. Si A es una matriz n-cuadrada, entonces admite un valor propio nulo sí y sólo sí detA = 0.

1136. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre un mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal, entonces dim(KerF) ≤ dim(ImF).

1137. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre un mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal inyectiva, entonces la imagen por F de una base de V es una base de U.

1138. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre un mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal, entonces la imagen por F de un conjunto de vectores linealmente independientes de V es un conjunto linealmente independiente de U.

1139. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre un mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal, entonces la nulidad de F es igual al rango de F.

…


1140. Si V y U son espacios vectoriales, de dimensiones finitas, sobre un mismo cuerpo K y F:V→U una aplicación lineal suprayectiva, entonces dimV = dim(ImF) = dimU.

1141. Si V y U son espacios vectoriales de igual dimensión n, sobre un mismo cuerpo K, F:V→U una aplicación lineal, dim(KerF) = 0 y dim(ImF) = n, entonces, F es biyectiva.

1142. Si V y U son espacios vectoriales, sobre un mismo cuerpo K, de dimensiones m y n, respectivamente, y F:V→U una aplicación lineal, entonces dimU = dim(KerF) + dim(ImF).

FPUNAF1031129:

1143. Un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas, tiene solución única si y sólo si una de las ecuaciones del sistema es múltiplo escalar de otra.

1144. Si u = {u1, u2, ..., un} y v = {v1, v2, ..., vn} son vectores de Cn y se define u⋅v = Σuivi, entonces ║u║ = │(u⋅u)1/2│ ∀u∈Cn es una norma en Cn.

1145. El conjunto de matrices reales de orden m×n, con la operación suma de matrices, constituye un grupo abeliano.

1146. El resultado de efectuar una operación elemental entre columnas f sobre una matriz A puede obtenerse posmultiplicando por la matriz elemental correspondiente F.

1147. Si una matriz real n-cuadrada A es invertible, entonces es producto de matrices elementales.

1148. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces en V están definidas dos operaciones internas.

1149. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces una condición necesaria para que W⊂V sea un subespacio de V es que W sea cerrado para la suma de vectores.

1150. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces para todo subespacio W de V se verifica dimW < dimV.

1151. Si V es el espacio vectorial de la matrices complejas m×n, entonces < A, B> = tr(BtA) es un producto interno en V.

1152. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, entonces ∀ S ⊂ V, S⊥ es un subespacio de V.

1153. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es una base de V, entonces a partir de S puede obtenerse una base ortogonal.

1154. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V tiene n elementos y genera V, entonces S es linealmente independiente.

1155. Si A es una matriz real invertible entonces detA > 0.

1156. Si A es una matriz real n-cuadrada diagonalizable bajo similaridad, entonces todos sus valores propios son distintos.

1157. Si A es una matriz real n-cuadrada invertible, entonces al menos un valor propio de A es cero.

1158. La matriz diagonal D, obtenida por similaridad a partir de una matriz A definida positiva, tiene todos sus elementos diagonales positivos.

1159. Si A es una matriz real n-cuadrada cuyos valores propios son todos distintos, entonces su polinomio característico es también su polinomio mínimo.

1160. Si T es un operador lineal invertible en V, entonces dimV = dim(ImT).

1161. Si F es un operador lineal en el espacio vectorial V sobre el cuerpo K y dimV = n, entonces para cada base S de V existe una matriz n-cuadrada real que lo representa.

1162. Si V y U son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, dimV = m, dimU = n, S y T bases de V y U, respectivamente, entonces a toda aplicación lineal F:V→U le corresponde una única matriz [ ]T

SA de orden n×m que lo representa.

FPUNAF2031213:

1163. Un sistema homogéneo de m ecuaciones lineales con n incógnitas (m ≠ n), tiene al menos una solución distinta de 0.

…


1164. Si u y v son vectores de R3 y w = u×v es el producto vectorial de u y v, entonces { u, v, w } constituye un conjunto ortogonal de vectores.

1165. Una matriz de componentes numéricas, de orden m×n, es una matriz compleja si al menos una de sus componentes es un número complejo.

1166. Toda matriz n-cuadrada A conmuta con su transpuesta en la operación producto de matrices.

1167. Una matriz real n-cuadrada A es invertible, si y sólo si detA ≠ 0.

1168. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces W = { 0 }, siendo 0 el vector nulo de V, es un subespacio de V.

1169. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, entonces todo subespacio W de V es cerrado para la suma de vectores y el producto por escalares.

1170. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces dimV es el número de vectores de cualquier conjunto generador de V.

1171. El conjunto de la matrices complejas m×n, con las operaciones suma de matrices y producto por escalares, constituye un espacio vectorial sobre el cuerpo C de los números complejos.

1172. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, entonces para todo par de vectores de V puede obtenerse el ángulo que forman.

1173. Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V sobre el cuerpo K, entonces U∩W y U∪W son también subespacios de V.

1174. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es un conjunto ortonormal de n vectores, entonces S es una base de V.

1175. Si A es una matriz real diagonalizable bajo congruencia, entonces A es no singular.

1176. Si A es una matriz real n-cuadrada diagonalizable bajo similaridad, entonces detA ≠ 0.

1177. Si A es una matriz real n-cuadrada invertible, entonces no tiene valores propios repetidos.

1178. Los elementos de la matriz diagonal D, similar a una matriz n-cuadrada A, son los valores propios de A.

1179. Si A es una matriz real n-cuadrada con todos sus valores propios reales, entonces es diagonalizable bajo similaridad.

1180. Si T es un operador lineal inyectivo en un espacio vectorial V, de dimensión finita, entonces es suprayectivo.

1181. Si F es un operador lineal en un espacio vectorial V sobre el cuerpo K, dimV = n y S es una base de V, entonces existen más de una matriz n-cuadrada que representa F respecto a S.

1182. Si V, U y W son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, dimV = m, dimU = n, dimW = r, A, B y C bases de V, U y W, respectivamente, F:V→U, G:U→W aplicaciones lineales, entonces [ ] [ ] [ ]B

ACB

CA FGFG = , donde [ ] [ ] [ ]C

ABA

CB FGFG y, son las matrices que

representan las aplicaciones lineales G, F y G°F relativas a las bases A, B y C, respectivamente.

FPUNAF3040214:

1183. El sistema lineal Ax = b, de m ecuaciones con n incógnitas (m ≠ n), tiene al menos una solución si el sistema homogéneo correspondiente admite una solución distinta de 0.

1184. Si u, v y w son vectores no nulos de R3 y w = u×v es el producto vectorial de u y v, entonces u.w = v.w = 0, siendo éstos productos escalares.

1185. Si A, B y C son matrices, k un escalar y suponiendo que las operaciones indicadas pueden efectuarse, se verifican: i) (AB)C = A(BC); ii) A(B + C) = AB + AC; iii) (A + B)C = AC + BC; y iv) k(AB) = (kA)B = A(kB).

1186. Toda matriz n-cuadrada A que verifica AAt = AtA es simétrica.

1187. Una matriz compleja n-cuadrada A es unitaria, si y sólo si AH = A.

…


1188. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, W un subespacio de V, entonces 0, siendo 0 el vector nulo de V, pertenece a W.

1189. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, dimV = n y S es un conjunto linealmente independiente de n vectores, entonces todo subespacio W de V puede considerarse generado por un subconjunto de vectores de S.

1190. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, dimV = n y S un conjunto de n + 2 vectores, entonces S es linealmente dependiente.

1191. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo C, dimV = n y S un conjunto no vacío de vectores de V entonces S es linealmente dependiente.

1192. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, entonces a partir de una base de V puede obtenerse otra que es ortonormal.

1193. Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V sobre el cuerpo K, entonces U + W es un subespacios de V.

1194. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S un conjunto de n vectores no nulos, entonces S es una base de V.

1195. Si A es una matriz simétrica, entonces es diagonalizable bajo similaridad.

1196. Si A es una matriz real n-cuadrada diagonalizable bajo similaridad, entonces A es simétrica.

1197. Si A es una matriz real n-cuadrada cuya ecuación característica admite raíces múltiples, entonces A no es diagonalizable bajo similaridad.

1198. Si D es la matriz diagonal similar a una matriz n-cuadrada A, entonces An = Dn.

1199. Si A es una matriz n-cuadrada sobre el cuerpo complejo C, entonces A tiene al menos un valor propio.

1200. Si U y V son espacios vectoriales de dimensiones finitas sobre un mismo cuerpo K, F:U→V una aplicación lineal inyectiva, entonces F es suprayectiva.

1201. Si T es un operador lineal en un espacio vectorial V sobre el cuerpo K, dimV = n y S es una base de V, entonces existen más de una matriz n-cuadrada que representa T respecto a S.

1202. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K, dimU = m y dimV = n, A y B bases de V y U, respectivamente, F:V→U una aplicación lineal , entonces existe una matriz [F] ∈ Kmxn que representa F respecto a las bases A y B.

FPUNAP1040911:

1203. Si una ecuación lineal es degenerada, entonces no admite solución alguna.

1204. El conjunto solución de un sistema lineal de ecuaciones no se altera si le agrega una ecuación degenerada.

1205. Si un sistema de ecuaciones lineales se obtiene de otro mediante una sucesión finita de operaciones elementales, entonces ambos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

1206. El conjunto solución de un sistema lineal de ecuaciones no se altera si una de las ecuaciones del sistema se multiplica por un número real.

1207. Si en un sistema de ecuaciones lineales que está en forma escalonada hay menos ecuaciones que incógnitas, entonces tiene un número infinito de soluciones.

1208. Todo sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas puede reducirse, mediante operaciones elementales, a un sistema en forma escalonada (o triangular).

1209. Toda matriz es equivalente por filas a una única matriz en forma canónica por filas.

1210. Un sistema de ecuaciones lineales admite solución única si y sólo si el sistema homogéneo asociado admite como única solución la trivial.

1211. Todo sistema lineal homogéneo es compatible.

1212. Si un sistema de ecuaciones lineales tiene una única variable libre, entonces tiene una única solución.

1213. La definición de producto escalar es la misma para vectores de Rn y de Cn.

1214. Si el producto escalar de dos vectores distintos es cero, entonces los vectores son ortogonales.

…


1215. El producto vectorial de dos vectores está definido sólo para vectores de R3.

1216. La norma de un vector, tanto de Rn como de Cn es un número real no negativo.

1217. Si u es un número complejo, entonces uū es un número real positivo.

1218. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden y AB = 0, entonces A = 0 o B = 0.

1219. Si A y B son matrices cuadradas del mismo orden y AB = BA, entonces se dice que A y B conmutan.

1220. Suponiendo que las operaciones indicadas para las matrices A, B y C, pueden efectuarse y que k es un escalar, entonces i) (AB)C = A(BC); ii) A(B + C) = AB + AC; iii) (B + C)A = BA + CA, iv) k(AB) = (kA)B = A(kB).

1221. Si A es una matriz compleja invertible, entonces es una matriz unitaria.

1222. Toda matriz cuadrada compleja A puede escribirse como la suma de dos matrices, una hermítica y otra antihermítica.

FPUNAP2041106:

1223. El conjunto solución del sistema lineal Ax = B es no vacío, sí y sólo si la forma escalonada de la matriz ampliada M = (A, B) no tiene una fila de la forma (0, 0, ..., 0, b) con b ≠ 0.

1224. Si A y B son matrices cuadradas reales del mismo orden, se verifica (AB)t =.AtBt.1225. Si A, B y P son matrices cuadradas reales del mismo orden, P es no singular y

B = PtAP se dice que A y B son matrices congruentes.

1226. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces { 0 } y V son subespacios de V.

1227. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces {u1, u2, ..., ur} ⊂ V es linealmente independiente si existen escalares k1, k2, ..., kr tal que ∑kiui = 0, p/ i = 1 a n.

1228. Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, y U∩W = { 0 }, entonces U∪W es un subespacio de V.

1229. Si S y T son subconjuntos no vacíos de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, y linS = linT, entonces S = T.

1230. Si A es una matriz n-cuadrada de rango n, entonces f-lin A = c-lin A.

1231. Toda matriz rectangular es equivalente a una única matriz en forma escalonada por filas.

1232. Si S es un subconjunto no vacío de vectores de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, entonces ∀v∈V se verifica lin { S ∪ { v } } = lin S.

1233. Si S = {u1, u2, ..., ur} es un subconjunto de vectores linealmente dependientes de un espacio vectorial V sobre el cuerpo K, entonces ∀ui∈S se verifica lin S = lin { S – { ui } }.

1234. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, dimV = n y S = {u1, u2, ..., un} ⊂ V es linealmente independiente, entonces S es un conjunto generador de V.

1235. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, y S = {u1, u2, ..., un} ⊂ V es ortogonal, entonces S es linealmente independiente.

1236. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, entonces vvuuvud ,,),( −= cumple con los axiomas de distancia en V.

1237. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < ,

>, y S = {u1, u2, ..., un} es una base ortonormal de V, entonces ∀v∈V, ∑=

=n

1iii uuv,v .

1238. Si S es un subconjunto generador de un espacio vectorial V, sobre un cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, entonces ∀u,v ∈ S, ≠ 0.

1239. Si V es un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, entonces V y Kn son isomorfos.

1240. Si V es un espacio vectorial, sobre un cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, y S ⊂ V, entonces existe una matriz A que representa < , > relativa a S.

1241. Si A = (aij) es la matriz que representa el producto interno < , > relativa a una base S, en un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, K = R ∨ K = C, entonces aij ∈ R, ∀i ∧ ∀j.

1242. Si [A]S y [B]T representan productos internos, relativas a las bases S y T, en los

…


espacios vectoriales U y V, de igual dimensión, entonces [A]S y [B]T son matrices del mismo orden.

FPUNAF1041127:

1243. En un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas {x1, x2, ..., xn}, en forma escalonada, se dice que xk es una variable libre si no es primera incógnita de ecuación alguna.

1244. Si u = {u1, u2, ..., un} y v = {v1, v2, ..., vn} son vectores de Rn y se define u·v = Σuivi, entonces proy (u, v) = ((u·v)/║u║2) v.

1245. Para matrices complejas A, B y C, de orden m×n, se verifica At(B + C) = AtB + AtC.

1246. Si k es un escalar y A un matriz de orden m×n, entonces (kA)t = kAt.

1247. Si A y B son matrices cuadradas triangulares superiores, entonces AB es triangular superior.

1248. Si A y B son matrices hermíticas, entonces AB es hermítica..

1249. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, U un subespacio de V, W un subespacio de U y W⊂U, entonces W es un subespacio de V.

1250. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K y S = {v1, v2, ..., vk, ..., vn} es linealmente dependiente y V = linS entonces si T = S – {vk} se verifica V = linT.

1251. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, V = linS = linT y S linealmente independiente, entonces el número de vectores de T es menor o igual al número de vectores de S.

1252. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, entonces ∀u, v∈ V se verifica ||2 = <v , v>.

1253. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es un conjunto ortogonal que genera V, entonces S es linealmente independiente.

1254. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V tiene n vectores y genera V, entonces S es linealmente independiente.

1255. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es una base de V, entonces al menos un par de vectores de S son ortogonales.

1256. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V

es una base de V, entonces S⊥ es una base de V.

1257. Si A es una matriz real n-cuadrada invertible, entonces detA ≠ 0.

1258. La matriz diagonal D, obtenida por similaridad a partir de una matriz A definida positiva, tiene todos sus elementos diagonales positivos.

1259. Si f es un polinomio en la variable t y A una matriz real n-cuadrada tal que f(A) = 0, entonces se dice que A es un cero de f(t).

1260. Si f es el polinomio característico de una matriz A, entonces A es un cero de f(t).

1261. Si A es una matriz n-cuadrada real, At = A y Ax = λ x , con x ≠ 0, entonces λ ∈ R .

1262. Si A es una matriz n-cuadrada real, Au = λ u, Av = λ v, λ ∈ R, u ≠ 0, v ≠ 0 y u ≠ v, entonces u y v son linealmente independientes.

FPUNAF2041211:

1263. Un sistema de m ecuaciones lineales homogéneas con n incógnitas, n > m, admite solución no nula.

1264. Si la matriz M = A(B + C), entonces también M = (B + C)A.

1265. Si la matriz B es la inversa de la matriz A y C la inversa de B entonces A = C.

1266. Si A y B son matrices unitarias, entonces AB es unitaria.

1267. A es una matriz singular si y sólo si A es producto de matrices elementales.

1268. El conjunto de matrices cuadradas reales, con las operaciones producto de matrices y producto por número reales constituye un espacio vectorial.

1269. Si U y W son subespacios del espacio vectorial V sobre el cuerpo K y U ∩ W = ∅ , entonces V = U + W.

1270. Si U y W son subespacios del espacio vectorial V sobre el cuerpo K, dimU = dimW y dim(U∩W) = 0, entonces dimV = dimU = dimW.

…


1271. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, entonces 2 ≤ < v , v >.

1272. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, entonces ∀ v ∈ V se verifica < v , v > ≥ 0.

1273. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, dimV = n y S ⊂ V es un conjunto ortogonal de n vectores no nulos, entonces S es una base de V.

1274. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, dimV = n, entonces la proyección de v a lo largo de w se expresa: ( ) wwvwvproy ,, = .

1275. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K = R ∨ K = C, con producto interno < , >, dimV = n, entonces V admite una base ortonormal.

1276. Si A = (aij) es una matriz n-cuadrada tal que aij = 0 ∀ i > j, entonces detA = a11a 22a 33…ann.

1277. El polinomio característico de un matriz n-cuadrada A real singular admite 0 como raíz.

1278. Si u ∧ v son vectores propios pertenecientes al mismo valor propio λ de una matriz real n-cuadrada A ∧ a, b ∈ R, entonces au + bv es también un vector propio de A correspondiente al mismo valor propio λ .

1279. Si las multiplicidades algebraicas y geométricas de todos los valores propios de una matriz real n-cuadrada A son iguales, entonces A es diagonalizable bajo similaridad.

1280. El grado del polinomio mínimo de una matriz n-cuadrada A es n.

1281. Si U y V son espacios vectoriales sobre un mismo cuerpo K y F : U → V una aplicación lineal, entonces ∀ u, w ∈ U, F(u + w) = F(u) + F(w).

1282. Si T es un operador lineal en un espacio vectorial n-dimensional V sobre el cuerpo K, entonces dimV ≥ dim(KerT ) + dim(ImT )

FPUNAF3050212:

1283. Si un sistema de ecuaciones lineales se obtiene de otro mediante una sucesión finita de operaciones elementales, entonces ambos sistemas tienen el mismo conjunto solución.

1284. El vector u = [ a1, a2, ..., an ] es ortogonal al hiperplano a1x1 + a2x2 + ... + anxn = b.

1285. Si A y B son matrices complejas n-cuadradas, se verifica: (A + B)H = AH + BH.

1286. Si A y B son matrices simétricas de orden n, se verifica: AB = BA.

1287. Si A, B y C son matrices reales n-cuadradas, entonces (ABC) t = C tB tAt .

1288. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, entonces ∀v∈V ∧ ∀a, b∈K, (a + b)v = av + bv.

1289. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, W un subespacio del mismo, entonces

∀w∈W ∧ ∀k∈K se verifica kw∈W.

1290. Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo K, U y W dos subespacios de V tal que V = U + W,

entonces U∩W = ∅ .

1291. Si V es un espacio vectorial n-dimensional sobre el cuerpo K, entonces todos los conjuntos generadores linealmente independientes de V tienen igual número de vectores.

1292. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K∈R ∨ K∈C, con producto interno < , >, y

W un subespacio de V, entonces ∀u, v∈W, ∈W.

1293. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K∈R ∨ K∈C, con producto interno < , >,

entonces ∀u, v, w∈V ∧ ∀a, b∈K, = a + b.

1294. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K∈R ∨ K∈C, con producto interno < , > y

u∈V es fijo, entonces v, w∈V ∧ = ⇒ v = w.

1295. Si V es un espacio vectorial sobre el cuerpo K, K∈R ∨ K∈C, con producto interno < , >, y

S = {v1. v2, v3, …, vm} ⊂ V linealmente independiente, entonces ∀v∈V ∃ k1. k2, k3, …, km ∈ K tal que v = k1v1 + k2v2 + k3v3 + … + kmvm.

1296. Si una de las filas de una matriz n-cuadrada A es la suma de otras dos, entonces detA = 0.

1297. Si λ es un valor propio de una matriz n-cuadrada A, entonces los vectores propios, no nulos,

de A, pertenecientes al mismo valor propio λ constituyen un espacio vectorial.

…


1298. Si A es una matriz real n-cuadrada, entonces ∃P∈Rn×n, no singular, tal que D = P-1AP es una matriz diagonal.

1299. En toda matriz n-cuadrada real A, diagonalizable bajo similaridad, se verifica AP = PD, donde D es una matriz diagonal cuyos elementos son los valores propios de A y P una matriz cuyos columnas son los vectores propios correspondientes.

1300. Si A es una matriz real n-cuadrada no nula, tal que At = A, entonces A admite n vectores propios ortonormales.

1301. Si V y U son espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K y F:V → U, una transformación lineal, entonces F(0V) = 0U.

1302. Si T es un operador lineal en un espacio vectorial V con producto interno < , >, entonces

∀u, v∈V se verifica <T(u) , T(v)> = T() .

FPUNAF3060218:

1303. Si el sistema lineal Ax = 0 admite infinitas soluciones, entonces Ax = B es compatible.

1304. Si u, v, w son vectores de R3 tal que w = u× v , entonces w = v× u .

1305. Si A ∈ Rm×n, entonces (AT )T = A.

1306. Si A ∈ Cm×n, entonces (AH )H = A.

1307. Si A ∈ Rn×n es normal, entonces AAT = ATA = I.

1308. Si A ∈ Cm×n es unitaria, entonces es hermítica.

1309. Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K, entonces i) U ∩ W; ii) U ∪ W y iii) U + W son también subespacios de V.

1310. Si V es un espacio vectorial sobre K, V = lin{ u1. u2, u3, …, um } y T = { v1. v2, v3, …, vn } ⊂ V, es linealmente independiente, entonces m ≤ n.

1311. Si V es un espacio vectorial sobre K, W un subespacio de V, S = { u1. u2, u3, …, um } una base de W, entonces S genera V.

1312. Si V es un espacio vectorial, con producto interno < , > y ∀v∈V se define || v || como || v ||= (<v, v>)1/2, entonces V es un espacio vectorial normado con norma || ||.

1313. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, u, v ∈ V, y k ∈ C entonces <ku, v> = k<u, v> y <u, kv> = k<u, v>.

1314. Si V es un espacio vectorial complejo, con producto interno < , >, entonces ∀u, v∈V, = <v, u>.

1315. Si V es un espacio vectorial sobre K, con producto interno < , >, y S = {v1, v2, …, vm}⊂V es ortonormal, entonces S es linealmente independiente.

1316. Si A es una matriz n-cuadrada y detA = 0. entonces ∃P no singular tal que PA = In.

1317. Si f(t) es el polinomio característico de la matriz n-cuadrada A y m(t) su polinomio mínimo, entonces f(A) = m(A) = 0

1318. Si λ es un valor propio de la matriz real n-cuadrada no singular A, entonces λ ≠ 0.

1319. Si u1 y u2 son vectores propios de la matriz real simétrica A asociadas a los valores propios distintos λ 1 y λ2, entonces u1 y u2 son linealmente independientes.

1320. Si λ es un valor propio de la matriz n-cuadrada A, y f(t) su polinomio característico, entonces para un escalar k, f(kλ) = 0.

1321. Si A es la representación matricial del operador lineal T, respecto a una base, y B la representación matricial del mismo operador lineal T respecto a otra base, entonces i) traza(A) = traza(B) y b) det(A) = det(B).

1322. Por error no se incluyó.

FPUNAP1060901:

1323. Si un sistema lineal es compatible, todo sistema constituido por un subconjunto de sus ecuaciones también lo es.

1324. Si el sistema lineal AX = 0 es compatible, entonces el sistema AX = B también lo es.

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…


1325. Si el sistema lineal AX = B es compatible, entonces el sistema AX = 0 también lo es.

1326. Si el sistema lineal AX = B puede reducirse, mediante operaciones elementales sobre sus filas, a CX = D, donde C es una matriz escalonada, entonces el sistema AX = B admite solución única.

1327. Si u, v, w son vectores de Rn, entonces i) (u + v)⋅w = u⋅v + v⋅w ii) w⋅(u + v) = w⋅u + w⋅v.

1328. Toda matriz real m×n puede transformarse, mediante operaciones elementales sobre sus filas, en una matriz escalonada cuyas entradas principales son de la forma aii.

1329. Toda matriz real m×n es equivalente por filas a una única matriz en forma escalonada.

1330. Toda matriz real m×n puede transformarse, mediante operaciones elementales sobre sus filas, en una matriz en forma canónica por filas.

1331. Si dos matrices son equivalentes por filas, entonces tiene la misma forma canónica por filas.

1332. Si dos matrices invertibles conmutan, entonces sus inversas también conmutan.

1333. Toda matriz real simétrica es congruente con una matriz diagonal.

1334. Si A es una matriz nilpotente de clase p, entonces si k < p, Ak ≠ 0.

1335. Si A es una matriz hermítica, entonces es unitaria.

1336. Si A es una matriz real congruente con una matriz diagonal, entonces es simétrica.

1337. Si A es una matriz real idempotente, entonces B = A2 es idempotente.

1338. Si V es un espacio vectorial sobre K, u, v ∈ S ⊂ V y v = ku, con k ∈ K, entonces S es linealmente dependiente.

1339. Si V es un espacio vectorial sobre K y S⊂V es linealmente independiente, entonces en S existe un vector que es combinación lineal de los demás vectores de S.

1340. Si V es un espacio vectorial sobre K y S⊂V es un conjunto generador de V, entonces S es linealmente independiente.

1341. Si V es un espacio vectorial sobre K y S⊂V es una base de V, entonces T⊂V no puede tener más vectores que S.

1342. Si V es un espacio vectorial sobre K y S⊂V es linealmente dependiente, entonces existe al menos una combinación lineal de los vectores de S que no pertenece a V.

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algebra lineal

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