algebra computacional integrantes: alvaro bustos dafne ibaÑez ricardo reyes

ALGEBRA ALGEBRA COMPUTACIONACOMPUTACIONA

LLINTEGRANTES: INTEGRANTES:

ALVARO BUSTOSALVARO BUSTOS DAFNE IBAÑEZDAFNE IBAÑEZ RICARDO REYESRICARDO REYES

DISEÑO Y MODELACION DISEÑO Y MODELACION ASISTIDA POR COMPUTADORASISTIDA POR COMPUTADOR

Las utilidades de los sistemas de CAD/CAM Las utilidades de los sistemas de CAD/CAM como medio para aumentar la eficacia del como medio para aumentar la eficacia del proceso de diseño hoy en día no tienen proceso de diseño hoy en día no tienen competencia. Ventajas comocompetencia. Ventajas como

- reducción de tiempo,- reducción de tiempo,- mejoras de calidad y- mejoras de calidad y- reducción de costos- reducción de costos

son a menudo citadas como los mayores son a menudo citadas como los mayores beneficios del resultado de la introducción beneficios del resultado de la introducción de software especializado para el CAD/CAMde software especializado para el CAD/CAM


Desde un punto de vista matemático casi Desde un punto de vista matemático casi todos los problemas de DAC/MAC están todos los problemas de DAC/MAC están relacionados con la manipulación de relacionados con la manipulación de objetos geométricos.objetos geométricos.

Estas entidades geométricas usualmente Estas entidades geométricas usualmente se presentan a través de polinomios se presentan a través de polinomios implícitos o en forma paramétrica.implícitos o en forma paramétrica.


Hay cuatro clases de problemas principales Hay cuatro clases de problemas principales considerados donde el Algebra considerados donde el Algebra Computacional y el DGAC son ocupados en Computacional y el DGAC son ocupados en forma conjunta: forma conjunta:

Preguntas de implicitación (o eliminación Preguntas de implicitación (o eliminación de variable).de variable).

Intersección de curvas y superficies Intersección de curvas y superficies paramétricas.paramétricas.

DGAC con la aritmética exacta.DGAC con la aritmética exacta. El guiado algebraico de trazas de curvas y El guiado algebraico de trazas de curvas y

superficies implícitamente definidassuperficies implícitamente definidas..

INTERSECCION DE DOS CURVAS INTERSECCION DE DOS CURVAS PLANASPLANAS

La intersección de dos curvas planas sin La intersección de dos curvas planas sin componentes comunes dadas en forma componentes comunes dadas en forma paramétrica se puede determinar calculando la paramétrica se puede determinar calculando la ecuación implícita de la primera curva y ecuación implícita de la primera curva y sustituyendo la parametrización en la segunda. sustituyendo la parametrización en la segunda. Luego el problema queda reducido a la resolución Luego el problema queda reducido a la resolución de una ecuación polinomial de una variable.de una ecuación polinomial de una variable.

Cuando las dos curvas son dadas por sus Cuando las dos curvas son dadas por sus ecuaciones implícitas f(x,y) y g(x,y) se puede ecuaciones implícitas f(x,y) y g(x,y) se puede determinar usando un argumento similar al determinar usando un argumento similar al anterior.anterior.

INTERSECCION DE UNA INTERSECCION DE UNA SUPERFICIE RACIONAL Y UNA SUPERFICIE RACIONAL Y UNA

CURVA RACIONALCURVA RACIONAL Si la ecuación implícita de la superficie esta Si la ecuación implícita de la superficie esta

disponible, el problema se reduce al calculo de disponible, el problema se reduce al calculo de las raíces reales de un polinomio de una las raíces reales de un polinomio de una variable.variable.

Este polinomio es obtenido de la sustitución de Este polinomio es obtenido de la sustitución de la parametrización de la curva en la ecuación la parametrización de la curva en la ecuación implícita de la superficie.implícita de la superficie.

Si la ecuación implícita de la superficie no está Si la ecuación implícita de la superficie no está disponible, entonces igualando ambas disponible, entonces igualando ambas parametrizaciones el problema se reduce a parametrizaciones el problema se reduce a resolver un sistema polinomial de 3 ecuaciones resolver un sistema polinomial de 3 ecuaciones y 3 incógnitas.y 3 incógnitas.

INTERSECCION DE UNA INTERSECCION DE UNA SUPERFICIE RACIONAL Y UNA SUPERFICIE RACIONAL Y UNA

CURVA RACIONALCURVA RACIONAL Al usar Algebra Computacional, la única Al usar Algebra Computacional, la única

técnica usada actualmente esta basada en técnica usada actualmente esta basada en resultados multivariante y principalmente resultados multivariante y principalmente en la formulación de Dixon’s para eliminar en la formulación de Dixon’s para eliminar dos de las incógnitas del sistema.dos de las incógnitas del sistema.

INTERSECCION DE DOS INTERSECCION DE DOS SUPERFICIES RACIONALESSUPERFICIES RACIONALES

Esta se reduce al trazado de una curva algebraica Esta se reduce al trazado de una curva algebraica plana implícitamente definida más un proceso de plana implícitamente definida más un proceso de sustitución si la ecuación implícita de una de las sustitución si la ecuación implícita de una de las superficies se encuentra disponible.superficies se encuentra disponible.

Si ninguna ecuación implícita se encuentra Si ninguna ecuación implícita se encuentra disponible, entonces, se tiene que resolver un disponible, entonces, se tiene que resolver un sistema polinomial de 3 ecuaciones y 4 incógnitas.sistema polinomial de 3 ecuaciones y 4 incógnitas.

Si las dos superficies se presentan por su Si las dos superficies se presentan por su ecuación implícita, entonces el problema se ecuación implícita, entonces el problema se reduce a resolver un sistema de 2 ecuaciones y 3 reduce a resolver un sistema de 2 ecuaciones y 3 incógnitas.incógnitas.

DGACDGAC CON LA ARITMETICA CON LA ARITMETICA EXACTAEXACTA

Se asume que todos los objetos de entrada Se asume que todos los objetos de entrada son conocidos exactamente y su son conocidos exactamente y su representación involucra solo números representación involucra solo números racionales o números algebraicos exactos.racionales o números algebraicos exactos.

En este caso todos los problemas se reducen a En este caso todos los problemas se reducen a la resolución de un sistema polinomial de la resolución de un sistema polinomial de ecuaciones o a la eliminación de una o varias ecuaciones o a la eliminación de una o varias variables.variables.

Para este tipo de problemas se utilizan las Para este tipo de problemas se utilizan las bases de Grobner.bases de Grobner.

PROGRAMACION PROGRAMACION CIENTIFICACIENTIFICA

Nuestro objetivo es ver la Nuestro objetivo es ver la importancia de la tecnología con importancia de la tecnología con

respecto a la matemática.respecto a la matemática.

Ver la importancia de ciertas Ver la importancia de ciertas calculadoras que nos facilita en un calculadoras que nos facilita en un

segundo …. una solución del segundo …. una solución del problema planteado.problema planteado.

A continuación daremos una A continuación daremos una introducción al tema.introducción al tema.

INTRODUCCIONINTRODUCCION

Al pasar los años vemos que la Al pasar los años vemos que la tecnología avanza entregándonos tecnología avanza entregándonos

nuevas cosas que a la vez son de gran nuevas cosas que a la vez son de gran utilidad.utilidad.

Mientras que las calculadoras Mientras que las calculadoras introdujeron más el cálculo numérico introdujeron más el cálculo numérico

en la aula, los sistema de álgebra en la aula, los sistema de álgebra computacional permite el uso de computacional permite el uso de

cálculo más simbólico.cálculo más simbólico.El uso de Álgebra computacional en la El uso de Álgebra computacional en la

aulas aumentan en todo el mundo, aulas aumentan en todo el mundo, lentamente esto pasos son lentamente esto pasos son

Institualizados.Institualizados.


Hay algo que esta claro, que las Hay algo que esta claro, que las calculadoras Científicas portátiles han calculadoras Científicas portátiles han cambiado el plan de estudio de cambiado el plan de estudio de Matemática en la escuela secundaria y Matemática en la escuela secundaria y universitaria alrededor del mundo universitaria alrededor del mundo durante estos años.durante estos años.

Muchos temas eran tratados con PAPEL & Muchos temas eran tratados con PAPEL & LAPIZ que han sido suprimidas. LAPIZ que han sido suprimidas.


Hoy en día, hay que notar que en menos Hoy en día, hay que notar que en menos tiempo es gastado, en ciertos temas. tiempo es gastado, en ciertos temas. (Ejemplos)(Ejemplos)

A continuación daremos algunos ejemplos A continuación daremos algunos ejemplos en que ocuparemos la calculadora en que ocuparemos la calculadora Científica. Científica.

EJEMPLO 1: POLINOMIOEJEMPLO 1: POLINOMIO

SeaSea

Un polinomio de grado 3.Un polinomio de grado 3. Uno puede intuir que puede tener 3 Uno puede intuir que puede tener 3

soluciones Reales ó puede pasar que soluciones Reales ó puede pasar que tenga 1 solución real y las otras dos tenga 1 solución real y las otras dos complejas.complejas.

Entonces los posibles candidatos son:Entonces los posibles candidatos son:

67)( 3 xxxp

6,3,2,1 q

EJEMPLO 1: POLINOMIOEJEMPLO 1: POLINOMIO

Uno podría decir ¿x= -1 es una raíz del polinomio?Uno podría decir ¿x= -1 es una raíz del polinomio? Yo a simple vista no puedo asegurar que aquel valor Yo a simple vista no puedo asegurar que aquel valor

es el correcto.es el correcto. Para saber si estamos en lo correcto, no hay más Para saber si estamos en lo correcto, no hay más

que realizar la llamada División Sintética (Papel y que realizar la llamada División Sintética (Papel y lápiz).lápiz). Para uno eso es algo tedioso.Para uno eso es algo tedioso.

Hoy en día teniendo en cuenta la tecnología Hoy en día teniendo en cuenta la tecnología podemos utilizar ciertas calculadoras que nos facilita podemos utilizar ciertas calculadoras que nos facilita obtener la o las soluciones del problema planteado.obtener la o las soluciones del problema planteado.

Las raíces del polinomio obtenido por la calculadora Las raíces del polinomio obtenido por la calculadora científica son: 1, 2, -3, lo cual satisfacen científica son: 1, 2, -3, lo cual satisfacen

A continuación veremos la gráfica que nos quedaría A continuación veremos la gráfica que nos quedaría con la calculadora científica.con la calculadora científica.

0)( xp

Ejemplo 1: PolinomioEjemplo 1: Polinomio

EJEMPLO 2: INTEGRAL EJEMPLO 2: INTEGRAL DEFINIDADEFINIDA

Hoy en día tenemos calculadoras Hoy en día tenemos calculadoras avanzadas, el cual nos facilita tiempo para avanzadas, el cual nos facilita tiempo para obtener soluciones y más aún una obtener soluciones y más aún una respuesta correcta.respuesta correcta.

También se puede realizar el ejercicio con También se puede realizar el ejercicio con papel y lápiz, pero nadie nos garantiza papel y lápiz, pero nadie nos garantiza que el ejercicio esté bueno … en el caso que el ejercicio esté bueno … en el caso que sea un experto en integrales.que sea un experto en integrales.

3

1

2

dxxe x

EJEMPLO 3:EJEMPLO 3: ECUACION DIFERENCIAL ECUACION DIFERENCIAL¿Cómo poder saber el conjunto ¿Cómo poder saber el conjunto solución desolución de

??

Las calculadoras nos facilitan en esto Las calculadoras nos facilitan en esto con gran ayuda … pues graficar una con gran ayuda … pues graficar una ecuación diferencial (En general).ecuación diferencial (En general).También se puede hacer con papel y También se puede hacer con papel y lápiz pero es complicado, más aún lápiz pero es complicado, más aún cuando la ecuación es media extraña.cuando la ecuación es media extraña.

xydxdy 2

EJEMPLO 3, RESOLUCIONEJEMPLO 3, RESOLUCION

En efecto, tenemosEn efecto, tenemos

TenemosTenemos

Más aún,Más aún,

Por comodidad, Por comodidad, dondedonde

xdxy

dy2

cxy 2ln

cxêy 2

2xcey Rc

Ejemplo 3Ejemplo 3

Por comodidad Por comodidad

2xkey

LA EXPERIENCIA LA EXPERIENCIA HOLANDESAHOLANDESA


El álgebra computacional ha sido un El álgebra computacional ha sido un tema de discusión en Holanda desde tema de discusión en Holanda desde hace algunos años hasta ahora. hace algunos años hasta ahora.

En la enseñanza secundaria superior En la enseñanza secundaria superior (equivalente a nuestra enseñanza (equivalente a nuestra enseñanza media) no existe plan de estudios media) no existe plan de estudios alguno que determine cuánto se alguno que determine cuánto se debe enseñar sobre este tema.debe enseñar sobre este tema.


El primer proyecto sobre álgebra computacional en la El primer proyecto sobre álgebra computacional en la enseñanza secundaria comenzó en 1990 y duró 2 enseñanza secundaria comenzó en 1990 y duró 2 años. La idea principal de este proyecto era años. La idea principal de este proyecto era desarrollar unidades cortas de instrucción para desarrollar unidades cortas de instrucción para probarlas en escuelas piloto. Pero no dio los probarlas en escuelas piloto. Pero no dio los resultados esperados, gracias a la carencia de resultados esperados, gracias a la carencia de equipamiento de las escuelas y a la dificultad de los equipamiento de las escuelas y a la dificultad de los alumnos en el manejo del computador.alumnos en el manejo del computador.

Hacia el final de este proyecto, un grupo de Hacia el final de este proyecto, un grupo de profesores decidió seguir el trabajo. Se profesores decidió seguir el trabajo. Se autodenominaron CAVO y existieron como grupo autodenominaron CAVO y existieron como grupo hasta 1998. Era una plataforma animada e importante hasta 1998. Era una plataforma animada e importante para el desarrollo remoto y la discusión. Mientras este para el desarrollo remoto y la discusión. Mientras este grupo trabajaba, irrumpió en la escena la calculadora grupo trabajaba, irrumpió en la escena la calculadora gráfica, atrayendo enorme atención.gráfica, atrayendo enorme atención.


La aparición de la calculadora gráfica gatilló la La aparición de la calculadora gráfica gatilló la discusión sobre si la tecnología debía ser o no usada discusión sobre si la tecnología debía ser o no usada en la enseñanza secundaria. Se decidió que la puesta en la enseñanza secundaria. Se decidió que la puesta en práctica de la calculadora gráfica sería el primer en práctica de la calculadora gráfica sería el primer paso.paso.

Las autoridades apoyaron un proyecto de Las autoridades apoyaron un proyecto de investigación en 1992 sobre esta cuestión. Este investigación en 1992 sobre esta cuestión. Este proyecto fue realizado por el Freudenthal Institute y proyecto fue realizado por el Freudenthal Institute y más tarde se convirtió en parte integrante de un más tarde se convirtió en parte integrante de un proyecto más grande llamado Profi. Los resultados de proyecto más grande llamado Profi. Los resultados de éste incluyeron los textos de estudiantes que éste incluyeron los textos de estudiantes que integraron el empleo de la calculadora gráfica, y los integraron el empleo de la calculadora gráfica, y los exámenes experimentales que requieren la exámenes experimentales que requieren la disponibilidad de un dispositivo graficador hecho a disponibilidad de un dispositivo graficador hecho a mano.mano.


Algunos educadores y profesores, sin embargo, se opusieron Algunos educadores y profesores, sin embargo, se opusieron a la puesta en práctica de la calculadora gráfica. Sus a la puesta en práctica de la calculadora gráfica. Sus argumentos eran que el álgebra computacional es una argumentos eran que el álgebra computacional es una herramienta matemática mucho más sofisticada, y que una herramienta matemática mucho más sofisticada, y que una calculadora gráfica es sólo un paso temporal hacia atrás calculadora gráfica es sólo un paso temporal hacia atrás comparado con las posibilidades que los PC’s ofrecen. Sin comparado con las posibilidades que los PC’s ofrecen. Sin embargo, en 1996 se reveló queembargo, en 1996 se reveló que los PC’s casi nunca fueron los PC’s casi nunca fueron usados en las clases de matemáticas, aunque ellos usados en las clases de matemáticas, aunque ellos estuvieran disponibles en las escuelas.estuvieran disponibles en las escuelas.

Esto sirvió para reforzar la idea de que Esto sirvió para reforzar la idea de que la verdadera puesta la verdadera puesta en práctica de tecnología requiere que el estudiante tenga en práctica de tecnología requiere que el estudiante tenga el acceso directo al dispositivo. El limitado poder el acceso directo al dispositivo. El limitado poder matemático de la calculadora gráfica no es una desventaja matemático de la calculadora gráfica no es una desventaja importante: esto permite a educadores e investigadores importante: esto permite a educadores e investigadores tener el tiempo suficiente para, con cuidado, integrar un tener el tiempo suficiente para, con cuidado, integrar un instrumento gráfico y numérico sin necesidad enfrentarse instrumento gráfico y numérico sin necesidad enfrentarse con el álgebra de ordenador mientras tanto.con el álgebra de ordenador mientras tanto.


La opción de la calculadora gráfica puede ser una La opción de la calculadora gráfica puede ser una preferencia temporal de verdad. Hoy, el álgebra preferencia temporal de verdad. Hoy, el álgebra computacional está también disponible en un computacional está también disponible en un formato hecho a mano. Un primer experimento formato hecho a mano. Un primer experimento piloto que usa la calculadora TI-92 reveló que los piloto que usa la calculadora TI-92 reveló que los estudiantes apreciaron esta máquina como una estudiantes apreciaron esta máquina como una “calculadora algebraica”, pero no tanto como una “calculadora algebraica”, pero no tanto como una herramienta geométrica dinámica.herramienta geométrica dinámica.

Cuando la Asociación Holandesa de Profesores de Cuando la Asociación Holandesa de Profesores de Matemáticas se dio cuenta del impacto posible de Matemáticas se dio cuenta del impacto posible de las calculadoras simbólicas sobre la educación las calculadoras simbólicas sobre la educación matemática secundaria, fue formado un Consejo matemática secundaria, fue formado un Consejo Consultivo sobre el Álgebra de Ordenador y la Consultivo sobre el Álgebra de Ordenador y la Calculadora SimbólicaCalculadora Simbólica


En Mayo de 1998 este Consejo concluyó que:En Mayo de 1998 este Consejo concluyó que: El álgebra computacional debería ser puesta El álgebra computacional debería ser puesta

en práctica en la educación secundaria en práctica en la educación secundaria superior; superior;

La investigación fue necesaria para La investigación fue necesaria para encontrar respuestas a las preguntas encontrar respuestas a las preguntas pedagógicas y de curriculum que surjan por pedagógicas y de curriculum que surjan por esto;esto;

Como una plataforma de álgebra Como una plataforma de álgebra computacional, el PC sería preferido a la computacional, el PC sería preferido a la calculadora simbólica, al menos a largo calculadora simbólica, al menos a largo plazo.plazo.


En el otoño de 1998, el Freudenthal En el otoño de 1998, el Freudenthal Institute condujo un estudio exploratorio Institute condujo un estudio exploratorio de casos que usan la calculadora de casos que usan la calculadora simbólica. Esta máquina resultó ser simbólica. Esta máquina resultó ser bastante útil en tareas de investigación. El bastante útil en tareas de investigación. El empleo sofisticado de variables y empleo sofisticado de variables y parámetros, sin embargo, no siempre era parámetros, sin embargo, no siempre era claro para los estudiantes. Además, claro para los estudiantes. Además, algunos estudiantes estaban poco algunos estudiantes estaban poco dispuestos a usar el álgebra dispuestos a usar el álgebra computacional para el uso de técnicas que computacional para el uso de técnicas que ellos aún no habían dominado a mano.ellos aún no habían dominado a mano.


Actualmente, muchas preguntas de Actualmente, muchas preguntas de investigación acerca del papel del investigación acerca del papel del álgebra computacional en la enseñanza álgebra computacional en la enseñanza secundaria están todavía sin contestar. secundaria están todavía sin contestar. Ninguna decisión sobre su puesta en Ninguna decisión sobre su puesta en práctica en Holanda ha sido tomada práctica en Holanda ha sido tomada hasta ahora. hasta ahora.

En los próximos años se espera que En los próximos años se espera que ocurran 3 acontecimientos:ocurran 3 acontecimientos:


En primer lugar, los profesores, las juntas de En primer lugar, los profesores, las juntas de examinación y los autores de libros de texto se examinación y los autores de libros de texto se acostumbrarán a la calculadora gráfica y acostumbrarán a la calculadora gráfica y aprovecharán las posibilidades pedagógicas aprovecharán las posibilidades pedagógicas que estos dispositivos ofrecen.que estos dispositivos ofrecen.

En segundo lugar, la investigación será En segundo lugar, la investigación será realizada sobre el papel del álgebra realizada sobre el papel del álgebra computacional en el estudio de las matemáticas computacional en el estudio de las matemáticas y, más expresamente, en el estudio de y, más expresamente, en el estudio de conceptos algebraicos. Tal estudio fue conceptos algebraicos. Tal estudio fue comenzado recientemente por el Freudenthal comenzado recientemente por el Freudenthal Institute.Institute.


En tercer lugar, la investigación será En tercer lugar, la investigación será realizada sobre las posibilidades del álgebra realizada sobre las posibilidades del álgebra computacional como una herramienta de computacional como una herramienta de tecnología de amplia gama. Un proyecto que tecnología de amplia gama. Un proyecto que se enfoca en el empleo de un ambiente de se enfoca en el empleo de un ambiente de álgebra computacional en combinación con álgebra computacional en combinación con un editor de textos (para escribir informes un editor de textos (para escribir informes matemáticos) y un Catálogo de Internet ha matemáticos) y un Catálogo de Internet ha sido comenzado en Algemeen Pedagogisch sido comenzado en Algemeen Pedagogisch Studiecentrum, un instituto para la mejora Studiecentrum, un instituto para la mejora de la educación matemática.de la educación matemática.

algebra computacional integrantes: alvaro bustos dafne ibaÑez ricardo reyes

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