Álgebra en contextos geométricos

7/30/2019 lgebra en contextos geomtricos

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ALGEBRA EN CONTEXTOSGEOMETRICOS

profesor: Nicolas Melgarejo


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1. Algebra y geometra

La geometra es una rama de la matematica que puede abordarse mediante el lenguaje abstracto delalgebra, brindando un lenguaje general para resolver problemas. En esta gua abordaremos el analisis deformulas de permetros, areas y volumenes en relacion con la incidencia de la variacion de los elementoslineales y viceversa, y la interpretacion geometrica de los productos notables.

2. Variacion de areas y volumenes

En esta seccion analizaremos las variaciones de area y volumen de figuras y cuerpos geometricos desdeel punto de vista del algebra, con lo que podremos generalizar algunos resultados e identificar ciertoscomportamientos al modificar las variables implicadas.

2.1. Rectangulo

Consideremos un rectangulo de lados x e y.

El permetro P es la suma de sus lados, esto es:

P = x + y + x + y

= 2x + 2y

El area A o superficie de este rectangulo generico es:

A = xy

Analicemos que ocurre con el permetro y el area si variamos sus lados.

2.1.1. Cambio del p ermetro al variar los lados

Veamos un caso particular aumentando los lados del rectangulo al doble. En este caso los nuevos ladosseran 2x y 2y, entonces el nuevo permetro P y area A son:

P = 2(2x) + 2(2y)

= 2(2x + 2y)

Como P = 2x + 2y, entonces:

P = 2P

En conclusion, al aumentar ambos lados al doble, el permetro aumenta al doble tambien.

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De modo general, si aumentamos ambos lados k veces obtenemos que los lados son kx y ky, por lotanto el nuevo permetro P es:

P = 2(kx) + 2(ky)

= 2kx + 2ky

= k(2x + 2y)

Como P = 2x + 2y, entonces:

P = kP

Al aumentar o disminuir ambos lados k veces, el

permetro aumenta o disminuyek veces tambien.

2.1.2. Cambio del area al variar los lados

Veamos lo que ocurre para el area del rectangulo al aumentar el largo y al doble y el ancho x al triple.

Los nuevos lados seran 2y y 3x y su nueva area A es:

A = 3x 2y= 6xy

Pero como A = xy, podemos decir que:

A = 6A

Entonces el area aumento seis veces.Si ahora lo tratamos de modo general, digamos que el largo aumenta p veces y el ancho q veces, la

superficie sera:

A = qx py= pq xy

Pero como A = xy, podemos decir que:

A = pq A

En general, si los lados de un rectangulo aumentan

o disminuyen p y q veces respectivamente, el area

aumenta o disminuye p q veces tambien.

2.2. Cuadrado

Pensemos en un cuadrado de lado x, como todos los lados miden lo mismo su permetro P es:

P = x + x + x + x

= 4x

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El area o superficie de un cuadrado de lado x es A = x2

2.2.1. Cambio del p ermetro al variar los lados

Supongamos que el lado aumenta 3 veces, es decir que ahora mide 3x, entonces el nuevo permetro P

es:

P = 4(3x)

= 12x

Como P = 4x, nos queda que P = 3P. De esta manera, al aumentar 3 veces el lado, el permetro tambienaumenta 3 veces. Es facil comprobar que al amplificar por k el lado de un cuadrado, su permetro tambienvariara en la misma proporcion.

Si el lado de un cuadrado aumenta o disminuye k

veces, el permetro aumentara o disminuira k vecestambien.

2.2.2. Cambio del area al variar los lados

Al aumentar o disminuir la longitud de su lado k veces tendremos que la nueva superficie A medira:

A = (kx)2

= k2 x2

Como el area original era A = x2, entonces:

A

= k

2

AAl variark veces el lado de un cuadrado, su area vara

k2 veces.

Ejemplo

Como vara el area y permetro de un cuadrado si su lado disminuye a la mitad?

Solucion: Sabemos que el area de un cuadrado vara al cuadrado de la variacion de su lado, es decir, si lavariacion del lado es k veces, entonces la variacion del area es k2 veces. En nuestro caso el lado disminuyea la mitad, por lo tanto:

k =1

2Podemos desprender que la variacion del area es el cuadrado de este numero:

k =

1

2

2=

1

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Por lo tanto el area disminuye a la cuarta parte. Para un cuadrado el permetro vara en la mismaproporcion que su lado. Dicho de otro modo, si el lado vara k veces, el permetro tambien vara k veces.En nuestro caso como el lado disminuye a la mitad, el permetro disminuye a la mitad tambien.

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Entiendase que lo importante es comprender como

proceder frente a un problema similar a este y no

memorizar los resultados.

2.3. Triangulo

Para el caso del triangulo tenemos una situacion diferente a la del rectangulo. Esto se debe a que haymas de una manera de obtener el area, dependiendo de los datos que conozcamos. Podemos escribir elarea como:

A =b h

2donde h es la longitud de una altura del triangulo y b la longitud de la base donde se posa la altura.

Para el caso del triangulo equilatero, tenemos la posibilidad de describirla me-diante una sola variable, su lado. Si el lado de un triangulo equilatero es a, entoncessu area A es:

A =

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4a2

En estos casos surge una necesidad mas general a la hora de analizar variaciones en el valor deexpresiones al cambiar el valor de sus variables. Primero debemos reconocer cual es la dependencia delarea, es decir de que depende? En el caso de la expresion general, el area depende de la la altura y labase asociada a esa altura. En el caso de un tri angulo equilatero el area es proporcional al cuadrado dela medida de un lado.

Ejemplo

Como vara el area de un triangulo si una de sus alturas aumenta al doble y la base asociada a esa altura

disminuye a la cuarta parte?

Solucion: Recordemos que el area de un triangulo puede escribirse como A = bh2

, donde b es unabase y h la altura asociada a esa base. En nuestro caso nos dicen que la altura aumenta al doble y la baseasociada a esa altura disminuye a la mitad, entonces las nuevas base y altura son b

4y 2h respectivamente.

La nueva area A sera:

A =b

4 2h2

=2bh

4

2

=

bh

2

2

=1

2

bh

2

Como A = bh2

, entonces

A =1

2A

Podemos decir que el area disminuyo a la mitad.

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3. Representacion grafica de los productos notables

3.1. Cuadrado de binomio para suma

Recordemos que el cuadrado de binomio es:

(a + b)2

= a2

+ 2ab + b2

Consideremos un cuadrado de lados a + b como el de la figura:

El area A de tal cuadrado la obtenemos multiplicando su lado por su ancho, esto es ( a + b)(a + b)

A = (a + b)2

Si ahora separamos los lados en la parte que mide a y b:

Notemos que se forman 4 regiones dentro del cuadrado. Al calcular la superficie de cada una de ellas

obtenemos:

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El area de las cuatro regiones que componen al cuadrado de lado a + b las podemos sumar e igualara A = (a + b)2

A = (a + b)2

= a2 + ab + ab + b2

= a2 + 2ab + b2

Llegamos al mismo resultado del cuadrado de binomio de la suma entre a y b. Este es un ejemplo de lasrepresentaciones graficas de los productos notables en la geometra.

3.2. Suma por la diferencia de dos cantidades

Consideremos un cuadrado de lado a y otro de lado b, donde a > b. Sus representaciones graficasseran:

Si al cuadrado de lado a le restamos la superficie del cuadrado de lado b obtendremos una figura de

area

A = a2 b2

Para restar las areas sobreponemos el cuadrado de area b2 en una esquina y eliminamos esa parte:

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Antes de eliminar la parte del cuadrado de area b2, si trazamos la lnea auxiliar ro ja se forma unrectangulo de lados b y a b el cual podemos mover al lado que indica la flecha, ya que ambos tienen unlado que mide a b.

Al mover el rectangulo se formara otro rectangulo de lados a b y a + b.

Como despues de quitar b2 con al cuadrado de area a2 solo movimos una parte de la figura a otraparte, el rectangulo de lados a b y a + b tendra un area igual a a2 b2. Pero sabemos que el area de unrectangulo se calcula multiplicando largo por ancho, por lo tanto:

(a b)(a + b) = a2 b2

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3.3. Factorizacion simple

Tomemos un rectangulo de lados c y a + b con el de la figura.

El area A de ese rectangulo es:

A = c(a + b)

Ahora separamos del lado que mida a + b en los segmentos a y b que lo componen. Dibujamos unalnea auxiliar y calculamos el area de dada sector:

Notar que el area total A del rectangulo sera la suma del area de cada sector:

A = cb + ca

Pero sabamos que el area es igual a A = c(a + b), entonces

ac + bc = c(a + b)

Esta es una manera de podemos representar geometricamente la factorizacion o la distributividad dela multiplicacion sobre la adicion.

3.4. Producto de binomio de la forma (x+ a)(x+ b)

Consideremos un rectangulo de lados x + a y x + b como en la figura.

Podemos separar cada lado en los segmentos x, a y b que los conforman, luego dibujamos las lneasauxiliares perpendiculares a esas marcas:

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Calculamos el area de cada seccion que se forma:

El area total sera igual a la suma de cada secci on que compone a la figura completa:

A = x2 + bx + ax + ab = x2 + (a + b)x + ab

Pero como el area de ese rectangulo es igual a la multiplicacion de su ancho por su largo se tiene que:

(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab

Ejemplo

En la figura ABCD y ECFG son cuadrados. Si el segmento DA = x y BE = a, entonces cual es lamedida de la superficie celeste?

Solucion: Lo que necesitamos es restar el area de ABCD con la de ECFG, para esto necesitamos sabercuanto el lado de cada cuadrado. El lado de ABCD es x y para ECFG es x a, por lo tanto el area quebuscamos es:

A = x2 (x a)2

= x2 (x2 2ax + a2)

= x2 x2 + 2ax a2

= 2ax a2

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Otra manera de resolverlo es que la expresion A = x2(xa)2 es el resultado de una suma por diferenciaque podemos escribir como

A = x2 (x a)2

= (x [x a])(x + [x a])

= (x x + a)(2x a)= a(2x a)

= 2ax a2

Bibliografa

[1 ] Algebra, Edicion 1983, CODICE S.A. Madrid (1983)Dr. Aurelio Baldor.

[2 ] Apuntes para la preparacion de la PSU Matematica, Segunda Edicion, 2009,Pamela Paredes Nunez, Manuel Ramrez.

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