algebra de boole y simplificaciones logicas

Circuitos Digitales

Unidad 4

Algebra de Boole y Simplificacion Lgica

Ing. Roberto Espitia Steer

E-mail:[email protected] Autnoma del Caribe - 2012

Operadores y Expresiones

Booleanas

Operaciones y Expresiones Booleanas

Addition

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 1

Multiplication

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 0 = 0

1 * 1 = 1

Leyes y Reglas del Algebra de

Boole

Leyes del algebra de Boole

Ley Conmutativa

Ley Asociativa

Ley Distributiva

Leyes del Algebra de Boole

Ley Conmutativa de la Suma:

A + B = B + A


Ley Conmutativa de la Multiplicacion:

A * B = B * A


Ley Asociativa de la Suma:

A + (B + C) = (A + B) + C


Ley Asociativa de la Multiplicacion:

A * (B * C) = (A * B) * C


Ley Distributiva:

A(B + C) = AB + AC

Reglas del Algebra Booleana


Regla 1

OR Truth Table


Regla 2

OR Truth Table


Regla 3

AND Truth Table


Regla 4

AND Truth Table


Regla 5

OR Truth Table


Regla 6

OR Truth Table


Regla 7

AND Truth Table


Regla 8

AND Truth Table


Regla 9


Regla 10: A + AB = A

AND Truth Table OR Truth Table


Regla 11: BABAA



Regla 12: (A + B)(A + C) = A + BC


Floyd

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Simplificacin Mediante algebra de Boole

Muchas veces, a la hora de aplicar el lgebra booleana, hay que reducir una expresin a suforma ms simple o cambiarla a una forma ms conveniente para conseguir una implementacin

ms eficiente.

Este mtodo de simplificacin utiliza las reglas , leyes y teoremas del lgebra de Boole paramanipular y simplificar una expresin.

Una expresin booleana simplificada emplea el menor numero posible de compuertas en laimplementacin de una determinada expresin.

Ejemplo: Mediante las tcnicas del algebra de Boole, simplificar la siguiente expresin.

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Circuito Lgico Original Y Simplificado.

A partir de la simplificacin se obtienen dos redes de puertas equivalentes:

Se pasa de cinco a dos puertas necesarias para implementarla expresin.

Para cualquier combinacin de valores de entrada A, B y C, se obtiene siempre la misma salida.

Teorema de DeMorgans

Teorema de DeMorgans

YXXY

Teorema 1

Teorema 2

YXYX

Recuerda:

Romper la Barra, Cambia el Signo

Formas Estandar de Expresiones

Booleanas

Formas Estandar de Expresiones Booleanas

Forma de suma de productos (SDP)

Ejemplo: X = AB + CD + EF

Forma de productos de suma (PDS)

Ejemplo: X = (A + B)(C + D)(E + F)

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Aplicaciones de los teorema de Demorgan

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Ejemplos De Aplicacin De Los Teoremas de

Demorgan

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Ejercicios Partiendo de Compuertas Lgicas

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Anlisis Booleano de los Circuitos Lgicos

El lgebra de Boole proporciona una manera concisa de expresar el funcionamientode un circuito lgico formado por una combinacin de puertas lgicas, de tal forma

que la salida puede determinarse por la combinacin de los valores de entrada. Para

obtener la expresin booleana de un determinado circuito lgico, la manera de

proceder consiste en:

A. Comenzar con las entradas situadas ms a la izquierda.

B. Ir avanzando hasta las lneas de salida, escribiendo la expresin para cada

compuerta.

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Formato estndar de las expresiones booleanas

Funcin lgica es una expresin booleana que relaciona variables lgicas directas ocomplementadas por medio de operaciones AND y OR.

Todas las expresiones booleanas, independientemente de su forma, puedenconvertirse en cualquiera de las dos formas estndar:

Suma de productos o Suma de MinTerminos

Producto de sumas o Producto de MaxTerminos.

Esto posibilita que la evaluacin, simplificacin e implementacin de lasexpresiones booleana sea mucho ms sistemtica y sencilla

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Suma de productos o suma de Minterminos.

o Es la suma de dos o ms productos mediante la adicin booleana.

o AB + ABC

o A + ABC + AC

o Una barra no puede extenderse sobre ms de una variable:

o

o El dominio de una expresin booleana es el conjunto de variables (o sus

complementos) contenido en una expresin:

o El dominio de AB + ABC es el conjunto de variables A, B, C

o La implementacin de una suma de productos simplemente requiere aplicar la operacin OR a las salidas de dos o ms puertas AND:

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Producto de Sumas o Producto de Maxterms

Es la multiplicacin de dos o ms trminos suma.

Una barra no puede extenderse sobre ms de una variable:

Implementacin de un Producto de Sumas.

La implementacin de un producto de sumas requiere simplemente la aplicacin de la

operacin AND a las salidas de dos o ms puertas OR.

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Los Mapas de Karnaugh

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Mapas de Karnaugh

Un mapa de Karnaugh proporciona un mtodo sistemtico de simplificacin de expresiones booleanas.

Aplicado adecuadamente genera las expresiones suma de productos y producto de sumas ms simplesposibles.

Un mapa de Karnaugh es similar a una tabla de verdad, ya que muestra todos los posibles valores de lasvariables de entrada y la salida resultante para cada valor.

El mapa de Karnaugh es una secuencia de celdas en la que cada celda representa un valor binario de lasvariables de entrada.

Las celdas se disponen de tal manera que la simplificacin de una determinada expresin consiste enagrupar adecuadamente las celdas.

Los mapas de Karnaugh pueden utilizarse para expresiones de dos, tres, cuatro y cinco variables.

El mtodo de Quine-McClusky puede usarse para un nmero de variables mayor.

Al igual que ocurra con el nmero de filas de una tabla de verdad, el nmero de celdas de un mapa deKarnaugh es igual al nmero total de combinaciones de las variables de entrada.

Para tres variables, el nmero de celdas necesarias es 2^3=8. Para cuatro variables, el nmero de celdases 2^4=16 celdas.

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Mapas de Karnaugh de Tres Variables

Es un conjunto de 8 celdas.

Se utilizan A, B y C para denominar las variables, aunque se podran usar otras letras.

Los valores binarios de A y B se encuentran en la parte izquierda y los valores de C en la parte superior.

El valor de una determinada celda es:

el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila

combinado con el valor de C en la parte superior de la misma columna.

Representacin de un mapa de Karnaugh de tres variables vaco (matriz de 8 celdas) y con los

trminos producto estndar representados para cada celda:

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Mapas de Karnaugh de Cuatro Variables

Es un conjunto de 16 celdas.

Se utilizan A, B, C y D para denominar las variables, aunque se podran usar otras letras.

Los valores binarios de A y B se encuentran en la parte izquierda y los valores de C y D en la parte superior.

El valor de una determinada celda es:

el valor binario de A y B, en la parte izquierda de la misma fila

combinado con el valor de C y D en la parte superior de la misma

Columna.

Representacin de un mapa de Karnaugh de cuatro variables vaco (matriz de 16 celdas) y con los

trminos producto estndar representados para cada celda:

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Adyacencia de Celdas

Las celdas de un mapa de Karnaugh se disponen de manera que slo cambia una nica variableentre celdas adyacentes.

Las celdas que difieren en una nica variable son adyacentes.

En el mapa de 3 variables, la celda 010 es adyacente a la celda 000, a la 011 y a la 110.

Las celdas cuyos valores difieren en ms de una variable no son adyacentes.

En el mapa de 3 variables, la celda 010 NO es adyacente a la celda 001, a la 111, a la 100 ni a la101.

Fsicamente, cada celda es adyacente a las celdas que estn situadas inmediatas a ella por

cualesquiera de sus cuatro lados.

Una celda NO es adyacente a aquellas que tocan diagonalmente alguna de sus esquinas.

Adems, las celdas de la fila superior son adyacentes a las de la fila inferior y las celdas

de la columna izquierda son adyacentes a las celdas situadas en la columna derecha.

Adyacencia de celdas en un mapa de Karnaugh de cuatro variables.

Las flechas apuntan a las celdas adyacentes.

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Simplificacin de una Suma de Productos Mediante

el Mapa de Karnaugh

El proceso que genera una expresin que contiene el menor nmero posible de trminos con el mnimo nmero de variables se denomina minimizacin.

Despus de haber obtenido el mapa de Karnaugh de una suma de productos, se deben seguir tres pasos para obtener la expresin suma de productos mnima:

Agrupar los 1s.

Determinar el trmino producto correspondiente a cada grupo.

Sumar los trminos productos obtenidos.

Agrupacin de 1s

La finalidad es maximizar el tamao de los grupos y minimizar el nmero de estos grupos. Reglas:

1. Un grupo tiene que contener 1, 2, 4, 8 16 celdas.

2. Cada celda de un grupo tiene que ser adyacente a una o ms celdas del mismo grupo, pero no todas las

celdas del grupo tienen que ser adyacentes entre s.

3. Incluir siempre en cada grupo el mayor nmero posible de 1s de acuerdo con la regla 1.

4. Cada 1 del mapa tiene que estar incluido en al menos un grupo. Los 1s que ya pertenezcan a un grupo

pueden estar incluidos en otro, siempre que los grupos que se solapen contengan 1s no comunes.

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Agrupacin de 1`s

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Determinar el Trmino Producto

Correspondiente a Cada Grupo

1. Cada grupo de celdas que contiene 1s da lugar a un trmino producto compuesto por todas

las variables que aparecen en el grupo en slo una forma (no complementada o complementada). Las variables que aparecen complementadas y sin complementar dentro del mismo grupo se eliminan. A stas se las denomina variables contradictorias.

2. Determinar la operacin producto mnima para cada grupo.

Determinar la operacin producto mnima para un mapa de 3 variables.

I. Un grupo formado por una nica celda da lugar a un trmino producto de tres variables.

II. Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un trmino producto de dos variables.

III. Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un trmino de una variable.

IV. Un grupo formado por 8 celdas indica que la expresin vale 1.

Determinar la operacin producto mnima para un mapa de 4 variables.

I. Un grupo formado por una nica celda da lugar a un trmino producto de cuatro variables.

II. Un grupo formado por 2 celdas da lugar a un trmino producto de tres variables.

III. Un grupo formado por 4 celdas da lugar a un trmino producto de dos variables.

IV. Un grupo formado por 8 celdas da lugar a un trmino de una variable.

V. Un grupo formado por 16 celdas indica que la expresin vale 1.

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Sumar los trminos de productos obtenidos

Cuando se han obtenido todos los trminos mnimos, se suman para obtener la expresin suma de

productos mnima.

Ejemplo: Determinar los productos para cada uno de los mapas de Karnaugh y escribir las

correspondientes expresiones suma de productos mnima resultante.

Solucin. La expresin suma de productos mnima para cada uno de los mapas de Karnaugh es:

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Sumar los trminos de productos obtenidos - EJ

Ejemplo: Mediante un mapa de Karnaugh minimizar la expresin suma

de productos siguiente:

Se indica el trmino producto para cada grupo y la expresin suma de productos mnima resultante

es:

Nota: esta expresin mnima es equivalente a la expresin estndar original.

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Obtencin Directa del Mapa de Karnaugh

a Partir de la Tabla de Verdad

Los 1s de la columna de salida de la tabla de verdad se trasladan directamente al mapa de

Karnaugh, a las celdas correspondientes a los valores asociados de las combinaciones de

variables de entrada.

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Minimizacin de un Producto de Sumas

Mediante el Mapa de Karnaugh

Este mtodo es similar al de la minimizacin de una expresin suma de productos mediante los

mapas de Karnaugh.

En esta ocasin, los 0s representan las operaciones de suma estndar y se colocan en

el mapa de Karnaugh en lugar de los 1s.

Mapa de Karnaugh de un producto de sumas estndar.

Por cada trmino suma de la expresin producto de sumas se coloca un 0 en el mapa de Karnaughen la celda correspondiente al valor de la suma.

Las celdas que no tienen 0 son aquellas para las que la expresin es 1.

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Simplificacin Mediante el Mapa de Karnaugh

de Expresiones Producto de Sumas

El proceso de minimizacin de un producto de sumas es bsicamente el mismo que para una

expresin suma de productos, excepto que ahora hay que agrupar los 0s para generar el

mnimo nmero de trminos suma.

Las reglas para agrupar los 0s son las mismas que para agrupar los 1s.

algebra de boole y simplificaciones logicas

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