algebra lineal

16.1 Valores y vectores caractersticosDefinicin 1 Sea A una matriz de n n con componentes reales. El vector x0, x enn

Mdulo 16: Valores y vectores caractersticos

tal que

Ax

x,

se llama vector caracterstico de A, y al escalar (real o complejo) se le llama valor caracterstico de A correspondiente al vector caracterstico x. Nota: los vectores caractersticos se toman en n-tuplas ordenadas de nmeros complejos, ya que stos pueden tener componentes imaginarios, cuando es un nmero complejo. En la definicin se dice que el valor caracterstico corresponde al vector caracterstico x. Tambin se puede expresar al contrario: el vector caracterstico x corresponde al valor caracterstico . . A los valores y vectores caractersticos tambin se les llama valores y vectores propios o autovalores y autovectores.n

16.2

El problema de los valores y vectores caractersticosy0, enn

Dada una matriz A de n n con componentes reales, hallar todos los escalares todos los vectores x, x Ejemplo 1 Sea A Entonces A 1 1 3 2 3 4 1 1 1 1 3 2 3 4 . tales que Ax

x.

.

As, 1 1 .

1 es un valor caracterstico de A correspondiente al vector caracterstico

Similarmente, A 2 3 3 2 3 4 2 3 12 18 6 2 3 . lgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 209

Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas Entonces rstico 2 3 .

6 es un valor caracterstico de A correspondiente al vector caracte-

La matriz AT:2 2

3 2 3 4

es la representacin matricial de la transformacin lineal x y 3 2 3 4 x y 3x 2 y . 3x 4 y

definida por T

1 1

y

2 3

son vectores caractersticos de A correspondientes a los valores1

caractersticos

1y

2

6.2

Estos vectores son LI, luego forman una base B1 de transformacin referida a esta base.

. Encontremos la matriz de la

T 2 3

1 1 12 18

1 1

1

1 1 1 1

0

2 , 3 2 , 3

T 2 3

1 1

B1

1 0 0 6 .1 0 0 6 , la cual

T

0

6

T

B1

Luego BT, matriz de la transformacin referida a la base B1, es BT es una matriz diagonal.

Geomtricamente, podemos describir la situacin as:

1 2 y determinan un 1 3 1 1 , ya que

sistema coordenado. Referida a este sistema la transformacin T tiene el efecto de dejar invariantes los vectores a lo largo de la direccin definida por1

1 , y aumentar con un factor de 6 los vectores a lo largo del eje definido por ., el cual referido a esta base es

2 3

Si x es un vector cualquiera de T (x) 1 0 0 6 a b

2

a , entonces b

a 6b (figura 16.1).

210

Mdulo 16: Valores y vectores caractersticos Ejemplo 2 Sea A = I; entonces, Iv

v para todo v

n

, luego todo v

0 es un vector

caracterstico de I con valor caracterstico

1.

Figura 16.1

Ejemplo 3 Sea A 4 1 2 1 .

Determinemos los valores caractersticos de A y sus correspondientes vectores asociados. Debemos encontrar los escalares tales que: 4 1 luego 2 1 x y x , y y los vectores no nulos x x y

4x 2 y x y

x y

o

(4 x

)x 2 y (1 )y

0 0

lgebra Lineal Elemental y Aplicaciones 211

Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas Resolvemos el sistema homogneo de dos ecuaciones con dos incgnitas. Este sistema tiene solucin no trivial x 0, si y slo si el determinante de su matriz de coeficientes es cero; esto es: 4 1 Entonces, (42

2 1

0.

)(1 5 6

) 2 0 (

0, 3)( 2). 3 y 2.1

Luego los valores caractersticos de A son

1

2

Para encontrar los vectores caractersticos asociados a los valores de2

3 y

2 resolvemos

Ax 3x4 1 2 1 x y 3 x y

y 4 1

Ax 2x2 1 x y 2 x y

4x 2 y x yo

3x 3y 0 0

4x 2 y x yo

2x 2y 0 0

(4 3) x 2 y x (1 3) yo

(4 2) x 2 y x (1 2) yo

x 2y x 2y

0 0

2x 2 y x y

0 0

cuyas soluciones estn dadas por:

las soluciones al sistema estn dadas por: x y , 0 .

xx1

2y2 , 0

x2

x1 y x2 estn expresando, cada uno, un subespacio compuesto por todos los vectores mltiplos de 2 1 y , respectivamente. O dicho de otra forma, los vectores carac1 1

212

Mdulo 16: Valores y vectores caractersticos tersticos asociados con1

3 son todos los mltiplos escalares del vector2

2 ; 1

similarmente, los vectores caractersticos correspondientes a mltiplos escalares del vector Teorema 1 Sea A una matriz n n . Demostracin Si es un valor caracterstico de A existe x 0 tal que 1 . 1

2 son todos los

es un valor caracterstico de A si y slo si det ( A

I)

0.

Ax

x

Ix ,

(A

I)x

0.I )x I) I) 0 tiene solucin para x 0. I )x 0 tiene soluciones I) 0, entonces la 0 cuando ( A I)

El sistema homogneo ( A es no invertible, o sea det ( A Recprocamente, si det ( A no triviales y nica solucin del sistema es x

0, el sistema ( A

es un valor caracterstico de A. Si det ( A

0 y, por tanto,

no es un valor caracterstico de A.

16.2.1 El polinomio caracterstico de A n xnDefinicin 2 Sea A una matriz n n . El determinante de la matriz ( A denomina polinomio caracterstico de A. P( ) det ( A I ). I ), denotado P ( ), se

La ecuacin P( ) P( )

0 es la ecuacin caracterstica de A. I) 0.

det ( A

P ( ) es un polinomio de grado n en .


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas a11 A a21 a31P( )n

a12 a22 a32bn1

a1n a2 n annn 1

a11 , det ( A I) a21 a31... b1 b0 0.

a12 a 22 a32

a1n a2 n ann

Esta ecuacin tiene n races, varias de las cuales pueden repetirse. Si son las races diferentes de la ecuacin con multiplicidades P ( ) puede factorizarse como:1

1 m

,

2

,...,

m

,

2

,...,

, entonces

P( )Los nmeros caractersticos

(1

1

) 1(m m

2

) 2 ...(

m

)m

0.

,1

2

,...,2

se llaman multiplicidades algebraicas de los valores , respectivamente.

,

,...,

O sea que si contamos multiplicidades, cada matriz n n tiene exactamente n valores caractersticos.

16.2.2 Proceso para encontrar los valores y vectores caractersticos en una matriz An x ni. ii. iii. Halle P( ) det ( A I) . 0 ( 1,2

Halle las races de P( ) valor caracterstico.

,...,i

m

). 0 correspondiente a cada

Resuelva el sistema homogneo ( Ai

I)x

La solucin del sistema homogneo ( A i I )x 0 no es nica, ya que x 0 . El sistema tiene infinitas soluciones, luego al determinar los vectores x que satisfacen el sistema, se sacan los vectores que formen una base para el subespacio generado; es claro que todas las combinaciones lineales, diferentes de cero, que se realicen con estos vectores tambin son vectores caractersticos correspondientes al mismo valor . Teorema 2 Sea A una matriz n n y sea E den

x : Ax

x . Entonces E es un subespacio

.

214

Mdulo 16: Valores y vectores caractersticos Demostracin Si Ax

x , entonces ( A

I )x

0. I ), y por tanto E es un subespacio den

Luego E es el ncleo de ( A

.

16.2.3 Espacio caracterstico de ADefinicin 3 Sea un valor caracterstico de A. El subespacio E se llama espacio caracters-

tico de A, correspondiente al valor caracterstico . Ejemplo 4

1Sea A

2 0 4

1 1 . Encontremos para A los valores y vectores caractersticos. 5

1 4

Vamos a seguir los pasos dados en el proceso.

1 det ( A I) 1 43

2 4 562

1 1

0

11

6

0

(

1)(

2)(

3)

0.1

Entonces los valores caractersticos de A son

1, 0.

2

2,

3

3.

Para determinar E1, formamos el sistema ( A I )x

1 1 1 4

2

1

x y z 2 1 4

0 0 0 1 1 4

0 1 4

2 1 4

1 1 41

x y z2 2

0 0 0

1 1 4 5 1 0 1 4

operaciones elementales

1 0 0 1 0 0

1

.

0

La solucin al sistema est dada por:


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas

x y z

1 z 2 1 z 2 1z1 1 ; 2 1 1 2

E1

gen

es un vector caracterstico asociado con

1.

Determinemos E2. ( A 2 I )x 0.

1 1 4La solucin es:

2 2 4

1 1 3


1 0 0 1 0 0

1

2 4

1

.

0

x y z

1 z 2 1 z 4 1z2 2 ; 1 4 es un vector caracterstico asociado con

E2

gen

1 4

2.

Similarmente, encontremos E3 . ( A 3I )x 0

2 1 4La solucin es:

2 3 4

1 1 2


1 0 0 1 0 0

1

4 4

1

.

0

x y z

1 z 4 1 z 4 1z

216

Mdulo 16: Valores y vectores caractersticos 1 E3 gen 1 4 ; 1 1 4 es un vector caracterstico asociado con

3.

Ejemplo 5

Sea A

1 1 0

1 2 1

0 1 . Determinemos los valores y vectores caractersticos de A. 1 1 1 1 03

det ( A

I)

2 1 1

0 1

4 2 3 0 ( 1)( 3) 0. Los valores caractersticos de A son 0, 1, 3. .

1

2

3

Ahora encontremos los espacios caractersticos correspondientes a cada valor de E0 , ( A 0 I )x 0.

1 1 0

1 2 1

0 1 1

1 0 0 1 0 0

1 1 , entonces 0

x y z

1z 1z 1z

1 E0 gen 1 1 .

E1 ,

( A I )x

0.

0 1 0

1 1 1

0 1 0

1 0 1 0 1 0 , entonces 0 0 0

x y z

1z 0z 1z


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas 1 E1 gen 0 1 .

E3 ,

( A 3I ) x

0.

2 1 0

1 1 1

0 1 21 2 1

1 0 0 1 0 0

1 , entonces x 2 y 0 z

1z 2z 1z

E3

gen

.

Ejemplo 6

0Sea A

1

0

0 1

0 1 , entonces 3 3 1 0 1

det( A

I)

0 13

0

3 33 1)3 2

3 0.

1 0,

( Luego

1 es el nico valor caracterstico de A con multiplicidad algebraica de 3. 1 . Resolvemos ( A I )x 0.

Ahora veamos cul es el espacio caracterstico de

E1 :

1 0 1

1 0 1 1 3 21

1 0 0 1 0 0

1 1 , entonces 0

x y z

z z z

E1

gen

1 1

.

218

Mdulo 16: Valores y vectores caractersticos Ejemplo 7

3 2 4Sea A

2 0 2 ; entonces, 4 2 3 3 det ( Adet ( A

2 2 43

I)I)

4 2 315 8

01) 2 (2

262

(

8)

0.

Luego

1

1 con multiplicidad algebraica de 2 y

8.

Determinemos ahora los espacios caractersticos. E 1 : ( A I )x 0.

4 2 4 2 1 2 4 2 4

1 0 0

1

2

1 0 , entonces 0x y z y z

0 0

1 y z 2

x y z

1

2

y 1 0-1 2

z

1 0 . 11 .

E 1 : gen

1 , 0 0 1 0.

E8 : ( A 8I )x

5 2 4

2 8 2

4 2 5

1 0 0 1 0 0

11 2

, entonces

x y z

1z 1 z 2 1z

0

1 E8 : gen1 2

.

1 Observacin: la factorizacin del polinomio caracterstico de A, en general, no es obvia. El lgebra nos brinda dos resultados que pueden ser tiles a este respecto:


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas (1). El producto de todas las races del polinomioP( )n

bn

1

n 1

... b1

b0

0 es ( 1) b0.

n

(2).

Si bn 1 ,..., b1 , b0 son enteros, entonces P ( ) no puede tener una raz racional que no sea un entero. Luego las posibles races racionales de P( ) sern factores enteros de b 0. Por supuesto, P( ) podra tener races irracionales. Adems, P ( ) tambin podr tener races complejas; si esto sucede, stas ocurren en pares conjugados.

Ejemplo 8 Sea A 2 5 1 . Determinemos los valores y vectores caractersticos de A. 2 2 5 2 1

det ( A

I)

0, entonces

2

1 0.

De donde,

2

1 y

1, o sea

i,

1

i y

2

i.

Veamos los espacios caractersticos. Ei : ( A iI )x 2 i 5 1 2 i x y 0. 0 , luego (2 i ) x y 0 0 (2 i ) x y

Entonces, si x = 1, y 1 2 i 1 2 i

2 i.

Por tanto, x1 Ei : gen Ahora, Ei

es un vector caracterstico correspondiente a

i y

. 0.

resulta de resolver ( A iI )x 1 2 i x y

2 i 5

0 , lo cual lleva a (2 i ) x 0 1 2 i .

y

0.

Ahora, si x = 1, y

(2 i), y entonces x 2

Observacin: note que

2

i es el conjugado complejo de

1

i , y adems los

componentes de x 2 son conjugados complejos de los componentes de x1. Este

220

Mdulo 16: Valores y vectores caractersticos hecho no es casual y se puede demostrar que los valores caractersticos de una matriz real ocurren en pares conjugados complejos y los vectores caractersticos correspondientes son conjugados complejos entre s.

16.3 PropiedadesTeorema 3 Sea A una matriz n n y sean x1 , x 2 ,..., x m son LI. Demostracin Razonamos por induccin sobre m. 1. m = 2. Suponga que C1x1 C2 x2 Hagamos (1) A : C1 Ax1 C2 Ax 2 0. 0. (1)1

,

2

, ...,

m

valores caractersticos diferentes de A

con sus correspondientes vectores caractersticos x1 , x 2 ,..., x m . Entonces

Como x1 y x 2 son vectores caractersticos correspondientes a valores caractersticos1

y2

2

, entonces Axi 0.2

i

xi , i

1, 2. (2)

Luego C1 1x1 C2

x2

Multiplicamos (1) porC1 (1 2

y se resta de (2).0 2 2

)x1 C2

x2

0,

C1 (

1

2

) x1

0. 0 ya que es un vector caracterstico; (1 2

En esta igualdad x1 porque1 2

)

0

, entonces C1 0 ; por tanto, C2

0. Sustituimos este valor en (1) y se 0 y concluimos que x1 y x 2 son LI.

obtiene C2 x 2 2.

Supongamos que para m = k se cumple que x1 , x 2 ,..., x k son LI y veamos para m = k +1. Sea C1x1 C2 x 2 ... Ck x k Hagamos (3) A: Ck 1 Ax k1

3.

Ck 1 x k

1

0.

(3)

C1 Ax1 C2 Ax 2 ... Ck Ax k

0,


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas y aplicando el hecho de que Axi C1 1x1 C2 2 x 2 ... Ck Multiplicamos (3) por C1 ( Ck C1 ( ) x1k 1k 1

i i

x, i Ck

1,..., k 1, tenemos: x 0. (4)

k

xk

1 k 1 k 1

y lo restamos de (4). )x2 ... Ck ( )xk

1 1

k 1 k 1

C2 (0

2 1

k 1

k

k 1

xk

0.k 1

1

k 1

) x1

C2 (

2

)x2

... Ck (

k

k 1

)xk

0.

Como segn la hiptesis de induccin x1 , x 2 ,..., x k son LI, entonces C1 (1 k 1

)

C2 (i

2

k 1

)

...

Ck (

k

k 1

)

0.

Como los valores de C1 C2 ...

, i

1,..., k 1 son diferentes, entonces 0.1

Ck

Llevamos estos valores a (3) y obtenemos Ck 1x k Concluimos entonces que x1 , x 2 ,..., x m , x m para todo m.1

0, de donde Ck+1 = 0.

son LI, completando la prueba

El teorema anterior establece que vectores caractersticos correspondientes a valores caractersticos diferentes son linealmente independientes. El resultado del teorema puede verificarse en los ejemplos desarrollados. Adems se observa que en algunos casos se encuentran tantos vectores caractersticos linealmente independientes como la multiplicidad algebraica del valor (ejemplos

1 tiene una multiplicidad algebraica 2 y se 4, 5 y 7). En el ejemplo 7 el valor determinan dos vectores en la base del espacio caracterstico correspondiente, esto es, dos vectores caractersticos LI. Sin embargo, esto no siempre es as; en el ejem1 tiene una multiplicidad algebraica 3 y un solo vector plo 6 el valor caraterstico caracterstico LI asociado con l.Definicin 4 Sea un valor caracterstico de A. Entonces la multiplicidad geomtrica de es la dimensin del espacio caracterstico correspondiente a (nulidad de la matriz ). A I Para cada valor caracterstico debe haber asociado al menos un vector caracterstico. Si la multiplicidad algebraica de es mayor que 1, por ejemplo si A es una matriz 3 3 con dos valores caractersticos1 1

y

2

con multiplicidades algebraicas 1 y

2, respectivamente, entonces para

habr asociado un vector caracterstico y

222

Mdulo 16: Valores y vectores caractersticos para 2 podr haber uno o dos vectores caractersticos LI. Es claro que no podrn ser ms de dos ya que en el caso de que fueran tres vectores, se completaran cuatro vectores LI en un espacio vectorial de dimensin 3, lo cual es absurdo. Estas consideraciones quedan expresadas en el siguiente teorema. Teorema 4 Sea un valor caracterstico de A. Entonces, multiplicidad geomtrica de Teorema 5 Sea A una matriz n n. A tiene n vectores caractersticos LI si y slo si la multiplicidad geomtrica de todo valor caracterstico es igual a la multiplicidad algebraica. En particular, A tiene n vectores caractersticos LI si todos sus valores caractersticos son diferentes. La deduccin del teorema resulta evidente de los resultados establecidos en los teoremas 3 y 4. Teorema 6 Los valores caractersticos de una matriz triangular son las componentes diagonales de la matriz. La demostracin del teorema se deja como ejercicio. En el ejemplo 5 la matriz A tena un valor caracterstico igual a 0, o sea que det ( A 0 I ) Teorema 7 A es invertible si y slo si 0, luego det A 0, lo cual significa que A no es invertible. multiplicidad algebraica de .

0 no es un valor caracterstico de A.

La demostracin del teorema se deja como ejercicio. Finalizamos esta seccin destacando algunas relaciones entre los valores caractersticos de A y los valores caractersticos de matrices relacionadas con A. Teorema 8 Sea An a. b. c. d.n

una matriz que tiene valores caractersticos1

1

,k

2

,...,

k

; entonces:

Los valores caractersticos de AT son Los valores caractersticos de A son1

,1

2

,...,2 m

.k k

,2

,...,m

.

Los valores caractersticos de Am son Si A1

m

,

,...,1

para m = 1, 2, 3... 11

existe, los valores caractersticos de A

son

,

12

,...,

1k

.

Vea en su multimedia de lgebra Lineal el cdigo fuente en MATLAB para ilustrar Valores y vectores caractersticos


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas Demostracin a. Sii

es valor caracterstico de A, det( Ai

i

I)

0.

Ahora, det ( A

I)

det ( A det ( AT det ( AT

i

I )Ti i

IT ) I ).

Luego c.

i

, i 1,..., k, es un valor caracterstico de AT.

Razonemos por induccin. Para m = 2. Si Avi i

es un valor caracterstico de A, (1)

v.

Multiplicando (1) por A,A Av A i v, A2 vi

Av.

Aplicando (1), tenemos:A2 vi i

v

i

2

v.2

Esta ltima ecuacin significa que

i

es un valor caracterstico de A2.k

Supongamos que para m = k se cumple que Ak v Veamos para m = k + 1. Multiplicando (2) por A, A Ak v A vk 1

i

v.

(2)

Ai k

i

k

v,

Av.

(3)

Aplicando (1) en (3),Ak 1 vi k i

v

i

k 1

v.k 1

Luego i k 1 es un valor caracterstico de A Los literales b y d se dejan como ejercicio.

y esto completa la prueba.

224

Mdulo 161. Sea A 2 2 2 2 . Determine cules de los siguientes vectores de2

son vectores caractersticos de A; en caso de

serlo, determine el valor caracterstico asociado. a. b. c. (2, 1) (2, 2) (3, 3) d. e. f. (4, 4) ( 6, 6) ( 1, 2)

En los ejercicios 2 a 12 encuentre los valores y vectores caractersticos de la matriz dada. 2. 0 1 1 0 3. 1 0 1 1 4. 0 1 1 0

5.

1 0 0

1 0 1 1 0 2

16.

1 2 1

4 1 17.

0 1 1 0 0 0 0 0

0 0 1

0 0 1

3 2

2 4

8.

3 2 1

7 4 2

5 3 2

9.

a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a 0 0 0 0 a

10.

a b 0 0 0 a 0 0 ; b 0 0 0 a 0 0 0 0 a

11.

a b 0 0 0 a c 0 0 0 a 0 0 0 0 a

; bc

0

12.

a b 0 0 a c

0 0

0 0 a d 0 0 0 a

; bcd

0

13.

Sea A una matriz diagonal de orden n cuyos elementos de la diagonal principal son polinomio caracterstico de A y sus valores caractersticos.

1

,

2

,...,

n

. Determine el

Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas lgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

225

14. 15.

Sea A una matriz triangular de orden n. Determine el polinomio caracterstico de A as como sus valores caractersticos. Suponga que 1 es un valor caracterstico de la matriz A, y valor caracterstico de A + B? Realice una demostracin del teorema 7. Demuestre las partes b y d del teorema 8. Sea A una matriz real de n v1, entonces12

es un valor carcterstico de la matriz B. Es

1

2

un

16. 17. 18.

n. Demuestre que si

1

es un valor caracterstico complejo de A con vector caracterstico

es un valor caracterstico de A con vector caracterstico v1 .

226

Ejercicios del mdulo 16

El problema de la diagonalizacinContenidos del mdulo17.1 Diagonalizacin 17.2 Condicin necesaria y suficiente para que una matriz Ann

17

sea diagonalizableEl problema de la diagonalizacin consiste en encontrar una matriz D tal que D = P-1AP.

Objetivos del mdulo1. Establecer una condicin necesaria y suficiente para que una matriz sea diagonalizable. 2. Utilizar las propiedades de las matrices semejantes para trabajar algebraicamente con A a travs de su matriz diagonal equivalente.

Preguntas bsicas1. Cundo una matriz An n es diagonalizable? 2. Si A y B son matrices semejantes, cmo son sus polinomios caractersticos y sus valores caractersticos?

IntroduccinEl problema de la diagonalizacin puede enunciarse de la siguiente forma: Dada una matriz A de n n encontrar, si es posible, una matriz D diagonal, similar o semejante a la matriz A. Este problema est ntimamente relacionado con el problema de la determinacin de los valores y vectores caractersticos de A, como veremos en el desarrollo siguiente.

Vea el mdulo 17 del programa de televisin lgebra Lineal



17.1 DiagonalizacinDefinicin 1 Decimos que la matriz An n es diagonalizable si es similar a una matriz diagonal D. Es decir, si existe una matriz invertible P tal queD P 1 AP.

Ejemplo 1 La matriz A es similar a BT 3 2 dada en el ejemplo 1 del mdulo 16 es diagonalizable ya que A 3 4 1 0 . Ambas matrices son representaciones de la transforma0 62

cin lineal T :

definida por T

x y

3x 2 y 3x 4 y

. La matriz A est referida

a la base estndar y la matriz BT est referida a la base formada por los vectores caractersticos LI matriz P. Podemos verificar que: 1 0 0 6 1 21

1 1

y

2 . Estos vectores forman las dos columnas de la 3

3 2 3 4

1

2

1 3

1 3

.

Teorema 1 Si A y B son matrices similares de n n, entonces A y B tienen la misma ecuacin caracterstica y por consiguiente los mismos valores caractersticos. Demostracin Si A y B son similares entonces existe una matriz P tal que Bdet ( B I) det ( P 1 AP I ) det P I) det ( P 1 AP P1

P 1 AP, y por tantoI ) P) I)

IP )

det ( P 1 ( A

det P 1 det ( A

det ( P 1 P) det ( A

I)

det I det ( A

det ( A

I ).

228

17.2 Condicin necesaria y suficiente para que una matriz A n n sea diagonalizableTeorema 2

Mdulo 17: El problema de la diagonalizacin

Una matriz A de n n es diagonalizable si y slo si tiene n vectores caractersticos1 LI. En este caso, A es similar a una matriz diagonal D, con P AP D, cuyos elementos en la diagonal son los valores caractersticos de A. P es una matriz cuyas columnas son respectivamente los n vectores caractersticos LI de A.

Demostracin1

02

0 0n

Supongamos que A es similar a D, con D

0 0

; entonces

D

P 1 AP, de modo que PDP AP

AP. Sea P la matriz cuyas columnas son x1, x2,..., xn

x1 , x 2 ,..., x j ,..., x n , Ax1 , Ax 2 ,..., Ax j ,..., Ax n .

Ahora,1

02

PD

x1 , x 2 ,..., x j ,..., x n

0 0

0 0n

,

1 1

x,

2

x 2 ,...,

j

x j ,...,

n

xn .

LuegoAx1 , Ax 2 ,..., Ax j ,..., Ax n Ax j xj j 1,..., n. 0 para j 1,..., n. Por tanto,1 1

x,

2

x 2 ,...,

j

x j ,...,

n

x n , de donde

j

Como P es invertible, sus columnas son LI y x j

j

es

un valor caractersticos de A y x j un vector caracterstico correspondiente. Entonces A tiene n vectores caractersticos LI. Recprocamente, supongamos que A tiene n vectores caractersticos LI x1, x2,..., xn con valores caractersticos correspondientes 1, 2 ,..., n . Sea P [x1 , x 2 ,..., x n ] la matriz cuyas columanas son los n vectores caractersticos LI; entonces P es invertible.


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas Como Ax jj

x j para j 1,..., n,2

[ Ax1 , Ax 2 ,..., Ax n ] [ 1 x1 ,

x 2 ,...,

n

x n ],

AP

PD .

Multiplicando a ambos lados por P 1 , tenemos:P 1 AP D,

lo cual significa que A es diagonalizable. Corolario Si nA tiene n valores caractersticos distintos, entonces A es diagonalizable. n Observacin El teorema 5 del mdulo 16 establece la siguiente equivalencia: 1. A tiene n vectores caractersticos LI igual a la multiplicidad algebraica de dice que: 2. A es diagonalizable multiplicidad geomtrica dei i

es

,i

1,..., m , y el teorema anterior

A tiene n vectores caractersticos LI.

De 1 y 2 tenemos que: A es diagonalizable algebraica de P( ). Ejemplo 2i

multiplicidad geomtrica de

i

es igual a la multiplicidad

, i 1,..., m, siendo m el nmero de races diferentes del polinomio

En el ejemplo 7 del mdulo16 determinamos para A vectores caractersticos as: det ( A1 2

3 2 4 2 0 2 sus valores y 4 2 38) 0 con vectores ca-

I)

(

1) 2 (

ractersticos 8.

1 0

1 y 0 correspondientes a 1

11 y1 2

1

correspondiente a

230

Mdulo 17: El problema de la diagonalizacin Luego A tiene tres vectores caractersticos LI y por tanto A es diagonalizable, siendo

D

1 0 0

0 0 1 0 . 0 8

La matriz P que diagonaliza la matriz A es:1 2

P

1 0

1 1 0 12 . 1 1

Entonces,P 1 AP1

D.1

P ( P AP ) P

PDP 1 , A PDP 1 .

( PP 1 ) A( PP 1 )

En el teorema 6 del mdulo 13 demostramos que si A es similar a B, A n es similar aBn . Para nuestro ejemplo, A n es similar a Dn , o sea:

An

PD n P 1 ,1 2

1 1 0 11 2

( 1)n 0 0

0 ( 1) 0n

0 0 (8)n

1 0

1

1 9

2 4 4

8 2 2

2 5 . 420,

20 En particular, si se desea obtener A , bastara hacer el producto indicado con n en lugar de multiplicar 20 veces por la matriz A.

Ejemplo 3 Las matrices de los ejemplos 1, 3, 4, 5, 7 y 8 del mdulo 16 son diagonalizables ya que para cada una de ellas se determinaron n vectores caractersticos LI. En el ejemplo 2, mdulo 16, se plante la matriz identidad que ya es diagonal, y en el ejemplo 6 del mismo mdulo se obtuvo un valor caracterstico de multiplicidad algebraica 3, al cual slo iba asociado un vector caracterstico LI, luego la matriz propuesta en el ejemplo 6 no es diagonalizable. Cuando estudiamos las propiedades de las matrices similares (teorema 6, mdulo 13) vimos que si A y B son matrices similares entonces det Adet B.Vea en su multimedia de lgebra Lineal el cdigo fuente en MATLAB para ilustrar Diagonalizacin de matrices

Ahora, si A es similar a una matriz diagonal D, det A det D.


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas La matriz diagonal similar a A tiene sobre la diagonal los valores caractersticos de A; entonces, det A1 2

,...,

n

.

Tambin establecimos que las distintas representaciones de una misma transformacin lineal son matrices similares (teorema 5, mdulo 13), luego con cualquier representacin matricial que trabajemos obtendremos los mismos valores y vectores caractersticos.

232

Mdulo 17En los ejercicios 1 a 6 determine si la matriz dada A es diagonalizable; en caso de serlo, determine las matrices P, D y P que A = P D P .1 1

tales

1.

0 1 0 1 0 0 0 0 21 2 2 2 1 0 11 2

2.

2 2 30 i i 0

2 3 2

4 2 5

1 3.

1 0 0

2 4 0 0 0 0 2 1 0 0 1 2 i 1 0 i

4.

5.

6.

7.

Diagonalice A

y emplee la diagonalizacin hallada para calcular A12.

8. 9.

Si A es invertible y diagonalizable, es A

1

diagonalizable?

Si A y B son diagonalizables con A = P 1 D1P y B = Q 1 D2Q, es A B una matriz diagonalizable, con D1 D2 su matriz diagonal equivalente? Es A + B diagonalizable, con D1 + D2 su matriz diagonal equivalente?

Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas lgebra Lineal Elemental y Aplicaciones

233

234

Aplicaciones de la teora de valores y vectores caractersticosContenidos del mdulo18.1 Ecuaciones en diferencias 18.1.1 Un modelo de crecimiento poblacional 18.2 Procesos de Markov 18.2.1 Modelo de funcionamiento de una mquinaUna de las aplicaciones ms interesantes de los valores caractersticos es poder determinar el comportamiento de un sistema que pasa por varios estados, donde el estado siguiente slo depende de su estado anterior en una etapa avanzada del proceso. El mtodo para hacerlo se debe al matemtico y lingista ruso Andrei Andreyevich Markov (1856-1922) y se conoce como cadenas de Markov.

18

Objetivos del mdulo1. Mostrar aplicaciones a la ingeniera de la teora de valores y vectores caractersticos. 2. Estudiar sistemas dinmicos en crecimientos poblacionales y procesos de Markov.

Preguntas bsicas1. Cmo se conforma la matriz de transicin de un proceso en un sistema dinmico? 2. Analizando los valores caractersticos de la matriz de transicin A en el estudio de una poblacin, cmo se sabe si la poblacin crece o decrece? 3. Qu es un proceso de Markov? 4. Qu es una matriz de probabilidad? 5. Cundo un proceso de Markov alcanza su estado estacionario?

IntroduccinEn esta seccin presentaremos algunas de las aplicaciones ms importantes de la teora de valores y vectores caractersticos. stas son: ecuaciones en diferencias y procesos de Markov.

Vea el mdulo 18 del programa de televisin lgebra Lineal



18.1 Ecuaciones en diferenciasUn proceso que va pasando a travs de diferentes estados cada cierto intervalo de tiempo, esto es, un proceso discreto en el tiempo, se describe usualmente como un sistema de ecuaciones en diferencias.

18.1.1 Un modelo de crecimiento poblacionalEstudiaremos un modelo de crecimiento poblacional para una especie de venados donde se han determinado las siguientes condiciones: 1. 2. El nmero de hembras es igual al nmero de machos. La poblacin se considera dividida en dos grupos de edad que son:Pj , n 1 : poblacin juvenil (inmadura) de hembras en el ao n 1. Pa , n 1 : poblacin adulta de hembras en el ao n 1.

La poblacin juvenil es aquella entre 0 y 1 ao, y la poblacin adulta es la que tiene ms de un ao de edad. El crecimiento de esta poblacin se estudia a travs de las hembras, y haciendo uso de la primera condicin podemos saber cmo va la poblacin en cualquier periodo. 3. Hay una tasa de supervivencia de los venados jvenes que sobrevivirn para ser adultos en el ao siguiente. Para los adultos tambin hay una tasa de supervivencia sobrevivientes para el periodo siguiente. 4. de los adultos

Cada hembra adulta produce, en promedio, k hembras jvenes para el periodo siguiente.

Haciendo uso de la informacin suministrada podemos expresar las poblaciones de hembras jvenes y adultas en el periodo n, as:Pj , n Pa , n kPa , n 1 . Pj , n1

Pa, n 1.

o Pn

APn 1 , donde Pn

Pj , n Pa , n

,A

0

k

, Pn

Pj , n1

1 1

Pa , n

.

Entonces, si P0 es la poblacin inicial de hembras jvenes y adultas, podemos expresar las poblaciones en los periodos siguientes as:P1 AP0 , P2 AP1 A( AP0 ) A2 P0 , P3 AP2 A( A2 P0 ) A3 P0 .

Luego la poblacin en el periodo n est dada por:

236

Mdulo 18: Aplicaciones de la teora de valores y vectores caractersticosPn An P0 .

Determinemos para A sus valores y vectores caractersticos: det ( A I) k 0.

2

k

0, entonces2

2

k,

0, de donde

4 k 4 k

22 1

, con y

y k cantidades positivas.2

4 k

2

2

2

.

Analizando estas expresiones podemos afirmar que:1

0,

2

0 y

1

2

.

A cada valor de

va asociado un vector caracterstico. Si v1 y v2 son los vectores1

caractersticos correspondientes a son LI.

y

2

, respectivamente, entonces v1 y v2

La poblacin inicial P0 se puede expresar como combinacin lineal de v1 y v2 as: P0 Como PnPn

a1v1 a2 v2 .An P0 , entonces An (a1 v1 a2 v2 ) a1n 1

a1 An v1 a2 An v2n 1 1

v1 a2

2

n

v 2 , ya que An v1n

v y An v 2

2

v 2 (teorema 8, parte c, mdulo 16)n

1

n

a1 v1

a2n

2 1

v2 .

Como

1

2

,

2 1

tiende a cero cuando n es grande, entonces (1)

Pn

n 1 1 1

av.

A largo plazo la distribucin de edades se estabiliza y es proporcional a v1. Cada grupo de edad cambiar por un factor1

cada ao.


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas Es importante notar toda la informacin que podemos obtener del clculo de los valores y vectores caractersticos: Una pregunta importante de resolver es: la poblacin crecer o decrecer? Aumenta si1

1, y esta condicin se verifica cuando2

4 k

2 Elevando al cuadrado,2

1,

2

4 k

2

.

4 k

4 4

2

,

4 k

4 4 ,

k

1

.

Supongamos ahora que en esta poblacin de venados se tienen: k Entonces, A luego det ( A 0.8 I) 1 0.6 0.8 4 0.6 ,2

1,

0.6,

0.8 y P0

100 . 200

0

1

0.6 0.8

,

0.8

0.6

0,

(0.8)2 2

1

1.27,

2

0.47.

Sabemos que a la larga la poblacin se estabiliza y se calcula de acuerdo con la ecuacin (1). En consecuencia, la poblacin crecer por un factor aproximado de 1.27. Los granjeros y otras personas del rea no quieren que la poblacin crezca. Pueden controlar la poblacin cosechndola (permitiendo la caza de venados adultos); si h es la proporcin de poblacin cosechada en cada periodo, entonces la proporcin de supervivencia de la poblacin adulta se disminuye en h y la matriz A para el modelo ser: A 0 1 .

0.6 0.8 h

238

Mdulo 18: Aplicaciones de la teora de valores y vectores caractersticos Veamos qu pasa si h = 0.6. En este caso A 0 1 , det ( A I) 1 0.6 0.22

0.6 0.2

0.2

0.6

0

y

0.21

0.04 4 0.6 2

0.88.

As que 1 1 y la poblacin decrecer, luego h = 0.6 es una cosecha demasiado grande que terminar por extinguir la especie. Si queremos que la poblacin permanezca estable, esto es, que no crezca ni desaparezca, el valor caracterstico mayor ( 1 ) debe ser igual a 1. Entonces2 1

4 K

2 (0.8 h)2 2

1, 4 0.6 1,

(0.8 h)

h = 0.4. As que una proporcin de caza igual a 0.4 mantendr estable la poblacin. Ejemplo 1 Una especie animal est clasificada en dos etapas de vida: juvenil (hasta un ao de edad) y adulta. Suponga que las hembras adultas paren una vez al ao un promedio de 1.6 hembras juveniles. Cada ao sobrevive 30% de los juveniles para transformarse en adultos y sobrevive 80% de los adultos. Veamos cmo estara dada la poblacin de esta especie en un periodo cualquiera k. Pj , k Pa , k 0 1.6 Pj , k Pa , k Pj , k Pa , k 1.6 Pa , k 0.3 Pj , k1 1

Pk de donde Pj , k Pa , k Pk

0.8 Pa , k

1

1 1

0.3 0.8 APk 1.

,

Veamos cmo se comporta este sistema, analizando sus valores y vectores caractersticos. det ( A I) 1.6 0.3 0.82

0.8

0.48

0,

Vea en su multimedia de lgebra Lineal el cdigo fuente en MATLAB para ilustrar Aplicaciones valores y vectores propios



0.8Luego1

0.64 4 0.48 22

0.8 1.6 . 2

1.2 y

0.4.

La poblacin crece porque el mayor valor caracterstico de A es 1.2 cuya magnitud es mayor que 1. Determinemos los vectores caractersticos asociados a Para1 1

1.2 y

2

0.4.

1.2, resolvemos (A 1.2I) x = 0. 1.2 0.3 1.6 0.4

, entonces

0.3 x 0.4 y 3x 4 y4 . 3

0

Si x 4 e y 3, entonces x1 Para2

0.4, 0.4 1.6 0.3 1.2

(A + 0.4 I) x = 0.

, entonces 4 1 .

0.4 x 1.6 y 0 4x 16 y o x

4y

Si x

4, y

1 y x2

Si la poblacin inicial P0 la expresamos en trminos de x1 y x2, entonces P0Pn

a1x1 a2 x2 ,An P0 An ( a1x1 a2 x2 ), a1n 1 1

a1 An x1 a2 An x 22

x

a2

2

n

x2.n

0.4 1. Cuando n es grande,

2

0 y Pn1

a1

n 1 1

x.

La poblacin crece con un factor constante igual a

.

La tasa de crecimiento final es de 1.2, que es un 20% anual. El vector caracterstico x1 4 3 muestra que habr cuatro juveniles por cada tres adultos.

En los modelos estudiados se describe un proceso que est determinado por medio de la matriz A. El vector P0 se llama estado inicial del proceso y el vector Pn para n se llama n-simo estado del proceso.

240

Mdulo 18: Aplicaciones de la teora de valores y vectores caractersticos A la matriz A se le conoce como la matriz de transicin del proceso y a la ecuacinPn A n Pn1

se le llama ecuacin matricial en diferencias o sistema dinmico.

Teorema 1 Sea A una matriz diagonalizable n n con vectores caractersticos linealmente independientes v1, v2,..., vn y sus correspondientes valores caractersticos1

,

2

,...,Xk

n

. La solucin del sistema dinmico X kc1k 1

AX k

1

se expresa as:

v1 c2

2

k

v 2 ... cn

n

k

vn ,

donde los coeficientes c1 , c2 ,..., cn son tales que: Xo c1 v1 c2 v2 ... cn vn .

Demostracin Los vectores v1, v2 ,..., vn forman una base del espacio V ( puede expresar en esta base como Xo Como X kX1n

o

n

), luego X 0 se

c1 v1 c2 v 2 ... cn v n .

AX k 1 , entoncesAX 0 , X 2 AX1 , X 2 A2 X 0 ,..., X k Ak X 0 .

LuegoXk Ak (c1 v1 c2 v 2 ... cn v n ) c1 Ak v1 c2 Ak v 2 ... cn A k v n .

Aplicando el teorema 8, mdulo 16, donde se establece que si caracterstico de A,Xk c1k 1

i

es un valor

n i

es un valor caracterstico de An, tenemos:k

v1 c2

2

v 2 ... cn

n

k

vn .

18.2 Procesos de MarkovSean S1, S2 ,..., Sn los estados posibles de un sistema S. Supongamos que S se observa en los tiempos dados T1,T2 ,..., Tn . Una cadena de Markov es un proceso en el cual la probabilidad emprica de que S se halle en un estado particular al tiempo Tk depende solamente del estado en que se halle S en el tiempo Tk 1 . La matriz de transicin en un proceso de Markov es una matriz de probabilidad.Escuche la biografa de Andrei Andreyevich Markov en su multimedia de lgebra Lineal


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas Definicin 1 Sea A una matriz n n. A es una matriz de probabilidad si se cumple que: i. ii.aij 0 para toda i y j. La suma de las componentes en cada columna es 1.

Antes de plantear modelos de procesos de Markov veremos una propiedad importante de las matrices de probabilidad. Teorema 2 Sea An n una matriz de probabilidad; entonces, . Demostracin 1 es un valor caracterstico de A si det ( A 1I ) 0, a11 1 a12 a21 a22 1 an1 an 2 a1n a2n ann 1 1 es un valor caracterstico de A.

A I

.

Como A es una matriz de probabilidad,n i 1

aij

1, para j 1,..., n (la suma sobre cada columna es 1).n

En la matriz A I , la suma sobre cada columna ser a11 1 a12 a21 a22 1 an1n i 1

i 1

aij 1 0.

a1n a2 n ann 1

R1 ( R2 ... Rn )

an 2n i 1

ai1 1 a21 an1

ai 2 1

n i 1

ain 1 a2n

0

0

0 a2n ann 1 0.

a22 1 an 2

a21 a22 1 an1 an 2

ann 1

18.2.1 Modelo de funcionamiento de una mquinaSuponga que una mquina est siempre en alguno de estos tres estados: (1) parada sin reparacin (P), (2) en necesidad de ajustes (N), (3) trabajando bien (T).

242

Mdulo 18: Aplicaciones de la teora de valores y vectores caractersticos Sea: P N 1 A 0 01 1 1 4 2 4

T1 8 9 18 18 18

P N T

con aij : probabilidad de que una mquina que se encuentre en el estado j pase al estado i en el periodo siguiente. Asumimos que la probabilidad de estar en uno cualquiera de los estados al final de un periodo depende slo del estado en que se encontraba la mquina al principio del periodo, o sea, el final del periodo anterior. Sea Xt X1,t X 2,t , donde X i ,t es la probabilidad de que la mquina est en el estado X 3,t

i al principio del periodo t. Entonces AX t -1 Xt .

Si X 0 es la distribucin de probabilidad inicial,AX 0 Xn X1 , AX1 X 2 , AAX 0 A2 X 0 ...

A n X 0 , n 1.

Por ejemplo, si la mquina est trabajando bien al principio del periodo, entonces

X0

0 0 , X1 1

1 0 0

1 1 1

4 2 4

1 18 8 9 18 18

0 0 1

9 8 9

18 18 18

.

Si consideramos una factora donde cada mquina se comporta con una distribucin de probabilidad como muestra X1 , podemos esperar que 1/18 de las mquinas estn paradas, 4/9 necesiten ajustes y 1/2 estn trabajando bien. El comportamiento de la mquina est dado por la matriz A. La secuencia de vectores X1 , X2 ,..., Xn se llama cadena de Markov. Veamos, si A es diagonalizable, cmo calcular An como el producto PD n P 1 .

1 det ( A I) 0 01 2

1

4

1 18 8 18

0,

1

4

9

18



(1

)

1 22

2

8 1 18 4 5 36 0, 5 6 0,

0,

(1 (1

) )

1 6

1

1,

2

1 , 6

3

5 . 6

1Para

1, resolvemos ( A I ) v

0, de donde v1

0. 0

Para

1/ 6, se determina v2

1 4 . 3 7 4 (verifquelo). 3

Para Luego

5 / 6, se encuentra v 3

P

1 0 0

1 4 3

7 4 , P 3

1

1 0 0

11 1 8 8

11 1 6 6

, D

1 0 0

01 6

0 0 .5 6

0

Si se quiere saber el estado del proceso despus de cinco periodos, habiendo comenzado con las mquinas trabajando bien, entonces

X5

A X0

5

0 A 0 , 15

1 A5

1 4 3

7 4 3

1

01 5 5

0 0 ( 6 )5

1 0 0

11 1 8 8

11 1 6 6

PD P

5

1

0 0

0 ( 6) 0 0

1 0.648 0.531 0 0.201 0.268 , 0 0.151 0.201 1 0.648 0.531 0y X5

0.531 0.268 . 0.201

0 0.201 0.268 0 0 0.151 0.201 1

244

Mdulo 18: Aplicaciones de la teora de valores y vectores caractersticos Despus de cinco periodos la probabilidad de que las mquinas estn trabajando bien es de aproximadamente 0.2, esto es, aproximadamente 20%; poco menos del 27% necesita ajuste y aproximadamento 53% estn paradas. Se quiere saber si existe alguna distribucin que se mantenga de un periodo a otro, esto es, si Xt1

X t , Xt

1

AX t

Xt . 1 verifica esta condi-

Vemos que el vector de probabilidad correspondiente a cin.

Cuando el proceso se comporta de acuerdo con esta distribucin, se dice que ha

alcanzado su estado estacionario. Este vector es

1 0 0

; esto es, cuando todas las

mquinas estn en el estado (1), o sea, paradas sin reparacin, ya no ocurre ningn cambio de estado de un periodo a otro. A esta situacin se llega cuando han transcurrido n periodos con n grande. El objetivo del anlisis de Markov es calcular la probabilidad de que un sistema se encuentre en un estado en particular en un tiempo futuro y determinar el comportamiento del sistema a largo plazo. Teorema 2 Sea un proceso de Markov dado por la matriz A y la cadena X1, X2 ,..., Xk ,... . Si A es diagonalizable y todo valor caracterstico de A distinto de 1 posee mdulo menor que, 1 entonces: a. b. La sucesin X1, X2 ,..., Xk ... cuando k tiende a infinito converge al lim X kk

X .1, es

X es un vector del espacio caracterstico de A asociado con decir, AX X .

Demostracin a. Como A es diagonalizable, la solucin X k de la ecuacin en diferencias o sistema dinmico X kXk C1k 1

AX k 1 est dada pork r

v1 C2

k 2

v 2 ... Cr

vr

Cr

k 1 r 1

vr

1

... Cn

k n

v n (teorema 1).

Supongamos que el valor caracterstico r, y queXkr 1

1 tiene multiplicidad algebraica

,

r 2

...

n

son menores que 1; entonces:Crk 1 r 1

C1 v1 C2 v 2 ... Cr v r

vr

1

... Cn

k n

vn .

Ahora, para cada i

r 1,..., n tenemos que:


Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicaslimk k i

0 ya que

i

1.

Luegok

lim Xk

C1 v1 C2 v 2 ... Cr vr ... X . 1. 1.

b.

Los vectores v1, v2 ,..., vr son vectores caractersticos asociados con Por tanto, X es un vector del espacio caracterstico de A asociado con X se conoce como el estado estacionario del sistema.

Ejemplo 2 Cada ao 5% de la poblacin de la ciudad se muda a los suburbios y 3% de la poblacin de los suburbios se muda a la ciudad. Suponga que inicialmente 60% de la poblacin vive en la ciudad y 40% en los suburbios (figura 18.1). Veamos cul es la distribucin de la poblacin despus un ao.

Figura 18.1

Sean Pc , n y Ps , n las poblaciones de la ciudad y los suburbios en el ao n. 0.6 0.4 Pc ,0 Ps ,0 0.4 Pc ,1 Ps ,1 . Pc ,1 Ps ,1 0.95 Pc ,0 0.05 Pc ,0 0.03Ps ,0 0.97 Ps ,0

P0 P1

P1 0.582 0.418

0.95 0.03 0.6 0.05 0.97

Despus de un ao, aproximadamente, 58% de la poblacin vive en la ciudad y 42% en los suburbios. Se quiere conocer la distribucin de poblacin que permanezca a travs del tiempo. Pk1

Pk

APk . 1.

Pk es un vector caracterstico correspondiente a 0.95 1 0.05 Si x3, y

0.03 0.97 1

0.05 0.05 3 . 5

0.03 0.03

, entonces

0.05 x 0.03 y 5x 3 y

5 , entonces v

246

Mdulo 18: Aplicaciones de la teora de valores y vectores caractersticos Se debe determinar dentro de los vectores de E1 un vector de probabilidad (la suma de sus componentes debe ser 1). v1 3/ 8 5 / 8 es un vector de estado estacionario.

Se quiere conocer la poblacin despus de k aos. Averigemos los valores caractersticos de A. 0.95 0.052

0.03 0.970.92 0,

(0.95

)(0.97

) 0.0015

0,

1.92

(

1)(

0.92)

0,2

1

1,

2

0.92.

Determinemos un vector caracterstico correspondiente a 0.95 0.92 0.03 0.05 0.97 0.92 Luego v2 1 1 . 0.6 0.4 a1 3 5 a2 1 1 ,

0.92.

0.03 0.03 , 0.05 0.05 entonces

0.03x x

0.03 y y

P0 3 5Pk

a1v1 a2 v2 , 1 0.6 1 0.4a1 1k v1 a2k 2

1 0 1/ 8 . 0 1 9 / 40v2 ,

1 3 8 5 Cuando k,

1 9 (0.92)k . 1 40(0.92) k 0 y Pk

3/ 8 . 5/ 8

A largo plazo la poblacin alcanza el estado estacionario que es el vector de probabilidad correspondiente a 1. La poblacin se estabiliza cuando 3/8 de ella vive en la ciudad y 5/8 en los suburbios.


Mdulo 181. La poblacin de una cierta variedad de peces aumenta de manera que el crecimiento en cualquier ao es el doble del crecimiento en el ao anterior. Si inicialmente se tenan 50 peces y despus del primer ao se contabilizaron 70 peces: a. b. c. 2. Encuentre el tamao de la poblacin de peces en cualquier ao. Encuentre el tamao de la poblacin despus del quinto ao. Encuentre el ao en que la poblacin de peces alcanza 2800 individuos.

Suponga que hay tres centros principales de camiones mdese usted mismo. Cada mes, la mitad de los que estn en Boston y en Los ngeles van a Chicago, la otra mitad permanece donde est y los camiones de Chicago se dividen igualmente entre Boston y Los ngeles. Si inicialmente la compaa tena x0, y0, z0 camiones en Boston, Chicago y Los ngeles, respectivamente, a. b. Encuentre la distribucin de camiones de la compaa en las tres ciudades, para cada mes. Determine cul ser a largo plazo la distribucin de camiones de la compaa.

3.

Cada ao 1/10 de la gente de Estados Unidos que vive fuera de California se muda dentro y 2/10 de la gente que vive dentro de California se muda fuera. Si inicialmente y0 y z0 eran los tamaos de las poblaciones fuera y dentro de California: a. b. c. d. Encuentre, para el k-simo ao, el tamao de la poblacin que vive fuera (dentro) de California. Puede modelar este problema como un proceso de Markov? Encuentre la probabilidad de que un individuo de Estados Unidos, elegido al azar, viva fuera (dentro) de California en el k-simo ao. Encuentre la distribucin de la poblacin americana a largo plazo.

4.

Suponga que hay una epidemia en la que cada mes se enferma la mitad de los que estn sanos y muere la cuarta parte de los que estn enfermos. Suponga que inicialmente haba s0 y e0 individuos sanos y enfermos, respectivamente, y ningn individuo haba muerto. a. b. c. Encuentre la distribucin de la poblacin para el k-simo mes y diga cul es la probabilidad en ese mes, para cada uno de los siguientes eventos: estar sano, estar enfermo, estar muerto. Puede modelar este problema como un proceso de Markov? Encuentre la distribucin de la poblacin a largo plazo.

5.

Un curso de Qumica se imparte en dos secciones. Si cada semana dejan el curso 1/ 4 de los que estn en la seccin A y 1/ 3 de los que estn en la seccin B, y 1/6 de cada seccin se transfiere a la otra:/ a. b. A largo plazo, cul ser la distribucin de alumnos? Puede modelar el problema como un proceso de Markov?

Captulo 4: Valores caractersticos, vectores caractersticos, diagonalizacin y formas cannicas248

Para resolver a y b suponga que inicialmente tenan x0 e y0 estudiantes en las secciones A y B y ningn estudiante fuera del curso. 6. El crecimiento de un cultivo de bacterias en un medio nutritivo se observa cada dos horas y cada vez se encuentra que la poblacin ha crecido 30% con respecto a la vez anterior. a. b. 7. Denote por Pn la poblacin de bacterias despus de 2n horas y describa este proceso de crecimiento por medio de una ecuacin. Dado que la poblacin inicial es 1000 bacterias, determine P2 y P4. Pn 1/ 5 Pn . Si

En un estudio de enfermedades infecciosas se mantiene un registro de brotes de sarampin en un colegio particular. Se estima que la poblacin Pn infectada en la n-sima semana est dada por la ecuacin Pn P0 = 0 y P1 = 1000: a. b. c. Encuentre la poblacin de infectados en la n-sima semana. Se puede modelar el problema como un proceso de Markov? Cuntos infectados se tendrn despus de transcurridas seis semanas?2 1

8.

Una poblacin de conejos criados en un laboratorio tiene las siguientes caractersticas: La mitad de los conejos sobrevive el primer ao. De stos, la mitad sobrevive el segundo ao. La duracin de la mxima vida es tres aos. Durante el primer ao los conejos no producen descendencia. El nmero medio de descendencia es seis durante el segundo ao y ocho durante el tercer ao. Clase de primera edad Clase de segunda edad Clase de tercera edad 0 < edad < 1 1 < edad < 2 2 < edad < 3

Si actualmente la poblacin consta de 24 conejos en la clase de la primera edad, 24 en la clase de la segunda edad y 20 en la tercera edad, cul ser la distribucin de conejos cuando hayan transcurrido diez aos? 9. Una compaa de robtica quiere fabricar un brazo que deber recoger partes de una banda transportadora para colocarlas en otra banda. Ocasionalmente el brazo falla, pero el robot est diseado para que en caso de falla se activen circuitos secundarios. En las observaciones se descubre que si el brazo falla en una ocasin, tendr xito la siguiente vez 97% de las veces. Si el brazo tiene xito en cierto intento, los circuitos secundarios se desactivarn y el brazo fallar la siguiente vez apenas 2% de las veces. Cumplir el brazo con el requerimiento del cliente de que trabaje exitosamente 98% de las veces? En un da dado, un estudiante est sano o bien est enfermo. De los estudiantes que estn sanos hoy, 95% estar sano maana. De los estudiantes que estn enfermos hoy, 55% estar enfermo maana. a. b. c. d. Cul ser la matriz para esta situacin? Suponga que el lunes 20% de los estudiantes est enfermo. Qu fraccin o porcentaje de los estudiantes es probable que est enfermo el mircoles? Si un estudiante est bien hoy, cul ser la probabilidad de estar bien dentro de dos das? Cul es la probabilidad de que despus de muchos das una persona dada est enferma?

10.

lgebra Ejercicios Lineal Elemental y Aplicaciones Ejercicios del mdulo 18249

algebra lineal

Documents