ContenidoI. ALGEBRA LINEAL.................................................................................................................2

II. Aplicaciones...........................................................................................................................2

2.1 Aplicaciones del Algebra Lineal en la vida cotidiana...........................................2

2.2 Aplicaciones del Álgebra Lineal................................................................................4

Álgebra Lineal e imágenes digitales.........................................................................4

Cifrado matricial de un mensaje de texto................................................................5

Reparto de un número secreto..................................................................................5

2.3 Aplicación de un sistema homogéneo en economía............................................6

2.4 Aplicación en balanceo de ecuaciones químicas.................................................9

2.5 APLICACIONES A LOS GRÁFICOS POR COMPUTADORA...............................10

III. BIBLIOGRAFIA..................................................................................................................10

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I. ALGEBRA LINEAL

El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que estudia conceptos tales

como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y su enfoque de manera

más formal, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales.

Es un área activa que tiene conexiones con muchas áreas dentro y fuera de las

matemáticas como ser el análisis funcional, las ecuaciones diferenciales,

la investigación de operaciones, las gráficas por computadora, la ingeniería, etc.

De manera más formal, el álgebra lineal estudia conjuntos denominados espacios

vectoriales, los cuales constan de un conjunto de vectores y un conjunto de

escalares que tiene estructura de campo, con una operación de suma de vectores

y otra de producto entre escalares y vectores que satisfacen ciertas propiedades

por ejemplo, que la suma es conmutativa. Estudia también transformaciones

lineales, que son funciones entre espacios vectoriales que satisfacen las

condiciones de linealidad: Finalmente, el álgebra lineal estudia también las

propiedades que aparecen cuando se impone estructura adicional sobre los

espacios vectoriales, siendo una de las más frecuentes la existencia de un

producto interno una especie de producto entre dos vectores que permite

introducir nociones como longitud de vectores y ángulo entre un par de los

mismos.

II. Aplicaciones

Es una herramienta de uso ineludible para el estudio de muchas otras materias que conforman el diseño curricular de un estudiante de ingeniería. Tiene una gran cantidad de aplicaciones en otras áreas, entre las cuales podemos mencionar la industria espacial, los circuitos eléctricos, las redes de comunicación, la arqueología, la predicción del tiempo, los movimientos de población, la relatividad, el análisis del tráfico y de rutas mercantiles,etc.

II.1Aplicaciones del Algebra Lineal en la vida cotidiana

El Álgebra Lineal es la rama de las matemáticas que concierne al estudio de vectores, espacios vectoriales, transformaciones lineales, y sistemas de ecuaciones lineales. Los espacios vectoriales son un tema central en las matemáticas modernas; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional. El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.; así como también ayuda al desarrollo de ciertas capacidades fundamentales para un ingeniero: capacidad de formalizar, de razonar rigurosamente, de representar adecuadamente algunos

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conceptos. Las aplicaciones del Algebra Lineal en la ciencia, la ingeniería y en la vida cotidiana son numerosas ya que la solución de muchos problemas en la física, ingeniería, química, biomédica, graficas computarizada, procesamiento de imágenes requieren de herramientas o métodos dados por el Algebra Lineal. La importancia de la matemática en el desarrollo científico y tecnológico de la humanidad, está determinado por la posibilidad de elaborar modelos matemáticos de objetos reales ya sea de la ciencia o de la técnica. Con las técnicas clásicas de solución de sistemas de ecuaciones lineales, que se pueden hacer a lápiz y papel y con el avance de la tecnología, el Algebra Lineal también se puede explotar desde lo numérico lo que hace necesario trabajar con cierta parte de la matemática clásica y con el uso de herramientas computacionales para operar los objetos o elementos del Algebra Lineal. Esto le da un carácter de ³popularización´ a la matemática, que con el advenimiento dela computadora y su inmensa capacidad de cálculo, rapidez, versatilidad, etc., le da la posibilidad de simular y verificar soluciones de modelos matemáticos propios de la ingeniería y en especial de la Ciencias.

Los elementos del Algebra Lineal son también esenciales para poder establecer relaciones entre problemas de asignación de recursos.

Cálculo de intensidades en diferentes circuitos. Vectores se podrá operar y explotar sus propiedades ya sea para la

física más adelante o para tópicos propios de la ingeniería. Con la teoría de matrices y determinante se darán elementos para la

ingeniería de software, computación grafica y robótica. Transformaciones lineales y los vectores y valores propios se podrá

explotar efectos computaciones de traslados, rotación estiramiento, etc., de diferentes figuras, esto es, elementos para el procesamiento de imágenes y gráficas en computadoras.

Teoría de módulos, que remplaza al cuerpo en los escalares por un anillo.

Algebra multilineal, uno lidia con 'múltiples variables' en un problema de mapeo lineal, en el que cada número de las diferentes variables se dirige al concepto de tensor.

En la teoría del espectro de los operadores de control de matrices de dimensión infinita, aplicando el análisis matemático en una teoría que no es puramente algebraica.

El algebra lineal es utilizada para El diseño estructural de edificios, en donde cada nodo de la

estructura es un valor en la matriz que así puede ser de nxm.

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La planeación, como en ingeniería de sistemas en donde cada variable se coloca en un elemento de la matriz.

Tiene aplicaciones en geotecnia y en mecánica de fluidos. En la administración y economía para determinar: ingresos, ventas,

pérdidas, etc Solucionar mallas con resistencias Eléctricas y redes nodos

eléctricos. En la Electrónica es de vital importancia para poder abordar el

desarrollo de Parámetros Híbridos en un transistor, en donde se involucran Impedancias, Entradas, salidas, Transiciones, circuitos equivalentes

Abordar temas de Diseño---Soluciones---Visión de un determinado circuito lógica desarrollada a través de procesos matemáticos* Teoría de la Información.

Teoría de Códigos. Ecuaciones Diferenciales. Los espacios vectoriales son un tema central en la matemática

moderna; por lo que el álgebra lineal es usada ampliamente en álgebra abstracta y análisis funcional.

El álgebra lineal tiene una representación concreta en la geometría analítica, y tiene aplicaciones en el campo de las ciencias naturales y en las ciencias sociales.

Para optimizar cultivos (agricultura). Genética de poblaciones (ganadería).

II.2 Aplicaciones del Álgebra Lineal Álgebra Lineal e imágenes digitales

Las imágenes digitales son matrices de números entre 0 y 255 (8 bits).

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Cifrado matricial de un mensaje de texto

Para poder descifrar necesitamos que la matriz clave sea inversible

Reparto de un número secreto

A. Shamir, “How share a secret”, Communications of the ACM, 22 (11), pp. 612-613, (1976).

El esquema umbral de Shamir se basa en el uso de polinomios.

Esquema (4,3): el dueño del secreto S generará un polinomio con coeficientes aleatorios salvo el término independiente que se hace coincidir con el número secreto S

Calcula y se los da a los 6 participantes (uno a cada uno).

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P( x )=S+a1 x+a2x2

P( x1 ), P( x2 ),…,P (x6 )

Sólo cuando se junten al menos 3 de los 6 participantes se podrá recuperar el secreto, resolviendo el sistema lineal correspondiente. Por ejemplo: 2, 3 y 5

II.3 Aplicación de un sistema homogéneo en economía

Suponga que la economía de una nación se divide en muchos sectores, tales como diversas industrias de fabricación, comunicación, entretenimiento y servicio. Suponga también que se conoce el rendimiento total de cada sector para un año y se sabe exactamente cómo se divide este rendimiento, o “se intercambia”, entre los otros sectores de la economía. El valor total en moneda (dólares en este caso) del rendimiento de un sector será el precio de dicho rendimiento. Leontief demostró el resultado siguiente. Suponga que la economía de una nación se divide en muchos sectores, tales como diversas industrias de fabricación, comunicación, entretenimiento y servicio. Suponga también que se conoce el rendimiento total de cada sector para un año y se sabe exactamente cómo se divide este rendimiento, o “se intercambia”, entre los otros sectores de la

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S+a1x2+a2 x 22=P( x1 )¿} S+a1 x3+a2 x32=P( x2 )¿ }¿¿¿

economía. El valor total en moneda (dólares en este caso) del rendimiento de un sector será el precio de dicho rendimiento. Leontief demostró el resultado siguiente.Existen precios de equilibrio que se pueden asignar a los rendimientos totalesde los diversos sectores de manera que los ingresos de cada sector balanceenexactamente sus gastos.

El ejemplo siguiente muestra cómo encontrar los precios de equilibrio.

EJEMPLO 1 Suponga que una economía consiste en los sectores de carbón, electricidady acero, y que el rendimiento de cada sector se distribuye entre los diferentessectores como en la tabla 1, donde las entradas de una columna representan fracciones de la producción total de un sector.La segunda columna de la tabla 1, por ejemplo, muestra que la producción total deelectricidad se divide como sigue: un 40% de carbón, un 50% de acero, y el restante 10% de electricidad. (El sector eléctrico trata este 10% como un gasto en que incurre para hacer funcionar su negocio.) Ya que debe tomarse en cuenta la producción total, las fracciones decimales de cada columna deben sumar 1.

Los precios (es decir, valores en moneda) de la producción total de los sectoresde carbón, electricidad y acero se denotarán como pC, pE y pS, respectivamente. Si es posible, encuentre los precios de equilibrio que permiten a los ingresos de cada sector igualar sus gastos.

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Solución Un sector observa una columna para ver a dónde va su producción, y Examina una fi la para ver qué necesita como entradas. Por ejemplo, la primera fi la de la tabla 1 indica que el sector carbón recibe (y paga por) el 40% de la producción del sector eléctrico y el 60% de la producción de acero. Puesto que los valores respectivos de producción totales son pE y pS, el sector carbón debe gastar .4pE dólares por su parte de producción de electricidad, y .6pS por su parte de producción de acero. Entonces los gastos totales del sector carbón son de .4pE + .6pS. Para hacer que los ingresos del sector carbón, pC, sean iguales a sus gastos, se desea

La segunda fi la de la tabla de intercambio muestra que el sector eléctrico gasta .6pC en carbón, .1pE en electricidad, y .2pS en acero. Entonces, el requisito ingreso/gastos para electricidad es

Por último, la tercera fi la de la tabla de intercambio conduce al requisito fi nal:

Para resolver el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3), traslade todas las incógnitas al lado izquierdo de las ecuaciones y combínelas como términos. [Por ejemplo, a la izquierda de (2) escriba pE − .1pE como .9pE.]

Lo que sigue es reducir por fi las. Aquí, para simplifi car, los decimales se redondean a dos posiciones.

La solución general es pC = .94pS, pE = .85pS, y pS es libre. El vector precio de equilibrio para la economía tiene la forma

Cualquier selección (no negativa) para pS se convierte en una selección de precios de equilibrio. Por ejemplo, si se toma pS como 100 (o $100 millones), entonces pC = 94 y pE = 85. Los ingresos y gastos de cada sector serán iguales si la producción de carbón se valora en $94 millones, la producción eléctrica en $85 millones, y la producción de acero en $100 millones.

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II.4Aplicación en balanceo de ecuaciones químicas

Las ecuaciones químicas describen las cantidades de sustancias consumidas y producidas por las reacciones químicas. Por ejemplo, cuando se quema gas propano (C3H8), éste se combina con oxígeno (O2) para formar dióxido de carbono (CO2) y agua (H2O), de acuerdo con una ecuación de la forma

Para “balancear” esta ecuación, un químico debe encontrar números enteros x1, . . . , x4 tales que el número total de átomos de carbono (C), hidrógeno (H) y oxígeno (O) situados a la izquierda sea igual al número correspondiente de átomos ubicados a la derecha (porque los átomos no se crean ni se destruyen en la reacción).Un método sistemático para balancear ecuaciones químicas consiste en establecer una ecuación que describa el número de átomos de cada tipo presente en una reacción.Como la ecuación (4) involucra tres tipos de átomo (carbono, hidrógeno y oxígeno), construya un vector en R3 para cada reactivo y producto en (4) que enliste el número de “átomos por molécula”, como sigue:

Para balancear la ecuación (4), los coeficientes x1, . . . , x4 debe satisfacer

Para resolver, traslade todos los términos a la izquierda (cambiando los signos en los vectores tercero y cuarto):

La reducción por fi las de la matriz aumentada para esta ecuación conduce a la solución general

Como los coeficientes en una ecuación química deben ser enteros, tome x4 = 4, en tal caso, x1 = 1, x2 = 5 y x3 = 3. La ecuación balanceada es

La ecuación también estaría balanceada si, por ejemplo, cada uno de los coeficientes se duplicara. Sin embargo, para la mayoría de los propósitos, los químicos prefieren usar una ecuación balanceada cuyos coeficientes sean los números enteros más pequeños posibles.

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II.5 APLICACIONES A LOS GRÁFICOS POR COMPUTADORA

Los gráficos por computadora son imágenes desplegadas o animadas en una pantalla de computadora. Las aplicaciones de los gráficos por computadora están ampliamente difundidas y aumentan con rapidez. Por ejemplo, el diseño asistido por computadora (CAD, del inglés computer-aided design) es una parte integral de muchos procesos de ingeniería, tal como el proceso de diseño de aviones descrito en la introducción de este capítulo. La industria del entretenimiento ha realizado el uso más espectacular de los gráficos por computadora —desde los efectos especiales de The Matrix hasta la Xbox de PlayStation 2.La mayor parte de los programas computacionales interactivos producidos para los negocios y la industria utiliza gráficos por computadora en los despliegues de pantalla y en otras funciones, como el despliegue gráfico de datos, la autoedición, y la producción de diapositivas para presentaciones comerciales y educativas. Por consiguiente, cualquier persona que estudie un lenguaje de computadora siempre pasa algún tiempo aprendiendo a usar gráficos de, por lo menos, dos dimensiones (2D).En esta sección se examinará algo de las matemáticas básicas que se usan paramanipular y desplegar imágenes gráficas tales como el modelo de alambre de un avión.Una imagen (o dibujo) de ese tipo consta de varios puntos, líneas rectas o curvas conectadas, e información sobre cómo llenar regiones cerradas delimitadas por esas líneas.A menudo, las líneas curvas se aproximan empleando segmentos de línea recta cortos, y una fi gura se define matemáticamente por medio de una lista de puntos.Entre los símbolos gráficos más sencillos utilizados en 2D están las letras usadascomo etiquetas en la pantalla. Algunas letras se guardan como objetos de alambre; otras que tienen porciones curvas se almacenan con fórmulas matemáticas adicionales para las curvas.

III. BIBLIOGRAFIA

Algebra lineal y sus aplicaciones (Davis C. Lay) http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal http://cms.dm.uba.ar/depto/public/Curso%20de%20grado/fascgrado2.pdf http://es.scribd.com/doc/59937838/APLICACIONES-DE-ALGEBRA-LINEAL https://www.youtube.com/watch?v=clhpHYJywMc http://es.slideshare.net/arojasmatas/aplicaciones-del-lgebra-lineal

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