algebra lineal

Harold Rodríguez 3G2 Algebra lineal

ALGEBRA LINEAL UNIDAD 4 -5

Espacios vectoriales, Transformaciones lineales

Maestro: Ing. En sistemas Pedro Pablo Cetina

22 DE JULIO DE 2013

Contenido4.1 Definición de un espacio vectorial.........................................................................................2

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades........................................................3

4.3 Combinación lineal, independencia lineal............................................................................4

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.............................................0

4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades................................................3

4.6 Base ortonormal,proceso de ortonoralización de Gram- Schmidt.....................................3

Segundo paso.............................................................................................................................5

Obtener un vector U2 ortogonal a U1:.......................................................................................5

Cuarto paso................................................................................................................................6

5.1 Introducción a las transformaciones lineales.......................................................................7

5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal....................................................................9

Harold Rodríguez Lugo

1

4.1 Definición de un espacio vectorial

En álgebra abstracta, un espacio vectorial es una estructura algebraica creada a partir de un conjunto no vacío, una operación interna (llamada suma, definida para los elementos del conjunto) y una operación externa (llamada producto por un escalar, definida entre dicho conjunto y otro conjunto, con estructura de cuerpo ).

A los elementos de un espacio vectorial se les llama vectores y a los elementos del cuerpo, escalares.

Satisfacen diez axiomas donde X,Y,Z vectores:

1) Si X pertenece a V y Y, entonces X+Y pertenece a V

(Cerradura bajo la suma).

2) Para todo X,Y,Z en V, (X+Y)+Z=X+(Y+Z)

(Ley asociativa de la suma de vectores)

3) Existe un vector 0 pertenece a V tal que para todo x que pertenece a V, X+0=0+X=X.

(Identico Aditivo)

4) Si X pertenece a V, Existe un vector -X en V tal que X+(-X)=0

(Inverso Aditivo de X)

5) Si X y Y estan en V, entonces X+Y=Y+X

(Ley de conmutatividad)

6) Si X pertenece V y t es un escalar, entonces t*X tambien pertenece a V


2

(Cerradura bajo la multiplicación por un escalar)

7) Si X y Y pertenecen a V y k es un escalar, entonces k*(X+Y)=k*X+k*Y

(Primera de distributiva)

8) Si X y Y estan en V y t y k son escalares entonces (t+k)*X=tX+kX

(Segunda ley distributiva)

9) Si X pertenece y k y t son escalares,entonces k*(t*X)=(k*t)*X

(Ley asociativa de multiplicacion por un escalar)

10) Para cada vector X que pertenece a V, 1X=X.

4.2 Definición de subespacio vectorial y sus propiedades.

Sea U un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Un subconjunto no vacío S de U es un subespacio vectorial de U si y si olo si S es un espacio vectorial sobre IK respecto a las leyes de composición heredadas de U

Ejemplo:

Calcular bases de los subespacios de R

4 S, T, S + T y S ∩ T, siendo S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0}

y T =< (1;1;2;1);(2;3; −1;1) >.

Solución. Tenemos

S = {(x1; x2; x3; x4)|x1 − x2 = 0} = {(x1; x1; x3; x4)|x1; x2; x3 ∈ R} =< (1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1) >

luego un sistema generador de S es {(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1)}.

Ahora,

(0;0;0;0) = α (1;1;0;0) + β (0;0;1;0) + α= β=o sea que es libre, resulta que B S = {(1;1;0;0);(0;0;1;0);(0;0;0;1)} es una base de S.


3

Un sistema generador de T es (1;1;2;1);(2;3; −1;1). Pero es también libre, ya que (0;0;0;0) =

y la única solución al sistema anterior es , Por tanto, BT =

{(1;1;2;1);(2;3; −1;1)} es una base de T.

4.3 Combinación lineal, independencia lineal

Dados dos vectores: y , y dos números: a y b, el vector au+

bv se dice que es una combinación lineal de y .

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares.

V= a1V1 + a2V2 …+ anVn

Ejemplo:

Sean x= (1,2) , y= (3,-1); halla el vector que sea la

combinación lineal de Z= 2X + 3Y

Z=2(1,2) + 3(3,-1)= (2,4) + (9,-3)= (11,1)

Independencia lineal:

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal, de no ser linealmente dependientes entonces son linealmente independientes.


4

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes, los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales, es decir:

U 1 U 2 U 3V 4 V 2 V 3W 1 W 2 W 3

≠ 0

Ejemplo:

Dado S = [(1,1,0), (0,2,3), (1,2,3)

(0,0,0)= a(1,1,0) + b(0,2,3) + y(1,2,3)

(0,0,0)= (a,a,0) + (0,2b,3b) + (y,2y,3y)

(0,0,0)= (a+y,a+2b+2y,3b+3y)

a+y=0 a+2b+2y=0 3b+3y=0

1 0 11 2 20 3 3

000

F2-F1 1 0 10 2 10 3 3

000

F2/2 1 0 10 1 1/23 3 3

000

F3-3f2 1 0 10 1 1/20 0 3/2

000

2/3 F11 0 10 1 1/20 0 1

000

Como existe una sola solución S es independiente


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Harold Rodríguez 3G2 Algebra lineal

¿A qué se le llama base?Se llama base de un espacio (o subespacio) vectorial a un sistema generador de dicho espacio o subespacio, que sea a la vez linealmente independiente.

Propiedades de las bases:

1. Una base de S es un sistema generador minimal de S (lo más pequeño posible).

2. Además es un conjunto independiente maximal dentro de S (lo más grande posible).

3. Una base de S permite expresar todos los vectores de S como combinación lineal de ella, de manera única para cada vector.

Ejemplos de bases:

La base canónica (o base natural, o base estándar) de ℜn:

e1 = (1,0,…,0)

e2 = (0,1,…,0)

........

en = (0,0,… ,1)

- Son linealmente independientes porque forman un determinante no nulo. Son sistema generador de ℜ n porque todo vector (a1,a2,…,an)∈ ℜn se puede expresar como combinación lineal de ellos:

(a1, a2,…an)= a1(1,0…,0)+ a2(0,1,… ,0)+ . . . + an(0,0,… ,1)

¿A qué se le llama dimensión?

Todas las bases de un mismo espacio o subespacio tienen el mismo número de vectores. Se llama dimensión de dicho espacio o subespacio.

4.4 Base y dimensión de un espacio vectorial, cambio de base.

Por tanto, la dimensión es el máximo número de vectores independientes que podemos tener en el espacio o subespacio. En otras palabras, es el máximo rango que puede tener un conjunto de vectores de dicho espacio

Es también el rango de cualquier sistema generador de dicho espacio.

Ejemplo de dimensión:

P2 = {polinomios de grado≤ 2 con coeficientes reales} tiene dimensión 3. Una base de P2 es, por ejemplo, la formada por los tres polinomios siguientes:

(1+0x+0x2), (0+x+0x2), (0+0x+x2)

(es decir, los polinomios 1, x, x2).

Otra base: 1+2x+3x2, 4+x2, 3–x–5x2.

Propiedades de la dimensión:

Significado físico de la dimensión: el espacio tiene dimensión 3, los planos dimensión 2,

las rectas dimensión 1, el punto dimensión 0. El subespacio {0} es el único de dimensión 0.

La dimensión de un subespacio en ℜn , coincide con el número de parámetros libres en su forma paramétrica. (1 parámetro=recta, 2 parámetros=plano…) Si S y T son subespacios y S está contenido en T, entonces dim S

≤ dim T. Además, si se da la igualdad, dim S = dim T, entonces ambos

espacios han de coincidir. El rango de una familia de vectores, es igual a la dimensión del

subespacio que generan. Es decir: si v1,v2,…vn generan un cierto subespacio S, y si el

rango de dicho conjunto es r, entonces dim S = r. (Si un cierto conjunto de vectores tienen rango 2, entonces

generan un plano; etc.)

Cambio de base

En un espacio vectorial V, dadas dos bases B y B’ , se llama matriz de cambio de base (o de cambio de coordenadas) de B a B’ a la matriz que contiene en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B expresados en función de la base B’.

Conocidas las coordenadas de un vector en base B, nos permitirá hallar las coordenadas de dicho vector en base B’. En efecto, sean


1

(a1, a2, … an) las coordenadas de un vector en base B, y sea P la matriz de cambio de base de B a B’. Entonces:

P. a1a2an =

b1b2bn o lo que es lo mismo

a1a2an = P-1

b1b2bn

Obteniéndose así (b1, b2, . . . bn) las coordenadas del vector en base B’.

Ejemplo:

Consideremos en ℜ2 las dos bases siguientes:

B ={(2,3), (1, –1)}

B’ ={(1,0), (0,1)}

Construyendo la matriz de cambio de base de B a B´:

Para ello debemos expresar los vectores de la base B en función de la base canónica B’.

Para ello debemos expresar los vectores de la base B en función de la base canónica B’.

(2,3)= 2(1,0)+3(0,1)= (2,3)

(-1,1)= 1(1,0)-1(0,1)= (1,-1)

Introduciendo estas coordenadas en las columnas de una matriz, tendremos la matriz de cambio de base de B a B’:

P= 2 13 −1


4.5 Espacio vectorial con producto interno y sus propiedades.

2

El espacio vectorial complejo V se conoce como un espacio con producto interior si para cualquier par de vectores u y v en V, existe un único número complejo (u, v), llamado el producto interior de u y v, tal que si u, v y w están en V y si α ∈ C, entonces

Propiedades:

i. (v, v) ≥ 0ii. (v, v) = 0 si y sólo si v = 0.iii, (u, v +w) = (u, v)+ (u, w)iv. (u + v, w) = (u, w)+(v, w)v. (u, v) = (v, u)vi. (αu, v) = α(u, v)vii. (u, αv) = α(u, v)La barra en las condiciones (v) y (vii) denota el conjugado complejo.Ejemplo:

Dado los vectores P y R donde

P=8n+3m-5L y R= -3n-6m+2L

P.R= (8,3,-5).(3,-6,2)= (8)(3)+(3)(-6)+(-5)(2)

= 24-18-10=-4

Los vectores de una base pueden ser mutuamente perpendiculares, o pueden no serlo. Cuando son mutuamente perpendiculares se dice que es una base ortogonal.

Recuérdese que dos vectores u y v en son ortogonales si y sólo si u·v = 0.

Si se tiene un conjunto de tres vectores u, v y w en , y se quiere verificar que sean un conjunto ortogonal, se necesitan realizar todas las combinaciones de los productos punto:

(uv,uw,vw)


4.6 Base ortonormal,proceso de ortonoralización de Gram- Schmidt.

3

Ejemplo: Sean los vectores u = (1, 2, 1), v = (4, 0, -4) y w = (1, -1, 1), ¿son un conjunto ortogonal? Al realizar los productos punto

u·v= 0,u·w= 0,v·w= 0nos damos cuenta de que todos son iguales a cero, por lo que el conjunto de vectores es ortogonal.

Proceso de ortonormalización de Gram-Sscmidt

Es posible transformar cualquier base en (no ortogonal y, por lo tanto, no ortonormal) en una base ortonormal usando el proceso de ortonormalizaciónde Gram – Schmidt.

Las fórmulas para este proceso incluyen normalizaciones (vectores unitarios), así como proyecciones de un vector sobre otro para obtener vectores ortogonales.Fórmula: Normalizar U3:

Primer paso:Obtener un primer vector unitario U1:

Segundo paso.Obtener un vector U2 ortogonal a U1:

Tercer paso.Normalizar U2:

Cuarto paso.Obtener un vector U3 ortogonal a U1 y a U2:


4

Quinto paso.Normalizar U3:

Ejemplo

Considere los vectores V1 = (1, 0, 1), V1 = (0, 1, 1) y V1 = (1, 0, 0) base de . Transformar esta base en una base ortonormal por el proceso de Gram – Schmidt.

Primer paso.

Obtener un primer vector unitario U1:

Segundo paso.Obtener un vector U2 ortogonal a U1:

Tercer paso.

Normalizar U2:


5

Cuarto paso.Obtener un vector U3 ortogonal a U1 y a U2:

Quinto paso.

Normalizar U3:

Finalmente, el conjunto de vectores U1, U2, y U3 es una base ortonormal de .


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¿Qué son las transformaciones lineales?

Una transformación lineal, TL, es una función, correspondencia, asignación o transformación asociada a un sistema lineal de ecuaciones por medio de una matriz, es decir, Sean V y W vectores reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v є V un vector único T v є W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α.

T(u+v)=Tu+Tv y T(αv)=αTv

Las transformaciones lineales tienen las siguientes propiedades:

Sea una transformación lineal T:V . W Entonces para todos los vectores u,v,v1,v2…,vn en V y todos los escalares α1, α2,…, αn.

T(0)=0 T(u-v)=Tu-Tv T(α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 +…+ αn vn )= α1 Tv1 + α2 Tv2 + … + αn Tvn.


5.1 Introducción a las transformaciones lineales

7

Las TL pueden descomponerse, ponerse en serie, una tras otra y la consecuencia es que la composición de las TL es otra TL. La composición de las TL genera un producto entre matrices de tal forma que el producto de dos matrices da una matriz que representa la matriz de la TL compuesta. Existen dos tipos de transformaciones de especial interés, la transformación lineal de espacios vectoriales entre sí mismos y la transformación lineal de un espacio entre el espacio unidimensional.

Ejemplo:

Sea el sistema de ecuaciones lineales:

3x + 4y= 7

5x + 3y=9

Rescribiendo el sistema de ecuaciones lineales:

3+¿ 45+¿3

xy = 7

9

Haciendo= 3+¿ 45+¿3

, Asignando a la matriz M una función con propiedades

especiales, llamada TL, transformación Lineal. Una función T de clase TL, de la matriz M es.

T xy = 3+¿ 4

5+¿3 xy = 3 x+¿4 y

5 x+¿3 y

T emplea la dupleta xy y la transforma enla dupleta 3 x+¿4 y

5 x+¿3 y , debido

a que las dupletas están en R2, entonces:

T((x,y))=T(x,y)=(3x+4y,5x+3y)

El conjunto sobre el cual opera TL se le llama dominio y el conjunto en el cual caen los resultados de la transformación se denomina como codominio.

Resolver el Sistema de Ecuaciones Lineales significa exigir encontrar (x,y) tal que M(x,y)=(7,9)= B . Donde M es la matriz o TL asociada al sistema de ecuaciones lineales.


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Sea una transformación lineal T:Rn Rm

El conjunto de vectores que se apachurran totalmente por T se llama espacio nulo, núcleo o kernel de T , denominado nu T, y su dimensión se denomina nulidad. El conjunto formado por todas las imágenes de T se denomina el espacio imagen, denominado Im T, y su dimensión se denomina rango. Esto es:

nulidad de T = v(T) = dim nu T

rango de T = p(T) = dim Im T

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T:V W

Una transformación lineal,entonces.

1.- El núcleo de T, denominado nu T, está dado por.

Un T = vE V: TV=0

2.- La imagen de T, denominada Im T, está dado por.

Im T= wE W: w=Tv para alguna vE V

Adicionalmente, si: T:V W

Si A es una matriz de m x n y T:Rm Rn está definida por:

Tx=Ax

Entonces, T es una transformación lineal donde Para toda transformación lineal de Rn en Rm una matriz A de m x n tal que:

Para todo x є Rn, de esta manera, es posible determinar el núcleo, la imagen, la nulidad y el rango de una transformación lineal de Rn en Rm


5.2 Núcleo e imagen de una transformación lineal

5.3 Matriz de una transformación lineal

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en Rm determinando el núcleo y la imagen de la matriz correspondiente.

Además al conocer que Tx=Ax. Es posible evaluar T x para cualquier x

En Rn en R mediante multiplicación de matrices.

Finalmente, cualquier transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar mediante una matriz.

Teorema 1

T:Rm Rn Entonces existe una matriz única de mxn tal que:

T x = A x para toda v є Rn.

Teorema 2

Sea AT. Entonces, la matriz de transformación correspondiente a la transformación lineal T.

1.- Im T = Im A = CAT

2.- p(T) = p(AT)

3.- nu T = NA

4.- v(T) = v(AT)

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Reflexión

Algunas orientaciones deseables para los objetos tridimensionales no pueden ser obtenidas usando solamente giros. Con la reflexión se consigue un efecto "espejo", de modo que los objetos se ven reflejados en un plano.


5.2 aplicaciones de las transformaciones lineales reflexión dilatación contracción y rotación

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Ejemplo:

En este caso, queremos averiguar cómo está definida la transformación

T de R2 en R2 que cada vector U=(u1, u2) lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector T(U)=(v1,v2)

En este caso, la situación es más sencilla ya que claramente tenemos dos triángulos rectángulos que son congruentes, de donde T queda definida como sigue:

Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x, y es lineal, ya que:

Rotación por un ángulo Ө Sea 0 ≤ Ө < 2π un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R^2 en R^2 que gira cada vector U=( U1,U2) un ángulo θ para obtener un vector T(u)=(v1,v2) tenemos que :

v1= ||T(u)||٠cos(α+Ө) = ||(u)||٠(cos α ٠ cos Ө - sen α ٠ sen Ө ) v2= ||T(u)||٠sen(α+Ө) = ||(u)||٠(sen α ٠ cos Ө - cos α ٠ sen Ө ) Distribuyendo y usando el hecho de que U1=||u|| cos α y U2=||u||

sen α tenemos que: v1= U1 cos Ө - U2 sen Ө v2= U2 cos Ө + U1 sen Ө Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación T:R^2 → R^2 tal que: T (U1 , U2) = (U1 cos Ө - U2senӨ,U2 cos Ө + U1 sen Ө ) Esta transformación se llama la rotación por un ángulo Ө


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y es lineal, ya que: T [(U1 , U2)+ λ(v1 , v 2)] = T (u1 + λ v1 , u2 + λ v2 ) = ((u1 + λ v1)cos Ө - (u2 + λ v2) sen Ө, (u2 + λ v2) cos Ө + (u1 + λ v1) sen Ө) = (u1 cos Ө - u2 sen Ө, u2 cos Ө + u1 sen Ө) + λ (v1cos Ө - v2 sen Ө , v2 cos Ө + v1 sen Ө) = T(u1 , u2) + λ T (v1 , v2)

Rotación

En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T de en qué cada vector lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector.

Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original.Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/2Haciendo la grafica el punto disminuye en el eje horizontal.Ejemplo dilatación o expansiónUna dilatación es una transformación que incrementa distancias.Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K=2Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1)Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1)

Bibliografía


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http://personales.unican.es/camposn/espacios_vectoriales2.pdf

http://itsavbasicas.blogspot.com/2012/05/45-espacio-vectorial-con-producto.html

http://sureyma.blogspot.com/2009/10/espacios-vectoriales.html

http://www.ma.uva.es/~antonio/Industriales/Apuntes_09-10/MatI/05_Tema-04_09-10.pdf

http://dcb.fi-c.unam.mx/users/aliciapr/apuntes/Algebra%20Lineal.pdf

http://fcm.ens.uabc.mx/~matematicas/algebralineal/IV%20EspVect/al_vectores_09basesort_total.htm

https://docs.google.com/viewer?a=v&q=cache:gTRPTz3Yy0UJ:tamateco.design.officelive.com/Documents/TransformacionesLineales.ppt+Aplicaci%C3%B3n+de+las+transformaciones+lineales:+reflexi%C3%B3n,+dilataci%C3%B3n,+contracci%C3%B3n+y+rotaci%C3%B3n.&hl=es&gl=mx&pid=bl&srcid=ADGEESjxyL8JNq4Z4MSUweeRlCHuXpLT27o5IhJsw8Bmjn5ApRmDhfeAIyw1c9YL5DmZwZzeFi1cNouAfsKeNjajBOPuAxZur-BRCuU8k-_CGlxJmf5OVFkQDib-ZC9kynkCr9j_dTPa&sig=AHIEtbSAZVdMk5D4BDRYrQg99JNJMI7_5w


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