Algebra Lineal XIV: Espacio Nulo y Rango de una

Transformacion Lineal.

Jose Marıa Rico MartınezDepartamento de Ingenierıa Mecanica

Facultad de Ingenierıa Mecanica Electrica y ElectronicaUniversidad de Guanajuato

email: jrico@salamanca.ugto.mx

En estas notas, se presentan algunos de los conceptos mas importantes para el analisis de transformacioneslineales.

1. Espacio Nulo de una Transformacion Lineal.

En esta seccion definiremos el espacio nulo, tambien conocido como kernel o nucleo de unatransformacion lineal.

Definicion del espacio nulo de una transformacion lineal. Sea T una transformacion lineal deun espacio vectorial V sobre otro espacio vectorial V′, ambos definidos sobre un campo K. El espacionulo de la transformacion lineal, T , denotada NT o ker(T ), se define como NT ⊆ V , tal que

NT = {�v ∈ V|T (�v) = �0 ∈ V′}En simples palabras, el espacio nulo de una transformacion lineal es el conjunto de todos los vectores

de V cuya imagen es el vector �0 ∈ V′.

Teorema. El espacio nulo de la transformacion lineal, T , es un subespacio de V.

Prueba: Es suficiente probar que el espacio nulo es un subconjunto cerrado respecto a la adicion y ala multiplicacion por escalar. Suponga que �v1, �v2 ∈ NT y λ ∈ K, entonces

1. Cerrado respecto a la adicion. Considere

T (�v1 + �v2) = T (�v1) + T (�v2) = �0 +�0 = �0

Por lo tanto �v1 + �v2 ∈ NT , y el espacio nulo esta cerrado respecto a la adicion.

2. Cerrado respecto a la multiplicacion por escalar. Considere

T (λ�v1) = λT (�v1) = λ�0 = �0.

Por lo tanto λ�v1 ∈ NT , y el espacio nulo esta cerrado respecto a la multiplicacion por escalar.

Por lo tanto NT ≤ V.

Definicion de la Nulidad de una Transformacion Lineal. La dimension del espacio nulo de unatransformacion lineal T , se denomina la nulidad de T y se denota por ν(T ).

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Figura 1: Representacion Grafica del Espacio Nulo y Rango de una Transformacion Lineal.

Debemos recordar que aplicando la definicion del rango de una trasformacion, funcion o mapeo auna transformacion lineal T ,que se denomina RT , se tiene que

RT = {�v′ ∈ V′| � T (�v) = �v′ para algun �v ∈ V}.

Teorema. El rango de una transformacion lineal T , RT , es un subespacio de V′.

Prueba: Nuevamente es suficiente probar que el conjunto esta cerrado respecto a la adicion y a lamultiplicacion por escalar. Suponga que �v′1, �v′2 ∈ RT y λ ∈ K, entonces

1. Cerrado respecto a la adicion. Puesto que �v′1, �v′2 ∈ RT existen �v1, �v2 ∈ V tales que

T (�v1) = �v′1 y T (�v2) = �v′2

Puesto que V es un espacio vectorial, �v1 + �v2 ∈ V y

T (�v1 + �v2) = T (�v1) + T (�v2) = �v′1 + �v′2.

Por lo tanto, �v′1 + �v′2 ∈ RT y RT esta cerrado respecto a adicion.

2. Cerrado respecto a la multiplicacion por escalar. Puesto que V es un espacio vectorial, λ�v1 ∈ V y

T (λ�v1) = λT (�v1) = λ�v′1.

Por lo tanto, λ�v′1 ∈ RT y RT esta cerrado respecto a la multiplicacion por escalar.

Definicion del Rango de una Transformacion Lineal. La dimension del rango de una transformacionlineal T , se denomina la rango de T y se denota por p(T ).

Teorema. Una transformacion lineal T : V → V′ es inyectiva si, y solo si, NT es exclusivamente elvector {�0}.

Prueba: Suponga que T es inyectiva, entonces T (�v1) = T (�v2) implica que �v1 = �v2. Sea �v ∈ NT

arbitrario, entonces T (�v) = �0 puesto que T (�0) = �0, se tiene que

T (�v) = T (�0) por lo tanto �v = �0

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Se concluye pues, que NT = {�0}.

Suponga que NT = {�0} entonces si

T (�v1) = T (�v2) ⇒ T (�v1 − �v2) = �0.

Por lo tanto, �v1 − �v2 ∈ NT , pero puesto que NT = {�0} entonces

�v1 − �v2 = �0 ⇒ �v1 = �v2

y la transformacion lineal es inyectiva.

Teorema. Sea T : V → V′ una transformacion lineal inyectiva, entonces si {�v1, �v2, . . . , �vn} eslinealmente independiente entonces {T (�v1), T (�v2), . . . , T (�vn)} es linealmente independiente. En otraspalabras, una transformacion lineal inyectiva preserva la independencia lineal de los subconjuntos.

Prueba: Considere la combinacion lineal

�0 = λ1T (�v1) + λ2T (�v2) + . . . + λnT (�vn) = T (λ1�v1 + λ2�v2 + . . . + λn�vn).

Por lo tanto λ1�v1 + λ2�v2 + . . . + λn�vn ∈ NT = {�0}, sin embargo, si {�v1, �v2, . . . , �vn} es linealmenteindependiente, la unica solucion posible es la trivial,

λ1 = λ2 = . . . = λn = 0.

Por lo tanto el conjunto {T (�v1), T (�v2), . . . , T (�vn)} es linealmente independiente.

Corolario. Sea T : V → V′ una transformacion lineal inyectiva, entonces si B = {�v1, �v2, . . . , �vn} esuna base de V , entonces, T (B) = {T (�v1), T (�v2), . . . , T (�vn)} es una base de RT .

Prueba: Por el teorema anterior T (B) = {T (�v1), T (�v2), . . . , T (�vn)} es linealmente independiente, porlo tanto, es suficiente probar que T (B) genera a RT .

Sea �v′ ∈ V′ un elemento arbitrario del rango de T , entonces

�v′ = T (�v′) donde �v ∈ V es arbitrario

Entonces

�v′ = T (�v) = T (λ1�v1 + λ2�v2 + · · · + λn�vn) = λ1T (�v1) + λ2T (�v2) + · · · + λnT (�vn).

Por lo tanto T (B) genera a RT y T (B) es una base para RT .Corolario. Sea T : V → V′ una transformacion lineal inyectiva, entonces ρ(T ) = dim(RT ) =

dim(V).

Prueba: Por el corolario anterior T (B) = {T (�v1), T (�v2), . . . , T (�vn)} es una base de RT , entonces

ρ(T ) = dim(RT ) = dim(V).

Teorema. Sea T una transformacion lineal de un espacio vectorial finito dimensional V sobre otroespacio vectorial V′, ambos definidos sobre un campo K. Sea {�v1, �v2, . . . , �vq} una base para el espacionulo de T y {�v1, �v2, . . . , �vq, �vq+1, . . . , �vn} sea una base de V. Entonces {T (�vq+1), . . . , T (�vn)} es una basepara RT .

Prueba: Por las suposiciones del teorema, ν(T ) = q, si q = 0, entonces T es inyectiva y este teoremase reduce al primero de los dos corolarios anteriores. Suponga, pues, que q ≥ 1, que {�v1, �v2, . . . , �vq} es

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una base para el espacio nulo de T y que {�v1, �v2, . . . , �vq, �vq+1, . . . , �vn} es una base de V.

Sea �v ∈ V arbitrario, entonces T (�v) es un elemento arbitrario del RT dado por

T (�v) = T (λ1�v1 + λ2�v2 + · · · + λq�vq + λq+1�vq+1 + · · · + λn�vn)= λ1T (�v1) + λ2T (�v2) + · · · + λqT (�vq) + λq+1T (�vq+1) + · · · + λnT (�vn)= λq+1T (�vq+1) + · · · + λnT (�vn).

Por lo tanto {T (�vq+1), . . . , T (�vn)} genera RT , mostraremos ahora que este conjunto es linealmenteindependiente. Suponga, por contradiccion, que existen escalares λq+1, . . . , λn no todos iguales que 0, talque

�0 = λq+1T (�vq+1) + · · · + λnT (�vn) = T (λq+1�vq+1 + · · · + λn�vn)

Por lo tanto λq+1�vq+1 + · · · + λn�vn ∈ NT . De aquı que

λq+1�vq+1 + . . . + λn�vn = λ1�v1 + λ2�v2 + . . . + λq�vq

λ1�v1 + λ2�v2 + . . . + λq�vq − λq+1�vq+1 − . . . − λn�vn = �0.

Por lo tanto, {�v1, �v2, . . . , �vq, �vq+1, · · · , �vn} es linealmente dependiente y no puede ser una base para V,una contradiccion de las suposiciones iniciales.

Corolario. Sea V un espacio vectorial finito-dimensional y T una transformacion lineal de un espaciovectorial V sobre otro espacio vectorial V′. Entonces

ρ(T ) + ν(T ) = dimV

Prueba: Por el teorema anterior n = dimV, q = ν(T ) y n − q = ρ(T ) por lo tanto

dimV = n = q + (n − q) = ν(T ) + ρ(T ).

A partir de estos resultados, es posible obtener algunos resultados respecto a transformaciones linealesinyectivas y sobreyectivas.

Teorema. Sea T : V → V′ una transformacion lineal tal que dimV < dimV′, entonces T no puedeser sobreyectiva.

Prueba: Si T es sobreyectiva ρ(T ) = dimV′ y ν(T ) ≥ 0, entonces

dimV = ν(T ) + ρ(T ) o ρ(T ) = dimV − ν(T )

Por lo tantodimV′ = ρ(T ) = dimV − ν(T ) o dimV′ ≥ dimV

Teorema. Sea T : V → V′ una transformacion lineal tal que dimV > dimV′, entonces T no puedeser inyectiva.

Prueba: T es inyectiva si y solo si ν(T ) = 0, ademas ρ(T ) ≤ dimV′ entonces

dimV = ν(T ) + ρ(T ) = 0 + ρ(T ) = ρ(T ) ≤ dimV′

Teorema. Sea T : V → V′ una transformacion lineal tal que dimV = dimV′, entonces T no puedeser biyectiva.

Prueba: Si dimV > dimV′, entonces T no puede ser inyectiva. Si dimV < dimV′ entonces T nopuede ser sobreyectiva.

Teorema. Sean S : V → V′ y T : V′ → V′′ dos transformaciones lineales tales que la composicionTS : V → V′′ esta definida, entonces

ρ(TS) + dim(RS ∩ NT ) = ρ(S).

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Figura 2: Representacion Grafica de una Transformacion Compuesta.

Prueba. Sea T ′ la restriccion de la transformacion lineal T sobre el rango de S, es decir

T ′ : V → RS < V′ T ′(�v′) = T (�v′) ∀�v′ ∈ RS

Puede probarse que T ′ es una transformacion lineal.

Entonces, aplicando el teorema anterior a la transformacion lineal T ′, se tiene que

ρ(T ′) + ν(T ′) = dim(RS) = ρ(S).

Puede probarse queRT ′ = RTS por lo que ρ(T ′) = ρ(TS)

De manera semejante, el espacio nulo de T ′ esta definido por

NT = {�v′|�v′ ∈ RS , �v′ ∈ NT } = RS ∩ NT

Por lo tanto, se tiene queρ(TS) + dim(RS ∩ NT ) = ρ(S).

2. Ejercicios.

Problema 1. Para cada una de las siguientes transformaciones, T , pruebe que son lineales, y determineel espacio nulo y rango de la transformacion lineal.

1. T : R2 → R2 T (x1, x2) = (x1 + x2,−x2)

2. T : R2 → R2 T (x1, x2) = (x1, 0)

3. T : R3 → R3 T (x1, x2, x3) = (x2 − x3, 2x1 + x2, 0).

4. T : R3 → R T (x1, x2, x3) = (x1 − x2 + 2x3).

5. T : R2 → R3 T (x1, x2) = (x1, x2, x1 + x2).

6. T : R3 → R2 T (x1, x2, x3) = (x3, x1 + x2).

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Problema 2. Para cada una de las siguientes transformaciones, T , pruebe que son lineales, y determineel espacio nulo y rango de la transformacion lineal.

1. T : P3 → R4 T (a0 + a1x + a2x2 + a3x

3) = (a0 − a1, a2, a3, 0)

2. T : R4 → M2×2 T (a1, a2, a3, a4) =[

a1 a1 + a2

a2 + a3 a1 + a4

]

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