Matemtica II

1MATEMTICA II FCE UNP S.J.B. PARTE 2 - lgebra Lineal

PARTE 2lgebra Lineal

INDICE

1. Modelo de Insumo-Producto de Leontief para Cantidades.2. Sistemas de Ecuaciones Lineales.3. Matrices y Vectores.4. Operaciones con Matrices y Vectores.5. Expresin Matricial de un Sistema de Ecuaciones Lineales.6. Clasificacin de Matrices.7. Matriz Inversa.8. Resolucin de un Sistema de Ecuaciones Lineales.9. Inversa de Leontief.10. Desarrollo en Serie de Potencia de Matrices.11. Determinante de una Matriz.12. Desarrollo de Laplace.13. Regla de Cramer14. Espacio Vectorial Rn15. Combinacin Lineal de Vectores.16. Dependencia e Independencia Lineal .17. Rango de una Matriz.18. Existencia de Solucin de un Sistema de Ecuaciones Lineales.19. Teorema de Rouch_Frobenius.20. Modelo Cerrado de Insumo-Producto21. Valores y Vectores Propios de una Matriz.22. Ecuacin Caracterstica.23. Solucion del Modelo de Insumo-Producto24. Anexo: Teorema de Perron-Frobenius

INTRODUCCIN: Modelo de InsumoProducto

1.- Modelo de InsumoProducto de Leontief para Cantidades

Supongamos una economa que produce n bienes (o que consta de n sectores). El anlisis de insumo - producto de Leontief trata de determinar el nivel de produccin de cada uno de los n sectores que usan esos mismos n bienes como insumos. De cada bien o sector hay una demanda final o excedente.Precisemos una notacin para expresar el modelo como un modelo matemtico; llamaremos:

xj: produccin total del bien j, j =1,..,n.xij: cantidad de i necesaria para producir del bien j la cantidad xj, i =1,..,n. j =1,..n.di: cantidad de i destinada a satisfacer una demanda final o excedente.

Entonces para el bien k, la produccin total debe ser igual a lo que se usa como insumo de este bien para producir todos los bienes ms una cierta demanda final:

(1)

Para simplificar el anlisis del problema se establecen los siguientes supuestos:

1. Cada sector produce un nico bien. No hay produccin conjunta.2. No existen tcnicas alternativas. La tcnica de produccin es nica en cada sector.3. aij es constante ; es decir aij es independiente del nivel de produccin.

Los aij se llaman coeficientes de insumos coeficientes tcnicos de produccin.

En el 2 miembro de (1), multiplico y divido cada trmino xkj por xj, por lo cual es:

entonces por (2) es :

As, el modelo de insumoproducto ms sencillo en cantidades fsicas, puede escribirse para k =1,..,n:

En la prctica se trabaja con unidades monetarias, lo cual permite comparar unos valores con otros, y adems poder sumar, en la matriz, tanto por filas como por columnas.

Ejemplo: Sea una economa con tres industrias A, B, C, cuyos coeficientes tcnicos son:

ABC

A0,20,30,2

B0,40,10,2

C0,10,30,2

Como a11 = 0,2, significa que se necesitan $0,2 del bien de la industria A para producir $1 del bien de la misma industria.a32 =0,3, se necesitan $0,3 del bien de la industria B para producir $1 del bien de industria C.

La produccin total de cada industria ser:

Responder:

2. Cmo se interpreta si aii = 0, para todo i?

Sobre el modelo de insumoproducto se analizarn los siguientes casos:

a) Modelo abierto: la demanda final para cada industria es un dato (variable exgena).

b) Modelo cerrado: la demanda final es una proporcin del nivel de produccin (variable endgena).

Para analizarlos, observemos que en (3) ha quedado planteado un sistema de n ecuaciones lineales con n incgnitas. Veremos a continuacin el desarrollo de este tema matemtico.

2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales

Sea el sistema de m ecuaciones lineales con n incgnitas o variables:

donde:

aij: parmetro. Coeficiente de la variable xj en la ecuacin i-sima, para i =1,..,m. j =1,..,n. As a21 es el coeficiente de x1 en la segunda ecuacin.

xj: variable incgnita, para j =1,..,n.

bi: parmetro que no est afectado a ninguna variable, es el trmino independiente en la ecuacin i-sima, para i =1,..m.

Se llama solucin del S.E.L. a cualquier conjunto ordenado de n valores tal que al sustituirlos en las incgnitas verifica todas las ecuaciones.

Analizar y contestar: Por qu la solucin es un conjunto ordenado?

Si el S.E.L. tiene al menos una solucin se dice compatible. Caso contrario, es decir si no tiene solucin, se dice incompatible.

Analizar y contestar: Por qu al menos una solucin?

As, ante un S.E.L. las dos cuestiones fundamentales que se plantean son:

1. Conocer si tiene solucin.2. Si tiene solucin, determinar cuntas.3. Calcular la solucin cuando existe.

Antes de abocarnos a estas cuestiones desarrollaremos temas que simplificarn tal estudio.

3.- Matrices y Vectores

En un S.E.L. se pueden distinguir tres clases diferentes de componentes: el conjunto de los coeficientes aij; el conjunto de las variables xj, y el conjunto de los trminos independientes bi.

Si disponemos cada uno de estos tres conjuntos como arreglos rectangulares en lneas y los designamos respectivamente A, x, b, tenemos:

, ,

Por ejemplo, dado el S.E.L.

es

, , Cada uno de estos arreglos constituye una matriz.

Definicin: se llama matriz a un conjunto de: nmeros, parmetros, funciones, etctera, dispuestos en filas y columnas. Se simboliza como

El elemento genrico aij se encuentra en la i-sima fila y en la j-sima columna.

Se dice que la matriz A es de orden m x n si tiene m filas y n columnas.Si m = n, la matriz es cuadrada (igual cantidad de filas y columnas).Por ejemplo:

Algunas matrices pueden tener una sola columna como:

Dicha matriz recibe el nombre de vector.

Por ejemplo, el vector

Si la matriz tiene una fila, se llama vector fila. Si x es un vector, simbolizaremos el vector fila como xt.

Por ejemplo vt = ( 1 -1)

A lo largo de este trabajo, al decir vector nos referimos a vector columna.

Observacin:

1. Un vector es una n-upla ordenada y puede entonces interpretarse como un punto en el espacio n-dimensional .As por ejemplo los vectores

.

2.

La matriz A de orden m x n puede interpretarse como un conjunto ordenado de m vectores filas de n vectores de (por qu?).

4.- Operaciones con Matrices y Vectores

Definicin: Dos matrices A = (aij), B = (bij) son iguales si tienen el mismo orden m x n y adems aij = bij, i = 1,..,m, j = 1,..,n.

Por ejemplo:

Definicin: Si A = (aij), B = (bij) de orden m x n se define la suma de A y B como la matriz de orden m x n:(aij) + (bij) = ( aij + bij)

Por ejemplo:

Definicin: Si A = ( aij) de orden m x n, y k es un escalar (nmero), se define el producto k.A como la matriz de orden m x n:

k . (aij) = (k . aij)

Por ejemplo:

,

Definicin: Se define producto interior o escalar de un vector fila ut de orden 1x p por un vector v de orden p x 1:

Por ejemplo:

Observacin:

Definicin: Si A = (aij) es de orden m x p, y B = (bij) es de orden p x n, se define el producto A . B como la matriz de orden m x n:

Por ejemplo:

Observaciones:

1. El producto de matrices A . B slo est definido si el nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B.

Calcularla y ver cmo son sus elementos (tarea).

Propiedades

De la suma de matrices:1. Sea 0 la matriz nula. Entonces A+ 0 = A, 0: m x n, A: m x n.

2. (A + B) + C = A + (B + C), A, B, C: m x n.

3. A + B = B + A, A, B: m x n

Del producto de un escalar por una matriz:

.

.

.

Del producto de matrices:

2. A . (B . C) = (A . B) . C, A: m x p B: p x q C: q x n.3. (A + B) .C = A . C + B. C, A, B: m x p C: p x n.4. A . (B + C) = A . B + A . C, A: m x p B, C: p x n.5. A . 0 = 0, A: m x n 0: n x p.6. A . 0 = 0 . A = 0, A, 0: n x n (por qu?)

Observacin:

Si A .B = 0 A = 0 B = 0 (por qu?)

5.- Expresin Matricial de un S.E.L.

Usando las definiciones dadas, el S.E.L.:

puede expresarse en forma matricial comoA . x = bdonde A = (aij): m x nx = (xj): n x 1b = (bi): m x 1

La matriz de orden m x (n + 1) que se obtiene de A agregando el vector b como columna n + 1, se llama matriz ampliada del S.E.L. y se simboliza (A | b).

El S.E.L. se dice que es homogneo cuando el vector b = 0.

Dado el S.E.L. A . x = b, se dice que un vector es solucin del mismo si y slo si A . x* = b.

Un S.E.L. A . x = b es compatible determinando si la solucin es nica y es compatible indeterminado cuando hay infinitas soluciones.

Observacin: Un S.E.L. homogneo es siempre compatible (por qu?).

Ms adelante veremos cmo analizar un S.E.L., y en caso de tener solucin/es, cmo hallarla/s.

6.- Clasificacin de Matrices

Matrices Triangulares:

Definicin: Sea A: n x n. Se dice que A es triangular superior si todos los elementos de A debajo de su diagonal principal son nulos, es decir aij = 0 para todo i >j, i,j = 1,..n.

Definicin: Sea A: n x n. Se dice que A es triangular inferior si todos los elementos de A por encima de su diagonal principal son nulos, es decir si aij = 0 para todo i0 es k . A 0 (por qu k0?).

2. Si A>0 y k>0 es k . A > 0.

3. Si A>0 y B>0 es A . B > 0.

Observacin:

Si A0 y B0 no es necesariamente A . B 0. Por ejemplo, si

.

Tarea: Analizar y justificar cada una de las propiedades.

Matriz Nilpotente

Definicin: Sea A: n x n. Se dice que A es nilpotente si existe kN tal que Ak = 0.

Ejemplo:

Matriz Idempotente

Definicin: Sea A: n x n. Se dice que A es idempotente si A2 = A.

Propiedades

1. Sea A: n x n, idempotente. Entonces In - A es idempotente (demostrar).

2. Sean A, B idempotentes de orden n x n. Entonces A . B es idempotente si A.B = B.A (demostrar).

3. Si A es idempotente entonces Ak = A, kN (demostrar).

7.- Matriz Inversa

Definicin: Una matriz A: n x n es inversible si existe B: n x n tal que A .B = = B . A = In.B es la matriz inversa de A y se simboliza A-1.

Observacin: La matriz A es la inversa de B.

Ejemplo: Hallar, si existe, la inversa de la matriz:

Segn la definicin se debe encontrar una matriz B = (bij): 2x2 tal que:

Resolviendo estos sistemas de ecuaciones lineales es:

;;;

entonces

Propiedades

1. Si la matriz A posee inversa, sta es nica.Demostracin:Supongamos que existen B y C tal que A . B = B . A = In y A . C = C . A = In.Entonces B = B . In = B . (A . C) = (B . A) . C = In .C = C, es decir B = C, o sea la inversa es nica.

2. Si A es inversible entonces (A-1)-1 = A (demostrar).

3. Si A y B son inversibles, entonces A . B es inversible y (A . B)-1 = B-1.A-1 (demostrar).4. Si A es inversible entonces At es inversible y (At)-1 = (A-1)t (demostrar).5.

Si A es inversible, k, k0 entonces k . A es inversible y (k . A)-1 = k -1 . A-1 =

6. Si A es inversible y simtrica entonces A-1 es simtrica (demostrar).

Ejemplos:

1. Hallar la inversa de la matriz A de orden n x n si verifica que A-A2 = I .

.

.

5 Demostrar que si A y B son inversibles es (A-1 + B-1)-1 = A .(A + B)-1.B = = B . (A + B)-1 . A.

Clculo de la matriz inversa por operaciones elementales de filas o columnas.

El mtodo que se estudiar para calcular la inversa (si existe) de una matriz, se basa en la aplicacin de ciertas operaciones llamadas operaciones elementales sobre las filas (columnas) de la matriz.

Estas operaciones son:a) Intercambiar dos filas (columnas) entre s.b) Multiplicar una fila (columna) por una constante .c) Sumar a una fila (columna) otra fila (columna) multiplicada por una constante.

Si la matriz es de orden m x n, las matrices obtenidas, al aplicar las operaciones elementales, son de orden m x n y se llaman equivalentes. En caso de matrices cuadradas, se dicen semejantes.

Por ejemplo las matrices

, , son equivalentes (por qu?, qu operaciones elementales se aplicaron?).

Si una matriz A: n x n es equivalente a la matriz In, aplicando una serie de operaciones elementales de fila (o columna) entonces la misma serie de operaciones elementales realizadas sobre la matriz identidad la convertirn en A-1.

Ejemplo:

A I

1

310 1

2001 2

1

310 1

0-6-21-2 . 1 + 2 3

1

310 1

01

-- . 3 4

100

-3. 4 + 1

01

- 4

I A-1

Verificacin:

Observacin:

Existe un mtodo prctico basado en el mtodo anterior, mtodo de Gauss-Jordan, que transforma una matriz en una equivalente en forma escalonada reducida:

a) Se elige en la matriz un nmero no nulo como pivote, preferentemente un 1 , si no es posible se divide toda la fila por un nmero para obtener el 1.

b) Los elementos de la columna del pivote se transforman en 0, los elementos de la fila del pivote quedan iguales.

c) Los elementos que no estn ni en la fila ni en la columna del pivote se transforman de la siguiente manera:

1 --------------- b a-------------- c c a .bd) Se elige otro pivote que no pertenezca ni a la fila ni a la columna del anterior y se aplica a), b), c).

e) El procedimiento termina cuando no es posible elegir otro pivote.

A I

1

310

2001

1

310

0-6-21

1

310

0

1

-

100

01

-

I A-1

8.- Resolucin de un S.E.L.

Dado el sistema de ecuaciones lineales A . x = b, (de m ecuaciones con n variables), un vector u es solucin del S.E.L. si A . u = b.

Si el S.E.L. tiene solucin, se dice compatible (determinado si es nica, indeterminado en caso contrario).

Si el S.E.L. no tiene solucin, se dice incompatible.

Para resolver cualquier S.E.L. se puede aplicar el mtodo de Gauss-Jordan a la matriz ampliada (A|b) del S.E.L. A . x = b y luego analizar el S.E.L equivalente (tienen la misma solucin) obtenido.

Ejemplo:Resolver el S.E.L.

1129

24-31

36-50

12-2-1

2308

1129

02-7-17

03-11-27

01-4-10

01-4-10

10619

0013

0013

01-4-10

0000

1001

0013

0000

0102

0000

El S.E.L. equivalente es

.

Resolucin de un S.E.L. con Matriz Cuadrada e Inversible

Teorema: Sea A: n x n, b. El S.E.L. A . x = b es compatible determinado si y slo si la matriz A es inversible, siendo la nica solucin x = A-1. b.

Demostracin: A . x = b A-1. A . x = A-1. b x= A-1. b (justificar cada implicacin).

Observacin:Sea A: n x n. El S.E.L.H A es compatible determinado si y slo si A es inversible y x = 0 (por qu?).

Ejemplo: Sea el S.E.L.H:

.

9.- Inversa de Leontief

Ahora volvamos a nuestro problema inicial Anlisis de insumo-producto.Habamos planteado:

Segn lo visto, este S.E.L. lo podemos expresar:

,

x es el vector produccin, no negativo y d es el vector demanda final, no negativo.Interesa saber cul es el vector x para satisfacer la demanda d y las necesidades de insumos en cada sector.

Comenzaremos resolviendo el modelo cuando d es una variable exgena (modelo abierto):

(Ver anexo: Teorema de Perron-Frobenius) entonces existe y es no negativa la matriz (In - A)-1, llamada inversa de Leontief y es:

10.- Desarrollo en Serie de Potencia de Matrices

Podemos obtener la inversa de Leontief (In - A)-1 por medio de una serie de potencias de la matriz A.Sea el producto, para mN:

(I - A).(I + A + A2 + ...+Am) = (I + A + A2 + ... + Am) - (A + A2 + ... + Am+1) = I - Am+1 (1)

,

Para un m suficientemente grande se puede aproximar la inversa de Leontief como:

11.- Determinante de una Matriz

El determinante de una matriz cuadrada A, simbolizado por |A|, es un escalar definido de manera unvoca, asociado con esa matriz.

Esta expresin no es fcil de recordar, pero existe una forma muy prctica de determinarla para matrices 2x2 y 3x3:

Observacin :en cada trmino del desarrollo hay un elemento de cada fila y columna de la matriz . Ejemplos:

Para calcular el determinante de una matriz cuadrada de cualquier orden, aplicamos el siguiente mtodo.

12.- Desarrollo de Laplace

Sea A = (aij): n x n.Sea Mij la submatriz de A, de orden (n-1) x (n-1) obtenida al eliminar la fila i-sima y la columna j-sima de A. El |Mij| se denomina menor complementario de aij.

Se llama cofactor Aij de aij:

Aij = (-1)i+j . |Mij|

Ejemplo:

Propiedades1. Si A es diagonal es |A| = a11 . a22 ann (justificar).2. Si A es triangular es |A| = a11 . a22 ann 3. |In| = 1 (por qu?).4. Si se multiplica una fila columna de la matriz A por un escalar ,

entonces el determinante tambin queda multiplicado por (por qu?).

5. Si A tiene una fila (columna) nula entonces |A| = 0 (por qu?).

6. Si en la matriz A se intercambian dos filas (columnas), el determinante de la matriz obtenida es -|A|7. Si A tiene dos filas (columnas) iguales es |A| = 0 (justificar).8. |A| = |At| (justificar).9. |A . B| = |A| . |B|10. |Ak| =|A|k (por qu?), kN, k 0.

Ejercicios

1. Demostrar que A es inversible |A| 0.

..3 Demostrar que si A tiene dos filas (columnas) proporcionales es |A| = 0.4 Sea la matriz

a) Demostrar que |V| 0 a, b, c, d son todos distintos.b) Cundo la matriz V es inversible?c) Resolver el S.E.L.H : V. x = 0. cuando V = 0.

13.- Regla de Cramer

Supongamos que en el sistema de ecuaciones A . x = b , la matriz A es la parte de la matriz del sistema que determina el rango; es importante aclarar que se aplica no solo a los sistemas donde el numero filas es igual al numero de colmnas, a partir de esta suposicin es que podemos hablar del determinante de A. Entonces:

Si |A| 0, el S.E.L. A . x = b es compatible determinado (por qu?).

obtenida de A al reemplazar la columna j-sima por el vector b.

Ejemplo:Resolver el S.E.L.

, .

14.- El Espacio Vectorial n

Llamaremos al conjunto de todas las n-uplas de nmeros reales. Los elementos de se llaman vectores o puntos.

, .Se definen dos operaciones:

. que verifican las siguientes propiedades:

S1) x + (y + z) = (x + y) + z, x, y, z .

S2) x + y = y + x, x, y .

S3) 0 / x + 0 = x, x .

S4) Para cada x, existe (-x) / x + (-x) = 0.

P1) . (. x) = (.) . x, , , x .

P2) . (x + y) = .x + .y, , x, y .

P3) (+) . x = .x + .x, , , x .

P4) 1 / 1.x = x, x .

Entonces es un espacio vectorial.

En general, un conjunto V en el cual se definen dos operaciones cerradas + y , con escalares en un cuerpo y que verifican las propiedades mencionadas, es un espacio vectorial. Slo nos limitaremos al espacio vectorial , por sus aplicaciones en Economa.

15.- Combinacin Lineal de Vectores

, .

Definicin: Un vector v es combinacin lineal de un conjunto de vectores {v1, v2,, vk} pertenecientes a , si existen escalares pertenecientes a tal que:

. . . Ejemplos:

.

Debemos resolver el S.E.L., resultando:

es decir v = 2.e1 -5.e2 + e3.

Observacin: Los vectores e1, e2, e3 son los vectores unidad en y cualquier

2.

Expresar el vector como C.L. de los vectores , , y .

Debemos hallar, si existen, tal que

para lo que debemos resolver el S.E.L.H:

Entonces:

3.

Expresar el vector como C.L. de los vectores y .

Debemos calcular, si existen, tal que

o sea:

pero el S.E.L. es incompatible, por lo que no es C.L. de los vectores .

Observacin: es C.L., por ejemplo, de pues .4.

Expresar el vector como C.L. de los vectores y . Es nica esta C.L., es decir, son nicos los escalares de la C.L.? (comparar los ejemplos 2. y 4. y sacar conclusiones).

16.- Dependencia e Independencia Lineal

Definicin 1: Sean v1, v2,, vk . Se dice que:

a) Estos vectores son linealmente dependientes si al menos uno de ellos es C.L. de los restantes.

b) Estos vectores son linealmente independientes cuando ninguno de ellos es C.L. de los restantes.

Ejemplo:

Los vectores y son L.D.

Los vectores , , y son L.I.

Definicin 2: Sean v1, v2,, vk . Se dice que:

a) Estos vectores son linealmente independientes si el vector 0 es C.L. de {v1, v2,, vk} nicamente con escalares nulos.

b) Estos vectores son linealmente dependientes si el vector 0 es C.L. de {v1, v2,, vk} con escalares no todos nulos.Propiedades1. Sea {v}, v 0. Este conjunto es L.I. (por qu?).2. Sea { 0 }. Este conjunto es L.D. (por qu?).3. Cualquier conjunto de vectores que contenga al vector nulo es L.D. (por qu?).4. Si un conjunto de vectores es L.I., entonces cualquier subconjunto suyo es L.I. (por qu?).5. Si un conjunto de vectores es L.D., entonces cualquier conjunto que lo contenga es L.D. (por qu?).6. Los vectores v1, v2,, vn son L.I. si el determinante de la matriz, formada por los vectores v1, v2,, vn, es no nulo (por qu? ayuda: ver la definicin 2).7. Los vectores v1, v2,,vn son L.D. si el determinante de la matriz formada por los vectores v1, v2,, vn, es cero. (por qu? ayuda: ver la definicin 2).

Ejercicios

1. Sea el S.E.L. de m ecuaciones con n incgnitas, A . x = b con A = (aij), x = (xj), b = (bi) para i =1,..,m. j =1,..,n.Escribir el vector b como C.L. de los vectores columna de la matriz A.a) Cundo existe esta C.L.?b) Cundo es nica?

2. Demostrar que si un vector es C.L. de un conjunto de vectores L.I., esta combinacin lineal es nica.

3. Comprobar que en , hay a lo sumo n vectores L.I.

17.- Rango de una Matriz

Definicin: Dada una matriz A: m x n se define el rango de la matriz A como el mximo nmero de vectores columna (fila) L.I.Si simbolizamos (A) el rango de la matriz A, es (A) mn {m, n} (por qu?).

Ejemplos :Calcular los rangos.

Anteriormente vimos que los vectores columna de A son L.I. (A) = 3.

Los vectores son L.D. (B) = 1.

Los vectores columna son L.I. (C) = 2. (Observacin: entonces hay 2 vectores fila L.I.).

Observacin: aplicando Gauss-Jordan es

Propiedades

1. Dada una matriz A: m x n, (A) = r existe al menos una submatriz Ar de orden r x r tal que |Ar| 0 y todos los menores de A de mayor orden son nulos.Demostracin:

Si (A) = r entonces r vectores columna (fila) de A son L.I.Supongamos que los r primeros vectores columna de A son L.I.Entonces la submatriz:

Supongamos que son los r primeros vectores fila.As la submatriz Ar de B, y por lo tanto de A.

,

tiene (Ar) = r. Entonces, segn las propiedades vistas es |Ar| 0.

Cualquier submatriz de orden mayor tendr vectores columna L.D. todos los menores de orden mayor de r sern nulos.

Supongamos que existe una submatriz Ar de A tal que |Ar| 0 y que todas las submatrices de orden mayor Ak tienen determinante nulo.Supongamos que Ar est formada por los r primeros vectores columna y fila de A.Si |Ar| 0 (B) = r (A) r. Ahora, si (A) > r, supongamos (A) = r + 1 r + 1 vectores columna de A son L.I. y por lo tanto existir un menor de orden r +1, de A, no nulo. Absurdo por hiptesis.

(A) = r

2. (A) = (At) (por qu?).

3. A: n x n es inversible (A)= n (por qu?).

4. Si dos matrices son equivalentes, sus rangos son iguales.

Ejemplo: Calcular el rango de la matriz:

Observacin:1. Como A: 3x4 es (A) 3.2. Si A1, A2, A3, A4 son los vectores columna de A es:A3 = -2.A1 y A4 = - A1, y {A1, A2} es L.I. (A) = 2.

Ahora calculamos el rango aplicando la propiedad 1. : Calculamos los menores de orden 3:

y como el menor de orden 2:

18.- Existencia de Solucin de un S.E.L.

Dado un S.E.L. de m ecuaciones con n incgnitas A . x = b, el hecho de que exista solucin significa que el vector b se puede expresar como C.L. de los vectores columna A1, A2, .., An de la matriz A.

y las condiciones para determinar si la solucin x* es o no nica, estn dadas por el siguiente Teorema:

19.- Teorema de Rouch-Frobenius

Dado un S.E.L. de m ecuaciones con n incgnitas A . x = b, donde A = (aij), x = (xj), b = (bi) para i = 1,..,m. j = 1,..,n.a) El S.E.L. es compatible (A) = (A|b) siendo compatible determinado si (A) = (A|b) = n; e indeterminado si (A) = (A|b) < n.b) El S.E.L. es incompatible (A) (A|b).

Demostracin:a)

El S.E.L. A . x = b es compatible x*=(), j=1,..,n tal que si A1, A2, .., An son los vectores columna de A es b es C.L. de los vectores columna de A los conjuntos {A1, A2, .., An } (donde Aj son los vectores columna de A) y {A1, A2, .., An, b} tienen el mismo nmero de vectores L.I. (A) = (A|b).

Si (A) =n los vectores columna A1, A2,.., An son L.I. si (A) = (A|b) = n, el vector b es C.L. nica de los vectores columna de A el S.E.L. es compatible determinado.

Si (A) = (A|b) < n el sistema es compatible indeterminado. (por qu?).

b) (A) (A|b) el S.E.L. es incompatible se concluye de a).

Observacin:

1. Si m