EDUCACIÓN VIRTUAL EN LINEA

ALGEBRA ELEMENTAL MODERNA Clase Nº 2: SISTEMA DE ECUACIONES

Prof. Christian Farinango

www.eduvirtual.tk

14/10/2010

A breves rasgos, con ejemplos sencillos y ejercicios de afianzamiento, se pretende introducir al

estudiante en el mundo de los sistemas de ecuaciones por los métodos de Eliminación,

Sustitución, Igualación y Gráfico, muy necesarios como base en el estudio del algebra. Este

documento está bajo la Licencia Creative Commons; esto quiere decir que puede hacer uso del

mismo y modificarlo siempre y cuando se reconozca su autoría.

Sistemas de Ecuaciones Lineales:

1. Método de Eliminación: Consiste en Eliminar una incógnita del sistema de ecuaciones

dado.

Ejemplo:

a) 3� � 2� � 13

b) 2� � 3� � 12

Para eliminar la incógnita “Y” debemos multiplicar a cada ecuación:

(-3) 3� � 2� � 13

(2) 2� � 3� � 12

Quedando de la siguiente manera:

9� 6� � 39

4� � 6� � 24 Procedemos a restar:

5� � 15 Despejamos:

X = 3

ESTE VALOR DE LA INCÓGNITA LOS REEMPLAZAMOS EN CUALQUIER ECUACIÓN Y

DESPEJAMOS:

3��� � 2� � 13

� � 2� � 13

2� � 13 �

� � �

2. Método de Sustitución:

i) Despejar una incógnita en cualquier ecuación.

ii) Sustituimos el valor de la incógnita despejada en la otra ecuación y

resolvemos.

Ejemplo:

a) 3� � 2� � 13

b) 2� � 3� � 12

Despejamos “Y” en la ecuación a) � � ������

Sustituimos en la ecuación b) m.c.m. = 2 2� � 3 ������� � � 12

Resolvemos: �2� �2� � 3 ������� � � 12�

4� + 3�13 − 3�� = 24

4� + 39 − 9� = 24

−5� = 24 − 39

−5� = −15

� = 3

Una vez encontrado el valor de una incógnita procedemos como el caso anterior a

reemplazarla en cualquier ecuación o en la ecuación despejada y resolvemos.

� = 13 − ����2

� = 13 − �2

� = �2

� = �

3. Método de Igualación:

i) Despejar una incógnita en las 2 ecuaciones.

ii) Igualar las dos ecuaciones despejadas y resolver.

Ejemplo:

� �� − � = −�� + �� =

Despejamos: �! = �� − �" = #���

Igualamos: �! =�"

m.c.m. = 2 �� − = #���

Resolvemos: ���� − � = + ��

�� − � = + ��

�� − �� = + �

� = �

Reemplazamos para encontrar Y:�! = �� −

� = ���� −

� = $ −

� = %

4. Método Gráfico.- Graficamos cada ecuación y los puntos (X ; Y) donde se intersecan las

rectas, son las soluciones al sistema.

Ejemplo:

a) 3� � 2� � 13

b) 2� � 3� � 12

Construimos las tablas de cada ecuación:

Dando Valores de 0 para X y 0 para Y en cada Ecuación.

Ecuación a) Ecuación b)

X Y

0 4

6 0

Ejemplos de Cálculo:

Ecuación a): Ecuación b):

X = 0 X = 0

3(0)+2y=13 2(0)+3y=12

2y=13 3y=12

Y=13/2 y=12/3

Y = 6,5 y = 4

Y = 0 Y = 0

3x+2(0)=13 2x+3(0)=12

3x=13 2x = 12

X=13/3 x=12/2

X = 4,33 x = 6

Graficamos:

Solución: X=3 Y=2 Estos son los puntos donde se intersecan las ecuaciones.

X Y

0 13/2 =

6,5

13/3 =

4,33

0

Casos particulares:

EL SISTEMA TIENE VARIAS SOLUCIONES: Cuando las rectas de sus dos ecuaciones coinciden en

todos sus puntos. Ejemplo:

&' � 2� � 3� � 64� � 6� � 12

EL SISTEMA NO TIENE SOLUCIÓN: Cuando las rectas de las ecuaciones no se intersecan.

Ejemplo: &' �3� 4� � 12

4� 4� � 24

EJERCICIOS:

RESOLVER LOS SIGUIENTES SISTEMAS POR LOS 4 MÉTODOS ESTUDIADOS:

i) ��� − � = �(�� + � = �)

ii) �(, �� + (, �� = �, %(, (%� + (, � =

iii) �(, ��� − �� = (, ��(, �� = (, %� + �� iv) +,�� − �� = �%�� + ��� = −,

v) -�� − �� = (��− �� = $

Referencias:

MANCILL J.D. GONZÁLEZ M.O. Algebra elemental moderna. Ed. Kapelusz, Buenos Aires –

Argentina, Volumen I, 1991.

SOLIS ZAMBRANO HNOS., Matemática para diversificado I, Printer-GO, Quito-Ecuador, 2007.

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