algebra elemental y calculo dif 1

lgebra elemental y clculo diferencial Molina-Muoz

3

SUSTRACCIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para restar expresiones algabraicas se suma el minuendo con el inverso aditivo delsustraendo

Ejemplo 4.

De restar " # $ $ & (# $ % % ' "'B C D B C D

Solucin:

" # $# $ %B C D

B C D$ & (% ' "' & " "*% ' "'B C D

MULTIPLICACIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para multiplicar tenga en cuenta ley de signos, multiplicar coeficientes numericos y lapropiedad de la potenciacin + + +7 8 78

Ejemplo 5. Efecte y simplifique:

($B &B (B %B &B B $B %B $B 'B +$ +# +" + +" #+" #+" #+ #+# #+#

Solucin: + +(B %B &B &B $B+" + +" +# +$ + 'B B %B $B $B#+# #+" #+ #+" #+#

#"B "#B "&B "&B *B$+" $+# $+$ $+% $+& #"B "#B "&B "&B *B$+ $+" $+# $+$ $+%

#)B "'B #!B #!B "#B$+" $+ $+" $+# $+$ (B %B &B &B $B$+# $+" $+ $+" $+#

%#B #%B $!B $!B ")B$+$ $+# $+" $+ $+"%#B $"B #B %!B %!B "%B %#B 'B *B$+$ $+# $+" $+ $+" $+# $+$ $+% $+&

DIVISIN DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Para dividir tenga en cuenta ley de signos, dividir coeficientes numericos y la propiedadde la potenciacin + + +7 8 78

Ejemplo 6

a b (B %!B $ )B ! #'B #B &B %B $$ # & % #


4

Solucin:

Es necesario ordenar los dos polinomios en orden descendente:

)B #B (B %!B #'B $& $ #% %B &B$# 0000

)B "!B 'B #B $B (B "& % $ $ # "#B "$B %!B% $ #

"#B "&B *B% $ # #)B $"B #'B$ # #)B $&B #"B$ # %B &B $#

%B &B $# !

PRODUCTOS NOTABLES

Multiplicaciones cuyo producto se puede escribir en forma inmediata:

Ejemplo 7

B "! B % B 'B %! "! % 'C "! % %!# porque x

Ejemplo 8

$78 (BC$78 (BC *7 8 %*B C *7 8# # # # # # # porque (3mn) y(BC %*B C# # #

Ejemplo 9

(B $C %*B %#BC *C (B %*B #(B $C %#BC# # # # #porque y$C *C# #

Ejemplo 10

%B ""C '%B )B C "%BC "$$"C %B '%B $ $ # # $ $ #porque $%B ""C )BC $%B ""C ""C "$$"C# # $ $y

Ejemplo 11

B C "B C " B C "B C " B C "# #

B C #C "# #

COCIENTES NOTABLES


5

Son divisiones que se pueden hacer por simple inspeccin:

Ejemplo 12

+ , B+ , B + , B

$ $# #

Ejemplo 13

$#B "#B " "'B )B %B #B "

"!

#) ' % #

Ejemplo 14

+ ,+ , + + , + , +, ,& "!

#% $ # # % ' )

Ejemplo 15

la divisin no es exacta porque cuando las potencias son impares+ ,+ , & "!

#

dividendo y divisor deben ser ambos sumas o ambos restas.

Ejemplo 16

)"B "'C$B #C #(B ")B C "#BC )C

% )

#$ # # % '

Ejemplo 17

7 8 '#&B78 &B 7 8 &7 8 B #&78 B "#&B% ) "#

# $$ ' # % $ # ' *

Ejemplo 18

la divisin no es exacta porque cuando las potencias son pares eln% % 78 7

dividendo debe ser una diferencia.

TALLER 1

Suprima los signos de agrupacin y simplifique


6

1. B $C %#B $C 2. -3( > ( > " 3 #B " $#B $ %B & 4. #C ( $#C " &C ( 5 %> $% #> " 6 $B ##B B ( 7. #> $> #> > & " 8. B B B B " 9. A B D A B D B A B 10. $B #B BB %B $

Halle la suma de:

11. B $BC &C %C (BC (C B C# # # # # # 12. )+7 %7 &+ #+ %+ 7 $+7 # $ $ $ # # (+ &+7 %+ 7 $8$ # # $ 13 + + + #+ + +" # $ & & $ #$ & % # % % *

$ # # $

Efecte las operaciones indicadas:

14. De restar B $B C &BC C %BC &B C $B$ # # $ # # $ 15. Restar de B B $B %B &B $B %B+" +" +# +" + +" +# 16 De la suma de , restar 7 78 8 8 78 7" " $ # $ ## % & & % &

# # # #

# $ #$ & $# #78 7 8

Qu expresin algebraica se debe sumar a la primera para obtener como resultado lasegunda?

17. $B &B ( B #B &B "!# $ # 18. ; ! "(&7 #$&%7 "#% #!$&7 #%%7 !!"#&7# $ # $ 19 B B C BC ""C C #B B C BC# % # $ & $$ & $ % % #

$ # # $ $ # #

Qu expresin algebraica se debe restar a la primera para obtener como diferencia lasegunda?

20. &B 'B ( #B B "&B $# $ # 21. ; !&%7 "#)7 (&)'7 $#% $&7 "%%&7 "!"#&7# $ # $ 22. # $ % $ " $& % $ # # &

$ # # $ $ # #B B C BC C "#C B #B C BC

De qu expresin algebraica se debe restar la primera para obtener como diferenciala segunda?

23. 5 12 5(B B "( B B B $# $ # 24. ; "%&7 !#&'7 $'#$7 &7 &7 "!"#&7 "# $ # $


7

25. # $ % $ " $& % $ # # &$ # # $ $ # #B B C BC C "#C B #B C BC

Multiplicar:

26. por $7 8 &78 %8 $7 8# # $ # # 27. por # && $

$ # # % %+, + , $+ $+ , 28 por #+ $+ , %+ , + ,B" B B" # #B" B%$% 29. por B &BC $C %B #C# # 30. por 2a#+ &+, %+ , (, %,$ # # $ # # 31. por# # " " $ #& $ % # % &

$ # $ # #7 78 8 7 78 8 32. por $> #> > #> $> &B" B# B" $ #

Dividir:

33. entre %B C "#B C (B C %B C& # $ % # & # # 34. entre # $ & #$ % % $

& $ $ & # ' # $+ , + , + , + , 35. entre B B #B " B B "% # # 36. entre+ &+ "!+ "!+ &+ " + #+ "& % $ # # 37. entre B C B B C BC C% % $ # # $

Determine la expresin algebraica por la que se debe multiplicar la primera paraobtener como producto la segunda

38. )B "! )B #B "!# 39. $B ' 'B ") $B# 40. #B C )B C$ $

Halle el polinomio por el cual se debe dividir el primero para obtener como cociente elsegundo.

41 " &B &B B " B$ % # 42. 'B "$B "#B *B #B $B7$ 7# 7" 7 7" 7 43. $7 (7 '7 #7 $7+ +" +# +" +

Qu polinomio debe dividirse por el primero para obtener como cociente elsegundo?

44. &B $B " $B (B %# # 45. " # $ " "# $ % % #

$ #B B B " B 46. # "$ #

+" +" # $B B # B $B #B

Efectue.

47. 48. 49. B $B # 7 #7 $ + )+ %50. 51. 52. 7 "#7 & %> $> # $C #$C #


8

53. 54. 55. #= $>$= #> $B # #B $# #56. 57. 58. $B &C $B %D 7 #8# # $59 60 61 #+ $, 7 8 &> %>= # # $ # $ # #62 63. 64 B C B C # B B B " ## $

$ & # # # $ #

65 66 67 #B $C#B $C '+ (,'+ (, #7 $8$68 69 70 &+ $, B 2 #B C $C D # $ $ $ # $ # % $71 72 %7 8 "%7 8 " $+ , #$+ , ## $ # $ B C B C73 74 B CB #BC C $7 8*7 $78 8 # # # #75 76 &B #C#&B "!BC %C + $, + $+ , *, # # # $ % # $ '

77 78 *B 'B C %C $B #C + , + , + ,% # $ ' # $ # # #a ba ba ba b79 80. + , - + , - #7 $7 & $7 "a b #81. 82. #> # > # $> # % #B "#B "$B %B $$ # $83. 84. B C D B #C# $85. 86. $7 "7 # #7 $ #B $C &D# #87. 88 + , - . & B C& B C#

Sin efectuar la divisin hallar el cociente de:

89. 90 91. " + B $# #(B )" + B # $B #

$ & $

92. 93. 94. + , " 7 '%B (#*C+ , " 7 #B $C

' ' ) ' '

# #

95. 96. 97. 7 8 B $' + , B7 8 B ' + , B

") ") ) $ $

$ $ %

98. 99. 100. 7 8 B C C (#*7 8 B C C $

( ( "! "! '

# #

Problemas varios. 101. Si tenemos un polinomio de grado y un polinomio de grado . Cul es el& $

grado de su suma? Cul es el grado de su producto? Qu se puede decir acerca delgrado de su diferencia?

102 Qu se puede decir acerca de la suma, la diferencia y el producto de dospolinomios de grado ?8

103. Escriba un polinomio en las variables y para el rea de la regin que se: ;muestra en la figura"

104. Escriba los polinomios correspondientes para el rea y el volumen de la figura#


9

p p

qx

x

20

18

3+x

Figura 1 Figura 2

105. Determine el nmero de trminos del desarrollo de a b+ $, + $,# # # 106. Un terreno rectangular, cuyo largo es el doble del ancho est encerrado por una

cerca de metros de almbre. Determine el rea del terreno en trminos de B B

2. FACTORIZACION

Factorizar una expresin algebraica es expresarla como producto de sus factores odivisores.

FACTOR COMN

Una expresin algebraica tiene factor comn cuando el mximo divisor comn de todossus trminos es diferente de 1.

Ejemplo 1

Porque el MCD de los#"B C #%B C "&B C $B C(B C )BC && # $ $ # # $ # terminos es 3x#C

Ejemplo 2

&!%7 8 %$#7 8 (*#7 8 # $ (7 8 # $ 7 8 # $ ""7 8$ & ( % ' $ $ $ $ # % % ( % $ $ ' $ # $ 7 8 (8 # $7 8 ""7 $ $ $ $ # % $ (#7 8 (8 '7 8 ""7 $ $ # % $

FACTORIZACIN DE BINOMIOS

Despus de verificar o aplicar el factor comn, se puede observar si a los dos trminosdel binomio se les puede extraer races del mismo ndice, se podrn factorizar siemprecuando estos ndices son impares y las diferencias cuando los ndices son pares. La


10

expresin se puede factorizar completamente si unicamente se utilizan la combinacin dediferencia de cuadrados con raices cuyo ndice es un nmero primo.

Ejemplo 3

B C B CB C# #

Ejemplo 4

B C B CB BC C $ $ # #

Ejemplo 5

B %!*' B #"# "# "# descomponiendo en factores primos = ( 2 2 diferencia de cuadradosB B ' ' ' ' = ( diferencia de cuadrados yB # B # B # B # B # $ $ $ $ # # % # # % suma de cubos =B #B #B # B #B #B # B # B # B # # # # # # # % # # % diferencia y suma y cubos respectivamente =a ba bB # B # B %B #B %B #B %#B %B "'# # # % # ordenando y desarrollando potencias

Ejemplo 6

#%$ + $ +& & & $ +$ $ + $ + $+ + % $ # # $ %

$ +)" #(+ *+ $+ + $ %

Ejemplo 7

7 8 " 7 8 "7 8 7 8 "* ") $ ' ' "# $ ' 78 "7 8 78 "7 8 7 8 "# # % # ' "# $ '

FACTORIZACIN DE TRINOMIOS

Los trinomios de segundo grado de la forma se pueden factorizar con+B ,B -#coeficientes racionales si existen dos nmeros enteros tales que su suma sea igual a y su,producto sea igual al producto de +-

Ejemplo 8

porque B (B "! B & B # & # (C & # "!# a ba b a ba bEjemplo 9


11

porque y 'B "$B & "& # "$'B "& 'B #'# a ba b

' & "a b $ #B & # $B #'

a b a b #B & $B #a ba b

Ejemplo 10

B B %#! B #" B #!# a ba bEjemplo 11

#)B %&B ( #)B %* #)B %#)# a ba b

( %B ( % (B "#)a b a b

%B ( (B "a ba bSIMPLIFICACIN DE RACIONALES

Para simplificar expresiones algebraicas racionales se factoriza denominador ynumerador y se simplifican si es posible.

Ejemplo 12

""& & #$ & !( $ #$ $ * # #

Ejemplo 13

B )B "& B & B $ B &B B "# B % B $ B % #

#a ba b a ba ba b a b

Ejemplo 14

%B " #B " #B " #B "

'B B " $B " #B " $B " #

#a ba ba ba b

TALLER 2

I. Factorice al mximo cada expresin con coeficientes racionales 1. 2. B #& "'B *B# # % 3 4. 7 %* )C '%# $


12

5 6 #&7 %8 7 8# # $ $ 7 8 #B C 'B C #B "'B$ # $ $ 9 10 + , '% BC B$ $ $ % 11 12 #7 8 #78 )" B$ $ % 13 14 "#B $BDB "* %

$ ##

15 16. *B )"B + %,% # # # 17 18 7 7 " 7 " B B #B ## $ # 19 20 #B7 $B8 #C7 $C8 +B +C #,B #,C 21 22 7 $778 $8 7 $778 $8# # 23 24 '!B ')B C "'B C &%B #7% $ # # $ $ 25 26 ")78 "&7 8 $7 8 #( B$ # # $ $ 27 28 $' 7 8 )+ #+ #+# # # $ 29 30 %B %B #% 'B $'B %)# # 31 32 "&7 '7 $7 B C "'# $ # # 33 34 B C ) '+, "%+ , %+ ,$ $ $ # # $ 35 36 %B $#C BC #B C #C$ $ #

37 38 B &B BC &C +B #,B +C #,C#39 40 "&+- #!+. $,- %,. + #+ + #$ #41 42 , + , + + ,# % %43 44 B $B % + $ "',% # # #45 46 + , %- . #&%B "#BC *C *+ ,# # # # # #47 48 + " #+ + )+ %' $ #49 50 #& B #BC C "'+ + '+, *,# # % # #51 52 B B %B % < #% $ #67 68 B $BC %C "#7 8 #(78# # $ $69 70 +: +; C: C; C , C ,#71 72 $B #%7 7 78 %7 %8$ $ #73 74 $B #BC (C #B BC $C# # # #75 76 #B )C #%B C %&BC $'B C# # # # $ $77 78 "#B "#B C #!B C B C B% $ # # # #79 80 + #+ , , B C% # # % ' '81 82 %B *C 'C " "%B %&BC "%C# # # # %

83 84 #&7 %*8 %&+,- "&+-# # # # 85 86 #(B )C B *B "%$ $ # 87 88 &8 "&8 $B %B (# $ # 89 90 $#+ #%$, B *B #!& & # 91 92 7 8 "(7 8 $%78( ( # $ % 93 94 +B +C ,B ,C #&+ $!+, *,# # %


13

95 96 $#B C #%B C "#B C "#&B "# % # ' % ' 97 98 D D $! " "#)+# ( 99 100 ,B B , " 7 8* %*% #&

% "#

101 102 < #< " #?@ &AD #?D &A@# 103 104 7 (7 "! %, " , %+# $ # 105 106 #: (: & $# 7# & 107 108 ),B #, + + "$## # 109. 110 #: : #: " %> &> #"$ # # 111. 112. " + #+, , %7 B %7# # # $ #

113. 114. ); #; $ # "#& $' $#&C C% #

115. 116. " #&'@ " $+ $+ +) # $ 117. 118. )+B "#+C "!,B "&,C #C CD 'C $D# 119. 120. *+ , + , B #B B #$ $ # 121. 122. %B B C#7 ) )"%* 123. 124. B %B "# B C# ' ' 125. 126. + , + , + , +, C (C "!% $ # # $ % # 127. 128. B "!B #% "'> #> $# "! # # 129. 130. ' #&C &C = &= "%) % # 131. 132. + $+ $+ " *7 '7@ @$ # # # 133. 134. %*+ , "#"+ , B (B )# # ' $ 135. 136. "&+> $,> &+= ,= B "!B # 137. 138. "!, #$, "# BB C CC B% # 139. 140. B " C " < = )># $ # $ $ $ $ 141. 142. + % %+ *B %D (DC #C# # # # 143. 144. B C > " > ># # ' # % 145. 146. B %*C , -# # #8 )8 147. 148. * 8 #& "!8 #(78 *8 #!7# # # 149. 150. "'B )B " B C# %8 '8 151. 152. &> (> ' '%B C# ' ' 153. 154. " + *8 '+8 B #B "# # "# ' 155. 156. $B C *B C B #&B# $ $ # $ 157. 158. B %B B $B %% # # 159. 160. "#B B ' B # # 161. 162. $%$B C + ,$ * ' ' 163. 164. B "' B #B B) & $ 165. 166. %B B $ + , ## $ $ 167. 168. B %B ) #B $+ , &+ , #$ # # 169. 170. *C $(C % B C# & & 171. 172. "#)B &% $+,B #C #B $+,C$ # # # # 173. 174. #B C &B C # + $+ , *,# % # # % 175. 176. #(+, *, #!+ B # # $ )B$ 177. 178. $!+ "$+ "! $#B C #%$# "! "&


14

II. Simplifique cada expresin

179. 180 181. + ++ +

BB

$ $

& )

&% 182. 183 184

+ ++

*" #!('& $%&'

185 186 187 #!7 8 %B " + , +,"&7 8 'B $B +, ,

% ' # # #

& # # #

188 189 190 B % + "', #!B C DB %B % %+, "', "&B C D

# # # & $ '

# # ' ' #

191 192 193 B BC #B #C $' &- &.B #BC C '! - -.

# ' (

# # * & #

194 195 196 B #B C C B C #B CB C B C B C )B C

% # # % % %

% % # # # $ $

197 198 199 #C ##C '! > $> #) B &B '(& $C > %> #" B #B $

# # #

# # #

200 201 202 , " B % B *B #!, , , " B #B B B #!

$ # #

% $ # #

203 204 205 $B #(B #% 7 7 #! C #B "'B "%B 7 (7 "! C "#&

# # #

$ # # $

206 207 208 C * > '> "! $< "#> $' < # "

, # , ", > #

> #

> > #> "",

#

73 74 " " " "

" " " "

" " " "" B " B


20

75 76 "

> "

" B " "> B> " " "

" ">B

77 78 " # " "

" "B" #B #

79 80

B B , +B # B # + , + , B # B #B # B #

+ ,+ , + ,

81 82 B " " " " "B #B " $B $ ' $B $B %B $B 'B $

#

# # # #

83 84 " " "$B $B B #B " &B

8 88 7

" 78 7# # #

#

#

# #

85. " # " #= "= = = = = # # $ 86.

C #(C C C " CC C C C $C *C CC $ C $

% % #

$ # % $ # #

87. 7 # 7 " %7 '7 $$7 " $ #7 '7 ""7 $

#

#

88. # " $

#> &> $ #> > ' > > # # # #

89. # $ "

*B 'B " B " $B #B " # #

90. " "#B %B $B )B $B " %B ""B $ B * # ## # 91.

B ( $B & %B &B B ' #B &B $ #B &B # # # #


21

92. " "#B %B $B )B $B " %B ""B $ B * # ## # 93. 8 ) #8 ) 8 #88 # 8 %8 8 #8 %8$ # $ #$ $ # 94. B B C C B C B C B C# # " " " $ $ # #" " " 95.

*B "'C BC #B B $C$B &BC "#C $BC %C #B C

# # #

# # #

96. + + , + ,, + + , + #+, , # # # ## # 97. - #(+ , +- ,-*+ , +- ,- $'+ #+, , % $ $ $ $# # # # 98.

#B % B & B $B )B "& B B ' B $B "! # # #

99 B BC B C B C #BCBC C B C #BC BC B C

# # # # #

# # # # # 100 B BC B C B #BC CBC C B C #BC B C BC # # # # ## # # # # 101 B " #B B # B &B "% B )B (# # #

4. ECUACIONES E INECUACIONES

ECUACIONES

Una ecuacin es una igualdad que se satisface para determinado(s) valor(es) de la(s)incgnita(s), por lo tanto resolver una ecuacin es hallar los valores que verifican laigualdad, para lograrlo se deben efectuar operaciones, aplicar propiedades y definicionesde tal forma que se puedan explicitar los valores de las incgnitas.

Ejemplo 1


22

Halle la solucin de la ecuacin:

, se aplica propiedad distributiva& B $ ( #B " !a b a b , se reducen trminos semejantes&B "& "%B ( ! se suma a ambos miembros de la *B ## ! igualdad ## se dividen ambos miembros por *B ## * B ##*

Ejemplo 2

si 2, multiplicamos por5 " "#

B # B # $ B # ambos miembrosa bB # # 5 efectuando operaciones " "#B # $ B #a b# 5 12 sumamos a ambos lados " "#B #% $B B "## 12$B B "##

24 1 factorizando$B B # !#

7 1 por lo tanto$ B B !a ba b 7 y 1 teniendo en cuenta la condicinB B inicial, las soluciones se prueban y se validan

Ejemplo 3

Resuelva la ecuacin con radicales:

como en cada miembro hay una raz cuadrada, se" B & # B elevan al cuadrado ambos miembros dela igualdad " B & # B# # se reducen terminos semejantes" # B & B & %B 2 Se eleva nuevamente al cuadrado a bB & $B '# # se efectuan operaciones y se reducen trminos% B & *B $'B $'a b # las soluciones de esta ecuacin son*B %!B "' !#

se verifica en la ecuacin original y solo sirveB #! # *"*


23

B #! # *"*

Ejemplo 4

Halle la solucin del sistema de ecuaciones:

si , multiplicamos por 5 y 4# %B C # B ! C !

$ & "B C %

respectivamente

Eliminamos "! #!B C "! C

"# #!B C "

##B *

en proceso similarB ##* C %%"$

Ejemplo 5

Resuelva la ecuacin exponencial:

Expresando en factores primosa b#( "*$B" Aplicando propiedades de la potenciacin $ "$$ $B" # Se obtiene una ecuacin lineala b a b$ $*B$ # Solucionando*B $ # B "*

Ejemplo 6

Halle el conjunto solucin de la inecuacin: $B $ (

Sumar 3 a ambos lados$B $ ( Multiplicar por$B "! "$ Solucin (- ,B _ "! "!$ $


24

Ejemplo 7

Halle el conjunto solucin de: & "%B %8

1

1 Multiplicando por 48& "%B %

8 4 Sumando 8#! %B % 5 Dividiendo por 4#) %B # 1 Solucin ( B $ ( "$

Ejemplo 8

Halle el conjunto solucin de: $ &

B $ &B "Solucin:

Trasponiendo trminos$ &

B $ &B " !

Hallando comn denominador$&B " &B $B $&B " !

Efectuando operaciones"&B $ &B "&B $&B " !

Reduciedo trminos semejantes"!B "#

B $&B " !

Factor comn#&B '

B $&B " !

Dividiendo por 2 ambos lados.&B '

B $&B " !

A continuacin hallamos las races de los factores del numerador y el denominador para representarlos en una recta real con sus respectivos signos:

&B ' ! B $ ! &B " ! B B $ B ' "& &


25

$ " '& &&B ' B $ &B " V

Observando la ltima fila del cuadro podemos conclus que la solucin es: W _ $ " '& & Los extremos donde aparecen las races del denominador son abiertos, porque la divisin por cero est excluda.

Ejemplo 9

Halle el conjunto solucin de: lB $ll#B "l "

Solucin:

Multiplicando los dos lados porlB $l l#B "l l#B "l Propidad del valor absolutoB $ #B "# #a b a b a bB $ #B " !# # B $ #B " B $ #B " !a b a b a b a b a ba b$B # B % ! a ba b$B # B % !

%$B # B % V

#$

La solucin es W _ % _#$


26

TALLER 4

Resuelva las siguientes ecuaciones

1. 2. $B & #B " ! B # $ B" $& "!

3 4. . &B $ * !&B # (

5 6 (B ( #B " " $B B #

7 8. & $B & &B%B B B "* # & &

9 10 B B B B B #B $ 'B ($ & % # % $

11 12 $B " &B $ %B # $ B $B *& %a b a b a b# # # 13 #B ( # B $B & B $ #B &$ "% #" # $ 14.

15 16 B %B % ! B #B $ ! # #

17 18 'B &B %B ! !B #B '"!! "! "! $ #

#

19 20 $& #" "# $ B $B # B # B % B

a b#21 22 " " 'B ( 'B " #B $ #B#B " #B #B & $B "

23 24 " # B " $B *B " B " B B B B B $B a ba b # # #25. 26. $B & B #$B " % $B " #B &'B # %B "$

#

27. 28. % " &B ' $B ) )

B # B # B % B B $B##


27

29. 30. "&B "# )B ! B%)B "# *! !#

31. 32. %B (#B $#% ! # &B $ 'B # B B #B#

#

33. 34. $B " % & "!

B # B # B % A A # !# #

35 36 ! $B % $B & "# & 'B # B % B #B ) B % B $#

37 38 % $( B % " #

B " B #

39 40 ! B $ B $ $ ( %B $ B # B " B # B "

41 42 !#B $B % $B " #B # B # B % B &B # # 43 44 B #B $ B B B # $ #45 46 B $ ) " &B# a b $#47. 48.

&BB * " ( B B

49. 50. $ ' = & ! $ $B " B#51 52 B # #B % " B & # B 53 54 B # # #B $ #B " B " 55 56 B ( #B " B # # %B ( 57 58 B $$ B % B $ B $ #59. 60. # B " $B & #B " # !& #61. 62. k kB $ B ) " ! %B $ & 63. 64. k k k k#B ) $ $ #B " &


28

65. 66. 3 7 4k k k k#B ' * B 67. % " $B 'B $ 'B " 68 69 $B C $ !&C !!( !#B

&B "* $C !)B !(* !$C

70 71 $B #C "# C $B $(B #C ) 'B ) $C

72 73 # ## % #B CB C $ #$ & "B C %

B C# $ "

74 75 $B %C $D ' B #C D %B $C #D ( %B C #D " B #C D & B C D "

76 77 #B " B ' B $691 # #B log log log loga b # # # #78 79 B B ' #B $ % B ' ln ln log loga b a b a b a b# $ $80 81 / / "% # "! "! % #B &B B B"a b a b82 83 )" $#" "$ % a b #B" $B#84 85 # "!#% #B $ # log loga b a b B$ # $Halle el conjunto solucin de las siguientes inecuaciones:

86. 87. #B & & $B # "

88. 89. %B # &B $ $ #B & $

90. $ ( # !#B $ %B "& $ 91

92 93 " $ %B BB B # * # &


29

94 95 $B & &B B B " B B B B& & $ & % #

96 97 #B $ 'B ( $ B $B *% $ & %

98 99 #B ( # B $B & & '$ "% #" B % B $

100 101 $B " &B $ %B # B"B a b a b a b# # #102 103 ! B "$B % $B & "# "B # B % B #B ) B #

104 105 ! !'B "$B &B B "$B $'B % "%B %&B "% $ # % #

# #

106. 107. %

$B # ! B % BB "# #

108. 109. B $B $ B & B #B B " !#

110. 111. $B "B #

#B & ! B#B $ &

112. 113. "'B *B #&B *B !# #

114. 115. B #B %B ) ! #B $B #B $ !$ # $ #

116. 117. B $B # ! 'B #$B #! !# #

118. 119. & # &

B $ &B " B * B &

120. 121. B %B B ' ! B $B "!B !$ # $ #

122. 123. B " % ##B $ $B # B " #

124. 125.B "B $ # $ #B "

B * B # B " B " ! #

#

126. 127. 3 B B 'B " '

# k k%B &


30

128. 129. k k k k$B $ #& &B % #130. 131. k k$%B " & # #B " $132. 133. B "' B #& !# #

134. 135. *B "!! ! #&B " !# #

136. 5 137. k k% #B B B 'B " '#138. 139. k k#B "" $B & ( $B *140 141 $ #B % % B$

142 143 ! " ""&B ) $B"$ % 144. 145.k k&B # $ "B %B "$B % 146. 147. k k k kB # #B " ( BB * !#

5. FUNCIONES

Una funcin es una tripla, conformada por dos conjuntos (dominio y codominio) y unaregla o ley que asigna a cada elemento del dominio uno y solo un elemento delcodominio

Ejemplo 1

Hallar la ecuacin de la recta que pasa por los puntos P Qa b a b# % " # Pendiente de la recta7 7 #

C CB B " # $

# % '# "# "

Ecuacion de la rectaC C 7 B B C % # B #" "a b a bEjemplo 2


31

Expresar en forma cannica la cnica %B *C $#B ")C $( !# #

Como los coeficientes de y son de igual signo y diferente valor es unaB C# # elipse Agrupandoa b a b%B $#B *C ")C $(# # 4 Factor comna b a bB )B * C #C $(# # 4 , Completar el trinomioa b a bB )B "' * C #C " $( '% *# # Factorizando% B % * C " $'a b a b# # Dividiendo por 36

a b a bB % C "* % "

#

Como se deduce:2 % 5 " + $ , #

centro focos y- & % " % & " % & " a b Vertices y longitud de los ejes 6 y 4 respectivamente.a b a b ( " " " Ejemplo 3

verificar si las siguientes funciones son pares o impares A. Como0 B #& Ba b # Es decir0 B #& B #& Ba b a b # # La funcin es Par0B 0 B

B. Como0 B #Ba b $ Es decir0 B " "

B Ba b a b$ $

La funcin es impar0 B 0 Ba b a bEjemplo 4

Determinar dominio y recorrido de las siguientes funciones:

A. 0 B B "' da b # Como la raz par en se define para


32

nmeros mayores o iguales a cero solucionando la inecuacinB "' !# a ba bB % B % ! Dominio de la funcinB % 9 B % _ % %_

Para determinar recorrido se despeja la variable independiente y se analiza Elevando al cuadradoC B "'# # DespejandoB C "'# # Extraer raz cuadradaB C "' # Como es siempre mayor que cero y en la funcin original se toma la raz C "'# positiva el recorido es [!_

B. C "B &B %# Como la divisin por cero est excluida

B &B % !# y Es decir dominio de la funcinB % B " d " %

Despejando se obtieneB Como ya que si se obtiene 0=1CB &BC %C " ! C ! C !# seaplica la frmula para ecuaciones cuadrticas

como resultaB &C #&C %C %C "

#C a b#

La cantidad subradical debe ser no negativaB &C #&C "'C %C#C # #

9 Solucionando la inecuacinC %C !#

o Es decirC C !%* Recorrido de 0 _ !_%*

TALLER 5

Hallar la ecuacin y la grfica de la recta que

Tiene pendiente y pasa por el punto 7 T

1. , 2 7 T # % 7 " T $ " #% # $a b Pasa por los puntos:


33

3. y 4 ya b a b $ # # $ " " # "# % $ ' Es paralela a la recta dada y pasa por el punto T

5 6 C $B # T # " 'B $C " T " "a b a b Es perpendicular a la recta dada y pasa por el punto T 7 8 $B % &C # T # $ " T " #B C# $a b En cada uno de los siguietes ejercicios identifique el tipo de cnica, expresela en

forma cannica y describala.

9. 10 B C 'B )C "" ! $B $C ")B ")C #( !# # # #

11 12 B %B )C "# ! %B *C $#B ")C $( !# # #

13 14 B *C %B $'C %" ! #B "#B #%C $! !# # #

15 16 %B $'C &(' $B C $!B () !# # # #

Justificando su respuesta seale cuales de las siguientes funciones son pares, impareso ni par ni impar.

17. 18 0B B #B " 0B /# B "#

19 20 0B -9=#B 0B &=/8$B

21 22 0B 0B " BB $ B "# $ Determine el dominio y el recorrido de cada una de las siguientes funciones

23. 24 0B %B %B " 0B B $' # # 25 26 0B % B 0B B * 27 28 0B #& B 0B BB "

# 29 30 0B B $B " 0B "B %

##

31 32 0B 0B $ B "%B %&B "%B (B "# #B (##


34

33 34 0B 0B &B 'B ) $ B&B % B " # #

Halle el dominio, recorrido, asntotas horizontales y verticales (si existen), cortes con losejes y grafique las siguientes funciones:

35 36 C B %B & C %B "#

37 38 C C #B $ "B " B "#

39 40 C C " # BB % B $#

41 42 C B % C * B # # 43 44 C B $ C %B &k k k k#Realizando traslaciones y reflexiones, trace la grfica de:(Indique el dominio y el recorrido de la funcin)

45 46 0B B # 0B $"B &

#

47 48 0B & 0B B $ #"B $$

49 50 0B $ B 0B $ B " k k$ 51 52 0B B " # 0B B %B "# #

53 54 0B B $ 0B ""B #

#

55 56 0B B % # 0B B $k k g hConsidere la grfica de la funcin 0

1 2 3 4 5

1234

Grafique:


35

57. 58 0B # 0B

59. 60 0B " # 0B # $

61 62 % 0& B 0$ B "

63 Determine una frmula para 0B

Realice un esquema de las grficas de::

64. 65. 1B B $ # 1B B " %k k k k$ # 66 67 1B =/8B 1B B # $k k k kk kProblemas varios:

68. Un terreno rectangular se cerca con un alambre de 1000 . Determine el rea7del terreno en funcin de la base. Si la longitud de la base es y el rea B EBgrafique y encuentre el rea mxima.EB

69. La suma de dos nmeros es 25. Llame a uno de los nmeros. Escriba unaBexpresin para la suma de los cuadrados de los nmeros en funcin de llmelaBWB WB Grafique y encuentre los valores mximo y mnimo de la suma decuadrados.

70. Con un trozo de alambre de 10 de longitud se construye un cuadrado y un7tringulo equiltero. Si el lado del cuadrado tiene longitud Defina una expresinBpara la suma de las reas en funcin de Grafique y halle los valores mximoW B WBy mnimo de la suma de las reas.

6. ALGEBRA DE FUNCIONES.

Ejemplo 1

Si y determinar0 B &B # 1 B #B $a b a b # A. a ba b a b a b0 1 B 0 B 1 B &B # #B $a b a b# #B &B

B. a ba b a b a b1 0 B 1 B 0 B #B $ &B #a b a b# #B &B "#


36

C. a ba b a b a b0 1 B 0 B 1 B &B # #B $a ba b# "!B %B "&B '$ #

D. a b a ba b01 B 1 B0 B #B $&B #

#

Si 0 B ! &B # ! B #&a bEjemplo 2

Si determinar0 B $B " 1 B B $ 0 1 B a b a b a ba b# a ba b a ba b0 1 B 0 1 B 0 B $a b $ B $ "a b# $ B 'B * "a b# $B ")B #'#

TALLER 6

Si y determine su dominio y recorrido y halle:0B $B " 1B #B "

1. 2 a ba b a ba b0 1 B 0 1 ! 3 4 0 1 B 0 1 Ba ba b a ba b 5 6 0 1 # Ba ba b a b 01 7 8 0 1 B 0 1 $a ba b a ba b 9 10 1 0 B 0 0 Ba ba b a ba b


37

Si , complete la0B %B " 1B " #B 2B


38

45. 46 0 B % 0 B $a b a bB B 47 48 0 B $ 0 B $ "a b a bB B 49 50 0 B # $ 0 B $a b a b a bB B" 51 52 0 B 691 B 0 B 691 B %a b a b a b$ $ 53 54 0 B 691 B 0 B 691 Ba b a b a b# "

#

# 55 Una muestra de 20 gramos de un material radiactivo se descompone de acuerdo

con la funcin 2 donde es el nmero de gramos presente0 > !/ 0 >a b a b!!!&!">despus de t das, determine la vida media del material.

Verifique que la funcin es uno a uno, halle compruebe que 0 0 0 0 B B" "y grafique y 0 0"

56 57 0B 0B $B &"B "

58 59 0B B " 0B /$ B

60 61 0B # 0B $B "#B "B

Determine un intervalo donde la funcin es uno a uno. Realice una restriccin deM 00 M 0 0 0 0 sobre el intervalo ( Halle y grafique y M MM M" "

62 63 0B B 0B B #B %# #

64 65 0B " B 0B *B " # # 66 67 0B " B 0B B $B " # # Determine tal que 0 0 1B 2B

68 69 1B B 2B #B " 1B B 2B &B %# # k k 70 71 1B B 2B 1B $B " 2B #B

BB #

Determine tales que 0 1 < 0 1


39

72 73 2B #B % 2B / # # B "#Dada la grfica de haga la grfica de 0 0"

Y=f(x)

X

YY=f(x)

X

Y

74

y=f(x)

X

Y

y=f(x)

X

Y

75

7. TRIGONOMETRIA

TALLER 7

1 Complete la tabla:

Grados sexagesimales 30Radianes

%& '! *! "#! "&! ")! #"! #%! #(! $!!

2 Complete la tabla:

Grados sexagesimalesRadianes 1

1 1 1) * )

$& &%& &


40

3 Determine la longitud de un arco generado por un ngulo de en una $!circunferencia de de radio."!-7

4. Determine la longitud de un arco generado por un ngulo de 1% -9= >+8 " -9= ) ) ) ) ) )# # #

19 20 -9= =/8 >+8 =/- =/8 -9= " =/8#) ) ) ) ) ) )a b#21 22

" -9> >+8 "-9> -=- >+8 " =/- =/- >+8

# $) )) ) )) ) )

23 =/- -9> " -=- " >+8 # -=- =/-) ) ) ) ) )a b a b a b


41

24 =/8 -9= =/8 -9= # >+8 -9= -9> =/8a b a b a b) ) ) ) ) ) ) )# # # # # #25 -=- =/-=/- -9> -=- >+8-9= =/8

) ) ) )) ) ) )

26 #-=-=/8 " -9=" -9= =/8) )) ) )

27 28 -9=# #-9= " >+8=/8#" -9=#) ) )))

#

29 30 1 -=-# >+8 -9=# -9=# "" >+8 " =/8# =/8% #

) ) )) ) ) )

31 #>+8#=/8 -9= =/8 -9=-9= =/8 =/8 -9=) ) ) )) ) ) ) )

Encuentre los valores de que satisfacen las siguientes ecuaciones trigonomtricasBsi toma valores en el intervalo B ! # 1 32 33 #-9=B $ ! '-9= B -9=B # ! #34 35 -=- B #-9> B =/8 B -9= B $

# # " " 136 37 B=/8C & B-9=C "

B-9=C # B>+8C "

38 39 B C =/8B -9=C $ #>+8B>+8C %

"

B C %*

1

1

40 41 >+8 B >+8 #B >+8 $ =/8 $B =/8 B $" " " " " 1

Realice un esquema de las grficas de:

42. 43 C #=/8 C =/8# ) )

44 45 C =/8 C =/8 " "# #) )

46 47 C #-9= C $=/8 "% $) )1 1


42

48 C =/8$ #$ C $-9=k k k k) )49 Utilizando una circunferencia unitaria, los segmentos y rectas notables y los

ngulos notables, grafique cada una de las funciones trigonomtricas en una hoja depapel milimetrado.

(cosa,sena)

cosa

senaa

(1,tana)

tanaa

8. LIMITES

TALLER 8

Dada si sisi

0B B % B $B " $ B $#B " B $

# 1 Grafique 2 0 0Blim

B$

3 4 0B 0Blim limB$ B$

5 6 0B 0Blim limB$ B$


43

7 8 0B 0Blim limB$ B#

9 10 0B 0Blim limB% B&

Dada si si 1B B % B ! B # B ! #

11 Grafiqe 12 1 1BlimB!

13 14 1B 1Blim limB! B!

15 16 1B 1Blim lim

B# B#

Considere la grfica de la funcin 2

1 2 43 5 76

3

2

1

Y=f(x)

Con relacin a la grfica anterior, determine los siguientes lmites.

17 18 2B 2Blim limB B"&"#

19 20 2B 2Blim limB"& B"&

21 22 2B 2Blim limB#& B%&

Encuentre los lmites si existen. Si el lmite no existe utilice el smbolo o _ _

donde sea apropiado:

23. 24 lim limB" B$

##

#$B 'B $ $B BB *

25 26 B " B #B "B % B $lim limB$ B## #

27 28 " B $B %B # B "lim limB# B"#


44

29 30 B %B % B B BB # Blim limB# B!# $ #

31 32 B $ B # "" B # B $

lim limB$ B$

33 34 # " B B %B " B $lim limB" B$#

35 36 B " B %B &B " B "lim limB" B"# #

37 38 B %B )

B "B #lim limB'% B# #

$ 39 40 > # #? $?> # ?lim lim># ?!

# 41 42 A * $A #A B "

B "lim limA! B"#

$ 43 44 B + B #(B + B *lim limB+

# # $

B" #

45 46 B , #B 2 #BB #,B , 2lim limB, 2!# # # #

# #

47 48 B )" #> &!B $ > $> "!lim lim@$ >&% #

#

49 50 $B # $B #B "&B $ % #B Blim limB_ B_#

#

51 52 %B B # B #$ #B B B $B "lim limB_ B_$

# % #

%

53 54 B " B "#B $ B "lim limB_#

B"

k k

55 56 B #B $B $lim limB$ B# k k c dk k


45

57 58 B "Blim limB& B! c dk k c dk k 59 60 B " &B $B B # #B B #

lim limB" # B_

$

' 61 62

B / B

B #B B '

lim limB_

"!! "B*) B#

#

#

63 64 # BB # B

$ B lim limB# B!#

" "$

65 66 " " # B #B lBl $ B $lim limB! B!

67 68 =/8 B =/8B" #B # B %lim limB# # B a b1 69 70 / >+8 B %$B 'Blim limB" B#

B B "#

##

71 72 B $B " B /lim limB_

#B

>+8B 1# 73. 74.lim lim

B# B"

$

$ #B )

B 'B "#B )B "

" B & '

Calcule para cada una de de las funciones definidas por:lim2!

0B 2 0B2

75. 76 0B %B # 0B B$

77 78 0B 0B #B $#B $&B "

Encuentre los puntos de discontinuidad de cada funcin y verifique si estos sonremovibles o no.

79. 80 si

si 0 B 0 B B B #B #

"B B !" B !

a b a b #

#


46

81 82si

si

sisi si

0B 0 B B B #B # B #

" B #

#B " B "$B " B "#B " B "

a b#

83 84sisi

si

si

0 B 0 B B % B #$B ' B #

% BB $B % B "

B %B # =3 " B #

B B #

a b a b

#

##

#

9. DERIVADAS

Ejemplo 1:

Halle la derivada de : C #B $B "

$ #

$

Solucin

Hacemos ? #B $ $ # de donde ? ##B $ 'B "#B #B $w $ " # # $ y de donde @ B " @ $B $ w #

Aplicando la frmula de la derivada de un cociente tenemos:

C ? @ ?@ "#B #B $B " #B $ $B @ B "w

w w # $ $ $ # #

# $ #

$B #B $%B " #B $B "

# $ $ $

$ #

$B #B $#B "B "

# $ $

$ #

Ejemplo 2:

Halle la derivada de : C " #B " $ $Solucin:


47

C " #B " " #B " a b$ $ "$ "$ Aplicando sucesivamente la regla de la cadena tenemos:

C " #B " ! #B " #" "$ $w

a b a b a b " #$ $#$ " #B " #B "#* a b a b" #$ $#$ #

* " #B " #B " a b$ $ # #Ejemplo 3:

Halle la derivada de :

C B >+8 B &% # &

Solucin:

C B >+8 B &% # &

B >+8B & a b# % & Aplicando la regla de la cadena:

C & B >+8B & " % >+8B & =/- B & #Bw # # # #% $% a b a b a b

& B >+8 B & " )B >+8 B &=/- B & a b% # # # #% $Ejemplo 4:

Trace la grfica de , utilizando la siguiente informacin:0B B %B #% #

a. Cortes con los ejes. b. Asntotas horizontales y vericales.(si existen) c. Intervalos donde es creciente, decreciente, mximos y mnimos. (Anlisis de la primera derivada) d. Intervalos donde es cncava hacia arriba, cncava hacia abajo y puntos de inflexin. (Anlisis de la segunda derivada)

Solucin:

Observe que es una funcin par, puesto que0


48

por lo tanto la0 B B % B # B %B # 0B% # % # grfica de es simtrica respecto al eje 0 ] a. Cortes con los ejes. Para hallar el corte con el eje , hacemos 3 ] B !

0 Obtenemos el punto 0 ! %! # # ! #% #

33 Para hallar el corte con el eje tomamos y\ C !0B despejamos el valor de B

B %B # !% #

En este caso tenemos una ecuacin de la forma con y aplicando la frmula+D ,D - ! D B# #cuadrtica tenemos:

B % % %" #

#"#

# B % "' )#

#

B % #%##

B % # '#

#

Obtenemos cuatro soluciones:

B B % # ' % # '# #" #

B B % # ' % # '# #$ %

De estas soluciones nicamente son nmeros reales yB !'(" B !'(# Los puntos de corte con el eje son: y \ !'( ! !'( !

b. Asntotas horizontales y vericales.(si existen)


49

La funcin es del tipo polinomial y no posee asntotas.0 c. Intervalos donde es creciente, decreciente, mximos y mnimos. (Anlisis de la primera derivada)

i) Hallamos la primera derivada. 0B B %B #% # ' 4 80 B B B3 ' , es decir, determinamosi3) Realizamos el anlisis de signos de 0 B los intervalos donde ' ' ' .0 B ! 0 B ! 0 B ! Para esto es suficiente analizar el caso ' .0 B ! ' 4 80 B B B %B%B # !3 # El segundo factor siempre es positivo sin importar el valo%B ## que tome por lo tanto los signos de la derivada dependenB nicamente del primer factor. El primer factor , cuando y , cuando %B ! B ! %B ! B ! por lo tanto: ' para luego es creciente en 0 B ! B ! 0 !_ ' para luego es decreciente en 0 B ! B ! 0 _ ! ' para luego tiene un punto crtico en en0 B ! B ! 0 B ! este caso es un mnimo, puesto que antes de esB ! 0 decreciente y despus de es creciente.B ! 0

Resumiendo la informacin anterior en un cuadro de signos tenemos:

'

!0 B 0

738

i33) Calculamos lo ordenada del punto mnimo, reemplazando enB ! 0B 0 El punto mnimo es el punto de0 ! %! # #% # corte con el eje ] ! #

d. Intervalos donde es cncava hacia arriba, cncava hacia abajo y puntos de inflexin. (Anlisis de la segunda derivada)

i) Hallamos la segunda derivada. 0 ' 4 8B B B3 0 B "#B )w #w , es decir, determinamosi3) Realizamos el anlisis de signos de 0 Bww los intervalos donde .0 B ! 0 B ! 0 B !w w ww w w Para esto es suficiente analizar el caso .0 B !ww


50

, para todo luego, siempre es0 B "#B ) ! B 0w #w cncava hacia arriba y no tiene puntos de inflexin. Resumiendo la informacin en un cuadro de signos:

0 B 0ww -

A continuacin realizamos la grfica de la funcin con todas las caractersticas0 anteriores.

Ejemplo 5:

Trace la grfica de , utilizando la siguiente informacin:0B B $B *

#

#


Solucin:

Observe que es una funcin par, puesto que0

por lo tanto la grfica de es0 B 0B 0 B $ B $ B * B *

# #

# #

simtrica respecto al eje ]


51

a. Cortes con los ejes. Para hallar el corte conel eje , hacemos 3 ] B !

0 Obtenemos el punto 0 ! ! $ $ " "! * * $ $

#

#

33 Para hallar el corte con el eje tomamos y\ C !0B despejamos el valor de B

B $B * ! B $ !#

##de donde

B $# k k B $ , o, B $ B $ Obtenemos los puntos de corte con el eje y \ $ ! $ ! b. Asntotas horizontales y vericales.(si existen) Como es una funcin racional, es posible que tenga asntotas:0 i) Asntotas verticales. Los valores de que anulan el denominador se obtienen alBdespejar , de dondeB ./ !B *# B *# k kB $ o B $ B $ Para determinar el comportamiento de para valores cercanos0Ba y examinamos los siguientes lmites:B $ B $

lim limB$ B$

0B B $ 'B * ! _ !#

# significa que el

denominador tiende a cero por valores negativos, cuando tiendeBa 3 por valores menores que 3)

lim limB$ B$+ +

0B B $ 'B * ! _ !#

# significa que el

denominador tiende a cero por valores positivos, cuando tiende aB 3 por valores mayores que 3)

Como es una funcin par obtenemos el mismo comportamiento0 en cercanieas de es decir:B $

limB$ B$

0B lim B $ 'B * ! _ !#

# significa que el

denominador tiende a cero por valores positivos, cuando tiende aB


52

3 por valores menores que 3)

lim limB$ B$+ +

0B B $ 'B * ! _ !#

# significa que el

denominador tiende a cero por valores negativos, cuando tiende aB 3 por valores mayores que 3)

Hay asntotas verticales en y y la grfica tiene el siguiente B $ B $ comportamiento:

ii) Asntotas horizontales. Examinamos los lmites a y a ._ _

lim limB_ B_

0B B $B * #

# este lmite tiene la forma

indeterminada que en casos como este se elimina dividiendo el__

numerador y el denominador por la mayor potencia de la variable (B #

lim B_ B_ _

0B lim B $B *

B $B B

B *B B

#

# B

#

# ##

# #

lim

lim "" $B" *B

B

#

#_

los trminos y tienden a cero cuando B _$ *B B# # Como es par, se obtiene el mismo comportamiento cuando0 es decir:B _ lim

B_0B "


53

Hay una asntota horizontal en C "

c. Intervalos donde es creciente, decreciente, mximos y mnimos. (Anlisis de la primera derivada)

i) Hallamos la primera derivada (derivada de un cociente).

0B B $B * #

#

' 20 B BB * B $#BB *

# #

# #

2 BB * B $B *

# #

# #

2 " BB *# #

' , es decir, determinamosi3) Realizamos el anlisis de signos de 0 B los intervalos donde ' ' ' .0 B ! 0 B ! 0 B ! Para esto es suficiente analizar el caso ' .0 B ! '

20 B ! " BB *# #

El denominador es positivo para todoB *# # por lo tanto los signos de la derivada dependenB $ $ e f nicamente del numerador.

El numerador , cuando "#B ! B ! B $ , cuando y "#B ! B ! B $ , cuando , por lo tanto: "#B ! B !


54

' para luego es creciente en -3 ,0 B ! B ! 0 _ ( $ ! ' para luego es decreciente en 0 B ! B ! 0 ! $ $_ ' para luego tiene un punto crtico en en0 B ! B ! 0 B ! este caso es un mximo, puesto que antes de esB ! 0 creciente y despus de es decreciente.B ! 0

Resumiendo la informacin anterior en un cuadro de signos tenemos:

asnt mx asnt

$ ! $0 B 0w

i33) Calculamos lo ordenada del punto mximo, reemplazando enB ! 0B 0 El punto mximo es 0 ! " "$ $

d. Intervalos donde es cncava hacia arriba, cncava hacia abajo y puntos de inflexin. (Anlisis de la segunda derivada)

i) Hallamos la segunda derivada. (Derivada de un cociente)

0 ' 2B " BB *# #

2 20 B " B * " B#B *#BB *

w w# # #

# %

2 " B *B * %B B *

# # #

# %

2 " B * * $B B *

# #

# %

$'B *$ B B *

# #

# %

$'$ B B *

#

# $

, es decir, determinamosi3) Realizamos el anlisis de signos de 0 Bww


55

los intervalos donde .0 B ! 0 B ! 0 B !w w ww w w Para esto es suficiente analizar el caso .0 B !ww

,0 B !$'$ B B *ww

#

# $

El numerador es positivo para todo luego el signo de B 0 B w w depende del denominador.

B * B $ B $# $ $ $

Para realizar un cuadro de signos tenemos que: Primer factor del denominador: B $ !$ $ $B $ !$ B $ ! B $ cuando y por lo tantoB $ ! B $$ ( cuando B $ ! B $$ Segundo factor del denominador: B $ !$ $ $B $ !$ B $ ! B $ cuando y por lo tantoB $ ! B $$ ( cuando B $ ! B $$

Resumiendo en un cuadro los signos de todos los factores que intervienen en , tenemos:0 Bww

$ $$'$ B B * B * 0 B 0

asnt asnt

#

# $

# $

ww - + - Observese que en los valores y donde hay cambio deB $ B $ concavidad no hay puntos de inflexin, sino que hay asntotas segn se determin anteriormente.


56

A continuacin realizamos la grfica de la funcin con todas las caractersticas0 anteriores.

Ejemplo 6:

Halle las ecuaciones de las rectas tienen pendiente y son tangentes a la #grfica

de 0B #B #

Solucin:

Para hallar la ecuacin de una recta debemos conocer un punto y la pendiente, en esta caso la pendiente es y corresponde a la derivada de la curva evaluada en # el punto de tangencia.

Para hallar los puntos de tangencia hallamos , la igualamos a y0 B #w despejamos B

0B #B ##B #"

0 B # "B # " #B #w #

#

= equivale a , de donde0 B # ##B #w

#


57

# #B ## " B ## " B ## " B #k k o, B # " B # " o , B $ B " Hemos hallado las abscisas de dos puntos de tangenccia; debemos hallar las ordenadas correspondientes.

Para tenemos 3 luego el primer punto es 3

B $ 0 # $ ## # Para tenemos luego el segundo punto es 1B " 0" # ##" #

La ecuacin de la recta que contiene al punto y tiene pendiente $ # 7 #es:

C # #B $ C #B )

La ecuacin de la recta que contiene al punto y tiene pendiente es:" # 7 #

C # #B " C #BLas ecuaciones de las rectas con pendiente que son tangentes a la curva son: # y C #B ) C #BA continuacin se presenta grficamente el problema:


58

TALLER 9

Halle la derivada de:

1 2 C =/8B C / B#3 4 C / C / =/8B>+8B B

5. f C " >+8 =/8" -9=)))

# % $>"# 6.

7. 8 0 =/- >+8 C " -9= (>) ) " "' # $)9 C B C $ $ #" "B B B 10 11 C C " -9= (>" -9= >=/8 >

" "'

# $ 12

Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva en el punto dado.

13 'B $BC #C "(C ' ! " !# #

14 B=/8#C C -9=#B 1 1% #

15 B -9= C =/8C ! !# # 1

Encuentre los puntos de la curva donde la recta tangente es horizontal.

16 17. C B %B " C B B 'B# $ #" &$ #

18 19 C =/8#B C #-9=B

Trace la grfica de la funcin indicada, utilizando la siguiente informacin:


20 21 C #B "&B $'B %! C B #B$ # % #


59

22 23 C #B $B "#B ) 0B B #B #B &$ # % $ #

24 25 0B $B )B 'B # C "B %% $ #

#

26. 27. C C " *B 'B BB "B "

#

## $

28. 29. C B ) B # C B %B "!% $30. 31.C B %B "!% $ C BB

$+1

Problemas varios.

32 Utilizando derivacin implcita halle /8 C =/8 " BC.C.B C"

33 La curva pasa por el punto y es tangente a la rectaC +B ,B - " ## en el origen. Halle C B + , -y

34 Halle las ecuaciones de las rectas que tienen pendiente y que son tangentes a " la curva C "B"

35 Trace la grfica de una funcin dos veces diferenciable con las C 0B siguientes propiedades:

B C DerivadasB # C ! C !# " C ! C !

# B % C ! C !% % C ! C !

% B ' C ! C !' ( C ! C !

B ' C ! C !

36 a.) Halle una ecuacin para la recta perpendicular a la tangente a al curva en el punto C B %B " # "$ b.) Cul es la menor pendiente de la curva? En qu punto tiene la curva esta pendiente?

37 Halle los puntos donde la curva cruza el eje , y muestre queB BC C ( B# # las tangentes a la curva en estos puntos son paralelas . Cul es la pendiente comn de estas tangentes?


60

Halle la derivada de cada funcin: 38. 39 0B 'B $B # 0B $B (B # B# $ ## # 40 41 0B B68B 0B / 68 B "#B #a b 42 43 0B B-9= 68B 0B E+8 /)B (B "& -=- B "

a ba b$ ## B# halle por derivacin implicita

.C

.B 48 49 B C BC B B (C &BC (# # # #

50 51 B C $B C %B C (BC "%B CC B$ # # $ %

52 53 &B $C C BC (B 'C $B #C B "# $ $ #

Halle las ecuaciones de las rectas tangente y normal a cada curva cuyas rectas tangentes pasan por el punto P dado.

54. P( 55 PC $B (B # " # C B/ ! !# B a b 56 P 57 P C B (B &B & # & % #B C $C B #

$ # a b a b 58 P 59 P B C BC B C & # " C B68 B " !# # #a b a b a b 60 P 61 P C B $B # ! " C B " $ %# #a b a b De cada funcin determine dominio, recorrido, intervalos de crecimiento, de decrecimiento, de concavidad hacia arriba y de concavidad hacia abajo, los puntos mximos y mnimos y los puntos de inflexin.

62. 63 C C /"" B#B#

64 C B/B


61

10. PROBLEMAS DE RAZON DE CAMBIO.

Ejemplo 1:

El volumen de un globo aumenta a una razn constante de 10 cm/h. Determine la variacin del radio cuando el volumen del globo es 1000 cm1 $

Solucin:

El volumen de una esfera de radio esZ < luego la variacin del volumen respecto al tiempo es Z < %$1

$

.Z % . $ .> $ .> % < 1

#

Despejando tenemos:.

.< " .Z.> % < .> 1 #

Cuando el volumen es 1000 cm reemplazando en la frmula del volumen1 $ tenemos:

, de donde "!!! < < % $!!!$ %1 11

1$ $

< (&! #$& & ' -7 $ $ $$ Cuando ; por lo tanto reemplazando Z < & ' -71000 cm tenemos que 1 $ $ en

obtenemos:.< " .Z.> % < .> 1 #

.< ".> % & '1 $ # 10001

.< "!!!.> "!! $'

11$


62

.< "! "! ' &.> ' $ ' -72$' $ $ $

Ejemplo 2:

Un embudo con agua, en forma de cono con el vrtice hacia abajo, tiene de& -7 radio y de altura."& -7 El embudo se est desocupando a razn de " -7 =/1$

a. Determine la razn de variacin del radio cuando el agua tiene una altura de "! -7

b. Determine la razn de variacin de la altura cuando esta tiene ."! -7

Solucin:

El volumen del agua contenida en el cono en cualquier instante es

(1) Z < 2"$1#

donde es la altura del agua y es el radio de la superficie del agua.2 #& B "! B# % #

Derivando respecto a tenemos:B

.> " " ".B # % #B # #& B #

.> B ".B % # #& B #

.> #B #& B.B % #& B

## Para hallar los puntos crticos hacemos

0 y resolvemos la ecuacin resultante respecto a es decir.>.B B

#B #& B% #& B

! ##

#B #& B ! # #B #& B # #B #& B # ## %B #& B# #

$B #

B #&$


68

En este caso es la distancia entre B y P y por lo tanto es positivo, luegoB

B #&$ Para determinar si en el valor obtenido el tiempo es mximo, utilizamos el criterio de la segunda derivada.

Como , entonces:.> " B ".B # % #& B #

. > ".B # !

" #& B B #B"# #& B

#& B

#

#

##

# #

. > "

.B # #& B#& B B

#& B## #

##

#

. > ".B # #& B

#& B B#& B#

# #

# #

#

. > " #&

.B # #& B

#

# # $ Observamos en la frmula anterior que para todo valor de por lo

. >

.B ! B#

#

tanto en el tiempo es mnimo.B #&$ El tiempo mnimo se obtiene rremplazando en B # )*#&$ ,> #& B "! B# %

# por lo tanto

>

#& #&$

# %

"! #&$

#

Ejemplo 2:


69

Encuentre la distancia mnima del punto a la parbola de ecuacinT# % .C ) B#

Solucin:

Representando graficamente el problema tenemos:

d

Sea un punto sobre la parbola y la distancia de a por la frmulaUB C . T U de la distancia tenemos:

. B & C "! # # como el punto est sobre la parbola entonces UB C C ) B#, por lo tanto al reemplazar obtenemos:

(. B & "! # #) B#) (. B & # # # B#) lo cual equivale a

(. B & # # # B#) El valor de que minimiza a es el mismo valor que minimiza a por loB . H . # tanto consideremos la funcin ( Con esta funcinH B & # # # B#) evitamos la raz cuadrada al derivar)

Para hallar los valores de que minimizan a :B H

a. Hallamos la primera derivada de H


70

(H B & ## # B#) H #B & ## B #Bw # H #B "!w )B %B$ H %B "!B "!w $

b. Hacemos y resolvemos la ecuacin resultante.H !w %B "!B "! !$ La ecuacin anterior es de tercer grado y su solucin algebrica no es sencilla, por lo tanto utilizando el programa DERIVE obtenemos la siguiente solucin:

B !(*(

c. Para determinar si en , toma un valor mnimo, aplicamos elB !(*( H criterio de la segunda derivada.

H %B "!B "!w $ H "#B "!ww para , ( )B !(*( H "# !(*( "! "* &'% !ww

luego en , tiene un valor mnimo y por lo tanto B !(*( H . H tambin es mnimo

La distancia mnima se obtiene reemplazando enB !(*( ( , luego. B & # # # B#) (. ! (*( & # # # ! (*(#)

TALLER 11

1. Determine el permetro mnimo de un rectngulo cuya rea es 2500 -7 #

2. Encuentre dos nmeros tales que su diferencia sea 30 y su producto sea mnimo.

3. Cules deben ser las dimensiones de un rectngulo de permetro 100 para-7 #que su rea sea mxima?

4 Halle el rea mxima de un tringulo rectngulo cuya hipotenusa mide 10 -7

5. Encuentre dos nmeros cuyo producto sea 20 y la suma de sus cuadrados seamnima.


71

6. Halle el punto de la parbola que est ms cerca al punto (5,4)C #B#

7. Un rectngulo tiene su base sobre el eje X y dos de sus vrtices sobre la parbolaC * B # encuentre el rea mxima del rectngulo.

8. Un agricultor tiene 500 de alambre para cercar un terreno rectangular limitado7por una pared de ladrillo. Determine las dimensiones del terreno de rea mxima.

9. Un cilindro circular recto debe tener un volumen de 400 Determine las-7 $dimensiones del cilindro para que el costo del material utilizado en suconstruccin sea mnimo. El costo de cada de material de la base y la tapa es-7#de $5 y el costo por del material usado en la superficie lateral es de $8. Cul-7#es el costo mnimo?

10. Un tingulo rectngulo cuya hipotenusa mide 10 , se hace girar sobre uno de-7sus catetos generando un cono circular. Determine las dimensiones del cono demayor volumen que se puede generar.

11. Encuentre las dimensiones del cono de volumen mximo que puede inscribirse enuna esfera de 10 de radio.-7

12. Con 1000 de alambre se quieren cercar dos terrenos, uno en forma de cuadrado7y oro en forma de crculo. Determine las dimensiones de los terrenos para que lasuma de las reas sea:

a. Mxima b. Minima.

13. Determine las dimensiones del cilindro circular recto de volumen mximo quepuede inscribirse en un cono circular recto de 15 de altura y cm de radio de-7 &la base.

14. Se quiere construr una caja sin tapa con un volumen de 25 Si la base de la7 $caja se debe construr de tal manera que el largo es el doble del ancho, determinelas dimensiones de la caja tal que el material utilizado en su construccin seamnimo.

15. Determine el volumen mximo de un cilindro circular recto que se puede inscribiren una esfera de radio +

16. Halle las dimensiones del cilindro circular recto de mayor volumen que puedeinscribirse en un cono circular recto de altura y radio 2


72

18. Cules son las dimensiones del cono circular recto que puede inscribirse en unaesfera de radio ?

algebra elemental y calculo dif 1

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