# EQUIPO: ______INTEGRANTES:

CAMACHO CAROLINACORTES VALENCIA ARTUROGARCÍA HERNÁNDEZ HOMARMORENO CARMONA VÍCTOR

TEMAS:1.4 FORMA POLAR Y EXPONENCIAL DE UN NUMERO COMPLEJO

1.5 TEOREMA DE DE MOIVRE, POTENCIAS Y EXTRACCION DE RAICES DE UN NUMERO COMPLEJO

1.6 ECUACIONES POLINOMICAS

DEFINICIÓN Se llama módulo de un número complejo z a la

longitud del vector mediante el que dicho número se representa.

Se designa por .

DEFINICIÓN Se llama argumento de un número complejo z al

ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg (z).

Sean r y θ coordenadas polares del punto (x, y) que corresponde a un número complejo

no nulo z = x + iy. Como

x = r cos θ e y = r sen θ

z puede ser expresado en forma polar como

z = r(cosθ + i senθ).

En análisis complejo, no se admiten r negativos; sin embargo, como en el

Cálculo, θ tiene infinitos valores posibles, incluyendo valores negativos.

FORMA EXPONENCIALLA ECUACIÓN

EIΘ = COS Θ + I SEN Θ

QUE DEFINE EL SIMBOLO EIΘ, O EXP (IΘ), PARA TODO VALOR REAL DE Θ, SE CONOCE COMO FÓRMULA DE EULER. SI ESCRIBIMOS UN NÚMERO COMPLEJO NO NULO EN FORMA POLAR

Z = R(COS Θ + I SEN Θ)

LA FÓRMULA DE EULER PERMITE EXPRESAR Z MÁS COMPACTAMENTE EN FORMA EXPONENCIAL:

Z = REIΘ

FÓRMULA DE MOIVRE

Aplicando la propiedad de la potencia de un

número complejo, se obtiene la siguiente fórmula

llamada Fórmula de Moivre:

(cos a + i sen a)n = cos na + i sen na

que es útil en trigonometría, pues permite hallar

cos na y sen na en función de sen a y cos a.

Esta igualdad recibe el nombre de fórmula de

Moivre, en honor del matemático francés Abraham

de Moivre (1667-1754).

UNA APLICACIÓN DE LA FÓRMULA DE MOIVRE

La fórmula de Moivre permite obtener de forma sencilla fórmulas

trigonométricas que expresan el seno y el coseno de un ángulo

múltiple en función del seno y coseno del ángulo simple. Para ello

no hay más que tener en cuenta la propia fórmula de Moivre

DEFINICIÓN

• todos los polinomios de grado n tienen exactamente nsoluciones en el campo complejo, esto es, tieneexactamente n complejos z que cumplen la igualdadp(z)=0, contados con sus respectivas multiplicidades. Aesto se lo conoce como Teorema Fundamental delÁlgebra, y demuestra que los complejos son un cuerpoalgebraicamente cerrado. Por esto los matemáticosconsideran a los números complejos unos números másnaturales que los números reales a la hora de resolverecuaciones.

TIPOS DE ECUACIONES POLINÓMICAS

Ecuaciones de primer grado o lineales

• Son del tipo ax + b = 0 , con a ≠ 0, ó cualquier otraecuación en la que al operar, trasponer términos ysimplificar adoptan esa expresión.

• (x + 1)2 = x2 - 2

• x2 + 2x + 1 = x2 - 2

• 2x + 1 = -2

• 2x + 3 = 0

Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas

• Son ecuaciones del tipo ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de segundo grado incompletas

ax2 = 0

ax2 + b = 0

ax2 + bx = 0

Ecuaciones de tercer grado

• Son ecuaciones del tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de cuarto grado

• Son ecuaciones del tipo ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, cona ≠ 0.

Ecuaciones bicuadradas

• Son ecuaciones de cuarto grado que no tiene términosde grado impar.

• ax4 + bx2 + c = 0, con a ≠ 0.

Ecuaciones de grado n

• En general, las ecuaciones de grado n son de la forma:

• a1xn + a2x

n-1 + a3xn-2 + ...+ a0 = 0

Ecuaciones polinómicas racionales

• Las ecuaciones polinómicas son de la forma , donde P(x)y Q(x) son polinomios.

Ecuaciones polinómicas irracionales

• Las ecuaciones irracionales son aquellas

que tienen al menos un polinomio bajo

el signo radical.

Ecuaciones no polinómicas

Ecuaciones exponenciales

• Son ecuaciones en la que la incógnita aparece en el exponente.

Ecuaciones logarítmicas

• Son ecuaciones en la que la incógnita apareceafectada por un logaritmo.

Ecuaciones trigonométricas

• Son las ecuaciones en las que la incógnita está afectadapor una función trigonométrica. Como éstas sonperiódicas, habrá por lo general infinitas soluciones.