algebra de boole

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POSTULADOS Proposiciones que deben ser demostradas ALGEBRA DE BOOLE ALGEBRA DE BOOLE

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POSTULADOS

Proposiciones que deben ser demostradas

ALGEBRA DE BOOLEALGEBRA DE BOOLE

1- Postulado del elemento Nulo

• Si cualquier Variable se opera con AND con un “0” el resultado siempre es “0”.

• Si cualquier Variable se opera con OR con un “1” el resultado siempre es “1”.

X * 0 = 0

X + 1 = 1

2- Postulado de Identidad

• Si cualquier Variable se opera con AND con un “1” el resultado siempre es la Variable “X”.

X * 1 = X

• Si cualquier Variable se opera con OR con un “0” el resultado siempre es la Variable “X”.

X + 0 = X

3- Postulado Potencia Idéntica

• Si se opera una AND con una misma variable X el resultado es la variable X

X * X = X

• Si se opera una OR con una misma variable X el resultado es la variable X

X + X = X

4- Postulado de los Complementos

• Si se opera una AND con una variable X y su inversa de X el resultado es “0”.

X * X = 0

• Si se opera una OR con una variable X y su inversa de X el resultado es “1”.

X+ X = 1

• Si se invierte dos veces una variable X el resultado es el valor original de la variable

XX =

X

4- Postulado de los Complementos

POSTULADOSPOSTULADOS

1. X · 0 = 0

2. X · X´ = 0

3. X + 1= 1

4. X + X´ = 1

5. X · 1 = X

6. X + 0 = X

7. X · X = X

8. X + X = X

9. X´´ = X

8

Ley Conmutativa

• X * Y = Y * X• X + Y = Y + X

LeyesLeyes

Reglas invariables del algebra de Boole

7- Ley Asociativa

• X · Y · Z = (Y · X) · Z = Y · (X · Z)

• X + Y + Z = (Y + X) + Z = Y + (X + Z)

5 - Ley Distributiva

• X(Y+Z) = XY + XZ

• X+(Y · Z) = X·Y + X·Z

10

TEOREMASTEOREMAS

Reglas que conciernen a una relación fundamental entre las variables lógicas

Teorema de Absorción X + XY = X X (X+Y) = X

XYXXYXXYXX

XYXXYX

+=+=+=+=+

)(

)1(

Teorema de Eliminación

A + ĀB = A + B

A ·(Ā + B) = A · B

(A + Ā)·(A + B) = A + B

1 · (A + B) = A + B

(A · Ā)+ (A · B) = A · B

0 + (A · B) = A · B

TEOREMAS DE MORGAN Teorema 1

• Al invertir la suma OR de dos Variables es equivalente a invertir cada variable por separado y operarlas mediante una AND

2

31

74LS33

== 1

23

74LS08

1 2

74LS04

3 4

74LS04

2

31

Demostración

X Y YX + YX ·

0 0

0 1

1 0

1 1

1

0

0

0

1

0

0

0

Teorema 2• Al invertir el Producto AND de dos variables

es igual a invertir cada variable por separado y operar con OR

1

23

74LS00 ==1

23

74LS323 4

74LS04

1 2

74LS04

1

23

74LS24

Demostración

X Y YX + YX ·

0 0

0 1

1 0

1 1

0

0

0

1

0

0

0

1

FORMAS CANÓNICAS

• Suma de productos (Mini términos)

( )( )( )( )cbacbacbacbaf ++++++++=1

• Producto de Sumas (Maxi términos)

cabcbacbacbaf +++=1

Formas Canónicas de una Formas Canónicas de una función (Ejemplo)función (Ejemplo)

A B C f

0 0 0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

0 1 1 0

1 0 0 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 0

CBA

CBA

CBA

CAB

Mini términos

Maxi términos

CBA ++CBA ++CBA ++

CBA ++

Formas Canónicas de una Formas Canónicas de una función (Ejemplo)función (Ejemplo)

No A B C f

0 0 0 0 1

1 0 0 1 0

2 0 1 0 0

3 0 1 1 0

4 1 0 0 1

5 1 0 1 1

6 1 1 0 1

7 1 1 1 0

Mini términos

Maxi términos

CABCBACBACBAf CBA +++=),,(

)6,5,4,0(),,( mf CBA ∑=

( ) ( ) ( ) ( )CBACBACBACBAf CBA ++++++++=),,(

)7,3,2,1(),,( Mf CBA Π=