algebra lineal 2

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Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 1 Nombre del alumno (a): Araceli Cruz Lpez. Modulo: Algebra Lineal. Profesor (a): Ing.Ma. Marlen Uribe Alvarado. Especialidad: Ingeniera en Gestin Empresarial. Grado: 3er. Semestre. Grupo: 205 D. Observaciones: ____________________________________________________________________________________________________________ Fecha deentrega: 23 de Octubre de 2011. Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 2 ndice 2.1 Matrices y Determinantes..4Orden de una matriz, elemento Genrico5 Notacin de una matriz..5 Matices iguales6 2.2 Operaciones con Matrices...7 Suma de matrices7 Restas de Matrices..8 Multiplicaciones de una matriz por un numero..8 Multiplicacin de matriz..9 Producto por un punto9 Propiedades de la Multiplicacin.9 2.3ClasificacindeMatrices(Matricesfila,matrizcolumna,matrizcuadrada,matriz transpuesta,matrizsimtrica,matrizantisimtrica,matrizdiagonal,matrizescalar,matriz deidentidad,matriztriangrular,matrizsuperior,matrizinferior,matrizperidica,Matriz Nilpotente, matriz Idempotente, matriz involutiva, matriz compleja, matriz Hermitiana, matriz Antihermitiana, matriz octagonal10-14 2.4 Transformaciones elementos por regla de escalamiento de una matriz, Rango de una matriz...14-17 2.5 Calculo de la inversa de una matriz..17-21 2.6 Definicin de Determinantes de unamatriz21 2.7 Propiedad de los Determinados...24-27 2.8 Inversa de unamatriz cuadrada a travs de la Adjunta27-28 2.9 Aplicacin de matriz y Determinates29 Conclusion ..33 Bibliografia34 Introduccin: Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 3 2.- MATRICES Y DETERMINANTES 2.1 Definicin de matriz, notacin y orden. Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 4 Definicindematriz:UnamatrizAdeordenmxnesunconjuntode elementos pertenecientes a un cuerpo conmutativo dispuestos en m filas y n columnas. Se llama matriz de orden mn a todo conjunto rectangular de elementos a dispuestos en m lneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: Abreviadamente suele expresarse en la forma A =(aij), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subndices indican la posicin del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a25 ser el elemento de la fila 2 y columna 5.Una matriz se denota con letra mayscula A=

donde El primer subndice corresponde a la fila a la que pertenece y el segundo a la columna Nomenclatura: Sise llama matriz fila Sise llama matriz columna Sise llama matriz rectangular Sise llama matriz cuadrada de orden Orden de una matriz Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 5 El orden de una matriz es el nmero de filas y de columnas que tiene esa matriz. Si el nmero de filas de una matriz A es "m" y el de columnas es "n", se suele anotar Amxn, leyndose "matriz A de orden m por n". Elemento genrico Elsmbolo"aij",llamadoelementogenricodeunamatriz,seusapara indicar que el elemento por l designado ocupa el lugar correspondiente a la fila "i" y a la columna "j". En consecuencia, una anotacin del tipo "a23" debe interpretarse que se trata delelemento"a",queocupaellugarcorrespondientealafila2yala columna 3. NOTACION DE UNA MATRIZ Para el caso de una matriz A conm filas y n columnas, se debe entender que i vara desde 1 hasta m y que j vara desde 1 hasta n (siendo i y j variables en el conjunto de losnmeros naturales). Por ello, otra forma de anotar una matriz A, de m filas y n columnas, que tiene como elemento genrico a aij, es: Amxn = (aij) (i= 1, 2, ..., m; j= 1, 2, ..., n) As, la matriz (((((((

a a aa a aa a aa a a= A43 42 4133 32 3123 22 2113 12 11 Puede anotarse de esta forma: A4x3 = (aij) (i= 1, 2, 3, 4; j= 1, 2, 3) MATRICES IGUALES DEFINICION: dos matrices son iguales si y slo si i) son del mismo orden Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 6 ii) los elementos homlogos son respectivamente iguales. En smbolos: A = B aij = bij, i,j 2.2 Operaciones con Matrices: Suma de Matrices: La suma de matrices de la misma dimensin es una matriz cuyos elementos seformanconlasumadeloselementoscorrespondientesdelasdos matrices dadas. Para matrices con diferentes dimensiones no se define la suma. [ ] [ ][ ] Ejemplo: Sume las siguientes matrices, si es posible. [

] [

] = [ ] = [

] La suma de matrices de la misma dimensin es asociativa y conmutativa, es decir, si A, B y C son matrices de la misma dimensin, entonces A+B=B+APropiedad conmutativa (A+B)+C=A+(B+C)Propiedad asociativa Sedenominamatrizceroonulaaquellaquetienetodossuselementos iguales a cero. Ejemplo:[ ] Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 7 El negativo de una matriz, denotado por M, es una matriz cuyos elementos son los opuestos de los elementos de M. por lo tanto, si [ ], entonces [ ] Obsrvese que M+(-M)=0 Resta de Matrices: Si A y B son matrices de la misma dimensin, entonces se define la resta de la siguiente manera: A-B=A+(-B) Por lo tanto, para restar la matriz B de la matriz A, simplemente se restan los elementos correspondientes. Ejemplo: Reste las siguientes matrices, si es posible. [ ] [ ] = [ ] [ ] = [ ] = [ ] Multiplicacin de una matriz por un nmero. ElproductodeunnmerokyunamatrizM,denotadoporkM,esuna matriz con elementos formados por la multiplicacin de cada elemento de M por k. Ejemplos: Multiplica la matriz por el escalar dado. [

] Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 8 = [

] = [

] Multiplicacin de Matrices: Producto por un punto: El producto punto de una matriz fila 1 x n y una matriz columna n x 1 es el nmero real dado por: [

][

]

Ejemplo: Encuentre el producto punto: [

][

] == = Producto de Matrices: El producto de dos matrices A y B se define solo bajo la suposicin de que el nmero de columnas de A es igual al nmero de columnas de B.SiAesunamatrizmxpyBesunamatrizpxn,entonceslamatriz producto de A y B, denotada por AB, es una matriz m x n. Deben ser iguales: M x p p x n Matriz resultante. Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 9 Ejemplo: Multiplica las siguientes matrices, si es posible. [

] [ ] Verifica las dimensiones: 2 x 33 x 2 El nmero de columnas de A es igual al nmero de filas de B. Las dimensiones del producto son 2 x 2. [

][ ] [

] [ ] [ ] Propiedades de la Multiplicacin: Suponiendo, que, para las matrices indicadas A, B y C todos los productos y sumas estn definidos, para k, un nmero real: (AB)C=A(BC) Propiedad asociativa A(B+C)=AB+ACPropiedad distributiva (B+C)A=BA+CAPropiedad distributiva k(AB)=(kA)B=A(kB)La multiplicacin de matrices no es siempre conmutativa Practica: Encuentra los productos punto. Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 10 1.[ ][

] 2.[

][

] 3.[

][

] Practica: Encuentre los productos de las matrices, si es posible. 1.[ ][

] 2.[ ][ ] 3.[

][ ] 2.3 Clasificacin de Matrices. Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n. Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1. Matrizcuadrada:Esaquellaquetieneelmismonmerodefilasquede columnas, es decir m = n. En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n, y no n x n.( )na a a a1 13 12 11||||||.|

\|1312111maaaaInstituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 11 Los elementos aij con i = j, o sea aii forman la llamada diagonal principal de lamatrizcuadrada,yloselementosaijconi+j=n+1ladiagonal secundaria. Matriztraspuesta:DadaunamatrizA,sellamatraspuestadeA,yse representa por At, a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de At , la segunda fila de A es la segunda columna de At, etc.De la definicin se deduce que si A es de orden m x n, entonces At es de orden n x m. Matriz simtrica: Una matriz cuadrada A es simtrica si A = At, es decir, si aij = aji " i, j.Matrizantisimtrica:UnamatrizcuadradaesantisimtricasiA=At,es decir, si aij = aji " i, j.Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0 La matrizes una matriz nula de orden 3 La matriz es una matriz nula de orden 2 x 4 ||||||.|

\|nn n n nnnna a a aa a a aa a a aa a a a 3 2 13 33 32 312 23 22 211 13 12 11Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 12 Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Matrizescalar:Esunamatrizdiagonalcontodosloselementosdela diagonal iguales Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1. MatrizTriangular:Esunamatrizcuadradaquetienenulostodoslos elementos que estn a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos:Triangular Superior: Si los elementos que estn por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " i < j.TriangularInferior:Siloselementosqueestnporencimadeladiagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0 " j < i. Matriz triangular Inferior. Matriz triangular Superior. Peridica: Una matriz es peridica si existe algn p tal que Ap = A Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 13 Nilpotente:UnamatrizesnilpotentesiexistealgnptalqueAp=0 (matriz cero). Idempotente: Una matriz es idempotente si A2 = A Involutiva: Una matriz es involutiva si A2 = I (matriz identidad). Compleja:Alresultadodelasumadeunamatrizrealyunamatriz imaginaria se le llama matriz compleja matriz A + i * matriz B MatrizAformadapornmerosenelcampodelosreales Trmino i*matriz B formada por nmeros complejos Conjugada: Una Matriz conjugada es el resultado de la sustitucin de los elementosdeunamatrizAporsusconjugadas.Esdecir,laparte imaginaria de los elementos de la matriz cambian su signo. Hermitiana: Una matriz A es hermitiana si coincide con la matriz traspuesta conjugada (se refiere a los nmeros complejos conjugados) Antihermitiana:Esantihermticasiesopuestaconlamatriztraspuesta conjugada. Ortogonal:Unamatrizortogonalesnecesariamentecuadradae invertible: A-1=AT

Lainversadeunamatrizortogonalesunamatrizortogonal. Elproductodedosmatricesortogonalesesunamatrizortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 -1. Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 14 2.4 Transformaciones elementales por rengln, Escalomiento de una matriz. Rango de una matriz. Rango de Una matriz: Se llama menor de orden p de una matriz al determinante que resulta de eliminar ciertas filas y columnas hasta quedar una matriz cuadrada de orden p. Es decir, al determinante de cualquier submatriz cuadrada de A (submatriz obtenida suprimiendo alguna fila o columna de la matriz A).En una matriz cualquiera A mnpuede haber varios menores de un cierto orden p dado. Definicin: ElRANGO(ocaracterstica)deunamatrizeselordendelmayordelos menoresdistintosdecero.ElrangoocaractersticadeunamatrizAse representa por rg(A).Consecuencia: Por tanto, el rango no puede ser mayor al nmero de filas o de columnas. Vectores fila de una matriz: Las filas de una matriz pueden ser consideradas como vectores. Es posible que sean linealmente Independientes (L.I.) y es posible que unos dependan linealmente de otros. Por ejemplo: Sus dos filas son linealmente independientes. Las dos primeras lneas son L.I., las otras dos dependen linealmente de las primeras.

||.|

\|=2 4 3 15 2 3 2A|||||.|

\|=4 35 01 23 1B2 1 2 3 F F F =2 1 4 F F F + =Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 15

LasdosprimerasfilassonL.I.laterceradepende linealmente de las dos primeras . Se llama rango de una matriz al nmero de filas Linealmente Independientes. Vectores columna de una matriz: Tambinlascolumnasdeunamatrizpuedenserconsideradascomo vectores. Podramos definir rango de la matriz como el nmero de columnas linealmente independientes, pero aparece la duda de si esa definicin puede contradecir en algn caso la anterior.Esdecir:Esposiblequeenunamatrizelnmerodefilaslinealmente independientesseadistintodelnmerodecolumnaslinealmente independiente?. El siguiente teorema nos asegura que no. Teorema En una matriz el nmero de filas L.I. coincide con el nmero de columnas L.I. Por esto podemos dar una nueva definicin de Rango: Rangodeunamatrizeselnmerodefilas,ocolumnas,linealmente independientes. El rango de una matriz lo podemos calcular por dos mtodos diferentes Por el mtodo de Gauss. Usando Determinantes. Calculo del Rango por el mtodo de Gauss. Transformaciones elementales: Son las transformaciones que podemos realizarle a una matriz sin que su rango vare. Las transformaciones Elementales son las siguientes: Permutar 2 filas o columnas. Multiplicar o dividir una lnea por un mtodo no nulo. |||.|

\| =1 5 82 0 93 5 1CInstituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 16 Sumar o restar a una lnea otro paralelo multiplicada por un nmero no nulo. Suprimir las filas o columnas que sean nulas. Suprimir las filas o columnas que sean proporcionales a otras. El mtodo de Gauss consiste en aplicar transformaciones elementales a una matriz con objeto de conseguir que los elementos que estn por debajo de la diagonal principal se anulen (aij = 0,para i > j). Para conseguir "triangular" la matriz debemos dejar en la diagonal principal elementos no nulos, salvo que la fila sea nula. Una vez aplicado este proceso de triangulacin, el rango de la matriz es el nmerodefilasnonulasdelamatrizobtenida.Estoesfcilprobarlo usando las propiedades de los determinantes. Ejemplo: Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 17 2.5 Calculo de la inversa de una Matriz. Matrizinversa:Semotivalaideadelainversadeunamatriz,alverel inverso multiplicativo de un nmero real. Si un nmero b es el inverso de un nmero a, entonces: ab = 1 y ba = 1 Por ejemplo, 1/4 es el inverso de 4, ya que 4(1/4) = (1/4)4 = 1 Extendiendo esta idea a las matrices. Definicin : Sea A una matriz de n x n. Si se puede encontrar una matriz B tal que AB = BA = In, entonces se dice que A es invertible, y a B se le llamalaInversadeA.SinoexisteestamatrizB,entoncesAnotiene inversa. Ejemplo 1 Demuestre que la matriztiene como inversa la matriz. SolucinSe tiene que y Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 18 PorloqueAB=BA=I2,conloquesedemuestraqueAtienecomo inversa a la matriz B. La inversa de una matriz invertible es nica. Demostracin. Sean B y C inversas de A. Entonces AB = BA = In y AC = CA = In. Multiplicando ambos lados de la ecuacin AB = In por C y usando las propiedades algebraicas de las matrices. C(AB) = CIn (CA)B = C InB = C B = C Por lo tanto, una matriz invertible tiene slo una inversa. Notacin: Sea A una matriz invertible, su inversa est denotada por A-1. De manera que AA-1 = A-1A = In Ahora,seobtieneunmtodobasadoenelalgoritmodeGauss-Jordan para encontrar la inversa de una matriz. Sea A una matriz invertible. Sean las columnas de A-1, X1, X2, ..., Xn, y las columnasde1n,C1,C2,...,Cn.A-1eInseescribeentrminosdesus columnas como sigue. A-1 = [X1 X2 ... Xn] e In = [C1 C2 ... Cn] AlencontrarX1,X2,...,Xn,sehabrencontrarA-1.ComoAA-1=In, entonces A[X1 X2 ... Xn] = [C1 C2 ... Cn] La multiplicacin de matrices realizada en trminos de las columnas, da AX1 =C1, AX2 = C2,... AXn = Cn Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 19 Por lo que X1 X2 ... Xn, son soluciones de las ecuaciones AX=C1, AX= C2,... AX= Cn, todas con la misma matriz A, de coeficientes. Para resolver estos sistemasseaplicalaeliminacindeGauss-Jordanconunamatriz aumentada grande [A : C1 C2 ... Cn]. [A : C1 C2 ... Cn] ... [In : X1 X2 ... Xn] De manera que [A:In] ... [In: A-1] Por lo tanto, si la forma escalonada reducida de [A:In] es una matriz de la forma [In: B], entonces B = A-1. Por otro lado si la forma escalonada reducida de [A:In] no es una matriz de la forma [In: B] entonces A no es invertible. Eliminacin de Gauss-Jordan para encontrar la inversa de una matriz Sea A una matriz de n x n. 1. Se adjunta a A la matriz identidad de n x n, In, para formar la matriz [A:In]. 2. Se calcula la forma escalonada reducida de [A:In] . Si la forma escalonada reducida es de la forma [In: B] , entonces B es la inversa de A. Si la forma escalonada reducida no es de la forma [In: B], debido a que la primera submatriz de n x n no es In, entonces A no tiene inversa. El ejemplo siguiente ilustra este mtodo. Ejemplo.Determine la inversa de la matriz Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 20 Solucin: Aplicando el mtodo de eliminacin de Gauss-Jordan, se tiene: De manera que ElmtododeGauss-Jordanparacalcularlainversadeunamatrizdice que A es invertible si y slo si la forma escalonada reducida de [A:In] es [In:B]. Como [A:In] se transforma en [In:B], en donde A se transforma en In. Esta observacin lleva al siguiente teorema: Teorema.UnamatrizAdenxnesinvertiblesiyslosisuforma escalonada reducida es In. Silamatrizdecoeficientesdeunsistemadeecuacioneslinealeses invertible,entoncesseemplealamatrizinversaparaencontrarlas soluciones de ste. El siguiente teorema es fundamental. Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 21 Teorema. Sea AX = B un sistema de n ecuaciones lineales con n variables. Si A-1 existe, la solucin es nica y est dada por X = A-1B. 2.6 Definicin de Determinantes de una matriz. Definiciones. Seauna matriz de 2 x 2 su determinante se define como det A = a11a22 - a12a21 (1) Con frecuencia denotaremos det A como (2) Mostraremos que A es invertiblesi y slo si det A 0. Como veremos, este importante teorema es vlido para matrices de n x n. Definiremosporinduccineldeterminantedeunamatrizdenxn.En otras palabras, usaremos nuestro conocimiento de un determinante de 2 x 2 para definir un determinante de 3 x 3; ste para definir el de 4 x 4 y as sucesivamente. Empezaremos por definir un determinante de x 3. Definicin 1. Determinante de 3 x 3. Sea . Entonces (3) Notemos el signo menos antes del segundo trmino del lado derecho Ejemplo 1 Sea. Calcule |A|. Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 22 Solucin Existe un mtodo ms sencillo para calcular determinantes de 3 x 3. O sea (4) Escribimos A y junto a ella sus primeras dos columnas Luego se calculan los seis productos, poniendo signo menos antes de los productosconflechasqueapuntanhaciaarribayefectuamoslasuma. Con esto obtenemos la suma de la Ecuacin 4 Ejemplo 3 Calculeusando este nuevo mtodo Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 23 SolucinSiescribimos ymultiplicamoscomose indic, Advertencia.Elmtodoexpuestoanteriormentenofuncionapara determinantes de n x n si n 3. Antesdedefinirdeterminantesdenxn,primeronotemosqueenla Ecuacin (3),es la matriz que se obtiene al eliminar el primer renglnylaprimeracolumnadeA; eslamatrizque obtenemos si eliminamos el primer rengln y la segunda columna de A y es la matriz que se obtiene si eliminamos el primer rengln y la tercera columna de A. Si denotamos estas tres matrices como M11, M12 y M13, respectivamente, y si A11 = det M11, A12 = -det M12 y A13 = det M13, entonces la Ecuacin (3) puede ser escrita: Definicin 2. Determinante de n x n. Sea A una matriz de n x n. Entonces el determinante de A, escrito det A, o bien |A|, est dado por (8) Laexpresindelladoderechode(8)seconocecomodesarrollopor cofactores. Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 24 Ejemplo.CalculedetAsi Solucin. 2.7 Propiedad de los Determinantes. Propiedad 1 Si cualquier rengln o columna de A es el vector cero, entonces det A = 0. Demostracin.Supongamosqueeli-simorenglondeAcontiene nicamente ceros. Es decir, aij = 0 para j = 1, 2, ..., n. Entonces det A = ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... + ainAin = 0 + 0 + ... + 0 = 0. La misma demostracin funciona si la j-sima columna es el vector cero. Propiedad 2 Sieli-simorenglnolaj-simacolumnadeAsemultiplicanporla constante c, entonces det A se multiplica por c. Es decir, si llamamos a esta nueva matriz B, entonces Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 25 (1) Demostracin. Para demostrar (1) expandimos en el i-simo rengln de A: det B = cai1Ai1 + cai2Ai2 + ... cainAin = c(ai1Ai1 + ai2Ai2 + ... ainAin) = c det A Una demostracin anloga funciona para las columnas. Propiedad 3 Sean Entonces det C = det A + det B (4) En otras palabras, supongamos que A, B y C son idnticas excepto por la j-sima columna y que j-sima columna de C es la suma de las j-simas columnas de A y B. Entonces det C = det A + det B. Esto es vlido para renglones Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 26 Propiedad 4 Si se intercambian dos renglones (o columnas) cualesquiera de A, es como si se multiplicara det a por -1. Propiedad 5 Si A tiene dos renglones o columnas iguales, entonces det A = 0. Propiedad 6 Si un rengln (o columna) de A es un mltiplo constante de otro rengln (columna), entonces det A = 0. Propiedad 7 Siunmltiplodeunrengln(columna)deAsesumaaotrorengln (columna) de A, el determinante no cambiar. Propiedad 8 ai1Aj1 + ai2Aj2 + ... + ainAjn=0 si i j Propiedad 9 det A = det At Propiedad 10 det AB = det A det B Esdecir:Eldeterminantedelproductoeselproductodelos determinantes. 2.8 Inversa de una matriz cuadrada a travs de la Adjunta. Antes de calcular la inversa de una matriz cuadrada a travs de la adjunta repasaremos algunos conceptos: Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 27 Menorcomplementariodeunelemento:Elmenorcomplementariodeun elementodeunamatrizcuadradaeseldeterminantedelamatrizque obtenemos al suprimir su fila y su columna. Lo representamos por Mij.Ejemplo: Hallar el menor complementario del elemento a23 en la matriz : Adjunto de un elemento: Es el menor complementario con signo positivo o negativosegnseaparoimparlasumadesunmerodefilaysu nmero de columna. Lo representamos por Aij Matriz adjunta:Es la matriz que se obtiene al sustituir cada elemento por su adjunto. Matriz inversa:LamatrizinversadeAesotramatrizquerepresentamos por A-1 y que verifica:Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 28 Solamentetieneninversalasmatricescuadradascuyodeterminantees distinto de cero.Propiedades de la matriz inversa: La inversa del producto de dos matrices es el producto de las inversas cambiando el orden.(A*B)-1 = B-1*A-1

Ejemplo: clculo de la inversa de la matriz: Para calcular la inversa, primero calculamos el determinante: Despus calculamos cada uno de los adjuntos:Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 29 2.9 Aplicacin de matrices y Determinantes: Criptografaeslacienciadeescribirodescifrarclaves.Apesardeque esta materia se asocia frecuentemente con asuntos militares, la criptografa lleg a ser un rea importante en los negocios. Las grandes empresas que procesanenormescantidadesdedatoscomputadorizados,deben protegerseconstantementecontraloquesellama"espionajeindustrial", esto es, el robo de informacin importante por los competidores .Actualmente, hay muchas tcnicas extremadamente complejas desarrolladas paragarantizarlaposibilidaddetransmitirgrandescantidadesde informacinenformaconfidencial.Aestosellegdespusde investigacin altamente elaborada hecha por criptgrafos modernos. Casitodossabenloqueesuncriptograma.Setratadeunpasatiempo que aparece en muchos peridicos. Es comn que se d un mensaje como el siguiente: KI ZPIIC VPJLP PI PUPJKVG. Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 30 Esto se puede descifrar usando la tabla "descodificadora": ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ P M V Q K S Z O T B W I U J C X E G Y L D R H A F N Notando que K est en el lugar de E, que I sustituye a L, que Z reemplaza a G, etctera, se llega al mensaje siguiente: EL GALLO CANTA AL AMANECER. Uncriptogramausaunaclasedeclavemuyburdayfcildedescifrar. Ahora se ver cmo se pueden usar matrices para crear una clave mucho ms difcil de descifrar. Empezamos asignando a cada letra su lugar en el alfabeto ordenado. Esto nos da la siguiente asociacin ABCDEFG HIJ KLM NO P Q RSTUV WX Y Z (1) 123 45 678 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Supngase que queremos codificar el siguiente mensaje LAS MATRICES SON AMIGABLES Descomponemos el mensaje en unidades de igual longitud. Si se escogen longitudes de dos letras, se obtiene LA SM AT RI CE SS ON AM IG AB LE SX (2) LaXalfinalsimplementellenaelespacio.Siusamosneustrocdigo nmerico (1), podemos escribir (2) como un conjunto de vectores de dos componentes Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 31 Escogemos una matriz A de 2 x 2, inversible y entera, con determinante 1. EstoasegurarqueA-1tambintieneslocomponentesenteras.Una matriz con esas condiciones es Paracontinuar,multiplicamoscadaunodelosvectoresdedos componentes en (3), a la izquierda, por A. Por ejemplo, As obtenemos el nuevo conjunto de vectores Por ltimo, escribimos (4) as: 15 16 58 71 61 81 45 54 18 23 76 95 57 71 40 53 30 37 7 9 27 32 91 115 (5) Esteesnuestronuevomensajecodificado,queseramuydifcilde descifrar si no se sabe cul es la matriz A. Conociendo A, en cambio es relativamentesencillo.Empezamosrearreglandolosnmerosen(5)en grupos de vectores de 2 componentes. Ya que, por ejemplo, Para comprobar esto, observamos que Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 32 Multiplicandocadaunodelosvectoresen(4)porA-1seobtendrnlos vectores en (3), que se pueden convertir directamente por medio de (1) en elmensaje(2).Enestecontexto,lamatrizAsedenominamatriz codificadora, y la matriz A-1 recibe el nombre de matriz descodificadora. Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 33 Conclusin: Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 34 Bibliografas: http://www.galeon.com/student_star/ecuacio2.html StanleyI.Grossman: "AlgebraLineal", SegundaEdicin; GrupoEditorial Iberoamrica. http://personal.redestb.es/ztt/tem/t6_matrices.htm http://www.telefonica.net/web2/lasmatematicasdemario/Algebra/Matrices/TipMat.htm Gareth Williams "lgebra lineal con aplicaciones" Cuarta edicin. Editorial McGRAW-HILL http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tmatrizinversa.htm http://www.terra.es/personal2/jpb00000/tdeterminantes.htm#adjunto http://www.sectormatematica.cl/Contenidos/cramer.htm Instituto Tecnolgico Superior de AcayucanUnidad II 35