Álgebra de booleana

18
ÁLGEBRA DE BOOLEANA Muchos componentes utilizados en sistemas de control, como contactores y relés, presentan dos estados claramente diferenciados (abierto o cerrado, conduce o no conduce). A este tipo de componentes se les denomina componentes todo o nada o también componentes lógicos. Para estudiar de forma sistemática el comportamiento de estos elementos, se representan los dos estados por los símbolos 1 y 0 (0 abierto, 1 cerrado). De esta forma podemos utilizar una serie de leyes y propiedades comunes con independencia del componente en sí; da igual que sea una puerta lógica, un relé, un transistor, etc... Atendiendo a este criterio, todos los elementos del tipo todo o nada son representables por una variable lógica, entendiendo como tal aquella que sólo puede tomar los valores 0 y 1. El conjunto de leyes y reglas de operación de variables lógicas se denomina álgebra de Boole, ya que fué George Boole quien desarrolló las bases de la lógica matemática. Operaciones lógicas básicas Sea un conjunto formado por sólo dos elementos que designaremos por 0 y 1. Llamaremos variables lógicas a las que toman sólo los valores del conjunto, es decir 0 o 1. En dicho conjunto se definen tres operaciones básicas: SUMA LOGICA: Denominada también operación "O" (OR). Esta operación responde a la siguiente tabla: a b a+b 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 PRODUCTO LOGICO: Denominada también operación "Y" (AND). Esta operación responde a la siguiente tabla: a b a*b 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 NEGACION LOGICA:

Upload: manolo-par

Post on 04-Aug-2015

76 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

ÁLGEBRA DE BOOLEANA

Muchos componentes utilizados en sistemas de control, como contactores y relés, presentan dos estados claramente diferenciados (abierto o cerrado, conduce o no conduce). A este tipo de componentes se les denomina componentes todo o nada o también componentes lógicos.

Para estudiar de forma sistemática el comportamiento de estos elementos, se representan los dos estados por los símbolos 1 y 0 (0 abierto, 1 cerrado). De esta forma podemos utilizar una serie de leyes y propiedades comunes con independencia del componente en sí; da igual que sea una puerta lógica, un relé, un transistor, etc...

Atendiendo a este criterio, todos los elementos del tipo todo o nada son representables por una variable lógica, entendiendo como tal aquella que sólo puede tomar los valores 0 y 1. El conjunto de leyes y reglas de operación de variables lógicas se denomina álgebra de Boole, ya que fué George Boole quien desarrolló las bases de la lógica matemática.

Operaciones lógicas básicas

Sea un conjunto formado por sólo dos elementos que designaremos por 0 y 1. Llamaremos variables lógicas a las que toman sólo los valores del conjunto, es decir 0 o 1. En dicho conjunto se definen tres operaciones básicas:

SUMA LOGICA:

Denominada también operación "O" (OR). Esta operación responde a la siguiente tabla:

a b a+b0 0 00 1 11 0 11 1 1

PRODUCTO LOGICO:

Denominada también operación "Y" (AND). Esta operación responde a la siguiente tabla:

a b a*b0 0 00 1 01 0 01 1 1

NEGACION LOGICA:

Denominada también operación "N" (NOT). Esta operación responde a la siguiente tabla:

a a'

0 11 0

Propiedades del álgebra de Boole

Page 2: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

Las propiedades del conjunto en el que se han definido las operaciones (+, *, ') son las siguientes:

PROPIEDAD CONMUTATIVA:

De la suma: a+b = b+aDel producto: a*b = b*a

PROPIEDAD ASOCIATIVA:

De la suma: (a+b)+c = a+(b+c) = a+b+cDel producto: (a*b)*c = a*(b*c) = a*b*c

LEYES DE IDEMPOTENCIA:

De la suma: a+a = a ; a+a' = 1Del producto: a*a = a ; a*a' = 0

PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

De la suma respecto al producto: a*(b+c) = (a*b) + (a*c)Del producto respecto a la suma: a + (b*c) = (a+b) * (a+c)

LEYES DE DE MORGAN:

(a+b+c)' = a'*b'*c'(a*b*c)' = a'+b'+c'

Otras operaciones lógicas

A partir de las operaciones lógicas básicas se pueden realizar otras operaciones booleanas, las cuales son:

NAND, cuya tabla correspondiente es:

a b (a*b)'

0 0 10 1 11 0 11 1 0

NOR, cuya tabla correspondiente es:

a b (a+b)'0 0 10 1 01 0 01 1 0

XOR, también llamada función OR-EXCLUSIVA. Responde a la tabla:

a b a(+)b

Page 3: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

0 0 00 1 11 0 11 1 0

COMPUERTAS LÓGICAS

Todas las funciones lógicas vistas hasta el momento poseen una representación normalizada, la cual se muestra en la figura siguiente:

Toda puerta lógica consta de 1 o más entradas y 1 o 2 salidas (puede darse el caso de proporcionarse la salida y su negada). En todos los símbolos las entradas se encuentran a la izquierda y las salidas a la derecha.

Compuerta AND: 

Cada compuerta tiene dos variables de entrada designadas por A y B y una salida binaria designada por x.  La compuerta AND produce la multiplicación lógica AND: esto es: la salida es 1 si la entrada A y la entrada B están ambas en el binario 1: de otra manera, la salida es 0. Estas condiciones también son especificadas en la tabla de verdad para la compuerta AND. La tabla muestra que la salida x es 1 solamente cuando ambas entradas A y B están en 1.El símbolo de operación algebraico de la función AND es el mismo que el símbolo de la multiplicación de la aritmética ordinaria (*).Las compuertas AND pueden tener más de dos entradas y por definición, la salida es 1 si todas las entradas son 1.

Compuerta OR:  

La compuerta OR produce la función sumadora, esto es, la salida es 1 si la entrada A o la entrada B o ambas entradas son 1; de otra manera, la salida es 0. El símbolo algebraico de la función OR (+), es igual a la operación de aritmética de suma. Las compuertas OR pueden tener más de dos entradas y por definición la salida es 1 si cualquier entrada es 1.

Compuerta NOT: 

Page 4: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

El circuito NOT es un inversor que invierte el nivel lógico de una señal binaria. Produce el NOT, o función complementaria. El símbolo algebraico utilizado para el complemento es una barra sobra el símbolo de la variable binaria.

Si la variable binaria posee un valor 0, la compuerta NOT cambia su estado al valor 1 y viceversa.

El círculo pequeño en la salida de un símbolo gráfico de un inversor designa un inversor lógico. Es decir cambia los valores binarios 1 a 0 y viceversa.

Compuerta Separador (yes):

Un símbolo triángulo por sí mismo designa un circuito separador, el cual no produce ninguna función lógica particular puesto que el valor binario de la salida es el mismo de la entrada.

Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal. Por ejemplo, un separador que utiliza 5 volt para el binario 1, producirá una salida de 5 volt cuando la entrada es 5 volt. Sin embargo, la corriente producida a la salida es muy superior a la corriente suministrada a la entrada de la misma.

De ésta manera, un separador puede excitar muchas otras compuertas que requieren una cantidad mayor de corriente que de otra manera no se encontraría en la pequeña cantidad de corriente aplicada a la entrada del

separador.

Compuerta NAND:

Es el complemento de la función AND, como se indica por el símbolo gráfico, que consiste en una compuerta AND seguida por un pequeño círculo (quiere decir que invierte la señal).

La designación NAND se deriva de la abreviación NOT - AND. Una designación más adecuada habría sido AND invertido puesto que es la función AND la que se ha invertido. Las compuertas NAND pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función AND.

Compuerta NOR:

La compuerta NOR es el complemento de la compuerta OR y utiliza el símbolo de la compuerta OR seguido de un círculo pequeño (quiere decir que invierte la señal). Las compuertas NOR pueden tener más de dos entradas, y la salida es siempre el complemento de la función OR.

Mapas de Karnaugh  

Page 5: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

Los Mapas de Karnaugh son unaherramienta muy utilizada para la simplificación de circuitos lógicos.

Cuando se tiene una función lógica con su tabla de verdad y se desea implementar esa función de la manera más económica posible se utiliza este método.

Ejemplo: Se tiene la siguiente tabla de verdad para tres variables.

Se desarrolla la función lógica basada en ella. (primera forma canónica). Ver que en la fórmula se incluyen solamente las variables (A, B, C) cuando F cuando es igual a "1".

Si A en la tabla de verdad es "0" se pone A, si B = "1" se pone B, Si C = "0" se pone C, etc.

F = A B C + A B C + A BC + A B C + A B C + A B C

Una vez obtenida la función lógica, se implementa el mapa de Karnaugh.

Este mapa tiene 8 casillas que corresponden a 2n, donde n = 3 (número de variables (A, B, C))

La primera fila corresponde a A = 0La segunda fila corresponde a A = 1

La primera columna corresponde a BC = 00 (B=0 y C=0)La segunda columna corresponde a BC = 01 (B=0 y C=1)La tercera columna corresponde a BC = 11 (B=1 y C=1)La cuarta columna corresponde a BC = 10 (B=1 y C=0)

En el mapa de Karnaugh se han puesto "1" en las casillas que corresponden a los valores de F = "1" en la tabla de verdad.

Tomar en cuenta la numeración de las filas de la tabla de verdad y la numeración de las casillas en el mapa de Karnaugh.

Page 6: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

Para proceder con la simplificación, se crean grupos de "1"s que tengan 1, 2, 4, 8, 16, etc. (sólo potencias de 2).

Los "1"s deben estar adyacentes (no en diagonal) y mientras más "1"s tenga el grupo, mejor.

La función mejor simplificada es aquella que tiene el menor número de grupos con el mayor número de "1"s en cada grupo

Se ve del gráfico que hay dos grupos cada uno de cuatro "1"s, (se permite compartir casillas entre los grupos).

La nueva expresión de la función boolena simplificada se deduce delmapa de Karnaugh.

- Para el primer grupo (rojo): la simplificación da B (los "1"s de la tercera y cuarta columna) corresponden a B sin negar)- Para el segundo grupo (azul): la simplificación da A (los "1"s están en la fila inferior que corresponde a A sin negar)

Entonces el resultado es F = B + A ó F = A + B

Ejemplo:

Una tabla de verdad como la de la derecha da la siguiente función booleana:

F = ABC + AB C + A B C + A B C

Se ve claramente que la función es un reflejo del contenido de la tabla de verdad cuando F = "1"

Con esta ecuación se crea el mapa de Karnaugh y se escogen los grupos. Se lograron hacer 3 grupos de dos "1"s cada uno.

Se puede ver que no es posible hacer grupos de 3, porque 3 no es potencia de 2. Se observa que hay una casilla que es compartida por los tresgrupos.

La función simplificada es:

F = AB + A C + B C

Grupo en azul: AB, grupo marrón:AC,

Page 7: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

Compuertas LS74XX  

Ahora veremos las compuertas lógicas básicas iniciando de lo más sencillo como lo es la compuerta lógica:

Compuerta NOT (74LS04) - INVERSOR O

COMPLEMENTO

La cual tiene la función de invertir la señal de entrada (como su nombre lo dice) y su símbolo es:

    

 

Expresión booleana: A = A 

                                                                            

Circuito integrado: 7404

 Tabla de verdad:

  NOT

A

0 1

1 0

Page 8: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

Compuerta AND (74LS08) - PRODUCTO LÓGICO O MULTIPLICADOR

A la compuerta AND la simbolizaremos con el operador binario representado por ".". Se denomina producto lógico por coincidir simbólicamente los resultados de los productos lógicos y numéricos.

Su símbolo es:

   

  

Expresión booleana:  Z = A . B 

Circuitointegrado: 7408 

 Tabla de verdad:

AND

A B A·B

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

Compuerta OR (74LS32) - SUMA LÓGICA

La compuerta or realiza una operación que simbolizaremos con el operador binario representado por el signo "+". Se denomina suma lógica u operación Or, siendo que coincide formalmente hasta el tercer renglón de la tabla con la suma aritmética, aunque el significado de los valores lógicos 1 y 0 es distinto que el de los valores aritméticos 1 y 0.

Su símbolo es:

 

Expresión booleana:  Z = A  +  B

Page 9: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

Circuito integrado: 7432  Tabla de verdad:

 OR

A B A+B

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

Nota: La nomenclatura la podemos encontrar como: 7404, 74LS08, 74H32  u otras

Compuerta NAND (74LS00)

La  compuerta NAND es una puerta lógica digital que implementa la conjunción lógica negada -se comporta de acuerdo a la tabla de verdad mostrada a la derecha. Cuando todas sus entradas están en 1 (uno) o en ALTA, su salida está en 0 o en BAJA, mientras que cuando una sola de sus entradas o ambas están en 0 o en BAJA, su SALIDA va a estar en 1 o en ALTA.

Su representación booleana es X = A * B

Circuito integrado: 7400  Tabla de verdad:

 

Compuerta NOR

NANDA B X0 0 10 1 11 0 11 1 0

Page 10: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

Esta compuerta es el resultado de invertir la salida de una compuerta OR, esto es, esta compuerta tiene una salida alta solo cuando todas sus entradas son bajas, en cualquier otro caso la salida será baja.

Su representación booleana es X = A + B

Circuito integrado: 7402  Tabla de verdad:

 

DISPLAY (7-Segmentos)

El displays de 7 segmentos, es un componente que se utiliza para la representación de números en muchos dispositivos electrónicos.  Está formado por un conjunto de 7 leds conectados en un punto común en su salida. Cuando la salida es común en los ánodos, el display es llamado de ánodo común y por el contrario, sí la salida es común en los cátodos,

llamamos al display de cátodo común. Cada vez es más frecuente encontrar LCD´s en estos equipos (debido a su bajísima demanda de energía), todavía hay muchos que utilizan el display de 7 segmentos por su simplicidad. Este elemento se ensambla o arma de manera que se pueda activar cada segmento (diodo LED) por separado logrando de esta manera combinar los elementos y representar todos los números en el display (del 0 al 9). El display de 7 segmentos más común eel de color rojo, por su facilidad de visualización.

NANDA B X0 0 10 1 01 0 01 1 0

Page 11: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

Cada elemento del display tiene asignado una letra que identifica su posición en el arreglo del display. Ver el gráfico arriba

- Si se activan todos los segmentos se forma el número "8"

- Si se activan solo los segmentos: "a,b,c,d,f," se forma el número "0"

- Si se activan solo los segmentos: "a,b,g,e,d," se forma el número "2"

- Si se activan solo los segmentos: "b,c,f,g," se forma el número "4"

Los 8 led se interconectan internamente de tal forma que solo podemos acceder a uno de los dos extremos de cada led. El extremos sobrante de cada led se conecta internamente con los demás, y este punto de unión se encuentra disponible desde el exterior del encapsulado. Debido a este artilugio, tenemos dos tipos de display de 7 segmento:

1) Ánodo Común: es aquel donde los ánodos de todos los leds se conectan internamente al punto de unión U y los cátodos se encuentran disponibles desde afuera del integrado.

2) Cátodo Común: es aquel donde los cátodos de todos los leds se conectan internamente al punto de unión U y los ánodos se encuentran disponibles desde afuera del integrado.

Page 12: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

RESULTADOS

Compuerta NOT (74LS04) -

 

 

Tabla de verdad:  

NOT

A

0 1

1 0

Page 13: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

El Display de cátodo común; se obtiene una tabla cuyas entradas en código BCD corresponden a A, B, C y D y unas salidas correspondientes a los leds que se encenderían en cada caso para indicar el dígito decimal.

Tabla de verdad display                                             

SALIDAS

Numero o signo a b c d e f g

0 1 1 1 1 1 1 0

1 0 1 1 0 0 0 0

2 1 1 0 1 1 0 1

3 1 1 1 1 0 0 1

4 0 1 1 0 0 1 15 1 0 1 1 0 1 1

6 1 0 1 1 1 1 1

7 1 1 1 0 0 0 0

8 1 1 1 1 1 1 19 1 1 1 0 0 1 1

Page 14: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

Importancia de la electrónica digital en la Ingeniería y en la ciencia en general, incluír sus ventajas y desventajas.

Hoy por hoy el mundo de la ingeniería va de la mano con el avance tecnológico, esto implica como una gran evolución en este campo, su rápido crecimiento implica al ingeniero herramientas indispensables en el desarrollo de sus actividades y acciones a tomar y dirigir. A pesar de ser sistemas complejos, estos convergen para formar un solo equipo el cual será aprovechado, la gran capacidad de interactuar con la tecnología por ejemplo un ordenador, que no está diseñado para una sola tarea especifica si no, todo lo contrario que tiene la función de realizar casi cualquier función que se desee desarrollar ya sea con circuitos lógicos o digitales. Actualmente las empresas dependen de sistemas informáticos, sistemas electrónicos y todas esas herramientas que la ingeniería ha inventado. La electrónica ha originado una nueva era, esta era digital se genera en el momento que las personas empiezan a interactuar de otra manera y por ende de pensar, y esto justamente ha originado una mejora en la calidad de vida.Entre avances está el rápido desarrollo de las comunicaciones, el gran crecimiento de internet, los equipos electrónicos de gran complejidad pero de fácil uso para una persona, diseños de iluminación, energía renovables, biocombustibles, etc.                     Entre las ventajas de la electrónica:

Menor tiempo en el desarrollo de trabajos. Más facilidad de comunicación en el proceso de actividades. Facilidad de uso, capacitación y aprendizaje. Mayor accesibilidad a la información, practica y elementos.

Desventajas:

Pueden estar el mal manejo de los dispositivos.

Rápida actualización de los sistemas electrónicos.

Page 15: ÁLGEBRA DE BOOLEANA

BIBLIGRAFIA

http://ondasroboticas.blogspot.com/2011_09_01_archive.html

http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log.htm